CONTAGEM

Aula de hoje• Correção dos Exercícios• Permutações com Repetição• Combinações com Repetição• Permutações com Objetos Idênticos• Distribuição de Objetos em Caixas

Exercício 5• Para fazer uma viagem Rio - São Paulo – Rio, posso usar

como transporte o trem, o ônibus ou o avião. De quantos modos posso escolher os transportes se não desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na ida?

• Três meios de transporte

Exercício 5• Ida (Rio – São Paulo)

Posso ir de 3 formas diferentes

Exercício 5• Ida (Rio – São Paulo)

Posso ir de 3 formas diferentes• Volta (São Paulo - Rio)

Posso voltar somente de 2 formas diferentes

Exercício 5• Ida (Rio – São Paulo)

Posso ir de 3 formas diferentes• Volta (São Paulo - Rio)

Posso voltar somente de 2 formas diferentes

Logo: 3 x 2 = 6 modos de se fazer a viagem.

Exercício 6• Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem

ser coloridas usando se apenas as cores amarelo, branco e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira?

3 cores

Exercício 6• Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem

ser coloridas usando se apenas as cores amarelo, branco e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira?

3 cores

Possibilidades para pintar

3 cores???

Exercício 6• Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem

ser coloridas usando se apenas as cores amarelo, branco e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira?

3 cores

Possibilidades para pintar

3 cores2 cores2 cores2 cores

Exercício 6• Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem

ser coloridas usando se apenas as cores amarelo, branco e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira?

3 cores

Possibilidades para pintar

3 cores2 cores2 cores2 cores

Total = 24 cores

Exercício 7• Quantos números naturais de três algarismos distintos

(na base 10) existe?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 base 10

Exercício 7• Quantos números naturais de três algarismos distintos

(na base 10) existe?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 base 10

________ _________ __________

Exercício 7• Quantos números naturais de três algarismos distintos

(na base 10) existe?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 base 10

____9____ ____?_____ ____?______

Não pode ser o 0

Exercício 7• Quantos números naturais de três algarismos distintos

(na base 10) existe?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 base 10

____9____ ____9_____ ____?______

Deve ser distinto

Exercício 7• Quantos números naturais de três algarismos distintos

(na base 10) existe?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 base 10

____9____ ____9_____ ____8______

Deve ser distinto

Exercício 7• Quantos números naturais de três algarismos distintos

(na base 10) existe?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 base 10

____9____ ____9_____ ____8______

= 648

Exercício 8• Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10),

que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5?

______ ______ _______ ____?____

quantos são possíveis aqui?

Exercício 8• Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10),

que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5?

______ ______ _______ ____1____

tem que ser o 5

Exercício 8• Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10),

que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5?

__?____ ______ _______ ____1____

Quantos são possíveis aqui?

Exercício 8• Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10),

que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5?

__3___ ______ _______ ____1____

Não pode ser o 5

Exercício 8• Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10),

que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5?

__3___ ___?___ ___?____ ____1____

Quantos são possíveis aqui?

Exercício 8• Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10),

que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5?

__3___ ___4___ ___4____ ____1____

Total de 48 modos!!!

Exercício 8• Quantos são os números naturais pares que se escrevem

(na base 10) com três algarismos?

_____?_____ _____?______ _____?_____

De quantos modos podemos escolher?

Exercício 8• Quantos são os números naturais pares que se escrevem

(na base 10) com três algarismos?

_____?_____ _____?______ _____5_____

Pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8

Exercício 8• Quantos são os números naturais pares que se escrevem

(na base 10) com três algarismos?

_____?_____ _____?______ _____5_____

De quantos modos podemos escolher?

Exercício 8• Quantos são os números naturais pares que se escrevem

(na base 10) com três algarismos?

_____?_____ _____?______ _____5_____

Depende!!!!

Exercício 8• Quantos são os números naturais pares que se escrevem

(na base 10) com três algarismos?

_____9_____ _____?______ _____0_____

O zero foi usado no ultimo!!!! _____8_____ _____?______ __2,4,6,8___

Não pode ser 0 nem o ultimo usado

Exercício 8• Quantos são os números naturais pares que se escrevem

(na base 10) com três algarismos?

• Caso 1) Termina com 0 _____9_____ _____8______ _____1_____

• Caso 2) Não termina com 0 _____8_____ _____8______ _____4_____

Exercício 8• Quantos são os números naturais pares que se escrevem

(na base 10) com três algarismos?

• Caso 1) Termina com 0 = 72 números _____9_____ _____8______ _____1_____

• Caso 2) Não termina com 0 = 256 números _____8_____ _____8______ _____4_____

Total = 72 + 256 = 328

Permutação e Combinação

• Permutação

• Combinação

• A ordem dos elementos é importante

• A ordem dos elementos não importa

?

Permutação e Combinação

• Permutação

• Combinação

• A ordem dos elementos é importante

• A ordem dos elementos não importa

Pergunta?• Quantas palavras de extensão 3 podem ser formadas

com 26 letras?

• Distintas:____26____ ____25____ ____24____

P(26,3) = 26! / (26-3)!

Pergunta?• Quantas palavras de extensão 3 podem ser formadas

com 26 letras?

• Distintas:____26____ ____25____ ____24____

P(26,3) = 26! / (26-3)!

• Repetidas:____?____ ____?____ ____?____

Pergunta?• Quantas palavras de extensão 3 podem ser formadas

com 26 letras?

• Distintas:____26____ ____25____ ____24____

P(26,3) = 26! / (26-3)!

• Repetidas:____26____ ____26____ ____26____

263

Permutações com Repetição• Quantas palavras de extensão 3 podem ser formadas

com 26 letras?

• Distintas: P(n,r) = n! / (n-r)!

• Repetidas:• O número de r-permutações de um conjunto com n

objetos, com repetição, é nr

Pergunta?• De quantas formas podemos escolher 3 cartas de um

baralho vermelho e azul, se a ordem não é relevante?

Pergunta?• De quantas formas podemos escolher 3 cartas de um

baralho vermelho e azul, se a ordem não é relevante?

Combinações com Repetição• Há C(n+r-1, r) = C(n+r-1, n-1) r-combinações de um

conjunto com n elementos, quando a repetição dos elementos é permitida.

Combinações com Repetição• Há C(n+r-1, r) = C(n+r-1, n-1) r-combinações de um

conjunto com n elementos, quando a repetição dos elementos é permitida.

• De quantas formas podemos escolher 3 cartas de um baralho vermelho e azul, se a ordem não é relevante?• O que é n? • O que é r?

Combinações com Repetição• Há C(n+r-1, r) = C(n+r-1, n-1) r-combinações de um

conjunto com n elementos, quando a repetição dos elementos é permitida.

• De quantas formas podemos escolher 3 cartas de um baralho vermelho e azul, se a ordem não é relevante?• n são as possíveis escolhas (2 cores)• r é o numero de cartas a serem escolhidas (3)

Combinações com Repetição• Há C(n+r-1, r) = C(n+r-1, n-1) r-combinações de um

conjunto com n elementos, quando a repetição dos elementos é permitida.

• C(2+3-1, 3) = C(4,3) = 4

Pergunta• Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro

pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da fruta, e o pedaço individual não é relevante também, sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de fruta na tigela?

Pergunta• Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro

pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da fruta, e o pedaço individual não é relevante também, sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de fruta na tigela?

COMBINAÇÃO

Pergunta• Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro

pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da fruta, e o pedaço individual não é relevante também, sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de fruta na tigela?

C(n+r-1,r) = C(?,?)

Pergunta• Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro

pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da fruta, e o pedaço individual não é relevante também, sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de fruta na tigela?

C(n+r-1,r) = C(3+4-1,4)

Pergunta• Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro

pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da fruta, e o pedaço individual não é relevante também, sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de fruta na tigela?

C(n+r-1,r) = C(3+4-1,4) == C(6,4) = 6x5 / 2 = 15

Pergunta

Exercício 10• Quantos são os anagramas de PRATICO?

Exercício 10• Quantos são os anagramas de PRATICO?

P(7,7) = 7!

Pergunta• Quantos são os anagramas de PRATICO?

P(7,7) = 7!

• Quantos são os anagramas de SUCCESS?

Pergunta• Quantos são os anagramas de PRATICO?

P(7,7) = 7!

• Quantos são os anagramas de SUCCESS?• Como algumas letras de SUCCESS são idênticas, não será

considerado o número de permutações de 7 letras.

3 S ´s2 C ´s1 U e 1 E

Permutações com objetos idênticos• Quantos são os anagramas de PRATICO?

P(7,7) = 7!

• Quantos são os anagramas de SUCCESS?• Como algumas letras de SUCCESS são idênticas, não será

considerado o número de permutações de 7 letras.

3 S ´s podem ser colocados em 7 posições C(7,3)2 C ´s1 U e 1 E

Permutações com objetos idênticos• Quantos são os anagramas de PRATICO?

P(7,7) = 7!

• Quantos são os anagramas de SUCCESS?• Como algumas letras de SUCCESS são idênticas, não será

considerado o número de permutações de 7 letras.

3 S ´s podem ser colocados em 7 posições C(7,3)2 C ´s podem ser colocados em 4 posições C(4,2)1 U C(2,1)1 E C(1,1)

Permutações com objetos idênticos• Quantos são os anagramas de PRATICO?

P(7,7) = 7!• Quantos são os anagramas de SUCCESS?

• Como algumas letras de SUCCESS são idênticas, não será considerado o número de permutações de 7 letras.

3 S ´s podem ser colocados em 7 posições C(7,3)2 C ´s podem ser colocados em 4 posições C(4,2)1 U C(2,1)1 E C(1,1)= C(7,3)xC(4,2)xC(2,1)xC(1,1) = 420

Permutações com objetos idênticos• Quantos são os anagramas de SUCCESS?

3 S ´s podem ser colocados em 7 posições C(7,3)2 C ´s podem ser colocados em 4 posições C(4,2)1 U C(2,1)1 E C(1,1)= C(7,3)xC(4,2)xC(2,1)xC(1,1) = 420= 7! / 3! x 2! x 1! x 1!

Teorema?!!

Permutações com objetos idênticos• Quantos são os anagramas de SUCCESS?

= C(7,3)xC(4,2)xC(2,1)xC(1,1) = 420= 7! / 3! x 2! x 1! x 1!

O número de permutações diferentes de n objetos, em que há n1 objetos idênticos do tipo 1, n2 objetos idênticos do tipo 2, ... E nk objetos idênticos do tipo k, é

n!n1! n2! ... nk!