Aula de hoje• Correção dos Exercícios• Permutações com Repetição• Combinações com Repetição• Permutações com Objetos Idênticos• Distribuição de Objetos em Caixas
Exercício 5• Para fazer uma viagem Rio - São Paulo – Rio, posso usar
como transporte o trem, o ônibus ou o avião. De quantos modos posso escolher os transportes se não desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na ida?
• Três meios de transporte
Exercício 5• Ida (Rio – São Paulo)
Posso ir de 3 formas diferentes• Volta (São Paulo - Rio)
Posso voltar somente de 2 formas diferentes
Exercício 5• Ida (Rio – São Paulo)
Posso ir de 3 formas diferentes• Volta (São Paulo - Rio)
Posso voltar somente de 2 formas diferentes
Logo: 3 x 2 = 6 modos de se fazer a viagem.
Exercício 6• Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem
ser coloridas usando se apenas as cores amarelo, branco e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira?
3 cores
Exercício 6• Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem
ser coloridas usando se apenas as cores amarelo, branco e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira?
3 cores
Possibilidades para pintar
3 cores???
Exercício 6• Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem
ser coloridas usando se apenas as cores amarelo, branco e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira?
3 cores
Possibilidades para pintar
3 cores2 cores2 cores2 cores
Exercício 6• Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem
ser coloridas usando se apenas as cores amarelo, branco e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira?
3 cores
Possibilidades para pintar
3 cores2 cores2 cores2 cores
Total = 24 cores
Exercício 7• Quantos números naturais de três algarismos distintos
(na base 10) existe?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 base 10
Exercício 7• Quantos números naturais de três algarismos distintos
(na base 10) existe?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 base 10
________ _________ __________
Exercício 7• Quantos números naturais de três algarismos distintos
(na base 10) existe?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 base 10
____9____ ____?_____ ____?______
Não pode ser o 0
Exercício 7• Quantos números naturais de três algarismos distintos
(na base 10) existe?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 base 10
____9____ ____9_____ ____?______
Deve ser distinto
Exercício 7• Quantos números naturais de três algarismos distintos
(na base 10) existe?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 base 10
____9____ ____9_____ ____8______
Deve ser distinto
Exercício 7• Quantos números naturais de três algarismos distintos
(na base 10) existe?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 base 10
____9____ ____9_____ ____8______
= 648
Exercício 8• Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10),
que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5?
______ ______ _______ ____?____
quantos são possíveis aqui?
Exercício 8• Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10),
que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5?
______ ______ _______ ____1____
tem que ser o 5
Exercício 8• Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10),
que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5?
__?____ ______ _______ ____1____
Quantos são possíveis aqui?
Exercício 8• Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10),
que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5?
__3___ ______ _______ ____1____
Não pode ser o 5
Exercício 8• Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10),
que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5?
__3___ ___?___ ___?____ ____1____
Quantos são possíveis aqui?
Exercício 8• Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10),
que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5?
__3___ ___4___ ___4____ ____1____
Total de 48 modos!!!
Exercício 8• Quantos são os números naturais pares que se escrevem
(na base 10) com três algarismos?
_____?_____ _____?______ _____?_____
De quantos modos podemos escolher?
Exercício 8• Quantos são os números naturais pares que se escrevem
(na base 10) com três algarismos?
_____?_____ _____?______ _____5_____
Pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8
Exercício 8• Quantos são os números naturais pares que se escrevem
(na base 10) com três algarismos?
_____?_____ _____?______ _____5_____
De quantos modos podemos escolher?
Exercício 8• Quantos são os números naturais pares que se escrevem
(na base 10) com três algarismos?
_____?_____ _____?______ _____5_____
Depende!!!!
Exercício 8• Quantos são os números naturais pares que se escrevem
(na base 10) com três algarismos?
_____9_____ _____?______ _____0_____
O zero foi usado no ultimo!!!! _____8_____ _____?______ __2,4,6,8___
Não pode ser 0 nem o ultimo usado
Exercício 8• Quantos são os números naturais pares que se escrevem
(na base 10) com três algarismos?
• Caso 1) Termina com 0 _____9_____ _____8______ _____1_____
• Caso 2) Não termina com 0 _____8_____ _____8______ _____4_____
Exercício 8• Quantos são os números naturais pares que se escrevem
(na base 10) com três algarismos?
• Caso 1) Termina com 0 = 72 números _____9_____ _____8______ _____1_____
• Caso 2) Não termina com 0 = 256 números _____8_____ _____8______ _____4_____
Total = 72 + 256 = 328
Permutação e Combinação
• Permutação
• Combinação
• A ordem dos elementos é importante
• A ordem dos elementos não importa
?
Permutação e Combinação
• Permutação
• Combinação
• A ordem dos elementos é importante
• A ordem dos elementos não importa
Pergunta?• Quantas palavras de extensão 3 podem ser formadas
com 26 letras?
• Distintas:____26____ ____25____ ____24____
P(26,3) = 26! / (26-3)!
Pergunta?• Quantas palavras de extensão 3 podem ser formadas
com 26 letras?
• Distintas:____26____ ____25____ ____24____
P(26,3) = 26! / (26-3)!
• Repetidas:____?____ ____?____ ____?____
Pergunta?• Quantas palavras de extensão 3 podem ser formadas
com 26 letras?
• Distintas:____26____ ____25____ ____24____
P(26,3) = 26! / (26-3)!
• Repetidas:____26____ ____26____ ____26____
263
Permutações com Repetição• Quantas palavras de extensão 3 podem ser formadas
com 26 letras?
• Distintas: P(n,r) = n! / (n-r)!
• Repetidas:• O número de r-permutações de um conjunto com n
objetos, com repetição, é nr
Pergunta?• De quantas formas podemos escolher 3 cartas de um
baralho vermelho e azul, se a ordem não é relevante?
Pergunta?• De quantas formas podemos escolher 3 cartas de um
baralho vermelho e azul, se a ordem não é relevante?
Combinações com Repetição• Há C(n+r-1, r) = C(n+r-1, n-1) r-combinações de um
conjunto com n elementos, quando a repetição dos elementos é permitida.
Combinações com Repetição• Há C(n+r-1, r) = C(n+r-1, n-1) r-combinações de um
conjunto com n elementos, quando a repetição dos elementos é permitida.
• De quantas formas podemos escolher 3 cartas de um baralho vermelho e azul, se a ordem não é relevante?• O que é n? • O que é r?
Combinações com Repetição• Há C(n+r-1, r) = C(n+r-1, n-1) r-combinações de um
conjunto com n elementos, quando a repetição dos elementos é permitida.
• De quantas formas podemos escolher 3 cartas de um baralho vermelho e azul, se a ordem não é relevante?• n são as possíveis escolhas (2 cores)• r é o numero de cartas a serem escolhidas (3)
Combinações com Repetição• Há C(n+r-1, r) = C(n+r-1, n-1) r-combinações de um
conjunto com n elementos, quando a repetição dos elementos é permitida.
• C(2+3-1, 3) = C(4,3) = 4
Pergunta• Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro
pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da fruta, e o pedaço individual não é relevante também, sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de fruta na tigela?
Pergunta• Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro
pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da fruta, e o pedaço individual não é relevante também, sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de fruta na tigela?
COMBINAÇÃO
Pergunta• Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro
pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da fruta, e o pedaço individual não é relevante também, sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de fruta na tigela?
C(n+r-1,r) = C(?,?)
Pergunta• Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro
pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da fruta, e o pedaço individual não é relevante também, sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de fruta na tigela?
C(n+r-1,r) = C(3+4-1,4)
Pergunta• Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro
pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da fruta, e o pedaço individual não é relevante também, sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de fruta na tigela?
C(n+r-1,r) = C(3+4-1,4) == C(6,4) = 6x5 / 2 = 15
Pergunta• Quantos são os anagramas de PRATICO?
P(7,7) = 7!
• Quantos são os anagramas de SUCCESS?• Como algumas letras de SUCCESS são idênticas, não será
considerado o número de permutações de 7 letras.
3 S ´s2 C ´s1 U e 1 E
Permutações com objetos idênticos• Quantos são os anagramas de PRATICO?
P(7,7) = 7!
• Quantos são os anagramas de SUCCESS?• Como algumas letras de SUCCESS são idênticas, não será
considerado o número de permutações de 7 letras.
3 S ´s podem ser colocados em 7 posições C(7,3)2 C ´s1 U e 1 E
Permutações com objetos idênticos• Quantos são os anagramas de PRATICO?
P(7,7) = 7!
• Quantos são os anagramas de SUCCESS?• Como algumas letras de SUCCESS são idênticas, não será
considerado o número de permutações de 7 letras.
3 S ´s podem ser colocados em 7 posições C(7,3)2 C ´s podem ser colocados em 4 posições C(4,2)1 U C(2,1)1 E C(1,1)
Permutações com objetos idênticos• Quantos são os anagramas de PRATICO?
P(7,7) = 7!• Quantos são os anagramas de SUCCESS?
• Como algumas letras de SUCCESS são idênticas, não será considerado o número de permutações de 7 letras.
3 S ´s podem ser colocados em 7 posições C(7,3)2 C ´s podem ser colocados em 4 posições C(4,2)1 U C(2,1)1 E C(1,1)= C(7,3)xC(4,2)xC(2,1)xC(1,1) = 420
Permutações com objetos idênticos• Quantos são os anagramas de SUCCESS?
3 S ´s podem ser colocados em 7 posições C(7,3)2 C ´s podem ser colocados em 4 posições C(4,2)1 U C(2,1)1 E C(1,1)= C(7,3)xC(4,2)xC(2,1)xC(1,1) = 420= 7! / 3! x 2! x 1! x 1!
Teorema?!!
Permutações com objetos idênticos• Quantos são os anagramas de SUCCESS?
= C(7,3)xC(4,2)xC(2,1)xC(1,1) = 420= 7! / 3! x 2! x 1! x 1!
O número de permutações diferentes de n objetos, em que há n1 objetos idênticos do tipo 1, n2 objetos idênticos do tipo 2, ... E nk objetos idênticos do tipo k, é
n!n1! n2! ... nk!