exercícios de permutações simples1

5/11/2018 Exercícios de permutações simples1 - slidepdf.com

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Exercícios de permutações simples

1. Com as vogais: A,E,I,O e U, quantas permutações podemser formadas contendo as letras: A,E e I.

2. De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos

em uma estante de biblioteca?

Auxílio: P(n)=n!, n=3

Resposta: N=1×2×3=6

3. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se emum banco de jardim com 5 lugares?


Resposta: N=1×2×3×4×5=120

4. Qual é o número possível de anagramas que se podemontar com as letras da palavra AMOR?


Resposta: N=1×2×3×4=245. Quantos números com cinco algarismos podemos construir

com os números ímpares 1,3,5,7,9.

Auxílio:

Resposta: P(5)=120.

6. Quantos números com cinco algarismos podemos construir

com os números ímpares 1,3,5,7,9, desde que estejamsempre juntos os algarismos 1 e 3.

Auxílio: Cada conjunto com os algarismos 13 e 31 forma umgrupo que junto com os outros, fornece 4 grupos.

Resposta: N=2×P(4)=2×24=48

7. Consideremos um conjunto com n letras. Quantas

permutações começam por uma determinada letra?



Resposta: N=P(n-1)=(n-1)!

8. Quantos são os anagramas possíveis com as letras:ABCDEFGHI?

Resposta: P(9)=9!

9. Quantos são os anagramas possíveis com as letras:

ABCDEFGHI, começando por A?

Resposta: P(8)=8!

10. Quantos são os anagramas possíveis com as letras:ABCDEFGHI, começando por AB?

Resposta: P(7)=7!

11. Quantos são os anagramas possíveis com as letras:ABCDEFGHI, começando por ABC?

Resposta: P(6)=6!

12. Quantos são os anagramas possíveis com as letras:

ABCDEFGHI, começando por uma das letras A, B ou C?Auxílio: Começando por uma das letras A,B,C: P(8)=8!

Resposta: N=3×P(8)=3×8!

13. Quantos são os anagramas possíveis com as letras:ABCDEFGHI, começando pelas três letras do grupo ABC?

Auxílio: Começando pelas letras do grupo ABC: P(3)=3!=6

Resposta: N=P(3)×P(6)=6×120=720

14. Quantos são os anagramas possíveis com as letras:ABCDEFGHI, começando por uma vogal e terminando poruma consoante?

Auxílio: 3 são as vogais e 6 são as consoantes.

Resposta: N=P(3)×P(6)=6×120=720 (???)



15. Há 10 pessoas em um local, sendo 3 com camisasverdes, 3 com camisas amarelas, 2 com camisas azuis e 2com camisas brancas. De quantos modos podemos perfilar

todas essas 10 pessoas de modo que os grupos com as

camisas de mesma cor fiquem juntos?Auxílio: Temos 4 grupos de camisas, logo P(4) posições

para as equipes e os grupos podem permutar as suasposições, respectivamente, P(3), P(3), P(2) e P(2).

Resposta: N=P(4)×P(3)×P(3)×P(2)×P(2)=3456

Exercícios de permutações com repetição

16. Quantos são os anagramas possíveis com as letras dapalavra: ARARA?

Auxílio: A letra A aparece 3 vezes e a letra R aparece 2vezes.

Resposta: Pr(5;3+2)=5!/(3!2!)=10

17. Quantos são os anagramas possíveis para a palavra:ULYSSES?

18. Quantos são os anagramas possíveis para a palavra:ULYSSES começando por U?

19. Quantos são os anagramas possíveis para a palavra:

ULYSSES terminando por S?20. Quantos são os anagramas possíveis para a palavra:

ULYSSES começando por U e terminando por S?21.

Qual é o número possível de anagramas que se pode

montar com as letras da palavra AMA?

Auxílio: p1=n(A)=2, p2=n(M)=1, N=Pr(3;2+1)

Pr(p;p1+p2)=(p1+p2)!/(p1!p2!)

Resposta:N=3!/(2!1!)=3

22. Qual é o número possível de anagramas que se pode

montar com as letras da palavra AMAR?



Auxílio: N=(p1+p2+p3)!/(p1!p2!p3!),A=2,M=1,R=1

Resposta: N=4!/(2!1!1!)=12

23. Qual é o número possível de anagramas que se podemontar com as letras da palavra ARARUNA?

Auxílio: N=(p1+p2+p3+p4)!/(p1!p2!p3!p4!), A=3, R=2, N=1, U=1

Resposta: N=7!/(3!2!1!1!)=420

24. O número Pi com 10 algarismos (sem considerar a

vírgula) é indicado por 3141592653. Quantas são aspermutações diferentes que podemos construir com estes

10 algarismos

Auxílio: n(1)=n(3)=n(5)=2, n(2)=n(4)=n(6)=n(9)=1

Resposta: Pr(10,2+1+2+1+2+1+1)=10!/8=453600

25. Quantos são os anagramas possíveis com as letras dapalavra: MATEMATICA?

Auxílio: A letra A aparece 3 vezes, a letra M aparece 2

vezes, a letra T aparece 2 vezes, a letras E aparece 1 vez ,a letra I aparece 1 vez e a letra C aparece 1 vez.

Resposta: Pr(10;3+2+2+1+1+1) = 10!/[3!2!2!1!1!1!] =151200

Exercícios de permutações circulares

26. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-

se em volta de uma mesa circular?

Auxílio: N=P(n-1)=(n-1)!, n=5

Resposta: N=1×2×3×4=24

27. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em volta de uma mesa retangular?

Auxílio: N=P(n-1)=(n-1)!, n=5




Exercícios de combinações simples

28. Um indivíduo possui 25 livros diferentes. De quantasformas distintas ele poderá empacotar tais livros em gruposde 6 livros?

29. Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montadoscom 8 pessoas?

Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!]; m=8,p=3

Resposta: C=8!/(3!5!)=(8×7×6)/(1×2×3)=56

30. Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados

com 1000 pessoas?

Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=1000, p=2

Resposta: C=1000!/(2!998!)=1000×999=999000

31. Quantas combinações com 4 elementos podem ser

montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto?Conceito: Combinação


Resposta: C=10!/(4!6!)=(10×9×8×7)/(1×2×3×4)=210

32. Quantas combinações com 4 elementos podem sermontadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal

forma que sempre comecem pela letra A?

Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=1, p1=1

Resposta: C=C(1,1).C(9,3)=(1×9×8×7)/6=84

33. Quantas combinações com 4 elementos podem sermontadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal

forma que sempre estejam juntas as letras A e B?




Resposta: C=C(2,2).C(8,2)=(1×8×7)/2=28


montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal

forma que não contenham nem as letras A e B?Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=0

Resposta: C=C(2,0).C(8,4)=(1×8×7×6×5)/24=70


montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de talforma que somente uma das letras A ou B esteja presente,mas não as duas?


Resposta: C=C(2,1).C(8,3)=(2×8×7×6)/6=112


montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de talforma que contêm 2 dentre as 3 letras A,B e C?

Auxílio: C=C(m1,p

1).C(m-m

1,p-p

1), m=10, p=4, m

1=3, p

1=2

Resposta: C=C(3,2).C(7,2)=(3×7×6)/2=63

37. Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22

homens. Quantas comissões podem ser montadas nestasala contendo 3 mulheres e 5 homens?

38. Calcular o valor de m tal que 5 C(m+1,3)=2 C(m+2,2).39.

Quantos triângulos podem ser traçados contendo

pontos de duas retas paralelas, sabendo-se que em umareta existem 6 pontos e na outra reta existem 5 pontos?40. Quantos quadriláteros convexos podem ser traçados

contendo pontos de duas retas paralelas, sabendo-se queem uma reta existem 6 pontos e na outra reta existem 5pontos?

41. Em uma classe com 16 pessoas, há 10 homens e 6

mulheres. Consideremos H um certo homem e M uma certamulher. Quantos grupos podemos formar:

a. com 4 homens e 2 mulheres?b. contendo H mas não M?



c. contendo M mas não H?d. contendo H e M?e. contendo somente H ou somente M?

42. Quantos números diferentes maiores do que 100 emenores do que 1000 podem ser construídos com osalgarismos 1,2,3,4,5 e 6, sendo:

a. que cada algarismo aparece somente uma vez?b. que cada algarismo pode repetir até 3 vezes?c. os números pares sem repetição?d. os números ímpares sem repetição?e. os números pares com repetição?

f. os números ímpares com repetição?43. Para resolver um assunto entre 6 professores e 4alunos, devemos formar comissões com 3 professores e 2alunos. Quantas são as possibilidades?

Resposta: N=C(6,3)×C(4,2)=30×6=180

44. Desejamos formar comissões de 6 pessoas entrecinco pais de alunos e quatro professores. Quantas

comissões terão somente 1 professor?45. Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre

cinco pais de alunos e quatro professores. Quantascomissões terão somente 2 professores?

46. Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre

cinco pais de alunos e quatro professores. Quantascomissões terão no mínimo 2 professores?

47. Desejamos formar comissões de 6 pessoas entrecinco pais de alunos e quatro professores. Quantas

comissões terão no mínimo 3 professores?48. Num plano existem 4 pontos, sendo que 3 deles sãonão colineares. Qual é o número possível de retas quepassam por esses pontos?

Resposta: C(4,2)=6

49. Num plano colocamos n pontos, sendo que 3 deles

são não colineares. Qual é o número possível de retas que

passam por esses pontos?



Resposta: C(n,2)=n(n-1)/2

50. Quatro pontos são postos num plano, sendo que 3

deles são não colineares. Qual é o número possível de

triângulos construídos com esses pontos?Auxílio: C(3,2)=3 triângulos para cada ponto.

51. Qual é o número de diagonais de um polígono regularde n lados?

Resposta: N=C(n,2)-n=n(n-1)/2-n=n(n-3)/2

52. Qual é o número de diagonais de um cubo?

53. Qual é o número de diagonais de um prisma regularcuja base tem 5 lados?

54. Qual é o número de diagonais de um prisma regularcuja base tem 6 lados?

55. Qual é o número de diagonais de um prisma regularcuja base tem n lados?

56. Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, construir o conjunto quecontém todas as combinações tomadas 2 a 2.

57. Com as letras: A,B,C,D,E,F,G e H, determinar onúmero das permutações possíveis que começam por ABC.

Resposta: N=P(5)=120.

58. Quantas digonais possui um dodecágono?

Resposta: N=12×9/2=54

59. Quantas digonais possui o tetraedro regular?

Resposta: N=0

60. Quantas digonais possui um prisma triangular regular?

Resposta: N=0

Exercícios de combinações com repetição

61. Determinar o número de combinações com 4elementos tomados com repetição de 7 livros.



Auxílio: Cr=Cr(m,p)=C(m+p-1,p), m=7, p=4

Resposta: Cr=Cr(7,4)=C(7+4-1,4)=C(10,4)=210

62. Determinar o número de combinações com repetiçãode 4 objetos tomados 2 a 2.

Auxílio: Cr=Cr(m,p)=C(m+p-1,p), m=4, p=2

Resposta: Cr=Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=10

Exercícios de arranjos simples

63. Quantos números diferentes com 1 algarismo,podemos formar com os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.

Resposta: N1=A(9,1)=9

64. Quantos números distintos com 2 algarismosdiferentes, podemos formar com os dígitos:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 2 dígitos e

sua quantidade corresponde a A(9,1).

Resposta: N2=A(10,2)-A(9,1)=10×9-9=90-9=81

65. Quantos números distintos com 3 algarismosdiferentes, podemos formar com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8e 9.



Resposta: N3=A(10,3)-A(9,2)=720-720=648

66. Quantos números distintos com 4 algarismosdiferentes, podemos formar com: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.



Resposta: N4=A(10,4)-A(9,3)=5040-504=4536



67. Quantos números distintos menores que 10000 podemser formados com algarismos diferentes da coleção:{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Resposta: N=N1+N

2+N

3+N

4=9+81+648+4536=5274

68. No sistema decimal de numeração, quantos números

existem com 4 algarismos com 2 algarismos repetidos?

Auxílio: A quantidade de números distintos com 4algarismos é 4536 e a quantidade total de números (com

repetição ou não) com 4 algarismos é 9000.

Resposta: N=9000-4536=4464

69. Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, obter o conjunto solução

que contém todos os arranjos tomados 2 a 2.70. Usando-se apenas os algarismos 1,3,5,7,9 quantos

números com 3 algarismos podem ser montados?

Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=5, p=3

Resposta: A=5!/2!=60

71. Usando-se os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 quantosnúmeros com 4 algarismos podem ser montados?


Resposta: A=10!/6!=5040

72. Usando-se as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Zquantos arranjos distintos com 3 letras podem sermontados?


Resposta: A=26!/23!=26.25.24=15600

73. Com as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z e osalgarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, quantas placas de carrospodem ser escritas contendo 3 letras seguidas de 4

algarismos?



Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=26, p=3, n=10, q=4

Resposta: A=(26!/23!).(10!/6!)=78624000

74. Consideremos um baralho contendo 52 cartasdistintas.a. Quantos pares distintos podem ser formados?b. Quantas trincas distintas podem ser formados?c. Quantas quadras distintas podem ser formados?d. Quantos pares distintos podem ser formados tendo

pelo menos um "Ás"?e. Quantos pares distintas podem ser formados tendo

pelo menos um "Ás" e um "Rei"?f. Quantas trincas distintas podem ser formados tendopelo menos um "Ás"?

g. Quantas trincas distintas podem ser formados tendopelo menos um "Ás" e um "Rei"?

Exercícios de arranjos com repetição

75. Quantos números com 4 algarismos podemos formar

com os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.

Resposta: Ar(10,4)=104=10000

76. Quantas palavras com 3 letras podemos formar comas 26 letras de nosso alfabeto?

Resposta: Ar(26,3)=263=17576

77. Quantas placas são possíveis em nosso sistema detrânsito, se em todas devem aparecer 3 letras seguidas por4 números?

Resposta: N=Ar(26,3).Ar(10,4)=175760000

78. No sistema decimal de numeração, quantos númerosexistem com 1 algarismo?

Resposta: N1=Ar(10,1)-Ar(10,0)=10-1=9



79. No sistema decimal de numeração, quantos númerosexistem com 2 algarismos (repetidos ou não)?

Auxílio: São 10=Ar(10,1) os números com 2 dígitos iniciados

por 0.Resposta: N2=Ar(10,2)-Ar(10,1)=102-101=100-10=90


Auxílio: Existem 100=Ar(10,2) números com 3 dígitosiniciados por 0.

Resposta: N3=Ar(10,3)- Ar(10,2)=103-10

2=900


Auxílio: São 100=Ar(10,3) os números com 4 dígitosiniciados por 0.

Resposta: N4=Ar(10,4)-Ar(10,3)=104-103=9000

82. No sistema decimal de numeração, quantos númerosexistem com n algarismos (repetidos ou não)?

Auxílio: São Ar(10,n-1) os números com n-1 dígitos iniciadospor 0.

Resposta: N4=Ar(10,n)-Ar(10,n-1)=10n-10n-1=9×10n-1

83. Num sistema de numeração com a base tendo balgarismos, quantos números existem com n algarismos(repetidos ou não)?

Auxílio: São Ar(b,n-1) os números com n-1 dígitos iniciadospor 0.

Resposta: N4=Ar(b,n)-Ar(b,n-1)=bn-bn-1=(b-1)×bn-1

84. No sistema decimal de numeração, existem quantos

números pares com 4 algarismos (repetidos ou não)?



85. No sistema decimal de numeração, existem quantosnúmeros ímpares com 4 algarismos (repetidos ou não)?

86. No sistema decimal de numeração, existem quantos

números pares diferentes com 4 algarismos?

87. No sistema decimal de numeração, existem quantosnúmeros ímpares diferentes com 4 algarismos?

Resposta: N=5.A(8,3)=1.680

88. No sistema decimal de numeração, existem quantosnúmeros pares com 4 algarismos (repetidos ou não)?

89.

No sistema decimal de numeração, existem quantosnúmeros pares com 4 algarismos (repetidos ou não)?

90. Quantos números menores do que 10.000, podem serformados com os algarismos 1,2,3 e 4?

Auxílio: N=Ar(4,1)+Ar(4,2)+Ar(4,3)+Ar(4,4)

Resposta: N= 41+42+43+44= 4+16+64+256=340

91. Quantos números de 3 dígitos podem ser formadoscom 5 algarismos?

Auxílio:Fórmula Ar(m,p)=mp, m=5, p=3

Resposta: Ar=53=125

Exercícios de arranjos condicionais

92. Quantos arranjos dos elementos A,B,C,D,E,F,G

tomados 4 a 4, começam com duas letras dentre A,B e C?

Auxílio: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)

m=7, p=4, m1=3, p1=2

Resposta: N=A(3,2).A(4,2)=3!/1! . 4!/2!=72

93. Com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, tomados 6 a 6,

quantos números podem ser formados tendo nas duasposições iniciais algarismos que são números ímpares?

Auxílio: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1), m=10, p=6, m1=5, p1=2



Resposta: N=A(5,2).A(5,4)=5!/3! . 5!/1!=2400

94. Dentre os arranjos de 5 letras: A,B,C,D,E, tomados 3 a

3, quantos contêm a letra E?

Auxílio: N=(p-p1+1).A(m1,p1).A(m-m1,p-p1), m=5, p=3, m1=1,p1=1

Resposta: N=(3-1+1).A(1,1).A(4,2)=36

95. Dentre os arranjos de 5 letras: A,B,C,D,E, tomados 3 a

3, quantos contêm juntas as duas letras A e B?

Auxílio: N=(p-p1+1).A(m1,p1).A(m-m1,p-p1), m=5, p=3, m1=2,

p1=2

Resposta: N=(4-2+1).A(2,2).A(3,1)=18

96. Dentre os arranjos de 6 letras: A,B,C,D,E,F, tomados 4a 4, quantos contêm a letra A?


Resposta: N=(4-1+1).A(1,1).A(5,3)=240

97. Dentre os arranjos de 6 letras: A,B,C,D,E,F, tomados 4a 4, quantos contêm juntas 2 das 3 letras A,B e C?


Resposta: N=(4-2+1).A(3,2).A(3,2)=108

98. Dentre os arranjos de 4 letras: A,B,C,D, tomados 3 a3, quantos contêm a letra A?


Resposta: N=(3-1+1).A(1,1).A(3,2)=18

99. Dentre os arranjos de 4 letras: A,B,C e D, tomados 3 a3, quantos começam pelas letras A e B?



Auxílio: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1), m=4, p=3, m1=2, p1=2

Resposta: N=A(2,2).A(2,1)=4

100. Dentre os arranjos de 4 letras: A,B,C e D, tomados 3 a3, quantos contêm juntos as letras A e B?


Resposta: N=(3-2+1).A(2,2).A(2,1)=8

Exercícios com o fatorial

101. Se C(n,2)=28, qual é o valor de n?

Resposta: n=8.

102. Existe um número n natural tal que C(n,3)=C(n,2)?103. Usando o desenvolvimento binomial de (1+1)n,

demonstrar que:

C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)=2n

104. Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para

demonstrar que:

(p+1)·C(n,p+1)=(n-p)·C(n,p).

105. Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), parademonstrar que:

n·C(n-1,p)=(n-p)·C(n,p).

106. Se A(n,2)=42, qual é o valor de n?

Resposta: n=7.

107. Justificar a afirmação: "Se n é um número primo ep<n, então n é um divisor de C(n,p)."

108.

Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), parademonstrar que:



2·4·6·8·10·...2n=(2n)n!


1·3·5·7·9· ... (2n-1)=(2n)!/[2n·n!]


2·6·10·14·18·22. ... .(4n-2)=(2n)!/n!

111. Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para

demonstrar que:A(n,k)=A(n,p)/A(n-k,p-k) se k<p.


Pr(n;k+(n-k))=C(n,k) se k<n.


1·(1!)+2·(2!)+3·(3!)+...+n·(n!)=(n+1)!-1.

114. Demonstrar que para todo k natural

1/k! - 1/(k+1)! =k/(k+1)!, .

115. Demonstrar que1/2!+2/3!+3/4!+...+n/(n+1)!=1/(n+1)!

Auxílio: Como esta é uma série telescópica, segue quecada termo pode ser escrito como a diferença de doisoutros que se anulam em sequência, assim basta usar o

fato que para todo k<n, vale a relação:

k/(k+1)!=1/k! - 1/(k+1)!



116. Demonstrar que

A(n,p) = p [A(n-1,p-1)+A(n-2,p-1)+...+A(p-1,p-1)]

Exercícios com a regra do produto

117. Numa festa, três meninos devem ser apresentados a 5

meninas. De quantas maneiras possíveis eles podem serapresentados?

Auxílio: N=p×q, p=3, q=5

Resposta: N=3×5=15

118. Existem quatro estradas ligando duas cidades A e B, e

três estradas ligando as cidades B e C. De quantos modosdiferentes uma pessoa pode se deslocar da cidade A até acidade C?


Resposta: N=4×3=12

119. Uma sala possui 3 portas. Quantas possibilidadesexistem para que uma pessoa possa entrar e sair destasala?


Resposta: N=3×3=9



Análise Combinatória Newton de Góes Horta Análise Combinatória, Matemática Matemática, Técnico 79 Comentários

Em nosso cotidiano é muito comum nos depararmos com situações que envolvam problemasde contagem. Desde as mais simples, em que se é possível determinar através, por exemplo,

de um diagrama de árvore, a quantidade de maneiras em que dois ou mais eventoscorrelacionados podem ocorrer, como com situações em que é necessário se utilizar demétodos especiais de contagem.

Um exemplo simples consiste em determinar quantos anagramas podem ser formados com ouso das quatro letras da palavra BLOG. Mesmo que você ainda não conheça a teoria daAnálise Combinatória, é perfeitamente possível chegar ao resultado através da listagemexaustiva das possibilidades ou do uso de um diagrama. Veja abaixo uma das formas de sedemonstrar que existem 6 possibilidades de anagramas iniciados com a letra B (BLOG, BLGO,BOLG, BOGL, BGOL e BGLO).

O uso do mesmo raciocínio para as demais letras (L, O e G) nos permite concluir que o númerode possibilidades é igual a 24 (4 x 6). Adiante, veremos que a solução é bastante simples, nãohavendo necessidade de montar um diagrama como o acima, a menos que se queira saberquais são os anagramas, para estabelecer com precisão o resultado.

Mesmo esse caso exige um pouco de trabalho e interpretação para se obter o valor. Agoraimagine se você necessitasse determinar a sua chance de ganhar na Mega Sena ou saberquantas placas de carros podem ser construídas com o uso de três letras e quatro algarismos?

É óbvio que o método utilizado acima seria totalmente impraticável para solucionar essasquestões. São situações desse tipo, em que se exige a organização e a contagem de grupos,que serão o objeto deste artigo.

Princípio Fundamental da Contagem

O princípio fundamental da contagem estabelece de quantas maneiras dois ou mais eventos

correlacionados podem ocorrer.

Assim, se um evento A pode ocorrer de m maneiras diferentes, representadas por a1, a2, …,

am, e, se para cada uma dessas m maneiras um segundo evento B, pode ocorrerde n maneiras diferentes, representadas por b1, b2, …, bn, então o número de maneiras queesses eventos podem ocorrer, um seguido do outro, é igual a mn.Para demonstrar o princípio é suficiente observar que para cada ocorrência a i, i = 1, 2, …., m

do evento A existem n maneiras de ocorrer o evento B, ou seja, para cada ocorrência ai de Aexistem n maneiras em que esses eventos podem ocorrer um seguido do outro.Simbolicamente temos que

(ai, b1), (ai, b2), …., (ai, bn)

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onde cada par ordenado representa a ocorrência simultânea dos dois eventos (n vezes) paracada maneira ai de A. Como i varia de 1 a m, teremos n + n + …. + n (m vezes), que é igualamn.

Acima consideramos, apenas, a ocorrência de dois eventos distintos. E se fossem iguais, ondeuma maneira não pudesse ocorrer, com ela mesma, simultaneamente? E se

ocorressem reventos (r > 2), com maneiras n1, n2, …, nr, respectivamente?A resposta à primeira pergunta seria m(m – 1), uma vez que m = n e a ocorrência simultâneados dois eventos é m – 1, para cada maneira ai, pois, por hipótese, não pode haver repetiçõesdo tipo (ai, ai).Para a segunda, a resposta é n1.n2. … .nr e a demonstração pode ser feita pelo princípio daindução finita sobre r, ou seja, provar que é válida para r = 2 (feito acima), supor que éverdadeira para r = p e demonstrar que é verdadeira para r = p + 1 (fica como exercício).Exemplo 1: Com base no princípio apresentamos, a seguir, outro método para se determinar onúmero de anagramas formados com a palavra BLOG.Solução:

Há quatro (4) maneiras para a escolha da primeira letra; Para cada escolha da primeira letra, há três (3) possibilidades para a escolha da segunda;

Para cada escolha do primeiro par de letras, há duas (2) possibilidades para a escolha daterceira;

E, finalmente, para cada escolha das primeiras três letras, há somente uma (1)possibilidade para a escolha da quarta.

Portanto, podemos concluir, pelo princípio fundamental da contagem, que o número deanagramas é igual a 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Exemplo 2: Determinar o número de placas de carros que podem ser construídas com o usode três letras e quatro algarismos.Solução:Para resolver o problema, primeiro vamos determinar quantas possibilidades existem paracombinar as três letras. Como sabemos que o alfabeto possui 26 letras e é permitida arepetição há 26 maneiras para a escolha da primeira letra, 26 para a segunda e 26 para aterceira. Portanto, existem, pelo princípio fundamental da contagem: 26 x 26 x 26 = 17.576

combinações possíveis.

De forma análoga pode-se afirmar que existem 10.000 combinações possíveis que podem ser

estabelecidas com os quatro algarismos. Como a cada escolha de três letras se constroem10.000 placas, vem que o total de placas é:10.000 x 17.576 = 175.760.000

A título de curiosidade: Segundo o DENATRAN – Departamento Nacional de Trânsito, doMinistério das Cidades, existiam em 2003, 36.658.501 veículos automotores em todo Brasil,cuja distribuição por região era de 1.184.259 na Norte, 4.448.287 na Nordeste, 20.083.423 naSudeste, 7.928.580 na Sul e 3.013.952 na Centro-Oeste. E que em 1990 o total era de18.267.245, mostrando que foram necessários 13 anos para dobrar a frota nacional. Como sevê tem placa para aproximadamente uns 30 anos, na hipótese de que ocorra a mesmaevolução mencionada e sem considerar a reutilização.



Exemplo 3: Quantos números ímpares de quatro algarismos podemos escrever utilizando osalgarismos 1, 2, 4, 5 e 7?Solução:

Note que não é condição do problema que os números sejam distintos, mas sómente quesejam ímpares. Desses fatos podemos afirmar que:

Há três possibilidades de escolha para o algarismo das unidades – algarismos 1, 5 e 7;

Há cinco possibilidades de escolha para o algarismo das demais casas decimais (milhar,centena e dezena);

para concluir que o total de números ímpares é:5 x 5 x 5 x 3 = 375

A partir das informações e exemplos pode-se concluir que o princípio fundamental dacontagem se constitui em um instrumento básico para a Análise Combinatória. Entretanto, emalgumas situações pode se tornar trabalhosa a resolução de problemas com sua aplicaçãodireta. Assim, vamos, a seguir, detalhar as várias maneiras de formarmos agrupamentos ededuzir as fórmulas que permitam a sua contagem.

Permutações Simples ou Sem Repetição

Dado o conjunto A = {a1, a2, …, an} com n elementos distintos, chamamos permutaçãodos nelementos de A qualquer sequência formada por esses n elementos.Por exemplo, se A = {1, 2, 3, 4}, as sequências (1, 2, 3, 4), (1, 3, 2, 4), (1, 4, 2, 3), etc. sãopermutações dos quatro elementos de A. Do mesmo modo, também são, os anagramasformados pela palavra BLOG, onde cada um dos 24 anagramas é uma permutação das letras(elementos) B, L, O e G.

Fórmula do Número de Permutações

Seja A = {a1, a2, …, an} um conjunto com n elementos distintos e Pn o número de permutaçõesdos n elementos de A. Então Pn é dado por:

Pn = n.(n – 1).(n – 2). … . 3.2.1 Demonstração:Basta analisar quantas possibilidades de escolha existem para o primeiro, segundo, …, e n-ésimo termo das sequências, sem repetição dos elementos. Assim, para o primeirohá npossibilidades de escolha, para o segundo (n – 1), para o terceiro (n – 2), …, e para o n-ésimo 1. Logo, pelo princípio fundamental da contagem podemos concluir que o número de

permutações de n elementos distintos é dado pela fórmula acima.Exemplo 4: Com relação a palavra VICHE:1. Quantos anagramas existem?

2. Quantos anagramas começam por V?

3. Quantos anagramas começam por V e terminam com E?

4. Quantos anagramas começam por vogal?

5. Quantos anagramas têm as vogais juntas?

Solução:1. Cada anagrama é uma permutação das letras V, I, C, H e E. Logo o número procurado é

P5= 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.



2. Como V é fixo, temos que somente permutar as letras I, C, H e E. Logo o númeroprocurado é P4 = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

3. Neste caso temos que permutar as letras I, C e H. Logo o número procurado é P3 = 3 x 2 x1 = 6.

4. Na palavra VICHE temos as vogais I e E. Assim, para cada uma delas fixas (início dos

anagramas) temos P4 = 24 permutações (veja item b). Logo o número procurado é 2 x 24 =48.5. Como as vogais têm que estar juntas elas funcionam como se fosse uma única, que deve

ser permutada com as letras V, C e H. Daqui vem que existem P4 = 24 permutações. Noentanto, as vogais em cada uma dessas permutações podem se permutar entre si. Logo onúmero procurado é 2 x 24 = 48.

Fatorial

Seja n um número inteiro não negativo, definimos fatorial de n, e indicamos por n!, através daseguinte relação:

n! = n.(n – 1).(n-2). … .3.2.1 para n maior ou igual 21! = 1 e 0! = 1

Com a definição acima podemos escrever, de forma simplificada, a fórmula do número depermutações como:

Pn = n! (n pertencente a N*)O cálculo do fatorial de n, isoladamente, se torna extremamente trabalhoso, à medidaque ncresce. Porém, em determinadas situações muitos cálculos podem ser simplificados seutilizamos a seguinte igualdade, de fácil comprovação:

(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1).(n – 2). … .3.2.1 = (n + 1).n!

Por exemplo, para calcular 11!/9!, ao invés de calcularmos 11! e depois 9! e daí obter oresultado da divisão, com a utilização da igualdade acima o processo se torna muito simples,uma vez que: 11!/9! = 11.10.9!/9! = 11.10 = 110

Permutações com Repetição

Até o momento tratamos apenas de casos em que os cálculos de permutações ocorriam entreum determinado número de elementos distintos. Como fazer, então, para calcular o número deanagramas formados com as letras da palavra MARIA (nome de minha saudosa e muito

querida mãe), onde temos duas letras A?O natural seria esperar que o número de anagramas fosse P5 = 5! = 120. Note, no entanto, quea troca das duas letras iguais (A) em cada anagrama não resulta em um novo. E como a letra Aocupa duas posições a cada permutação (P2 = 2! = 2), temos que cada anagrama gera doisanagramas iguais, ou seja, cada anagrama é computado duas vezes no cálculo de P5. Logo, onúmero de anagramas formados com as letras de MARIA é igual a:

P5(2) = P5 /P2 = 5!/2! = 120/2 = 60

onde, em P5(2), o 5 indica o total de letras e o (2) mostra que uma letra se repete duas vezes.

E com a palavra ODORIDES (segundo nome de solteira de Mamãe, que ela abominava, comrazão, e retirou quando se casou) quantos anagramas podem ser formados com suas letras?Por raciocínio análogo, teríamos P8 = 8! = 40.320 anagramas se não houvesse repetições.

Como temos duas letras repetidas O e D, temos P2.P2 = 4 anagramas iguais para cadaanagrama computado em P8. Logo o número de anagramas é:



P8(2,2) = P8 /P2.P2 = 8!/2!.2! = 40.320/4 = 10.080

De forma análoga podemos definir a fórmula geral para o cálculo das permutações comrepetição (a demonstração não é feita) como sendo:

onde temos n elementos, em que um deles se repete n1 vezes, outro n2 vezes, …, e outro

nrvezes.Exemplo 5: Quantos anagramas existem com as letras da palavra BLOGOBORGES. Solução:Aplicação direta da fórmula, com n = 11, n1 = 2 (letra B), n2 = 3 (letra O) e n3 = 2 (letra G):

Arranjos com Repetição

Seja A = {a1, a2, …, an} um conjunto com n elementos. Chamamos arranjo com repetiçãodos nelementos p a p a toda sequência formada com p elementos de A não necessariamente

distintos.

Fórmula do Número de Arranjos com Repetição

Seja A = {a1, a2, …, an} um conjunto com n elementos, então o número de arranjos comrepetição dos n elementos tomados p a p (p pertencente a N*) é:

(AR)n,p = n.n. … .n (p fatores iguais a n) => (AR)n,p = np

Demonstração:A demonstração é consequência do princípio fundamental da contagem e da definição dearranjos com repetição. Da definição segue que cada arranjo é formado por p elementos de Anão necessariamente distintos. Desse fato, temos que para cada posição da sequênciaexistemn possibilidades de escolha e a demonstração é concluída pelo princípio, uma vez queteremos o produto de p fatores iguais a n.

Arranjos Simples ou Sem Repetição ou Arranjos

Seja A = {a1, a2, …, an} um conjunto com n elementos. Chamamos arranjo simples (ou arranjo)

dos n elementos p a p, com p maior ou igual a 1 e menor ou igual a n, a qualquer sequênciaformada com p elementos de A todos distintos.

Fórmula do Número de Arranjos

Seja A = {a1, a2, …, an} um conjunto com n elementos distintos, então o número de arranjosdos n elementos tomados p a p (p pertencente a N*) é:

An,p = n.(n – 1).(n – 2). … .[n - (p - 1)]Demonstração:Para demonstrar a fórmula é suficiente determinar quantas sequências, com p elementosdistintos de A, é possível formar. Para tanto, bastará determinar os números de possibilidades

de escolha para cada um dos elementos da sequência e depois multiplicá-los. Para o primeirotemos n possibilidades de escolha, para o segundo (n – 1), …, e para o p-ésimo n – (p – 1).

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Daqui, aplicando o princípio fundamental da contagem obtemos a fórmula do número dearranjos.

Note, a fórmula do número de arranjos diz que para calcular An,p basta você fazer o produto donúmero n por seus sucessivos antecessores até completar p fatores.

Exemplo 6: Calcular A6,3.Pelo dito acima vem: A6,3 = 6 x 5 x 4 = 120.A fórmula do número de arranjos pode ser simplificada utilizando-se a notação fatorial:

Dessa última fórmula podemos concluir facilmente que se n = p, Pn = An,n = n!. Lembre-se dadefinição de fatorial que 0! = 1.Exemplo 7: Calcular, agora, A6,3 utilizando a fórmula simplificada.

A6,3 = 6!/(6 – 3)! = 6x5x4x3!/3! = 120

Combinações

Seja A = {a1, a2, …, an} um conjunto com n elementos distintos. Chamamos de combinaçõesdos n elementos, tomados p a p, aos subconjuntos de A constituídos de p elementos, quedenotamos por Cn,p.Veja que na difinição de combinações os agrupamentos formados são conjuntos,

diferentemente dos arranjos, onde temos sequências. Portanto, nas combinações a ordem nãoimporta, uma vez que em se tratando de conjuntos {a, b} = {b, a}, o que já não é o caso dosarranjos onde a sequência (a, b) é diferente de (b, a). Na resolução de problemas o fato édeterminante para estabelecer o procedimento de cálculo a se adotar.

Cálculo do Número de Combinações

Seja A = {a1, a2, …, an} um conjunto com n elementos distintos. Então o número decombinações dos n elementos de A, tomados p a p é:

onde é apresentada outra notação utilizada para o número de combinações, no final dasigualdades.

Demonstração:Vimos como calcular o número de arranjos e a diferença entre arranjos e combinações. Assim,efetuado o cálculo do número de arranjos dos n elementos p a p, é suficiente eliminarmos onúmero de repetições existentes (determinados pela ordem de cada agrupamentode pelementos de A) para obtermos o número de combinações.Em outras palavras, como em qualquer subconjunto de p elementos de A é

gerado p! repetições correspondente às permutações desses p elementos, basta, portanto,dividir o número de arranjos por p!, ou seja:



Cn,p = An,p /p!Substituindo An,p na igualdade acima obtemos a fórmula do número de combinações.Para finalizar o artigo seguem mais alguns exemplos de problemas com as respectivassoluções.

Exemplo 8: De uma lista de 10 ministeriáveis, todos com capacidade administrativacomprovada e honestidade ilibada, indicados pela base aliada, o Presidente da Repúblicaprecisa escolher o Ministro da Educação, o Ministro da Cultura e o Ministro dos Esportes. Dequantas maneiras diferentes podem ser feitas as escolhas?Solução:Primeiro observe que escolhidos três ministeriáveis da lista eles podem ser designados paraocupar os cargos de maneiras diferentes. Assim, cada agrupamento escolhido é regido poruma relação de ordem. Ou seja, cada agrupamento possível é um arranjo de dezministeriáveis, tomados três a três. Logo:

A10,3 = 10 x 9 x 8 = 720Exemplo 9: Quais são as chances de um apostador acertar a sena, a quina ou a quadra comuma aposta simples de seis números da Mega Sena.Solução:Os cálculos dessas probabilidades são feitos utilizando-se de:P(i) = casos prováveis/casospossíveis

Calculemos, primeiro, os casos possíveis. Como a ordem não importa, estamos diante de umcaso clássico de combinações. Portanto, como na Mega Sena existem 60 números vem que:

Como para acertar a sena existe uma única possibilidade (C6,6= 1):P(sena) = 1/50.063.860

ou seja, sua chance é de 1 em 50.063.860.

No caso da quina os casos prováveis é dado por: C6,5.C54,1 = 6 x 54 = 324

onde C6,5 é o número de combinações entre os 6 de uma aposta premiada da quina (5

números de uma aposta) e C54,1 corresponde ao número de possibilidades para se jogar osexto (para completar a aposta). Portanto, P(quina) = 324/50.063.860 = 1/154.518e sua chance é de 1 em 154.518.

Por raciocínio semelhante ao usado para a quina, os casos prováveis de acertar a quadra édeterminado por: C6,4.C54,2 = 15 x 1431 = 21465

e, portanto: P(quadra) = 21465/50.063.860 = 1/2332

e sua chance é de 1 em 2332.



Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita aconstrução de grupos diferentes formados por um número finito de elementosde um conjunto sob certas circunstâncias.

Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os

grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxado agrupamento, com p<m.

Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais deagrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição oucirculares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.

Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar,

combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que àsvezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!

Arranjos

São agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que os pelementos sejam distintos entre sí pela ordem ou pela espécie. Os arranjospodem ser simples ou com repetição.

Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo

de p elementos.

Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!

Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.

Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4

elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição dequalquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos osagrupamentos estão no conjunto:

As={AB,AC,AD,BA,BC ,BD ,CA,CB,CD,DA,DB,DC}

Permutações

Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os melementos sejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem sersimples, com repetição ou circulares.

Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos.

Fórmula: Ps(m) = m!.

Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.

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Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos

são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento emcada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentosestão no conjunto:

Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto

C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguaisa x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.

Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então

Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)

Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas

letras da palavra original trocadas de posição.

Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo:

Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.

Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra

ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C={A,R,T}em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição detodos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os

agrupamentos estão no conjunto:

Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,

AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}

Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m

elementos distintos formando uma circunferência de círculo.

Fórmula: Pc(m)=(m-1)!

Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6

Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos

distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode serretangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?

Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4pessoas, teriamos 24 grupos, apresentados no conjunto:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,

BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,

CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}



Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:

ABCD=BCDA=CDAB=DABC ABDC=BDCA=DCAB=CABD ACBD=CBDA=BDAC=DACB

ACDB=CDBA=DBAC=BACD ADBC=DBCA=BCAD=CADB ADCB=DCBA=CBAD=BADC

Existem somente 6 grupos distintos, dados por:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}

Combinações

Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os pelementos sejam distintos entre sí apenas pela espécie.

Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada

grupo de p elementos.

Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]

Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4

elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição dequalquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos osagrupamentos estão no conjunto:

Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}

Número de Arranjos simples

Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes

poderemos escolher p elementos (p<m) deste conjunto? Cada uma dessasescolhas será chamada um arranjo de m elementos tomados p a p.Construiremos uma sequência com os m elementos de C.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com amudança da cor do elemento para a cor vermelha.

Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos,temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.



c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou noconjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 elementos.Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que

sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada.Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a

menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.

Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p ap, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabelaabaixo:

Retirada Número depossibilidades

1 m

2 m-1

3 m-2

... ...

p m-p+1

No.dearranjos

m(m-1)(m-2)...(m-p+1)

Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p)e a expressão para seu cálculo será dada por:

A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são

as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementosdiferentes? O conjunto solução é:

{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}

A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.



Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são

as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (nãonecessariamente diferentes)?

Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior

com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que há 5x5=25possibilidades.

O conjunto solução é:

{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,

IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}

Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de

trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final?

XYZ-1234

Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser

dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguidautilize a regra do produto.

Número de Permutações simples

Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de

permutações com m elementos distintos de um conjunto C, basta escolher osm elementos em uma determinada ordem. A tabela de arranjos com todas aslinhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de permutações de melementos

Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e aexpressão para seu cálculo será dada por:

P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1

Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:



A(m,m) = P(m)

Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências emgeral, costuma-se simplificar a permutação de m elementos e escreversimplesmente:

P(m) = m!

Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial dem, onde m é um número natural.

Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nascoisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m deuma forma mais ampla, incluindo m=0 e para isto podemos escrever:

0!=1

Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceitode fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estasinformações pode-se demonstrar que 0!=1.

O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma formarecursiva através da função P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:

(m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1

Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C

diferentes em uma estante? O número de arranjos é P(3)=6 e o conjuntosolução é:

P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR?

O número de arranjos é P(4)=24 e o conjunto solução é:

P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR,MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM,

OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}

Número de Combinações simples

Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, jávimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamostais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham osmesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha deum casal (H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição(H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as

mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de



elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos,introduziremos o conceito de combinação.

Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementosé uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p

elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outrascoleções com o mesmo número p de elementos.

Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer arepetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.

Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p!desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinaçãode m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! paraobter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:

C(m,p) = A(m,p) / p!

Como

A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)

então:

C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!

que pode ser reescrito

C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-1)p]

Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por

(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1

que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:

m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!

e o denominador ficará:

p! (m-p)!

Princípio fundamental da contagem

Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeiraetapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneirasdiferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras deocorrer o acontecimento é dado por:



T = k1. k2 . k3 . ... . kn

Exemplo:

O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas

usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo deveículos que poderá ser licenciado?

Solução:

Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.

Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26

alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o númerototal de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, jáque não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos.

Exercícios

Permutação

1-Com as vogais: A,E,I,O e U, quantas permutações podem ser formadascontendo as letras: A,E e I.

2-De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estantede biblioteca?


Resposta: N=1×2×3=6

3-De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 5 lugares?

Auxílio: P(n)=n!, n=5 / Resposta: N=1×2×3×4×5=120

4-Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letrasda palavra AMOR?



5-Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os númerosímpares 1,3,5,7,9. Auxílio:

Resposta: P(5)=120.



6-Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os númerosímpares 1,3,5,7,9, desde que estejam sempre juntos os algarismos 1 e 3. Auxílio: Cada conjunto com os algarismos 13 e 31 forma um grupo que juntocom os outros, fornece 4 grupos. Resposta: N=2×P(4)=2×24=48

7-Consideremos um conjunto com n letras. Quantas permutações começampor uma determinada letra?

Resposta: N=P(n-1)=(n-1)!

8-Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI?

Resposta: P(9)=9!

9-Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI,começando por A?

Resposta: P(8)=8!

10-Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI,começando por AB?

Resposta: P(7)=7!

Combinação simples

11-Um indivíduo possui 25 livros diferentes. De quantas formas distintas elepoderá empacotar tais livros em grupos de 6 livros?

12-Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8 pessoas?

Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!]; m=8,p=3

Resposta: C=8!/(3!5!)=(8×7×6)/(1×2×3)=56

13-Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1000 pessoas?


Resposta: C=1000!/(2!998!)=1000×999=999000

14-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10primeiras letras do alfabeto?

Conceito: Combinação

Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=10, p=4 Resposta: C=10!/(4!6!)=(10×9×8×7)/(1×2×3×4)=210

15-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre comecem pela letra A?


Resposta: C=C(1,1).C(9,3)=(1×9×8×7)/6=84

16-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre estejam juntas as letras Ae B?

Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=2 Resposta: C=C(2,2).C(8,2)=(1×8×7)/2=28



17-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10primeiras letras do alfabeto, de tal forma que não contenham nem as letras A eB?


Resposta: C=C(2,0).C(8,4)=(1×8×7×6×5)/24=70

18-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10primeiras letras do alfabeto, de tal forma que somente uma das letras A ou Besteja presente, mas não as duas?


Resposta: C=C(2,1).C(8,3)=(2×8×7×6)/6=112

19-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10primeiras letras do alfabeto, de tal forma que contêm 2 dentre as 3 letras A,B eC?


Resposta: C=C(3,2).C(7,2)=(3×7×6)/2=63

20-Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22 homens. Quantascomissões podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens?

21-Calcular o valor de m tal que 5 C(m+1,3)=2 C(m+2,2).

Arranjo simples

22-Quantos números diferentes com 1 algarismo, podemos formar com osalgarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. Resposta: N1=A(9,1)=9

23-Quantos números distintos com 2 algarismos diferentes, podemos formarcom os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 2 dígitos e sua quantidadecorresponde a A(9,1). Resposta: N2=A(10,2)-A(9,1)=10×9-9=90-9=81

24-Quantos números distintos com 3 algarismos diferentes, podemos formarcom os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 3 dígitos e sua quantidade

corresponde a A(9,2).?Resposta: N3=A(10,3)-A(9,2)=720-720=648

25-Quantos números distintos com 4 algarismos diferentes, podemos formarcom: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 3 dígitos e sua quantidadecorresponde a A(9,3). Resposta: N4=A(10,4)-A(9,3)=5040-504=4536

26-Quantos números distintos menores que 10000 podem ser formados comalgarismos diferentes da coleção: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Resposta: N=N1+N2+N3+N4=9+81+648+4536=5274



27-No sistema decimal de numeração, quantos números existem com 4algarismos com 2 algarismos repetidos?

Auxílio: A quantidade de números distintos com 4 algarismos é 4536 e aquantidade total de números (com repetição ou não) com 4 algarismos é 9000.

Resposta: N=9000-4536=4464

28-Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, obter o conjunto solução que contém todos osarranjos tomados 2 a 2.

29-Usando-se apenas os algarismos 1,3,5,7,9 quantos números com 3algarismos podem ser montados?


Resposta: A=5!/2!=60

30-Usando-se os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 quantos números com 4algarismos podem ser montados?


Resposta: A=10!/6!=5040

31-Usando-se as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z quantos arranjos distintoscom 3 letras podem ser montados?


Resposta: A=26!/23!=26.25.24=15600

32-Com as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z e os algarismos0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, quantas placas de carros podem ser escritas contendo 3letras seguidas de 4 algarismos?

Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=26, p=3, n=10, q=4

Resposta: A=(26!/23!).(10!/6!)=78624000

exercícios de permutações simples1

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