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AGENCIA: 0634 – Caixa Econômica FederalC/C nº 4777-0

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Determinantes

Conceito:

Em Matemática, determinante de uma matriz quadrada de ordem n é um número real a ela associado. Cada matriz tem um único determinante. Em fim determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um número. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.

Representação:

Representamos o determinante de uma matriz colocando os termos da matriz entre barras verticais simples.

Veja:

Se a matriz é

Indicamos seu determinante assim:

Ou simplesmente det A.

Importante: Só calculamos determinante de matriz quadrada.

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

333231

232221

131211

det

aaa

aaa

aaa

A

Determinante de uma matriz de ordem 1

O determinante da matriz A de ordem n = 1, é o próprio número que origina a matriz. Em particular definimos o determinante de uma matriz A = (a11), de 1ª ordem, o valor do seu único elemento a11, ou seja:

Exemplo 01 – Qual é o determinante da matriz A = [10]?

1111det aaA

1010det A


Exemplo 02 – Qual é o determinante da matriz B=[–14]?

Exemplo 03 – Qual é o determinante da matriz

1414det B

3C

33det B


Calculamos o determinante de uma matriz quadrada 2 x 2 fazendo o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária dessa matriz.

Demonstração:


Exemplo 01–Calcule o determinante da matriz

Exemplo 02–Qual é o determinante da matriz

34

69A

3det

2427det

4.63.934

69det

A

A

A

31

23B

1det

23det

29det

1.23.331

23det

B

B

B

B


Exemplo 03–Calcule o determinante da matriz

72

53C

11det

1021det

2.5)7(.372

53det

C

C

C


Para obtermos o determinante de uma matriz quadrada de 3ª ordem utilizamos uma regra prática denominada regra de Sarrus (pronuncia-se Sarrí). A regra de Sarrus, foi provavelmente escrita no ano de 1833. Para o cálculo de um determinante de 3ª ordem pela Regra de Sarrus, proceda da seguinte maneira: 1- Repita a 1ª e a 2ª coluna à direita da matriz. 2- Faça três traços em diagonal começando do primeiro elemento da matriz para baixo, depois faça mais três traços em diagonal, começando do último elemento da primeira linha.3- Multiplique os números cortados pelos traços, atribuindo sinais negativos para os resultados à esquerda e sinal positivo para os resultados à direita. Depois realize a operação final.


Demonstração:

Seja a matriz Qual é o seu determinante?

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

332112322311312213322113312312332211 ............det aaaaaaaaaaaaaaaaaaA


Exemplo 01 - Calcule o determinante da matriz

312

123

321

A

12 1 18 6 4 9

18112946det A3119det A

12det A



341

202

513

C

0 –24 – 6 0 2 40

)6()24(04020det C

624042det C72det C



223

122

212

F

4 3

44434.234.2det F

43 424 42

242.32.232.2det F246434det F

1211det F1det F

Cofator

Dada uma matriz A quadrada de ordem n por n com n ≥ 2, e a ij um elemento dessa matriz, chamamos de cofator de a ij o produto de (−1)i + j . pelo determinante Dij da Mariz que se obtém quando se retira da matriz A a linha i e a coluna j. O cofator de a ij será indicado por Cij.

Então: Cij = (−1)i + j . Dij.

Exemplo 01 – Dada a matriz A = calcule o cofator de a11.

Solução:

312

213

323

312

213

323

31

21.)1(

31

21.)1(

.)1(

211

1111

C

C

DC ijji

ij

1

1.1

)23(.1

)1.2()3.1(.1

11

11

11

11

C

C

C

C

Cofator

Exemplo 02 – Dada a matriz B = calcule o cofator de b21.

Solução:

24

24.1

)3612.(1

36

64.)1(

36

64.)1(

.)1(

21

21

21

321

1221

C

C

C

C

C

DC ijji

ij

362

453

642

362

453

642

Teorema Fundamental de Laplace Segundo o Teorema de Laplace o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, n ≥ 2 é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fileira (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. Ou seja multiplica cada elemento pelo seu cofator depois soma.

Demonstração:Calcule o determinante da matriz pela 1ª linha

Pelo teorema de Laplace temos

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

131312121111

333231

232221

131211

...det CaCaCa

aaa

aaa

aaa

A

Teorema Fundamental de Laplace Calculando o cofator:

Como o determinante é a soma do produto dos elementos pelos seus cofatores temos: det A = a11(a22.a33 – a23.a32) – a12(a21 .a33 – a23.a31) + a13(a21.a32 – a22 . a31)

).()..(1.)1( 322233223332

22221111 aaaa

aa

aaC

).()..(1.)1( 312333213331

23212112 aaaa

aa

aaC

).()..(1.)1( 312232213231

22213113 aaaa

aa

aaC

Teorema Fundamental de Laplace Exemplo 01 – Calcule o determinante da matriz pela 1ª linha

Pelo teorema de Laplace temos:

Calculando o cofator:

1)23.(131

21.)1( 11

1111 CC

312

213

321

A

312

213

321

det A 131211 .3.2.1 CCC

5)49.(132

23.)1( 12

2112 CC

1)23.(112

13.)1( 13

3113 CC

Como o determinante é a soma do produto dos elementos pelos seus cofatores temos:

det A = 1 . 1 + 2 . (−5) + 3 . 1

det A = 1 −10 + 3

det A = − 6

Teorema Fundamental de Laplace Exemplo 02 – Calcule o determinante da matriz pela 2ª linha

Pelo teorema de Laplace temos:

Calculando o cofator:

9)09.(130

23.)1( 21

1221 CC

232221 .0.0.2 CCC

10)212.(131

24.)1( 22

2222 CC

3)30.(101

34.)1( 13

3223 CC

Como o determinante é a soma do produto dos elementos pelos seus cofatores temos: det B = 2 . (−9) + 0 . 10 + 0 . 3

det B = −18 + 0 + 0

det B = − 18

301

002

234

B

301

002

234

B

Determinante de uma matriz de ordem 4 ou maior que 4

Para calcularmos o determinantes de uma matrizes de ordem igual ou superior a quatro, podemos reduzir a sua ordem. Para isso aplicaremos o teorema de Laplace tantas vezes quantas forem necessárias, até chegarmos a um determinante de ordem 3. Daí podemos aplicar a regra de Sarrus.

Veja:

Exemplo 01 – Calcule o determinante da matriz pela 1ª coluna.

Det A=

det A = 1.[1. ] + 0. [−1. ] + 1. [1. ] + 1. [−1. ]

Vamos aplicar Sarrus em cada Determinante de ordem 3.

Substituindo temos: det A = 1.[1.0] + 0. [−1.8] + 1. [1.8] + 1. [−1.0] Logo det A = 1.0 + 0.−8 + 1.8 + 1.0 → det A= 0 + 0 + 8 + 0 det A= 8

4201

2321

2320

4321

A

4201

2321

2320

4321

41312111 .1.0.1 CCCC

420

232

232

420

232

432

420

232

432

232

232

432

20420

32232

32232

20420

32232

32432

20420

32232

32432

32232

32232

32432

0 8 24 24 0 824+0+8 – 0 –8 –24

32 – 32 = 0

0 8 24 24 0 1624+0+16 – 0 –8 –24

40 – 32 = 8

0 8 24 24 0 1624+0+16 – 0 –8 –24

40 – 32 = 8

24 12 12 12 12 2412+12+24 –24–12–12

48 – 48 = 0

determinante slids

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