Álgebra geométrica conforme e geometria de...

UNIVERSIDADE ESTADUAL DECAMPINAS

Instituto de Matemática, Estatística eComputação Científica

VALTER SOARES DE CAMARGO

Álgebra Geométrica Conforme e Geometria deDistâncias

Campinas2015

Agência de fomento: Não se aplicaNº processo: Não se aplica

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação CientíficaMaria Fabiana Bezerra Muller - CRB 8/6162

Camargo, Valter Soares de, 1977- C14a CamÁlgebra geométrica conforme e geometria de distâncias / Valter Soares de

Camargo. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

CamOrientador: Carlile Campos Lavor. CamTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de

Matemática, Estatística e Computação Científica.

Cam1. Geometria de distâncias. 2. Álgebra geométrica. 3. Geometria conforme. 4.

Proteínas - Conformação. I. Lavor, Carlile Campos,1968-. II. UniversidadeEstadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e ComputaçãoCientífica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Conformal geometric algebra and distance geometryPalavras-chave em inglês:Distance geometryGeometric algebraConformal geometryProteins - ConformationÁrea de concentração: Matemática AplicadaTitulação: Doutor em Matemática AplicadaBanca examinadora:Carlile Campos Lavor [Orientador]Rafael Santos de Oliveira AlvesRoldão da Rocha JuniorLeandro Augusto Frata FernandesEmerson Vitor CastelaniData de defesa: 05-08-2015Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada

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A minha avó materna Marcionila que viu se iniciar esta jornada neste plano e veráterminar em outro. Aos meus pais José Camargo e Maria Alice, e, aos meus treze irmãos

Eva, Mary, Mauro, Dinha, Tião, Cesar, Luzia, José, Renata, Marcos, Marcela,Alessandro, Ana Paula e minha linda namorada Luciana que sempre me apoiaram durante

toda a caminhada.

Agradecimentos

Agradeço ao prof. Carlile Lavor pela oportunidade de realizar este trabalho,com paciência e amizade.

Agradeço ao grande amigo Emerson Castelani pelas várias contribuições aotrabalho e também pelo apoio e amizade que dedicou durante toda a trajetória. Ao quaseirmão Wesley que juntamente com o Emerson me cederam uma mesa em sua sala nauniversidade estadual de Maringá.

Agradeço a todos os amigos do "Lab", em especial ao Jorge, Germano e Felipeque sempre se mostraram dispostos a ajudar quando solicitados.

Agradeço aos vários amigos que fiz ao longo do doutorado, em especial meusnovos irmãos, Lino Marcos, Adson, Wender, Lucas, Michel, Bacani e Marcos.

Aos professores e funcionários do IMECC, que direta ou indiretamente contri-buiram com este trabalho. Em particular quero agradecer a professora Sandra Augustapor me proporcionar a vinda para UNICAMP.

Agradeço ainda à Universidade Estadual do Paraná-UNESPAR, por permitirmeu afastamento durante o período em que cursava as disciplinas.

Por fim, quero agradecer a Fundação de Apoio à Fafipa e Fundação Araucáriapelo auxilio financeiro enquanto estava afastado.

ResumoO problema de determinar um conjunto de pontos num dado espaço geométrico no qualalgumas distâncias entre dois desses pontos são conhecidas é chamado de Problema deGeometria de Distâncias. Tradicionalmente, estes problemas são modelados e resolvidospor meio de otimização contínua, entretanto na prática algumas aplicações forneceminformações que possibilitam a discretização do seu espaço de busca. Neste trabalhoapresentaremos um método alternativo para a resolução destes problemas cujas instânciaspossam ser discretizadas. A abordagem considerada difere da tradicional por trataros objetos geométricos em um espaço de Minkowski por meio da Álgebra GeométricaConforme. O modelo geométrico deste espaço proporciona uma interpretação natural comoprimitivas computacionais dos objetos relevantes ao problema. Além de um estudo teórico,apresentamos uma aplicação que utiliza o método proposto, para resolver problemasreferentes ao cálculo de estrutura tridimensional de proteínas, conhecidos na literatura porDiscretizable Molecular Distance Geometry Problem - DMDGP.

Palavras-chave: Geometria de Distâncias, Estrutura Tridimensional de Proteínas, Espaçode Minkowski, Multivetor, blades, Produto Geométrico, Otimização Combinatória, ÁlgebraGeométrica Conforme.

AbstractThe problem of determining a set of points in a given geometric space with certaindistances between two of these points is called distance geometry problem. Traditionally,these problems are modeled and resolved through continuous optimization. However somepractical applications give information which enable the discretization of its search space. Inthis work, we present an alternative method for solving these problems whose instances canbe discretized. The approach differs from the traditional one, since we consider geometricobjects in a Minkowski space by conformal geometric algebra. The geometric model of thisspace establishes a natural interpretation as computational primitive of relevant objectsfor the problem. Besides a theoretical study, we present an application that uses theproposed method for solving problems related to the calculation of the three-dimensionalprotein structure known in the literature as the Discretizable Molecular Distance GeometryProblem - DMDGP.

Keywords: Distance Geometry, Three-dimensional Structure of Proteins, MinkowskiSpace, Multivetor, Blades, Geometric Product, Combinatorial Optimization, ConformalGeometric Algebra.

Lista de ilustrações

Figura 1 – Exemplos de cliques em um grafo G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Figura 2 – Há três possibilidades: ou a solução é vazia ou, única ou ainda, pode

haver duas soluções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Figura 3 – Grafo G sem ordenação no DGP.((LAVOR; LIBERTI, 2014)) . . . . . 22Figura 4 – Exemplos de Simplex em R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Figura 5 – Exemplo de interseção entre esferas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Figura 6 – Coplanaridade entre os representantes de u, v, r e s, destacando em

vermelho a mínima e máxima distância entre u e s [distpxu, xsq], noqual distpxv, xsq e distpxr, xsq em amarelo são fixas. . . . . . . . . . . . 26

Figura 7 – Coplanaridade entre os representantes de u, v, r e s, destacando emvermelho a mínima e máxima distância entre u e s, no qual xu, xr e xssão fixados colinearmente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Figura 8 – Interseção entre três esferas em R3 dando um par de pontos, com avisualização de um simplex gerado pelos centros das esferas e um pontona interseção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Figura 9 – À esquerda: árvore de discretização do espaço de busca de um kDMDP com 4

átomos e k “ 2. À direita: Ilustração das simetrias na árvore de busca. . . . . . . 30Figura 10 – Número de possibilidades para v4, as distâncias na cor preta são conhe-

cidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Figura 11 – Fragmento de planos orientados gerados a partir do produto geométrico

dos vetores a, b P R3 dado no Exemplo 2.1.5, segundo as regras deorientação dadas pela mão direita (SILVA, 2009). . . . . . . . . . . . . 36

Figura 12 – Os produtos interno e exterior são não invertíveis, mas se combinampara criar um produto invertível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Figura 13 – O produto exterior dos vetores a, b P R3 dados no Exemplo 2.1.5 e suasprojeções nos planos coordenados. A área é dada de maneira clássicapela norma do produto vetorial entre a e b, denotada aqui por |a^ b|,a orientação pode ser, tanto o sentido horário a^ b ou o sentido anti-horário b^ a (SILVA, 2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Figura 14 – Exemplo de produto interno generalizado. Note que o vetor A ¨ B éortogonal ao vetor A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Figura 15 – Exemplos de imersões estereográficas (figuras retiradas de (PERWASS,2009)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Figura 16 – Imersão do vetor x P R1, primeiro sobre o circulo unitário S1Ă R2 e,

em seguida, sobre o hiperplano afim A2M Ă R2,1 (PERWASS, 2009). . . 57

Figura 17 – Mesma imersão da Figura 16, com a visualização do cone nulo H1

(PERWASS, 2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Figura 18 – Imersão do ponto x P R no modelo conforme com a visualização da

horosfera H1a.(PERWASS; HILDENBRAND, 2004) . . . . . . . . . . . 61

Figura 19 – A figura (a) ilustra a ideia central para interpretação de objetos geométricos nomodelo conforme: um plano intersecta a horosfera resultando em uma cônicaprojetada no plano euclidiano. As projeções são indicadas (aproximadamente)pelas linhas tracejadas. Uma base é apresentada, omitindo a origem e0.A figura (b) ilustra que pontos são representados por vetores nulos sobrea horosfera. A figura (c) ilustra que retas são representadas por planosparalelos ao eixo de simetria da horosfera. A figura (d) ilustra que círculossão representados por planos não paralelos ao eixo de simetria da horosfera(FONTIJNE, 2007). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Figura 20 – Em amarelo, o simplex Spu, v, wq Ă R3 e, em azul, o 3-blade A nãoimerso em R4,1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Figura 21 – Possíveis resultados do produto meet de duas esferas em Cl3,1. . . . . . 77Figura 22 – Reflexão do ponto x de R2 em relação a um "plano" que dista "d" da

origem e, também, o ponto refletido y determinado pela soma vetorial~y “ ~x` ~z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Figura 23 – O par de pontos X1, X2 P H2a, as esferas S1, S2 e o plano P do modelo

conforme do Exemplo 3.2.6, representados em R2. . . . . . . . . . . . . 83Figura 24 – Caminho η na árvore de discretização de um kDMDGP , com k “ 2 e

n “ 7. Representado pela sequência de pontos xv1 Ñ xv2 Ñ ¨ ¨ ¨ Ñ xv7

em R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Figura 25 – Conjunto de planos P “ tP2, P3, P4, P5, P6u associado ao caminho η em

H2a, representado pela sequência de pontos xv1 Ñ xv2 Ñ ¨ ¨ ¨ Ñ xv7 em R2. 87

Figura 26 – Em preto, com pontos em azul, todas as possíveis realizações incongruen-tes do Exemplo 3.3.1, e em azul claro, os respectivos planos associadosà η. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Figura 27 – Visualização em roxo das possíveis distâncias adicionais entre os níveis4 e 7 no caminho fixado por xv4 e, também, os caminhos refletidos pelosplanos P4, P5 e P6 que podem satisfazer a distância adicional. . . . . . 92

Figura 28 – Visualização em vermelho dos planos excluídos e das realizações nãoválidas, em marron as distâncias adicionais dos níveis 2 e 4 ao 7, empreto com pontos em azul escuro as realizações incongruentes válidasna árvore T e em azul claro a representação dos planos que não foramexcluídos do conjunto P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Figura 29 – Ligações peptídicas entre aminoácidos(NELSON; COX, 2013). . . . . . 98

Figura 30 – Proteína hipotética M, onde φ e ψ representam rotações em torno deligações a partir do carbono central do aminoácido Cα e dão origem aosângulos de torção (NELSON; COX, 2013). . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Figura 31 – Cadeia principal de M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Figura 32 – Ilustração em 2D de uma esfera com raio 5Å, centralizada no repre-

sentante do décimo quinto átomo, simulando experimentos de RMNaplicados a uma proteína hipotética com 19 átomos.(LIBERTI et al.,2014) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Figura 33 – A esquerda: O átomo i pode estar somente em duas posições (i e i1 ) para ser "viável"

com a distância di´3,i. A direita: Ilustração das possíveis conformações da cadeia

principal de uma molécula formada por dois aminoácidos (árvore em 3D). . . . . . 100Figura 34 – Descrição dos ângulos de dobra (θi1s), ângulo de torção (ωi) e compri-

mentos de ligação (ri1s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Figura 35 – Possíveis situações em Cl4,1: (a) Um círculo, (b) Espaço tangente e (c)

Círculo imaginário. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Figura 36 – Possíveis situações em Cl4,1: (a) Pontos imaginários, (b) Pontos reais e

coincidentes e (c) Pontos reais e distintos. . . . . . . . . . . . . . . . . 107Figura 37 – Possíveis situações em Cl4,1: (a) Ponto imaginário, (b) Ponto real. . . . 109Figura 38 – Planos P3 e P4 associados a primeira possível solução. . . . . . . . . . 116Figura 39 – Primeira solução possível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Figura 40 – Segunda solução possível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Figura 41 – Árvore em 3D e os planos P3 e P4 associados ao Exemplo 4.4.5. . . . . 117Figura 42 – Realização congruente a 1ª solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Figura 43 – Realização congruente a 2ª solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Figura 44 – Perfil de desempenho: τ P r1, 9s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Figura 45 – τ P r1, 45s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Figura 46 – τ P r1, 1400s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Figura 47 – Perfil de desempenho: τ P r1, 1400s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Lista de tabelas

Tabela 1 – Classificação dos subespaços deľ

pRp,qq. . . . . . . . . . . . . . . 42


pR3q. . . . . . . . . . . . . . . 43

Tabela 3 – Elementos básicos canônicos deľ

pR3q. . . . . . . . . . . . . . . 43

Tabela 4 – Dualidade em Cl3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Tabela 5 – Elementos básicos da álgebra Cl4,1, constituídos a partir dos

vetores canônicos da base do espaço conforme R4,1. . . . . . . . 65Tabela 6 – Caracterização geométrica via OPNS em Cl4,1 . . . . . . . . . . . 66Tabela 7 – Classificação de esferas, planos e pontos em Cl4,1 a partir da

Equação (2.60). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Tabela 8 – Objetos geométricos via INPS em Cl4,1. . . . . . . . . . . . . . . . 71Tabela 9 – Fatoração QR versus CGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Tabela 10 – Resultados Comparativos: BP versus BP-Coope versus C-SymBP121

Sumário

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Problema Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1 Problema de Geometria de Distância - DGP . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.1 Solubilidade e Complexidade de um DGP . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2 Discretização do DGP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.1 Ordenação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.2 interseção entre Esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.3 Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3 k-Problema de Geometria de Distância Discretizável . . . . . . . . . . . . . 281.4 k-Problema de Geometria de Distância Molecular Discretizável . . . . . . . 29

2 Álgebra Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.1 Produto Geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2 k-Vetores e k-Espaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.1 k-Base Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3 Espaço Multivetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3.1 Base Multivetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.2 Produtos Generalizados em

ľ

pRp,qq . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4 Axiomática da Álgebra Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4.1 Objetos Geométricos em AG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.4.2 Operadores Geométricos em Clp,q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.4.3 interseção e União de Objetos Geométricos . . . . . . . . . . . . . . 522.4.4 Transformações Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.5 Álgebra Geométrica Conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.5.1 Modelo Conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.5.1.1 Imersão Estereográfica de Rn em Rn`1 . . . . . . . . . . . 562.5.1.2 Homogeneização da Imersão Estereográfica . . . . . . . . . 57

2.5.2 Álgebra Geométrica Conforme Cl4,1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653 kDMDGP via CGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.1 Determinante de Cayley-Menger versus Gramian no Modelo Conforme . . 743.2 Operações fundamentais do kDMDGP em CGA . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2.1 interseção entre Esferas em Cln`1,1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.2.2 Reflexão no Modelo Conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.3 Análise Teórica de Instâncias kDMDGP no Modelo Conforme . . . . . . . 843.3.1 Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.3.2 Distâncias Adicionais e Factibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.3.3 Número de Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934 Cálculo de Estrutura de Proteínas via CGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.1 Estrutura Principal da Proteína . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.2 Branch-and-Prune (BP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.2.1 O Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.2.1.1 Estrutura do BP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.3 Estratégia de Coope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.4 Funções Implementadas no Método via CGA . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.4.1 function 1 : Interseção entre duas esferas . . . . . . . . . . . . . . . 1064.4.2 function 2 : Interseção entre três esferas . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.4.3 function 3 : interseção entre quatro esferas . . . . . . . . . . . . . . 1084.4.4 function 4 : Reflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.4.5 Algoritmo C ´ SymBP com k “ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.4.6 Exemplo Detalhado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.4.6.1 Uma descrição do Algoritmo C ´ SymBP ao resolver oExemplo 4.4.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.5 Experimentos Computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.5.1 Instâncias Artificiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.5.2 Considerações sobre Máquina e Memória . . . . . . . . . . . . . . . 1184.5.3 Resultados Comparativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.5.4 Perfil de Desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.1 Contribuições da Tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.2 Conclusão e Resultados Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

15

Introdução

O DGP1 é definido na literatura como o problema de determinar um conjunto depontos em um dado espaço geométrico, onde algumas distâncias entre eles são conhecidas(LIBERTI et al., 2014). É o problema fundamental de uma área de pesquisa consolidada,conhecida como Geometria da Distâncias - DG2, que tem como áreas fundamentais amatemática e a computação. Além de sua área teórica, o interesse nesse problema reside naquantidade de aplicações em que ele pode ser utilizado, tais como: conformação molecular,redes de sensores sem fio, estática, robótica, entre outras (LAVOR; LIBERTI, 2014).

Geralmente, o DGP é formulado como um problema de otimização contínua(LIBERTI et al., 2014), mas a formulação discreta baseada em intersecções de esferas,proposta em (LIBERTI et al., 2014), nos deu inspiração para modelar o problema utilizandoa álgebra geométrica conforme - CGA3.

A motivação principal para utilizarmos CGA é que a interpretação geométricados objetos geométricos de interesse do problema se "eleva" a um novo patamar, comrepresentação simples na forma de primitivas computacionais, além de apresentar umaclara distinção entre vetores e pontos e de representar transformações de maneira maisintuitiva do que a codificação tradicional por matrizes.

O método proposto neste trabalho leva em consideração todas as simetriasinerentes do problema, proporcionando a busca por uma única solução e obtendo asoutras por meio de suas simetrias. Detalhes sobre as simetrias, além dos descritos nestetrabalho, podem ser encontrados nas referências (MUCHERINO; LAVOR; LIBERTI,2012b; LIBERTI et al., 2011).

O trabalho está organizado em cinco capítulos, onde os dois primeiros sãocapítulos introdutórios e os capítulos 3 e 4 apresentam as principais contribuições da tese.O conteúdo de cada capítulo é apresentado a seguir:

• No capítulo 1 é apresentado o problema central da tese, a ideia da sua discretizaçãoe também são apontados alguns métodos que resolvem o problema por meio deotimização combinatória;

• No capítulo 2 é apresentada a álgebra geométrica utilizada por nós para escrever ométodo de resolução do problema principal da tese;

1 Do Inglês: Distance Geometry Problem2 Do Inglês: Distance Geometry3 Do Inglês: Conformal Geometric Algebra

Introdução 16

• O capítulo 3 faz uma análise teórica do problema principal utilizando a álgebrageométrica conforme;

• No capítulo 4 é apresentada uma comparação entre o método proposto e o métodotradicional utilizado para resolver problemas tridimensionais que envolvem o cálculoestrutural de proteínas;

• O capítulo 5 apresenta a conclusão e os trabalhos futuros.

17

1 Problema Principal

Menger caracterizou vários conceitos geométricos em termos de distâncias(MENGER, 1930), tais como: congruência, convexidade, etc. Os resultados de Menger,posteriormente completados e apresentados por Blumenthal (BLUMENTHAL, 1970),deram origem a um ramo de estudo denominado Geometria de Distâncias. O problemafundamental desta teoria relaciona o conceito de distância com a geometria do problema.Um estudo detalhado e suas inúmeras aplicações pode ser encontrado em (LIBERTI et al.,2014).

1.1 Problema de Geometria de Distância - DGP

Atualmente, a formulação do DGP envolve teoria de grafo, no qual cadavértice do grafo corresponde a um ponto no espaço de busca, e se a distância entre doisdesses pontos é conhecida, temos uma aresta entre os vértices correspondentes no grafo.Formalmente, a definição para um DGP encontrada na literatura é dada por,

Definição 1.1.1. (DGP) Dado um inteiro k ą 0, e um grafo simples G “ pV,E, dq

conectado, onde V é um conjunto de vértices, E Ă V ˆV é o conjunto de pares de vérticescujas distâncias entre si são conhecidas, dadas como pesos nas arestas e definidas pelafunção d : E Ñ R`, encontre uma função x : V Ñ Rk tal que

@tu, vu P E, ||xpuq ´ xpvq|| “ dpu, vq, (1.1)

onde || ¨ || representa a norma euclidiana.

A função x é chamada de realização de G, ou seja, uma "representação" de seusvértices em algum espaço euclidiano Rk. A norma || ¨ || representa a norma euclidiana, amenos que explicitemos outra norma. Se H é um subgrafo de G e x é uma realização deH em Rk, dizemos que x é uma realização parcial de G em Rk. Chamamos x de realizaçãoválida, se x satisfaz todas as equações em (1.1).

Definição 1.1.2. Uma m-clique em um grafo G “ pV,E, dq, onde |V | “ n, é um outrografo H “ pV 1, E 1, dq tal que, |V 1| “ m, V 1 Ă V , E 1 Ă E e H é completo (ver Figura 1).

Capítulo 1. Problema Principal 18

(a) Grafo G com pesos nas arestas (b) 3-clique em G (c) 2-clique em G

Figura 1 – Exemplos de cliques em um grafo G.

1.1.1 Solubilidade e Complexidade de um DGP

Esta subseção apresenta condições e estratégias para que um DGP seja ou nãosolúvel e apresenta referências sobre sua complexidade.

Resolver o DGP é associar cada vértice do grafo G a um único ponto do Rk.Assim, é possível obter todas as distâncias entre seus representantes, ou seja, "obtemos"todas as arestas de G. Embora o DGP tenha sido definido via teoria de grafos, suaformulação clássica se dá por meio de um problema de otimização contínua com umaformulação usando programação matemática, definida por

minxPRk

ÿ

tu,vuPE

p||xu ´ xv||2´ d2

uvq2. (1.2)

A grande dificuldade desta abordagem é que existe uma grande quantidade de mínimoslocais e desejamos encontrar o mínimo global. Além disto, a quantidade de mínimos locaiscresce exponencialmente com o número de vértices do problema associado, como pode servisto em (LIBERTI et al., 2014).

Supondo que um DGP admite solução, sabemos que o conjunto solução é finitoou infinito não enumerável, visto que na literatura existe um resultado usando geometriaalgébrica garantindo que o caso infinito, mas enumerável, não ocorre e pode ser vistoem (BENEDETTI; RISLER, 1990). No caso finito, podemos pensar em novos métodospara encontrar a solução do problema. Mas que tipo de condições seriam suficientespara garantir que o conjunto solução é finito? Começamos por fixar k, assim podemosassociar a cada DGP, que denominaremos por DGPk devido ao k fixo, uma matriz dedistâncias euclidianas com as distâncias conhecidas. De maneira geral, a definição dematrizes euclidianas é dada por,

Definição 1.1.3. (Matrizes de Distâncias Euclidianas) Seja A uma matriz k`1ˆk`1simétrica, tais que suas entradas aij são positivas para todo i ‰ j e iguais a zero sei “ j. Dizemos que A é uma matriz de distâncias euclidianas em Rk, se existem vetores


v1, v2, ¨ ¨ ¨ , vk P Rn tais que,

||vi ´ vj|| “ aij, @i, j “ 1, ¨ ¨ ¨ , k.

Consequentemente, matrizes associadas às instâncias DGPk com distânciasfaltantes, possuem entradas faltantes. Caso a matriz de distância associada seja completa,o conjunto solução do DGPk associado é unitário, em outras palavras, se A é uma matrizde distâncias euclidianas em Rk, então o grafo G “ pV,E, dq que representa o DGPkcorrespondente é completo, logo uma solução para o DGPk, isto é, uma realização x de Gem Rk, pode ser encontrada em tempo linear. Detalhes podem ser vistos em (DONG; WU,2002). Esta característica associa dois problemas independentes, o DGP com o EDMCP1,que trata dos possíveis completamentos de matrizes euclidianas em Rk com menor kpossível. Detalhes podem ser obtidos em (LAURENT, 2009). Com isto, técnicas paraobtenção de matrizes de distâncias podem ser aplicadas na resolução de um DGP apósum estudo sobre sua estrutura, como feito na tese do Abud (ABUD, 2014).

Na verdade, não é nada trivial resolver um PGD. Um resultado conhecido naliteratura é que o PGD é um problema NP-completo para k “ 1 e NP-difícil para k ě 2, oque significa que resolver um DGP pode exigir um custo proporcional a 2|V |. Uma revisãodetalhada sobre o tema pode ser vista em (SAXE, 1979). Podemos observar a enormedificuldade de se resolver o sistema quadrático (1.1), visto que existe uma conjectura deque não seja possível obter uma fórmula fechada para resolvê-lo analíticamente em umespaço euclidiano envolvendo apenas somas, diferenças, produtos, frações, potências eradicais (BAJAJ, 1988).

Mesmo em uma situação simplificada de um DGP, podemos verificar as dificul-dades para uma resolução numérica, como observaremos no exemplo abaixo.

Exemplo 1.1.4. Considere o seguinte exemplo, como dado em (LAVOR; LIBERTI, 2014).Seja um DGP com k “ 3, V “ tu, v, r, su e E “ ttu, vu, tu, ru, tu, su, tv, ru, tv, su, tr, suu.Fixando u, v, r, ou seja, determinando xpuq “ x1 “ px11 , x12 , x13q, xpvq “ x2 “ px21 , x22 , x23q

e xprq “ x3 “ px31 , x32 , x33q em R3, de tal modo que ||x1´x2|| “ dpu, vq, ||x1´x3|| “ dpu, rq

e ||x2 ´ x3|| “ dpv, rq.

Note que dps, uq, dps, vq e dps, rq são conhecidos, assim podemos montar umsistema quadrático para posicionar s, ou seja, obter xpsq “ xs, da seguinte forma:

pSLOq “

$

’

&

’

%

||xs ´ x1|| “ d1

||xs ´ x2|| “ d2

||xs ´ x3|| “ d3

1 Do Inglês: Euclidean Distance Matrix Completion Problem


ou ainda, ||xs ´ xj||2“ d2

j , onde dj “ dps, jq; j “ 1, 2, 3, isto é, elevando ao quadradoambos os termos das igualdades,

$

’

&

’

%

||xs||2´ 2pxs ¨ x1q ` ||x1||

2“ d2

1

||xs||2´ 2pxs ¨ x2q ` ||x2||

2“ d2

2

||xs||2´ 2pxs ¨ x3 ` ||x3||

2“ d2

3

e subtraindo a primeira equação das outras duas obtemos:#

2pxs ¨ x2q ´ 2pxs ¨ x1q “ ||x2||2´ ||x1||

2` d2

1 ´ d22

2pxs ¨ x3 ´ 2pxs ¨ x1q “ ||x3||2´ ||x1||

2` d2

1 ´ d23

ou ainda,#

2px2 ´ x1q ¨ xs “ ||x2||2´ ||x1||

2` d2

1 ´ d22

2px3 ´ x1q ¨ xs “ ||x3||2´ ||x1||

2` d2

1 ´ d23.

Ou seja, temos um sistema linearAx “ b,

onde

A “ 2«

xv1 ´ xu1 xv2 ´ xu2 xv3 ´ xu3

xr1 ´ xu1 xr2 ´ xu2 xr3 ´ xu3

ff

,

b “

«

||x2||2´ ||x1||

2` d2

1 ´ d22

||x3||2´ ||x1||

2` d2

1 ´ d23

ff

e

x “

»

—

–

xs1

xs2

xs3

fi

ffi

fl

.

Ax “ b pode ser reescrito como:«

xv1 ´ xu1 xv2 ´ xu2

xr1 ´ xu1 xr2 ´ xu2

ff«

xs1

xs2

ff

“12

«

||x2||2´ ||x1||

2` d2

1 ´ d22

||x3||2´ ||x1||

2` d2

1 ´ d23

ff

´

«

xv3 ´ xu3

xr3 ´ xu3

ff

rxs3s

ou,«



ff«

xs1

xs3

ff

“12

«

||x2||2´ ||x1||

2` d2

1 ´ d22

||x3||2´ ||x1||

2` d2

1 ´ d23

ff

´

«

xv2 ´ xu2

xr2 ´ xu2

ff

rxs2s

ou ainda,«



ff«

xs2

xs3

ff

“12

«

||x2||2´ ||x1||

2` d2

1 ´ d22

||x3||2´ ||x1||

2` d2

1 ´ d23

ff

´

«

xv1 ´ xu1

xr1 ´ xu1

ff

rxs1s.

As equações acima sugerem uma condição necessária sobre a finitude do DGP.

Ao fixar os vértices u, v e r, ou seja, obter seus representantes em R3, deve-sefazê-lo de tal modo que x1, x2 e x3 não sejam colineares (isto não acontece nas aplicações),


o que inviabilizaria a finitude do número de soluções. Assim, A tem posto completo e osistema terá no máximo duas soluções, dadas explicitamente pela interseção entre uma dasesferas do sistema original pSLOq e uma reta gerada pela completude de A (ver Figura 2).Para que tenhamos uma ilustração, suponha, sem perda de generalidade, a reta geradapelas primeiras coordenadas, isto é, definida pela equação

X “ P `Qrxs3s (1.3)

onde,

P “12

«



ff´1 «||x2||

2´ ||x1||

2` d2

1 ´ d22

||x3||2´ ||x1||

2` d2

1 ´ d23

ff

,

Q “

«



ff´1 «xv3 ´ xu3

xr3 ´ xu3

ff

e X “

«

xs1

xs2

ff

.

Figura 2 – Há três possibilidades: ou a solução é vazia ou, única ou ainda, pode haverduas soluções.

Note que, com uma solução, pode-se obter uma quantidade infinita de realizaçõesválidas distintas de G via rotações e translações, denominadas realizações congruentes dografo G e definidas como:

Definição 1.1.5. (Realizações Congruentes) Duas realizações x e y de uma grafoG “ pV,E, dq em Rk associado a um DGP, são ditas congruentes se,

||xpuq ´ xpvq|| “ ||ypuq ´ ypvq||; @u, v P V. (1.4)


Realizações congruentes são irrelevantes em termos de aplicações, visto queelas representam a mesma solução. Logo, todo método deve encontrar apenas realizaçõesincongruentes.

Outro fato importante ao observar o Exemplo 1.1.4 é que para cada vértices P V a ser realizado em R3 de um PGD, devem existir arestas pu, sq, pv, sq, pr, sq P E taisque os vértices u, v, r P V já tenham sido realizados, para que se possa gerar um sistemaquadrático com xpsq P R3 como única variável. O que sugere uma ordem nos vértices de Vde tal forma que tenha-se uma realização parcial de G envolvendo u, v e r.

O problema de determinar se tal ordem existe é chamado de DVOP2 e podeser resolvido em tempo polinomial, usando a ideia de se ordenar os vértices seguintesconsiderando o maior número possível de arestas aos antecessores, como pode ser vistodetalhadamente em (LAVOR et al., 2012). Entretanto, estabelecer uma ordem nos vérticesdo grafo é apenas uma condição suficiente para garantir a finitude do PGD mas nãonecessária, como pode ser visto no Exemplo 1.1.6 retirado de (LAVOR; LIBERTI, 2014).A condição necessária envolve um estudo sobre a estrutura do grafo G, característica comorigidez do grafo pode ajudar, mas não é muito fácil esse conhecimento a priori, comopodemos ver em (GRAVER; SERVATIUS; SERVATIUS, 1993).

Exemplo 1.1.6. Considere um DGP com k “ 2 e G “ pV,E, dq, onde V “ tr, s, t, u, v, wue E “ ttr, su, tr, tu, tr, uu, ts, tu, ts, vu, tt, wu, tu, vu, tu,wu, tv, wuu. Queremos encontraruma ordem tal que os dois primeiros vértices formem uma 2-clique e a partir do terceiro,existam dois vértices anteriores ligados a ele, ou seja, formem uma 3-clique com os vérticesanteriores.

Figura 3 – Grafo G sem ordenação no DGP.((LAVOR; LIBERTI, 2014))

Uma inicialização a partir de qualquer um dos seus vértices da Figura 3, nãopermite uma sequência no método de ordenação, que satisfaça as condições do Exemplo1.1.6, entretanto o conjunto solução do DGP é finito.

Definição 1.1.7. (Simplex) Um k´simplex é um subespaço afim S Ă Rn k-dimensional,representado pelo politopo convexo formado pelos pontos coordenados p0, p1, ¨ ¨ ¨ , pk P Rn,2 Do Inglês: Discretizable Vertex Ordering Problem


cuja base é tv1, ¨ ¨ ¨ , vku, com vi “ pi ´ p0, ou seja,

S “ tα1v1 ` ¨ ¨ ¨ ` αkvk “ 0; αi ě 0, 1 ď i ď k ekÿ

i“0αi “ 1u (1.5)

(a) 2´ Simplex (b) 3´ Simplex

Figura 4 – Exemplos de Simplex em R3.

Definição 1.1.8. (Matriz com "borda") Uma matriz de distâncias quadradas D2“

td2iju é definida por uma matriz cujas entradas são quadrados dos elementos de uma matriz

de distâncias D. Uma matriz com "borda" de distâncias quadradas D2b , é uma matriz de

ordem k ` 2, cujas entradas são as mesmas de D2 a menos da primeira linha e primeiracoluna que são compostas pela pk ` 2q ´ upla p0, 1, 1, ¨ ¨ ¨ , 1q, isto é,

D2b “

»

—

—

—

—

—

—

—

–

0 1 1 ¨ ¨ ¨ 11 0 d2

pp0, p1q ¨ ¨ ¨ d2pp0, pkq

1 d2pp0, p1q 0 ¨ ¨ ¨ d2

pp1, pkq... ... ... . . . ...1 d2

pp0, pkq d2pp1, pkq ¨ ¨ ¨ 0

fi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

fl

. (1.6)

Exemplo 1.1.9. Considere os vértices dos simplex dado na Figura 4, então as matrizesde "borda" que os representam são:

D2b p2´Simplexq “

»

—

—

—

—

–

0 1 1 11 0

?13

?17

1?

13 0?

241?

17?

24 0

fi

ffi

ffi

ffi

ffi

fl

eD2b p3´Simplexq “

»

—

—

—

—

—

—

–

0 1 1 1 11 0

?13

?17

?2

1?

13 0?

24?

191?

17?

24 0?

111

?2

?19

?11 0

fi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

fl

.

Arthur Cayley, em 1841 (CAYLEY, ), mostrou que o quadrado do volume de

um k-simplex S “ tα1v1 ` ¨ ¨ ¨ ` αkvk “ 0; αi ě 0, 1 ď i ď k ekÿ

i“0αi “ 1u p∆2

kpSqq, é


proporcional ao determinante da sua matriz de "borda". Quase um século depois, KarlMenger provou que a não-negatividade deste determinante é uma condição suficiente paraque qualquer matriz simétrica, de números reais não negativos com zeros na diagonalprincipal, seja uma matriz de distâncias ao quadrado entre um conjunto de pontos noespaço euclidiano (MENGER, 1931). Essa demonstração motivou a seguinte definição.

Definição 1.1.10. (determinante de Cayley-Menger) O determinante detpD2b q é

chamado um determinante de Cayley-Menger, denotado na literatura por CM .

Assim, o volume de um k ´ simplex é dado por,

∆kpSq “

d

p´1qk`1

2kpk!q2 CM “

g

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

e

´

ˆ

1k!

˙2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

0 1 1 ¨ ¨ ¨ 11 0 ´

12dpp0, p1q

2¨ ¨ ¨ ´

12dpp0, pkq

2

1 ´12dpp0, p1q

2 0 ¨ ¨ ¨ ´12dpp1, pkq

2

... ... ... . . . ...1 ´

12dpp0, pkq

2´

12dpp1, pkq

2¨ ¨ ¨ 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

.

Seu cálculo tornou-se fundamental ao conceito de imersão de grafo em umespaço euclidiano, descrito pelo teorema:

Teorema 1.1.11. Uma condição necessária e suficiente para que k ` 1 pontos sejamrepresentados (imersos) em Rk, para k ď n, é que o sinal de todos os determinantesde Cayley-Menger de r pontos seja igual a p´1qr para todo r ď k ` 1, enquanto que odeterminante de Cayley-Menger de qualquer quantidade de pontos superior a k ` 1 é zero.Sua representação é irredutivelmente incorporável em Rk se, e somente se, além disso, pelomenos um determinante de Cayley-Menger de k ` 1 pontos é diferente de zero.

A demonstração do Teorema 1.1.11 pode ser encontrada em (HAVEL; KUNTZ;CRIPPEN, 1983).

1.2 Discretização do DGP

Encontrar uma imersão para um grafo não ponderado em um espaço euclidianopossui duas aplicações principais: conformação molecular (HENDRICKSON, 1995) e redede sensores (EREN et al., 2004; KRISLOCK; WOLKOWICZ, 2010). Em 2005, baseado emcondições como as dadas no Exemplo 1.1.4, Lavor et al. (LIBERTI et al., 2014), iniciaramum trabalho que explora as características de problemas práticos e estabeleceram ummétodo que envolve ordenação nos vértices de G, interseção de esferas e probabilidadepara discretizar o espaço de busca de um DGP.


1.2.1 Ordenação

Para descrever a ordenação, necessitamos de algumas definições voltadas aoproblema, assim, considere inicialmente um grafo simples não orientado G “ pV, Sq, ondeV é o conjunto de vértices de G, uma ordem ă sobre seus vértices e S Ă V ˆV o conjuntode pares de vértices ligados por uma aresta, segue então:

Definição 1.2.1. (Vértices Predecessores) Dado um vértice v P V e considerando aordem ă sobre V , definimos o conjunto dos vértices predecessores de v em V por,

γpvq “ tu P V {u ă vu

e a posição de v na ordem ă como

ρpvq “ |γpvq| ` 1.

Definição 1.2.2. (Vértices Adjacentes) Seja v P V , definimos o conjunto dos vérticesadjacentes a v como

Npvq “ tu P V {tu, vu P Su, @v P V.

Definição 1.2.3. (Predecessores Adjacentes Imediatos) Para cada v P V com ρpvq ą

k, definimos por Uv o conjuntos dos k predecessores adjacentes imediatos de v.

Note que Uv Ď Npvq X γpvq.

1.2.2 interseção entre Esferas

A interseção de k esferas em Rk pode ser vazia, conter um ponto, dois pontosou um número não enumerável de pontos (COOPE, 2000), como podemos ver na Figura 5,onde k “ 3.

(a) Vazia (b) Um ponto (c) Dois pontos (d) Infinitos pontos não enume-ráveis

Figura 5 – Exemplo de interseção entre esferas.

De maneira mais geral, considere o conjunto U “ tx1, ¨ ¨ ¨ , xku Ă Rk e osnúmeros reais positivos r1, ¨ ¨ ¨ , rk. Seja Pp “

č

iďk

Sk´1i a interseção entre k esferas cujos


centros são xi e os raios ri; i “ 1, ¨ ¨ ¨ , k. Se Pp ‰ H, mas a dimensão do espaço afim rU s,gerado por U for menor do que k´1, então |Pp| é não enumerável, ou ainda, se a dimensãorU s for igual a k ´ 1, temos |Pp| P t0, 1, 2u. Mais informações podem ser encontradas em(LAVOR et al., 2012).

Estratégias algébrica e numérica para calcular Pp podem ser encontradas emCoope (COOPE, 2000), entretanto o artigo de Coope apresenta ressalvas quanto a condiçãode posto completo para matriz formada a partir dos centros das esferas3. Um exemplodesta instabilidade pode ser observado no Exemplo 1.1.4, onde a unicidade da soluçãoacontece se, e somente se, xpsq pertencer ao plano que contêm os centros das esferas, o quedeve ocorrer quando uma das distâncias dos centros a xpsq é mínima ou máxima possível,como ilustra a Figura 6.

Figura 6 – Coplanaridade entre os representantes de u, v, r e s, destacando em vermelhoa mínima e máxima distância entre u e s [distpxu, xsq], no qual distpxv, xsq edistpxr, xsq em amarelo são fixas.

Uma consequência direta destas distâncias especiais é que, considerando oExemplo 1.1.4 como apenas uma etapa na procura de possíveis soluções de um problemamaior (com |V | ě 5), na próxima etapa podemos ter uma matriz com posto incompleto,gerada pela etapa anterior, o que inviabiliza a veracidade da solução obtida, caso o métodopor interseções de esferas obtenha um caminho de busca, o que podemos ver na Figura7, que ilustra s representado pela máxima distância, de tal modo que os representantesxpsq, xprq e xpuq são colineares.

3 Uma discussão detalhada sobre os efeitos de se obter um ponto errado é apresentada na seção 4 doartigo do Coope (COOPE, 2000).


Figura 7 – Coplanaridade entre os representantes de u, v, r e s, destacando em vermelhoa mínima e máxima distância entre u e s, no qual xu, xr e xs são fixadoscolinearmente.

1.2.3 Probabilidade

Consideremos uma realização válida x “ px1, ¨ ¨ ¨ , xnq, no conjunto de todasas realizações incongruentes do grafo ponderado G em Rk, necessariamente x Ă B, ondeB representa uma bola centrada em x1, com raio r “ Σn´1

i“1 maxi||xi ´ xi`1||. Portanto, oconjunto X, de todas as realizações de um dado grafo é limitado, digamos X Ă B1, onde abola B1 Ă Rkn é induzida por B Ă Rk.

Suponha G uma pk ` 1q ´ clique, considere a distribuição de probabilidadeuniforme em B1. A probabilidade de que uma dada realização em B1 pertença a qualquersubconjunto com medida de Lebesgue nula, é zero. Como ambos os subconjuntos tx P Rk2 :CMpUq “ 0u e tx P Rk2 : ∆pU Y txk`1u, dq “ 0u são subvariedades estritamente contidasem Rk2 , eles têm medida de Lebesgue nula e assim, consequentemente, as suas restrições aB1 também têm. Logo, a probabilidade de ocorrer |Pp| “ 1 ou Pp não enumerável parauma dada realização x P B1 é zero.

Podemos observar na Figura 5 que o único caso de interseção entre esferas quegeram simplex com volume positivo de um grafo associado a instâncias DGP, é o caso (c),ilustrado na Figura 8.

Portanto, se assumimos que Pp ‰ H, então a interseção de k esferas em Rk

consiste de exatamente dois pontos com probabilidade 1.

Propriedade 1.2.4. (interseção entre Esferas com Probabilidade 1) Dadas k esfe-ras Sk´1

1 , ¨ ¨ ¨ , Sk´1k Ă Rk, chamamos de Propriedade da interseção Esférica-PIE a interseção

Sk´11 X ¨ ¨ ¨ X Sk´1

k , se o volume do pk` 1q ´ simplex gerado pelos seus centros e um pontona interseção for positivo, isto é, ∆pU Y txk`1u, dq ą 0, onde xk`1 P S

k´11 X ¨ ¨ ¨ X Sk´1

k e U


Figura 8 – Interseção entre três esferas em R3 dando um par de pontos, com a visualizaçãode um simplex gerado pelos centros das esferas e um ponto na interseção.

é o conjunto que contêm os centros.

Ou seja, se dado um PGD, com k`1 vértices em V , ordenados por v1, v2, ¨ ¨ ¨ , vk`1

tal que, exista um subgrafo H Ă G completo com k vértices realizado em Rk, compvj, vsq P E, @vj P H e, vs R H. Então, uma solução para o PGD pode ser obtida resol-vendo a equação quadrática em xs “ xpvsq que envolve a interseção entre as k esferas,cujos centros xj “ xpvjq já estão realizados em Rk, e satisfazem

xTs xs ´ 2xTj xs ` xTj xj “ d2j (1.7)

onde di “ distpxj, xsq, @vj P H. Uma localização para xs, se existir, deve pertencer ainterseção de k esferas em Rk. Se o DGP satisfaz PIE, existem duas possíveis realizaçõesdo grafo G em Rk com probabilidade 1, mas uma única solução para o problema, vistoque, as duas realizações são congruentes.

Existem duas classes importantes de problemas DGP, para as quais, existe umaordem nos vértices de G e satisfazem PIE, o que torna possível discretizar o problema.Tais classes são encontradas na literatura pelos seguintes nomes: k-Problema de Geometriade Distância Discretizável4-kDDGP e k-Problema de Geometria de Distância Molecular5-KDMDGP .

1.3 k-Problema de Geometria de Distância Discretizável

Definição 1.3.1. (kDDGP ) Dado um inteiro k ą 0 e um grafo simples G “ pV,E, dq

conectado, onde V é um conjunto de vértices, E Ă V ˆ V o conjunto de pares de vérticescujas distâncias entre si são conhecidas, dadas como peso nas arestas e definidas pelafunção d : E Ñ R`, tais que,4 Do Inglês: Discretizable Distance Geometry Problem.5 Do Inglês: Discretizable Molecular Distance Geometry Problem.


• Dado uma ordem ă sobre os vértices de V , em que para todo v P V com ρpvq ą k,existe um subconjunto Sv Ď Npvq X γpvq que possui exatamente k elementos, talque Sv é uma k ´ clique em G;

• Dado uma realização parcial x dos k primeiros vértices de V em Rk e o k ´ simplexgerado por GrSvs possui volume positivo.

Existe uma função x : V Ñ Rk tal que, x é uma realização do grafo G em Rk e umaextensão de x.

Note que na Propriedade 1.2.4 o conjunto dos centros das esferas é independentede ordenação, assim podemos substituí-lo por Sv, visto que, possui cardinalidade igual a k.O kDDGP com k fixado é denotado por DDGPk.

Se voltarmos ao Exemplo 1.1.4 e tivéssemos a segunda condição da definiçãoacima na formulação do problema, saberíamos que tu, v, ru, os três vizinhos predecessoresa s, induziriam uma 3´ clique, cuja realização são pontos não colineares (volume positivo).Além disto, saberíamos que as possíveis posições para s, pertencem a interseção das esferascentradas em xu, xv e xr, com raios dus, dvs e drs, respectivamente. Assim, de acordo coma seção anterior, temos duas possíveis posições (com probabilidade 1) para s.

1.4 k-Problema de Geometria de Distância Molecular Discretizável

O kDMDGP , primeiro surgiu de um interesse prático em conformação deproteínas em R3, posteriormente foi generalizado para um espaço k ´ dimensional, comk arbitrário, que é o nosso foco neste trabalho, por este motivo, vamos redefini-lo. NokDMDGP , existe uma ordem total sobre os vértices de V , tal que quaisquer pk`1q vérticesconsecutivos induzem uma clique em G. A diferença entre o kDMDGP e o kDDGP é quekDMDGP , Sv “ Uv, isto é, os k predecessores devem ser imediatos à v. Logo os dados deentradas de kDMDGP , consistem em:

• Um grafo simples e ponderado G “ pV,E, dq, com |V | “ n;

• Um inteiro positivo k ď n;

• Uma ordem total ă sobre V de forma que:

- para cada v, com ρpvq ą k, o conjunto Npvq X γpvq de adjacentes predessoresà v, possui ao menos k elementos;

- para cada v, com ρpvq ą k, Npvq X γpvq contêm um subconjunto Uv comexatamente k elementos predecessores imediatos á v, tal que,


* GrUvs é um k ´ clique em G;

* a desigualdade triangular estrita ∆k´1pUv, dq ą 0 é verdadeira;

• Uma realização parcial válida x, dos k primeiros vértices de G, segundo a ordem ă.

Com este conjunto de hipóteses, é possível mostrar que cada vértice do grafo G, podeocupar um número finito de posições possíveis no espaço k ´ dimensional, respeitandoas restrições de distâncias em relação aos outros vértices. Segue então, que o espaço debusca por realizações viáveis dos grafos que satisfazem o conjunto com as hipóteses acima,torna-se discreto. Podemos observar que a discretização se dá por níveis simulando umaárvore, representado na Figura 9.

Figura 9 – À esquerda: árvore de discretização do espaço de busca de um kDMDP com 4 átomos ek “ 2. À direita: Ilustração das simetrias na árvore de busca.

Outra característica em instâncias discretizadas, que se destaca devido a natu-ralidade que aparece na metodologia proposta por nós neste trabalho, também observadae explorada por Lavor et al. (MUCHERINO; LAVOR; LIBERTI, 2012b; MUCHERINO;LAVOR; LIBERTI, 2011; MUCHERINO; LIBERTI; LAVOR, 2010; LIBERTI et al., 2011),são as simetrias existentes no espaço de busca do kDMDGP . A Figura 9 evidencia estassimetrias para k “ 2, por meio dos nós folhas da árvore, indicando-os sobre a interseçãode circunferências.

Observação 1.4.1. Note na Figura 9 que, dpxv1 , xv4q ‰ dpxv1 , x1v4q, portanto distâncias

adicionais na formulação do problema refere-se a distância entre o nível de partida e o nível


de chegada, visto que, o que ocorreu no exemplo, ocorre de maneira geral, isto é, se a esferaSk´1i não é um fator na interseção Sk´1

j`1 X¨ ¨ ¨XSk´1j`k , têm-se dpxvi

, xvj`k`1q ‰ dpxvi, x1vj`k`1

q,para todo i ă j ` 1.

Segue um exemplo que visa ilustrar as possíveis posições para os vértices deum grafo G e também apresentar o máximo para o conjuntos de todas as soluções de umkDMDGP associado a G.

Exemplo 1.4.2. Considere os vértices de V “ tv1, v2, v3, v4u ordenados segundo a ordemtotal do kDMDGP , com k “ 2, tais que E “ tt1, 2u, t1, 3u, t2, 3u, t2, 4u, t3, 4uu, ou seja,d1,2, d1,3, d2,3, d2,4, d3,4 são conhecidas, então existem duas possibilidade para posicionar oquarto vértice em R2, na interseção das esferas S1

2pv2, d2,4q X S13pv3, d3,4q, como ilustra a

Figura 10.

Figura 10 – Número de possibilidades para v4, as distâncias na cor preta são conhecidas.

Neste exemplo fica claro que, dpv1, v4q ‰ dpv1, v14q, pois o representante de v1

pertence a S12 , logo se tivermos o conhecimento a priori desta distância (d1,4), o número

de possibilidade para se posicionar quarto vértice é único.

Em aplicações, de modo geral, é comum conhecermos a priori algumas distânciasadicionais. Portanto, em uma situação mais geral, se existem pelo menos k predecesso-res adjacentes à v, satisfazendo as condições de um kDMDGP , o conjunto solução temcardinalidade no máximo 2n´pk`1q, já que pode existir um número superior a k de prede-cessores adjacentes à v, cujas distâncias podem ser um dado de entrada, isto é, podemser conhecidas. Com isso, um teste de factibilidade deve ser realizado, ou seja, ambas, oupelo menos uma posição para v, poderá ser infactível com respeito a estas restrições dedistâncias adicionais.


Observação 1.4.3. O DDGP é uma subclasse de problemas do DGP que tem conjuntosolução finito, mas pode ser demonstrado que continua sendo NP-difícil (MUCHERINO;LAVOR; LIBERTI, 2012a). Encontrar uma ordem para o kDMDGP , diferentemente doDDGP (polinomial), é um problema NP-difícil (CASSIOLI et al., 2015), mas dependendoda aplicação, a ordem pode ser obtida a partir das características do problema, por exemploo cálculo de estrutura de proteínas (LIBERTI et al., 2014). Queremos destacar que ahipótese sobre os k vértices anteriores é o "mínimo" que podemos exigir para garantira finitude do conjunto solução, apesar desta condição ser apenas suficiente. Este valortambém está no "limite" para atingir a polinomialidade, já que se exigirmos pk`1q vérticesanteriores, ocorrem podas em todos os níveis o que torna a busca proporcional a |V |.

33

2 Álgebra Geométrica

Neste capítulo, apresentaremos alguns conceitos fundamentais das Álgebras Ge-ométricas (GA’s1) e definiremos a Álgebra Geométrica Conforme (CGA2), que utilizaremosem uma subclasse do problema principal. A principal referência foi (PERWASS, 2009), masoutras abordagens sobre o tema podem ser encontradas nas referências (PERWASS; HIL-DENBRAND, 2004; FONTIJNE, 2007; HESTENES; SOBCZYCK, 1984; VAZ; ROCHA,2012; DORST; FONTIJNE; MANN, 2007; LOUNESTO, ; PORTEOUS, 1995; ROCHA;VAZ, 2006; ROCHA; VAZ, 2007).

2.1 Introdução

A álgebra geométrica (GA) surgiu na segunda metade do século XIX, comos trabalhos do matemático e filósofo inglês Willian Kingdon Clifford (1809 - 1879), sobinfluência direta dos trabalhos de Hamilton3 e Grassmann4. Clifford percebeu que a álgebraexterior de Grassmann e os quatérnions de Hamilton poderiam ser descritos em umamesma álgebra fundamentada em um único produto, denominado produto geométrico.

Uma vez que definiremos apenas as álgebras geométricas sobre o corpo dosreais neste texto, todo o desenvolvimento se dará sobre o espaço vetorial Rp,q (ver definiçãoabaixo). Por simplicidade, onde aparecer n neste capítulo, entenda p` q.

Definição 2.1.1. (Espaço Quadrático) Seja Rp,q o espaço vetorial n ´ dimensional

sobre o corpo dos reais R. Considere o produto comutativo definido como ˚ : Rp,qˆRp,q

Ñ R,isto é, para todo a, b P Rp,q,

a ˚ b “ b ˚ a P R.

O par pRp,q, ˚q significa Rp,q munido da métrica ˚ e é denominado espaço quadrático deassinatura pp, qq.

Definição 2.1.2. (Base Vetorial Canônica) A base canônica de Rp,q é definida peloconjunto totalmente ordenado, indicado por

β “ te1, ¨ ¨ ¨ , ep, ep`1, ¨ ¨ ¨ , ep`qu Ă Rp,q,

1 Do Inglês: Geometric Algebras.2 Do Inglês: Conformal Geometric Algebra.3 Willian Rowan Hamilton (1805 - 1865) foi Físico e Matemático Irlandês.4 Hermann Günther Grassmann (1809 — 1877) foi Físico e Matemático Alemão.

Capítulo 2. Álgebra Geométrica 34

onde todo teiu satisfaz,

ei ˚ ej “

$

’

&

’

%

`1; 1 ď i “ j ď p,

´1; p ă i “ j ď p` q,

0; i ‰ j.

(2.1)

2.1.1 Produto Geométrico

A ideia inicial do produto geométrico foi introduzida por Grassmann, mas foiClifford quem reconheceu seu enorme potencial e o formalizou para dimensões maiores,motivo pelo qual o produto geométrico também é conhecido como Produto de Clifford.Com o produto geométrico, as regras de multiplicação dos quatérnions seguem diretamentede combinações de vetores da base, enquanto que a álgebra de Grassmann é preservada.

Baseado nos números reais, com a propriedade x2“ |x|2, o produto geométrico

estende este conceito para vetores em um espaço linear qualquer, com o corpo dos reais euma métrica neste espaço5.

Definição 2.1.3. (Produto Geométrico) O produto geométrico6 (ou produto de Clifford)é associativo e quando aplicado a um vetor a P Rp,q por ele mesmo, é definido por:

aa “ a ˚ a. (2.2)

De modo geral, o produto geométrico é definido para quaisquer dois vetoresa, b P Rp,q, por meio de dois novos produtos denominados comutador e anti-comutador.

Definição 2.1.4. (Produto geométrico entre dois vetores) Sejam a, b P Rp,q. Oproduto geométrico entre a e b é definido pela expressão

ab “ a Y b` a X b, (2.3)

onde a Y b e a X b são chamadas de partes comutador e anti-comutador do produtogeométrico, respectivamente.

Note que,

pa` bqpa` bq “ pa` bq ˚ pa` bq

ðñ aa` ab` ba` bb “ a ˚ a` 2a ˚ b` b ˚ b,

implicando ema ˚ b “

12pab` baq.

5 Vale ressaltar que métricas com assinatura negativa pode produzir um produto negativo.6 O produto geométrico será representado aqui por justaposição de símbolos.


Portanto, segue que o simbolo (Y) representa o produto interno entre vetores de Rp,q,usualmente representado por

a ¨ b “12pab` baq. (2.4)

Analogamente, segue quea X b “

12pab´ baq

que por sua vez representa o produto exterior usual entre vetores, ou seja,

a^ b “12pab´ baq. (2.5)

Dois vetores a, b P Rp,q são ortogonais entre si, se a ˚ b “ 0, ou, em termos deproduto geométrico, se a Y b “ 0. Portanto, todo elemento da base canônica satisfaz aseguinte propriedade:

ei ˚ ei ‰ 0 e ei ˚ ej “ 0; @i ‰ j. (2.6)

Como para i ‰ j,

eiej “ ei ˚ ej ` ei ^ ej “ ei ^ ej e ejei “ ej ˚ ei ` ej ^ ei “ ej ^ ei

e como a^ b “ ´b^ a, por definição,

eiej “ ´ejei. (2.7)

Note que, se considerarmos a associatividade e as Equações (2.6) e (2.7) temos que

peiejq2“ peiejqpeiejq “ eipejeiqej “ eip´eiejqej “ ´1. (2.8)

Assim, eiej não satisfaz nem a condição de escalar e nem a condição de vetor em Rp,q.Na verdade, como ilustrado na Figura 11, eiej é um fragmento de plano orientado que sedifere de ejei apenas pela orientação7.

Considere o exemplo particular para o caso p “ 3 e q “ 0, isto é, R3,0” R3

com a métrica euclidiana usual:

Exemplo 2.1.5. Sejam a “ a1e1 ` a2e2 ` a3e3 e b “ b1e1 ` b2e2 ` b3e3 dois vetores de R3

escritos na base canônica te1, e2, e3u. Considerando a distributividade, tem-se que

aa “ pa1e1 ` a2e2 ` a3e3qpa1e1 ` a2e2 ` a3e3q

“ a21e1e1 ` a

22e2e2 ` a

23e3e3 ` a1a2re1e2 ` e2e1s

` a2a3re2e3 ` e3e2s ` a1a3re1e3 ` e3e1s.

7 Por simplicidade, considere a abreviação de eiej por eij .


Figura 11 – Fragmento de planos orientados gerados a partir do produto geométrico dosvetores a, b P R3 dado no Exemplo 2.1.5, segundo as regras de orientaçãodadas pela mão direita (SILVA, 2009).

Por outro lado, como a ¨ a “ |a|2 ( produto interno usual), segue que

a ¨ a “ a21 ` a

22 ` a

23.

Da Definição 2.1.4, vem as relações

eiei “ 1, com i “ 1, 2, 3 (2.9)

eiej ` ejei “ 0, @i ‰ j. (2.10)

Entretanto, se calcularmos o produto geométrico entre os vetores a e b, consi-derando as relações dadas nas Equações (2.9) e (2.10), teremos

ab “ pa1e1 ` a2e2 ` a3e3qpb1e1 ` b2e2 ` b3e3q

“ pa1b1 ` a2b2 ` a3b3q ` pa1b2 ´ a2b1qe1e2 ` pa2b3 ´ a3b2qe2e3 ` pa3b1 ´ a1b3qe3e1

“ a ¨ b` a^ b.

Definido a partir da junção dos produtos usuais interno e exterior de vetores, oproduto geométrico possui propriedades poderosas, tais como: é um produto invertível etodos os outros produtos lineares e alguns não lineares da álgebra geométrica podem serdescritos em termos dele.


Definição 2.1.6. Para todo vetor a P Rp,q não nulo, existe um único vetor b P Rp,q quesatisfaz a sentença ab “ 1. Denotamos b por a´1, definido por,

a´1“

a

||a||2. (2.11)

As propriedades abaixo seguem diretamente da Definição 2.1.4, para vetoresem espaços euclidianos, destacadas em (MACDONALD, October 15, 2012).

Propriedades 2.1.7. Sejam a, b P Rp. Valem as seguintes propriedades:

P1 : aa “ a^ a` a ¨ a “ a ¨ a;

P2 : ab “ a^ bô ab “ ´baô a ¨ b “ 0 ô a K b, onde K significa ortogonalidade entre ae b;

P3 : ab “ a ¨ bô ab “ baô a^ b “ 0 ô a ‖ b, onde ‖ significa paralelismo entre a e b.

A interpretação geométrica do produto ab, em espaços euclidianos com a métricausual, pode ser vista na Figura 12, onde destaca-se que: dado um vetor a e as medidasa ¨ b e a^ b, o produto interno a ¨ b fixa um valor para o tamanho da projeção de b sobre ae as possíveis extremidades de "chegada" para o vetor b "andam" por cima de uma linhafixa, ortogonal ao vetor a, enquanto que o produto externo a ^ b fixa uma distância hortogonal a a. Combinando as duas informações, existe um único vetor b. A unicidade deb nos permite definir a inversão geométrica dos vetores de Rn.

Figura 12 – Os produtos interno e exterior são não invertíveis, mas se combinam paracriar um produto invertível.


2.2 k-Vetores e k-Espaços

Assim como os vetores em Rp, que possuem direção, sentido e comprimento, oproduto exterior entre dois vetores em Rp,q gera um novo elemento geométrico que possuilugar geométrico bem definido no espaço, uma magnitude que é definida pela "área" desteobjeto e uma orientação, definida de acordo com a disposição dos vetores geradores, comoilustra a Figura 13 para o caso particular p “ 3 e q “ 0.

onde:a4 “ a1b2 ´ a2b1a5 “ a2b3 ´ a3b2a6 “ a3b1 ´ a1b3

Figura 13 – O produto exterior dos vetores a, b P R3 dados no Exemplo 2.1.5 e suasprojeções nos planos coordenados. A área é dada de maneira clássica pelanorma do produto vetorial entre a e b, denotada aqui por |a^ b|, a orientaçãopode ser, tanto o sentido horário a^ b ou o sentido anti-horário b^ a (SILVA,2009).

De maneira geral, outros elementos são definidos por meio do produto exteriorentre três ou mais vetores, conforme a definição abaixo.

Definição 2.2.1. (k-vetores) Um k ´ vetor, denotado por Ak, é definido por todacombinação entre produtos exteriores de uma quantidade "k" de vetores do Rp,q, descritospela equação

Ak “ÿ

a1 ^ a2 ^ ¨ ¨ ¨ ^ ak. (2.12)

Por convenção, 0 ´ vetor é o mesmo que escalar, e segue da definição que1 ´ vetor é o mesmo que vetor. É comum usarmos a denominação bivetor para um2´ vetor, trivetor para um 3´ vetor, etc.

Se os vetores ai P Rp,q; i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , k, são linearmente independentes, ok ´ vetor gerado pelo produto exterior sucessivo dos a1is é um representante especial deRp,q, definido por:


Definição 2.2.2. (k-blade) Um blade A de graduação k, denominado por k-blade8 edenotado por Axky, é o produto exterior de “k” vetores de Rp,q linearmente independentes,isto é,

Axky “kľ

i“1ai. (2.13)

Dizemos que um blade é básico, se os vetores a1is são mutuamente ortogonais entre si,assim podemos escrevê-los por

Axky “kź

i“1ai. (2.14)

Claramente, um k ´ blade é uma combinação linear de blades básicos degraduação k. Entretanto, nem toda combinação linear de blades básicos de graduação k éum k ´ blade.

Exemplo 2.2.3. Seja A dado pela combinação A “ e1e2 ` e1e3. Segue que A é tanto umbivetor quanto um 2´ blade, visto que A “ e1 ^ pe2 ` e3q. Entretanto, B “ e1e2 ` e3e4 éum bivetor, mas não é um 2´ blade.

Definição 2.2.4. (k-espaços) O espaço gerado pelo conjunto dos k´vetores é um espaço

linear, denominado espaço dos k-vetores e denotado porkľ

pRp,qq.

2.2.1 k-Base Vetorial

Definição 2.2.5. (Independência Linear entre blades) Sejam a1, a2, ¨ ¨ ¨ , an P Rp,q

linearmente independentes. Dois k ´ blades representados por

Aixky “ ai1 ^ ai2 ^ ¨ ¨ ¨ ^ aik e Ajxky “ aj1 ^ aj2 ^ ¨ ¨ ¨ ^ ajk

são linearmente independentes se, e somente se, seus termos contêm ao menos um vetordiferente.

Definição 2.2.6. (Base dekľ

pRp,qq) Uma base para o espaço linear

kľ

pRp,qq, com 0 ď

k ď n, é obtida combinando todos os possíveis k-blades linearmente independentes. Se a

base βi dei

ľ

pRp,qq é formada a partir da base canônica de Rp,q, a chamamos de base

canônica dekľ

pRp,qq.

8 Os termos k-blade e objetos geométrico têm o mesmo significado e são ambos utilizados nesse trabalho.


Por exemplo, se considerarmos a base canônica β “ tei P Rp,q{ i “ 1, ¨ ¨ ¨ , nu, o

conjunto dos k-blades Ajxky “

kź

i“1ei “ ej1 ^ ej2 ^ ej3 ^ ¨ ¨ ¨ ^ ejk

9, onde os k elementos ejl

são tomados k a k em β, estabelece uma base canônica para o espaço linearkľ

pRp,qq.

Exemplo 2.2.7. Considere p “ 3, q “ 0 e β “ te1, e2, e3u. As bases βi dei

ľ

pR3qi; i “

0, ¨ ¨ ¨ , 3, são dadas por

• β0 “ t1u;

• β1 “ te1, e2, e3u;

• β2 “ te12, e23, e31u;

• β3 “ te123u.

Teorema 2.2.8. O produto exterior de uma quantidade m de vetores do Rp,q, (tomandon “ p` q), se anula sempre que m ą n, isto é,

x1 ^ x2 ^ ¨ ¨ ¨ ^ xm “ 0; @m ą n

Demonstração. Considere o produto exterior de n` 1 vetores x1^x2^ ¨ ¨ ¨^xn^xn`1 emRp,q. Como n “ dimpRp,q

q, necessariamente o conjunto tx1, x2, ¨ ¨ ¨ , xn, xn`1u é linearmentedependente, ou seja, ao menos um vetor no conjunto pode ser escrito como combinação

linear dos outros vetores. Sem perda de generalidade considere xn`1 “

nÿ

j“1ajxj. Então,

x1 ^ x2 ^ ¨ ¨ ¨ ^ xn ^ xn`1 “ x1 ^ x2 ^ ¨ ¨ ¨ ^ xn ^ pa1x1 ` a2x2 ` ¨ ¨ ¨ ` anxnq. (2.15)

Desenvolvendo a Equação (2.15), temos que

x1 ^ x2 ^ ¨ ¨ ¨ ^ xn ^ xn`1 “ p´1qn´1a1px1 ^ x1q ^ x2 ^ ¨ ¨ ¨ ^ xn

`p´1qn´2a2x1 ^ px2 ^ x2q ^ ¨ ¨ ¨ ^ xn

` ¨ ¨ ¨ ` anx1 ^ x2 ^ ¨ ¨ ¨ ^ pxn ^ xnq

“ 0.

Portanto, uma fórmula para calcular a dimensão do espaçokľ

pRp,qq é obtida

combinando k a k todas as possíveis formações de blades com os n vetores da base de Rp,q,ou seja,9 A ordem dos vetores usados para construir os elementos da base é uma questão de convenção, mas

converter depende apenas da aplicação das propriedades do produto exterior.


Fórmula 2.2.9.

dimkľ

pRp,qq “

ˆ

n

k

˙

“n!

k!pn´ kq! .

Todo k-vetor Ak Pkľ

pRp,qq é escrito como combinação de k-blades, isto é,

Ak “

pnkqÿ

i“1aiA

ixky; com ai P R. (2.16)

Exemplo 2.2.10. Considere p “ 3, q “ 0 e β “ te1, e2, e3u uma base para R3. EntãoA2 “ a1A

1x2y ` a2A

2x2y ` a3A

3x2y, onde A1

x2y “ e12, A3x2y “ e31 e A2

x2y “ e23, como podemosobservar na Figura 13, na decomposição do bivetor B.

2.3 Espaço Multivetorial

Definição 2.3.1. (Espaço Multivetorial) Os espaços lineareskľ

pRp,qq, para 0 ď k ď

n “ p ` q, não possuem interseção. Assim, se considerarmos a soma direta entre eles,teremos um novo espaço linear nomeado por Espaço Multivetorial, denotado por

ľ

pRp,qq,

formalmente indicado porľ

pRp,qq “ ^

0pRp,q

q ‘ ^1pRp,q

q ‘ ^2pRp,q

q ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ ^npRp,q

q, (2.17)

onde0ľ

pRp,qq ” R e

1ľ

pRp,qq ” Rp,q. Seus elementos, representados na Tabela 1, são

chamados de multivetores, descritos pela equação:

A “nÿ

j“0Aj, (2.18)

onde Aj Pjľ

pRp,qq.

2.3.1 Base Multivetorial

Definição 2.3.2. (Base) Uma base deľ

pRp,qq é definida por β “

nď

i“0βi e sua dimensão

é o somatório de todas as combinações obtidas pela Fórmula 2.2.9, definida por,

Fórmula 2.3.3.dim

ľ

pRp,qq “

nÿ

i“0

ˆ

n

i

˙

“ 2n.


Definição 2.3.4. (Pseudo-escalar) O elemento da base βi deľ

pRp,qq, de graduação

correspondente a do espaço gerador Rp,q, quando existe é chamado de pseudo-escalar. Seβi é a base canônica, então o pseudo-escalar é denotado por I e escrito como

I “ e1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ en, com n “ p` q.


pRp,qq.

Dimensão Espaço Linear Elementosˆ

n

0

˙ 0ľ

pRp,qq 0-vetores (ou escalares)

ˆ

n

1

˙ 1ľ

pRp,qq 1-vetores (ou vetores)

ˆ

n

2

˙ 2ľ

pRp,qq 2-vetores

ˆ

n

3

˙ 3ľ

pRp,qq 3-vetores

... ... ...ˆ

n

n´ 1

˙ n´1ľ

pRp,qq (n-1)-vetores (ou pseudo-vetores)

ˆ

n

n

˙ nľ

pRp,qq n-vetores (ou pseudo-escalares)

Fonte: (PERWASS, 2009).

Exemplo 2.3.5. Considere o espaço multivetorialľ

pR3q “

0ľ

pR3q‘

1ľ

pR3q‘

2ľ

pR3q‘

3ľ

pR3q. Logo, uma base deve conter 8 elementos. Seja β “ tE1, E2, ¨ ¨ ¨ , E8u uma base

paraľ

pR3q, onde Ei representa o i´ ésimo elemento. Então, todo A P

ľ

pR3q, pode ser

escrito como A “8ÿ

i“1aiEi, com ai P R, ou ainda, se considerarmos a base canônica para

R3, devemos ter

A “ a11` a2e1 ` a3e2 ` a4e3 ` a5e23 ` a6e31 ` a7e12 ` a8I,

como representados nas Tabelas 2 e 3 abaixo.

Definição 2.3.6. (Projeção de Grau) Seja Ei P β, o i´ ésimo elemento em uma baseβ de

ľ

pRp,qq. Então, a projeção de grau para Ei sobre a graduação k é escrita por xEiyk,

definida por

xEiyk “

#

Ei, grpEiq “ k;0, grpEiq ‰ k.

(2.19)



pR3q.

Dimensão Espaço Linear Elementos

10ľ

pR3q 0-vetores (ou escalares)

31ľ

pR3q 1-vetores (ou vetores)

32ľ

pR3q 2-vetores (ou pseudo-vetores)

13ľ

pR3q 3-vetores (ou pseudo-escalares)


Tabela 3 – Elementos básicos canônicos deľ

pR3q.

Sigla de Posicionamento blade Graduação (gr) AbreviaçãoE1 1 0 1E2 e1 1 e1E3 e2 1 e2E4 e3 1 e3E5 e2e3 2 e23E6 e3e1 2 e31E7 e1e2 2 e12E8 e1e2e3 3 I


O operador projeção de grau é distributivo, ou seja, dado A “

2nÿ

i“1aiEi P

ľ

pRp,qq, segue que

xAyk “2nÿ

i“1aixEiyk. (2.20)

2.3.2 Produtos Generalizados emľ

pRp,qq

Para realizar comparações entre subespaços do espaço multivetorialľ

pRp,qq,

faz-se necessário a generalização dos conceitos dos produtos geométrico, exterior e escalar.Além disso, definiremos uma generalização do produto interno, que possibilita fazer relaçõesentre blades de graduações distintas, e assim, subespaços de diferentes dimensões.

Definição 2.3.7. (Produto Geométrico Generalizado) Dados dois blades Axky, Bxly Pľ

Rp,q, com graduações k e l, respectivamente, o produto geométrico entre eles é dado


pela equação

AxkyBxly “nÿ

r“0xAxkyBxlyyr. (2.21)

A fórmula geral para o cálculo do produto geométrico entre dois blades quaisqueré definida neste trabalho segundo Hestenes10. Sua demonstração se dá por indução finita euma ideia de como proceder pode ser encontrada em (ZENI, 1992).

Axky e Bxly são combinações lineares de blades básicos de graduação k e l,respectivamente. Se dois blades básicos Exky, Exly, na base de

ľ

pRp,qq, possuem m vetores

básicos em comum, então

ExkyExly “ xExkyExlyyk`l´2m. (2.22)

Por exemplo,pe2e3qpe3e1q “ e2pe3e3qe1 “ e2e1 “ ´e1e2.

Fórmula 2.3.8. Dados os blades ax1y e Bxly de dimensões 1 e l, respectivamente, o produtogeométrico entre eles é dado por:

ax1yBxly “ ax1y ¨Bxly ` ax1y ^Bxly. (2.23)

Uma generalização para quaisquer blades também é feita para as partes simétrica(comutador) e anti-simétrica (anti-comutador) do produto geométrico, por meio da relaçãoentre os multivetores resultantes, estabelecida pela fórmula :

Fórmula 2.3.9. (Relação entre AB e BA) Dados os blades Axky e Bxly com dimensõesk e l respectivamente, o produto geométrico entre eles se relacionam pela expressão

BxlyAxky “

mintk,luÿ

j“0p´1qδxAxkyBxlyyγ, (2.24)

onde δ “ kpk ´ 1q ` lpl ´ 1q ` γpγ ´ 1q2 , com γ “ |k ´ l| ` 2j.

Assim, as partes simétrica e anti-simétrica ficam definidas no espaço multiveto-rial

ľ

Rp,q pelas equações:

A Y B “12pAB `BAq e A X B “

12pAB ´BAq, (2.25)

para quaisquer multivetores A e B. O produto geométrico na sua forma geral satisfaz asseguintes propriedades.10 David Orlin Hestenes (Maio, 1933) é Físico Americano.


Propriedades 2.3.10. O produto geométrico é associativo e distributivo, mas em geralnão é comutativo, ou seja, dados multivetores A,B,C P

ľ

Rp,q, tem-se:

P1 : pABqC “ ApBCq;

P2 : ApB ` Cq “ AB ` AC e pB ` CqA “ BA` CA;

P3 : AB ‰ BA, em geral.

Exemplo 2.3.11. Sejam A,B P ^2Rp,q

Ăľ

Rp,q, com q “ 0 e p ě 4, dois bivetoresdados por A2 “ e12 ` e23 e B2 “ e34 ` e12. Então,

AB “ pe12 ` e23qpe34 ` e12q

“ e1234 ´ 1` e24 ` e31

“ ´1` e24 ` e31 ` e1234

“ xABy0 ` xABy2 ` xABy4.

Assim, pela Equação 2.24, segue que

BA “ xABy0 ´ xABy2 ` xABy4

“ ´1´ pe24 ` e31q ` e1234.

Logo, AB ‰ BA. Pelas Equações (2.25), segue que

A Y B “ xCy0 ` xCy4 “ ´1` e1234 e A X B “ xCy2 “ e24 ` e31.

Note que, entre os multivetores resultantes de dimensões 0 e 4 (parte simétrica),existe um multivetor de dimensão 2 (parte anti-simétrica). De forma geral, tem-se oaparecimento de multivetores de dimensões intermediarias à |k ´ l| e k ` l, característicodo produto geométrico dado na Definição 2.3.7.

Definição 2.3.12. (Produto Exterior Generalizado) Dados os blades Axky, Bxly Pľ

pRp,qq, com 0 ď k ` l ď n “ p` q, o produto exterior entre eles é definido por

Axky ^Bxly “ xAxkyBxlyyk`l. (2.26)

A generalização do produto interno no espaço multivetorial permite estabelecerrelações entre subespaços de dimensões distintas, eliminando a parte em comum entre ossubespaços.

Definição 2.3.13. (Produto Interno Generalizado) Sejam os blades Axky, Bxly Pľ

pRp,qq. O produto interno entre eles é dado por

Axky ¨Bxly “ xAxkyBxlyy|k´l|. (2.27)


Portanto, o produto interno generalizado sempre reduz a graduação do bladeresultante. A principal diferença entre o produto interno generalizado e o produto exteriorgeneralizado é que o produto interno não é associativo.

Propriedade 2.3.14. Sejam αx0y, ax1y, Axky, Bxly, Cxmy Pľ

pRp,qq, com suas respectivas

dimensões. Então, valem as seguintes propriedades:

P1 : ax1y ¨ Axky “12pax1yAxky ´ p´1qkAxkyax1yq;

P2 : Axky ¨Bxly “ p´1qkpl`1qBxly ¨ Axky;

P3 : pAxky ¨Bxlyq ¨ Cxmy “ Axky ¨ pBxly ¨ Cxmyq, com 1 ď k, l,m ď n e l ě k `m;

P4 : ax1y ¨ pAxky ^Bxlyq “ pax1y ¨ Axkyq ^Bxly ` p´1qkAxky ^ pax1y ¨Bxlyq;

P5 : pAxky ^Bxlyq ¨ Cxmy “ Axky ¨ pBxly ¨ Cxmyq com 1 ď k, l,m ď n e m ě k ` l.

Fórmula 2.3.15. Dados os blades Ax1y e Bxly com dimensões 1 e l, respectivamente, oproduto interno entre eles é dado por

Ax1y ¨Bxly “ ax1y ¨Bxly “lÿ

i“1p´1qi`1

pa1 ¨ biqrBxlyzbis, (2.28)

onde rBxlyzbis denota o blade Bxly menos o termo bi. Para um k P N` qualquer, tem-se:

Axky ¨Bxly “ pa1 ¨ pa2 ¨ p¨ ¨ ¨ ¨ pak ¨Bxlyqqqq. (2.29)

A interpretação geométrica da Definição 2.3.13 é: remover de Bxly, a parte "emcomum" com Axky. Como podemos observar no exemplo abaixo:

Exemplo 2.3.16. Sejam A,B P Clp,q, onde A “ e1 ` e3 é uma combinação de blades degraduação um e B “ e1 ^ e2 é um blade de graduação dois, ilustrado na Figura 14. Temosque

A ¨B “ pe1 ` e3q ¨ pe1 ^ e2q

“ e1 ¨ pe1 ^ e2q ` e3 ¨ pe1 ^ e2q

“ pe1 ¨ e1qe2 ´ pe1 ¨ e2qe1 ` pe3 ¨ e1qe2 ´ pe3 ¨ e2qe1

“ e2.

Segue da Definição 2.3.12 que

A^B “ xABy3 “ e123,


visto que

AB “ pe1 ` e3qpe1 ^ e2q

“ pe1 ` e3qpe1e2q

“ e1pe1e2q ` e3pe1e2q

“ e2 ` e123.

e3

e1e2

B “ e1 ^ e2

A ¨B

A “ e1 ` e3

Figura 14 – Exemplo de produto interno generalizado. Note que o vetor A ¨B é ortogonalao vetor A.

Definição 2.3.17. (Blade Nulo) Um blade Axky Pkľ

pRp,qq é chamado de blade-nulo se

Axky ¨ Axky “ 0.

Definição 2.3.18. (Produto Escalar Generalizado) Dados os blades Axky, Bxly Pľ

pRp,qq, o produto escalar entre eles é definido por

Axky ˚Bxly “ xAxkyBxlyy0. (2.30)

Se k “ l ‰ 0, o produto escalar é igual ao produto interno generalizado, e se k ‰ l, entãoAxky ˚Bxly “ 0. Segue da P2, nas Propriedades 2.3.14, que para k “ l, temos que

Axky ˚Bxky “ p´1qkpk`1qBxky ˚ Axky “ Bxky ˚ Axky, (2.31)

visto que kpk ` 1q é sempre par.

2.4 Axiomática da Álgebra Geométrica

Definição 2.4.1. Uma álgebra A11 sobre um corpo K é um espaço vetorial sobre Kmunido de um produto ‹ : AˆA ÝÑ A, pa, bq ÞÑ a ‹ b, que é bilinear12 para todo a, b P A.11 A é dita comutativa (ou abeliana) se: a ‹ b “ b ‹ a e é dita associativa se: pa ‹ bq ‹ c “ a ‹ pb ‹ cq.12 Linear em ambas as entradas.


Definição 2.4.2. (Álgebra Geométrica) A Álgebra Geométrica, denotada por Clp,q, éuma álgebra associativa, definida sobre o espaço quadrático pRp,q, ˚q, descrita pelo espaçomultivetorial

ľ

Rp,q e munida do produto geométrico. Denotamos os espaços lineareareskľ

Rp,q por Clkp,q, com k “ 0, 1, ¨ ¨ ¨ , p` q e Clp,q por,

Clp,q “ Cl0p,q ‘ Cl1p,q ‘ Cl2p,q ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ Clnp,q, (2.32)

onde n “ p` q. Seus elementos são multivetores descritos pela expressão

A “ xAy0 ` xAy1 ` xAy2 ` ¨ ¨ ¨ ` xAyn, onde xAyk P Clkp,q. (2.33)

Clp,q satisfaz os seguintes axiomas:

Axioma 2.4.3. O corpo de escalares R é um subespaço de Clp,q, denominado espaço dosmultivetores de graduação zero, ou 0-vetores (Cl0p,q ” R);

Axioma 2.4.4. O Espaço vetorial Rp,q é um subespaço de Clp,q, chamado espaço vetorialdos multivetores de graduação 1 ou 1´ vetores (Cl1p,q ” Rp,q);

Axioma 2.4.5. Os demais multivetores resultam do produto geométrico entre 1-vetores;

Axioma 2.4.6. Clp,q é fechado para as operações de adição de multivetores e de multipli-cação por escalar, isto é, para todos A,B P Clp,q e α P R, A`B P Clp,q e αA P Clp,q;

Axioma 2.4.7. A adição em Clp,q é comutativa e associativa, ou seja, dados A,B,C P Clp,q,vale:

A`B “ B ` A e pA`Bq ` C “ A` pB ` Cq;

Axioma 2.4.8. Existe um único multivetor em Clp,q, denominado nulo e denotado por 0,tal que,

A` 0 “ A, @A P Clp,q;

Axioma 2.4.9. Para todo multivetor A P Clp,q, existe um multivetor denotado por´A P Clp,q, denominado inverso aditivo, tal que,

A` p´Aq “ 0;

Axioma 2.4.10. A multiplicação por escalar em Clp,q é comutativa e associativa, ou seja,dados α, β P R e A P Clp,q vale:

αA “ Aα e αpβAq “ pαβqA;

Axioma 2.4.11. Existe um único multivetor em Clp,q, denominado neutro escalar edenotado por 1 P R, tal que,

1A “ A1 “ A, @A P Clp,q;


Axioma 2.4.12. A multiplicação por escalar satisfaz a distributividade em relação àadição em Clp,q, ou seja,

αpA`Bq “ αA` αB e pα ` βqA “ αA` βA, @A,B, α, β P Clp,q;

Axioma 2.4.13. O produto geométrico é associativo em Clp,q, ou seja,

pABqC “ ApBCq, @A,B,C P Clp,q;

Axioma 2.4.14. O produto geométrico satisfaz a distributividade em relação à adiçãoem Clp,q, ou seja,

ApB ` Cq “ AB ` AC e pA`BqC “ AC `BC, @A,B,C P Clp,q;

Axioma 2.4.15. 13 Para todo a P Rp,q, o produto geométrico aa é denominado magnitudede a e satisfaz a seguinte relação:

aa “ a ¨ a P R.

2.4.1 Objetos Geométricos em AG

A ideia de se construir outros espaços, comokľ

pRp,qq ” Clkp,q, a partir dos

vetores de Rp,q tem um fundamento geométrico associado a objetos geométricos de naturezadistinta no espaço multivetorial. Com a propriedade de inversão do produto geométrico,permite-se estabelecer relações entre esses espaços com significados geométricos bemdefinidos. Com isso, transformações rígidas entre estes espaços se apresentam de maneiranatural por meio do produto geométrico.

De maneira geral, existem duas formas de caracterizar objetos geométricos emAG: uma via espaço nulo do produto interno (IPNS14) e outra via espaço nulo do produtoexterior (OPNS15).

Definição 2.4.16. (Espaço Nulo do Produto Exterior-OPNS) O espaço nulo doproduto exterior de um blade Axky P Clkp,q Ă Clp,q, denotado por NEpAxkyq, é definido por

NEpAxkyq “ tX P Cl1p,q{X ^ Axky “ 0u. (2.34)

O conjunto acima significa que o objeto geométrico denotado por Axky fica totalmentedeterminado pelo espaço nulo do produto exterior generalizado.13 O Axioma 2.4.15, em geral, não vale para um multivetor qualquer.14 Do Inglês:Inner-Product Null Space15 Do Inglês: Outer-Product Null Space


Definição 2.4.17. (Espaço Nulo do Produto Interno-IPNS). O espaço nulo doproduto interno de um blade Axky P Clkp,q Ă Clp,q, denotado por N IpAxkyq, é definido por,

N IpAxkyq “ tX P Cl1p,q{X ¨ Axky “ 0u. (2.35)

Analogamente à definição acima, o objeto geométrico representado por Axky fica totalmentedeterminado pelo espaço nulo do produto interior generalizado.

A principal diferença entre as definições acima é que IPNS depende da métricado espaço representativo, enquanto que OPNS depende apenas das propriedades algébricasdo objeto geométrico.

2.4.2 Operadores Geométricos em Clp,q

Definição 2.4.18. (Involução) Uma involução de um blade Axky P Clp,q, denotada porpA, é definida pelo operador p: Clp,q Ñ Clp,q, dada por

pAxky “ p´1qkAxky. (2.36)

A graduação (ou dimensão) de pAxky é par se p´1qk “ `1 e ímpar se p´1qk “ ´1.

Definição 2.4.19. (Reversão) Uma reversão de um blade Axky P Clkp,q, denotada porrAxky, é definida pelo operador „: Clp,q Ñ Clp,q, dada por

rAxky “ p´1qkpk´1q{2Axky. (2.37)

Portanto, dados dois blades Axky, Bxly P Clp,q, tem-se,

ČpAxky ^Bxlyq “ rBxly ^ rAxky e ČpAxkyBxlyq “ rBxly rAxky. (2.38)

Definição 2.4.20. (Conjugação) A conjugação de um blade Axky P Clp,q, denotada porA, é definida pelo operador ´ : Clp,q Ñ Clp,q como uma "Involução + Reversão", ou seja,

Axky “x

ĂAxky. (2.39)

Portanto, dados dois blades Axky, Bxly P Clp,q, tem-se,

pAxky ^Bxlyq “ Bxly ^ Axky e pAxkyBxlyq “ Bxly Axky. (2.40)


Definição 2.4.21. (Magnitude) A magnitude16 de um blade Axky P Clp,q é dada por:

||Axky|| “b

|Axky ˚ Ãxky|. (2.41)

Considere o n´ blade Axny de maior dimensão, isto é, n “ p` q. Tal blade ésempre proporcional ao pseudoescalar e sempre pode ser escrito em termos dos 1-vetoresbásicos ei, isto é,

Axny “ αnź

i“1ei “ αI; α P R.

Portanto, Axny não pode ser nulo. Além disso, se Axny P Cln, isto é, p “ n, q “ 0, para umblade na álgebra geométrica euclidiana, vale IrI ą 0 e, assim, Axny rAxny ą 0. Claramente,todo blade pode ser escrito pelo produto geométrico de um conjunto ortogonal de vetores.

Suponha que taiu Ă Cl1n denota o conjunto ortogonal de vetores tal que, Axny “nź

i“1ai.

Temos, então,

||Axny|| “nź

i“1||ai||.

Se taiu é escrito como linhas de uma matriz quadrada G, o determinante destamatriz ortogonal também é dado pelo produto das magnitudes dos vetores de linhas, istoé,

Axny “ detpGqI.

Definição 2.4.22. (Inversão) Seja Axky P Clp,q um blade não nulo, então seu inversogeométrico é dado por

A´1xky “

rAxky

Axky rAxky, (2.42)

quando ||Axky|| “ 0, dizemos que o blade não possui inverso.

Pela a teoria de contagem17, segue que o número de elementos na base dos

subespaçoskľ

Rn en´kľ

Rn são iguais. Consequentemente, existe uma relação biunívocaentre os elementos de Clkn e Cln´kn em Cln, definida por

Definição 2.4.23. (Dualidade)Dado um blade Axky P Clp,q, seu dual é definido pelaaplicação ‹ : Clkn Ñ Cln´kn , naturalmente definida por meio do produto geométrico,

A‹xky “ AxkyI´1xny, (2.43)

16 A magnitude de um blade pode ser zero em alguns espaços representativos da álgebra geométrica,por exemplo o espaço conforme.

17ˆ

n

k

˙

“

ˆ

n

n´ k

˙

.


onde I´1xny representa o inverso do pseudoescalar. A operação de dualidade sobre

blade fica mais clara com a relação entre as representações OPNS e IPNS de um blade.Sejam x P Clp,q e Axky P Clp,q não nulos, com k ě 1. Então,

px^ Axkyq‹“ px^ Axkyq ¨ I

´1“ x ¨ A‹xky.

Comox^ Axky “ 0 ðñ x ¨ A‹xky “ 0,

segue queNEpAxkyq “ N IpAxkyq.

Portanto, as representações IPNS e OPNS estão diretamente relacionadas pela operaçãodual.

Exemplo 2.4.24. Considere os elementos da base canônica de R3. A Tabela 4 apresentaos duais dos subespaços canônicos da álgebra geométrica Cl3.

Tabela 4 – Dualidade em Cl3

Subespaços Subespaços Duais1 1‹ “ Ix3ye1 e‹1 “ e2e3e2 e‹2 “ e3e1e3 e‹3 “ e1e2e3e1 pe3e1q

‹“ e2

e2e3 pe2e3q‹“ e1

e1e2 pe1e2q‹“ e3

Ix3y I‹x3y “ 1


2.4.3 interseção e União de Objetos Geométricos

A interseção e união de entidades geométricas em AG é definida por duasoperações denominadas Meet e Join, respectivamente (DORST; FONTIJNE; MANN,2007).

Definição 2.4.25. (Soma Direta) Sejam A,B Ă Rp,q, então sua soma direta é definidapor,

A‘B “ ta` b : a P A, b P Bu.

Com esta definição em mente, segue que, paraAxky, Bxly P Clp,q, comAxky^Bxly ‰

0, temosNEpAxky ^Bxlyq “ NEpAxkyq ‘NEpBxlyq. (2.44)


Definição 2.4.26. (Meet) Sejam Axky, Bxly P Clp,q, sua interseção (meet) é definida comoum blade Mxsy tal que,

NEpMxsyq “ NEpAxkyq XNEpBxlyq.

O meet está definido aqui em um contexto geral. Entretanto, no modeloconforme ele é usado na construção de elementos que são interseções de outros elementos,como veremos na próxima seção. Uma vez que os elementos básicos, como pontos, esferase planos são representados via IPNS como vetores, é mais fácil de estudar o meet na suaforma dual, descrita por

pAXBq˚ “ B˚ ^ A˚, (2.45)

onde A e B são Blades com representação via OPNS. O princípio fundamental do meet éque ele constrói o maior subblade comum entre os blades A e B (DORST; FONTIJNE;MANN, 2007).

Definição 2.4.27. (Join) Sejam Axky, Bxly P Clp,q, sua união (join) é definida como umblade Jxry tal que,

NEpJxryq “ NEpAxkyq ‘NEpBxlyq, ||Jxry|| “ 1.

Se NEpAxkyq XNEpBxlyq “ H, então Jxry “ Axky ^Bxly.

A equação que define o meet (M) em relação ao join (J), em um contextogeral, é dada por

M “ pA ¨ J´1q ¨B. (2.46)

Se A e B são disjuntos, M é um escalar (0´ blade).

2.4.4 Transformações Ortogonais

Definição 2.4.28. (Transformação Ortogonal) Uma transformação ortogonal em Rp,q

é uma aplicação ρ : Rp,qÑ Rp,q que preserva a norma.

Uma transformação ortogonal se dá, em álgebra geométrica, por meio deelementos denominados versores18.

Definição 2.4.29. (Versor) Um versor é um multivetor que pode ser descrito como oproduto geométrico de 1-vetores não nulos, isto é, um versor V P Clp,q, pode ser escrito

como V “kź

i“1Xi, com Xi vetores não nulos para todo índice i.

18 O termo "Versor" foi "cunhado" por David Hestenes (PERWASS; HILDENBRAND, 2004).


Proposição 2.4.30. Para todo versor V P Clp,q, existe V ´1P Clp,q tal que, V V ´1

“

V ´1V “ 1.

Demonstração. Seja V “kź

i“1vi, onde vi é não nulo para todo i. Por 2.55, segue que existe

v´1i ; @i. Portanto, V ´1

“

1ź

i“k

v´1i .

Lema 2.4.31. Se V P Clp,q é um versor e a P Cl1p,q, então V aV ´1P Cl1p,q.

Demonstração. Considere V “kź

i“1vi, onde vi são todos não nulos. Assim,

V aV ´1“ v1 ¨ ¨ ¨ vk´1pvkav

´1k qv

´1k´1 ¨ ¨ ¨ v

´11 .

Como vkav´1k P Cl1p,q, por recursividade concluimos que V aV ´1

P Cl1p,q.

Proposição 2.4.32. Se V P Clp,q é um versor, então para todo a P Rp,q e V apV ´1P Rp,q,

a aplicaçãoρRp,q ,V : a ÞÑ V apV ´1

é um automorfismo ortogonal em Rp,q.

Demonstração. Para cada a P Rp,q, tem-se:

pρRp,q ,V paqq2“

{

pV ap´1qV pV apV ´1

q “ ppV paV ´1qpV apV ´1

q “ paa “ a2,

logo ρRp,q ,V é uma aplicação ortogonal. Além disso, ela é injetora, visto que V aV ´1“ 0

se, e somente se, a “ 0. Finalmente, como Rp,q possui dimensão finita, segue que ρRp,q ,V étambém sobrejetora.

Proposição 2.4.33. Sejam a um elemento invertível de Rp,q, isto é, um versor em Clp,q, eRa uma reta em Rp,q gerada por a. Então, a aplicação ρRp,q ,a é uma reflexão através dohiperplano pRaq

K.

Demonstração. Como Rp,q“ Ra ‘ pRaq

K, segue que todo elemento de Rp,q é da formaλa` b, onde λ P R e a ¨ b “ 0. Então,

ρRp,q ,apλa` bq “ apλa` bqpa´1ra P Cl1p,q, segue da Definição 2.4.18 que pa “ ´as

“ ´apλa` bqa´1

“ ´λaaa´1´ aba´1

r Por P2 das Propriedades 2.1.7 vem que ab “ ´bas“ ´λaaa´1

` baa´1

“ ´λa` b.

Portanto, a aplicação ρRp,q ,a é uma reflexão.


Lema 2.4.34. Seja V P Clp,q um versor e seja ta1, ¨ ¨ ¨ , aku Ă Cl1p,q um conjunto linearmenteindependente de vetores. Então,

V

˜

kľ

i“1ai

¸

V ´1“

kľ

i“1

`

V aiV´1˘ .

Demonstração. A demonstração se dá por indução sobre k. Seja Axk´jy :“k´jľ

i“1ai e note

queAxk´1y ^ ak “

12pAxk´1yak ` p´1qk´1akAxk´1yq,

implicando em

V pAxk´1y ^ akqV´1

“12pV Axk´1yakV

´1` p´1qk´1V akAxk´1yV

´1q

“12pV Axk´1yV

´1V akV´1` p´1qk´1V akV

´1V Axk´1yV´1q

“ V Axk´1yV´1^ V akV

´1.

Dessa maneira, concluímos o resultado.

2.5 Álgebra Geométrica Conforme

Objetos geométrico são representados na álgebra geométrica por modelosdenominados Modelos de Geometria, mais especificamente, a álgebra geométrica se utilizadestes modelos para atribuir uma interpretação geométrica às transformações rígidas noespaço multivetorial. E, também, aos objetos geométricos por meio de métricas convenientesseu formalismo algébrico é aplicado em vários problemas práticos. O modelo mais conhecidoé o modelo vetorial com a métrica euclidiana, utilizado com frequência como exemplopara justificar a construção da álgebra geométrica na Seção anterior. Trataremos aqui domodelo de geometria conhecido por Modelo Conforme.

2.5.1 Modelo Conforme

O espaço conforme é obtido em uma sequência "dupla"de incorporações, ondea cada passo se estende a dimensão do espaço em uma dimensão, descrita por Rn ãÑ Sn ĂRn`1 e, por fim, em um espaço de Minkowski, denotado por Rn`1,1. Faremos p “ n` 1 eq “ 1 nesta seção.


2.5.1.1 Imersão Estereográfica de Rn em Rn`1

O espaço euclidiano Rn é incorporado em Sn de maneira não linear, por meioda aplicação C : Rn

ÝÑ Sn Ă Rn`1, definida como

Spxq “ 2x2 ` 1x`

x2 ´ 1x2 ` 1e`, (2.47)

onde e` ” en`1. Todos os pontos incorporados ficam em uma hiperesfera de raio unitário,centrada na origem de Rn`1, implicando em ||Spxq|| “ 1. Um exemplo ilustrativo é dadona Figura 15 para dimensões menores.

(a) Imersão estereográfica dos pontosx, y P R1 sobre o circulo unitárioS1 Ă R2.

(b) Imersão estereográfica de uma reta eum círculo em R2 sobre S2 Ă R3.

Figura 15 – Exemplos de imersões estereográficas (figuras retiradas de (PERWASS, 2009)).

Os polos de S1 representados pelos vetores e´, e` indicam a origem e as extre-midades de R respectivamente, como pode ser visto na Figura 15(a). Logo, todos os pontosda reta estão cobertos pela imersão estereográfica, implicando que uma transformaçãoinversa só está definida nos pontos de S1

Ă R2. Podemos expressar esta restrição por meiode uma projeção estereográfica de volta, fazendo com que apenas vetores x P Rn`1 quesatisfazem ||x|| “ 1 possam ser projetados em Rn. Para esses vetores, o operador inversoS´1 é dado pela equação

S´1pxq “

11´ x ¨ e`

n`1ÿ

i“1px ¨ eiqei. (2.48)

Agora, vamos estender em mais uma dimensão o espaço Rn`1, "gerando" Rn`1,1, e projetarnesta nova direção a hiperesfera Sn Ă Rn`1 no plano afim de Minkowski, denotado porAn`1M Ă Rn`1,1. O espaço Rn`1,1 possui n`1 vetores na sua base ortonormal cujo quadrado

é 1 e um vetor com o quadrado igual a -1. Uma ilustração deste processo pode ser vistona Figura 16.

A Figura 16 ilustra a incorporação de um vetor x P R no espaço de MinkowskiR2,1 segundo os dois passos descritos acima. Uma descrição detalhada é dada abaixo.


Figura 16 – Imersão do vetor x P R1, primeiro sobre o circulo unitário S1Ă R2 e, em

seguida, sobre o hiperplano afim A2M Ă R2,1 (PERWASS, 2009).

2.5.1.2 Homogeneização da Imersão Estereográfica

A imersão homogênea de Rn`1 no espaço de Minkowski Rn`1,1 é descrita pelaaplicação HM : Rn`1

Ñ An`1M Ă Rn`1,1, definida por

HMpxq “ x` e´ (2.49)

onde a "dimensão homogênea" é e´ ” en`2, que satisfaz a seguinte propriedade:

e´ ¨ e´ “ ´1.

Definição 2.5.1. (Vetor Nulo) Um vetor X P Rn`1,1 é dito nulo se, e somente se,X ¨X “ 0.

Um resultado imediato da utilização de uma dimensão homogênea, com assina-tura negativa, é a geração de vetores nulos, ou seja,

pαHM pSpxqqq2 “ α2pSpxq ` e´q2

“ α2ppSpxqq2 ` e2

´q

“ α2p1´ 1q

“ 0,

onde α P R˚ é um escalar não nulo. Este fato é relevante ao trabalho, visto que pontoscartesianos de Rn são representados no espaço conforme por estes objetos geométricos comcaracterística especial. Esta propriedade é específica do espaço conforme. O conjunto dos


vetores com esta propriedade define um subconjunto de Rn`1,1, denominado Cone Nulo,denotado por Hn, isto é

Hn“ tX P Rn`1,1

|X2“ 0u, (2.50)

ou ainda,Hn

“ tαH pSpxqq ;α P Rz0 e x P Rnu

Seja SAnM Ă An`1

M o conjunto dos vetores em Rn`1,1 que resultaram da imersãoestereográfica S de um vetor de Rn. Note que se X P SAn

M , então X P Hn e mais,SAn

M “ An`1M XHn

“ HM pSpRnqq.

Uma visualização particular é dada na Figura 17, onde os vetores de SA1M Ă

A2M Ă R2,1 residem sobre o cone H1.

Figura 17 – Mesma imersão da Figura 16, com a visualização do cone nulo H1 (PERWASS,2009).

Assim, uma operação que leva vetores de SAnM em Sn, deve ser definida apenas

em vetores que satisfazem a propriedade X ¨ e´ ‰ 0, ou seja, o operador de transformaçãoinversa H´1

M : SAnM Ñ Sn Ă Rn`1 é dado por

H´1M pXq “ X ´ e´. (2.51)

O diagrama abaixo descreve os dois passos:


SAnM Ă Sn`1

M Ă Rn`1,1 ãÑ SAnM Ă Sn`1

M Ă Rn`1,1

HM Ò Ó H´1M

Sn Ă Rn`1 ãÑ Sn Ă Rn`1

S Ò Ó S´1

Rn ãÑ Rn

Ao compor as Equações (2.47) e (2.49), obtemos uma imersão direta de vetoresde Rn no espaço conformal Rn`1,1 (homogeneizado), dada pela equação

HMpSpxqq “2

x2 ` 1x`x2 ´ 1x2 ` 1e` ` e´. (2.52)

Considerando que no espaço projetivo19 um escalar não "influência" na re-presentação do objeto geométrico euclidiano correspondente, podemos redimensionar aEquação (2.52), sem alterar o vetor em Rn que ele representa. Uma maneira conveniente éa multiplicação pelo escalar 1

2px2` 1q, uma vez que a expressão x2

` 1 nunca pode sernula. Veja que

12px

2` 1qHMpSpxqq “ x`

12px

2´ 1qe` `

12px

2` 1qe´

“ x`12pe` ` e´q `

12pe´ ´ e`q

“ x`12x

2e8 ` e0.

Assim, ficam definidos dois novos vetores, e0 e e8, com características próprias descritasna próxima seção.

Definição 2.5.2. (Vetores da base nula) Os novos vetores e0 e e8 são vetores apenasem Rn`1,1 e representam a origem e o ponto no infinito do Rn, respectivamente, descritospelas expressões:

e8 “ e` ` e´ e e0 “12pe´ ´ e`q. (2.53)

Temos, então, um operador de imersão direta entre o espaço euclidiano Rn e oespaço conformal Rn`1,1, descrito por

Cpxq “ x`12x

2e8 ` e0. (2.54)19 Espaço projetivo de dimensão n, com origem em um ponto O P Rn`1, é definido como o conjunto de

retas que passam por O (menos o próprio O).


CpRnq descreve um modelo de geometria com características apropriadas no cone nulo Hn.

A transformação inversa é obtida pelo operador C´1, definido por

C´1pXq “ H´1

M pS´1pXqq. (2.55)

Um novo diagrama relacionando Rn com o modelo conforme CpRnq seria o seguinte:

CpRnq Ă Rn`1,1 ãÑ CpRn

q Ă Rn`1,1

C Ò Ó C´1

Rn ãÑ Rn

Definição 2.5.3. (Horosfera) O lugar geométrico descrito pelo operador de imersãoC : Rn

Ñ HnĂ Rn`1,1 e denotado por Hn

a , é o que chamamos de horosfera, definida pormeio da interseção

Hna “ HHpRn

q XHn, (2.56)

onde HHpRnq Ă Rn`1,1 é o hiperplano afim definido na direção do vetor nulo e8, dado

pelo conjunto tX P Rn`1,1| X ¨ e8 “ ´1u.

Definição 2.5.4. (Espaço Conforme de Rn) Seja φ “ te1, ¨ ¨ ¨ , en, e8, e0u uma basepara Rn`1,1. O espaço linear gerado por φ é chamado de espaço conforme do Rn. Todovetor X deste espaço, é escrito como:

X “ x1e1 ` ¨ ¨ ¨ ` xnen ` xn`1e8 ` xn`2e0, (2.57)

onde x “ x1e1 ` ¨ ¨ ¨ ` xnen é um vetor puramente euclidiano.

Se xn`2 “ 1, dizemos que X é um vetor normalizado, portanto todo Cpxq P Hna

é um vetor normalizado.

O conjunto te0, e8u é denominado base nula do modelo conforme, e é definidocomo dimensão homogênea do espaço conforme. Uma visualização do modelo conforme,caso partircular, pode ser visto na Figura 18, onde ilustra a imersão dada nas Figuras 16 e17 com a visualização da horosfera correspondente.

O vetor e0 representa a origem no modelo conforme. E, mais, e0 e e8 têmpropriedades herdadas dos vetores e` e e´, descritas a seguir.

Propriedade 2.5.5. Os vetores e0 e e8 são nulos, isto é, pertencem a Hn.


Figura 18 – Imersão do ponto x P R no modelo conforme com a visualização da horosferaH1a.(PERWASS; HILDENBRAND, 2004)

Demonstração. Usando o fato de que e2` “ 1, e2

´ “ ´1 e a ortogonalidade entre eles, segueo resultado. Com efeito,

e8 ¨ e8 “ pe´ ` e`q ¨ pe´ ` e`q

“ pe´ ¨ e´ ` e´ ¨ e` ` e` ¨ e´ ` e` ¨ e`q

“ p´1` 0` 0` 1q“ 0

e

e0 ¨ e0 “12pe´ ´ e`q ¨

12pe´ ´ e`q

“14pe´ ¨ e´ ´ e´ ¨ e` ´ e` ¨ e´ ` e` ¨ e`q

“14p´1´ 0´ 0` 1q

“ 0.

Portanto, e0, e8 P Hn.

Propriedade 2.5.6. O produto interno e8 ¨ e0 é igual a ´1.

Demonstração. De fato,

e8 ¨ e0 “ pe´ ` e`q ¨12pe´ ´ e`q

“12pe´ ¨ e´ ´ e´ ¨ e` ` e` ¨ e´ ´ e` ¨ e`q

“12p´1` 0` 0´ 1q

“ ´1.


Portanto e0 P Hna .

As Propriedades 2.5.5 e 2.5.6 caracterizam a métrica de Minkowski de assinaturapn` 1, 1q, representada pela tábua métrica abaixo:

¨ e1 ¨ ¨ ¨ en e8 e0

e1 1 ¨ ¨ ¨ 0 0 0... ... . . . 0 0 0en 0 ¨ ¨ ¨ 1 0 0e8 0 ¨ ¨ ¨ 0 0 -1e0 0 ¨ ¨ ¨ 0 -1 0

O conjunto de vetores te1, ¨ ¨ ¨ , enu representa a parte euclidiana do espaço.

Lema 2.5.7. O produto interno de dois vetores nulos, X “ Cpxq, Y “ Cpyq P Hna ,

representando os elementos x, y P Rn, satisfaz a seguinte identidade

X ¨ Y “ ´12d

2px, yq, (2.58)

onde d2px, yq é a distância euclidiana ao quadrado dos vetores x e y em Rn.

Demonstração. Pela Equação 2.54, segue que X “ x`12x

2e8 ` e0 e Y “ y `12y

2e8 ` e0

representam as incorporações dos vetores x, y P Rn. Então, o produto interno entre eles édado por

X ¨ Y “

ˆ

x`12x

2e8 ` e0

˙

¨

ˆ

y `12y

2e8 ` e0

˙

.

Como x ¨ e0 “ 0 e x ¨ e8 “ 0, para todo x P Rn, e usando as Propriedades 2.5.5 e 2.5.6,segue que:

X ¨ Y “ x ¨ y `

ˆ

12x

2e8

˙

¨ e0 `

ˆ

12y

2e8

˙

¨ e0

“ ´12`

x2´ 2 ¨ x ¨ y ` y2˘ , pois e8 ¨ e0 “ ´1

“ ´12px´ yq

2.

Como d2px, yq “ px´ yq2, temos a distância euclidiana ao quadrado dos vetores

x e y em Rn.

Uma consequência direta do Lema 2.5.7 é que pontos em Rn são representadospor vetores nulos no modelo conforme dados pela Equação (2.54), visto que todo pontoem Rn dista zero dele mesmo.


Teorema 2.5.8. A aplicação C : RnÑ Hn

a é uma isometria.

Demonstração. Sejam X “ Cpxq, Y “ Cpyq P Hna , representantes de x, y P Rn. Então, pelo

Lema 2.5.7, segue que,

||X ´ Y ||2M “ pX ´ Y q ¨ pX ´ Y q

“ X ¨X ´ 2X ¨ Y ` Y ¨ Y

“ ´2ˆ

´12px´ yq

2˙

“ ||x´ y||22,

onde || ¨ ||M , || ¨ ||2 representam as normas nas métricas de Minkowski de assinatura pn`1, 1qe de Euclides, respectivamente.

Definição 2.5.9. (CGA20) Uma Álgebra Geométrica Conforme, denotada por Cln`1,1, éa álgebra associativa gerada a partir do espaço quadrático conforme

`

Rn`1,1, ¨˘

, munidodo produto geométrico.

Definição 2.5.10. (Pseudoescalar Conforme) O pseudoescalar em CGA é definidopor

Ic “ IE,

onde E “ e8 ^ e0 e I “ e1 ¨ ¨ ¨ en é o pseudoescalar da álgebra geométrica Cln.

Lema 2.5.11. e8E “ e8, e0E “ ´e0 e EE “ 1.

Demonstração. Com efeito, segue das Fórmulas 2.3.8 e 2.3.15, que

e8E “ e8 ¨ pe8 ^ e0q

“ pe8 ¨ e8qe0 ´ pe8 ¨ e0qe8

“ e8

e

e0E “ e0 ¨ pe8 ^ e0q

“ pe0 ¨ e8qe0 ´ pe0 ¨ e0qe8

“ ´e0.

20 Do Inglês: Conformal Geometric Algebra


Por fim,

EE “ pe8 ^ e0q ¨ pe8 ^ e0q

“ pe8 ¨ pe0 ¨ pe8 ^ e0qqq

“ pe8 ¨ ppe0 ¨ e8qe0 ´ pe0 ¨ e0qe8qq

“ e8 ¨ pé0q

“ ´p´1q“ 1.

Lema 2.5.12. IcIc “ ´1

Demonstração. Com efeito,

IcIc “ IE ˜IE“ IEEI

“ ÍEEI, rpois, EE “ 1s“ ÍI

“ ´1.

Teorema 2.5.13. I´1c “ EI.

Demonstração. Com efeito, temos que

I´1c “

Ic

IcIc

Pelo Lema 2.5.12, segue que

I´1c “ Íc

“ ´ĂIE

“ ÉI

“ ´pÉIq

“ EI,

implicando emIcI

´1c “ IEEI “ II “ 1.


A seguir, desenvolveremos a álgebra geométrica conforme para o espaço eucli-diano tridimensional, entretanto todos os resultados aqui obtidos podem ser generalizadospara as álgebras geométricas construídas a partir de espaços euclidianos de dimensõesarbitrárias.

2.5.2 Álgebra Geométrica Conforme Cl4,1

A álgebra geométrica conforme Cl4,1 é definida a partir do espaço quadráticoconforme pR4,1, ¨ q, via métrica de Minkowski de assinatura (4,1), munido do produtogeométrico definido na Seção 2.3.

Tabela 5 – Elementos básicos da álgebra Cl4,1, constituídos a partir dos vetorescanônicos da base do espaço conforme R4,1.

Elementos blades básicos (Abreviações) Número de bladesescalar 1 1vetores e1, e2, e3, e0, e8 5bivetores e12, e23, e13, e18, e10, e28, e20, e38, e30, e08 10trivetores e123, e120, e128, e130, e138, e230, e238, e108, e208, e308 10

quadrivetores e1230, e1238, e12E, e13E, e23E 5pseudoescalar Ic “ IE 1

Fonte: (PERWASS, 2009). E “ e8 ^ e0 e I “ e123.

Objetos geométricos de R3, tais como ponto, reta, plano, par de pontos, círculose esferas, são primitivas computacionais, traduzidos como subespaços "básicos" de Cl4,1. Apróxima subseção trás caracterizações destes objetos em CGA.

Representação de Objetos Geométricos no Modelo Conforme

Matematicamente, estes objetos são representados por blades em CGA. Suasrepresentações se dão de duas maneiras: direta, identificando pontos euclidianos com ahorosfera no modelo conforme, por meio do operador de imersão definido pela Equação(2.54), ou ainda, através de intersecções de outros objetos, traduzidos na forma do produtomeet.

Como vimos na Seção anterior, um ponto no espaço euclidiano R3, deve serrepresentado por um vetor nulo em Cl4,1, logo podemos ver objetos caracterizados porpontos no espaço euclidiano na Tabela 6, representados em Cl4,1 por meio da representaçãopor espaço nulo do produto exterior (OPNS).

Entretanto, vetores no modelo conforme não representam apenas pontos finitosna álgebra geométrica Cl4,1. Representações como as de esferas e planos também podem ser


Tabela 6 – Caracterização geométrica via OPNS em Cl4,1

Objeto Geométrico em R3 Grau do Representante Representação Cl4,1.Ponto - x1 1 NEpX1q

Par de Pontos - (x1, x2) 2 NEpX1 ^X2q

Reta - x1, x2 3 NEpX1 ^X2 ^ e8qCírculo - x1, x2, x3 3 NEpX1 ^X2 ^X3q

Plano - x1, x2, x3 4 NEpX1 ^X2 ^X3 ^ e8qEsfera - x1, x2, x3, x4 4 NEpX1 ^X2 ^X3 ^X4q

R3 5 NEpX1 ^X2 ^X3 ^X4 ^X5q

Fonte: (PERWASS; HILDENBRAND, 2004).

representadas por vetores em Cl4,1, visto que os subespaços Cl14,1 e Cl44,1 são complementaresortogonais. Portanto, por meio do operador dual, é possível obter uma representaçãovetorial para esses objetos.

Propriedade 2.5.14. Sejam os vetores nulos X “ x1e1 ` x2e2 ` x3e3 `12x

2e8 ` e0,

Y “ y1e1 ` y2e2 ` y3e3 `12y

2e8 ` e0 e Z “ z1e1 ` z2e2 ` z3e3 `12z

2e8 ` e0 em Cl4,1.Considere o plano Π gerado por estes vetores em Cl4,1, isto é,

Π “ X ^ Y ^ Z ^ e8

“ px`12x

2e8 ` e0q ^ py `12y

2e8 ` e0q ^ pz `12z

2e8 ` e0q ^ e8

“ P1e1238 ` P2e2380 ` P3e3180 ` P4e1280,

onde

P1 “ px1y2z3 ´ x2y1z3q ` px2y3z1 ´ x3y2z1q ´ px1y3z2 ´ x3y1z2q

P2 “ px2z3 ´ y2z3q ´ px3z2 ´ y3z2q ´ px2y3 ´ x3y2q

P3 “ px3z1 ´ y3z1q ` px1y3 ´ x3y1q ´ px1z3 ´ y1z3q

P4 “ px1z2 ´ y1z2q ´ px2z1 ´ y2z1q ´ px1y2 ´ x2y1q

Tem-se, pelo Teorema 2.5.13, que o inverso do pseudoescalar conforme é I´1c “ Ee3e2e1,

onde E “ e8 ^ e0. Aplicando o operador dual ao plano Π, segue que a sua forma vetorialna álgebra Cl4,1 é dada por

P “ ΠI´1c

“ pP1e1238 ` P2e23E ´ P3e31E ` P4e12EqpEe3e2e1q

“ P2e1 ´ P3e2 ` P4e3 ´ P1e8.


Portanto, escrevemos P “ Π˚.

Considere agora o vetor nulo W “ w1e1 ` w2e2 ` w3e3 `12w

2e8 ` e0 em Cl14,1e seja Σ “ X ^ Y ^ Z ^W , a representação de uma esfera em Cl4,1.

Para obter a representação vetorial S da esfera e facilitar as operações, dividi-remos o produto exterior entre dois bi-vetores X ^ Y e Z ^W da seguinte forma:

X ^ Y “ px`12x

2e8 ` e0q ^ py `12y

2e8 ` e0q

“ a1e23 ` a2e31 ` a3e12 ` a4e18 ` a5e28 ` a6e38 ` a7e10 ` a8e20 ` a9e30 ` a10E,

onde

a1 “ x2y3 ´ x3y2 e a6 “ x3 ´ y3

a2 “ x3y1 ´ x1y3 a7 “ x1 ´ y1

a3 “ x1y2 ´ x2y1 a8 “ x2 ´ y2

a4 “ x1 ´ y1 a9 “ x3 ´ y3

a5 “ x2 ´ y2 a10 “12px

2´ y2

q

Analogamente, tem-se

Z ^W “ pz `12z

2e8 ` e0q ^ pw `12w

2e8 ` e0q

“ b1e23 ` b2e31 ` b3e12 ` b4e18 ` b5e28 ` b6e38 ` b7e10 ` b8e20 ` b9e30 ` b10E,

onde

b1 “ z2w3 ´ z3w2 e b6 “ z3 ´ w3

b2 “ z3w1 ´ z1w3 b7 “ z1 ´ w1

b3 “ z1w2 ´ z2w1 b8 “ z2 ´ w2

b4 “ z1 ´ w1 b9 “ z3 ´ w3

b5 “ z2 ´ w2 b10 “12pz

2´ w2

q

Assim,

pX ^ Y q ^ pZ ^W q “ c1e1230 ` c2e1238 ` c3e12E ` c4e13E ` c5e23E. (2.59)

Aplicando o operador dual na Equação (2.59) e fazendo as devidas adaptações, segue que

S “ ΣI´1c

“ pc1e1230 ` c2e1238 ` c3e12E ` c4e13E ` c5e23EqpEe3e2e1q

“ c5e1 ´ c4e2 ` c3e3 ´ c2e8 ` c1e0,


onde

c1 “ a6b1 ´ a5b2 ` a4b3 ` a3b4 ´ a2b5 ` a1b6

c2 “ a9b1 ´ a8b2 ` a7b3 ` a3b7 ´ a2b8 ` a1b9

c3 “ a10b1 ` a8b4 ´ a7b5 ´ a5b7 ` a4b8 ` a1b10

c4 “ a10b2 ` a9b4 ´ a7b6 ´ a6b7 ` a4b9 ` a2b10

c5 “ a10b3 ` a9b5 ´ a8b6 ´ a6b8 ` a5b9 ` a3b10

Portanto, escrevemos S “ Σ˚.

A Tabela 7 apresenta um pequeno resumo dos objetos geométricos de R3

representados por vetores no modelo conforme. Temos que, todo vetor X no espaçoconforme R4,1 é definido pela equação

X “ x1e1 ` x2e2 ` x3e3 ` x4e8 ` x5e0, (2.60)

onde x “ x1e1 ` x2e2 ` x3e3 denota um ponto no espaço euclidiano R3. Logo, suarepresentação dual é o pseudo-vetor descrito por,

X˚“ x5e1230 ´ x4e1238 ` x3e1280 ` x2e3180 ` x1e2380. (2.61)

Tabela 7 – Classificação de esferas, planos e pontos em Cl4,1 a partir da Equação(2.60).

x5 “ 0 x5 ‰ 0x4 “ 0 plano passando pela origem origem ou esfera passando pela origemx4 ‰ 0 plano esfera ou ponto

Fonte: (PERWASS; HILDENBRAND, 2004).

Segue abaixo um conjunto de definições, retiradas de (PERWASS, 2009), semmuitos detalhes.

Definição 2.5.15. (Esferas) Uma esfera em R3, com centro em x, é representada nomodelo conforme, via IPNS, pela expressão

S “ x`12px

2´ r2

qe8 ` e0. (2.62)

Note que, da Equação (2.60), tem-se que x4 “12px

2´ r2

q “12px

21 ` x

22 ` x

23 ´ r

2q e x5 “ 1.


Ainda podemos escrevê-la em termos de vetores nulos da seguinte forma:

S “ x`12px

2´ r2

qe8 ` e0

“ x`12x

2e8 ` e0 ´12r

2e8

“ X ´12r

2e8

“ X ´12px´ yq

2e8,

partindo do princípio de que o raio r é a distância entre o centro da esfera e um pontoqualquer y P R3, que pertence a esfera. Segue do Teorema 2.5.7 que

S “ X `X ¨ Y e8, (2.63)

onde Y P H3a.

Pontos finitos são esferas degeneradas no modelo conforme com raio igual azero.

Definição 2.5.16. (Pontos) O ponto euclidiano x P R3 é representado no modeloconforme, via IPNS, pelo vetor nulo Cpxq P H3

a, descrito pela equação

X “ x`12x

2e8 ` e0. (2.64)

Note que x4 “12x

2 e x5 “ 1, na representação vetorial.

Planos são esferas degeneradas no modelo conforme com raio infinito.

Definição 2.5.17. (Planos) Um plano euclidiano é caracterizado no modelo conforme,via IPNS, pela equação

P “ n` de8, (2.65)

cujo ponto finito euclidiano n “ n1e1 ` n2e2 ` n3e3 representa o vetor normal do planoem R3, satisfazendo a identidade n2

1 ` n22 ` n

23 “ 1, e x4 “ d é a distância do plano até a

origem.

Observação 2.5.18. O equivalente dual (OPNS) das entidades geométricas apresentadasacima é justamente sua representação direta, como podemos observar na Tabela 6.

A caracterização de objetos geométricos, tais como, Círculos, Retas e Par depontos em CGA, via IPNS, se dá utilizando o produto meet, como segue abaixo.


Definição 2.5.19. (Círculo) O círculo euclidiano é definido no modelo conforme, viaIPNS, pela equação

C “ S2 ^ S1, (2.66)

onde S1, S2 são esferas, representadas via IPNS, se intersectando em mais de um ponto.

A equivalência dual (OPNS) é dada pelo produto exterior entre os vetoresnulos que representam no modelo conforme os pontos x, y, z P S2

1 XS22 Ă R3. Definido pela

equaçãoC‹ “ X ^ Y ^ Z.

Definição 2.5.20. (Retas) A reta euclidiana é caracterizada no modelo conforme, viaIPNS, pela equação

L “ P1 ^ P2, (2.67)

onde P1, P2 são planos, representados via IPNS, se intersectando.

Sua equivalência dual (OPNS) é dada pelo produto exterior entre os vetoresnulos que representam no modelo conforme os pontos x, y P π1Xπ2 Ă R3 com e8. Definidapela equação

L˚ “ X ^ Y ^ e8.

Em CGA, sempre podemos representar um par de pontos por meio da interseçãode três esferas (PERWASS; HILDENBRAND, 2004).

Definição 2.5.21. (Par de Pontos) Um par de pontos Pp é definido em Cl4,1 via IPNS,por meio da operação meet entre três esferas, isto é, definido pela equação,

Pp “ S1 ^ S2 ^ S3, (2.68)

onde S1, S2, S3 P R4,1 são esferas, representadas via IPNS.

Observação 2.5.22. Em ambas as definições 2.5.19, 2.5.20 e 2.5.21, se a representaçãoeuclidiana não se intersecta, dizemos que o objeto geométrico consequente, obtido nomodelo conforme, é imaginário.

A Tabela 8 apresenta um resumo das caracterizações desses objetos geométricosvia IPNS.

Observação 2.5.23. Note que, pela Tabela 8, um ponto ainda pode ser definido via IPNS,por meio da interseção de quatro esferas.

A característica fundamental do modelo conforme tridimensional é que ele éum modelo euclidiano. Uma interpretação geométrica de alguns desses objetos pode servista na Figura 19 retirada da referência (FONTIJNE, 2007).


Tabela 8 – Objetos geométricos via INPS em Cl4,1.

Objeto Geométrico Grau Elementos Básicos Fórmula

Esfera (S) 1 e1, e2, e3, e0, e8 s`12 ps

2 ´ r2qe8 ` e0

Ponto (X) 1 e1, e2, e3, e0, e8 x`12x2e8 ` e0

Plano (P ) 1 e1, e2, e3, e8 n` de8Reta (L) 2 e12, e23, e13, e18, e28, e38 P1 ^ P2

Círculo (C) 2 e12, e23, e13, e18, e10, e28, e20, e38, e30, e08 S1 ^ S2Par de Pontos (Pp) 3 e123, e120, e128, e130, e138, e230, e238, e108, e208, e308 S1 ^ S2 ^ S3

Ponto (X) 4 e1230, e1238, e1280, e1380, e2380 S1 ^ S2 ^ S3 ^ S4


Figura 19 – A figura (a) ilustra a ideia central para interpretação de objetos geométricos no mo-delo conforme: um plano intersecta a horosfera resultando em uma cônica projetadano plano euclidiano. As projeções são indicadas (aproximadamente) pelas linhastracejadas. Uma base é apresentada, omitindo a origem e0. A figura (b) ilustra quepontos são representados por vetores nulos sobre a horosfera. A figura (c) ilustraque retas são representadas por planos paralelos ao eixo de simetria da horosfera.A figura (d) ilustra que círculos são representados por planos não paralelos ao eixode simetria da horosfera (FONTIJNE, 2007).

Distâncias entre Vetores

O cálculo de distância entre vetores no modelo conforme está diretamente ligadoa proximidade destes objetos representados em R3. Por exemplo, podemos estabelecer


critérios para que dois pontos representem apenas um ponto, ou se um ponto pertence ounão a um determinado plano ou, ainda, decidir a pertinência de um ponto a uma esferadada. Estas relações se traduzem em CGA por meio do produto interno entre seus vetoresrepresentantes.

Propriedade 2.5.24. Considere dois vetores X, Y P Cl4,1, descritos pela Equação (2.60),e o produto interno entre eles, isto é,

X ¨ Y “ px` x4e8 ` x5e0q ¨ py ` y4e8 ` y5e0q

“ x ¨ y ` y4 x ¨ e8loomoon

0

`y5 x ¨ e0loomoon

0

` x4 e8 ¨ yloomoon

0

`x4y4 e28

loomoon

0

`x4y5 e8 ¨ e0loomoon

´1

` x5 e0 ¨ yloomoon

0

`x5y4 e0 ¨ e8loomoon

´1

`x5y5 e20

loomoon

0“ x ¨ y ´ x4y5 ´ x5y4,

onde x4, x5, y4 e y5 definem quais objetos geométricos esta representado no modelo con-forme.

Como visto anteriormente, no Teorema 2.5.7, fazendo x4 “12x

2, y4 “12y

2, x5 “

y5 “ 1, tem-seX ¨ Y “

12px´ yq

2. (2.69)

Assim, o produto X ¨ Y estabelece a proximidade entre os pontos finitos x e y em R3.

De maneira semelhante, se x4 “ d ‰ 0, y4 “12y

2, x5 “ 0 e y5 “ 1, tem-se oproduto interno entre o vetor nulo Y (ponto finito em R3) e o plano representado por X,o produto fica definido pela equação

X ¨ Y “ x ¨ y ´ d. (2.70)

Assim, X ¨ Y “ 0 ñ x1y1 ` x2y2 ` x3y3 “ d. Note que, x representa o vetor normal doplano em R3. Uma propriedade de pertinência por ser escrita como:

Propriedade 2.5.25. (Pertinência entre ponto e plano) Para todo Y P H3a, tem-se

X ¨ Y “ 0 se, e somente se, y pertence ao plano em R3 representado por X no modeloconforme.

Se x4 “12px

2´ r2

q, y4 “12y

2, x5 “ y5 “ 1, tem-se o produto interno entre ovetor nulo Y (ponto finito em R3) e a esfera representada por X. Se consideramos z P R3

um ponto nesta esfera, segue da Equação (2.63) que podemos reescrever sua equação por

X “ Cpxq ` pCpxq ¨ Zqe8, (2.71)


onde Z é o vetor nulo que representa z no modelo conforme.

É claro que, considerando a esfera dada pela Equação (2.71), um ponto emR3, representado pelo vetor nulo Y em H3

a, só pertence a esfera, se a distância dele até ocentro da esfera é igual ao seu raio. Logo, a seguinte propriedade estabelece critérios paraque um ponto Y pertença a uma esfera no modelo conforme.

Propriedade 2.5.26. (Pertinência entre ponto e esfera) Dado Y em H3a, dizemos

que Y pertence a esfera representada por X no modelo conforme, tal que Z P X se, esomente se, satisfaz a identidade

Cpxq ¨ Y “ Cpxq ¨ Z.

Assim,

0 “ Cpxq ¨ Y ´ Cpxq ¨ Z

“ Ćpxq ¨ Z ´ 12px´ yq

2

“ Ćpxq ¨ Z ´ 12px

2´ 2x ¨ y ` y2

q

“ Ćpxq ¨ Z ` x ¨ y ´ 12x

2´

12y

2.

Por outro lado,

Y ¨X “ py `12y

2e8 ` e0q ¨ pCpxq ` pCpxq ¨ Zqe8q

“ py `12y

2e8 ` e0q ¨ px`12x

2e8 ` e0 ` pCpxq ¨ Zqe8q

“ Ćpxq ¨ Z ` x ¨ y ´ 12x

2´

12y

2.

Portanto, um ponto em R3 pertence a uma esfera, se o produto interno entre seusrepresentantes em Cl4,1 é zero, isto é

Y ¨X “ 0. (2.72)

Observação 2.5.27. A Propriedade 2.5.26 pode ser generalizada para esferas Sn´1 emRn com pontos em seu modelo conforme.

74

3 kDMDGP via CGA

David Hestenes, em seu trabalho intitulado The Design of Linear Algebra andGeometry (HESTENES, 1991), mostrou que a representação do grupo conformal de Rp,q emRp`1,q`1 pode ser elegantemente construída usando uma linguagem de Álgebra Geométrica.Devido a este resultado, Havel e Andreas (ANDREAS; HAVEL, 1993) apresentaram umamaneira de interpretar o trabalho clássico de Menger, Blumenthal e Seidel sobre geometriada distância (GD). Inspirados por este trabalho desenvolvemos este capítulo.

3.1 Determinante de Cayley-Menger versus Gramian no ModeloConforme

Em álgebra linear, o volume de um sólido k ´ dimensional ("hiperparalelepí-pedo") gerado por um conjunto de vetores V “ tv1, ..., vnu, com vi “ xi´x0 e xi P Rk, ondex0 representa a origem de Rk, pode ser obtido pelo determinante de uma matriz (matriz deGram), denominado Gramian. O Gramian de V é o determinante Gpv1, ..., vnq “ detpMq

da matriz M , cujas entradas são produtos internos entre os vetores vi, dada por

M “

»

—

—

–

xv1, v1y ¨ ¨ ¨ xv1, vny... . . . ...

xvn, v1y ¨ ¨ ¨ xvn, vny

fi

ffi

ffi

fl

,

onde posto de M é igual a k. Uma vez que M é semidefinida positiva de posto igual adimensão do subespaço gerado pelos vetores v1, ..., vn, o Gramian é não negativo. Alémdisso, sempre que M “ V TV , podemos encontrar uma matriz Rnˆk tal que, M “ RRT eas linhas de R são as coordenadas dos vetores vi. Como detpMq “ pdetpRqq2, segue que sek “ n, o Gramian define o quadrado do volume do sólido gerado pelos vetores v1, ..., vn.

Teorema 3.1.1. Seja Gpe8, e0, X1, ¨ ¨ ¨ , Xnq o Gramian do conjunto lindearmente inde-pendente V “ tv1, ..., vnu, com vi “ pi´ p0, i “ 1, ..., n em Rn, imerso no espaço conformeRn`1,1. Se CM “ Dpp0, ..., pnq é o determinante de Cayley-Menger do conjunto de pontostp0, ¨ ¨ ¨ , pnu, então o Gramian de V é proporcional a CM .

Demonstração. Com efeito, dados os pontos p0, ..., pn, sejam vi “ pi´ p0, i “ 1, ..., n, pelalei dos cossenos, segue que

xvi, vjy “12ppd

2pp0, piqq ` pd

2pp0, pjqq ´ pd

2ppi, pjqqq,

Capítulo 3. kDMDGP via CGA 75

onde, ||vi||2 “ d2pp0, piq “ ||pi||

2.

SejamXi “ Cppiq P Hna , @i “ 0, 1, ¨ ¨ ¨ , n. Usando a métrica do espaço conformal

e o Lema 2.5.7, segue que Xi ¨ Xj “ ´12d

2ppi, pjq. Então, o Gramian de V no modelo

conforme é dado por,

Gpe8, e0, X1, ¨ ¨ ¨ , Xnq =

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

e8 ¨ e8 e8 ¨ e0 e8 ¨X1 ¨ ¨ ¨ e8 ¨Xn

e0 ¨ e8 e0 ¨ e0 e0 ¨X1 ¨ ¨ ¨ e0 ¨Xn

X1 ¨ e8 X1 ¨ e0 X1 ¨X1 ¨ ¨ ¨ X1 ¨Xn

... ... ... . . . ...Xn ¨ e8 Xn ¨ e0 Xn ¨X1 ¨ ¨ ¨ Xn ¨Xn

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

=

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

0 ´1 ´1 ¨ ¨ ¨ ´1´1 0 ´

12p

21 ¨ ¨ ¨ ´

12p

2n

´1 ´12p

21 0 ¨ ¨ ¨ ´

12d

2pp1, pnq

... ... ... . . . ...´1 ´

12p

2n ´

12d

2pp1, pnq ¨ ¨ ¨ 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

= p´1qn`2

2n

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

0 1 1 ¨ ¨ ¨ 11 0 d2

pp0, p1q ¨ ¨ ¨ d2pp0, pnq

1 d2pp0, p1q 0 ¨ ¨ ¨ d2

pp1, pnq... ... ... . . . ...1 d2

pp0, pnq d2pp1, pnq ¨ ¨ ¨ 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

= p´12q

nCM.

A menos do fator de proporcionalidade p´1qn2´n, temos o determinante Cayley-MengerDpp0, ..., pnq (ver Definição 1.1.10).

Ao realizar a mesma dedução, em sentido inverso, obtemos as coordenadasde um conjunto de pontos no espaço euclidiano de dimensão n, cujas distâncias sãomutuamente iguais às distâncias dadas nas entradas da matriz de Cayley-Menger.

Combinando a interpretação geométrica do Gramian, como o volume quadradodo paralelepípedo, gerado por vetores linearmente independentes, segue o corolário abaixo.

Corolário 3.1.2. Considere o simplex S, formado pelos pontos p0, ¨ ¨ ¨ , pn em Rn, combase tv1, ¨ ¨ ¨ , vnu, onde vi “ pi ´ p0. Seja A o blade imerso em Rn`1,1, isto é, A “

X1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ Xn ^ e8 ^ e0 P Cln`1,1, com Xi “ Cppiq P Hna , para todo i. O quadrado do

volume (∆2) do simplex S, é proporcional ao quadrado da magnitude de A, com constante

de proporcionalidade ´ˆ

1n!

˙2

, isto é,

∆2pSq “ ´

ˆ

1n!

˙2

||A||2. (3.1)


Exemplo 3.1.3. Sejam u “ 3e1 ` 2e2, v “ e1 ` 4e3 e w “ ´e2 ` e3 vetores em R3 eseja S o simplex formado por tu, v, wu. Se X, Y, Z P H3

a são os representantes de u, v e wrespectivamente, descritos por: X “ 3e1 ` 2e2 `

132 e8 ` e0, Y “ e1 ` 4e3 `

172 e8 ` e0 e

Z “ ´e2 ` e3 ` e8 ` e0. Então, o blade A “ X ^ Y ^ Z ^ e8 ^ e0, é dado por

A “ 10Ic,

implicando em Ã “ 10Ic. Portanto, pelo Lema 2.5.12, segue que

||A||2 “ A ˚ A “ 100IcIc “ ´100.

Donde vem, que∆pSq “ 1

3!10 “ 53 .

Usando geometria euclidiana, podemos facilmente verificar o resultado acima(ver Figura 20).

Figura 20 – Em amarelo, o simplex Spu, v, wq Ă R3 e, em azul, o 3-blade A não imersoem R4,1.

O modelo conforme da álgebra geométrica nos permite simplificar os cálculosde interseção de objetos geométricos. Sua capacidade de representar diversos elementosgeométricos, como primitivas computacionais, unido ao produto meet usado para calcularintersecções, faz deste modelo uma boa ferramenta matemática para lidar com instânciasdiscretizada do DGP, como veremos na próxima seção.


3.2 Operações fundamentais do kDMDGP em CGA

3.2.1 interseção entre Esferas em Cln`1,1

Vimos na Seção 1.2 que instâncias DGP discretizáveis com probabilidade 1fornecem pontos viáveis aos pares. Em Cln`1,1, par de pontos é um objeto "nativo" daálgebra (como pode ser observado na Tabela 8). E mais, o par de ponto em Cln`1,1 é obtidodiretamente, calculando o meet de n esferas representadas, via IPNS. Entretanto, se faznecessário decidir se tal par, é constituído por pontos imaginário (interseção vázia), pontosreais e coincidentes, ou pontos reais e distintos (veja a Figura 21, exemplificada em R2).

Seja Pp o produto meet de n esferas, representadas via IPNS, em Cln`1,1 porSi, com i “ 1, ¨ ¨ ¨n, ou seja, a interseção das n esferas Sn´1

1 , ¨ ¨ ¨ , Sn´1n P Rn, é dada em

Cln`1,1 porPp “ S1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ Sn. (3.2)

Um teste para verificar se Pp representa pontos imaginários, reais coincidentesou reais distintos pode ser feito observando o valor de ∆ “ D ¨D, onde D representa odual de Pp, isto é, D “ pPpq‹. Temos os possíveis resultados:

i) Se ∆ ă 0, então Pp é um par de pontos imaginários;

ii) Se ∆ “ 0, então Pp é um par de pontos reais e coincidentes;

iii) Se ∆ ą 0, então Pp é um par de pontos reais e distintos.

(a) ∆ ă 0 (b) ∆ “ 0 (c) ∆ ą 0

Figura 21 – Possíveis resultados do produto meet de duas esferas em Cl3,1.

Uma maneira de obter os pontos X1 e X2, oriundos do produto meet Pp PCln`1,1, é dado pela fórmula abaixo.


Fórmula 3.2.1. (DORST; FONTIJNE; MANN, 2007; ALVES, 2013)

X1 “D ´

?∆

´e8¨De X2 “

D `?

∆´e8¨D

. (3.3)

Observação 3.2.2. Note que, a Fórmula 3.2.1, nos permite obter o par de pontos em Rn,oriundo da interseção de n esferas que satisfaz a Propriedade 1.2.4.

Segue da Propriedade 2.5.26 que um vetor nulo X P Hna pertence a uma esfera

S no modelo conforme se, e somente se, satisfaz a identidade X ¨ S “ 0. Logo, para queum ponto finito em Rn seja representado por Pp, em Cln`1,1, deve satisfazer o seguinteresultado:

Teorema 3.2.3. Um ponto finito x P Rn pertence a interseção de n esferas se, e somentese, seu representante em Hn

a pertence a todas as representantes das n esferas no modeloconforme.

Demonstração. Este fato é facilmente verificado por:

X ¨ Pp “ X ¨ pS1 ^ S2 ^ ¨ ¨ ¨ ^ Snq

“ Σnj“1p´1qj´1

pX ¨ SjqpS1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ Sj´1 ^ Sj`1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ Snq

“ pX ¨ S1qpS2 ^ ¨ ¨ ¨ ^ Snq ` ¨ ¨ ¨ ` p´1qn´1pX ¨ SnqpS1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ Sn´1q.

Desconsiderando os casos em que o produto exterior é nulo para as esferas S1, S2, ¨ ¨ ¨ , Sn,ou seja, onde Si ^ Sj “ 0 com i ‰ j, segue que X ¨ Pp “ 0 se, e somente se, X ¨ Si “ 0,para todo i P t1, ¨ ¨ ¨ , nu.

3.2.2 Reflexão no Modelo Conforme

Seja P “ n` de8, tal que ||P ||M “ 1, um plano no modelo conforme represen-tado, via IPNS, em Cln`1,1. Segue da Subseção 2.4.4 que, para qualquer X “ Cpxq P Hn

a

seu reflexo Y em relação à P em Cln`1,1, é dada por

PXP “ pn` de8qpx`12x

2e8 ` e0qpn` de8q

– x` 2pd´ n ¨ xqn` 12px

2` 4d2

´ 4dn ¨ xqe8 ` e0

“ x` 2pd´ n ¨ xqn` 12px` 2 pd´ n ¨ xqnq2 e8 ` e0,

onde – denota a igualdade a menos de escalar, que não "influência" na representaçãogeométrica (PERWASS, 2009).


Note que PXP pertence ao cone nulo Hn, pois

pPXP q2 “ PXPPXP “ P 4X2“ 0, (3.4)

visto que P 2“ 1 e X2

“ 0. Além disso, ele representa um ponto em Rn, visto que estánormalizado, ou seja, o coeficiente de e0 é 1, o que implica em Y P Hn

a .

Assim, seu representante em Rn é dado por

y “ C´1ˆ

x` 2pd´ n ¨ xqn` 12px` 2 pd´ n ¨ xqnq2 e8 ` e0

˙

“ x` 2pd´ n ¨ xqn.

Veja a Figura 22.

Figura 22 – Reflexão do ponto x de R2 em relação a um "plano" que dista "d" da origeme, também, o ponto refletido y determinado pela soma vetorial ~y “ ~x` ~z.

Observação 3.2.4. Os centros de n esferas em Rn geram um plano, no modelo conformese consideramos XS1 , ¨ ¨ ¨ , XSn centros dessas esferas, representadas por S1, ¨ ¨ ¨ , Sn, esteplano é escrito de maneira direta pela equação

Π “ XS1 ^ ¨ ¨ ¨ ^XSn ^ e8. (3.5)

E mais, o produto meet dessas esferas, que denotamos por Pp, como na Equação (3.2),gera pontos refletidos em relação a este plano. Se chamamos de XSym o reflexo de X emrelação a Π, podemos escrevê-lo como

XSym“ PXP, onde P “ Π‹

||Π‹|| .


Outra maneira de se obter o plano refletor gerado pelos centros de k esferasem Rk via CGA é através da seguinte proposição.

Proposição 3.2.5. Sejam S1, ¨ ¨ ¨ , Sk esferas em Clk`1,1. O plano P formado pelos seuscentros em CGA, representado via IPNS, é dado por p´1qke8 ¨D, com D “ pS1^¨ ¨ ¨^Skq

‹.

Demonstração. Segue da Definição 2.5.15 que podemos escrever as esferas Si, como

Si “ Xi ´12r

2i e8; i “ 1, ¨ ¨ ¨ , k.

Assim, a operação meet fica definida por

S1 ^ S2 ^ ¨ ¨ ¨ ^ Sk “ X1 ^X2 ^X3 ^ ¨ ¨ ¨ ^Xk

` p´1q1 12r

21pe8 ^X2 ^X3 ^ ¨ ¨ ¨ ^Xkq

` p´1q2 12r

22pe8 ^X1 ^X3 ^ ¨ ¨ ¨ ^Xkq

`...

` p´1qk 12r

2kpe8 ^X1 ^X2 ^ ¨ ¨ ¨ ^Xk´1q.

Logo,

e8 ^ S1 ^ S2 ^ ¨ ¨ ¨ ^ Sk “ e8 ^X1 ^X2 ^X3 ^ ¨ ¨ ¨ ^Xk

“ p´1qkX1 ^X2 ^X3 ^ ¨ ¨ ¨ ^Xk ^ e8.

A menos do coeficiente p´1qk, temos a equação do plano gerado pelos centros das k esferas(Equação 3.5). Por outo lado,

e8 ^ S1 ^ S2 ^ ¨ ¨ ¨ ^ Sk ” e8 ¨D,

com D “ pS1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ Skq‹, o que conclui o resultado.

Exemplo 3.2.6. Sejam S11 : px ´ 1q2 ` py ´ 1q2 “ 1 e S1

2 : px ´ 2q2 ` y2“ 1 em

R2. Suas representações, via IPNS, em Cl3,1, são dadas por S1 “ e1 ` e2 `12e8 ` e0 e

S2 “ 2e1 `32e8 ` e0. Determine X1 e X2.

Temos que,

Pp “ S1 ^ S2

“ pe1 ` e2 `12e8 ` e0q ^ p2e1 `

32e8 ` e0q

“ ´2e12 `12e18 `

32e28 ´ e10 ` e20 ´ E.


Como Ic “ IE com I “ e1e2, usando o Lema 2.5.12 e o Teorema 2.5.13, segue que

D “ pPpq‹

“ pPpqI´1c

“ pPpqEI

“ e12 `32e18 ´

12e28 ´ e10 ´ e20 ´ 2E.

Assim,

∆ “ D ¨D

“

ˆ

e12 `32e18 ´

12e28 ´ e10 ´ e20 ´ 2E

˙

¨

ˆ

e12 `32e18 ´

12e28 ´ e10 ´ e20 ´ 2E

˙

“ xDDy0

“ 1.

Portanto, utilizando as equações dadas em (3.3), segue que

X1 “e12 `

32e18 ´

12e28 ´ e10 ´ e20 ´ 2E ´

?1

´e8 ¨ pe12 `32e18 ´

12e28 ´ e10 ´ e20 ´ 2Eq

“e12 `

32e18 ´

12e28 ´ e10 ´ e20 ´ 2E ´ 1e1 ` e2 ` 2e8

“ e1 `12e8 ` e0

e

X2 “e12 `

32e18 ´

12e28 ´ e10 ´ e20 ´ 2E `

?1

´e8 ¨ pe12 `32e18 ´

12e28 ´ e10 ´ e20 ´ 2Eq

“e12 `

32e18 ´

12e28 ´ e10 ´ e20 ´ 2E ` 1e1 ` e2 ` 2e8

“ 2e1 ` e2 `52e8 ` e0.

(Pertinência)

X1 ¨ S1 “

ˆ

e1 `12e8 ` e0

˙

¨

ˆ

e1 ` e2 `12e8 ` e0

˙

“ 1´ 12 ´

12

“ 0;

e

X1 ¨ S2 “

ˆ

e1 `12e8 ` e0

˙

¨

ˆ

2e1 `32e8 ` e0

˙

“ 2´ 12 ´

32

“ 0.


Analogamente,

X2 ¨ S1 “

ˆ

2e1 ` e2 `52e8 ` e0

˙

¨

ˆ

e1 ` e2 `12e8 ` e0

˙

“ 2` 1´ 52 ´

12

“ 0;

Por fim,

X2 ¨ S2 “

ˆ

2e1 ` e2 `52e8 ` e0

˙

¨

ˆ

2e1 `32e8 ` e0

˙

“ 4´ 52 ´

32

“ 0.

Portanto,x1 “ e1 e x2 “ 2e1 ` e2

pertencem à S11 X S

12 Ă R2, como podemos ver na Figura 23.

(Simetria). Como os centros de S1 e S2 são, respectivamente,

XS1 “ e1 ` e2 ` e8 ` e0 e XS2 “ 2e1 ` 2e8 ` e0.

Temos que, o plano ("reta") formado por eles no espaço conforme R3,1, é dado por

Π “ XS1 ^XS2 ^ e8

“ pe1 ` e2 ` e8 ` e0q ^ p2e1 ` 2e8 ` e0q ^ e8

“ e1E ´ e2E ´ 2e128.

Sua representação, via IPNS, é obtida aplicando a operação de dualidade, ou seja,

Π‹ “ ΠI´1c

“ ΠEI“ ´e1 ´ e2 ´ 2e8.

Donde vem queP “ ´

1?

2pe1 ` e2 ` 2e8q. (3.6)

Sabemos que a reflexão de X1 em relação a P é dada por

PX1P “12

ˆ

rpe1 ` e2 ` 2e8qpe1 `12e8 ` e0qspe1 ` e2 ` 2e8q

˙

“12

ˆ

r´1´ 32e1e8 ´

12e2e8 ` e1e0 ´ e2e0 ` e1e2 ` 2Espe1 ` e2 ` 2e8q

˙

“ ´2e1 ´ e2 ´52e8 ´ e0.


Como,

é8 ¨ pPX1P q “ é8 ¨ p´2e1 ´ e2 ´52e8 ´ e0q

“ ´1,

segue que,X2 “

PX1P

é8 ¨ pPX1P q. (3.7)

Portanto, x1 e x2 são simétricos em R2, com respeito ao plano representado por P , viaIPNS, no modelo conforme (ver Figura 23).

Figura 23 – O par de pontos X1, X2 P H2a, as esferas S1, S2 e o plano P do modelo conforme

do Exemplo 3.2.6, representados em R2.

A interpretação geométrica dos vetores nulos obtidos pelas Equações (3.3) édada por um segmento de reta em Cln`1,1 e são representados por pPpq‹ “ X ^ Y , comopode ser verificado no resultado abaixo.

Teorema 3.2.7. Sejam X, Y P Hna distintos. Um elemento Z P Cln`1,1 que pertence ao

segmento de reta X ^ Y é um vetor nulo, isto é, representa um ponto finito em Rn se, esomente se, Z “ Y ou Z “ X.

Demonstração. Como Z pertence a um segmento de reta, devemos ter Z “ αX ` βY .Logo,

Z2“ 2αβX ¨ Y,


visto que X2“ Y 2

“ 0. Para Z representar um ponto em Rn, ele deve pertencer ao conenulo, ou seja Z2

“ 0, ou,2αβX ¨ Y “ 0. (3.8)

Donde vem, que α “ 0 ou β “ 0. E, portanto, ou Z “ Y ou Z “ X.

Motivados pelos objetos geométricos que envolvem o kDMDGP (esferas, dis-tâncias euclidianas e pontos) e pela relação estabelecida entre o espaço euclidiano Rk como modelo conforme, dado na Seção 3.1, apresentamos na próxima seção uma análise teóricadesta classe de problemas via álgebra geométrica conforme.

3.3 Análise Teórica de Instâncias kDMDGP no Modelo Conforme

Como já visto anteriormente, esferas representadas via IPNS em CGA sãoelementos geométricos básicos. Por serem definidas como vetores não nulos nesta repre-sentação, os cálculos que envolvem a obtenção do par de pontos é sistematizado em umafórmula simples. Outro detalhe que se destaca é: os pontos oriundos deste cálculo sãovetores nulos e esta característica peculiar torna clara a distinção entre esferas e pontosneste ambiente. Estas considerações por si só justificam uma abordagem ao kDMDGP

via CGA. Segue abaixo uma descrição do kDMDGP no modelo conforme correspondente.

Seja G “ pV,E, dq um grafo não orientado e ponderado, associado a umkDMDGP , com |V | “ n, como definido no Capítulo 2. Defina E, como o conjunto dasdistâncias associadas ao conjunto de pares E, isto é,

E “ tdij{tvi, vju P Eu.

Considere os seguintes itens:

• Uma partição E Y F do conjunto de distâncias conhecidas E, tais que, o conjuntoE possui todas as distâncias entre os pares até k vértices imediatos, denominadopor conjunto de discretização, e o conjunto F , possui as distâncias dos pares depontos separados por k ` 1, ou mais, pontos consecutivos na ordem do kDMDGP ,denominado por conjunto de poda. Em termos matemáticos, temos que

E “ tdij P E{1 ď j ´ i ď ku e F “ tdij P E{j ´ i ą ku;

• Um caminho η da raiz até o nó folha da árvore T , que representa a discretizaçãode uma instância kDMDGP , representado pela sequência pXv1 , Xv2 , ¨ ¨ ¨ , Xvnq Ă Hk

a.Veja a construção ilustrada na Figura 24;


• Sejam XS1 , ¨ ¨ ¨ , XSn em Hka, tais que para todo i “ 1, ¨ ¨ ¨ , n, XSi

“ Cpxiq com xi orepresentante em Rk do vértice vi em V no grafoG associado ao kDMDGP . Considereas n esferas Si no espaço conforme Rk`1,1, cujos centros são XSi

respectivamente,associadas à discretização do espaço de busca definido pelo conjunto E . O conjuntodos planos induzidos pelos centros de k a k destas esferas, na ordem de V , é dadopor

P “

"

Pj P Rk`1,1{Pj “ p´1qk e8 ¨Dj

||e8 ¨Dj||; @ j “ k, ¨ ¨ ¨ , n´ 1

*

, (3.9)

comDj “ pSj ^ Sj´1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ Sj´k`1q

‹; @ j “ k, ¨ ¨ ¨ , n´ 1.

Se XSj” Xvj

P η, para todo j, dizemos que o conjunto P esta associado a η. Veja aconstrução ilustrada na Figura 25;

Exemplo 3.3.1. Considere uma instância kDMDGP com as seguintes hipóteses:

i - k “ 2 e n “ 7;

ii - F “ H e E “ td12 “ 1, d13 “ 1.7, d23 “ 1, d24 “ 1.7, d34 “ 0.8, d35 “ 1.4, d45 “

0.7, d46 “ 1.2, d56 “ 0.6, d57 “ 1, d67 “ 0.5u;

iii - Uma realização parcial do grafo G em R2, definida por

x “ pxv1 “ p5.12, 4.84q, xv2 “ p5.92, 4.79qq .

a) Determine uma realização válida de G em R2;

b) Denominando por η, o caminho na árvore de discretização do 2DMDGP , ilustre oconjunto P de planos em R2, associado a η.

Solução: Segue do item (ii), que a matriz de distâncias é da forma:

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝

0 1 1.7 ? ? ? ?1 0 1 1.7 ? ? ?

1.7 1 0 0.8 1.4 ? ?? 1.7 0.8 0 0.7 1.2 ?? ? 1.4 0.7 0 0.6 1? ? ? 1.2 0.6 0 0.5? ? ? ? 1 0.5 0

˛

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‚

.

aq Todas as contas foram feitas de maneira análoga ao Exemplo 3.2.6. Umarealização é dada pela sequência de pontos de R2, definida por:

x “ txv1 , xv2 , xv3 , xv4 , xv5 , xv6 , xv7u

“ tp5.12, 4.84q, p5.92, 4.79q, p6.65, 4.16q, p7.45, 4.03q, p7.92, 3.52q, p8.52, 3.5q, p8.84, 3.12qu


Ilustrada abaixo pela Figura 24.

Figura 24 – Caminho η na árvore de discretização de um kDMDGP , com k “ 2 e n “ 7.Representado pela sequência de pontos xv1 Ñ xv2 Ñ ¨ ¨ ¨ Ñ xv7 em R2.

bq O conjunto de planos P “ tP2, P3, P4, P5, P6u associado à sequência depontos xv1 Ñ xv2 Ñ ¨ ¨ ¨ Ñ xv7 em R2 está ilustrado abaixo na Figura 25, com suas devidasequações.

3.3.1 Simetria

Vimos na Subseção 3.2.2 que a operação de reflexão no modelo conforme érepresentada por uma operação geométrica adjunta de versor no objeto a ser refletido,ou seja, para todo xvq P Rk associado a uma realização de um dado kDMDGP , tal queρpvqq ą k em V , seu representante Xvq P Hk

a possui um simétrico XSymjvq

P Hka (1reflexo)

em relação ao plano Pj P P determindado pelos vetores nulos Xvj, Xvj´1 , ¨ ¨ ¨ , Xvj´k`1 , e8,

1 Note na Figura 25 que xSymi´1vi

é simétrico a xviem relação a Pi´1, para todo i “ 3, 4, 5, 6, 7.


Figura 25 – Conjunto de planos P “ tP2, P3, P4, P5, P6u associado ao caminho η em H2a,

representado pela sequência de pontos xv1 Ñ xv2 Ñ ¨ ¨ ¨ Ñ xv7 em R2.

que representam em Hka vértices predecessores a vq em V e são associados ao caminho η

que representa à realização dada. Matematicamente temos,

XSymjvq

“ PjXvqPj. (3.10)

Consequentemente, existe um ponto simétrico a xvq em Rk, em relação ao hiperplanogerado pelos pontos xvj

, xvj´1 , ¨ ¨ ¨ , xvj´k`1 P Rk, tal que ρpvjq ă ρpvqq ´ k ` 1.

Lema 3.3.2. Sejam Xp, Xq P Hka fixos em um caminho η, representando uma realização

de G em Rk na árvore de busca do kDMDGP associado e, Pj “ n` de8, com ||n||2 “ 1um plano associado a η, tal que j ă p ă q. Se XSymj

p , XSymjq P Hk

a são simétricos a Xp eXq em relação a Pj respectivamente, então, vale a seguinte identidade

||XSymjq ´XSymj

p ||2M “ ||Xq ´Xp||

2M ,

onde || ¨ ||M é a métrica de Minkowski.


Demonstração. De fato, temos que

||XSymjq ´XSymj

p ||2M “ pXSymj

q ´XSymjp q ¨ pXSymj

q ´XSymjp q

“ XSymjq ¨XSymj

q ´ 2XSymjq ¨XSymj

p `XSymjp ¨XSymj

p

“ ´2ˆ

´12pz1 ´ z2q

2˙

“ ||z1 ´ z2||22,

com z1 “ xp`2pd´n ¨xpqn e z2 “ xq`2pd´n ¨xqqn. Assim, continuando o desenvolvendoacima, temos

||z1 ´ z2||22 “ ||pxq ´ xpq ´ 2rpxq ´ xpq ¨ nsn||22“ ||xq ´ xp||

22 ´ 4||xq ´ xp||22||n||22 ` 4p||xq ´ xp||22||n||22q||n||22

“ ||xq ´ xp||22,

visto que ||n||2 “ 1. Logo,

||XSymjq ´XSymj

p ||2M “ ||xq ´ xp||

22.

Por outro lado, segue do Teorema 2.5.8 que

||Xq ´Xp||2M “ ||xq ´ xp||

22,

donde vem o resultado.

Considerando que todo ponto em Rk sempre pode ser refletido por um hiper-plano, segue o resultado que garante a existência de realizações refletidas por hiperplanosassociados a um caminho na árvore (T ) de busca associada a um kDMDGP .

Teorema 3.3.3. (Existência) Seja x “ pxv1 , ¨ ¨ ¨ , xvj, xvj`1 , ¨ ¨ ¨ , xvnq uma realização do

grafo G em Rk associada a uma instância kDMDGP , representada pelo caminho η

em Clk`1,1 descrito pela sequência pXv1 , ¨ ¨ ¨ , Xvj, Xvj`1 , ¨ ¨ ¨ , Xvnq. Se Pj é um plano no

conjunto de planos P associado a η, então existe uma outra realização y para o grafoG em Rk que define um novo caminho na árvore T , representado por uma sequência ηjparcialmente refletida de η em relação à Pj, a partir do nível j, dada por

y “ pxv1 , ¨ ¨ ¨ , xvj, xSymj

vj`1, ¨ ¨ ¨ , xSymj

vnq.

Demonstração. Segue do conjunto de planos dado pela Equação (3.9) que Pj “ p´1qk e8 ¨Dj

||e8 ¨Dj||,

onde, Dj “ pSj ^ Sj´1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ Sj´k`1q‹.


Para obter ηj, utilizamos a Equação (3.10) de maneira recorrente nas entradasda sequência η a partir do vetor nulo de índice j ` 1, ou seja,

XSymjvj`1

“ PjXvj`1Pj, XSymjvj`2

“ PjXvj`2Pj, ¨ ¨ ¨ , XSymjvn

“ PjXvnPj.

Assim, ηj é representado pela sequência pXv1 , ¨ ¨ ¨ , Xvj, XSymj

vj`1, ¨ ¨ ¨ , XSymj

vnq. Segue do Lema

3.3.2 quedpxvp , xvp`1q “ dpxSymj

vp, xSymj

vp`1 q,

bastando tomar q “ p`1, para todo p “ j`1, ¨ ¨ ¨ , n. Portanto, aplicando a transformaçãoinversa em cada vetor nulo de ηj, definida pela Equação (2.55), obtemos a realização y, oque conclui o resultado.

Corolário 3.3.4. Se a sequência x no Teorema 3.3.3 for uma realização válida do grafoG em Rk e se, j ‰ k, então a realização y, também é uma realização válida, isto é, ambassão soluções para o kDMDGP associado.

Demonstração. Vimos que x e y satisfazem as restrições de distâncias do kDMDGP

associado, logo y também é uma realização válida. E mais, j ‰ k, ou seja, Pj ‰ Pk, dondevem que y não é congruente a x. Portanto, y é uma nova solução para o kDMDGP

associado.

Corolário 3.3.5. Seja η um caminho na árvore T de discretização de uma dada instânciakDMDGP . Se ηj é o caminho em T associado ao plano Pj, então ηjj “ η.

Demonstração. De fato, basta observar que para todo i ą j, temos

pXSymj

i qSymj “ PjpPjXiPjqPj

“ pPjPjqXipPjPjq

“ Xi,

visto que PjPj “ 1.

Exemplo 3.3.6. Considere os dados do Exemplo 3.3.1. A Figura 26 ilustra todos ospossíveis caminhos ηj que representam realizações incongruente de G em R2 na árvore debusca do 2DMDGP .


Figura 26 – Em preto, com pontos em azul, todas as possíveis realizações incongruentes doExemplo 3.3.1, e em azul claro, os respectivos planos associados à η.

3.3.2 Distâncias Adicionais e Factibilidade

Cada xq P Rk, obtido no processo de discretização da árvore de busca de umadada instância kDMDGP , deve passar por um processo de verificação, cujo objetivo éavaliar sua viabilidade como parte de uma possível solução. O processo se resume em: xq éaceito como ponto viável da realização parcial x (x “ px1, ¨ ¨ ¨ , xq´1q Ă Rkn) do grafo Gem Rk, se cumpre as restrições de distância do conjunto de distâncias adicionais. Maisespecificamente, se di,q P F , devemos conferir se a condição

|di,q ´ }xi ´ xq}| ă εi (3.11)

é verificada para todo i P t1, ..., q ´ pk ` 1q; di,q ą 0u. Uma vez que um ponto é aceito, eleé imediatamente adicionado à realização parcial. Ou seja, temos uma nova subsequênciaacrescida de xq, isto é, px1, ¨ ¨ ¨ , xq´1, xqq Ă Rkn. Este é um processo básico que surgenaturalmente do supracitado problema, quando aplicado a situações práticas.


Definição 3.3.7. (Esfera Adicional) Sejam dpq, com p ă q´ k, uma distância adicionalem um kDMDGP , isto é, distância entre os níveis p e q da árvore (T ) de busca na suadiscretização e η a representação de um caminho de T no modelo conforme. Fixando Xp

em η, representando o nível p de T , chamamos de esfera adicional associada a dpq, a esferacujo centro é xp P Rk e o raio é r “ dpq. Sua representante em Clk`1,1, via IPNS, é dadapela equação

Sap “ Xp ´12d

2pqe8. (3.12)

Teorema 3.3.8. Seja dpq P F , uma distância adicional2 em uma instância kDMDGP .Considere um ponto xq P Rk no nível q da árvore de discretização. Então, xq é factívelse, e somente se, satisfaz a restrição de distância dpq, isto é, seu representante Xq P Hk

a

pertence a esfera adicional Sap em Clk`1,1.

Demonstração. Temos que,

Xq “ xq `12x

2qe8 ` e0 e Sap “ Xp ´

12r

2e8.

Segue da Propriedade 2.5.26, que Xq P Sap é equivalente a Xq ¨ Sap “ 0, por outro lado,segue da Propriedade 2.5.24 que:

Xq ¨ Sap “ Xq ¨

ˆ

Xp ´12r

2e8

˙

“ Xq ¨Xp ´12r

2pXq ¨ e8q

“ Xq ¨Xp `12r

2

“ ´12d

2pq `

12r

2.

Portanto, xq é um ponto factível se, e somente se, r “ dpq. O que conclui o resultado.

Exemplo 3.3.9. Considerando a hipótese adicional F “ td47u no item ii) do Exemplo3.3.1, representamos através da ilustração dada na Figura 27 os possíveis caminhos naárvore a partir do quarto nível que satisfaz a restrição de distância adicional.

Note que, no nível q, temos xq e xSymq´1q associado a η na árvore, porém

dapxvp , xvqq ‰ dapxvp , xSymq´1vq

q, logo, ou uma, ou outra, deve satisfazer a distância adicionaldpq.

2 Vale lembrar que a distância dpq refere-se a distância entre o ponto xp fixo por um caminho no nível pe o nível q da árvore de busca T .


Figura 27 – Visualização em roxo das possíveis distâncias adicionais entre os níveis 4 e7 no caminho fixado por xv4 e, também, os caminhos refletidos pelos planosP4, P5 e P6 que podem satisfazer a distância adicional.

Corolário 3.3.10. Suponha que existam duas distâncias adicionais diq e djq ao nível q.Então, xq pertence a interseção das esferas adicionais Sai

e Saj.

Demonstração. Pelo Teorema 3.3.8, segue que xq P Saie xq P Saj

, donde vem o resultado.

Observação 3.3.11. O corolário acima pode, sem perda de generalidade, ser estendidopara três ou mais distâncias adicionais. É claro que a interseção de k ` 1 esferas em Rk

fornece um único ponto, indicado em CGA na Tabela 8. Portanto, o conjunto unitáriotXqu é exatamente a interseção entre k ` 1, ou mais, esferas no modelo conforme.

A Observação 3.3.11, aliada aos resultados acima, motiva um teste de viabilidadeque depende apenas do número de esferas adicionais, sistematizado na forma de umalgoritmo intitulado por Factibility test, inicializado a partir do nível q, dado que existamdistâncias adicionais até este nível.


Algoritmo 1: Factibility testDados de entrada: Todas as distâncias adicionais, diq P F , ao nível q;Passo 0: Calcule C “ Xri“1Sai

, com r ď k ` 1;

• Se C “ H, então exiba a mensagem "Problema sem solução";

• Senão, avance ao passo 1;

Passo 1: Calcule t “ Xq ¨ C;Passo 2:

• Se t “ 0, então Xq P C, i.e. Xq é factível;

• Senão, Xq é infactível.

3.3.3 Número de Soluções

Sejam T a árvore de busca associada a uma instância kDMDGP e P o conjuntode planos em Clk`1,1 associado a um caminho η representado em T . Considere os seguintesitens:

• Se F é o conjunto de distâncias adicionais associado ao kDMDGP , entãonď

j“k`2Fj,

onde Fj “ tdpj P F{p “ 1, ¨ ¨ ¨ , ju, é uma partição de F associada aos níveis de T ;

• Para todo Fj, associe o conjunto de planos Pj “ tPpmin`k, ¨ ¨ ¨ , Pj´1u, onde pmin é omenor índice p, tal que dpj P Fj;

Note que Pj Ř P e, além disso, Fj “ H implica em Pj “ H.

O número de realizações válidas de G em Rk, associado à uma instânciakDMDGP dada, está diretamente ligado à quantidade de planos no conjunto P associadoà um caminho η em Clk`1,1, que representa uma de suas realizações válidas na árvore debusca do dado kDMDGP . Os resultados abaixo estabelecem esta quantidade de planos epermitem quantificar o número de soluções de uma instância kDMDGP .

Teorema 3.3.12. Sejam G “ pV,E, dq um grafo simples, ponderado associado a umainstância kDMDGP , com |V | “ n, uma ordem total em V representada por v1, ¨ ¨ ¨ , vn

e o caminho η em T , representando uma realização válida de G em Rk. Se existe umadistância adicional dpq em Fq Ă F , então o conjunto de planos P “ tPi|i “ k, ¨ ¨ ¨ , n´ 1u,associado a η, se reduz ao seu subconjunto P “ tPi|i “ k, ¨ ¨ ¨ , p` k ´ 1, q, ¨ ¨ ¨ , n´ 1u, ouseja, P “ P ´ Pq.

Demonstração. Seja Sap a esfera adicional representada, via IPNS, em Clk`1,1, centradaem Xp P η e com raio dpq. Sabemos que o produto meet genérico entre k esferas, dado


pela equação,Pp “ Sr´1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ Sr´k; @ r ą k, (3.13)

representa o par de vetores nulos Xr, XSymr´1r P Hk

a, com XSymr´1r “ Pr´1XrPr´1 ou Xr “

Pr´1XSymr´1r Pr´1, (Observação 3.2.4). Temos também, que dpxvp , xvrq ‰ dpxvp , x

Symr´1vr

q

se Xp R Pr´1 (Observação 1.4.1).

De maneira indutiva, suponha r “ q, devido a esfera adicional Sap , só existeuma possibilidade para o q ´ ésimo vetor nulo em η, que satisfaz a restrição de distânciadpq, visto que ele pode ser obtido de maneira direta por meio do produto meet de k ` 1esferas, definido pela equação,

Pp “ Sap ^ Sq´1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ Sq´k. (3.14)

Consequentemente, xvq P Rk é representado por Xq ou XSymq´1q , fixando em η esse vetor

nulo. E mais, isso nos leva a concluir que o plano Pq´1 deve ser excluído do conjunto Passociado a η.

Supondo r “ q ´ 1, segue da Equação 3.13 que xvq´1 é representado por Xq´1

ou XSymq´2q´1 em η, visto que, a unicidade da representação de xvq implica que só um dos

vetores nulos deve satisfazer as restrições de distâncias dq´1,q e dp,q´1, por estarem emlados opostos do plano Pq´2. Donde vem, que o plano Pq´2 também deve ser excluído doconjunto P .

De maneira recorrente, os planos Pr´1 com r “ q ´ 2, ¨ ¨ ¨ , p` k ` 1 devem serexcluídos do conjuntos de planos P , dado que as representações únicas em Clk`1,1, fixadasuma a uma em η, dos pontos xvr , com r “ q ´ 1, ¨ ¨ ¨ , p` k ` 2, são Xr ou XSymr´1

r , comr “ q ´ 2, ¨ ¨ ¨ , p` k ` 1, dado que eles pertencem a lados opostos dos respectivos planosPr´1.

Note que, se r “ p ` i com i “ k, k ´ 1, ¨ ¨ ¨ , 0, os planos Ppì´1 não devemser excluídos do conjunto de planos P, pois Xp P Ppì´1, o que implica em dpxvp , xvqq “

dpxvp , xSympì´1vq

q e dpxvp , xvpìq “ dpxvp , x

Sympì´1vpì

q. E mais, segue do Lema 3.3.2 que,

dpxvpì, xvqq “ dpxSympì´1

vpì, xSympì´1

vqq.

Portanto, as duas representações Xpì e XSympì´1pì em Clk`1,1 para xvpì

, satisfazem asrestrições de distâncias dpì,q e dp,pì para todo i “ k, k ´ 1, ¨ ¨ ¨ , 0, o que conclui oresultado.

Corolário 3.3.13. Nas condições do Teorema 3.3.12, a tese pode ser generalizada para:Se dpqi

P F , os conjuntos Pqi“ tPj{j “ pmin ` k, ¨ ¨ ¨ , qi ´ 1u são subtraídos do conjunto

de planos P , ou seja,

P “ P ´ď

@i

Pqi, com pmin ` k ă qi ď n´ 1.


Demonstração. A demonstração se dá associando a cada Fqio conjunto Pqi

e aplicando oTeorema 3.3.12 para cada i.

Observação 3.3.14. Note que sempre temos P ‰ H, visto que para todo di,k, i`k ě k`1,ou seja, ao menos devemos ter P “ tPku.

Teorema 3.3.15. Sejam G “ pV,E, dq um grafo não ponderado associado a uma instânciakDMDGP , com |V | “ n, e uma ordem total em V representada por v1, ¨ ¨ ¨ , vn. Se okDMDGP possui realizações válidas para G em Rk, então o número de soluções para estainstância é 2|P|´1.

Demonstração. Com efeito, seja x “ px1, x2, ¨ ¨ ¨ , xnq uma realização válida para o kDMDGP

que representaremos por η em Clk`1,1 e, seja P seu conjunto de planos associados.

Suponha queď

i

Pqi“ tPk`1, ¨ ¨ ¨ , Pn´1u, o que implica em P “ tPku, logo

pelo Teorema (3.3.3) existe uma outra realização válida y “ px1, x2, x3, xsymk4 , ¨ ¨ ¨ , xsymk

n q,entretanto, pela Definição 1.1.5 segue que x e y são realizações congruentes e nestascondições, o kDMDGP possui apenas uma solução, isto é, 20

“ 2|P|´1.

De maneira análoga suponha |P | “ 2, ou seja, P “ tPk, Pju para algumj “ k ` 1, ¨ ¨ ¨ , n ´ 1, ou ainda, P “ tPku Y tPju. Como x ” y, segue novamente doTeorema (3.3.3) mais uma solução, a partir de x ou y associada a Pj representada pelocaminho ηj, consequentemente, o DMDGP possui duas soluções, isto é, 2|P|´1 soluções.

Prosseguindo com o argumento combinatório, segue que, cada plano a maisno subconjunto de planos P Ă P , temos o número de soluções multiplicado por dois, ouseja, se |P | “ r (ou P “ tPku Y tPi1u Y ¨ ¨ ¨ Y tPir´1u), devemos ter pelo Teorema (3.3.3),2ˆ 2ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ 2looooooomooooooon

pr´1q´vezes

“ 2|P|´1 soluções para o kDMDGP , o que conclui o resultado.

Exemplo 3.3.16. Considerando a hipótese adicional F “ td27 “ dapxv2 , xv7q, d47 “

dapxv4 , xv7qu no item ii), no Exemplo 3.3.1, o número de soluções do 2DMDGP é ilustradopela Figura 28.

Note que, de acordo com a Figura 28, temos que o conjunto F “

7ď

i“4Fj, onde

cada Fj é dado porF4 “ F5 “ F6 “ H

eF7 “ tdapxv2 , xv7q, dapxv4 , xv7qu.

Então, a relação de associação se dá apenas no nível 7 da árvore de busca, por

F7 ÐÑ P7 “ tP4, P5, P6u.


Figura 28 – Visualização em vermelho dos planos excluídos e das realizações não válidas,em marron as distâncias adicionais dos níveis 2 e 4 ao 7, em preto com pontosem azul escuro as realizações incongruentes válidas na árvore T e em azulclaro a representação dos planos que não foram excluídos do conjunto P.

Logo, considerando o caminho η na árvore T representado pela sequência devetores nulos pXv1 , ¨ ¨ ¨ , Xv7q em H2

a e seu conjunto de planos é P “ tP2, P3, P4, P5, P6u,segue das relações acima que

ď

i

Pqi“ tP4, P5, P6u. Assim, pelo Corolário 3.3.13, temos

que, P “ tP2, P3u. Portanto, segue do Teorema 3.3.15, que o 2DMDGP possui duassoluções.

Os resultados desta seção são facilmente implementados em um algoritmo quenos permite discretizar e resolver problemas práticos que podem ser modelados comoinstâncias kDMDGP , apresentado aqui sob o nome de C-SymBP, por se tratar de umaversão em álgebra de Clifford do clássico Branch-and-Prune (LIBERTI et al., 2014),utilizado para resolver estas instâncias por meio da álgebra linear.


Algoritmo 2: C-SymBPDados de entrada: k ą 0; matriz de distâncias Anˆn; realização parcialx “ pxv1 , ¨ ¨ ¨ , xvk

q dos k primeiros vértices; tolerância estabelecida ε ą 0.Passo 0: Calcule a imersão de x em Hk

a, pela Equação (2.54) aplicada a cada xvi;

Passo 1: P :“ tu;Passo 2: iÐ k ` 1;Passo 3: Calcule Pp e resgate X0

i e X1i por meio da Fórmula 3.2.1;

Passo 4: Faça Xi Ð X0i ;

Passo 5: Teste a factibilidade de Xi de acordo com o Algoritmo 1 Factibility test;Passo 6: Se Xi resultou em factível no passo 5, faça

iÐ i` 1;Se i “ n, então pX1, ¨ ¨ ¨ , Xnq é uma solução, avance ao passo 7;Senão, P Ð P Y tPiu e, volte ao passo 3;

Senão, encontre t tal que t “ maxtj| j “ k ` 1, ¨ ¨ ¨ , i e Xj “ X0j u e faça

iÐ t;Se i “ k` 1, então pare e exiba a mensagem "Problema sem solução";Senão, faça Xi “ X1

i e volte ao passo 5;Passo 7: P Ð P ´

ď

q

Ppmin,q, para todo dpq P F ;

Passo 8: Realizar reflexões nos elementos de P para obter as demais soluções.

Devemos observar que, na prática, temos pontos em Rk e estes são imersos noespaço conforme. Assim, os pontos X0

i e X1i , estão no espaço conforme, mas obter um

representante em Rk é trivial.

98

4 Cálculo de Estrutura de Proteínas via CGA

As moléculas de proteínas são necessárias para o funcionamento de uma célula,entretanto, para que possam ser usadas, elas precisam se "dobrar" numa determinadaforma tridimensional específica. Determinar esta estrutura tridimensional é um fator chavepara o entendimento das suas propriedades bioquímicas, entretanto, existem duas maneirasde determinar sua estrutura experimentalmente: por meio de técnicas de RessonânciaMagnética Nuclear (RMN) ou técnicas de Cristalografia de Raios X (BRüNGER; NILGES,1993). Nosso trabalho se baseia em dados da primeira, mas de maneira geral, a RMNfornece apenas um conjunto esparso de distâncias entre os átomos da molécula. Assim,o problema se resume a determinar sua estrutura usando as informação sobre distânciasobtidas por RMN.

4.1 Estrutura Principal da Proteína

Proteínas são macromoléculas geradas a partir de ligações peptídicas entreaminoácidos (Figura 29). O processo químico que une os aminoácidos na formação daproteína é conhecido por hidrólise por envolver a quebra de uma molécula por açãoda molécula de água, formando a cadeia principal da proteína por meio de sequênciasN ´ Cα ´ C ¨ ¨ ¨N ´ Cα ´ C, representada pelas Figuras 30 e 31.

Figura 29 – Ligações peptídicas entre aminoácidos(NELSON; COX, 2013).

O cálculo estrutural desta cadeia principal pode ser modelado por um kDMDGP ,onde k “ 3, conhecido na literatura simplesmente por DMDGP , o qual trata-se da deter-minação de coordenadas cartesianas px, y, zq de pontos no R3, quando são dadas distâncias

Capítulo 4. Cálculo de Estrutura de Proteínas via CGA 99

Figura 30 – Proteína hipotética M, onde φ e ψ representam rotações em torno de ligaçõesa partir do carbono central do aminoácido Cα e dão origem aos ângulos detorção (NELSON; COX, 2013).

Figura 31 – Cadeia principal de M.

entre pontos consecutivos e ângulos de dobra. De modo geral, segundo a ordem em V , asdistâncias dj´1,j entre vértices do grafo G estão associadas aos comprimentos de ligaçãoentre os átomos da molécula de proteína, para todo j P t2, ¨ ¨ ¨ , nu, e os ângulos θj´2,j

entre os vértices vj´2, vj´1, vj estão associados aos ângulos de ligação da molécula, paraj P t3, ..., nu.

As proteínas possuem conformações que se dobram no espaço de modo especí-fico, entretanto, experimentos de ressonância magnética nuclear são capazes de detectardistâncias entre átomos que estejam a uma distância média de cinco angstrons (5Å),embora essas imagens sejam fornecidas em um plano, não em 3D. É possível fazer simula-ções matemáticas de modo a encaixar os comprimentos e ângulos obtidos da RMN emestruturas tridimensionais que satisfaçam as condições de mínima energia, ou seja, quereproduzam a molécula tridimensional no seu estado nativo, ou "ideal" (LIBERTI et al.,2014). Isto permite uma modelagem do problema de cálculo estrutural de proteínas viaum 3DMDGP .

A Figura 32 ilustra uma esfera de raio 5Å centrada no representante em R3 deum dado átomo da molécula, evidenciando os dados de distâncias necessários na formulaçãodo DMDGP , ou seja, é possível conhecer a priori todas distâncias entre quatro átomosconsecutivos. E mais, muitas vezes dependendo do dobramento da molécula é possívelobter distâncias adicionais ao problema.


Figura 32 – Ilustração em 2D de uma esfera com raio 5Å, centralizada no representantedo décimo quinto átomo, simulando experimentos de RMN aplicados a umaproteína hipotética com 19 átomos.(LIBERTI et al., 2014)

Note que todas as distâncias internas à circunferência são detectadas pela RMN.Se acontecer de todas as distâncias do problema serem detectadas pela RMN, o problemaserá resolvido em tempo linear (DONG; WU, 2002). E mais, se a ordem sobre os átomosda moléculas for dada de tal modo que todo conjunto de cinco átomos formem uma cliqueno grafo G, o problema é resolvido em tempo polinomial (EREN et al., 2004). Mas demodo geral, temos que o problema é NP-difícil (SAXE, 1979).

O processo de discretização do espaço de busca no problema de cálculo estruturalde proteínas é exemplificado abaixo na Figura 33, que indica que o representante do i´ésimoátomo em R3 pertence a interseção de três esferas, cujos centros e raios são representadospelos átomos i´ 3, i´ 2 e i´ 1 e as distâncias di´3,i, di´1,i e di´2,i, respectivamente.

Figura 33 – A esquerda: O átomo i pode estar somente em duas posições (i e i1 ) para ser "viável" coma distância di´3,i. A direita: Ilustração das possíveis conformações da cadeia principal deuma molécula formada por dois aminoácidos (árvore em 3D).


4.2 Branch-and-Prune (BP)

Considere uma molécula com n átomos na sua cadeia principal com coordenadascartesianas dadas por x1, ¨ ¨ ¨ , xn P R3 e tal que exista uma ligação covalente entre todosos pares de átomos pi, i` 1q, com i “ 1, ¨ ¨ ¨ , n´ 1, que denotaremos por ri`1. Os ângulosde dobras θi P r0, πs são os ângulos entre ri`1 e ri`2, para todo i “ 1, ¨ ¨ ¨ , n ´ 2. Osângulos de torção ωi`3 P r0, 2πs são os ângulos entre os vetores normais aos planosPi`2 “ rxi, xi`1, xi`2s, para todo i “ 1, ¨ ¨ ¨ , n´ 2. Veja Figura 34.

Figura 34 – Descrição dos ângulos de dobra (θi1s), ângulo de torção (ωi) e comprimentosde ligação (ri1s).

No cálculo estrutural de proteínas, todas a ligações covalentes e os ângulos dedobras são conhecidos a priori (PHILLIPS; ROSEN; WALKE, 1996). Logo, para cadaquatro átomos consecutivos na cadeia principal da molécula xi, xi`1, xi`2, xi`3, o cossenodo ângulo de torção ωi`3 pode ser expresso em termos das distâncias ri`1, di`1,i`3, di,i`3 eos ângulos de dobra θi, θi`1, por meio da equação (LIBERTI; LAVOR; MACULAN, 2008)

cos ωi`3 “r2i`1 ` d

2i`1,i`3 ´ 2ri`1 di`1,i`3 cos θi`2 cos θi`3 ´ d

2i,i`3

2ri`1 di`1,i`3 sin θi`2 sin θi`3. (4.1)

Como todas as distâncias de ligações covalentes (ri), os ângulos de dobras (θi) e asdistâncias dos átomos separados por três ligações covalentes (di,i`3) são conhecidas a prioripara todo i “ 1, ¨ ¨ ¨ , n ´ 3, segue que a Equação (4.1) está bem definida, visto que odenominador é sempre diferente de zero.

4.2.1 O Algoritmo

No Branch-and-Prune, as coordenadas cartesianas pxi1, xi2, xi3q para cada átomoi na molécula são obtidos usando a seguinte fórmula (PHILLIPS; ROSEN; WALKE, 1996).


Fórmula 4.2.1.»

—

—

—

—

–

xi1

xi2

xi3

1

fi

ffi

ffi

ffi

ffi

fl

“ B1B2 ¨ ¨ ¨Bi

»

—

—

—

—

–

0001

fi

ffi

ffi

ffi

ffi

fl

; @i “ 1, ¨ ¨ ¨ , n, (4.2)

onde

B1 “

»

—

—

—

—

–

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

fi

ffi

ffi

ffi

ffi

fl

, B2 “

»

—

—

—

—

–

´1 0 0 ´r2

0 1 0 00 0 ´1 00 0 0 1

fi

ffi

ffi

ffi

ffi

fl

, B3 “

»

—

—

—

—

–

ćos θ3 ´sin θ3 0 ´r3cos θ3

sin θ3 ćos θ3 0 r3sin θ3

0 0 1 00 0 0 1

fi

ffi

ffi

ffi

ffi

fl

e

Bi “

»

—

—

—

—

–

ćos θi ´sin θi 0 ´ricos θi

sin θi cos ωi ćos θi cos ωi ´sin ωi risin θi cos ωi

sin θi sin ωi ćos θi sin ωi cos ωi risin θi sin ωi

0 0 0 1

fi

ffi

ffi

ffi

ffi

fl

; @i “ 4, ¨ ¨ ¨ , n. (4.3)

Chamamos as matrizes Bi1s de matrizes de torção e denotamos a matriz Ci “ź

jďi

Bj por i´ ésima matriz de torção acumulada.

Usando os comprimentos de ligação covalente r2, r3 e o ângulo de dobra θ3,pode-se determinar as matrizes de torção B2 e B3 e obter

x1 “

¨

˚

˝

000

˛

‹

‚

, x2 “

¨

˚

˝

´r2

00

˛

‹

‚

e x3 “

¨

˚

˝

r3cos θ3 ´ r2

r3sin θ3

0

˛

‹

‚

,

fixando os três primeiros átomos da molécula. Como a distância d1,4 é conhecida, usandoa Equação (4.1) pode-se obter o valor cos ω4. Com isto, existem duas possibilidades parafixar x4, visto que existem dois valores para o seno, definidos por sin ω4 “ ˘

a

1´ cos2 ω4.Portanto,

px4, 1qT “ C3B4p0, 0, 0, 1qT e px14, 1qT “ C3B14p0, 0, 0, 1qT , (4.4)

onde C3 é a terceira matriz de torção acumulada e B4, B14 as respectivas matrizes de torção.

Em termos de coordenadas cartesianas, tem-se

x4 “

»

—

–

´r2 ` r3cos θ3 ´ r4cos θ3 cos θ4 ` r4sin θ3 sin θ4 cos ω4

r3sin θ3 ´ r4sin θ3 cos θ4 ´ r4cos θ3 sin θ4 cos ω4

´r4sin θ4a

1´ cos2 ω4

fi

ffi

fl

,

x14 “

»

—

–

´r2 ` r3cos θ3 ´ r4cos θ3 cos θ4 ` r4sin θ3 sin θ4 cos ω4

r3sin θ3 ´ r4sin θ3 cos θ4 ´ r4cos θ3 sin θ4 cos ω4

r4sin θ4a

1´ cos2 ω4

fi

ffi

fl

.


Para o quinto átomo, podemos obter quatro possibilidades para seu posiciona-mento em R3, uma para cada combinação entre ˘

a

1´ cos2 ω4 e ˘a

1´ cos2 ω5. Comeste argumento combinatório, segue que existirá 2i´3 possibilidade de se posicionar oi´ ésimo átomo da cadeia principal da molécula em R3.

4.2.1.1 Estrutura do BP

Seja T a representação da árvore de busca. T é inicializada pelos representan-tes dos três primeiros átomos segundo a ordem dada. Para cada passo existem quatropossibilidades:

1. Ambos, xi e x1i são viáveis, assim ambas as posições são armazenadas e exploradasde maneira mais profunda em T ;

2. Apenas xi é viável, então a posição xi é armazenada, enquanto que o ramo quecontêm x1i é podado de T ;

3. Apenas x1i é viável, então a posição x1i é armazenada, enquanto que o ramo quecontêm xi é podado de T ;

4. Nem xi, nem x1i é viável, logo todo o ramo da árvore é podado e o algoritmo retrocedeao nível i´ 1 (backtrack) em T .

Em cada nó de posto i, na árvore de busca T são armazenados:

• A posição xi P R3 para o i´ ésimo átomo;

• A matriz de torção acumulativa Ci “iź

j“1Bj;

• Um ponteiro P piq para o nó de saída;

• Ponteiros para os sub-nós Lpiq e Rpiq (inicializado de maneira fictícia e podado sesão inviáveis).

Note que a estrutura de extremidade (nós folhas) da árvore de busca T écodificada nos operadores P pq, Lpq e Rpq definidos para cada nó de saída. O procedimentoé recursivo no nível i´ 1.

Seja y “ p0, 0, 0, 1qT , considere ε ą 0 uma tolerância dada e seja v um nócom posto i´ 1 na árvore de busca T , segue na íntegra o algoritmo 3 retirado do artigo(LIBERTI; LAVOR; MACULAN, 2008).


Algoritmo 3: BP algorithm0: BranchAndPrunepT, v, iq

Se pi ď n´ 1q, entãoCALCULE AS POSSÍVEIS POSIÇÕES PARA O i´ ésimo ÁTOMO:calcule as matrizes de torção Bi, B

1i via Equação (4.3);

recupere a matriz de torção acumulada Ci´1 por meio do nó de saída P pvq;calcule Ci “ Ci´1Bi, C 1i “ Ci´1B

1i e xi, x1i por meio das matrizes Ciy, C 1iy;

Seja λ “ 1, ρ “ 1;TESTE DE VIABILIDADE:Para todo pj, iq P F façaSeja δji “ p||xj ´ xi||2 ´ d2

jiq2 e δ1ji “ p||xj ´ x1i||2 ´ d2

jiq2;

Se (δji ą ε) entãoλ “ 0;

Se (δ1ji ą ε) entãoρ “ 0;

CRIAR SUB-NÓS:Se (λ “ 1) então

crie um nó z, armazene Ci e xi em z, seja P pzq “ v e Lpvq “ z;T ÐÝ T Y tzu;BranchAndPrune(T, z, i` 1);

SenãoLpvq “ PODADO

Se (ρ “ 1) entãocrie um nó z1, armazene Ci e xi em z1, seja P pzq “ v e Rpvq “ z1;T ÐÝ T Y tzu;BranchAndPrune(T, z1, i` 1);

SenãoRpvq “ PODADO

SenãoPOSTO IGUAL A n, UMA SOLUÇÃO FOI ENCONTRADA:a solução é apresentada de nÐÑ 1 como um dado de saída;

4.3 Estratégia de Coope

Sejam aj P R3; j “ 1, 2, 3 os centros de 3 esferas e dj; j “ 1, 2, 3 seus raios.Então, os dois pontos na interseção das 3 esferas descritos pelo sistema não linear

||x´ aj||2“ d2

j ; j “ 1, 2, 3, (4.5)

ou equivalentemente,

xTx´ 2xTaj ` aTj aj “ d2j ; j “ 1, 2, 3, (4.6)

podem ser obtidos utilizando a seguinte estratégia.

Considere Â3ˆ2 a matriz de centro deslocado, definida por

Â “ ra1 ´ a3 a2 ´ a3s.


Faça a decomposição ortogonal (fatoração QR) de Â, isto é

Â “ Q

«

R

0T

ff

,

onde Q é uma matriz ortogonal de ordem 3 e R uma matriz triangular superior de ordem2, assim x pode ser escrito como,

x “ Q

«

y

z

ff

` a3, (4.7)

onde y P R2 e z P R. Assim, a Equação (4.5) pode ser escrita como,

||y ´ rj||2` z2

“ d2j ; j “ 1, 2, (4.8)

e||y||2 ` z2

“ d23, (4.9)

onde rj representa a j ´ ésima coluna de R. Substituindo (4.9) em (4.8) tem-se

RTy “ c, (4.10)

onde c P R2 e suas componentes são dadas por cj “12pd

23 ´ d

2j ` ||rj||

2. Uma vez resolvidoo sistema linear (4.10) em y, segue que,

z “ ˘a

d23 ´ ||y||

2. (4.11)

Portanto, existem dois valores possíveis para x, obtidos pela Equação (4.7).

Esta estratégia pode ser facilmente implementada em qualquer dos algoritmoscitados neste trabalho para se obter a interseção entre esferas. Esta e outra versão viaredução gaussiana pode ser encontrada em (COOPE, 2000).

4.4 Funções Implementadas no Método via CGA

Seguindo a representação no modelo conforme dos elementos envolvidos, estaproposta, ao contrário da implementada no Branch-and-Prune, não ataca o problemapor matrizes de rotação. O método consiste basicamente nos cálculos de intersecçõesde esferas para localizar coordenadas em R3, incluindo os testes de viabilidade quandonecessário. Uma única solução é obtida, enquanto que as outras são reflexões de vetoresnulos (representantes dos átomos em Cl4,1) em relação aos planos que se originam aolongo do processo de busca. Nas subseções que se seguem, são apresentadas as operações etécnicas em CGA utilizadas no método e também sua versão sistematizada na forma deum algoritmo.


4.4.1 function 1 : Interseção entre duas esferas

Considere as esferas S21 , S

22 Ă R3 e suas representações S1 e S2 via IPNS em

Cl4,1. Então, S21 X S

22 é representada por

C “ S1 ^ S2, (4.12)

que define um círculo, um único ponto (espaço tangente), ou ainda, um conjunto vazio(um círculo imaginário). Veja a Figura 35.

(a) (b) (c)

Figura 35 – Possíveis situações em Cl4,1: (a) Um círculo, (b) Espaço tangente e (c) Círculoimaginário.

Fórmula 4.4.1. (function 1 ) Sejam S1 “ x`12px

2´r2

1qe8è0 e S2 “ y`12py

2´r2

2qe8è0.Então,

C “ px`12px

2´ r2

1qe8 ` e0q ^ py `12py

2´ r2

2qe8 ` e0q

“ a1e12 ` a2e23 ` a3e31 ` b1e18 ` b2e28 ` b3e38 ` c1e10 ` c2e20 ` c3e30 ` dE,

onde

a1 “ px1y2 ´ x2y1q

a2 “ px2y3 ´ x3y2q

a3 “ px3y1 ´ x1y3q

b1 “ 0.5px1py2´ r2

2q ´ y1px2´ r2

1qq

b2 “ 0.5px2py2´ r2

2q ´ y2px2´ r2

1qq

b3 “ 0.5px3py2´ r2

2q ´ y3px2´ r2

1qq

c1 “ px1 ´ y1q

c2 “ px2 ´ y2q

c3 “ px3 ´ y3q

d “ 0.5ppx2´ r2

1q ´ py2´ r2

2qq.

Como D “ C‹ “ CI´1c , segue que,

D “ ć1e230´ c2e310´ c3e120´ a1e3E ` a2e1E ` a3e2E ` b1e238` b2e318` b3e128´ de123.

(4.13)


Um teste para verificar se há interseção entre S1 e S2 pode ser feito observandoo valor de ∆ “ D ¨D, com os possíveis resultados:

i) Se ∆ ă 0 ñ círculo imaginário;

ii) Se ∆ “ 0 ñ espaço tangente;

iii) Se ∆ ą 0 ñ círculo real.

Algoritmo 4: function 1Dados de entrada: Os centros x, y P R3 e o raios r1, r2 P R.Passo 1: Calcule C em Cl4,1 pela Fórmula 4.4.1;Passo 2: Calcule D utilizando a Equação (4.13);Passo 3: Calcule ∆ “ D ¨D e faça o teste:

• Se ∆ ě 0, C “ S1 ^ S2;

• Senão, C “ H.

4.4.2 function 2 : Interseção entre três esferas

Considere as esferas S21 , S

22 , S

23 Ă R3 e suas representações S1, S2 e S3 via IPNS

em Cl4,1, então S21 X S

22 X S

23 é representada por,

Pp “ S1 ^ S2 ^ S3 (4.14)

e define um par de pontos imaginário (interseção vazia) ou um par de pontos coincidentesou ainda, um par de pontos distintos. Veja a Figura 36.

(a) (b) (c)

Figura 36 – Possíveis situações em Cl4,1: (a) Pontos imaginários, (b) Pontos reais e coin-cidentes e (c) Pontos reais e distintos.



2´r2

1qe8è0, S2 “ y`12py

2´r2

2qe8è0

e S3 “ z `12pz

2´ r2

3qe8 ` e0. Então,

Pp “ px`12px

2´ r2

1qe8 ` e0q ^ py `12py

2´ r2

2qe8 ` e0q ^ pz `12pz

2´ r2

3qe8 ` e0q

“ a1e23 ^ e8 ` a2e31 ^ e8 ` a3e12 ^ e8 ` b1e23 ^ e0 ` b2e31 ^ e0 ` b3e12 ^ e0 `

` c1e1 ^ E ` c2e2 ^ E ` c3e3 ^ E ` de123,

onde

a1 “ 0.5ppx2y3 ´ x3y2qpz2´ r2

3q ` px3z2 ´ x2z3qpy2´ r2

2q ` py2z3 ´ y3z2qpx2´ r2

1qq

a2 “ 0.5ppx3y1 ´ x1y3qpz2´ r2



1qq

a3 “ 0.5ppx1y2 ´ x2y1qpz2´ r2



1qq

b1 “ px2y3q ´ px2z3q ´ px3y2q ` px3z2q ` py2z3q ´ py3z2q



c1 “ 0.5ppx1 ´ z1qpy2´ r2

2q ´ px1 ´ y1qpz2´ r2

3q ´ py1 ´ z1qpx2´ r2

1qq

c2 “ 0.5ppx2 ´ z2qpy2´ r2

2q ´ px2 ´ y2qpz2´ r2

3q ´ py2 ´ z2qpx2´ r2

1qq

c3 “ 0.5ppx3 ´ z3qpy2´ r2

2q ´ px3 ´ y3qpz2´ r2

3q ´ py3 ´ z3qpx2´ r2

1qq

d “ px1y2z3q ´ px1y3z2q ´ px2y1z3q ` px2y3z1q ` px3y1z2q ´ px3y2z1q.

Como D “ pPpq‹ “ pPpqI´1c , segue que

D “ ć1e23 ´ c2e31 ´ c3e12 ´ a1e18 ´ a2e28 ´ a3e38 ` b1e10 ` b2e20 ` b3e30 ` dE. (4.15)

Analogamente, tem-se um teste para verificar se há interseção entre as trêsesferas, observando o valor de ∆ “ D ¨D, onde D “ pPpq‹:

i) Se ∆ ă 0 ñ pontos imaginários;

ii) Se ∆ “ 0 ñ ponto reais e coincidentes;

iii) Se ∆ ą 0 ñ pontos reais e distintos.

4.4.3 function 3 : interseção entre quatro esferas

Segue da Tabela 8 que um ponto é obtido com a interseção de quatro esferasem R3. Considere então as esferas S2

1 , S22 , S

23 , S

24 Ă R3 e suas representações S1, S2, S3 e S4

via IPNS em Cl4,1. Então, S21 X S

22 X S

23 X S

24 é representada em Cl4,1 por

Pp “ S1 ^ S2 ^ S3 ^ S4, (4.16)

que define um ponto imaginário (interseção vazia) ou um ponto real. Veja a Figura 37.


Algoritmo 5: function 2Dados de entrada:Os centros x, y, z P R3 e o raios r1, r2, r3 P R.Passo 1: Calcule Pp, através da Fórmula 4.4.2;Passo 2: Calcule D, utilizando a Equação (4.15);Passo 3: Calcule ∆ e faça o teste:

• Se ∆ ě 0, Pp “ C;


(a) (b)

Figura 37 – Possíveis situações em Cl4,1: (a) Ponto imaginário, (b) Ponto real.


2´r2

1qe8è0, S2 “ y`12py

2´r2

2qe8è0,

S3 “ z `12pz

2´ r2

3qe8 ` e0 e S4 “ s`12ps

2´ r2

4qe8 ` e0. Então,

C “ px`12px

2´ r2

1qe8 ` e0q ^ py `12py

2´ r2

2qe8 ` e0q ^

^ pz `12pz

2´ r2

3qe8 ` e0q ^ ps`12ps

2´ r2

4qe8 ` e0q

“ á1s1 ´ a2s2 ´ a3s3 `d

2ps2´ r2

4qlooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooon

D4

e1238´b1s1 ´ b2s2 ´ b3s3 ` dloooooooooooooomoooooooooooooon

D5

e1230 `

` c1s2 ´ c2s1 ´b3

2 ps2´ r2

4q ` a3loooooooooooooooooomoooooooooooooooooon

D3

e1280 ` c3s1 ` c1s3 ´b2

2 ps2´ r2


D2

e3180 `

` c2s3 ´ c3s2 ´b1

2 ps2´ r2


D1

e2380,

onde


a1 “ 0.5ppx2y3 ´ x3y2qpz2´ r2



1qq

a2 “ 0.5ppx3y1 ´ x1y3qpz2´ r2



1qq

a3 “ 0.5ppx1y2 ´ x2y1qpz2´ r2



1qq




c1 “ 0.5ppx1 ´ z1qpy2´ r2

2q ´ px1 ´ y1qpz2´ r2

3q ´ py1 ´ z1qpx2´ r2

1qq

c2 “ 0.5ppx2 ´ z2qpy2´ r2

2q ´ px2 ´ y2qpz2´ r2

3q ´ py2 ´ z2qpx2´ r2

1qq

c3 “ 0.5ppx3 ´ z3qpy2´ r2

2q ´ px3 ´ y3qpz2´ r2

3q ´ py3 ´ z3qpx2´ r2

1qq

d “ px1y2z3q ´ px1y3z2q ´ px2y1z3q ` px2y3z1q ` px3y1z2q ´ px3y2z1q.

Fazendo D “ C‹, ao aplicar a técnica envolvendo ∆ “ D ¨ D para obter oponto X, teremos duas situações possíveis: ou ∆ ă 0 ou ∆ “ 0. Caso aconteça a segundaopção, ilustrada no item (b) da Figura 37, o ponto é obtido pela equação

X “D

´e8 ¨D. (4.17)

Assim, o dual D é dado por

D “ D1e1 `D2e2 `D3e3 ´D4e8 `D5e0. (4.18)

Portanto, o ponto, caso exista, fica definido por

X “D1

D5e1 `

D2

D5e2 `

D3

D5e3 ´

D4

D5e8 ` e0. (4.19)

Algoritmo 6: function 3Dados de entrada: Os centros x, y, z, s P R3 e o raios r1, r2, r3, r4 P R.Passo 1: Calcule C através da Fórmula 4.4.3;Passo 2: Calcule D utilizando a Equação (4.18);Passo 3: Calcule ∆ e faça o teste:

• Se ∆ “ 0, C “ X;


4.4.4 function 4 : Reflexão

A operação de reflexão em R4,1 é representada por uma operação geométricaadjunta de versor no objeto a ser refletido como descrito na Subseção 3.4.

Fórmula 4.4.4. (function 4 ) Seja P :“ rY, Z,W, e8s um plano em R4,1, considere suarepresentação IPNS em Cl4,1 dada pelo vetor P “ P1e1`P2e2`P3e3`P4e8 e seja X P H3

a


dado por X “ X1e1 `X2e2 `X3e3 `X4e8 ` e0. A reflexão de X, denominada XSym, emrelação a P , é definida pela equação,

XSym“

PXP

´e8 ¨ pPXP q, (4.20)

ou seja,XSym

“ X1P e1 `X2P e2 `X3P e3 `X4P e8 ` e0, (4.21)

obtido por meio do desenvolvimento,

X1P “ pt0P2 ` t1P3 ` t2P4 ` t8P1q{ ´ pt8P2 ` t9P3 ` t10P4q

X2P “ p´t1P2 ` t0P3 ` t4P4 ` t9P1q{ ´ pt8P2 ` t9P3 ` t10P4q

X3P “ p´t2P2 ´ t4P3 ` t0P4 ` t10P1q{ ´ pt8P2 ` t9P3 ` t10P4q

X4P “ p´t3P2 ´ t5P3 ´ t6P4 ´ pt7 ` t0qP1q{ ´ pt8P2 ` t9P3 ` t10P4q.

Os t1is são dados por:

t0 = P2X1 ` P3X2 ` P4X3 ` P1

t1 = P2X2 ´ P3X1

t2 = P2X3 ´ P4X1

t3 = P2X4 ´ P1X1

t4 = P3X3 ´ P4X2

t5 = P3X4 ` P1X2

t6 = P4X4 ` P1X3

t7 = P1

t8 = P2

t9 = P3

t10 = P4

Algoritmo 7: function 4Dados de entrada: Os centros y, z, w P R3 e X P H3

a.Passo 1: Calcule P usando a Propriedade 2.5.14;Passo 2: Calcule XSym utilizando a Equação (4.20);Passo 3: Imprima XSym.


4.4.5 Algoritmo C ´ SymBP com k “ 3

Algoritmo 8: C ´ SymBPk“3Dados de entrada: Matriz de distâncias Anˆn e uma tolerância estabelecida ε ą 0.Passo 0: Defina:X1 “ e0,

X2 “ Á1,2e1 `12A

21,2e8 ` e0

X3 “

pA2,3 cospθqÁ1,2qe1`pA2,3senpθqqe2`12ppA2,3 cospθqÁ1,2q

2`pA2,3senpθqq2qe8è0,

onde

cospθq “Á2

1,3 ` A21,2 ` A

22,3

2A1,2A2,3e senpθq “

a

1´ cos2pθq.

Passo 1: P :“ tu;Passo 2: iÐ 4 ¨ ¨ ¨n;Passo 3: Calcule Pp usando a function 2 e resgate X0

i e X1i utilizando a Fórmula

3.2.1;Passo 4: Faça Xi Ð X0

i ;Passo 5: Teste a factibilidade de Xi fazendo:

• Se Fi “ H, Xi é factível;

• Senão, se |Fi| “ 1, faça C “ Saino passo 0 do Algoritmo 1 Factibility test;

• Senão, se |Fi| “ 2, use a function 1 no passo 0 do Algoritmo 1 Factibility test;

• Senão, se |Fi| “ 3, use a function 2 no passo 0 do Algoritmo 1 Factibility test;

• Senão, se |Fi| ě 4, use a function 3 no passo 0 do Algoritmo 1 Factibility test.

Passo 6:

• Se Xi resultou em factível no passo 5 faça:iÐ i` 1;Se i “ n, então X “ pXv1 , ¨ ¨ ¨ , Xvnq é uma solução. Avance ao passo 7;Senão, P Ð P Y tPiu. Volte ao passo 3;

• Senão, encontre t tal que t “ maxtj| j “ 4, ¨ ¨ ¨ , i e Xj “ X0j u e faça

iÐ t;Se i “ 4, então pare e exiba a mensagem "Problema sem solução";Senão, faça Xi “ X1

i e volte ao passo 5;

Passo 7: P Ð P ´ď

Pq, para todo dpq P F ;Passo 8: Realizar reflexões nos elementos de P utilizando a function 4 para obteras demais soluções.


4.4.6 Exemplo Detalhado

Uma discussão detalhada de uma aplicação do algoritmo C-SymBP é dada aquipor meio de um exemplo simples retirado do artigo (LIBERTI; LAVOR; MACULAN, 2008),que foi utilizado para detalhar o algoritmo principal do artigo (BP algorithm), reescritoneste trabalho na Seção anterior por meio do Algoritmo 3. A instância em questão estáassociada a uma proteína gerada artificialmente como em (LAVOR, 2006), denominadalavor117, cujos comprimentos de ligações covalentes medem 1.526 angstron e os ângulosde dobras medem 1.91 radianos.

Exemplo 4.4.5. Seja M uma molécula de proteína gerada artificialmente com 11 átomosna sua cadeia principal e considere a instância lavor117 de um kDMDGP , com k “ 3,relacionada a M , cuja matriz de distância entre os átomos da molécula de proteína é dadapor:

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝

0 1.526 2.491389 3.83929 ? ? ? ? ? ? ?1.526 0 1.526 2.491389 3.831422 ? ? ? 3.387634 ? ?

2.491389 1.526 0 1.526 2.491389 3.835602 ? 3.96678 3.003368 3.796280 ?3.83929 2.491389 1.526 0 1.526 2.491389 3.030585 2.60830 2.102385 3.159309 ?

? 3.831422 2.491389 1.526 0 1.526 2.491389 2.899348 2.689078 3.132251 ?? ? 3.835602 2.491389 1.526 0 1.526 2.491389 3.086914 3.557526 ?? ? ? 3.030585 2.491389 1.526 0 1.526 2.491389 2.788611 3.228657? ? 3.96678 2.60830 2.899348 2.491389 1.526 0 1.526 2.491389 2.888815? 3.387634 3.003368 2.102385 2.689078 3.086914 2.491389 1.526 0 1.526 2.491389? ? 3.796280 3.159309 3.132251 3.557526 2.788611 2.491389 1.526 0 1.526? ? ? ? ? ? 3.228657 2.888815 2.491389 1.526 0

˛

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‚

,

Note que nem todas as distâncias são conhecidas. As entradas da matrizdestacadas na cor azul definem o conjunto de discretização, ou seja,

E “ t1.526, 2.491389, 3.83929,1.526, 2.491389, 3.831422,1.526, 2.491389, 3.835602,1.526, 2.491389, 3.030585,1.526, 2.491389, 2.899348,1.526, 2.491389, 3.086914,1.526, 2.491389, 2.788611,1.526, 2.491389, 2.888815,1.526, 2.491389,1.526u,

onde a i ´ ésima linha contêm as distâncias di,i`1, di,i`2, di,i`3 (entre o átomo i e osátomos i` 1, i` 2 e i` 3), então as duas últimas linhas trazem as distâncias d9,10, d9,11 e


a distância d10,11, respectivamente. Seu conjunto de poda é dado por

F “ t3.96678, 2.60830, 3.387634, 3.003368, 2.102385, 2.689078,3.796280, 3.159309, 3.132251, 3.557526, 3.228657u.

Sua partição por níveis da árvore T fica definida por F “

11ď

i“5Fi, onde cada Fi é dado por,

F5 “ F6 “ F7 “ H

F8 “ td3,8, d4,8u “ t3.96678, 2.60830uF9 “ td2,9, d3,9, d4,9, d5,9u “ t3.387634, 3.003368, 2.102385, 2.689078u;

F10 “ td3,10, d4,10, d5,10, d6,10u “ t3.796280, 3.159309, 3.132251, 3.557526u;F11 “ td7,11u “ t3.228657u.

Então, temos as seguintes relações de associação entre os conjuntos de poda e os conjuntosde planos associados aos níveis da árvore de busca:

• F8 ÐÑ P8 “ tP6, P7u;

• F9 ÐÑ P9 “ tP5, P6, P7, P8u;

• F10 ÐÑ P10 “ tP6, P7, P8, P9u;

• F11 ÐÑ P7,11 “ tP10u.

Das relações acima, vem queď

i

Pqi“ tP5, P6, P7, P8, P9, P10u. Portanto, pelo

Corolário 3.3.13, temos que P “ tP3, P4u. Assim, antes de iniciar a busca por conformaçõesde M em R3, é possível utilizar os Teoremas 3.3.12 e 3.3.15 para predizer o númerode soluções para a instância DMDGP associada a M . A saber, existem 4 possíveisconformações para M no espaço tridimensional, visto que P “ tP3, P4u. Entretanto, duasdelas são obtidas das outras, isto é, são realizações congruentes, e portanto, existem apenasduas soluções para o problema.

4.4.6.1 Uma descrição do Algoritmo C ´ SymBP ao resolver o Exemplo 4.4.5.

O algoritmo se inicializou com os representantes dos três primeiros átomos damolécula M , ou seja, são fixados suas representações X1, X2 e X3 no modelo conforme,que são previamente conhecidas. Em seguida, após escolher a direção da 1 esquerda, oalgoritmo passa para o quarto nível da árvore, calcula os pontos X0

4 , X14 por meio da

Fórmula 3.2.1 e fixa X04 em H3

a, representado x4 em R3, oriundo do produto meet das1 Na prática, são atribuídos algarismos 0 para o nó da esquerda e 1 para o da direita.


esferas S1, S2 e S3 em Cl4,1. Assim segue, calculando os pares de pontos X0i , X

1i e fixando

xi em R3 até o nível 7, escolhendo a direção da esquerda.

No nível 8, existem duas distâncias adicionais d3,8, d4,8 (dos níveis 3 e 4 ao nível8), assim o Algoritmo 1 ao testar a viabilidade de X0

8 , utilizou a function 1 no seu passoinicial. Se X0

8 caracterizou viabilidade, sua realização parcial é representada em H3a pelo

caminhoη “ X1 Ñ X2 Ñ X3 Ñ X0

4 Ñ X05 Ñ X0

6 Ñ X07 Ñ X0

8 . (4.22)

Senão, ele testa X18 , a viabilidade de X1

8 substitui X08 na representação (4.22) acima.

Caso nem X08 e nem X1

8 se caracterizou viável, ocorre o processo de "poda" e o algoritmoretrocede2 (backtracking) na árvore, repete o processo e altera η a partir do sétimo nível,trocando X0

7 por X17 e calculando novos pontos X0

8 , X18 , oriundo do produto meet das

esferas S5, SSym56 e SSym5

7 em Cl4,1, por meio da Fórmula 3.2.1. Com isto, fixa-se novamenteX0

8 em H3a.

Nos níveis 9 e 10, o procedimento é análogo ao do nível 8, entretanto, porexistir quatro distâncias adicionais, os testes de viabilidade se dão por meras comparações,visto que a interseção das quatro esferas adicionais resulta em um único ponto, obtido demaneira direta por meio da function 3.

No nível 11 não há mais retrocessos, o ponto X11 é obtido de maneira diretapor interseção de quatro esferas. Ao término deste processo, têm-se a primeira possívelsolução, exemplificada nas Figuras 38 e 39, representado pelo caminho em R3,

x :“ x1 Ñ x2 Ñ x3 Ñ x4 Ñ x5 Ñ x6 Ñ x7 Ñ x8 Ñ x9 Ñ x10 Ñ x11.

Então, fazendo uso do Teorema (3.3.12), o algoritmo analisa o conjunto de

distâncias adicionais F “

11ď

i“5Fi. Por meio dos conjuntos de planos Pi associados aos Fi1s

exclui os planos desnecessários, em seguida, reflete os pontos do caminho representado porx, com índices maiores ou iguais a j ` 1, onde j é o índice para cada plano restante em P ,obtendo assim, todas as outras possíveis soluções do DMDGP.

As soluções do problema são ilustradas nas Figuras 39 e 40 e as Figuras 42 e43 representam realizações congruentes as duas soluções. A Figura 38 ilustra os dadosde saída do algoritmo C ´ SymBP , isto é, a primeira possível solução e os dois planosrestantes, já a Figura 41 ilustra a representação em R3 do espaço de busca T , feito asdevidas podas nos galhos que levavam a soluções inviáveis.

2 De maneira geral, o algoritmo C-SymBP retrocede da seguinte forma: Se existe dij adicional, ele poderetroceder até o nível i` k ` 1.


Figura 38 – Planos P3 e P4 associados a primeira possível solução.

Figura 39 – Primeira solução possível

Primeira Soluçãop0, 0, 0q

p´1.5260, 0, 0qp´2.0338, 1.4390, 0q

p´3.5589, 1.4393, 0.0502qp´4.0749, 2.8536,´0.1993qp´5.5843, 2.8899, 0.0222qp´6.2803, 2.1201,´1.0966qp´5.7625, 0.6849,´1.1237qp´4.3624, 0.6616,´1.7301qp´4.3487, 1.4951,´3.0083qp´5.3984, 0.9572,´3.9765q

Figura 40 – Segunda solução possível

Segunda Soluçãop0, 0, 0q

p´1.5260, 0, 0qp´2.0338, 1.4390, 0q

p´3.5589, 1.4393,´0.0502qp´4.0585, 2.8594,´0.3002qp´5.5792, 2.8917,´0.1777qp´6.1995, 2.1486,´1.3574qp´5.6800, 0.7140,´1.3838qp´4.2429, 0.7037,´1.8971qp´4.1458, 1.5667,´3.1519qp´5.1291, 1.0522,´4.1994q

4.5 Experimentos Computacionais

Os experimentos computacionais para analisar o método sistematizado naforma do algoritmo C-SymBP foram realizados com instâncias artificiais. Resultadoscomparativos são apresentados entre o C-SymBP e outros dois algoritmos implementadospor nós, no qual um é uma versão clássica para resolver instâncias DMDGP que envolvemproteínas, conhecido na literatura por Branch and Prune, proposto pela primeira vez em2006 por Lavor em colaboração com outros pesquisadores (LIBERTI; LAVOR; MACULAN,


Figura 41 – Árvore em 3D e os planos P3 e P4 associados ao Exemplo 4.4.5.

Figura 42 – Realização congruente a 1ª solução

Realização Congruentep0, 0, 0q

p´1.5260, 0, 0qp´2.0338, 1.4390, 0q

p´3.5589, 1.4393,´0.0502qp´4.0749, 2.8536, 0.1993qp´5.5843, 2.8899,´0.0222qp´6.2803, 2.1201, 1.0966qp´5.7625, 0.6849, 1.1237qp´4.3624, 0.6616, 1.7301qp´4.3487, 1.4951, 3.0083qp´5.3984, 0.9572, 3.9765q

Figura 43 – Realização congruente a 2ª solução

Realização Congruentep0, 0, 0q

p´1.5260, 0, 0qp´2.0338, 1.4390, 0q

p´3.5589, 1.4393, 0.0502qp´4.0585, 2.8594, 0.3002qp´5.5792, 2.8917, 0.1777qp´6.1995, 2.1486, 1.3574qp´5.6800, 0.7140, 1.3838qp´4.2429, 0.7037, 1.8971qp´4.1458, 1.5667, 3.1519qp´5.1291, 1.0522, 4.1994q

2008). Mais detalhes do BP e sua evolução histórica pode ser encontrado em (LIBERTI etal., 2014).

4.5.1 Instâncias Artificiais

As instâncias artificiais são baseadas em um modelo proposto por Phillipset al. (PHILLIPS; ROSEN; WALKE, 1996), onde a molécula é representada como umacadeia linear de átomos. Os comprimentos de ligações e ângulos de ligações são fixos e


um conjunto de ângulos de torção é gerado aleatoriamente. Dependendo da escolha doscomprimentos e ângulos de ligação, estas instâncias fornecem um modelo realístico de umaproteína.

A fim de testar a viabilidade do método, foram gerados três blocos cominstâncias artificiais simulando tamanhos e realidades distintas entre as moléculas deproteínas. Estes blocos contemplam vinte e cinco instâncias, listadas na Tabela 10. As onzeprimeiras instâncias, cuja quantidade de átomos n variam entre 10 e 90 são ditas pequenas,as dez seguintes com a quantidade de átomos definidas por n “ 100i; com i “ 1, ¨ ¨ ¨ , 10são consideradas de tamanhos médios e as outras quatro com n “ 2000, 3000, 4000, 5000consideradas de tamanhos grandes considerando a realidade das moléculas de proteínas.

Observação 4.5.1. O conhecimento de ângulos, tanto de dobra quanto de torção, éirrelevante para o desempenho do C ´ SymBP , visto que ele trabalha apenas com oconhecimento de distâncias.

4.5.2 Considerações sobre Máquina e Memória

Todos os testes foram realizados em um computadorMacbook Pro, CORETM i5,2.3 GHz com 4GB RAM , executando OSX Mavericks. Ambos os códigos implementadosnos algoritmos C´SymBP , BP e BP´Coope foram executados peloMatLab 7.12R 2011.Entretanto, devido ao caráter recursivo da implementação do BP , explorar o espaço debusca pode exigir muita memória, especialmente se nenhuma poda ocorre no início daexecução. Consequentemente, quando a memória (RAM) física da máquina está esgotada,o sistema operacional começa a troca de disco e o tempo de CPU torna-se incontrolável,com isso, instâncias com muitos átomos não foram resolvidas com a nossa implementaçãodo BP .

Quanto a versão do BP utilizando estratégia de Coope, denominada BP-Coope,tem duas versões. A primeira implementada por nós, ilustrada na Tabela 9 ela visa somentea obtenção da primeira solução, esta versão não possui qualquer tipo de refinamento nocódigo assim como o código do C-SymBP. A segunda implementada por Jorge Alencar eilustrada na Tabela 10, embora tenha recebido refinamentos em sua implementação para seobter todas as soluções, ainda assim utiliza-se da ideia do BP clássico e portanto tambémsofre dos mesmos problemas com a memória.

Embora, em geral, os algoritmos sejam rápidos para resolver instâncias pequenas,o C ´ SymBP além de superar em tempo de CPU, também resolveu todas as instânciasmédias e grandes geradas por nós. Fazer uso da álgebra geométrica conforme para calcularinterseções entre esferas no processo de busca por uma solução e na obtenção de todasas outras por meio de operação adjunta, faz do C ´ SymBP um algoritmo natural pararesolver instâncias discretizáveis. Entretanto, o quesito em que ele mais se diferencia do


algoritmo BP é seu teste de viabilidade. O BP realiza seu teste de viabilidade com asdistâncias conhecidas em cada nó ramificado, enquanto que, o C ´ SymBP se utiliza deno máximo 4 distâncias ditas adicionais ao problema, o que justifica seu ganho de tempo.

Algumas versões do algoritmo BP com implementação mais sofisticada em C++podem ser encontradas no endereço http://www.antoniomucherino.it/en/mdjeep.php.

4.5.3 Resultados Comparativos

As Tabelas 9 e 10 apresentam em detalhes todos os resultados computacionaisobtidos pelos testes em instâncias artificias geradas por nós. O parâmetro ε, em todos osalgoritmos, assumiu o valor 1ˆ 10´3 em todos os testes.

Na Tabela 9 foi realizado um corte nas entradas da matriz de distância, con-siderando todas entradas com valor maior que 5.5 angstron desconhecidas, simulandoexperimentos de ressonância magnética com esta limitação de distâncias. Os detalhesde tempo e precisão encontrados na tabela se referem a obtenção da primeira solução.A tabela é descrita em colunas, dos quais a primeira apresenta o nome da instância, asegunda indica o número n de átomos na cadeia principal da molécula e a terceira colunacontêm a cardinalidade |E|, obtida pela fórmula

|E| “|D| ´ n

2 ,

onde E é o conjunto de todas as distâncias conhecidas a priori e D é o conjunto que contêmas entradas da matriz de distâncias que são menores que o valor de corte estabelecido. ALDE3 encontrada na quinta e sétima coluna é usada para medir a qualidade da soluçãonumérica (maior erro comparativo), definida por

LDE “1|E|

ÿ

pi,jqPE

|2Xi ¨Xj ´ d2ij|

d2ij

.

O número de instâncias testadas foi menor devido incomparabilidade em tempocomputacional dos métodos quando aplicados a instâncias grandes. A instância com 200átomos (Inst200) gera uma matriz de distâncias mal condicionada, o que justifica a falhado método que envolve a estratégia de Coope para esta instância e valida ainda mais ouso de CGA como uma aplicação natural para este tipo de problema.

Nos testes apresentados na Tabela 10 fizemos cortes mais exigentes, de 4.5angstrons nas matrizes de distâncias de cada instância, com isso o número de distânciasconhecidas diminuem e consequentemente o número de soluções para os DMDGP associadosa essas instâncias aumentam. O objetivo foi testar o tempo computacional para se obter3 Do Inglês: Largest Distance Error.


Tabela 9 – Fatoração QR versus CGA

Instância BP - Coope - One C-SymBP - OneNOME n |E| CPU (seg.) LDE CPU (seg.) LDEInst10 10 45 0.061587 0.1ˆ 10´9 0.038783 5.4ˆ 10´7

Inst15 15 73 0.052081 0.1ˆ 10´11 0.041765 0.1ˆ 10´9

Inst20 20 126 0.052047 0.1ˆ 10´11 0.039486 2.6ˆ 10´9

Inst25 25 222 0.057239 0.1ˆ 10´10 0.044077 0.1ˆ 10´9

Inst30 30 195 0.049208 0.1ˆ 10´10 0.040741 0.1ˆ 10´9

Inst40 40 415 0.085252 0.1ˆ 10´9 0.040289 0.1ˆ 10´6

Inst50 50 438 0.091174 0.1ˆ 10´7 0.040221 2.7ˆ 10´6

Inst60 60 799 0.062183 0.1ˆ 10´8 0.043541 5.8ˆ 10´7

Inst70 70 1103 0.065530 0.1ˆ 10´11 0.042618 0.1ˆ 10´8

Inst80 80 923 0.096359 0.1ˆ 10´8 0.045703 1.6ˆ 10´6

Inst90 90 671 0.077168 0.1ˆ 10´9 0.047624 0.1ˆ 10´7

Inst100 100 1291 0.101005 0.1ˆ 10´11 0.050142 0.1ˆ 10´6

Inst200 200 2747 * * 0.058722 0.1ˆ 10´6

Inst300 300 5236 0.174087 0.1ˆ 10´10 0.072840 1.5ˆ 10´6

Inst400 400 5761 0.162932 1.3ˆ 10´7 0.090980 3.7ˆ 10´6

Inst500 500 8051 0.931596 0.1ˆ 10´8 0.107732 1.8ˆ 10´6

* Não resolveu dentro do tempo estabelecido (100 segundos).

todas as soluções. No caso da implementação do C-SymBP utilizando as simetrias inerentesao problema.

Os detalhes da Tabela 10 são: as três primeiras colunas possuem representaçõesequivalentes as três primeiras colunas da Tabela 9, as três colunas subsequente apresentamcomparações entre tempo médio4 de CPU dos três métodos supracitados acima e por fim,as duas últimas trazem uma descrição da solução de cada DMDGP com o devido corte deprecisão na matriz de distâncias proeminente de cada instância avaliada.

O número de instâncias resolvidas e/ou resolvidas no tempo estipulado pelosdois primeiros métodos foram menores e com isso surgem alguns questionamentos. O fatodo C-SymBP se favorecer das simetrias do problema enquanto que o BP e o BP-Coope nãopara estas implementações explica a parte de resolver em tempo, como pode ser observadocom os testes das instâncias Inst800, Inst900 e Inst1000. Entretanto o tamanho da proteínainfluência fortemente no tempo e na solubilidade destas implementações, como podemosver no teste da instância Inst5000 em destaque na Tabela 10, onde houve um aumento nocorte para que o problema tivesse uma única solução, o qual apenas o C-SymBP resolveu.4 Média referente a três execuções por instância.


Tabela 10 – Resultados Comparativos: BP versus BP-Coope versus C-SymBP

Instância CPU (segundos) SOLUÇÃONOME n |E| BP BP-Coope C-SymBP QUANTIDADE CORTEInst10 10 43 0.052137 0.142125 0.043903 20 4.5AInst15 15 57 0.058683 0.197429 0.045885 21 4.5AInst20 20 101 0.060417 0.239517 0.061892 22 4.5AInst25 25 165 0.050350 0.172753 0.046771 20 4.5AInst30 30 157 0.054902 0.201655 0.041924 20 4.5AInst40 40 303 0.064750 0.231952 0.048917 20 4.5AInst50 50 304 0.076956 0.213967 0.050310 20 4.5AInst60 60 564 0.087488 0.323432 0.051412 20 4.5AInst70 70 871 0.068098 0.274081 0.053976 20 4.5AInst80 80 660 0.066407 0.315164 0.060897 20 4.5AInst90 90 511 0.530597 6.158656 0.154538 26 4.5AInst100 100 912 0.075554 0.875226 0.061378 21 4.5AInst200 200 2001 0.825446 21.363832 0.287690 26 4.5AInst300 300 3716 0.158510 4.630694 0.104843 21 4.5AInst400 400 3817 0.567705 49.554446 0.307304 26 4.5AInst500 500 5331 2.441809 11.463033 0.800330 26 4.5AInst600 600 7275 3.157523 436.457171 0.899807 26 4.5AInst700 700 7782 3.041658 398.893074 0.291804 23 4.5AInst800 800 7347 239.590048 * 2.652892 27 4.5AInst900 900 12223 * * 308.181782 214 4.5AInst1000 1000 9796 * * 130.643907 29 4.5AInst2000 2000 21969 ** * 185.163721 212 4.5AInst3000 3000 31290 ** * * 238 4.5AInst4000 4000 49754 ** ** * 230 4.5AInst5000 5000 61324 ** ** 3.210838 20 5.0A

* Resolveu, porém não no tempo limite estabelecido (500 segundos).** Não resolveu o problema para esta instância.

4.5.4 Perfil de Desempenho

Sejam I um conjunto de problemas testes com instâncias artificiais e S oconjunto de solvers, que aqui serão chamados simplesmente de métodos. O perfil dedesempenho5 é uma ferramenta utilizada para avaliar e comparar o desempenho doconjunto de métodos S na resolução dos problemas do conjunto I.

Seja ti,s ě 0 uma estatística correspondente a solução de uma instância testei P I por um método s P S. Esta estatística pode ser, por exemplo, o tempo computacionalde resolução do problema ou o número de iterações do método. Suponha que quanto menorfor o valor ti,s, melhor será considerado o método s. Além disso, seja ti o valor mínimoatingido na resolução da instância teste i por um método qualquer do conjunto S em5 Do Inglês: Performance Profile


análise, e seja rM um valor dado tal que rM ěti,sti

para todo s P S. O desempenho dométodo s na resolução da instância i é comparado com o melhor desempenho ti obtidopor qualquer outro método na resolução desta instância. Isto é, considera-se a relação dedesempenho

ri,s “ti,sti. (4.23)

O valor rM escolhido é tal que rM ě ri,s para todo s P S e ri,s “ rM se, esomente se, o método s não resolve o problema i. Mostra-se que a escolha de rM não afetaa avaliação do desempenho dos métodos (DOLAN; MORé, 2001).

O perfil de desempenho do método s é definido como

ρpτq “número de problemas i P I tais que ri,s ď τ

|I|, τ ě 1, (4.24)

Em outras palavras, ρpτq é a fração de problemas para o qual ti,s está dentrode um fator τ do valor mínimo ti. Em τ “ 1, o perfil de desempenho indica o percentualde problemas para os quais o método s é o melhor método, enquanto o percentual deproblemas que são resolvidos pelo método s é dada por

limτÑr´M

ρpτq. (4.25)

Finalmente, note que quando os valores dos quocientes de desempenho ti,sti

têm diferentes magnitudes, pode ser conveniente usar um perfil de desempenho em escalalogarítmica , isto é,

ρlogpτq “número de problemas i P I tais que logpri,sq ď τ

|I|, τ ě 0. (4.26)

Neste trabalho, foi utilizado o sistema simples para medir os tempos de CPU,tanto para obtenção da primeira solução quanto na obtenção de todas as soluções, paracada DMDGP associado as instâncias listadas nas Tabelas 9 e 10, veja as Figuras 44, 45,46 e 47.

Observação 4.5.2. O código da função de desempenho foi baseado no script de ElizabethDolan e Jorge J. Moré descrito em (DOLAN; MORé, 2001).

Notemos pela Figura 44 que representa a obtenção da primeira solução dosmétodos C-SymBP versus BP-Coope versão nossa, que comparativamente a implementaçãodo C-SymBP leva vantagem em 100% dos casos. Entretanto, com um fator τ de 2.5 o BP-Coope implementado por nós se torna competitivo em quase 90% dos casos. Se aumentamoso fator de tolerância τ para 9.0 temos que o BP-Coope resolveu 93.7% das instânciasindicadas na Tabela 9.


Figura 44 – Perfil de desempenho: τ P r1, 9s

As Figuras 45, 46 e 47 referem-se a Tabela 10 e trazem o perfil de desempenhodos métodos BP, BP-Coope e C-SymBP. Porém, as duas primeiras consideram tantos osproblemas não resolvidos quanto os resolvidos acima do tempo estabelecido como nãoresolvidos, enquanto que a Figura 47 levou em consideração apenas os problemas resolvidos.Os casos em que ultrapassou o tempo estipulado considerou-se que tenham sido resolvidosem 500 segundos.

5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

τ

ρ(r i,s

<=

τ)

Tempo de Processamento

BPBP−CoopeC−SymBP

Figura 45 – τ P r1, 45s200 400 600 800 1000 1200

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

τ

ρ(r i,s

<=

τ)

Tempo de Processamento

BPBP−CoopeC−SymBP

Figura 46 – τ P r1, 1400s

Notemos pela Figura 45 que quando exigimos que o intervalo de discrepânciaentre os tempos de CPU tenha fator menor que 45.0 apenas 96.2% dos problemas sãoresolvidos. Novamente o C-SymBP se mostrou mais promissor e atinge os 96.2% resolvidos


com um fator τ de 10.0, enquanto que o BP resolve 70% dos casos e o BP-Coope apenas40% com esse fator. Quando se aumenta o intervalo de discrepância entre os tempos deCPU dos métodos, nota-se que BP-Coope melhora consideravelmente sua competitividadeem relação aos outros dois, também pode-se notar que o BP e o BP-Coope aumentao percentual de instâncias resolvidas no tempo estipulado, enquanto que o C-SymBPpermanece resolvendo os 96.2% como pode ser visto na Figura 46.

Quando consideramos apenas os problemas resolvidos independente do tempoestipulado, pode-se observar que os métodos são bastantes competitivos como podemosver na Figura 47. Note que com um fator entre 200.0 e 300.0 o C-SymBP resolve todos osproblemas enquanto que o BP e BP-Coope resolvem 84%, com este fator nota-se tambémque o BP-Coope começa a superar o BP em quantidade de problemas resolvidos, entretanto,só o C-SymBP resolve todos.

Figura 47 – Perfil de desempenho: τ P r1, 1400s.

125

5 Considerações Finais

5.1 Contribuições da Tese

A principal contribuição deste trabalho foi apresentar uma alternativa pararesolução de problemas de geometria de distâncias utilizando álgebras geométricas. Baseadonesta nova abordagem, foi implementado um algoritmo utilizando ferramentas da álgebrageométrica conforme intitulado C ´ SymBP algorithm. Sua característica fundamental éque independente da dimensão do seu espaço de realização, ele pode ser adaptado pararesolver qualquer problema de geometria de distâncias, desde que possa ser modelado porum grafo que admite uma ordenação nos seus vértices, de maneira que o problema admitauma discretização.

Primeiramente, modelamos o problema discretizado (kDMDGP ), utilizandoálgebra geométrica conforme. Resultados teóricos relacionados a essa classe de problemassurgiram ao longo do processo, todos foram apresentados e demonstrados no Capítulo 4.Também, foi neste capítulo que apresentamos o método de resolução implementado.

Experimentos numéricos, baseados em problemas já abordados na literatura,amplamente divulgado em (LIBERTI et al., 2014), ilustram o desempenho do C´SymBP .Comparações entre ele e uma implementação de um algoritmo clássico, que dispõe deferramentas da álgebra linear para resolver essa classe de problemas são feitas no Capítulo5. Em geral, em termos de tempo médio de CPU, os algoritmos possuem desempenhosemelhantes, com alguma vantagem para o Algoritmo C ´ SymBP . Ainda neste capítulo,foi apresentada uma adaptação do algoritmo C ´ SymBP que via redução de matrizes,obtém os pontos em R3 oriundos da interseção de três esferas, que é parte principal deambos os métodos.

5.2 Conclusão e Resultados Futuros

Como era esperado, devido à representação algébrica dos objetos que envolvemkDMDGP , em CGA, o método implementado se mostrou muito promissor. Devido aopouco conhecimento que temos, tais implementações não trás qualquer refinamento.

Uma profunda investigação da aplicabilidade do método são objetos de pesquisafutura. Um estudo numérico comparando várias escolhas do parâmetro k em estratégiasaplicadas ao problema combinatório é feito em (LIBERTI et al., 2014), mas até ondesabemos não existem referências relacionadas a escolhas práticas para k qualquer que

Capítulo 5. Considerações Finais 126

utilize CGA na implementação de algoritmos para resolver problema de geometria dedistâncias.

Também, sugerimos como proposta de pesquisa futura, a possibilidade deenfraquecimento das hipóteses, em especial a exigência de k distâncias conhecidas entreos representantes dos vértices de G em Rk. Nesse sentido, a técnica para se obter pontosoriundos de interseções entre objetos geométricos, produto meet, da álgebra geométricapodem ser de grande valia. Aliás, esse foi o principal motivo que nos levou à investigaçãodesses resultados.

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