laplace

11

Introduo aos Fenmenos Transitrios emSistemas Eltricos

LRC (UFMG / CEMIG)

Clever Pereira Fuad AlmeidaAlberto De Conti

EE.UFMG - Escola de Engenharia da UFMGCESEP Curso de Especializao em Sistemas Eltricos De Potncia

ANLISE DE REDES ELTRICAS NO DOMNIO DO TEMPO2o Semestre - 2004

2

1 - Introduo

2 - A Transformada de Laplace

3 - Fenmenos Transitrios em Circuitos Concentrados

4 - Fenmenos Transitrios em Linhas de Transmisso

Sumrio

23

1. Introduo

1.1. FENMENOS TRANSITRIOS1.1.1. Resultado de mudanas bruscas nas condies de qualquer circuito

1.1.2. Durao pequena em relao ao tempo em regime permanente

1.2. QUESTES TCNICAS X QUESTES ECONMICAS

1.3. TRANSITRIOS EM SEP1.3.1. Causas Internas x Causas Externas

1.3.2. Intensidade x Durao

4

1. Introduo

10-6 10-4 10-2 100 101 102 Tempo (s)

V (pu)

1

Descargas Atmosfricas

Sobretenses de Manobra

Sobretenses Temporrias

4

35

1. Introduo

1.4. CARACTERSTICAS FUNDAMENTAIS DE CIRCUITOSELTRICOS

R, L e C Natureza distribuda

Os parmetros de um circuito podem ser representados comoelementos concentrados se:

fxdeltrico

610300==

( )xdd eltricofsico 10~ armazenadores de energia

R => dissipador de energia

2

21 LIE = 2

21 CVE =

DC: Energia constante

AC: Energia trocadaentre L e C

47

1. Introduo

1.4. CARACTERSTICAS FUNDAMENTAIS DE CIRCUITOSELTRICOS

Em regimes transitrios, a energia redistribuda entre oselementos L e C do circuito;

Princpio da Conservao da Energia;

No ocorrem mudanas instantneas:

dtdiLv LL = dt

dVCi cc =

Corrente em indutores Tenso em capacitores

8

1. Introduo

1.5. EQUACIONAMENTO DO PROBLEMA EINTERPRETAO FSICA

)()( tvtRiV c+=

dtdvCti c=)(

RCt

cc evVVtv= )]0([)(

R

i(t) CV vc(t)

59

1. Introduo


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Tempo (ms)

Tens

o (V

)

vc(0)=0R=100

vc(0)=0,5R=100

vc(0)=0 R=20

C=1 F

RCt

cc evVVtv= )]0([)(

10

1. Introduo


Cada circuito tem sua marca registrada:

RC RL LC

RCt

e t

LR

e t

LCjt

LCj

ee

611

2. A Transformada de Laplace

*Transforma equaes diferenciais em equaes algbricasatravs da seguinte relao:

= 0 )()( dtetfsF st

= 0 )()( dsesFtf st

12


Principais Transformadas

713


Principais Propriedades

14

3. Transitrios em Circuitos Concentrados

Exemplos:

1) Corrente em circuito RC com excitao constante

2) Corrente em circuito RL com excitao constante

3) Corrente e tenso em circuito LC com excitao constante

4) Corrente em circuito RL com excitao senoidal

5) Energizao de banco de capacitores

815


1) Corrente em Circuito RC com excitao constante

RCt

c eRvVti

= )0()(

R

i(t) CV

16


2) Corrente em Circuito RL com excitao constante

= tL

R

eRVti 1)(

L

i(t) RV

917


3) Corrente em Circuito LC com excitao constante

[ ] tvVVtv cc 0cos)0()( =t

ZvVti c 0

0sen)0()( =

L

i(t) CV

CLZ =0 LC

10 =

18


4) Corrente em circuito RL com excitao senoidal

L

~ Rv(t) i(t)

( ) += tVtv m sen)(

jL

R

| Z |

( ) ( )

+

+= tL

Rm et

LR

Vti sensen)( 222

10

19


5) Banco de capacitores

C1 C2

L1

L~

S1 S2

V=34,5 kV

Icurto=25 kA rms

QC1=18 MVAr 3QC2=10 MVAr 3L1=19,2 H

V(t)

20

4. Transitrios em LTs

Equao de Onda

ttxiL

xtxv

=

),(),(

ttxvC

xtxi

=

),(),(

L i(x+dx, t)

Cdx v(x+dx, t)

i(x, t)

v(x, t)

Soluo (sem perdas)

++

= +vxtV

vxtVtxv ,0,0),(

+

=+

vxt

ZV

vxt

ZVtxi ,0,0),(

00

CLZ =0

11

21


Reflexo e Refrao de Ondas Viajantes

Vi= tenso incidente

Vr=tenso refletida

Vt=tenso transmitida

Ii= corrente incidente

Ir=corrente refletida

It=corrente transmitida

tri VVV =+tri III =+

22


Reflexo e Refrao de Ondas Viajantes

12

12

ZZZZ

VV

i

rVR +

==

Coeficientes deReflexo

Tenso12

22ZZ

ZVV

i

tVT +==

Coeficientes deTransmisso

12

21

ZZZZ

II

i

rIR +

==Corrente12

12ZZ

ZII

i

tIT +==

VR

VT += 1

IR

IT += 1

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