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Logica e Matematica Discreta

Teoria Elementar dos Conjuntos

Prof Clezio

04 de Junho de 2010

Curso de Ciencia da Computacao

Nocoes basicas

Um conjunto designa-se geralmente por uma letra latina maiuscula:

A,B,C , . . .X ,Y ,Z

Os objetos que constituiem um conjunto denomina-se elementos do con-

junto, sao representados por letras latinas minusculas:

a, b, c, . . . x , y , z

O conjunto A cujos elementos sao a, b, c, . . . serao denotados por:

A = {a, b, c, . . .}

Exemplos:

1. Conjunto das vogais do alfabeto portugues {a, e, i , o, u};2. Conjunto dos dias da semana {segunda feira, terca feira, quarta

feira, quinta feira, sexta feira, sabado, domingo}

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Nocoes basicas

Conjuntos sao particularmente uteis em programao para definir variaveis,

constantes, strings, listagens, etc.

Relacao de pertinencia:Para indicar que um elemento x pertence ao conjunto A, escreve-se:

x ∈ A.

ara indicar que um elemento x nao pertence ao conjunto A, escreve-se:

x /∈ A.

Conjunto Universo:

Definicao:Chama-se conjunto universo ou apenas universo de uma teoria o

conjuntos de todos os entes que sao sempre considerados como

elementos dessa teoria.

E usual usual tambem chamar o conjunto universo de conjunto

fundamental da teoria e representa-se pela letra U.

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Nocoes basicas

Exemplos:

1. Em aritmetica o conjunto universo e o conjunto Z, de todos os

numeros inteiros;

2. Em Calculo Diferencial e integral o conjunto universo e o conjunto Rde todos os numeros reais;

3. Em geometria espacial o conjunto universo e formado pelos pontos

do espaco tridimensional.

Diagramas de Ven

Em um diagrama de Venn o Universo e representado por um retangulo e

os demais conjuntos por cırculos dentro do retangulo.3

Determinacao de um Conjunto

De um modo geral, diz-se que um conjunto A e dado ou definido em um

universo U quando se conhece uma criterio, uma propriedade, que permite

saber se um elemento de U pertence a A.

Ha duas formadas de definir um conjunto em um universo U.

I) Enumerando individualmente todos os elementos que pertencem ao con-

junto; A = {=,+,%,&, 1}

II) Atraves de uma propriedade p(x) definida sobre elementos do universo

U, podemos formar o conjunto A dos elementos de U que satisfazem a

propriedade p(x).

Simbolicamente: A = {x ∈ U ∧ p(x)}

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Nocoes basicas

Definicao:Dois conjuntos A e B dizem-se iguais se e somente se todos elemento

que pertence a um deles tambem pertence ao outro.

Exprime-se a igualdade dos conjuntos A e B pela notacao usual A = B.

Simbolicamente, escrevemos

A = B ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B)

Exprime-se que o conjunto A nao e igual ao conjunto B pela notacao usual

A 6= B.

Simbolicamente, escrevemos

A 6= B ⇐⇒ (∃x)(x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (∃y)(y ∈ B ∧ y /∈ A)

5

Igualdade de conjuntos

Exemplos:

1) {5, 6, 7} = {7, 5, 6} = {5, 5, 6, 6, 7}2) {x |x2 − 3x + 2 = 0} = {1, 2} = {1, 2, 2, 1}3) {x ∈ N|5 < x < 9, x 6= 7} = {x ∈ N|5 < x < 9, x e par}

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Relacao de Inclusao

Dois conjuntos quaisquer podem ser comparados pela relacao de inclusao.

Definicao:Diz-se que um conjunto A esta contido em um conjunto B se e somente

se todo elemento de A tambem e um elemento de B.

Notacao: A ⊆ B

Simbolicamente,

A ⊆ B ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A =⇒ x ∈ B)

A

B

Quando A esta contido em B tambem se diz que B contem A, o que se

indica pela notacao B ⊇ A, que se Le “B contem A.

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Relacao de Inclusao

A Negacao de A ⊆ B indica-se pela notacao A * B, que se le: A nao esta

contido em B.

E claro que A * B se e somente se existe pelo menos um elemento de A

que nao e elemento de B, ou seja,

A * B ⇐⇒ (∃x)(x ∈ A ∧ X /∈ B)

Assim como fizemos antes, escrevemos B + A, que se le“B nao contem A

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Relacao de Inclusao

Exemplos:

1) {1, 2} ⊆ {1, 2, 5}2) O conjunto P dos numeros naturais pares esta contido no conjunto

N dos numeros naturais: P ⊆ N

3) O conjunto A dos numeros naturais terminados em 5 esta contido

no conjunto B dos numeros naturais divisıveis por 5: A ⊆ B

4) Sejam A o conjunto dos quadrados, B o conjunto dos retangulos e

C o conjuntos dos paralelogramos: Temos A ⊆ B,A ⊆ C e B ⊆ C .

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Propriedades da Inclusao

A relacao de inclusao possui as seguintes propriedades:

1) Reflexiva: A ⊆ A;

2) Transitiva: A ⊆ B ∧ B ⊆ C =⇒ A ⊆ C

3) Anti-simetrica: A ⊆ B ∧ B ⊆ A =⇒ A = B

4) O conjunto vazio esta contido em qualquer conjunto A, isto e,

(∀A)(∅ ⊆ A).

5) Qualquer que seja o conjunto A em um universo U, A esta contido

em U, ou seja, (∀A)(A ⊆ U).

A propriedade anti-simetrica nos fornece um metodo para demonstrar a

igualdade entre dois conjuntos A e B.

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Conjunto Comparaveis

Definicao:Dois conjuntos A e B dizem-se comparaveis se A ⊆ B ou B ⊆ A.

A e B nao sao comparaveis se A * B e B * A. Nesse caso existe um

elemento de A que nao esta em B e existe um elemento de B que nao esta

em A.

Exemplos:

1) O conjunto A = {a, b} e {a, b, c} sao comparaveis, pois A esta

contido em B.

2) Os conjuntos C = {1, 2} e D = (2, 3, 4) nao sao comparaveis, pois

1 ∈ C e 1 /∈ D e 3 ∈ De 3 /∈ C .

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Subconjuntos

Definicao:Todo conjunto A que esta contido em um conjunto B (A ⊆ B) diz se

subconjunto ou parte de B.

Como B sempre esta contido em si mesmo (B ⊆ B), B e uma parte de B

que e chamada de parte cheia de B.

O conjunto vazio tambem esta em B (∅ ⊆ B), ou seja ∅ e parte de B que

e chamada de parte vazia de B.

Se A ⊆ B nao e nem vazio e nem e a parte cheia de B, dizemos que A e

um subconjunto proprio ou uma parte propria de B.

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Conjunto das Partes de um Conjunto

Definicao:Chama-se conjunto das partes de um conjunto E o conjunto cujos

elementos sao todas as partes de E, inclusive a parte cheia e a parte

vazia.

O Conjunto das partes de E e representado por P(E ) e seus elementos

sao os subconjuntos X tais que X ⊆ E . Simbolicamente:

P(E ) = {X |X ⊆ E}

Se E for um conjunto finito entao P(E ) tem 2n elementos.

Teorema:Quaisquer que seja os conjuntos E e F , tem-se:

E ⊆ F ⇐⇒ P(E ) ⊆ P(F )

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Complementar de um subconjunto

Seja A uma parte de um conjunto E (A ⊆ E ).

Definicao:Chama se complementar de A em relacao a E ou complemento de A em

relacao E , o conjunto de todos os elementos de E que nao pertencem a

A.

Notacao:E − A = {x |x ∈ E ∧ x /∈ A}. Se E e o conjunto universo U

denotaremo U − A por Ac ou A′.

��

��

E

E−A

A

O conjunto E em relacao ao qual se determina o complementar, chama se

conjunto de referencia ou referencial.

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Propriedades do Complementar

Sejam A e B partes de um conjunto E .

1) E − ∅ = E

2) E − E = ∅3) E − (E − A) = A

4) A ⊆ B =⇒ E − B ⊆ E − A

Observacao: Para conjuntos quaisquer A e B em um universo U tem-se:

∅C = U, Uc = ∅, (Ac)c = A,A ⊂ B ⇐⇒ Bc ⊆ Ac .

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Operacoes com conjunto

Definicao:Chama-se intersecao de dois conjuntos A e B ao conjunto de todos os

elementos que pertencem simultaneamente a A e a B.

Notacao: A ∩ B e se le A inter B.

Simbolicamente: A ∩ B = {x |x ∈ A ∧ x ∈ B}

Logo x ∈ A ∩ B ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B.

Exemplos

1) {1, 2, 3, 4} ∩ {3, 4, 5, 6} = {3, 4}2) N ∩ Z = N3) Q ∩ R = Q4) Sejam os conjuntos A = {x ∈ N|x e multiplo de 2} e B = {x ∈ N|x

e multiplo de 3} entao A ∩ B = {x ∈ N|x e multiplo de 6}.5) {x ∈ R|x > 2 ∩ {x ∈ R|x ≤ 5} = {x ∈ R|2 < x ≤ 5}

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Definicao:Dois conjuntos A e B dizem-se disjuntos se e somente se nao tem

elementos comuns.

Portanto A e B sao disjuntos se e somente se a intersecao de A e B e o

conjunto vazio: A ∩ B = ∅

Simbolicamente A e B sao disjuntos ⇐⇒ A ∩ B = ∅

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Propriedades da Inclusao e da Intersecao

1) A ∩ B ⊆ A e A ∩ B ⊆ B

2) A ⊆ B ⇐⇒ A ∩ B = A

3) C ⊆ A ∧ C ⊆ B ⇐⇒ C ⊆ A ∩ B

4) A ⊆ B =⇒ A ∩ C ⊆ B ⊂ C

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Propriedades da Intersecao

1) A ∩ ∅ = ∅2) A ∩ U = A

3) A ∩ AC = ∅4) A ∩ A = A

5) Comutativa: A ∩ B = B ∩ A

6) Associativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) Em vista da propriedade

associativa escrevemos simplesmente A ∩ B ∩ C sem utilizar os

parenteses.

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Definicao:Chama se intersecao do n conjuntos A1,A2,A3, . . . ,An ao conjunto dos

elementos que pertence simultaneamente a todos esses n conjuntos.

Notacao: A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ . . . ∩ An oun⋂

i=1

Ai

Simbolicamente:n⋂

i=1

Ai = {x |x ∈ A1 ∧ x ∈ A2 ∧ x ∈ A3 ∧ . . . ∧ x ∈ An}

ou aindan⋂

i=1

Ai = {x |∀(i = 1, 2, 3, . . . , n)(x ∈ Ai )}

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Consideremos um conjunto E e seja F uma colecao de partes de E .

Definicao:Chama-se intersecao da colecao F ou apenas intersecao de F ao

conjunto de todos os elementos x de E que pertence a todos os

subconjuntos X ∈ F .

Notacao:⋂X∈F

X ou⋂{X |X ∈ F}

Simbolicamente:⋂X∈F

{a ∈ E |(∀X )(X ∈ F) =⇒ a ∈ X}

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Seja E = {a, b, c, d , e} e F = {K , L,M}, onde K = {a, b, c, d}, L =

{a, c, d}, M = {d , e} Tem-se⋂X∈F

X = {d}

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Definicao:Chama-se uniao (ou reuniao) de dois conjuntos A e B ao conjunto de

todos os elementos que pertencem a A ou a B.

Notacao: A ∪ B e se le A uniao B.

Simbolicamente: A ∪ B = {x |x ∈ A ∨ x ∈ B}

Logo x ∈ A ∪ B ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B.

Exemplos

1) {1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2) N ∪ Z = Z

3) Q ∪ R = R

4) {x ∈ R|2 < x} ∪ {x ∈ R|x ≥ 5} = {x ∈ R|2 < x}

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Propriedades da Uniao

1) A ∪ ∅ = A

2) A ∪ U = U

3) A ∪ AC = U

4) A ∪ A = A

5) Comutativa: A ∪ B = B ∪ A

6) Associativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )

Em vista da propriedade associativa escrevemos simplesmente A ∪ B ∪ C

sem utilizar os parenteses.

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Propriedades da Uniao

1) A ∪ ∅ = A

2) A ∪ U = U

3) A ∪ AC = U

4) A ∪ A = A

5) Comutativa: A ∪ B = B ∪ A

6) Associativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )

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Propriedades da intersecao e da Uniao

Sejam A, B, e C conjuntos quaisquer em um universo U.

1) Lei de Absorcao: A ∩ (A ∪ B) = A e B ∪ (A ∩ B) = B;

2) Distributividade da intersecao em relacao a uniao:

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C );

3) Distributividade da uniao em relacao a intersecao:

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C );

4) Leis de De Morgam: (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc , (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc .

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As leis de De Morgam (1806-1871) ensina, que

i) O complementar de intersecao e igual a uniao dos complementares

de cada um dos conjuntos;

ii) O complementar da uniao e igual a intersecao dos complementares

de cada um dos conjuntos.

Em outras palavras a ”tomada”de complementar transforma

intersecao em uniao e vice versa.

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Definicao:Chama se uniao de n conjuntos A1,A2,A3, . . . ,An ao conjunto dos

elementos que pertence a pelo menos um desses n conjuntos.

Notacao: A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ . . . ∪ An oun⋂

i=1

Ai .

Simbolicamente:n⋃

i=1

Ai = {x |x ∈ A1 ∨ x ∈ A2 ∨ x ∈ A3 ∨ . . . ∨ x ∈ An}

ou aindan⋃

i=1

Ai = {x |∃i(i = 1, 2, 3, . . . , n)(x ∈ Ai )}

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Consideremos um conjunto E e seja F uma colecao de partes de E .

Definicao:Chama-se Uniao da colecao F ou apenas uniao de F ao conjunto de

todos os elementos x de E que pertence a, pelo menos, um dos

subconjuntos X ∈ F .

Notacao:⋃X∈F

X ou⋃{X |X ∈ F}

Simbolicamente:⋃X∈F

{a ∈ E |(∃X )(X ∈ F) =⇒ a ∈ X}

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Princıpio de Dualidade.

As propriedade de reuniao, intersecao e complementacao e suas consequen-

cias constituem a chamada Algebra de Conjuntos.

Toda propriedade relativa a subconjuntos de um mesmo conjunto universo

U em que intervenha, no todo ou em partes, as operacoes de uniao, in-

tersecao, complementacao e as relacoes =, ⊆ ou ⊇, resulta em outra

propriedade, conservando-se o sinal = e trocando entre si os sımbolos ∩ e

∪, ⊆ e ⊇, ∅ e U.

Duas propriedades que se podem obter uma da outra por este princıpio de

dualidade dizem duais.

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Simplificacao de Expressoes.

As propriedade das operacoes sobre conjunto permitem simplificar expres-

soes de conjuntos .

1) A ∩ B ∩ Ac = (A ∩ Ac) ∩ B = ∅ ∩ B = ∅2) A ∪ (Ac ∪ ∅) = A ∪ (Ac = U

3) (A ∪ B) ∩ Bc = (A ∩ Bc) ∪ (B ∩ Bc) = (A ∩ BC ) ∪ ∅ = A ∩ Bc

4) (A ∩ B) ∪ (Ac ∩ B) = (A ∪ Ac) ∩ B = U ∩ B = B

5) (A ∪ B)c ∪ (Ac ∩ B) = (Ac ∩ Bc) ∪ (Ac ∩ B) = Ac ∩ (Bc ∪ B) =

Ac ∪ U = Ac .

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Exemplo:

A segunda fase de um concurso publico foi constituıda de dois proble-

mas: 340 candidatos acertaram somente um problema. 300 acertaram

o segundo. 120 acertaram os dois problemas e 250 erraram o primeiro.

Quantos candidatos fizeram a prova? e quantos acertaram pelo menos um

dos problemas?

Solucao: Vamos fazer a distincao dos conjuntos

• A: conjunto dos candidatos que acertaram o primeiro problema;

• B: conjunto dos candidatos que acertaram o segundo problema;

• U: conjunto dos candidatos que fizeram a prova.

Analisando as informacoes dadas, temos que:

1◦) 120 acertaram os dois problemas n(A ∩ B) = 120;

2◦) 300 candidatos acertaram o segundo problema (Observe que nao foi

dito que acertaram somente o segundo problema).32


Para determinarmos quantos candidatos acertaram somente o segundo pro-

blema, faremos: 300− 120 = 180.

3◦) 340 candidatos acertaram somente um problema como 180 acertaram

somente o segundo problema, fazendo 340 − 180 = 160 e o numero de

candidatos que acertaram somente o primeiro problema.

4◦) n(S − A) = 250 candidatos erraram o primeiro problema nesse grupo

estao incluıdos os candidatos que acertaram somente o segundo problema

e os que erraram os dois problemas. Dessa forma, 250 − 180 = 70 e o

numero de candidatos que erraram os dois problemas.

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Agora podemos responder a pergunta do problema.

Total = numero de candidatos que acertaram somente o primeiro problema

+ numero de candidatos que acertaram somente o segundo problema +

numero de candidatos que acertaram os dois problemas + numero de can-

didatos que erraram os dois problemas.

Ou seja, Total = 160 + 180 + 120 + 70 = 530 Assim, concluımos que 530

candidatos fizeram a prova.

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