Universidade Federal de Ouro Preto

Departamento de Matematica

MTM259 - Elementos de Calculo

Professora: Monique Rafaella Anunciacao de Oliveira

Lista de Exercıcios 2

1. Resolva as inequacoes abaixo.

(a) |2x− 3| ≤ 1.

(b) |4− 3x| < 5.

(c) |4x+ 5| ≤ 0.

(d) |x− 3| < −4.

(e) |2x− 1| > 3.

(f) |2− 3x| ≥ 1.

(g) |2x+ 4| > 0.

(h) |3x+ 6| ≥ −2.

(i) 1 < |x− 1| ≤ 3.

(j) |x2 − 5x+ 5| < 1.

(k) |x2 − 5x| ≥ 6.

(l)

∣∣∣∣2x− 3

3x− 1

∣∣∣∣ > 2.

(m)

∣∣∣∣ x+ 1

2x− 1

∣∣∣∣ ≤ 2.

(n) ||x| − 2| > 1.

(o) ||2x− 1| − 4| ≤ 3.

Respostas: (a) S = [1, 2]; (b) S =]− 1/3, 3[; (c) S = {−5/4}; (d) S = ∅; (e) S =]−∞,−1[∪ ]2,+∞[;

(f) S =]−∞, 1/3] ∪ [1,+∞[; (g) S = R− {−2}; (h) S = R; (i) S = [−2, 0[∪ ]2, 4]; (j) S =]1, 2[∪ ]3, 4[;

(k) S =]−∞,−1] ∪ [2, 3] ∪ [6,+∞[; (l) S =]− 1/4, 1/3[∪ ]1/3, 5/8[; (m) S =]−∞, 1/5] ∪ [1,+∞[;

(n) S =]−∞,−3[∪ ]− 1, 1[∪ ]3,+∞[; (o) S = [−3, 0] ∪ [1, 4]

2. Seja a inequacao

∣∣∣∣2− 1

x

∣∣∣∣ ≤ 5. Quantas de suas solucoes sao numeros inteiros positivos e menores que 30?

Resposta: 29

3. Para que valores de x, reais, a funcao P (x) = |x2 + x− 1| e menor do que 1?

Resposta: S =]− 2,−1[∪ ]0, 1[

4. Quais os numeros inteiros que satisfazem a sentenca 3 ≤ |2x− 3| < 6?

Resposta: −1, 0, 3 e 4

5. Resolva as seguintes inequacoes:

(a) |2x+ 1|+ 4− 3x > 0.

(b) |3x− 2|+ 2x− 3 ≤ 0.

(c) |x2 − 4x| − 3x+ 6 ≤ 0.

(d) |x2 − 6x+ 5|+ 1 < x.

Respostas: (a) S =]−∞, 5[; (b) S = [−1, 1]; (c) S = [3, 6]; (d) S =]4, 6[

6. Classifique como verdadeiro ou falso:

(a) ∀x ∈ [−1, 0], |x| = x.

(b) O complementar do conjunto solucao da inequacao |x− 1| ≥ 2 e o intervalo ]− 1, 3[.

(c) A equacao |x− 1| = 2x tem duas solucoes.

Respostas: (a) F; (b) V; (c) F

7. Resolva a desigualdade |x− 2|+ |x− 4| ≥ 6.

Resposta: S =]−∞, 0] ∪ [6,+∞[

8. Sejam as funcoes reais f e g, definidas por f(x) = x2 − x− 2 e g(x) = 1− 2x.

(a) Obtenha as leis que definem f ◦ g e g ◦ f .

(b) Calcule (f ◦ g)(−2) e (g ◦ f)(−2).

(c) Determine os valores do domınio da funcao f ◦ g que produzem imagem 10.

Respostas: (a) (f ◦ g)(x) = 4x2 − 2x− 2 e (g ◦ f)(x) = −2x2 + 2x+ 5; (b) (f ◦ g)(−2) = 18 e (g ◦ f)(−2) = −7;

(c) x = 2 ou x = −3

2

9. Sejam as funcoes reais f e g, definidas por f(x) = 2 e g(x) = 3x− 1. Obtenha as leis que definem f ◦ g e g ◦ f .

Respostas: (f ◦ g)(x) = 2 e (g ◦ f)(x) = 5

10. Nas funcoes reais f e g, definidas por f(x) = x2 + 2 e g(x) = x− 3, obtenha as leis que definem:

(a) f ◦ g. (b) g ◦ f . (c) f ◦ f . (d) g ◦ g.

Respostas: (a) (f ◦g)(x) = x2−6x+11; (b) (g◦f)(x) = x2−1; (c) (f ◦f)(x) = x4+4x2+6; (d) (g◦g)(x) = x−6

11. Considere a funcao em R definida por f(x) = x3 − 3x2 + 2x − 1. Qual e a lei que define f(−x)? E f

(1

x

)? E

f(x− 1)?

Respostas: f(−x) = −x3 − 3x2 − 2x− 1; f

(1

x

)=

1

x3− 3

x2+

2

x− 1; f(x− 1) = x3 − 6x2 + 11x− 7

12. Dadas as funcoes reais definidas por f(x) = 3x+ 2 e g(x) = 2x+a, determine o valor de a de modo que se tenha

f ◦ g = g ◦ f .

Resposta: a = 1

13. Sejam f(x) =√x− 1 e g(x) = 2x2 − 5x+ 3. Determine os domınios das funcoes f ◦ g e g ◦ f .

Respostas: D(f ◦ g) =

{x ∈ R|x ≤ 1

2ou x ≥ 2

}e D(g ◦ f) = {x ∈ R|x ≥ 1}

14. Se f(x) =1

1− x, determine (f ◦ (f ◦ f))(x).

Resposta: (f ◦ (f ◦ f))(x) = x

15. Dadas as funcoes f, g e h, de R em R, definidas por f(x) = 3x, g(x) = x2 − 2x + 1 e h(x) = x + 2, obtenha

((h ◦ f) ◦ g)(2).

Resposta: ((h ◦ f) ◦ g)(2) = 5

16. Sejam as funcoes reais f(x) = 2x+ 7 e (f ◦ g)(x) = x2 − 2x+ 3. Determine a lei da funcao g.

Resposta: g(x) =x2 − 2x− 4

2

17. Sejam as funcoes reais g(x) = 2x+ 3 e (f ◦ g)(x) =2x+ 5

x+ 1definida para todo x ∈ R− {1}. Determine a lei da

funcao f .

Resposta: f(x) =2x+ 4

x− 1

18. Classifique a funcao como injetora, sobrejetora ou bijetora.

(a)

(b)

(c)

(d)

Respostas: (a) Injetora; (b) Sobrejetora; (c) Bijetora; (d) Nao e injetora nem sobrejetora

19. Para as funcoes em R abaixo representadas, classifique-as em injetora, sobrejetora ou bijetora.

2

(a)

(b)

(c)

(d)

Respostas: (a) Sobrejetora; (b) Nao e injetora nem sobrejetora; (c) Injetora; (d) Bijetora

20. Determine o valor de b em B = {y ∈ R|y ≥ b} de modo que a funcao f de R em B, definida por f(x) = x2−4x+6,

seja sobrejetora.

Resposta: b = 2

21. Determine o maior valor de a em A = {y ∈ R|y ≤ a} de modo que a funcao f de A em R, definida por

f(x) = 2x2 − 3x+ 4, seja injetora.

Resposta: a =3

4

22. Nas funcoes seguintes, classifique em:

I) injetora II) sobrejetora III) bijetora

(a) f : R→ R

f(x) =

{x2 se x ≥ 0

x se x < 0

(b) g : R→ R

g(x) =

x− 1 se x ≥ 1

0 se −1 < x < 1

x+ 1 se x ≤ −1

(c) h : R→ R

h(x) =

{3x− 2 se x ≥ 2

x− 2 se x < 2

(d) m : R→ R

m(x) =

{4− x2 se x ≤ 1

x2 − 6x+ 8 se x > 1

(e) n : N→ N

f(x) =

x se x e parx+ 1

2se x e ımpar

(f) p : N→ N

p(x) =

x

2se x e par

x+ 1

2se x e ımpar

Respostas: (a) III; (b) II; (c) I; (d) II; (e) II; (f) II

23. A funcao f : A→ B e dada por f(x) =√

1− x2.

(a) Determine o domınio de f . (b) Determine a imagem de f . (c) A funcao f e injetora? Por que?

Respostas: (a) D(f) = {x ∈ R| − 1 ≤ x ≤ 1}; (b) Im(f) = {y ∈ R|0 ≤ y ≤ 1}; (c) Nao

24. Nas funcoes bijetoras abaixo, de R em R, obtenha a lei de correspondencia que define a funcao inversa.

(a) f(x) =4x− 1

3. (b) g(x) = x3 + 2. (c) h(x) =

3√

1− x3.

Respostas: (a) f−1(x) =3x+ 1

4; (b) g−1(x) = 3

√x− 2; (c) h−1(x) =

3√

1− x3

25. A funcao f em R, definida por f(x) = x2, admite funcao inversa? Justifique.

Resposta: Nao

26. Obtenha a funcao inversa nas seguintes funcoes:

3

(a) f : A→ R−, em que A = {x ∈ R|x ≤ −1}f(x) = −(x+ 1)2

(b) f : R+ → B, em que B = {y ∈ R|x ≤ 4}f(x) = 4− x2

(c) f : R− {3} → R− {−1}f(x) =

4− xx− 3

(d) f : R∗ → R− {4}f(x) =

4x+ 2

x

Respostas: (a) f−1 : R− → A, f−1(x) = −√−x− 1; (b) f−1 : B → R+, f−1(x) =

√4− x;

(c) f−1 : R− {−1} → R− {3}, f−1(x) =3x+ 4

x+ 1; (d) f−1(x) : R− {4} → R∗, f−1(x) =

2

x− 4

27. Seja a funcao f de A = {x ∈ R|x ≤ −1} em B = {y ∈ R|y ≥ 1} definida por f(x) =√x2 + 2x+ 2. Qual e o

valor do domınio de f−1 com imagem 3?

Resposta:√

17

28. Obtenha a funcao inversa das seguintes funcoes:

(a) f : A→ B, em que A = {x ∈ R|x ≤ 2} e B = {y ∈ R|y ≥ −1}f(x) = x2 − 4x+ 3

(b) f(x) =

{x3 − 2 se x < −1

4x+ 1 se x ≥ −1

Respostas: (a) f−1 : B → A, f−1(x) = 2−√x+ 1; (b) f−1(x) =

3√x+ 2 se x < −3x− 1

4se x ≥ −3

29. A funcao f em R, definida por f(x) = |x+ 2|+ |x− 1|, admite funcao inversa? Justifique sua resposta.

Resposta: Nao

30. Sejam A = {x ∈ R|x ≥ 1} e C = {x ∈ R|x ≥ 2}. Determine a funcao inversa de g ◦ f , onde:

f : A→ R+ e g : R+ → C

f(x) = x2 − 1 g(x) =√x+ 4

Resposta: (g ◦ f)−1 : C → A, (g ◦ f)−1(x) =√x2 − 3

31. Se n ∈ N, calcule o valor de A = (−1)2n − (−1)2n+3 + (−1)3n − (−1)n.

Resposta: A = 2

32. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentencas abaixo:

(a) 53 · 52 = 56.

(b) 36 ÷ 32 = 33.

(c) 23 · 3 = 63.

(d) (2 + 3)4 = 24 + 34.

(e) (53)2 = 56.

(f) (−2)6 = 26.

(g)27

25= (−2)2.

(h) 52 − 42 = 32.

Respostas: (a) F; (b) F; (c) F; (d) F; (e) V; (f) V; (g) V; (h) V

33. Supondo a · b 6= 0, simplifique a expressao(a2 · b3)4 · (a3 · b4)2

(a3 · b2)3.

Resposta: a5 · b14

34. Se a e b sao numeros reais, entao em que condicoes (a+ b)2 = a2 + b2?

Resposta: a = 0 ou b = 0

35. Calcule o valor das expressoes:

(a)2−1 − (−2)2 + (−2)−1

22 + 2−2. (b)

32 − 3−2

32 + 3−2. (c)

(− 1

2

)2 · ( 12)3[(− 1

2

)2]3 .

Respostas: (a) −16

17; (b)

40

41; (c) 2

36. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentencas abaixo:

4

(a) (53)−2 = 5−6.

(b) 2−4 = −16.

(c) (π + 2)−2 = π−2 + 2−2.

(d) 3−4 · 35 =1

3.

(e)7−2

7−5= 7−3.

(f)52

5−6= 58.

(g) 2−1 − 3−1 = 6−1.

(h) π1 + π−1 = 1.

(i) (2−3)−2 = 26.

(j) 32 · 3−2 = 1.

Respostas: (a) V; (b) F; (c) F; (d) F; (e) F; (f) V; (g) V; (h) F; (i) V; (j) V

37. Se a · b 6= 0, simplifique as expressoes:

(a)(a3 · b−2)−2 · (a · b−2)3

(a−1 · b2)−3. (b) (a−1 + b−1) · (a+ b)−1.

Resposta: (a) a−6 · b4; (b) a−1 · b−1

38. Se n ∈ Z e a ∈ R∗, simplifique as expressoes:

(a)a2n+3 · an−1

a2(n−1). (b)

an+4 − a3 · an

a4 · an.

Respostas: (a) an+4; (b)a− 1

a

39. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentencas abaixo:

(a)3√

27 = 3.

(b)√

4 = ±2.

(c)4√

1 = 1.

(d) −√

9 = −3.

(e)3

√1

8=

1

2.

(f)3√

0 = 0.

(g)√x4 = x2,∀x ∈ R.

(h)√x10 = x5,∀x ∈ R.

(i)√x6 = x3,∀x ∈ R+.

(j)√

(x− 1)2 = x− 1,∀x ∈ R e x ≥ 1.

(k)√

(x− 3)2 = 3− x, ∀x ∈ R e x ≤ 3.

Respostas: (a) V; (b) F; (c) V; (d) V; (e) V; (f) V; (g) V; (h) F; (i) V; (j) V; (k) V

40. Efetue as operacoes:

(a)4√

5 · 3√

6√15

.(b) (4

√8− 2

√18)÷ 3

√2. (c)

√5 + 2

√6 ·√

5− 2√

6.

Respostas: (a)12

√24

32 · 53; (b) 2

6√

2; (c) 1

41. Racionalize o denominador de cada fracao:

(a)3√6

.

(b)10

3√

5.

(c)34√

2.

(d)6

5− 3√

2.

(e)4

2√

5− 3√

2.

(f)3√

3−√

2 + 1.

Respostas: (a)

√6

2; (b)

2√

5

3; (c)

3 4√

8

2; (d)

6(5 + 3√

2)

7; (e) 2(2

√5 + 3

√2); (f)

3(√

6−√

2 + 2)

4

42. Simplifique:

(a)31/2 · 3−2/3

31/5 · 31/8 · 31/60.

(b)31/2 + 3−2/3

31/2 · 3−2/3.

(c) (272/3 − 27−2/3) · (163/4 − 16−3/4).

(d) (1252/3 + 161/2 + 3431/3)1/2.

(e)

(2√27 · 8

√75

4√48

)√3/2

.

5

Respostas: (a) 3−61/120; (b) 32/3 + 3−1/2; (c) 70; (d) 6; (e) 215

43. Construa os graficos cartesianos das seguintes funcoes exponenciais:

(a) y = 3x. (b) y = 10−x.(c) y =

(1

e

)x

.

Respostas: (a) ; (b) ; (c)

44. Resolva as seguintes equacoes exponenciais:

(a) 2x = 128.

(b)

(1

5

)x

= 125.

(c)(

3√

2)x

= 8.

(d) 100x = 0, 001.

(e) 74x+3 = 49.

(f) 112x+5 = 1.

(g) 2x2−x−16 = 16.

(h) 53x−1 =

(1

25

)2x+3

.

(i) (2x)x+4 = 32.

(j) (32x−7)3 ÷ 9x+1 = (33x−1)4.

(k) 83x =3√

32x ÷ 4x−1.

Respostas: (a) S = {7}; (b) S = {−3}; (c) S = {9}; (d) S =

{−3

2

}; (e) S =

{−1

4

}; (f) S =

{−5

2

};

(g) S = {−4, 5}; (h) S =

{−5

7

}; (i) S = {−5, 1}; (j) S =

{−19

8

}; (k) S =

{3

14

}45. Resolva as equacoes exponenciais abaixo:

(a) 3x−1 − 3x + 3x+1 + 3x+2 = 306.

(b) 2 · 4x+2 − 5 · 4x+1 − 3 · 22x+1 − 4x = 20.

(c) 9x + 3x = 90.

(d) 4x − 20 · 2x + 64 = 0.

(e) 2x+1 + 2x−2 − 3

2x−1=

30

2x.

(f) x2−3x = 1.

(g) x2x2−5x+3 = x.

(h) 4x + 2 · 14x = 3 · 49x.

Respostas: (a) S = {3}; (b) S = {1}; (c) S = {2}; (d) S = {2, 4}; (e) S = {2}; (f) S =

{2

3, 1

};

(g) S =

{0,

1

2, 1, 2

}; (h) S = {0}

46. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) as seguintes sentencas:

(a) 21,3 > 21,2.

(b) (0, 5)1,4 > (0, 5)1,3.

(c)

(5

4

)3,1

<

(5

4

)2,5

.

(d) (√

2)√3 < (

√2)√2.

(e)

(1

π

)4,3

<

(1

π

)−1,5.

(f) 32,7 > 1.

(g) (

(4

5

)−1,5> 1.

(h) e−√3 > 1.

(i) 20,4 > 40,3.

6

(j) (3√

3)−0,5 < 27−0,1. (k) 8−1,2 > 0, 252,2.(l)

(2

3

)2,5

< (2, 25)−1,2.

Respostas: (a) V; (b) F; (c) F; (d) F; (e) V; (f) V; (g) V; (h) F; (i) F; (j) F; (k) V; (l) V

47. Resolva as seguintes inequacoes exponenciais:

(a) 2x < 32.

(b)

(1

3

)x

>1

81.

(c) (0, 1)3−4x < 0, 0001.

(d) (√

0, 7)x2+1 ≥ ( 3

√0, 7)2x+1.

(e)8

27<

(4

9

)x

<3

2.

(f) 4 < 8|x| < 32.

(g) (0, 3)x−5 ≤ (0, 09)2x+3 ≤ (0, 3)x+6.

(h) (2x+1)2x−3 < 128.

(i)x−1√

22x−3 ÷ x+1√

32 > 4.

(j) 3x+5 − 3x+4 + 3x+3 − 3x+2 < 540.

(k) e2x − ex+1 − ex + e < 0.

(l) x4x−3 < 1.

Respostas: (a) S = {x ∈ R|x < 5}; (b) S = {x ∈ R|x < 4}; (c) S =

{x ∈ R|x < −1

4

};

(d) S =

{x ∈ R|x ≤ 1

3ou x ≥ 1

}; (e) S =

{x ∈ R| − 1

2< x < 1

}; (f) S =

{x ∈ R| − 5

3< x < −2

3ou

2

3< x <

5

3

};

(g) S = ∅; (h) S =

{x ∈ R| − 2 < x <

5

2

}; (i) S = ∅; (j) S = {x ∈ R|x < 1}; (k) S = {x ∈ R|0 < x < 1};

(l) S =

{x ∈ R|3

4< x < 1

}48. Calcule pela definicao os seguintes logaritmos:

(a) log4 16.

(b) log3

1

9.

(c) log81 3.

(d) log 12

8.

(e) log0,25 8.

(f) log2

√2.

(g) log 3√7 49.

(h) log 4√3

33√

3.

Respostas: (a) 2; (b) −2; (c)1

4; (d) −3; (e) −3

2; (f)

1

2; (g) 6; (h)

8

3

49. Calcule o valor de S, onde S = log4 (log3 9) + log2 (log81 3) + log0,8 (log16 32).

Resposta: S = −5

2

50. Calcule:

(a) antilog3 4. (b) antilog16

1

2. (c) antilog3−2. (d) antilog 1

2−4.

Respostas: (a) 81; (b) 4; (c)1

9; (d) 16

51. Calcule o valor de:

(a) 3log3 2. (b) 4log2 3. (c) 5log25 2. (d) 32−log3 6. (e) 81+log2 3.

Respostas: (a) 2; (b) 9; (c)√

2; (d)3

2; (e) 216

52. Desenvolva aplicando as propriedades dos logaritmos (a, b e c sao reais positivos):

(a) log5

(ab2

c

). (b) log3

(a · b3

c · 3√a2

). (c) log

√ab3

c2. (d) log2

2a

a2 − b2.

Respostas: (a) log5 a+ 2 log5 b− log5 c; (b)1

3log3 a+ 3 · log3 b− log3 c; (c)

1

2log a+

3

2log b− log c;

(d) 1 + log2 a− log2 (a+ b)− log2 (a− b)

53. Se log 2 = a e log 3 = b, coloque em funcao de a e b os seguintes logaritmos decimais:

7

(a) log 6. (b) log 4. (c) log 12. (d) log√

3. (e) log 0, 5.

Respostas: (a) a+ b; (b) 2a; (c) 2a+ b; (d)b

2; (e) −a

54. Simplifique aloga b·logb c·logc d.

Resposta: d

55. Se a, b e c sao reais positivos, diferentes de um e a = b · c, prove que:1

loga c= 1 +

1

logb c.

56. Se x = 101

1−log z e y = 101

1−log x , prove que: z = 101

1−log y .

57. Determine o domınio das funcoes:

(a) f(x) = log3 (4x− 3)2.

(b) f(x) = lnx+ 1

1− x.

(c) f(x) = log3−x (x+ 2).

(d) f(x) = logx (x2 + x− 2).

Respostas: (a) D(f) = R−{

3

4

}; (b) D(f) = {x ∈ R| − 1 < x < 1}; (c) D(f) = {x ∈ R| − 2 < x < 3 e x 6= 2};

(d) D(f) = {x ∈ R|x > 1}

58. Resolva as equacoes:

(a) 5x = 4.

(b) 3(x2) = 5.

(c) 54x−3 = 0, 5.

(d) 3x = 2x + 2x+1.

(e) log4 (3x+ 2) = log4 (2x+ 5).

(f) log 12

(5x2 − 3x− 11) = log 12

(3x2 − 2x− 8).

(g) log3 (x− 1)2 = 2.

(h) log2 [1 + log3 (1 + lnx)] = 0.

(i) log3 [log2 (3x2 − 5x+ 2)] = log3 2.

(j) xlogx (x+3) = 7.

(k)1

5− log x+

2

1 + log x= 1.

(l) log(x−2) (2x2 − 11x+ 16) = 2.

(m) logx (5x+ 2) = logx (3x+ 4).

(n) log3 (5x+ 4)− log3 x− log3 (x− 2) = 1.

(o) 9 · xlog3 x = x3.

(p) log3 (x+ 2)− log 13

(x− 6) = log3 (2x− 5).

Respostas: (a) S = {log5 4}; (b) S = {√

log3 5}; (c) S = {log625 62, 5}; (d) S = {log 32

3}; (e) S = {3};

(f) S = ∅; (g) S = {−2, 4}; (h) S = {1}; (i) S =

{−1

3, 2

}; (j) S = {4}; (k) S = {100, 1000}; (l) S = {4}; (m)

S = ∅; (n) S = {4}; (o) S = {3, 9}; (p) S = {7}

59. Resolva as inequacoes:

(a) 4x > 7.

(b)

(1

3

)x

≤ 5.

(c) 3√x > 4.

(d) 23x−1 ≤(

1

3

)2x−3

.

(e) 32x−1 · 25−4x > 5.

(f) log0,3 (4x− 3) < log0,3 5.

(g) log (x2 − x− 2) < log (x− 4).

(h) log 13

(4x− 3) ≥ 2.

(i) ln (x2 + 3x+ 3) > 0.

(j) 2 < log2 (3− 2x) ≤ 3.

(k) | log3 (x− 3)| ≥ 2.

(l) (log 12x)2 − 3 · log 1

2x− 4 > 0.

(m) log2 x− 6 · 1

logx 2+ 1 > 0.

(n) log2 x+ log2 (x+ 1) < log2 (2x+ 6).

(o) log 13

(log2 x) < 0.

Respostas: (a) S = {x ∈ R|x > log4 7}; (b) S = {x ∈ R|x ≥ log 13

5}; (c) S = {x ∈ R|x > (log3 4)2};

(d) S = {x ∈ R|x ≤ log72 54}; (e) S =

{x ∈ R|x < log 9

16

15

32

}; (f) S = {x ∈ R|x > 2}; (g) S = ∅;

8

(h) S =

{x ∈ R|3

4< x ≤ 7

9

}; (i) S = {x ∈ R|x < −2 ou x > −1}; (j) S =

{x ∈ R| − 5

2≤ x < −1

2

};

(k) S =

{x ∈ R|3 < x ≤ 28

9ou x ≥ 12

}; (l) S =

{x ∈ R|0 < x <

1

16ou x > 2

};

(m) S =

{x ∈ R|1

8< x < 1 ou x > 4

}; (n) S = {x ∈ R|0 < x < 3}; (o) S = {x ∈ R|x > 2}

60. Determine o domınio das funcoes:

(a) f(x) =√

log2 x.

(b) f(x) =√

log 12x.

(c) f(x) = 3

√log 1

2(log2 x).

(d) f(x) =

√log 1

2

x

x2 − 1.

Respostas: (a) D(f) = {x ∈ R|x ≥ 1}; (b) D(f) = {x ∈ R|0 < x ≤ 1}; (c) D(f) = {x ∈ R|x > 1};

(d) D(f) =

{x ∈ R|1−

√5

2≤ x < 0 ou x ≥ 1 +

√5

2

}61. Resolva as inequacoes:

(a) 3log 1

2(x2+6x) ≤ 1

81.

(b) (4− x2) · log2 (1− x) ≤ 0.

(c) log2x+3 x2 < 1.

(d) logx2 (x2 − 5x+ 4) < 1.

Respostas: (a) S = {x ∈ R|x ≤ −8 ou x ≥ 2}; (b) S = {x ∈ R|x ≤ −2 ou 0 ≤ x < 1};

(c) S =

{x ∈ R| − 3

2< x < −1 ou − 1 < x < 3 e x 6= 0

}; (d) S =

{x ∈ R| − 1 < x <

4

5ou x > 4 e x 6= 0

}

9