análise numérica - resolução de sistemas - métodos iterativos 1 métodos iterativos a = m – n...

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

1

Métodos Iterativos

bAx dCxx

dCxx

xnn )()1(

)0(

xx n ?

A = M – N e M facilmente invertível

A x = b (M – N) x = b x=M –1 (N x + b) M x= N x + b

d=M –1 bC=M –1 N


2

Teorema do ponto fixo

Para sistemas (x) = M –1 (N x + b)

Cálculo do erro

)()()()()(

)()(

011

1

11xxxxxx

xxxx

kkkk

kk

= ║M-1N║

e 0 < < 1 ( - constante de Lipschitz)


3

Método de Jacobi

M=D N=-(L+U) Condição suficiente de convergência

|| M-1N || = || D-1(L+U) || < 1 Fórmula de recorrência

dxCx kk )1()(

C=-D-1(L+U)d=D-1b

Resolver cada equação i em ordem a xi

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos

4

k0 0.000000000000 0.000000000000 0.0000000000001 2.000000000000 -1.55555555556 4.71428571429 4.82 0.425396825397 -2.98412698413 4.55555555556 1.6 0 c.d.3 0.774603174603 -3.43844797178 3.92244897959 0.64 0 c.d.4 1.11871000252 -3.04066515495 3.84252960443 0.40 0 c.d.5 1.07112118922 -2.89044315669 4.00533995609 0.17 0 c.d6 0.975952648902 -2.97866625074 4.04146212512 0.096 1 c.d.7 0.979148400101 -3.02644339486 4.00266002106 0.048 1 c.d.8 1.00422467055 -3.00813276488 3.98946594434 0.026 1 c.d9 1.00584017524 -2.99827987726 3.99827987726 .0095 1 c.d

10 0.999470043892

-2.99728877592 4.00257431819 0.0064 2 c.d.

11 0.998428027910

-3.00132079345 4.00069892744 0.0041 2 c.d.

12 0.99998458771 -3.00083462511 3.99939806300 0.0016 2 c.d.13 1.00040769982 -2.99973760987 3.99975933393 0.0011 3 c.d.14 1.00004378840 -2.99975713736 4.00013321144 0.00038 .

)(kx

)1()( kk xx

Método de Jacobi TP7

Estimativa do erroMétodo de 1ª ordem

Método de 1º ordem

(nas proximidades da raiz)

Como

então

e


5

1 kkk xxKxxconstante com K

iteração última NkNk xxxxx

1

ii

iN

xx

xxK

1 NNN xxKxx


6

Exercício TP7

Método de Jacobi)(

3

2

1

)1(

3

2

1

072

71

9409

35

25

10

733

914

510 kk

x

x

x

x

x

x

Critério de paragem 3)(1()()1( 105.0max

k

i

k

ii

kk xxxx

x(1) x(2) … x(4) … x(7) … x(11) … x(14)

2 0.42539… 1.11871 0.979148 0.99842… 1.0000437

-1.5555… -2.9841… -3.0406 -3.02644 -3.0013… -2.999757

4.71428… 4.55555… 3.8425 4.00266 4.00069… 4.000133

4.8 1.6 0.40 0.048 0.4110-2 0.3810-3

(solução exacta xT=(1,-3,4))

33

14

10

721

493

215

3

2

1

x

x

x

)()1( kk xx


7

Método de Gauss-Seidel

M = L+D N = - U Condição suficiente de convergência

|| M-1N || = || (L+D)-1U || < 1 Fórmula de recorrência

bxUxLxD kkk )1()()(

bxUDLx kk )1(1)(

bxUxDL kk )1()(Só inverte D. Em vez de inverter L, resolve o sistema por substituição.

Usa a matriz de Jacobi bxUxLDx kkk )1()(1)(

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos

8

Método de Gauss-Seidel TP7k

0 0.000000000000 0.000000000000 0.000000000000

1 2.000000000000 -0.88888888889 4.74603174603 4.8

2 0.279365079365 -3.57178130511 3.73368606702 2.7

3 1.22088183422 -2.80801097394 4.08640855519 0.95 0 c.d.c.

4 0.927038772711 -3.0627242114 3.97165576427 0.30 0 quase 1 c.d.c

5 1.02388253657 -2.97944171637 4.00928558626 0.097 1 c.d.c.

6 0.992174108771 -3.00673555764 3.9969575705 0.032 1 quase 2 c.d.c

7 1.00256408333 -2.99779311467 4.00099683628 0.011 2 c.d.c

8 0.99915988842 -3.00072307554 3.99967339105 0.0035 2 quase 3 c.d.c

9 1.00027525869 -2.99976308757 4.00010701194 0.0012 3 c.d.c

10 0.999909812740 -3.00007762328 3.99996493803 0.00037

)(kx

)1()( kk xx Nk xx


9

Exercício TP7

Método de Gauss-Seidel

Critério de paragem 3)(1()()1( 105.0max

k

i

k

ii

kk xxxx

x(1) x(2) … x(4) … x(6) … x(8) … x(10)

2 0.27936… 0.92703 0.992174 0.9995… 0.99990981

-0.8888… -3.5717… -3.0627 -3.00673 -3.0007… -3.0000776

4.74603… 3.73368… 3.97165 3.996957 3.99967… 3.99996493

4.8 2.7 0.30 0.032 0.3510-2 0.3710-3

(solução exacta xT=(1,-3,4))

33

14

10

721

493

215

3

2

1

x

x

x

)()1( kk xx

)(

3

2

1

)1(

3

2

1

)1(

3

2

1

0009

4005

25

10

072

71

0093

000

733

914

510 kkk

x

x

x

x

x

x

x

x

x


10

Condições suficientes de convergência

Definições Uma matriz é estritamente diagonal dominante

por linhas (colunas) se

Uma matriz A é Positiva Definida (PD) se xTAx >0 x 0.

jiijjj

ijijii aaaa

Matriz estritamente dominante

Matriz PD

Jacobi convergente

Gauss-Seidel convergente


11

Transformar o sistema Ax=b(A não singular) Determinar um sistema equivalente cuja

matriz tenha diagonal estritamente dominante.

Multiplicar o sistema por AT

A*=ATA é uma matriz PD

Demonstração:xTA*x = xTATAx

A não singular

ATAx=ATb

=(Ax)T(Ax) =||Ax||2 00

Ax

Ax=0 sse x=0


12

Eficiência dos métodos directos versus iterativos

Métodos iterativos: Por iteração

Em k iterações Métodos directos

3

nk

n2-n produtos

k(n2-n) ≲ k n2

333

32

3 nnn

n

Os métodos iterativos são mais eficientes

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