1. definição a b x ba x · pdf file1. definição para os reais...
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1. DEFINIÇÃO
Para os reais positivos a e b com 1a tais que xb a , diz-se que x é o logaritmo de b na base a, com x , ou seja:
Universalmente usa-se a notação dada a seguir:
Salientando que logaritmo nada mais é que um expoente que aos ser elevado a base resulta no logaritmando. Dessa forma,
ao substituir ax log b em xa b ,
obtém-se:
.
Exemplos:
a) 2log 8 3 , pois 32 8 ou 2log 82 8
b) 3log 1/ 3 1 , pois 1 13
3
ou 3
1log
3 13
3
c) 5log 5 1 , pois 15 5 ou 5log 5
5 5
d) 7
1log 7
2 , pois
1
27 7 ou 7log 77 7
e) 3log 81 4 , pois 43 81 ou 3log 81
3 81
f) 4
3log 8
2 , pois
332 224 2 8 ou 4log 84 8
OBSERVAÇÃO
É conveniente destacar que alog b só existe caso
*a,b
e a 1 .
Propriedades
Para os reais positivos a, b e c prova-se as propriedades operatórias dos logaritmos a seguir.
P1: Logaritmo do Produto
Para a 1 , tem-se:
a a alog bc log b log c
P2: Para o real m e a 1 tem-se, de forma imediata da definição de logaritmo, que:
m
alog a m
Conseqüência da 2ª Propriedade:
alog 1 0 , pois 0
a alog 1 log a 0
P3: Para a 1 , tem-se:
1
a a a
1log log b log b
b
P4: Logaritmo do Quociente
Para a 1 , tem-se:
a a a
blog log b log c
c
P5: Logaritmo da Potência
Para o real m e a 1 , tem-se: m
a alog b m.log b
P6: Potência na Base
Para o real não nulo n e a 1 , tem-se:
n aa
1log b log b
n
P7: Mudança de Base
Para a 1 e c 1 , tem-se:
ca
c
log blog b
log a ou
c a clog a.log b log b
OBSERVAÇÃO
No desenvolver da teoria dos logaritmos, duas bases foram notadamente utilizadas e em virtude disso apresentam notações
próprias. É ocaso do logaritmo decimal, ou de base 10, também conhecido por logaritmo briggsiano, em homenagem a Henry
Briggs (1561-1631), que em geral não se destaca a base, ou seja, 10log x logx . O outro caso é o logaritmo natural ou
Neperiano, em homenagem John Napier (1550-1617), cuja base é o número de Euler, 2,718...e , que é notado por
lnelog x x .
2. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Definimos função logarítmica toda função *f : dada por
af(x) log x com *a
e 1a .
Exemplo:
Para as funções logarítmicas 2f(x) log x e 1
3
g(x) log x , note que:
a) 2f(4) log 4 2
b) 2
1 1f log 3
8 8
c) 1
3
g(3) log 3 1
d) 1
3
g(1) log 1 0
A função logarítmica com base a é a inversa da função exponencial com base a, ou seja, para a exponencial *f : tal
que xf(x) a , com *a
e a 1 , tem-se 1 *f :
dada por 1
af (x) log x .
Exemplo:
2) A energia E(x) de um elétron ao atravessar um anteparo, composto de um determinado material, cuja espessura x é dada
por kx
0E x E e , em que 0E é sua energia inicial, k é uma constante positiva que depende da composição do anteparo e e é
a base do logaritmo natural. Com isso:
a) expresse, em função de E(x) , a espessura x do anteparo.
b) indique, em termos de k, a espessura do material para a qual o elétron perca 99% de sua energia inicial.
RESOLUÇÕES
a) Aplicando logaritmo natural aos dois lados da igualdade kx
0E x E e , obtém-se:
kx
0
kx
0
0
0
0
lnE(x) ln E
lnE(x) lnE ln
lnE(x) lnE kx
kx lnE lnE(x)
E1x ln
k E(x)
e
e
b) Para que o elétron perca 99% de sua energia inicial, sua energia ao atravessar o anteparo deverá ser de 1% de
sua energia inicial, ou seja, 200
E1E(x) E 10
100 E(x) . Aplicando esse resultado na expressão obtida no item a,
tem-se:
21x ln(10 )
k
2x ln(10)
k
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Após acionar um flash de uma câmera, a bateria imediatamente começa a recarregar o capacitor do flash, o qual
armazena uma carga elétrica dada por t2
0Q(t) Q 1 e ,
onde 0Q é a capacidade máxima da carga e t é
medido em segundos. O tempo que levará para o capacitor recarregar 90% da capacidade é de aproximadamente:
(considere ln2 = 0,6 e ln5=1,6)
a) 2 segundos.
b) 3 segundos.
c) 4 segundos.
d) 5 segundos.
e) 6 segundos.
2. Biólogos estimam que a população P de certa espécie de aves é dada em função do tempo t, em anos, de acordo
com a relação
t
5P 250 (1,2) , sendo t 0 o momento em que o estudo foi iniciado.
Em quantos anos a população dessa espécie de aves irá triplicar? (dados:
log 2 0,3 e log 3 0,48.)
a) 45
b) 25
c) 12
d) 18
e) 30
3. Se n 1 n 124 3 16, então 3log n é igual a:
a) 2
b) 1
c) 1
2
d) 1
e) 2
4. Se x y10 20 , atribuindo 0,3 para log2, então o valor de x
y é
a) 0,3.
b) 0,5.
c) 0,7.
d) 1.
e) 1,3.
5. A solução da equação na variável real x, xlog (x 6) 2, é um número
a) primo.
b) par.
c) negativo.
d) irracional.
6. A lei de Benford, também chamada de “lei do primeiro dígito”, sugere que, em vários conjuntos de dados
numéricos, a ocorrência dos algarismos de 1 a 9 no início dos números (da esquerda para a direita em cada
número) do conjunto de dados não é igualmente provável. A lei se verifica em diversos conjuntos de dados reais
como, por exemplo, o conjunto das populações dos diversos municípios de um país, o conjunto dos dados
numéricos contidos nas contas de energia elétrica da população de um município, o conjunto dos comprimentos dos
rios de um país etc.
Quando a lei de Benford se aplica aos dados analisados, a probabilidade P(n) de que o algarismo n seja o primeiro
algarismo em um dado numérico qualquer do conjunto de dados será n 1
P(n) log .n
Por exemplo, se a lei se aplica, a probabilidade de que o algarismo 1(n 1) seja o primeiro (da esquerda para a
direita) em um número sorteado ao acaso do conjunto de dados é igual a log2, ou seja, aproximadamente 30%, já
que log2 0,30.
Admita que os dados numéricos indicados na tabela 1 tenham sido retirados da declaração de imposto de renda de
um contribuinte. Também admita que a Receita Federal tenha a expectativa de que tais dados obedeçam, ainda que
aproximadamente, à lei de Benford.
Tabela 1
1.526 2.341 5.122 242 1.444 788 4.029 333 426 1.981
2.589 503 1.276 5.477 229 579 1.987 719 1.236 2.817
456 886 1.424 470 113 342 345 433 192 343
A tabela 2 registratra a frequência do primeiro dígito (da esquerda para a direita) dos dados da tabela 1 para os
casos em que n 2, n 3 e n 4.
Tabela 2
n 1 2 3 4
Frequência de n 9 5 4 5
Frequência
relativa de n
9 3
30 10
516,67%
30
413,33%
30
516,67%
30
Admita que uma declaração de imposto de renda vai para a “malha fina” (análise mais detalhada da Receita
Federal) se a diferença, em módulo, entre a frequência relativa do primeiro dígito, em porcentagem, e a
probabilidade dada pelo modelo da lei de Benford, também em porcentagem, seja maior do que quatro pontos
percentuais para algum n. Argumente, com dados numéricos, se a declaração analisada na tabela 1 deverá ou
não ir para a “malha fina”.
Adote nos cálculos log 2 0,30 e log 3 0,48.
7. O cálculo aproximado da área da superfície externa de uma pessoa pode ser necessário para a determinação da
dosagem de algumas medicações. A área A (em 2cm ) da superfície externa de uma criança pode ser estimada por
meio do seu “peso” P (em kg) e da sua altura H (em cm) com a seguinte fórmula, que envolve logaritmos na base
10 :
logA 0,425logP 0,725logH 1,84
(Delafield Du Bois e Eugene Du Bois.
A formula to estimate the approximate surface
area if height and weight be known, 1916. Adaptado.)
Rafael, uma criança com 1m de altura e 16 kg de “peso”, precisa tomar uma medicação cuja dose adequada é de
1mg para cada 2100 cm de área externa corporal. Determine a dose adequada dessa medicação para Rafael.
Adote nos seus cálculos log2 0,30 e a tabela a seguir.
x x10
3,3 1995
3,4 2512
3,5 3162
3,6 3981
3,7 5012
3,8 6310
3,9 7943
8. Quando um elemento radioativo, como o Césio 137, entra em contato com o meio ambiente, pode afetar o solo,
os rios, as plantas e as pessoas. A radiação não torna o solo infértil, porém tudo que nele crescer estará
contaminado.
A expressão
0,023t
0Q(t) Q e
representa a quantidade, em gramas, de átomos radioativos de Césio 137 presentes no instante t, em dias, onde
0Q é a quantidade inicial.
O tempo, em dias, para que a quantidade de Césio 137 seja a metade da quantidade inicial é igual a
Use In 2 0,69
a) 60.
b) 30.
c) 15.
d) 5.
e) 3.
9. Suponha que a vazão de água de um caminhão de bombeiros se dá pela expressão t0V(t) V 2 , em que 0V é o
volume inicial de água contido no caminhão e t é o tempo de escoamento em horas. Qual é, aproximadamente,
utilizando uma casa decimal, o tempo de escoamento necessário para que o volume de água escoado seja 10% do
volume inicial contido no caminhão? (utilize: log2 0,03.)
a) 3h e 30 min.
b) 3h e 12 min.
c) 3h e 18 min.
d) 2h e 15 min.
e) 2h e 12 min.
10. Um investidor aplicou certa quantia, em reais, à taxa de juro composto de 1% ao mês. Neste problema,
desprezando qualquer tipo de correção monetária devido à inflação, responda as perguntas a seguir.
a) Neste investimento, após 2 meses, seria possível resgatar o valor aplicado com lucro de R$ 4.020,00. Calcule o
valor inicialmente aplicado.
b) No investimento indicado, é possível resgatar um montante de 4 vezes o capital inicialmente aplicado em 139,3
meses. Caso o cálculo fosse feito adotando-se log2 0,301 e log202 2,305, que são logaritmos com apenas 3
casas decimais de aproximação, seria obtido um valor aproximado de t anos. Chamando de E t 139,3 ao erro
cometido no cálculo devido ao uso de apenas 3 casas decimais de aproximação nos logaritmos indicados,
calcule E.
11. No artigo “Desmatamento na Amazônia Brasileira: com que intensidade vem ocorrendo?”, o pesquisador Philip
M. Fearnside, do INPA, sugere como modelo matemático para o cálculo da área de desmatamento a função k tD(t) D(0) e , em que D(t) representa a área de desmatamento no instante t, sendo t medido em anos desde o
instante inicial, D(0) a área de desmatamento no instante inicial t 0, e k a taxa média anual de desmatamento da
região. Admitindo que tal modelo seja representativo da realidade, que a taxa média anual de desmatamento (k) da
Amazônia seja 0,6% e usando a aproximação n 2 0,69, o número de anos necessários para que a área de
desmatamento da Amazônia dobre seu valor, a partir de um instante inicial prefixado, é aproximadamente
a) 51.
b) 115.
c) 15.
d) 151.
e) 11.
12. Se 2 3 4logx logx logx logx 20, o valor de x é:
a) 10
b) 0,1
c) 100
d) 0,01
e) 1
13. Uma professora de Matemática pede para que seu filho faça a compra de alguns ingredientes para fazer um bolo
e pães doces. Para testar os conhecimentos do filho sobre logaritmo, ela faz a seguinte lista de compras:
Produto Quantidade
Açúcar 16log 8 kg
Farinha de trigo 10log 100 kg
Achocolatado 2102log 10 pacotes de 200g
Outros doces 6log 1 g
Com base nas informações, analise as proposições abaixo e assinale a soma da(s) CORRETA(S).
01) A mãe pediu 0,5 kg de açúcar ao filho.
02) A mãe pediu 4 pacotes de achocolatado ao filho.
04) A mãe pediu para o filho não comprar outros doces.
08) Se a mãe ligasse para o filho no caminho do mercado e falasse: “Fiz a conta errada para a quantidade de
farinha. À quantidade que lhe disse, adicione "
101
log ,10
ela estaria reduzindo a quantidade de farinha pedida.
16) Se a mãe ligasse para o filho no caminho do mercado, e falasse; “Fiz a conta errada para a quantidade de
farinha. À quantidade que lhe disse, adicione "
101
log10
e o filho fizesse a conta “quantidade de farinha = log
(100.1/10)”, ele estaria certo para a quantidade de farinha.
32) Em quilos, a quantidade total que o filho levará para casa, pela lista inicialmente feita, é 3,8 kg.
14. Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra
de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da
população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza
à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t
anos, é calculada pela expressão ktM(t) A (2,7) , onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa.
Considere 0,3 como aproximação para 10log 2.
Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade
inicial?
a) 27
b) 36
c) 50
d) 54
e) 100
15. Para combater um incêndio numa floresta, um avião a sobrevoa acima da fumaça e solta blocos de gelo de uma
tonelada. Ao cair, cada bloco se distancia da altitude em que foi solto pelo avião de acordo com a lei 2d 10t , em
que t é o tempo em segundos. A massa M do bloco (em quilogramas) varia, em função dessa distância de queda d
(em metros), conforme a expressão
M 1000 250log d.
Se o bloco deve chegar ao chão totalmente derretido, a altitude mínima em que o avião deve soltá-lo e o tempo de
queda nesse caso devem ser
a) 10.000 metros e 32 segundos.
b) 10.000 metros e 10 segundos.
c) 1.000 metros e 32 segundos.
d) 2.000 metros e 10 segundos.
e) 1.000 metros e 10 segundos.
Gabarito:
Resposta da questão 1:
C
Queremos calcular t, para o qual se tem 0Q(t) 0,9 Q .
Lembrando que n a n b a b e cn a c n a, com a, b reais positivos e c real, vem:
t t
12 20 0
t
12
0,9 Q Q (1 e ) e 10
n e n 10
tn 10
2
t 2 n 10.
t 2(0,6)(1,6) 4,2
Resposta da questão 2:
[E]
Para
0
5
t ? P(t) 3P(0)
P(0) 250 (1,2) P(0) 250
Logo, t t
5 5P(t) 3P(0) 250 (1,2) 3 250 (1,2) 3
Aplicando logaritmos, temos:
t
5log(1,2) log3
t 12log log3
5 10
tlog12 log10 log3
5
t2log2 log3 log10 log3
5
t2 (0,3) 0,48 1 0,48
5
t0,08 0,48 t 30anos
5
Resposta da questão 3:
[B]
n 1
n 1 n 1 n 1 3 n 1 4 n 1 3n 3 n 1 424 3 16 3 2 3 2 3 2 3 2
Onde,
3n 3 4
1n
3
Portanto,
3 31
log n log 13
Resposta da questão 4:
[E]
x y x y x10 20 log10 log20 x log10 y log(2 10) x y (log2 log10) x y 1,3 1,3
y
Resposta da questão 5:
[A]
Sabendo que calog b c a b, para quaisquer a e b reais positivos, e a 1, temos
2
xlog (x 6) 2 x x 6 0 x 3,
que é um número primo.
Resposta da questão 6:
Calculando pelo modelo da lei de Benford, isto é, n 1
P(n) log ,n
temos:
2 1 3P(2) log log log3 log2 0,48 0,30 0,18 18% 18% 16,67% 4%
2 2
3 1 4P(3) log log log4 log3 0,60 0,48 0,12 12% 12% 13,33% 4%
3 3
4 1 5P(4) log log log5 log4 0,70 0,60 0,1 10% 10% 16,67% 4%
4 4
Portanto, deverá ir para a malha fina.
Resposta da questão 7:
Considerando P 16 kg e H 100 cm, temos a seguinte equação:
4
3,8
2
log A 0,425 log16 0,725 log100 1,84
log A 0,425 log2 0,725 2 1,84
log A 0,425 4 log2 1,45 1,84
log A 1,7 0,3 3,29
log A 3,8
A 10
A 6310 cm
Sabemos que Rafael deve tomar 1mg para cada 2100 cm de seu corpo. Portanto, a dose diária de Rafael será dada
por:
631063,1mg.
100
Resposta da questão 8:
[B]
0,023t
0
0,023 t00
0,023 t
Q(t) Q e
QQ e
2
1n ne
2
n2 0,023 t
0,69 0,023 t
t 30
Resposta da questão 9:
[C]
t
0
t0 0
t
V(t) V 2
0,1 V V 2
0,1 2
Aplicando logaritmo na base 10 nos dois membros da igualdade, temos: tlog0,1 log2
1 t log2
1 t 0,3
t 3,3333333...
Utilizando uma casa decimal, como foi pedido no enunciado encontramos o seguinte valor para t.
t 3,3h 3h e (0,3 60)min 3h e 18min
Resposta da questão 10:
a) Seja C o valor inicialmente aplicado. Tem-se que
2 4020C 4020 C (1 0,01) C
0,0201
C R$ 200.000,00
b) Para M 4C, vem
t 2 t
2 t
2
4C C (1 0,01) 2 (1,01)
log2 log(1,01)
1012 log2 t log
100
t (log101 log10 ) 2 log2
t (log202 log2 2 log10) 2 log2
2 0,301t
2,305 0,301 2
0,301t
0,002
t 150,5.
Portanto, temos E 150,5 139,3 11,2 meses.
Resposta da questão 11:
[B]
Queremos calcular o valor de t para o qual se tem D(t) 2 D(0). Portanto, temos
0,006 t 0,006 t2 D(0) D(0) e n 2 n e
0,006t 0,69
t 115.
Resposta da questão 12:
[D]
Sabendo que bloga b loga, para todo a real positivo, vem
2 3 4
2
logx logx logx logx 20 10 logx 20
logx 2
x 10
x 0,01.
Resposta da questão 13:
02 + 04 + 08 + 16 = 30.
Quantidade de açúcar: kg75,04
3
16log
8log8log
2
216
Quantidade de farinha de trigo: 10log 100 2kg
Quantidade de achocolatado: 2102log 10 2 2 1 200g 800g 0,8kg 4pacotes
Quantidade de outros doces: 6log 1g 0
Portanto:
[01] Falsa.
[02] Verdadeira.
[04] Verdadeira.
[08] Verdadeira, pois 10 101 1
log 100 log 100 log10 10
[16] Falsa, pois ele levará 3,55kg.
Resposta da questão 14:
[E]
Queremos calcular t para o qual se tem M(t) 0,1 A.
Sabendo que a meia-vida do césio-137 é 30 anos, encontramos
k 30
1k 30
A AM(30) A (2,7)
2 2
(2,7) 2 .
Assim, tomando 0,3 como aproximação para 10log 2, vem
k t
t1 1
30
t130
M(t) 0,1 A A [(2,7) ] 0,1 A
102
log2 log10
tlog2 1 log10
30
t0,3 1
30
t 100,
ou seja, o resultado procurado é, aproximadamente, 100 anos.
Resposta da questão 15:
[A]
Quando o bloco estiver totalmente derretido sua massa será M 0.
Determinando, agora a altura, para M 0.
4
1.000 – 250 log d 0 250 log d 1.000
log d 4 d 10 d 100.00 m
Determinando o tempo de queda.
2
2
10 t 10.000
t 1.000
t 32 s
EXERCÍCIOS I
1) A temperatura média da Terra começou a ser medida por volta de 1870 e em 1880 já apareceu uma diferença: estava
(0,01) °C acima daquela registrada em 1870 (10 anos antes). A função 0,05 xt(x) = (0,01) 2
com t(x) em °C e x em anos, fornece uma estimativa para o aumento da temperatura média da Terra (em relação àquela
registrada em 1870) no ano (1880 + x), 0x . Com base na função, determine em que ano a temperatura média da Terra terá
aumentado 3 °C. (Use as aproximações 2log 3 1,6 e
2log 5 2,3 .
2) (UFSCar) A curva a seguir indica a representação gráfica da função 2f(x) log x , sendo D e E dois dos seus
pontos.
Se os pontos A e B têm coordenadas respectivamente iguais a 0) (k, e 0) (4, , com k real e k 1 , a área do triângulo CDE
será igual a 20% da área do trapézio ABDE quando k for igual a
(A) 3 2 (B) 2 (C) 3 22 (D) 22 (E) 43 2
3) Ao se estudar o crescimento das palmeiras na cidade de Palmeirópolis constatou-se que a função que descreve esse
crescimento em metros, após t anos, é 2log (2 t 1)f(t) 3 . Quantos anos são necessários para que uma determinada palmeira
atinja 27 metros de altura?
4) O brilho de uma estrela percebido pelo olho humano, na Terra, é chamado de magnitude aparente da estrela. Já a
magnitude absoluta da estrela é a magnitude aparente que a estrela teria se fosse observada a uma distância padrão de 10
parsecs (1 parsec é aproximadamente 31013
km). As magnitudes aparente e absoluta de uma estrela são muito úteis para se
determinar sua distância ao planeta Terra. Sendo m a magnitude aparente e M a magnitude absoluta de uma estrela, a
relação entre m e M é dada aproximadamente pela fórmula 0,48
3M = m + 5 log (3 d )
onde d é a distância da estrela em parsecs. A estrela Rigel tem aproximadamente magnitude aparente 0,2 e magnitude
absoluta –6,8. Determine a distância, em quilômetros, de Rigel ao planeta Terra.
5) Após estudar o tempo (t em minutos) que um determinado analgésico leva para começar a fazer efeito em pacientes com
idades de 10 a 20 anos, um laboratório obteve a fórmula 0,7
10t = log (10 k) , sendo k a idade (em anos) dos pacientes. Pela
fórmula, em quanto tempo começará a fazer efeito um analgésico tomado por um paciente com 10 anos de idade?
6) A disseminação de uma doença infecciosa em uma determinada população de 30.000 frangos em uma granja
pode ser descrita pela equação
t
.tP
431
48011
em que t é o número de dias decorridos desde a detecção da doença, que é definido como o momento do aparecimento dos
primeiros casos – 0t – e tP é a quantidade total de frangos infectados após t dias.
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
(1) A quantidade de frangos infectados no momento em que a doença foi detectada é superior a 150.
(2) Caso a doença não seja controlada, toda a população de frangos da granja será infectada.
(3) 4100 frangos serão infectados decorridos 32+log 5 dias do momento da detecção da doença.
(4) O número de frangos infectados somente no terceiro dia é inferior a 1200.
GABARITO
EXERCÍCIOS I
1) No ano 2044
2) C
3) 4,5 anos
4) 7,291015
km
5) 1,2 min.
6) E; E; C; E