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1. DEFINIÇÃO Para os reais positivos a e b com 1 a tais que x b a , diz-se que x é o logaritmo de b na base a, com x , ou seja: Universalmente usa-se a notação dada a seguir: Salientando que logaritmo nada mais é que um expoente que aos ser elevado a base resulta no logaritmando. Dessa forma, ao substituir a x log b em x a b , obtém-se: . Exemplos: a) 2 log 8 3 , pois 3 2 8 ou 2 log 8 2 8 b) 3 log 1/3 1 , pois 1 1 3 3 ou 3 1 log 3 1 3 3 c) 5 log 5 1 , pois 1 5 5 ou 5 log 5 5 5 d) 7 1 log 7 2 , pois 1 2 7 7 ou 7 log 7 7 7 e) 3 log 81 4 , pois 4 3 81 ou 3 log 81 3 81 f) 4 3 log 8 2 , pois 3 3 2 2 2 4 2 8 ou 4 log 8 4 8 OBSERVAÇÃO É conveniente destacar que a log b só existe caso * a,b e a 1 . Propriedades Para os reais positivos a, b e c prova-se as propriedades operatórias dos logaritmos a seguir. P1: Logaritmo do Produto Para a 1 , tem-se: a a a log bc log b log c P2: Para o real m e a 1 tem-se, de forma imediata da definição de logaritmo, que: m a log a m

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1. DEFINIÇÃO

Para os reais positivos a e b com 1a tais que xb a , diz-se que x é o logaritmo de b na base a, com x , ou seja:

Universalmente usa-se a notação dada a seguir:

Salientando que logaritmo nada mais é que um expoente que aos ser elevado a base resulta no logaritmando. Dessa forma,

ao substituir ax log b em xa b ,

obtém-se:

.

Exemplos:

a) 2log 8 3 , pois 32 8 ou 2log 82 8

b) 3log 1/ 3 1 , pois 1 13

3

ou 3

1log

3 13

3

c) 5log 5 1 , pois 15 5 ou 5log 5

5 5

d) 7

1log 7

2 , pois

1

27 7 ou 7log 77 7

e) 3log 81 4 , pois 43 81 ou 3log 81

3 81

f) 4

3log 8

2 , pois

332 224 2 8 ou 4log 84 8

OBSERVAÇÃO

É conveniente destacar que alog b só existe caso

*a,b

e a 1 .

Propriedades

Para os reais positivos a, b e c prova-se as propriedades operatórias dos logaritmos a seguir.

P1: Logaritmo do Produto

Para a 1 , tem-se:

a a alog bc log b log c

P2: Para o real m e a 1 tem-se, de forma imediata da definição de logaritmo, que:

m

alog a m

Conseqüência da 2ª Propriedade:

alog 1 0 , pois 0

a alog 1 log a 0

P3: Para a 1 , tem-se:

1

a a a

1log log b log b

b

P4: Logaritmo do Quociente

Para a 1 , tem-se:

a a a

blog log b log c

c

P5: Logaritmo da Potência

Para o real m e a 1 , tem-se: m

a alog b m.log b

P6: Potência na Base

Para o real não nulo n e a 1 , tem-se:

n aa

1log b log b

n

P7: Mudança de Base

Para a 1 e c 1 , tem-se:

ca

c

log blog b

log a ou

c a clog a.log b log b

OBSERVAÇÃO

No desenvolver da teoria dos logaritmos, duas bases foram notadamente utilizadas e em virtude disso apresentam notações

próprias. É ocaso do logaritmo decimal, ou de base 10, também conhecido por logaritmo briggsiano, em homenagem a Henry

Briggs (1561-1631), que em geral não se destaca a base, ou seja, 10log x logx . O outro caso é o logaritmo natural ou

Neperiano, em homenagem John Napier (1550-1617), cuja base é o número de Euler, 2,718...e , que é notado por

lnelog x x .

2. FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Definimos função logarítmica toda função *f : dada por

af(x) log x com *a

e 1a .

Exemplo:

Para as funções logarítmicas 2f(x) log x e 1

3

g(x) log x , note que:

a) 2f(4) log 4 2

b) 2

1 1f log 3

8 8

c) 1

3

g(3) log 3 1

d) 1

3

g(1) log 1 0

A função logarítmica com base a é a inversa da função exponencial com base a, ou seja, para a exponencial *f : tal

que xf(x) a , com *a

e a 1 , tem-se 1 *f :

dada por 1

af (x) log x .

Exemplo:

2) A energia E(x) de um elétron ao atravessar um anteparo, composto de um determinado material, cuja espessura x é dada

por kx

0E x E e , em que 0E é sua energia inicial, k é uma constante positiva que depende da composição do anteparo e e é

a base do logaritmo natural. Com isso:

a) expresse, em função de E(x) , a espessura x do anteparo.

b) indique, em termos de k, a espessura do material para a qual o elétron perca 99% de sua energia inicial.

RESOLUÇÕES

a) Aplicando logaritmo natural aos dois lados da igualdade kx

0E x E e , obtém-se:

kx

0

kx

0

0

0

0

lnE(x) ln E

lnE(x) lnE ln

lnE(x) lnE kx

kx lnE lnE(x)

E1x ln

k E(x)

e

e

b) Para que o elétron perca 99% de sua energia inicial, sua energia ao atravessar o anteparo deverá ser de 1% de

sua energia inicial, ou seja, 200

E1E(x) E 10

100 E(x) . Aplicando esse resultado na expressão obtida no item a,

tem-se:

21x ln(10 )

k

2x ln(10)

k

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Após acionar um flash de uma câmera, a bateria imediatamente começa a recarregar o capacitor do flash, o qual

armazena uma carga elétrica dada por t2

0Q(t) Q 1 e ,

onde 0Q é a capacidade máxima da carga e t é

medido em segundos. O tempo que levará para o capacitor recarregar 90% da capacidade é de aproximadamente:

(considere ln2 = 0,6 e ln5=1,6)

a) 2 segundos.

b) 3 segundos.

c) 4 segundos.

d) 5 segundos.

e) 6 segundos.

2. Biólogos estimam que a população P de certa espécie de aves é dada em função do tempo t, em anos, de acordo

com a relação

t

5P 250 (1,2) , sendo t 0 o momento em que o estudo foi iniciado.

Em quantos anos a população dessa espécie de aves irá triplicar? (dados:

log 2 0,3 e log 3 0,48.)

a) 45

b) 25

c) 12

d) 18

e) 30

3. Se n 1 n 124 3 16, então 3log n é igual a:

a) 2

b) 1

c) 1

2

d) 1

e) 2

4. Se x y10 20 , atribuindo 0,3 para log2, então o valor de x

y é

a) 0,3.

b) 0,5.

c) 0,7.

d) 1.

e) 1,3.

5. A solução da equação na variável real x, xlog (x 6) 2, é um número

a) primo.

b) par.

c) negativo.

d) irracional.

6. A lei de Benford, também chamada de “lei do primeiro dígito”, sugere que, em vários conjuntos de dados

numéricos, a ocorrência dos algarismos de 1 a 9 no início dos números (da esquerda para a direita em cada

número) do conjunto de dados não é igualmente provável. A lei se verifica em diversos conjuntos de dados reais

como, por exemplo, o conjunto das populações dos diversos municípios de um país, o conjunto dos dados

numéricos contidos nas contas de energia elétrica da população de um município, o conjunto dos comprimentos dos

rios de um país etc.

Quando a lei de Benford se aplica aos dados analisados, a probabilidade P(n) de que o algarismo n seja o primeiro

algarismo em um dado numérico qualquer do conjunto de dados será n 1

P(n) log .n

Por exemplo, se a lei se aplica, a probabilidade de que o algarismo 1(n 1) seja o primeiro (da esquerda para a

direita) em um número sorteado ao acaso do conjunto de dados é igual a log2, ou seja, aproximadamente 30%, já

que log2 0,30.

Admita que os dados numéricos indicados na tabela 1 tenham sido retirados da declaração de imposto de renda de

um contribuinte. Também admita que a Receita Federal tenha a expectativa de que tais dados obedeçam, ainda que

aproximadamente, à lei de Benford.

Tabela 1

1.526 2.341 5.122 242 1.444 788 4.029 333 426 1.981

2.589 503 1.276 5.477 229 579 1.987 719 1.236 2.817

456 886 1.424 470 113 342 345 433 192 343

A tabela 2 registratra a frequência do primeiro dígito (da esquerda para a direita) dos dados da tabela 1 para os

casos em que n 2, n 3 e n 4.

Tabela 2

n 1 2 3 4

Frequência de n 9 5 4 5

Frequência

relativa de n

9 3

30 10

516,67%

30

413,33%

30

516,67%

30

Admita que uma declaração de imposto de renda vai para a “malha fina” (análise mais detalhada da Receita

Federal) se a diferença, em módulo, entre a frequência relativa do primeiro dígito, em porcentagem, e a

probabilidade dada pelo modelo da lei de Benford, também em porcentagem, seja maior do que quatro pontos

percentuais para algum n. Argumente, com dados numéricos, se a declaração analisada na tabela 1 deverá ou

não ir para a “malha fina”.

Adote nos cálculos log 2 0,30 e log 3 0,48.

7. O cálculo aproximado da área da superfície externa de uma pessoa pode ser necessário para a determinação da

dosagem de algumas medicações. A área A (em 2cm ) da superfície externa de uma criança pode ser estimada por

meio do seu “peso” P (em kg) e da sua altura H (em cm) com a seguinte fórmula, que envolve logaritmos na base

10 :

logA 0,425logP 0,725logH 1,84

(Delafield Du Bois e Eugene Du Bois.

A formula to estimate the approximate surface

area if height and weight be known, 1916. Adaptado.)

Rafael, uma criança com 1m de altura e 16 kg de “peso”, precisa tomar uma medicação cuja dose adequada é de

1mg para cada 2100 cm de área externa corporal. Determine a dose adequada dessa medicação para Rafael.

Adote nos seus cálculos log2 0,30 e a tabela a seguir.

x x10

3,3 1995

3,4 2512

3,5 3162

3,6 3981

3,7 5012

3,8 6310

3,9 7943

8. Quando um elemento radioativo, como o Césio 137, entra em contato com o meio ambiente, pode afetar o solo,

os rios, as plantas e as pessoas. A radiação não torna o solo infértil, porém tudo que nele crescer estará

contaminado.

A expressão

0,023t

0Q(t) Q e

representa a quantidade, em gramas, de átomos radioativos de Césio 137 presentes no instante t, em dias, onde

0Q é a quantidade inicial.

O tempo, em dias, para que a quantidade de Césio 137 seja a metade da quantidade inicial é igual a

Use In 2 0,69

a) 60.

b) 30.

c) 15.

d) 5.

e) 3.

9. Suponha que a vazão de água de um caminhão de bombeiros se dá pela expressão t0V(t) V 2 , em que 0V é o

volume inicial de água contido no caminhão e t é o tempo de escoamento em horas. Qual é, aproximadamente,

utilizando uma casa decimal, o tempo de escoamento necessário para que o volume de água escoado seja 10% do

volume inicial contido no caminhão? (utilize: log2 0,03.)

a) 3h e 30 min.

b) 3h e 12 min.

c) 3h e 18 min.

d) 2h e 15 min.

e) 2h e 12 min.

10. Um investidor aplicou certa quantia, em reais, à taxa de juro composto de 1% ao mês. Neste problema,

desprezando qualquer tipo de correção monetária devido à inflação, responda as perguntas a seguir.

a) Neste investimento, após 2 meses, seria possível resgatar o valor aplicado com lucro de R$ 4.020,00. Calcule o

valor inicialmente aplicado.

b) No investimento indicado, é possível resgatar um montante de 4 vezes o capital inicialmente aplicado em 139,3

meses. Caso o cálculo fosse feito adotando-se log2 0,301 e log202 2,305, que são logaritmos com apenas 3

casas decimais de aproximação, seria obtido um valor aproximado de t anos. Chamando de E t 139,3 ao erro

cometido no cálculo devido ao uso de apenas 3 casas decimais de aproximação nos logaritmos indicados,

calcule E.

11. No artigo “Desmatamento na Amazônia Brasileira: com que intensidade vem ocorrendo?”, o pesquisador Philip

M. Fearnside, do INPA, sugere como modelo matemático para o cálculo da área de desmatamento a função k tD(t) D(0) e , em que D(t) representa a área de desmatamento no instante t, sendo t medido em anos desde o

instante inicial, D(0) a área de desmatamento no instante inicial t 0, e k a taxa média anual de desmatamento da

região. Admitindo que tal modelo seja representativo da realidade, que a taxa média anual de desmatamento (k) da

Amazônia seja 0,6% e usando a aproximação n 2 0,69, o número de anos necessários para que a área de

desmatamento da Amazônia dobre seu valor, a partir de um instante inicial prefixado, é aproximadamente

a) 51.

b) 115.

c) 15.

d) 151.

e) 11.

12. Se 2 3 4logx logx logx logx 20, o valor de x é:

a) 10

b) 0,1

c) 100

d) 0,01

e) 1

13. Uma professora de Matemática pede para que seu filho faça a compra de alguns ingredientes para fazer um bolo

e pães doces. Para testar os conhecimentos do filho sobre logaritmo, ela faz a seguinte lista de compras:

Produto Quantidade

Açúcar 16log 8 kg

Farinha de trigo 10log 100 kg

Achocolatado 2102log 10 pacotes de 200g

Outros doces 6log 1 g

Com base nas informações, analise as proposições abaixo e assinale a soma da(s) CORRETA(S).

01) A mãe pediu 0,5 kg de açúcar ao filho.

02) A mãe pediu 4 pacotes de achocolatado ao filho.

04) A mãe pediu para o filho não comprar outros doces.

08) Se a mãe ligasse para o filho no caminho do mercado e falasse: “Fiz a conta errada para a quantidade de

farinha. À quantidade que lhe disse, adicione "

101

log ,10

ela estaria reduzindo a quantidade de farinha pedida.

16) Se a mãe ligasse para o filho no caminho do mercado, e falasse; “Fiz a conta errada para a quantidade de

farinha. À quantidade que lhe disse, adicione "

101

log10

e o filho fizesse a conta “quantidade de farinha = log

(100.1/10)”, ele estaria certo para a quantidade de farinha.

32) Em quilos, a quantidade total que o filho levará para casa, pela lista inicialmente feita, é 3,8 kg.

14. Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra

de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da

população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza

à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t

anos, é calculada pela expressão ktM(t) A (2,7) , onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa.

Considere 0,3 como aproximação para 10log 2.

Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade

inicial?

a) 27

b) 36

c) 50

d) 54

e) 100

15. Para combater um incêndio numa floresta, um avião a sobrevoa acima da fumaça e solta blocos de gelo de uma

tonelada. Ao cair, cada bloco se distancia da altitude em que foi solto pelo avião de acordo com a lei 2d 10t , em

que t é o tempo em segundos. A massa M do bloco (em quilogramas) varia, em função dessa distância de queda d

(em metros), conforme a expressão

M 1000 250log d.

Se o bloco deve chegar ao chão totalmente derretido, a altitude mínima em que o avião deve soltá-lo e o tempo de

queda nesse caso devem ser

a) 10.000 metros e 32 segundos.

b) 10.000 metros e 10 segundos.

c) 1.000 metros e 32 segundos.

d) 2.000 metros e 10 segundos.

e) 1.000 metros e 10 segundos.

Gabarito:

Resposta da questão 1:

C

Queremos calcular t, para o qual se tem 0Q(t) 0,9 Q .

Lembrando que n a n b a b e cn a c n a, com a, b reais positivos e c real, vem:

t t

12 20 0

t

12

0,9 Q Q (1 e ) e 10

n e n 10

tn 10

2

t 2 n 10.

t 2(0,6)(1,6) 4,2

Resposta da questão 2:

[E]

Para

0

5

t ? P(t) 3P(0)

P(0) 250 (1,2) P(0) 250

Logo, t t

5 5P(t) 3P(0) 250 (1,2) 3 250 (1,2) 3

Aplicando logaritmos, temos:

t

5log(1,2) log3

t 12log log3

5 10

tlog12 log10 log3

5

t2log2 log3 log10 log3

5

t2 (0,3) 0,48 1 0,48

5

t0,08 0,48 t 30anos

5

Resposta da questão 3:

[B]

n 1

n 1 n 1 n 1 3 n 1 4 n 1 3n 3 n 1 424 3 16 3 2 3 2 3 2 3 2

Onde,

3n 3 4

1n

3

Portanto,

3 31

log n log 13

Resposta da questão 4:

[E]

x y x y x10 20 log10 log20 x log10 y log(2 10) x y (log2 log10) x y 1,3 1,3

y

Resposta da questão 5:

[A]

Sabendo que calog b c a b, para quaisquer a e b reais positivos, e a 1, temos

2

xlog (x 6) 2 x x 6 0 x 3,

que é um número primo.

Resposta da questão 6:

Calculando pelo modelo da lei de Benford, isto é, n 1

P(n) log ,n

temos:

2 1 3P(2) log log log3 log2 0,48 0,30 0,18 18% 18% 16,67% 4%

2 2

3 1 4P(3) log log log4 log3 0,60 0,48 0,12 12% 12% 13,33% 4%

3 3

4 1 5P(4) log log log5 log4 0,70 0,60 0,1 10% 10% 16,67% 4%

4 4

Portanto, deverá ir para a malha fina.

Resposta da questão 7:

Considerando P 16 kg e H 100 cm, temos a seguinte equação:

4

3,8

2

log A 0,425 log16 0,725 log100 1,84

log A 0,425 log2 0,725 2 1,84

log A 0,425 4 log2 1,45 1,84

log A 1,7 0,3 3,29

log A 3,8

A 10

A 6310 cm

Sabemos que Rafael deve tomar 1mg para cada 2100 cm de seu corpo. Portanto, a dose diária de Rafael será dada

por:

631063,1mg.

100

Resposta da questão 8:

[B]

0,023t

0

0,023 t00

0,023 t

Q(t) Q e

QQ e

2

1n ne

2

n2 0,023 t

0,69 0,023 t

t 30

Resposta da questão 9:

[C]

t

0

t0 0

t

V(t) V 2

0,1 V V 2

0,1 2

Aplicando logaritmo na base 10 nos dois membros da igualdade, temos: tlog0,1 log2

1 t log2

1 t 0,3

t 3,3333333...

Utilizando uma casa decimal, como foi pedido no enunciado encontramos o seguinte valor para t.

t 3,3h 3h e (0,3 60)min 3h e 18min

Resposta da questão 10:

a) Seja C o valor inicialmente aplicado. Tem-se que

2 4020C 4020 C (1 0,01) C

0,0201

C R$ 200.000,00

b) Para M 4C, vem

t 2 t

2 t

2

4C C (1 0,01) 2 (1,01)

log2 log(1,01)

1012 log2 t log

100

t (log101 log10 ) 2 log2

t (log202 log2 2 log10) 2 log2

2 0,301t

2,305 0,301 2

0,301t

0,002

t 150,5.

Portanto, temos E 150,5 139,3 11,2 meses.

Resposta da questão 11:

[B]

Queremos calcular o valor de t para o qual se tem D(t) 2 D(0). Portanto, temos

0,006 t 0,006 t2 D(0) D(0) e n 2 n e

0,006t 0,69

t 115.

Resposta da questão 12:

[D]

Sabendo que bloga b loga, para todo a real positivo, vem

2 3 4

2

logx logx logx logx 20 10 logx 20

logx 2

x 10

x 0,01.

Resposta da questão 13:

02 + 04 + 08 + 16 = 30.

Quantidade de açúcar: kg75,04

3

16log

8log8log

2

216

Quantidade de farinha de trigo: 10log 100 2kg

Quantidade de achocolatado: 2102log 10 2 2 1 200g 800g 0,8kg 4pacotes

Quantidade de outros doces: 6log 1g 0

Portanto:

[01] Falsa.

[02] Verdadeira.

[04] Verdadeira.

[08] Verdadeira, pois 10 101 1

log 100 log 100 log10 10

[16] Falsa, pois ele levará 3,55kg.

Resposta da questão 14:

[E]

Queremos calcular t para o qual se tem M(t) 0,1 A.

Sabendo que a meia-vida do césio-137 é 30 anos, encontramos

k 30

1k 30

A AM(30) A (2,7)

2 2

(2,7) 2 .

Assim, tomando 0,3 como aproximação para 10log 2, vem

k t

t1 1

30

t130

M(t) 0,1 A A [(2,7) ] 0,1 A

102

log2 log10

tlog2 1 log10

30

t0,3 1

30

t 100,

ou seja, o resultado procurado é, aproximadamente, 100 anos.

Resposta da questão 15:

[A]

Quando o bloco estiver totalmente derretido sua massa será M 0.

Determinando, agora a altura, para M 0.

4

1.000 – 250 log d 0 250 log d 1.000

log d 4 d 10 d 100.00 m

Determinando o tempo de queda.

2

2

10 t 10.000

t 1.000

t 32 s

EXERCÍCIOS I

1) A temperatura média da Terra começou a ser medida por volta de 1870 e em 1880 já apareceu uma diferença: estava

(0,01) °C acima daquela registrada em 1870 (10 anos antes). A função 0,05 xt(x) = (0,01) 2

com t(x) em °C e x em anos, fornece uma estimativa para o aumento da temperatura média da Terra (em relação àquela

registrada em 1870) no ano (1880 + x), 0x . Com base na função, determine em que ano a temperatura média da Terra terá

aumentado 3 °C. (Use as aproximações 2log 3 1,6 e

2log 5 2,3 .

2) (UFSCar) A curva a seguir indica a representação gráfica da função 2f(x) log x , sendo D e E dois dos seus

pontos.

Se os pontos A e B têm coordenadas respectivamente iguais a 0) (k, e 0) (4, , com k real e k 1 , a área do triângulo CDE

será igual a 20% da área do trapézio ABDE quando k for igual a

(A) 3 2 (B) 2 (C) 3 22 (D) 22 (E) 43 2

3) Ao se estudar o crescimento das palmeiras na cidade de Palmeirópolis constatou-se que a função que descreve esse

crescimento em metros, após t anos, é 2log (2 t 1)f(t) 3 . Quantos anos são necessários para que uma determinada palmeira

atinja 27 metros de altura?

4) O brilho de uma estrela percebido pelo olho humano, na Terra, é chamado de magnitude aparente da estrela. Já a

magnitude absoluta da estrela é a magnitude aparente que a estrela teria se fosse observada a uma distância padrão de 10

parsecs (1 parsec é aproximadamente 31013

km). As magnitudes aparente e absoluta de uma estrela são muito úteis para se

determinar sua distância ao planeta Terra. Sendo m a magnitude aparente e M a magnitude absoluta de uma estrela, a

relação entre m e M é dada aproximadamente pela fórmula 0,48

3M = m + 5 log (3 d )

onde d é a distância da estrela em parsecs. A estrela Rigel tem aproximadamente magnitude aparente 0,2 e magnitude

absoluta –6,8. Determine a distância, em quilômetros, de Rigel ao planeta Terra.

5) Após estudar o tempo (t em minutos) que um determinado analgésico leva para começar a fazer efeito em pacientes com

idades de 10 a 20 anos, um laboratório obteve a fórmula 0,7

10t = log (10 k) , sendo k a idade (em anos) dos pacientes. Pela

fórmula, em quanto tempo começará a fazer efeito um analgésico tomado por um paciente com 10 anos de idade?

6) A disseminação de uma doença infecciosa em uma determinada população de 30.000 frangos em uma granja

pode ser descrita pela equação

t

.tP

431

48011

em que t é o número de dias decorridos desde a detecção da doença, que é definido como o momento do aparecimento dos

primeiros casos – 0t – e tP é a quantidade total de frangos infectados após t dias.

Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.

(1) A quantidade de frangos infectados no momento em que a doença foi detectada é superior a 150.

(2) Caso a doença não seja controlada, toda a população de frangos da granja será infectada.

(3) 4100 frangos serão infectados decorridos 32+log 5 dias do momento da detecção da doença.

(4) O número de frangos infectados somente no terceiro dia é inferior a 1200.

GABARITO

EXERCÍCIOS I

1) No ano 2044

2) C

3) 4,5 anos

4) 7,291015

km

5) 1,2 min.

6) E; E; C; E