investigac˘ao operacional~ exerc ciosmac/ensino/docs/or/ioexercicios.pdf · feupfaculdade de...

FEUP FACULDADE DE ENGENHARIAUNIVERSIDADE DO PORTO

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA E GESTAO INDUSTRIAL

Investigacao OperacionalExercıcios

6 de Dezembro de 2012

Indice

1 Modelacao 7

1.1 Problema da Mistura de Produtos . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Publicacoes Polemicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Montagem duas pecas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 A companhia de aviacao Benvoa . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5 Carga de navio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6 Producao e Distribuicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7 Refinaria Petroleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.8 Arrendamento de Espaco num Armazem (5M) . . . . . . . . . 30

1.9 Planeamento da Producao numa Fabrica de Papel . . . . . . . 33

1.10 Distribuicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.11 Seleccao de Eventos na UPorto . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.12 Aeroporto ALETROP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.13 Urbanizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.14 Estaleiro do ShopShopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.15 Escalonamento de recursos humanos . . . . . . . . . . . . . . 56

1.16 SuperBoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2 Programacao Linear 67

2.1 Problema PL I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.2 Problema PL II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.3 Problema PL1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.4 Problema PL2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.5 Problema PL3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.6 Problema PL4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3 Utilizacao do Solver do Excel 79

3.1 Planeamento da producao na VW Autoeuropa . . . . . . . . . 81




4 Indice

4 Metodo Simplex 87

4.1 Problema A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2 Problema B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3 Problema C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.4 Problema D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.5 Problema E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.6 Problema F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.7 Problema G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.8 Problema H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5 Programacao Inteira 121

5.1 Problema PIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.2 Problema PIB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.3 Problema PIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.4 Problema PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.5 Problema Triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.6 Problema PIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6 Problemas de Transportes 151

6.1 Reservatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6.2 Transfronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.3 Construtora de Avioes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.4 Instituto de Altos Estudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.5 UnEng5/FND/UNIFIL no Lıbano . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7 Problemas de Afetacao 169

7.1 Desenhadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7.2 Recrutamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.3 Romeu e Julieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.4 Companhia de Navegacao Aerea . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.5 Asa de Luxo Lda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7.6 WFP na Costa da Somalia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

8 Problemas de Fluxo Maximo 191

8.1 Exercıcio dos Depositos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

8.2 Exercıcio No 1 a No 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

8.3 Exercıcio No 1 a No 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

8.4 Exercıcio No 0 a No 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

8.5 Exercıcio Fluxo Maximo no ShopShopping . . . . . . . . . . . 204

8.6 WFP na Costa da Somalia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206




Indice 5

9 Problemas de Caminho Mınimo 211

9.1 Rede Caminho Mınimo No 1 ao No 6 . . . . . . . . . . . . . . 213

9.2 Guerra Azuis e Verdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

9.3 Ven de Dor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

9.4 Tabuleiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

9.5 Perseguicao ao Ladrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

10 Planeamento e Controlo de Projetos 231

10.1 Banco TTM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

10.2 Projeto A a I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

10.3 Projeto A a J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

10.4 9 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

10.5 Limpeza ShopShopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

10.6 UNIFIL no Lıbano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

10.7 Estorninhos em Evoramonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

11 Teoria da Decisao 257

11.1 Xpt0 Textil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

11.2 Nova peca automovel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

11.3 Aquisicao de maquinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

11.4 Exploracao de Gas Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

11.5 Polido Guapo e a Lavandaria Asseada . . . . . . . . . . . . . . 270

11.6 LEST O, um novo produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

11.7 A Historia de Chicofredo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

11.8 To be or not to be . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

11.9 Vincennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

12 Multicriterio 281

12.1 Horta da Formiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

12.2 VetProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

12.3 So Phtuere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

12.4 Abre Latas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

12.5 Designs Alternativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

12.6 Processamento de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

12.7 Localizacao de Laboratorio de Investigacao . . . . . . . . . . . 292

12.8 Sorinfacc & Amigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

12.9 KK’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

12.10PATinho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

12.11Seleccao de Estagios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

12.12Ze Playboy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298




6 Indice

13 Filas de Espera 30113.1 Limpeza de autocarros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30313.2 Pastelaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30513.3 Junta Autonoma das Estradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30713.4 Cabina telefonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30913.5 Boeingavela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31113.6 Servico de emergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31413.7 Servico de veterinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31713.8 Seccao de fotocopias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31913.9 Manutencao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32413.10Uma horta na escola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32813.11DouryKayak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

14 Simulacao 33314.1 Avarias na rede electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33614.2 ValorSul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33814.3 Avistamento de Aves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340




Capıtulo 1

Modelacao

Objetivos de Aprendizagem

• Dado um enunciado com a descricao de um problema

– Formular esse problema atraves de uma funcao objetivo e de umconjunto de restricoes lineares, quer com variaveis contınuas, in-teiras ou binarias.

– Utilizar variaveis binarias como variaveis auxiliares para formularsituacoes diferentes da simples conjuncoes de restricoes, como porexemplo:

∗ disjuncao de restricoes

∗ implicacao de restricoes

∗ valores mınimos para variaveis (e.g. ou vale zero ou e maiorque...)

• Descrever o que significam e fazem um conjunto de restricoes, no con-texto de um problema concreto.




8 Modelacao

Exercıcios

1.1 Problema da Mistura de Produtos . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Publicacoes Polemicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Montagem duas pecas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 A companhia de aviacao Benvoa . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5 Carga de navio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6 Producao e Distribuicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7 Refinaria Petroleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.8 Arrendamento de Espaco num Armazem (5M) . . . . . . . 30

1.9 Planeamento da Producao numa Fabrica de Papel . . . . 33

1.10 Distribuicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.11 Seleccao de Eventos na UPorto . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.12 Aeroporto ALETROP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.13 Urbanizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.14 Estaleiro do ShopShopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.15 Escalonamento de recursos humanos . . . . . . . . . . . . . 56

1.16 SuperBoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63




1.1 Problema da Mistura de Produtos 9

1.1 Problema da Mistura de Produtos

1.1.1 Enunciado

A companhia Electro & Domesticos pretende escalonar a producao de umnovo apetrecho de cozinha que requer dois recursos: mao-de-obra e materia-prima. A companhia considera a hipotese de produzir 3 modelos diferentes,tendo o seu departamento de engenharia fornecido os dados representados natabela 1

Modelo A B CMao-de-obra (horas por unidade) 7 3 6Materia-prima (quilos por unidade) 4 4 5Lucro (epor unidade) 4 2 3

Tabela 1: Dados fornecidos pelo departamento de engenharia

O fornecimento de materia-prima esta limitado a 200 quilos/dia. Por diaestao disponıveis 150 horas de trabalho. O objetivo e maximizar o lucro total.Formule o modelo que permitiria resolver este problema.




10 Modelacao

1.1.2 Resolucao

Passo I O que se desconhece, e que se pretende determinar na fase deresolucao do modelo, sao as quantidades a produzir diariamente de cada umdos modelos — as variaveis de decisao.

Representando-as algebricamente:

xA − producao diaria do modelo A (no de unidades)

xB − producao diaria do modelo B (no de unidades)

xC − producao diaria do modelo C (no de unidades)

Passo II Restricoes do problema.Nao podemos produzir quantidades infinitas de A, B e C (o que daria um

lucro infinito) porque estamos limitados pela materia-prima (200) e mao-de-obra (150) disponıveis, valores que nao podemos exceder.

Entao, a mao-de-obra necessaria para produzir uma unidade do modeloA (7 horas), vezes o numero de unidades do modelo A a produzir (xA), maisa mao-de-obra necessaria para produzir uma unidade do modelo B (3 horas),vezes o numero de unidades do modelo B que se resolva produzir (xB), maisa mao-de-obra necessaria para produzir uma unidade do modelo C (6 horas),vezes o numero de unidades do modelo C que se venha a produzir (xC), naopoderao exceder as 150 horas, isto e:

7xA + 3xB + 6xC ≤ 150

Aplicando o mesmo raciocınio a materia-prima, obter-se-ia:

4xA + 4xB + 5xC ≤ 200

As restricoes que faltam ao problema dizem directamente respeito as variaveisde decisao, e sao:

xA ≥ 0, xB ≥ 0, xC ≥ 0

ou seja, nao se podem produzir quantidades negativas.

Passo III O objetivo do problema e maximizar o lucro total, isto e, o lucroobtido com os 3 modelos. Como cada unidade do modelo A da um lucro de4, do modelo B da 2 e do modelo C da 3, a funcao objetivo sera:

max LUCRO = 4xA + 2xB + 3xC

O modelo do nosso problema sera entao:




1.1 Problema da Mistura de Produtos 11

Encontrar os numeros xA, xB e xC tais que:

max LUCRO = 4xA + 2xB + 3xC

sujeito a:

7xA + 3xB + 6xC ≤ 150

4xA + 4xB + 5xC ≤ 200

xA, xB, xC ≥ 0




12 Modelacao

1.2 Publicacoes Polemicas

1.2.1 Enunciado

“Publicacoes Polemicas” e uma editora de grande divulgacao internacionalque vai publicar proximamente uma autobiografia de um polıtico controverso.Dadas as caracterısticas do polıtico em causa, a editora admite que a 1a edicaovai ser vendida por completo, se nao houver atrasos. Seguindo a sua habituallinha editorial foi decidido fazer o lancamento em simultaneo das versoes deLuxo, com capa dura e Normal, com capa mole, mas a empresa desconheceo numero de exemplares de cada versao que deve ser produzido para obter omaximo lucro possıvel.

A empresa tem um conjunto de restricoes de producao e armazenamentoque se apresentam a seguir:

Departamento de Impressao O departamento de impressao pode pro-duzir no maximo 10 000 exemplares (incluindo versoes Luxo e Normal).

Departamento de Encadernacao O departamento de encadernacao po-deria concluir 12 000 exemplares da versao Normal se encadernasse apenasesse tipo de livros. Se encadernasse apenas livros da versao Luxo conseguiriaencadernar ate 8 000 exemplares.

Armazem A capacidade maxima do armazem seria de 15 000 exemplaresse so despachasse exemplares da versao Normal ou entao 9 000 exemplaresse so despachasse exemplares da versao Luxo.

Para alem das restricoes de producao e de armazenamento existem outrasrestricoes que se apresentam a seguir.

Pedidos Ja existem pedidos de 2 000 exemplares Normal e 1 000 exempla-res Luxo, que deverao ser satisfeitos na 1a edicao.

Mınimo Luxo Pelo menos 14

do total dos exemplares devera ser em versaoLuxo.

Lucro O lucro resultante da venda de um exemplar Normal e de 600UMse de um exemplar Luxo e de 720UMs.

(a) Formule este problema como um Modelo de Programacao Linear.

(b) Resolva-o graficamente, ilustrando o conjunto das solucoes admissıveis.




1.2 Publicacoes Polemicas 13

(c) Resolva pelo metodo Simplex uma versao simplificada do problema, emque nao se consideram os Pedidos e o Mınimo Luxo.

Qual o significado que atribui ao valor das variaveis de folga? A solucaoobtida sera a solucao optima do problema inicial?

(d) Substitua a condicao Mınimo Luxo pela seguinte: Se houver pro-ducao de copias na versao Luxo entao o seu numero devera ser maiorou igual a 2 000. Indique em detalhe como incluiria esta condicao nomodelo formulado, mantendo a sua estrutura linear (inteira).




14 Modelacao

1.2.2 Resolucao

(a) Definam-se as seguintes variaveis de decisao:

xL quantidade de livros a produzir na versao Luxo;

xN quantidade de livros a produzir na versao Normal.

Com essas variaveis de decisao o modelo de Programacao Linear serao seguinte:

Objectivo:

max Z = 600xN + 720xL (1.1)

Sujeito a:

xN + xL ≤ 10000 (1.2)xN

12000+

xL8000

≤ 1 (1.3)

xN15000

+xL

9000≤ 1 (1.4)

1

4(xN + xL) ≤ xL (1.5)

xN ≥ 2000 (1.6)

xL ≥ 1000 (1.7)

A equacao (1.2) corresponde a restricao de impressao. As equacoes (1.3)e (1.4) sao devidas as restricoes da encadernacao e do armazem. Aequacao (1.5) e devida a restricao de mınimo de producao de exemplaresde Luxo. Por ultimo, as equacoes (1.6) e (1.7) representam a restricaode satisfacao dos pedidos ja existentes.

O modelo apresentado e equivalente ao seguinte modelo:

max Z = 600xN + 720xL (1.8)

Sujeito a:




1.2 Publicacoes Polemicas 15

xN + xL ≤ 10000 (1.9)

2xN + 3xL ≤ 24000 (1.10)

3xN + 5xL ≤ 45000 (1.11)

xN − 3xL ≤ 0 (1.12)

xN ≥ 2000 (1.13)

xL ≥ 1000 (1.14)

(b) Representacao grafica:

xN

xL

(14)

(13)

(12)

(11)(10)(9)

(8)

Z crescente

Solução óptima

xN = 6000

xL = 4000

(c) Resolucao pelo Algoritmo Simplex

xN xL s1 s2 s3

s1 1 1 1 0 0 10

s2 2 3 0 1 0 24 ⇒s3 3 5 0 0 1 45− Z

1060 72 0 0 0 0

�




16 Modelacao

xN xL s1 s2 s3

s113

0 1 −13

0 2 ⇒

xL23

1 0 13

0 8s3 −1

30 0 −5

31 5

− Z10

12 0 0 −24 0 −576�

xN xL s1 s2 s3

xN 1 0 3 −1 0 6xL 0 1 −2 1 0 4s3 0 0 1 −2 1 7− Z

100 0 −36 −12 0 −648




1.3 Montagem duas pecas 17

1.3 Montagem duas pecas

1.3.1 Enunciado

Um produto em fabrico resulta duma montagem constituıda por duas pecas,A e B. Para a producao dessas pecas recorre-se a uma maquina M1 e acinco maquinas M2. A produtividade de cada maquina relativamente asduas pecas e a indicada na tabela 2:

Peca M1 M2A 3 20B 5 15

Tabela 2: Tempo de producao das pecas (em minutos por peca) A e B nasmaquinas M1 e M2

A carga das maquinas M2 e repartida igualmente pelas 5 maquinas. Oobjetivo do problema e saber como se pode obter o maximo de montagenscompletas por dia. Considere que um dia corresponde a 8 horas de trabalho.

(a) Apresente um modelo matematico para este problema.

(b) Considere agora a situacao em que tambem se pretende manter umautilizacao equilibrada entre as maquinas de modo que nenhuma de-las seja utilizada mais 30 minutos por dia do que qualquer outra dasmaquinas.

Sera possıvel resolver este novo problema por Programacao Linear?Justifique.




18 Modelacao

1.3.2 Resolucao

(a) • Variaveis de decisao

xA1 quantidade de pecas do tipo A a produzir na maquina M1;

xA2 quantidade de pecas do tipo A a produzir na maquina M2;

xB1 quantidade de pecas do tipo B a produzir na maquina M1;

xB2 quantidade de pecas do tipo B a produzir na maquina M2.

• Funcao objectivo

Pretende-se maximizar o numero de montagens completas:

max Z = min(xA1 + xA2, xB1 + xB2)

Esta funcao objetivo pode ser linearizada, acrescentando mais umavariavel auxiliar e duas restricoes:

max Z = Y

xA1 + xA2 ≥ Y

xB1 + xB2 ≥ Y

• Modelo

max Z = Y (1.15)

Sujeito a:

3xA1 + 5xB1 ≤ 8× 60 (minutos) (1.16)

20xA2 + 15xB2 ≤ 8× 60× 5 (minutos) (1.17)

xA1 + xA2 − Y ≥ 0 (1.18)

xB1 + xB2 − Y ≥ 0 (1.19)

xA1, xA2, xB1, xB2 ≥ 0 (1.20)

Onde 1.16 e 1.17 correspondem as restricoes de capacidade dasmaquinas 1 e 2 respectivamente (ha 5 maquinas tipo 2). As res-tricoes 1.18 e 1.19 sao as restricoes auxiliares para linearizacao dafuncao objectivo. Por ultimo, as restricoes 1.20 exigem que todasas variaveis sejam maiores ou iguais a zero.




1.3 Montagem duas pecas 19

(b) A restricao (nao linear) que modeliza a situacao pretendida nesta alıneae a seguinte: ∣∣∣∣(3xA1 + 5xB1)− 20xA2 + 15xB2

5

∣∣∣∣ ≤ 30

Simplificando obtem-se:

|3xA1 + 5xB1 − 4xA2 − 3xB2| ≤ 30 (1.21)

Para obter um modelo de Programacao Linear, sera necessario trans-formar a restricao 1.21 em duas restricoes lineares:

3xA1 + 5xB1 − 4xA2 − 3xB2 ≤ 30 (1.22)

−3xA1 − 5xB1 + 4xA2 + 3xB2 ≤ 30 (1.23)




20 Modelacao

1.4 A companhia de aviacao Benvoa

1.4.1 Enunciado

A companhia de aviacao Benvoa vai comprar avioes a jacto de passageiros,para viagens longas, medias e curtas, denominados de Al, Am e Ac, respecti-vamente.

Os custos unitarios, em milhoes de euros sao, respectivamente, de 5000,3800 e 2000. A administracao da companhia aprovou um orcamento maximode 112 000 milhoes de euros para esse efeito.

Admite-se que os lucros anuais com cada um dos tipos de aviao Al, Am eAc, sejam de 310, 230 e 200 milhoes de euros respectivamente.

Ha pilotos suficientes para pilotar, no maximo, 30 avioes novos.Se apenas fossem comprados avioes Ac, os servicos de manutencao seriam

capazes de garantir a manutencao de 40 avioes novos. Contudo, do ponto devista do esforco de manutencao, cada aviao Am equivale a 4/3 de um aviaoAc e cada aviao Al a 5/3 de um aviao Ac.

A direccao tecnica e ainda de opiniao que, por cada aviao Ac que sejacomprado, se comprem tambem pelo menos um aviao Al ou um aviao Am.

Por outro lado, seleccionado um aviao Al para comprar, tambem deveraoser comprados pelo menos 8 avioes Ac ou Am.

Com estes dados, a gestao da empresa deve decidir a quantidade de avioesde cada tipo a comprar, de modo a maximizar o lucro.

Formule este problema com um modelo de programacao linear.




1.4 A companhia de aviacao Benvoa 21

1.4.2 Resolucao

Variaveis de decisao

xc, xm, xl − no de avioes de cada tipo a comprar

Restricoes

Dinheiro disponıvel: 5000xl + 3800xm + 2000xc ≤ 112000Pilotos disponıveis: xl + xm + xc ≤ 30Manutencao: 5

3xl +

43xm + xc ≤ 40

Opiniao da direccao tecnica: xl + xm ≥ xcxc + xm ≥ 8xl

xc, xm, xl ≥ 0e inteiros

Funcao objectivo

max LUCRO = 310xl + 230xm + 200xc




22 Modelacao

1.5 Carga de navio

1.5.1 Enunciado

'" .,,1

p

ElO ElO

Uma companhia de navegacao possui um navio com 3 poroes de carga (aproa, a re e ao centro) possuindo os limites de capacidade apresentados natabela 3:

Porao Tonelagem Volume(toneladas) (m3)

Proa 2000 100000Centro 3200 140000

Re 1800 80000

Tabela 3: Limites de capacidade (em tonelagem e em volume) de cada umdos poroes

A empresa sao oferecidas as cargas da tabela 4, cada uma das quais podeser aceite parcial ou totalmente:

Carga Peso Volume por tonelada Lucro(toneladas) ( m3

tonelada ) ( eurotonelada )

A 7000 60 20B 6500 50 24C 4000 25 16

Tabela 4: Peso, volume e lucro associados a cada carga

A fim de preservar o equilıbrio do navio, a proporcao entre o peso em cadaporao e o volume respectivo deve ser a mesma que entre os correspondenteslimites de capacidade. Admita que em cada porao podem ser transporta-das partes de cargas diferentes. Pretende-se maximizar o lucro da empresa,relativo a utilizacao deste navio.

Construa um modelo de Programacao Linear para o problema apresen-tado.




1.5 Carga de navio 23

1.5.2 Resolucao

• Indices

i tipo de carga (A, B e C) i ∈ [1, 2, 3];

j tipo de porao (P, C, R) j ∈ [1, 2, 3].

• Variaveis de decisao

xij quantidade de carga i a transportar no porao j (em toneladas).


Pretende-se maximizar o lucro com o transporte das cargas i em todosos poroes j, o que corresponde a soma do lucro obtido com o transporteda carga A, com o lucro com transporte da carga B e da carga C.

maxZ = 20∑j

x1j + 24∑j

x2j + 16∑j

x3j (1.24)

• Restricoes ∑j

x1j ≤ 7000 (1.25)∑j

x2j ≤ 6500 (1.26)∑j

x3j ≤ 4000 (1.27)∑i

xi1 ≤ 2000 (1.28)∑i

xi2 ≤ 3200 (1.29)∑i

xi3 ≤ 1800 (1.30)

60x11 + 50x21 + 25x31 ≤ 100000 (1.31)

60x12 + 50x22 + 25x32 ≤ 140000 (1.32)

60x13 + 50x23 + 25x33 ≤ 80000 (1.33)

60x11+50x21+25x31∑i xi1

=100000

2000(1.34)

60x12+50x22+25x32∑i xi2

=140000

3200(1.35)

60x13+50x23+25x33∑i xi3

=80000

1800(1.36)

∀i,j xij ≥ 0 (1.37)




24 Modelacao

As restricoes 1.25, 1.26 e 1.27 garantem que nao se transporta maiscarga do que a que existe de cada um dos tipos. As restricoes 1.28, 1.29e 1.30 garantem que nao se ultrapassa a tonelagem maxima permitidaem cada um dos poroes. As restricoes 1.31, 1.32 e 1.33 garantem quenao se ultrapassa a capacidade (volume) maxima permitida em cadaum dos poroes. As restricoes 1.34, 1.35 e 1.36 garantem que se mantema proporcao entre o peso em cada porao e a respectiva capacidade. Porfim, as restricoes 1.37 garantem que todas as variaveis de decisao saomaiores ou iguais a zero.

• Modelo

O modelo apresentado (equacoes 1.24 a 1.37) pode ser reescrito daseguinte forma:

maxZ = 20∑j

x1j + 24∑j

x2j + 16∑j

x3j

∑j

x1j ≤ 7000∑j

x2j ≤ 6500∑j

x3j ≤ 4000∑i

xi1 ≤ 2000∑i

xi2 ≤ 3200∑i

xi3 ≤ 1800

60x11 + 50x21 + 25x31 ≤ 100000

60x12 + 50x22 + 25x32 ≤ 140000

60x13 + 50x23 + 25x33 ≤ 80000

10x11 − 25x31 = 0

−65x12 +−25x22 + 75x32 = 0

28x13 + 10x23 − 35x33 = 0

∀i,j xij ≥ 0




1.6 Producao e Distribuicao 25

1.6 Producao e Distribuicao

1.6.1 Enunciado

Duas fabricas, A e B, situadas em locais diferentes produzem ambas os pro-dutos P1 e P2. A fabrica A tem 3 maquinas e a fabrica B tem 2 maquinas.Todas as maquinas fazem os produtos P1 e P2. Depois de fabricados, osprodutos podem ser transportados entre as fabricas de modo a satisfazer aprocura. O numero de unidades produzidas por dia, os custos de producaoe de transporte, a procura dos produtos e o numero de dias em que cadamaquina esta disponıvel por mes estao indicados nas tabelas 5 e 6.

(a) Apresente um modelo geral (usando variaveis indexadas e coeficientesconvenientes a definir) que permita determinar os esquemas de utiliza-cao das maquinas em cada fabrica e de distribuicao dos produtos entreas fabricas, a que corresponda um custo total mınimo.

(b) Concretize o modelo para o caso descrito.

(c) Refira-se a resolucao do problema em questao.

Fabrica A BMaquina M1 M2 M3 M1 M2

Disponibilidade (dias) 30 28 24 26 28Produto P1 P2 P1 P2 P1 P2 P1 P2 P1 P2

Producao por dia 40 35 42 38 40 37 41 37 42 40Custo por dia 100 102 104 106 98 104 102 105 103 106

Tabela 5: Capacidades de producao das fabricas

Produto P1 P2

Fabrica A B A BProcura 1200 800 1500 1100

Custo de transporte A→ B = 4 B→ A = 4 A→ B = 3 B→ A = 4por unidade

Tabela 6: Procura e custos de transporte dos produtos




26 Modelacao

1.6.2 Resolucao

(a) • Indices

i fabricas (A e B) i ∈ [1, 2];

j maquinas (M1,M2,M3) j ∈ [1, 2, 3];

k produtos (P1 e P2) k ∈ [1, 2].


xijk numero de dias de producao durante um mes do produto k,na fabrica i, maquina j;

yik quantidade do produto k a transportar da fabrica i para aoutra fabrica.

• Coeficientes

cijk custo diario de producao do produto k, na fabrica i, maquinaj;

pijk producao diaria do produto k, na fabrica i, maquina j;

mij disponibilidade (em dias) da maquina j da fabrica i;

dik procura na fabrica i do produto k;

sik custo de transporte, a partir da fabrica i, do produto k.

• Modelo

Objectivo

minCusto =∑i,j,k

cijk × xijk +∑i,k

sik × yik (1.38)

∀i,k∑

j pijk × xijk − yik + yi′k ≥ dik (1.39)

∀i,j∑

k xijk ≤ mij (1.40)

∀i,k∑

j pijk × xijk − yik ≥ 0 (1.41)

∀i,j,k xijk, yik ≥ 0 (1.42)

As restricoes 1.39 garantem que a procura do produto k na fa-brica i e satisfeita. As restricoes 1.40 sao restricoes de capacidade(disponibilidade) das maquinas. As restricoes 1.41 garantem queso se transporta a partir de uma fabrica o que e produzido nessafabrica. Finalmente as restricoes 1.42 garantem que todas as va-riaveis tomam valores maiores ou iguais a zero.

(b) Concretize agora o modelo generico apresentado, de tal forma que cor-responda a situacao descrita no enunciado.




1.6 Producao e Distribuicao 27

(c) Ao resolver a alınea anterior, teve com certeza que tratar o caso dasvariaveis x231 e x232, dado que essas variaveis foram definidas no modelogenerico, mas na realidade nao existe nenhuma maquina 3 na fabrica2. Ha varias formas de resolver esta questao:

• quando se ”concretiza”o modelo, pode-se nao definir as variaveisem causa (ver resolucao do exercıcio 2);

• pode-se associar um valor nulo a producao nessa maquina naoexistente (p23k = 0) (sera que e suficiente?);

• pode-se associar um custo infinito (muito grande) a producaonessa maquina nao existente (c23k = ∞), dado que se trata deum problema de minimizacao e nessa situacao as variaveis seraonulas na solucao final;

• podem-se acrescentar restricoes do tipo x23k = 0.




28 Modelacao

1.7 Refinaria Petroleo

1.7.1 Enunciado

Uma refinaria de petroleo pode misturar 3 tipos de crude para produzir ga-solina normal e super.

A refinaria de petroleo tem duas unidades de mistura, uma unidade maisantiga e uma outra mais recente.

Para cada ciclo de producao, a unidade mais antiga usa 5 barris de crudeA, 7 barris de crude B e 2 barris de crude C para produzir 9 tanques degasolina normal e 7 de gasolina super. A unidade de mistura mais recenteusa, para cada ciclo de producao, 3 barris de crude A, 9 de B e 4 de C paraproduzir 5 tanques de gasolina normal e 9 de super.

Devido a contratos ja assinados, a refinaria tem que produzir, pelo menos,500 tanques de gasolina normal e 300 tanques de gasolina super.

Para essa producao existem em armazem 1500 barris de crude A, 1900 decrude B e 1000 de crude C.

Por cada tanque de gasolina normal produzida, a refinaria ganha 6 uni-dades monetarias e, por tanque de super, 9 unidades monetarias.

Pretende-se saber como utilizar as reservas de crude e as duas unida-des de mistura, de forma a maximizar o lucro da refinaria respeitando oscompromissos assumidos.




1.7 Refinaria Petroleo 29

1.7.2 Resolucao


x1 − no de ciclos de producao a realizar na unidade antiga

x2 − no de ciclos de producao a realizar na unidade nova

Restricoes Crude disponıvel:

Tipo A: 5x1︸︷︷︸gasto na

unidade

antiga

+ 3x2︸︷︷︸gasto na

unidade

nova

≤ 1500

Tipo B: 7x1 + 9x2 ≤ 1900Tipo C: 2x1 + 4x2 ≤ 1000

Contratos assinados:

Gasolina normal: 9x1︸︷︷︸produzido

na unidade

antiga

+ 5x2︸︷︷︸produzido

na unidade

nova

≥ 500

Gasolina super: 7x1 + 9x2 ≥ 300

E ainda:

x1, x2 ≥ 0

Funcao objectivo

max LUCRO =

gasolina normal︷︸︸︷6× ( 9︸︷︷︸

no de

tanques

por ciclo

x1︸︷︷︸no de

ciclos

︸︷︷︸unidade antiga

+ 5x2︸︷︷︸unidade nova

) +

gasolina super︷︸︸︷9× (7x1 + 9x2)




30 Modelacao

1.8 Arrendamento de Espaco num Armazem

(5M)

1.8.1 Enunciado

Uma empresa planeia arrendar espaco num armazem. As necessidades deespaco da empresa para os proximos 5 meses estao representadas na tabela7.

Os custos de arrendamento por metro quadrado e por duracao do perıodode arrendamento estao representados na tabela 8.

Construa um modelo que permita determinar o esquema de contratos aassinar, por forma a satisfazer as necessidades de espaco o mais economica-mente possıvel.

Mes Necessidade deespaco (m2)

1 15002 10003 20004 5005 2500

Tabela 7: Necessidades de espaco nos proximos 5 meses

Perıodo de arrendamento Custo por m2

(meses) ($)1 28002 45003 60004 73005 8400

Tabela 8: Custos de arrendamento por m2 para cada perıodo de arrenda-mento




1.8 Arrendamento de Espaco num Armazem (5M) 31

1.8.2 Resolucao


xij − espaco a arrendar no inıcio do mes i por um perıodo de j meses

Restricoes Que em cada mes esteja arrendado pelo menos o espaco neces-sario:

(mes 1)∑5

j=1 x1j ≥ 1500

(mes 2)∑5

j=2 x1j +∑4

j=1 x2j ≥ 1000

(mes 3)∑5

j=3 x1j +∑4

j=2 x2j +∑3

j=1 x3j ≥ 2000

(mes 4)∑5

j=4 x1j +∑4

j=3 x2j +∑3

j=2 x3j +∑2

j=1 x4j ≥ 500

(mes 5) x15 +x24 +x33 +x42 +x51 ≥ 2500xij ≥ 0

1≤i≤5, 1≤j≤6−i

Funcao objectivo

min CUSTO =

custo de arrendar

1 m2 por 1 mes︷︸︸︷2800

espaco arrendado

por 1 mes

(no inıcio do mes

1, 2, 3, 4 ou 5)︷︸︸︷5∑i=1

xi1 + 45004∑i=1

xi2 + 60003∑i=1

xi3

+ 73002∑i=1

xi4 + 8400 x15

Arrendamento de espaco num armazemResolucao mais compacta

Dados

Cj − custo de arrendar 1m2 por um perıodo de j meses

Ni − necessidade de espaco no mes i






32 Modelacao


∀i∑6−i

j=1 xij +∑i−1

k=1

∑6−kj=i+1−k xkj ≥ Ni

Funcao objectivo

5∑j=1

Cj ×6−j∑i=1

xij

Arrendamento de espaco num armazemResolucao mais compacta

Dados

Cj − custo de arrendar 1m2 por um perıodo de j meses

Ni − necessidade de espaco no mes i




∀i∑6−i

j=1 xij +∑i−1

k=1

∑6−kj=i+1−k xkj ≥ Ni

Funcao objectivo

5∑j=1

Cj ×6−j∑i=1

xij




1.9 Planeamento da Producao numa Fabrica de Papel 33

1.9 Planeamento da Producao numa Fabrica

de Papel

1.9.1 Enunciado

A maior fabrica de papel do mundo (vıdeo)

Carretel n Bobinas

n Laminas

Como se pode ver nas figuras, o papel e fabricado em rolos grandes tantoem largura como em diametro, conhecidos na industria por jumbos. Osjumbos sao divididos em rolos mais pequenos que podem ser vendidos direc-tamente a clientes ou que entao podem ser usados para cortar em formatos.

Consideremos uma empresa em que o papel e produzido em jumbos com6 metros de largura.

A partir destes jumbos de 6 metros e necessario produzir:

• 30 rolos com 280cm de largura,

• 60 rolos com 200cm de largura,

• 48 rolos com 150cm de largura.

Um jumbo de 6 metros poderia, por exemplo, ser dividido em 2 rolos de280cm, sobrando um “rolinho” de 40cm que e considerado desperdıcio.

Assumindo que existem jumbos em quantidade suficiente para satisfazeresta encomenda, o problema consiste em determinar a forma de cortar osjumbos minimizando o desperdıcio.

Construa o modelo de Programacao Matematica para este problema.




http://www.youtube.com/watch?v=BXutjvFrjCI

34 Modelacao

1.9.2 Resolucao

O primeiro passo para a formulacao deste problema passa por determinar dequantas formas pode um jumbo ser cortado. Para alem da forma sugerida noenunciado (2 rolos de 200cm, sobrando 40cm de desperdıcio) podem aindaser determinados 6 outros “padroes de corte” (ver tabela).

As variaveis de decisao (x1 a x7) correspondem ao numero de vezes quecada padrao de corte e aplicado no corte de um jumbo. A tabela seguinteapresenta ainda as quantidades pedidas de cada rolo, assim como o desper-dıcio gerado por cada padrao de corte.

Largura No de rolosdos rolos x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 pedidos

280 2 1 1 0 0 0 0 30200 0 1 0 3 2 1 0 60150 0 0 2 0 1 2 4 48

Desperdıcio 40 120 20 0 50 100 0

Exemplificando, x3 = 4 significa que se cortam 4 jumbos em 1 rolo de280cm e 2 rolos de 150cm, gerando um desperdıcio de 20cm. No total obtem-se 4 rolos de 280cm e 8 de 150cm (e nenhum de 200cm).

As restricoes vao estar directamente relacionadas com as quantidades derolos pequenos que e necessario cortar e e necessaria uma restricao por cadadimensao de rolo. Se a cada linha do sistema de inequacoes corresponde umtipo de rolo pequeno, a cada coluna correspondera um padrao de corte:

2x1 + x2 + x3 ≥ 30x2 + 3x4 + 2x5 + x6 ≥ 60

2x3 + x5 + 2x6 + 4x7 ≥ 48xi ≥ 0 ∀1≤i≤7

O objetivo do problema e minimizar o desperdıcio. Assim, a funcao ob-jetivo deste modelo tomara a forma:

min 40x1 + 120x2 + 20x3 + 50x5 + 100x6

E se as restricoes tiverem que ser satisfeitas como igualdades, isto e, e senao forem admitidas sobreproducoes?

Nesse caso como e que o modelo deve ser alterado?




1.10 Distribuicao 35

1.10 Distribuicao

1.10.1 Enunciado

Uma empresa tem duas fabricas e quatro armazens e vende produtos a seisclientes que podem ser abastecidos a partir dos armazens ou directamente apartir das fabricas. A empresa suporta os custos de distribuicao apresentadosnas tabelas 9 e 10. Os tracos indicam que a entrega correspondente nao serealiza.

OrigensDestinos Braganca Evora

Armazens (fabrica) (fabrica)Coimbra 0.5 —

Faro 1.0 0.2Lisboa 0.8 0.6Porto 0.4 0.8

Tabela 9: Custos de distribuicao (em 1000$ por ton.)

OrigensDestinos Braganca Evora Coimbra Faro Lisboa PortoClientes (fabrica) (fabrica) (armazem) (armazem) (armazem) (armazem)

C1 1.0 2.0 — 1.0 — —C2 — — 1.5 0.5 1.5 —C3 1.5 — 0.5 0.5 2.0 0.2C4 2.0 — 1.5 1.0 — 1.5C5 — — — 0.5 0.5 0.5C6 1.0 — 1.0 — 1.5 1.5

Tabela 10: Custos de distribuicao (em 1000$ por ton.)

Nas tabelas 11 e 12 estao representadas as capacidades mensais maximasdas fabricas e dos armazens. Na tabela 13, apresenta-se a procura tıpicamensal dos clientes.

Fabrica Capacidade(toneladas)

Braganca 150 000Evora 200 000

Tabela 11: Capacidade maxima mensal de producao das fabricas




36 Modelacao

Armazem Capacidade(toneladas)

Coimbra 70 000Faro 50 000Lisboa 100 000Porto 40 000

Tabela 12: Capacidade maxima mensal de fornecimento dos armazens

Cliente Procura mensal(toneladas)

C1 50 000C2 10 000C3 40 000C4 35 000C5 60 000C6 20 000

Tabela 13: Procura tıpica mensal dos clientes

O objetivo da empresa e a determinacao de uma estrategia optima dedistribuicao que satisfaca a procura respeitando as capacidades e limitacoesexistentes:

Construa um modelo de Programacao Linear para este problema.




1.10 Distribuicao 37

1.10.2 Resolucao

• Indices

i fabricas i ∈ [1, 2];

j armazens j ∈ [1, . . . , 4];

k clientes k ∈ [1, . . . , 6].


xij quantidade a enviar da fabrica i para o armazem j;

yik quantidade a enviar da fabrica i para o cliente k;

zjk quantidade a enviar do armazem j para o cliente k.

Como algumas das entregas nao podem ser efectuadas (tracos nas tabe-las), as variaveis de decisao correspondentes nao serao definidas. Umaoutra solucao para o problema consistiria em definir as variaveis todase restringir o valor dessas variaveis a zero.

As variaveis em causa sao entao:

x21, y12, y15, y22, y23, y24, y25, y26, z11, z15, z26, z31, z34, z41, z42


O objetivo pretendido e a minimizacao do custo Z, isto e:

min Z = 0.5x11 + 1.0x12 + 0.8x13 + 0.4x14

+0.2x22 + 0.6x23 + 0.8x24

+1.0y11 + 1.5y13 + 2.0y14 + 1.0y16

+2.0y21

+1.5z12 + 0.5z13 + 1.5z14 + 1.0z16

+1.0z21 + 0.5z22 + 0.5z23 + 1.0z24 + 0.5z25

+1.5z32 + 2.0z33 + 0.5z35 + 1.5z36

+0.2z43 + 1.5z44 + 0.5z45 + 1.5z46

• Restricoes

Cada fabrica tem uma capacidade maxima, o que quer dizer que asoma de todos os xij com todos os yik para uma dada fabrica i naopode exceder a capacidade da fabrica i.

Dado que existem duas fabricas, esse limite de capacidade resulta emduas restricoes.




38 Modelacao

Por exemplo para a fabrica de Braganca (i = 1):

x11 + x12 + x13 + x14 + y11 + y13 + y14 + y16 ≤ 150000 (1.43)

Tambem ha limites para a capacidade de fornecimento de um armazeme como ha quatro armazens, ha quatro restricoes do mesmo tipo.

Para o armazem de Coimbra (j = 1):

x11 ≤ 70000 (1.44)

Os pedidos dos clientes tambem devem ser satisfeitos e como ha 6 cli-entes, ha 6 restricoes do mesmo tipo.

Para o cliente C1 (k = 1):

y11 + y21 + z21 = 50000 (1.45)

E tambem necessario considerar as restricoes de continuidade para osarmazens, que obrigam a que nao saia mais mercadoria de um armazemdo que a que entra. Como ha 4 armazens, ha quatro restricoes domesmo tipo.

Para o armazem de Coimbra (j = 1):

z12 + z13 + z14 + z16 ≤ x11 (1.46)

Por fim, e necessario garantir que todas as variaveis tem valores maioresou iguais a zero:

x11, x12, x13, x14, x22, x23, x24, y11, y13, y14, y16, y21, z12, z13,

z14, z16, z21, z22, z23, z24, z25, z32, z33, z35, z36, z43, z44, z45, z46 ≥ 0 (1.47)

Complete agora o modelo!




1.11 Seleccao de Eventos na UPorto 39

1.11 Seleccao de Eventos na UPorto

Protocolo Universidade do Porto

Novo acordo de ~ com a Urivenlidade do POI to o ~nC<l SantaOOer l<>ltll • a UrWersiI!ode do Porto ...... rom urn .ooroo <Ie COOpoNa;ao, .,. otlf9o do _I 0 B.>neo ~_., ._ <Ie

ensno, ' weoti90;ao • ~~ culor.J do U~ do Porto com om v_ 0"".1 S"pooriof 0 om ml'>io <Ie toros, doront. 0' ~o""'" 5 aoos.

A UrW«s_ Porto, &d;.>!Iicou pot" CMCUrso 0 . rriooio 00 corti<> <Ie _tJflCO;ao """. ntMio ~" todo 0 "'" ool<c!r;o _ 29.000 ol>r>os, 3500 prof."",., • "",_os do

p<'Soool _istr&tm> • <los """""" lI<fois _ om . ,,,,. ,,,,", 0 pot" ""CO 0"'" 3<1 !!onco &Onto""'" lotto.

o Cortin U"".rsurio ntrill<nt. dispoolblzara 10M SOlJ.S thisr .. om C<W\jJnto .Ior~ <Ie

....m:;o. , 310m 00, ""ncirio' , corm . _tin <Ie errve.trro. no. _''''' , 0 eontr<>kl

<Ie 0= . <Iet~, ro_ • ~1JO""'"t .. <Ie _"'" """tont ...

o ~"'00010 .,.N<Io nWi t>rnt><m . at>ert"r. <Ie _. a~"". un",ersnn .. no. ;" I>Io~ <14 ;' '''">:;in aCO<lO~, 0 aindo 0 .~ 0 ootros prtI!<ctos <14 ~_, com:> "m ~09'amo <Ie boisa. <Ie __

o Rei", <14 U~O:I_ <10 P<>rto, Prof"...,.. OootOf Jose Mar_, <los Santos, nicio" • SL>O ~terv~ no """""'~ 011'"""""""" 0 ~tere .... do !!onoo ~ re~cioMm<nto oom. ~ott">:;in o~ _ dI'9<. Oeotocoo .... t. sen!oo _ a ooabo<o;ao _ <Xist. iii 49um tefr4Ml • • ofn_

q"" so foi oonoItuI><Io ""tre5O "'I"ip" <1M _ NtM:;ii .. foram fsc!o< .. IT4><>rt>nt.,. ~. a "rWers_ "" """"""to <Ie es.coJ\<f 0 &ontor.der

lolt4 """" ""_ ._. <10 corti<> "rWersurio.

o Pres_'e do C<J.T·u i O fxecW;o 00 !!onoo Santo"""r lot:.. Or. N""" _ t""'*"'" • S,," ~t<fV<1\"" Oil'"""""""" • ~ <14 re' orio 0

CMf,.n~ _ <Ie~,tor.m "" """co •• 1011'>_ 0 f.c!o <14 UrWersiI!ode do Porto ter q<>eIIfo<lo . tr&01i<;io, ""..". piooe" . m i>icior prolooolo' <Ie colo"",.,.., rom ~.tt">:;3es priv-' ~r. octi'liM<!es corm ",to: "po<Iem oontor "",,,,[,.00, _ oM tomt><m _torm, <Ie "" pione ..... q<>eIIfor

com 0' """t""""

http://www.santandertotta.pt/pagina/content/0,1564,1042_29502_1_1_1041_6_0,00.html

1.11.1 Enunciado parte 1

No ambito do acordo de cooperacao com o Santander Totta foi decidido investir 200 000e em eventosculturais e desportivos a organizar nos proximos 5 anos, com o objetivo de reforcar os lacos no seio daUniversidade e a marca UPorto na Cidade do Porto e no Paıs. A equipa da UPorto que preparou os dadospara decisao pelo Reitor foi pedido que, para cada evento proposto, fosse indicado o orcamento previstoe o numero estimado de pessoas que participariam.

Na data prevista foram apresentados ao Reitor os resultados do trabalho da equipa.

Evento Orcamento previsto Participantes“N’U.Porto tudo e teatro” 80 000e 100 000“A Ciencia n’U.Porto” 40 000e 10 000“Correr pel’U.Porto” 30 000e 10 000“Com U.Porto amanhecemos com livros” 15 000e 5 000“U.Porto por dentro” 10 000e 20 000“Festival de Tunas d’U.Porto” 30 000e 10 000“Depois das seis, U.Porto e Jazz” 40 000e 30 000“U.Porto sao so Coros” 20 000e 25 000“U.Porto nos caminhos do Porto” 25 000e 50 000“U.Porto sim U.Porto nao” 20 000e 30 000

Construa o modelo de programacao Linear que permitiria encontrar o melhor conjunto de eventos aorganizar, considerando que o Reitor da U.Porto pretendia maximizar o numero total de participantes.




http://www.santandertotta.pt/pagina/content/0,1564,1042_29502_1_1_1041_6_0,00.html

40 Modelacao

1.11.2 Enunciado parte 2Depois de analisar a solucao encontrada para o investimento a 5 anos, o Reitor pediu a mesma equipaque classificasse os diversos eventos nas categorias: Artes Performativas, Musica, Filosofia, Arquitectura,Literatura, Desporto e Ciencia, pois pretendia acrescentar ao modelo construıdo um conjunto de restricoesque lhe permitissem garantir que seria organizado pelo menos um evento de cada tipo.

De entre os eventos classificados como de Desporto e de Ciencia seria necessario apenas garantir queera organizado um.

Evento Artes perf. Musica Filosofia Arq. Lit. Desporto CienciaN’U.Porto tudo e teatro XA Ciencia n’U.Porto XCorrer pel’U.Porto XCom U.Porto amanhecemos com livros XU.Porto por dentro XFestival de Tunas d’U.Porto X XDepois das seis, U.Porto e Jazz X XU.Porto sao so Coros X XU.Porto nos caminhos do Porto XU.Porto sim U.Porto nao X




1.12 Aeroporto ALETROP 41

1.12 Aeroporto ALETROP

1.12.1 Enunciado

O aeroporto de Aletrop e a base dos avioes da companhia aerea PAT. Trata-se de um aeroporto moderno, e de uma empresa de aviacao em expansao,que pretende manter a sua competitividade num sector de actividade forte-mente concorrencial. O aumento de competitividade passa, nomeadamente,pela realizacao de dois objectivos, a melhoria da qualidade de servico e areducao dos custos de operacao. Por outro lado, a seguranca de uma com-panhia aerea e um aspecto de primordial importancia, estando intimamenteligado a manutencao. Para manter um aviao em boas condicoes tecnicas,procede-se a manutencao preventiva aos aparelhos da PAT, atraves de pe-quenas inspeccoes entre aterragem e posterior descolagem. A direccao daempresa esta tambem a considerar a hipotese de oferecer estes servicos demanutencao a outras companhias de aviacao, mesmo que para tal tenha queaumentar as equipas de manutencao. O elemento crucial nestas equipas e ochefe de manutencao, tecnico altamente qualificado, que necessita de fazerformacao especıfica para cada tipo de aviao e obter assim uma licenca im-prescindıvel para o desempenho dessas funcoes. A cada licenca correspondeuma categoria de avioes, existindo 4 licencas diferentes:

Tipos de licencas Avioes1 Boeing 717 (100 lugares)2 Boeing 777 (300 a 500 lugares)3 Airbus A319 (124 lugares)4 Airbus A340 (350 lugares)

Cada tecnico pode ter no maximo 2 licencas. A primeira licenca demoravarios anos a obter, sendo portanto mais cara para a empresa, enquantoa segunda licenca demora menos anos a obter, ficando naturalmente maisbarata. O custo da segunda licenca depende ainda da licenca anterior queo tecnico possui. Actualmente existem 9 equipas de manutencao, cada umachefiada por um tecnico licenciado, que funcionam em 3 turnos.




42 Modelacao

Custo (M$)Licenca Licenca a tiraranterior

1 2 3 40 2 4 2 41 - 1 2 32 1 - 2 33 1 3 - 24 1 2 1 -

Turno Chefe de equipa Tipo de licenca1 1, 2

1 2 13 24 3, 4

2 5 26 37 4

3 8 3, 49 3

Para poder oferecer servicos a outras companhias de aviacao, a empresapretende que existam 4 licencas de cada tipo, no conjunto dos chefes demanutencao. Isto pode ser conseguido enviando para formacao actuais chefesde equipa (portanto tecnicos que ja possuem 1 licenca) ou outros tecnicos queainda nao possuem nenhuma licenca. No entanto, de cada turno so poderasair, no maximo, 1 chefe de equipa para formacao. Escreva um modelo deprogramacao matematica que permita determinar a polıtica de obtencao delicencas que minimiza os custos para a Aletrop.




1.12 Aeroporto ALETROP 43

1.12.2 Resolucao


xij =

{1 se tecnico i tira licenca j0 se nao

A empresa pretende que existam 4 licencas de cada tipo, num total de 16licencas. Como, no conjunto dos chefes de manutencao existentes, ja existem12 licencas, sao necessarias mais 4 licencas, que no limite poderao ser todasobtidas por tecnicos novos. Nesse caso o numero maximo de tecnicos, ındicei na formulacao, sera igual a 13, 9 ja existentes e 4 novos.

Restricoes A empresa pretende que existam 4 licencas de cada tipo, noconjunto dos chefes de manutencao:∑13

i=1 xi1 = 2∑13i=1 xi2 = 1∑13i=1 xi3 = 0∑13i=1 xi4 = 1

Um tecnico pode ter no maximo 2 licencas e os tecnicos novos so poderaoobter nesta fase uma licenca1:∑4

j=1 xij ≤ 1 ∀i∈{2,3,5,6,7,9,10,11,12,13}∑4j=1 xij = 0 ∀i∈{1,4,8}

De cada turno so podera sair, no maximo, 1 chefe de equipa para forma-cao: ∑4

j=1

∑3i=1 xij ≤ 1∑4

j=1

∑6i=4 xij ≤ 1∑4

j=1

∑9i=7 xij ≤ 1

Cada tecnico so pode obter 1 vez a mesma licenca:

x21 = x32 = x52 = 0x63 = x74 = x93 = 0

1Esta restricao nao vem referida explicitamente no enunciado, no entanto pode-se inferirque nao havera disponibilidade de tempo para que um tecnico novo obtenha duas licencas.




44 Modelacao

Funcao objectivo

ckj = custo de tirar licenca j dado que ja se tem licenca k

min4∑j=1

13∑i=10

c0jxij +∑i∈{6,9}

c3jxij +∑i∈{3,5}

c2jxij + c1jx2j + c4jx7j




1.13 Urbanizacao 45

1.13 Urbanizacao

1.13.1 Enunciado

A empresa Latifundios e Companhia pretende urbanizar uma das suas gran-des propriedades. A propriedade divide-se em 3 zonas, Z1, Z2 e Z3, comcaracterısticas bastante diferentes em termos de relevo, localizacao e tipo desubsolo, tal como se pode verificar nas fotografias apresentadas a seguir.

A urbanizacao devera incluir areas para fins residenciais, R, areas verdes,V e areas para equipamentos sociais, E. Pretende-se conhecer as areas aatribuir a R, V , e E nas zonas Z1, Z2 e Z3.

Custos O custo da construcao de cada tipo de area (R, V ou E) em cadauma das zonas Z1, Z2 ou Z3, e proporcional a respectiva area de construcao,sendo as constantes de proporcionalidade diferentes entre si e conhecidas.

Areas mınimas de construcao E necessario construir pelo menos K hec-tares de Ar.

Proporcionalidade entre tipos de areas E necessario garantir que oquociente areaE

areaRseja ≥ l e que o quociente areaV

areaRseja ≥ m.

(a) Formule o problema nas seguintes condicoes (sera um modelo de Pro-gramacao Linear?):

(i) As condicoes relativas a l e m devem ser satisfeitas em cada zona.

(ii) As condicoes relativas a l e m devem ser satisfeitas para o conjuntode Z1, Z2 e Z3.

(b) Qual a relacao de ordem existente entre o custo total da solucao optimacalculavel em (i) e em (ii)? Justifique.

(c) Formule o problema como em (ii) mas admitindo que, se as areas paraE forem maiores que p, entao as areas para V serao maiores que q (p eq conhecidos).




46 Modelacao

1.13.2 Resolucao

(a)


ARi − no de hectares da zona i para fins residenciais

AV i − no de hectares da zona i para areas verdes

AEi − no de hectares da zona i para equipamentos sociais

Restricoes -(i)

∑3i=1 ARi ≥ K (1.48)

∀i∈1,2,3AEi

ARi≥ l (1.49)

∀i∈1,2,3AV i

ARi≥ m (1.50)

∀i∈1,2,3 ARi, AV i, AEi ≥ 0 (1.51)

(ii)

∑3i=1 ARi ≥ K (1.52)

∀i∈1,2,3

∑3i=1 AEi∑3i=1 ARi

≥ l (1.53)

∀i∈1,2,3

∑3i=1 AV i∑3i=1 ARi

≥ m (1.54)

∀i∈1,2,3 ARi, AV i, AEi ≥ 0 (1.55)

Nota:Poder-se-ia ainda introduzir uma restricao referente ao espaco total dis-

ponıvel em cada zona i, AZi, e que nao pode ser ultrapassado. Embora nao

mencionada explicitamente no enunciado ela e inerente ao problema:

∀i∈1,2,3 ARi + AEi + AV i ≤ AZi(1.56)

Funcao objectivo

min∑3

i=1(KRi ARi +KV i AV i +KEi AEi) (1.57)




1.13 Urbanizacao 47

(b)O custo da solucao optima em (i) sera sempre maior ou igual do que o

custo da solucao optima em (ii) pois a formulacao em (i) e mais restritiva doque a formulacao em (ii).

(c)Num Modelo de Programacao Linear a regiao das solucoes admissıveis

e obtida pela conjuncao das restricoes formuladas no modelo. Nesta alıneapretende-se modelizar a seguinte implicacao de condicoes:

3∑i=1

AEi > p ⇒3∑i=1

AV i ≥ q

A implicacao de condicoes e modelizada com o auxılio de uma variavelde decisao suplementar e de um majorante para os valores que as condicoespossam tomar.

Consideremos entao que A = AZ1 + AZ2 + AZ3 e a area total disponıvelnas 3 zonas. Sendo A a area total e evidente que

∑3i=1AEi ≤ A e que∑3

i=1 AV i ≤ A, ou seja, A e um majorante destes somatorios.Tomando entao uma variavel auxiliar inteira binaria δ ∈ {0, 1}, a impli-

cacao pode ser formulada do seguinte modo:

3∑i=1

AEi − p− δA ≤ 0 (1.58)

q −3∑i=1

AV i − (1− δ)A ≤ 0 (1.59)

δ ∈ {0, 1} (1.60)

Para verificarmos que as inequacoes 1.58 a 1.60 modelizam a implicacaode condicoes devemos relembrar que para que uma implicacao a ⇒ b sejaverdadeira e preciso que se a for verdadeira entao b tambem o seja e que seb for falsa entao a tambem o seja.

De facto, se∑3

i=1AEi > p entao para que a restricao 1.58 se verifique eforcoso que δ = 1. Ora δ = 1 transforma 1.59 em

∑3i=1AV i ≥ q, como se

pretendia.Se, por outro lado,

∑3i=1AV i < q entao, para que 1.59 se verifique e

forcoso que δ = 0. Com δ = 0 a restricao 1.58 fica∑3

i=1AEi ≤ p, como sequeria demonstrar.




48 Modelacao

1.14 Estaleiro do ShopShopping

1.14.1 Enunciado parte 12Antes de dar inıcio a construcao do ShopShopping, Feimiro necessita dedefinir a localizacao dos estaleiros da obra. Para tal comecou por dividir aarea de construcao em sectores, tal como se representa na figura seguinte:

AB

C

DE

F

G

H

I

Sabe-se que e possıvel montar no maximo um estaleiro em cada sectore a empresa de Feimiro, a unica que esta habilitada a montar estaleiros emplataformas marıtimas, monta estaleiros de dois tipos:

Estaleiro tipo α Estaleiro simples, com uma capacidade de movimentacaoe armazenamento de 1 000 toneladas de materiais durantetoda a obra. Os estaleiros tipo α so podem fornecer osector onde estao instalados

Estaleiro tipo β Grande estaleiro, com uma capacidade de movimentacaoe armazenamento de 5 000 toneladas de materiais du-rante toda a obra. Os estaleiros tipo β podem fornecerqualquer sector.

Por imposicao das empresas de construcao envolvidas, se for montado umestaleiro α no sector B, entao e necessario montar um estaleiro β no sectorA ou um estaleiro α no sector C.

Por imposicoes regulamentares, o numero mınimo de estaleiros a montarnuma obra desta natureza e com esta area de construcao e 7.

Os custos de montagem de um estaleiro tipo α ou β num determinadosector estao representados na tabela seguinte (em ke).

2Exame da LEEC da FEUP em 2008.01.28




1.14 Estaleiro do ShopShopping 49

Sector A B C D E F G H IEst α 100 100 100 100 100 200 100 50 100Est β 300 300 300 400 200 300 200 100 300

Os custos de funcionamento dos estaleiros tambem foram determinadose sao independentes do tipo de estaleiro. Por cada tonelada de materialque seja deslocado de um estaleiro para obras no sector onde o estaleiro seencontra, o custo e de 100e. A deslocacao de materiais de um estaleiro deum sector para obras de um outro sector custa 200e por tonelada.

As previsoes das necessidades totais de materiais para as obras em cadasector estao representadas na tabela seguinte (em toneladas).

Sector A B C D E F G H INec. materiais 1000 2000 5000 5000 1000 1500 2000 3000 4000

Construa o modelo de programacao linear para este problema.


20 minutos depois de Feimiro ter apresentado o problema completo, ja lhevai entregar o modelo pedido, pensando que pode ir descansado para casa.No entanto, Feimiro esteve entretanto a pensar e quer acrescentar mais umarestricao ao problema.

“Pensei que podera custar menos dinheiro se se obrigar que cada sectorseja alimentado por um e um so estaleiro. Deve ser facil alterar o modelo, eja que fez grande parte do trabalho em tao pouco tempo, ira gastar com estapequena alteracao no maximo 2 minutos.”

(a) Sera que Feimiro vai gastar menos dinheiro neste caso? Porque?

(b) Esta nova ideia de Feimiro ira implicar uma alteracao realmente pe-quena?

(c) Construa o novo modelo.




50 Modelacao

1.14.3 Resolucao parte 1

Resolucao por extenso


xαA, xαB, xαC , xαD, xαE, xαF , xαG, xαH , xαI ,xβA, xβB, xβC , xβD, xβE, xβF , xβG, xβH , xβI

=

{1 se estaleiro tipo α ou β e montado no sector A, B, C, D, E, F, G, H ou I0 se nao

Funcao Objectivo Pretende-se minimizar a soma dos custos de montagemdos estaleiros com os custos de movimentacao de materiais.

min CUSTO =

Custos de montagem

50000xαH

+ 100000(xαA + xαB + xαC + xαD + xαE + xαG + xαI + xβH)

+ 200000(xαF + xβE + xβG)

+ 300000(xβA + xβB + xβC + xβF + xβI)

+ 400000xβD

Custos de funcionamento =

Custos de movimentacao dos materiais vindos do estaleiro do proprio sector +

custos de movimentacao dos materiais vindos dos estaleiro dos restantes sectores

+ 100× (1000xαA + 1000xβA) + 200× [1000− (1000xαA + 1000xβA)]

+ 100× (1000xαB + 2000xβB) + 200× [2000− (1000xαB + 2000xβB)]

+ 100× (1000xαC + 5000xβC) + 200× [5000− (1000xαC + 5000xβC)]

+ 100× (1000xαD + 5000xβD) + 200× [5000− (1000xαD + 5000xβD)]

+ 100× (1000xαE + 1000xβE) + 200× [1000− (1000xαE + 1000xβE)]

+ 100× (1000xαF + 1500xβF ) + 200× [1500− (1000xαF + 1500xβF )]

+ 100× (1000xαG + 2000xβG) + 200× [2000− (1000xαG + 2000xβG)]

+ 100× (1000xαH + 3000xβH) + 200× [3000− (1000xαH + 3000xβH)]

+ 100× (1000xαI + 4000xβI) + 200× [4000− (1000xαI + 4000xβI)]

Restricoes So se pode montar no maximo um estaleiro em cada sector:





xαA + xβA ≤ 1

xαB + xβB ≤ 1

xαC + xβC ≤ 1

xαD + xβD ≤ 1

xαE + xβE ≤ 1

xαF + xβF ≤ 1

xαG + xβG ≤ 1

xαH + xβH ≤ 1

xαI + xβI ≤ 1

Se for montado um estaleiro do tipo α no sector B entao e necessariomontar um estaleiro β no sector A ou um estaleiro α no sector C:

xαB ≤ xβA + xαC

O numero mınimo de estaleiros a instalar e 7:

xαA + xαB + xαC + xαD + xαE + xαF + xαG + xαH + xαI

+xβA + xβB + xβC + xβD + xβE + xβF + xβG + xβH + xβI ≥ 7

Satisfacao das necessidades de materiais:

1000(xαA + xαB + xαC + xαD + xαE + xαF + xαG + xαH + xαI)

+5000(xβA + xβB + xβC + xβD + xβE + xβF + xβG + xβH + xβI) ≥1000 + 2000 + 5000 + 5000 + 1000 + 1500 + 2000 + 3000 + 4000

Resolucao compacta

Indices

tipo de estaleiro e ∈ {α, β}

sector onde esta o estaleiro s ∈ {A,B,C,D,E, F,G,H, I}




52 Modelacao

Dados

Cape capacidade total durante a obra (em toneladas) do estaleiro tipo e.

Necs necessidade total de materiais durante a obra (em toneladas) do sectors.

ces custo de montagem de um estaleiro tipo e no sector s.


xes

{1 se estaleiro tipo e e montado no sector s0 se nao

(1.61)

Funcao Objectivo Pretende-se minimizar a soma dos custos de montagemdos estaleiros com os custos de movimentacao de materiais.

Custos de montagem dos estaleiros:

∑e,s

ces × xes (1.62)

Custos de movimentacao de materiais (soma do custo de movimen-tacao dos materiais do estaleiro para o sector onde esta montado com o custoda movimentacao dos materiais do estaleiro para outros sectores):

Custo de movimentacao dos materiais de cada um dos estaleiros para osector onde o estaleiro esta montado:

100×∑e,s

xes ×min(Cape,Necs) (1.63)

Custo de movimentacao dos materiais do estaleiro para outros sectores:

200× (∑s

Necs −∑e,s

xes ×min(Cape,Necs)) (1.64)

Restricoes ∑e

xes ≤ 1 ∀s (1.65)∑s

xαs ×min(Capα,Necs) +∑s

xβs ×Capβ ≥∑

s Necs (1.66)∑e,s

xes ≥ 7 (1.67)





As restricoes (1.65) indicam que so se pode montar no maximo um esta-leiro em cada sector.

A restricao (1.66) assegura que ha capacidade disponıvel para alimen-tar todos os estaleiros. Como um estaleiro tipo α so pode alimentar o sec-tor onde esta montado, a capacidade disponıvel nesse estaleiro sera igual amınimo(Capα,Necs). Os estaleiros β terao que satisfazer as restantes ne-cessidades.

As restricoes (1.67) impoem um numero mınimo de estaleiros a montar(7 neste caso).

A imposicao que seja montado um estaleiro β no sector A ou um estaleiroα no sector C se for montado 1 estaleiro α no sector B representa-se com arestricao (1.68).3

xαB ≤ xβA + xαC (1.68)


(a) Feimiro esta a introduzir mais restricoes ao problema, por isso o custoda solucao optima obtida depois de acrescentadas as restricoes so podeter um valor maior ou igual ao custo da solucao optima anterior (ouentao ele esta a pensar noutros custos que nao referiu na alınea (a)).

(b) A alteracao ao modelo inicial e bastante grande, dado que vai ser neces-sario que as variaveis de decisao passem a ter informacao sobre quaisos estaleiros que alimentam um determinado sector.

(c) –

Indices

tipo de estaleiro e ∈ {α, β}sector onde esta o estaleiro s ∈ {A,B,C,D,E, F,G,H, I}sector alimentado por estaleiro k ∈ {A,B,C,D,E, F,G,H, I}

3A tabela de verdade da implicacao e a seguinte:

xαB xβA + xαC V/F0 0 V0 1 V0 2 V1 0 F1 1 V1 2 V




54 Modelacao

Dados

Cape capacidade total durante a obra (em toneladas) do estaleiro tipoe.

Necs necessidade total de materiais durante a obra (em toneladas) dosector s.

ces custo de montagem de um estaleiro tipo e no sector s.


xes

{1 se estaleiro tipo e e montado no sector s0 se nao

(1.69)

ysk

{1 se estaleiro montado no sector s alimenta o sector k0 se nao

(1.70)

Funcao Objectivo Pretende-se minimizar a soma dos custos de mon-tagem dos estaleiros com os custos de movimentacao de materiais.

Custos de montagem dos estaleiros:

∑e,s

ces × xes (1.71)

Custos de movimentacao de materiais (soma do custo de movi-mentacao dos materiais do estaleiro para o sector onde esta montadocom o custo da movimentacao dos materiais do estaleiro para outrossectores):

Custo de movimentacao dos materiais de cada um dos estaleiros parao sector onde o estaleiro esta montado:

100×∑s

yss ×Necs (1.72)

Custo de movimentacao dos materiais do estaleiro para outros sectores:

200× (∑s

Necs −∑s

yss ×Necs) (1.73)





Restricoes ∑e

xes ≤ 1 ∀s (1.74)∑s

ysk ≤ 1 ∀k (1.75)

xαs ×Capα ≥ yss ×Necs ∀s (1.76)

xβs ×Capβ ≥∑

k (ysk ×Neck) ∀s (1.77)∑e,s

xes ≥ 7 (1.78)

xαB ≤ xβA + xαC (1.79)

As restricoes (1.74) indicam que se pode montar no maximo um esta-leiro em cada sector.

As restricoes (1.75) asseguram que cada sector so pode ser alimentadopor um estaleiro.

As restricoes (1.76) e (1.77) garantem que um estaleiro so pode ali-mentar um conjunto de sectores se existir e se tiver capacidade paraalimentar completamente todos esses sectores. Os estaleiros α so po-dem alimentar o sector em que se encontram.

As restricoes (1.78) impoem um numero mınimo de estaleiros a montar(7 neste caso).

A imposicao que seja montado um estaleiro β no sector A ou umestaleiro α no sector C se for montado um estaleiro α no sector Brepresenta-se com a restricao (1.79).




56 Modelacao

1.15 Escalonamento de recursos humanos


Um posto de correios requer para funcionar um numero diferente de traba-lhadores a tempo inteiro em cada dia da semana:

No mınimo de funcionariosSegunda 17Terca 13Quarta 16Quinta 19Sexta 14Sabado 16Domingo 11

As leis laborais impoem que cada funcionario trabalhe 5 dias consecutivos,seguidos de 2 dias de folga. Por exemplo, um funcionario que trabalhe deSegunda a Sexta tera que estar de folga no Sabado e no Domingo. O postode correios pretende pois satisfazer as necessidades diarias de trabalhadoresrecorrendo apenas a funcionarios a tempo inteiro. O objetivo e minimizar onumero de funcionarios a tempo inteiro.


Suponha agora que as necessidades de mao-de-obra podem ser satisfeitas querpor funcionarios a tempo inteiro quer por funcionarios a tempo parcial. Umfuncionario a tempo inteiro trabalha 8 horas por dia, enquanto um funcionarioa tempo parcial trabalha 4 horas por dia, mantendo-se as restantes condicoeslaborais. No entanto, acordos com os sindicatos limitam a 25% do total apercentagem de funcionarios a tempo parcial. Sabendo que o custo horariode um funcionario a tempo inteiro e de 15 euros e o de um funcionario atempo parcial e de 10 euros, determine o escalonamento dos funcionarios queminimiza o custo global com recursos humanos.


Considere agora que cada funcionario pode fazer um dia de trabalho extra-ordinario por semana. Por exemplo, a um funcionario cujo turno de trabalhoseja de Segunda a Sexta pode ser pedido que trabalhe ainda no Sabado.A remuneracao por hora de trabalho extraordinario corresponde a 150% daremuneracao base.




1.15 Escalonamento de recursos humanos 57


Considere novamente a situacao inicial, das necessidades de mao-de-obra se-rem satisfeitas unicamente por funcionarios a tempo inteiro. Considere aindaque o posto de correios tem 25 funcionarios contratados. Determine o escalo-namento que maximiza o numero de folgas em dias de fim-de-semana (Sabadoou Domingo).


Apesar de se ter minimizado o numero de trabalhadores com turnos de fim-de-semana, esses turnos existem e tem que ser cobertos. Como resolveria oproblema de, ao longo do ano, garantir uma escala justa e equilibrada paratodos os trabalhadores em termos de dias de fim-de-semana ocupados?




58 Modelacao


Variaveis de decisao xi – numero de trabalhadores que comecarao o seuperıodo de 5 dias de trabalho no dia i, i = 1 . . . 7 (1=Segunda,. . .,7=Domingo)

Restricoes Em cada dia tem que se ter o numero de funcionarios mınimo atrabalhar. Note-se que, por exemplo, a Segunda-Feira estao a trabalhar naoso os funcionarios que iniciam o seu perıodo de 5 dias a Segunda, mas tambemtodos os que iniciaram esse perıodo na semana anterior na Quinta-Feira oudepois.

x1 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 17x1 + x2 + x5 + x6 + x7 ≥ 13x1 + x2 + x3 + x6 + x7 ≥ 16x1 + x2 + x3 + x4 + x7 ≥ 19x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 14

x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 16x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 11

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ≥ 0 e inteiros

Funcao objectivo

minx1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7


Variaveis de decisao Teremos agora que considerar tambem os funciona-rios a tempo parcial:

xi – numero de trabalhadores a tempo inteiro que comecarao o seu perıodode 5 dias de trabalho no dia i, i = 1 . . . 7 (1=Segunda,. . .,7=Domingo)

yi – numero de trabalhadores a tempo parcial que comecarao o seu perıodode 5 dias de trabalho no dia i, i = 1 . . . 7 (1=Segunda,. . .,7=Domingo)

Restricoes As necessidades de mao-de-obra em cada um dos 7 dias dasemana terao agora que ser expressas em termos de horas de trabalho enao de numero de funcionarios. As proximas sete restricoes garantem asnecessidades para cada um dos dias da semana.





8x1 + 87∑i=4

xi + 4y1 + 47∑i=4

yi ≥ 136

82∑i=1

xi + 87∑i=5

xi + 42∑i=1

yi + 47∑i=5

yi ≥ 104

83∑i=1

xi + 87∑i=6

xi + 43∑i=1

yi + 47∑i=6

yi ≥ 128

84∑i=1

xi + 8x7 + 44∑i=1

yi + 4y7 ≥ 152

85∑i=1

xi + 45∑i=1

yi ≥ 112

86∑i=2

xi + 46∑i=2

yi ≥ 128

87∑i=3

xi + 47∑i=3

yi ≥ 88

A equacao seguinte garante a restricao imposta pelos sindicatos, que li-mitam a 25% do total a percentagem de funcionarios a tempo parcial.

7∑i=1

yi − 0.257∑i=1

(xi + yi) ≤ 0

xi, yi ≥ 0 e inteiros ∀i

Funcao objectivo Minimizacao do custo total das contratacoes por 5 dias.

min 5 ∗ (15 ∗ 8 ∗7∑i=1

xi + 10 ∗ 4 ∗7∑i=1

yi)


Variaveis de decisao Teremos que juntar agora novas variaveis corres-pondentes ao numero de funcionarios que fazem um dia de trabalho extra.




60 Modelacao

zi – numero de trabalhadores a tempo inteiro que comecarao no dia i,i = 1 . . . 7 (1=Segunda,. . .,7=Domingo), o seu perıodo de 5 dias de trabalhomais um dia de trabalho extra.

wi – numero de trabalhadores a tempo parcial que comecarao no dia i,i = 1 . . . 7 (1=Segunda,. . .,7=Domingo), o seu perıodo de 5 dias de trabalhomais um dia de trabalho extra.

Restricoes

8(x1 + z1) + 8z3 + 87∑i=4

(xi + zi) + 4(y1 + w1) + 4w3 + 47∑i=4

(yi + wi) ≥ 136

82∑i=1

(xi + zi) + 8z4 + 87∑i=5

(xi + zi) + 42∑i=1

(yi + wi) + 4w4 + 47∑i=5

(yi + wi) ≥ 104

83∑i=1

(xi + zi) + 8z5 + 87∑i=6

(xi + +zi)43∑i=1

(yi + wi) + 4w5 + 47∑i=6

(yi + wi) ≥ 128

84∑i=1

(xi + zi) + 8z6 + 8x7 + 44∑i=1

(yi + wi) + 4w6 + 4y7 ≥ 152

85∑i=1

(xi + zi) + 8z7 + 45∑i=1

(yi + wi) + 4w7 ≥ 112

8z1 + 86∑i=2

(xi + zi) + 4w1 + 46∑i=2

(yi + wi) ≥ 128

8z2 + 87∑i=3

(xi + zi) + 4w2 + 47∑i=3

(yi + wi) ≥ 88

7∑i=1

yi − 0.257∑i=1

(xi + yi) ≤ 0

∀ixi, yi, zi, wi ≥ 0 e inteiros

Funcao objectivo

min 15∗8∗5∗7∑i=1

xi+10∗4∗57∑i=1

yi+15∗8∗(5+1.5)7∑i=1

zi+10∗4∗(5+1.5)7∑i=1

wi






Variaveis de decisao xi – numero de trabalhadores que comecarao o seuperıodo de 5 dias de trabalho no dia i, i = 1 . . . 7 (1=Segunda,. . .,7=Domingo)

Restricoes Em cada dia tem que se ter o numero mınimo de funcionariosa trabalhar e nao se pode ter mais que 25 funcionarios a trabalhar. No seuconjunto as escalas tem que incorporar 25 funcionarios.

x1 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 17x1 + x2 + x5 + x6 + x7 ≥ 13x1 + x2 + x3 + x6 + x7 ≥ 16x1 + x2 + x3 + x4 + x7 ≥ 19x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 14

x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 16x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 11

x1 + x4 + x5 + x6 + x7 ≤ 25x1 + x2 + x5 + x6 + x7 ≤ 25x1 + x2 + x3 + x6 + x7 ≤ 25x1 + x2 + x3 + x4 + x7 ≤ 25x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≤ 25

x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≤ 25x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≤ 25

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 25x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ≥ 0 e inteiros

Funcao objectivo A funcao objetivo e agora minimizar o numero de tra-balhadores que pertencem a turnos que trabalhem ao Sabado (dia 6) ou aoDomingo (dia 7), tendo em atencao que alguns turnos sao particularmentepenalizantes por ocuparem simultaneamente o Sabado e o Domingo.

minx2 + 2x3 + 2x4 + 2x5 + 2x6 + x7


O problema de escalonamento de recursos humanos aqui resolvido e do tipoestatico porque assume que o posto de correios enfrenta a mesma situacaosemana apos semana. No entanto, afectar um funcionario permanentementea uma escala traduz-se numa situacao de injustica e desiquilıbrio potenci-adora de instabilidade laboral e de atritos entre funcionarios que em nada




62 Modelacao

contribuem para uma harmoniosa gestao de recursos humanos. A solucaopassa portanto por fazer os funcionarios rodar pelas varias escalas.

Suponha entao a seguinte solucao para o problema de escalonamento se-manal:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

8 6 0 7 0 4 0

Poderıamos agora criar um ciclo de 25 semanas com a seguinte escala:

Semana 1–8 Inıcio a SegundaSemana 9–14 Inıcio a TercaSemana 15–21 Inıcio a QuintaSemana 22–25 Inıcio ao Sabado

Seguindo esta escala, o funcionario 1 comecaria na semana 1 da escala, ofuncionario 2 comecaria na semana 2 e assim sucessivamente. Por exemplo,o funcionario 5 faria 4 semanas o turno que se inicia a Segunda, depois faria6 semanas o turno que se inicia a Terca, 7 semanas o turno que se inicia aQuinta, 4 semanas o turno que se inicia ao Sabado e, finalmente, 4 semanas oturno que se inicia a Segunda, fechando o ciclo de 25 semanas e recomecandode novo.

Desta forma todos os funcionarios passariam de uma forma equilibrada ejusta por todos os turnos.




1.16 SuperBoa 63

1.16 SuperBoa

1.16.1 Enunciado

A SUPERBOA e uma cerveja produzida em 3 fabricas e e distribuıda apartir de 10 armazens principais.

Recentemente pediram-nos para construir um modelo matematico para oproblema da determinacao da estrategia optima mensal de producao, trans-porte e venda da SUPERBOA. Para tal foi necessario fazer o levantamentode um conjunto alargado de informacoes necessarias para construir o modelo.

Informacoes relativas as fabricas

• Em cada mes a fabrica i, i = 1, 2, 3, produz no maximo ai quilolitrosde cerveja em regime normal, com um custo ri e/kl.

• Qualquer fabrica tambem pode trabalhar em regime extraordinario,produzindo nessa situacao um maximo de bi quilolitros com um custosi e/kl. (si > ri).

Informacoes relativas ao transporte

• O custo de transporte da fabrica i para o armazem j, j = 1, . . . , 10, ede cij e/kl.

• Toda a cerveja produzida num dado mes pode ser transportada, nomesmo mes, para os postos de distribuicao.

Informacoes relativas a distribuicao e venda

• No posto j a procura e de dj kl.

• A procura podera nao ser satisfeita, contudo:

– cada kl distribuıdo no armazem j rende αje;

– cada kl que fique por distribuir penaliza a empresa em βje.

• Se a quantidade de cerveja transportada para o armazem j exceder aprocura nesse armazem, o excesso pode ser vendido, em quantidadesilimitadas, para um armazem de revenda ao preco de γj e/kl, comγj < αj.

Construa o modelo de programacao linear para o problema da determina-cao da estrategia optima mensal de producao, transporte e venda da cervejaSUPERBOA.




64 Modelacao

1.16.2 Resolucao

Indices

i fabricas i ∈ [1, . . . , 3];

j armazens j ∈ [1, . . . 10].


y1i quantidade de kl de cerveja a produzir na fabrica i, em regime normal;

y2i quantidade de kl de cerveja a produzir na fabrica i, em regime extraordi-nario;

qij quantidade de kl de cerveja a transportar da fabrica i para o armazem j.

Variaveis auxiliares E necessario criar uma variavel auxiliar para cadaarmazem que possa representar o excesso ou a escassez de cerveja no armazemj. Como as variaveis nos modelos de programacao linear nao podem tomarvalores negativos, vai ser necessario substituir cada uma pela diferenca deduas variaveis auxiliares que tomem valores maiores ou iguais a zero (uj - vj)onde:

uj excesso de cerveja no armazem j (em kl);

vj escassez de cerveja no armazem j (em kl).

Coeficientes

ai quantidade maxima de cerveja a produzir em regime normal na fabrica i(em kl);

ri custo de producao de cerveja em regime normal (em e/kl);




1.16 SuperBoa 65

bi quantidade maxima de cerveja a produzir em regime extraordinario nafabrica i (em kl);

si custo de producao de 1 kl de cerveja em regime extraordinario (em e);

cij custo de transporte de 1 kl de cerveja da fabrica i para o armazem j (eme);

dj procura no armazem j (em kl);

αj preco de venda de 1 kl de cerveja no armazem j (em e);

βj custo por perda de venda de cada kl de cerveja no armazem j (em e);

γj preco de venda a um armazem de revenda de cada kl de cerveja em excessono armazem j (em e).

Funcao objectivo Pretende-se com a funcao objetivo encontrar o valormaximo para o lucro, satisfazendo as restricoes impostas. O valor do lucroobtem-se (obviamente) subtraindo as despesas das receitas.

Receitas Venda de cerveja directamente no armazem ((procura no arma-zem j - escassez no armazem j) × preco de venda no armazem j)∑

j

(dj − vj)αj (1.80)

Venda de cerveja ao armazem de revenda (excesso de cerveja no armazem j× preco de venda do armazem j ao armazem de revenda)∑

j

ujγj (1.81)

Despesas Despesa com a producao de cerveja em regime normal e com aproducao de cerveja em regime extraordinario.∑

i

(riy1i + siy2i) (1.82)

Despesa com transporte de cerveja da fabrica i para o armazem j.∑i,j

cijqij (1.83)




66 Modelacao

Despesa com perda de venda de cerveja no armazem j.∑j

vjβj (1.84)

A funcao objetivo sera entao:

max∑j

((dj − vj)αj + ujγj − vjβj)−∑i

(riy1i + siy2i)−∑i,j

cijqij (1.85)

Restricoes

∀i y1i ≤ ai (1.86)

∀i y2i ≤ bi (1.87)

∀i∑

j qij ≤ y1i + y2i (1.88)

∀j∑

i qij − dj = uj − vj (1.89)

∀i,j qij ≥ 0 (1.90)

∀j uj, vj ≥ 0 (1.91)

∀i y1i, y2i ≥ 0 (1.92)

Considerando que, tal como e afirmado no enunciado, o custo de produ-cao de cerveja em regime normal e inferior ao custo de producao de cervejaem regime extraordinario (ri < si), e dado que o problema e de maximizacaode lucros (minimizacao de custos), nao sera necessario impor restricoes adi-cionais para garantir que so se comeca a produzir em regime extraordinariodepois de se ter produzido toda a quantidade possıvel em regime normal.Nesse caso as restricoes 1.86 e 1.87 sao suficientes para garantir as restricoesimpostas no enunciado.

As restricoes 1.88 garantem que, qualquer que seja a fabrica, a quantidadetransportada dessa fabrica para todos os armazens nao excede a quantidadeproduzida nessa fabrica.

As restricoes 1.90 e 1.92 garantem que as variaveis sao maiores ou iguaisa zero.

As restricoes 1.89 e 1.91 sao devidas as variaveis auxiliares criadas. Repare-se que assim uma quantidade de cerveja num armazem que seja positiva,negativa ou nula, sera representada pela diferenca de duas variaveis ≥ 0.




Capıtulo 2

Programacao Linear


• Resolver graficamente um problema de programacao linear com duasvariaveis.

• Fazer uma analise de sensibilidade aos coeficientes da funcao objetivoe aos lados direitos das restricoes (termos independentes) com base naresolucao grafica do problema. Determinar quando a solucao optimanao e unica.

• Reconhecer e utilizar os conceitos de solucao admissıvel e nao admissı-vel, solucao optima, restricao redundante e restricao activa.

• Determinar os efeitos e impactos na solucao optima de introduzir novasrestricoes ou retirar restricoes ja existentes num problema.




68 Programacao Linear

Exercıcios

2.1 Problema PL I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.2 Problema PL II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.3 Problema PL1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.4 Problema PL2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.5 Problema PL3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.6 Problema PL4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78




2.1 Problema PL I 69

2.1 Problema PL I

2.1.1 Enunciado

Considere o problema de Programacao Linear representado na figura se-guinte, onde a funcao objetivo e F = x1 + x2. O domınio das solucaoadmissıveis e a zona a sombreado e a solucao optima esta no ponto G.

" t---r--i---t---t---r--i---t---

4 ~-+~t--t--t--t--t--t---

-3 -2 7 "

Suponha que o coeficiente de x1 na funcao objetivo se mantem constantee igual a 1.

(a) Qual o valor maximo que o coeficiente de x2 na funcao objetivo podetomar, para que a solucao G permaneca optima?

(b) E qual o valor mınimo?





2.1.2 Resolucao

Na figura seguinte estao representadas as equacoes das duas restricoes que seintersectam no ponto G.

" 4

XI+7/3x2 = 7

xl-2x2 = 2

-2 -1 3 4 5 7

-2

(a) Quando o coeficiente de x2 na funcao objetivo = 73, a recta da funcao

objetivo tem a mesma inclinacao que a restricao x1+ 73x2 = 7. Para esse

valor do coeficiente de x2 todos os pontos que estao sobre o segmento derecta que une os pontos G e G’ sao solucao optima do problema. Paracoeficientes de x2 na funcao objetivo superiores a 7

3, a solucao optima

passa para o ponto G’.

" 4

-3 -2 -1

-2

F = Xl + 7/3x2

G

3 4 5 6 "




2.1 Problema PL I 71

(b) Quando o coeficiente de x2 na funcao objetivo = −2, a recta da funcaoobjetivo tem a mesma inclinacao que a restricao x1−2x2 = 2. Para essevalor do coeficiente de x2 todos os pontos que estao sobre o segmentode recta que une os pontos G e G” sao solucao optima do problema.Para coeficientes de x2 na funcao objetivo inferiores a −2, a solucaooptima passa para o ponto G”.

4

-3 6 "

-2





2.2 Problema PL II

2.2.1 Enunciado

Considere o problema de Programacao Linear representado na figura se-guinte, onde a funcao objetivo e F = 3x1 + 4x2. O domınio das solucoesadmissıveis e a zona a sombreado e a solucao optima esta no ponto P.

Suponha que o coeficiente de x2 na funcao objetivo se mantem constantee igual a 4.

(a) Qual o valor maximo que o coeficiente de x1 na funcao objetivo podetomar, para que a solucao P permaneca optima?

(b) E qual o valor mınimo?




2.2 Problema PL II 73

2.2.2 Resolucao

Na figura seguinte estao representadas as equacoes das duas restricoes que seintersectam no ponto P, que foram escritas de forma que x2 tivesse coeficiente4.

(a) Quando o coeficiente de x1 na funcao objetivo = 163

, a recta da funcaoobjetivo tem a mesma inclinacao que a restricao 16

3x1 + 4x2 = 16.

Para esse valor do coeficiente de x2, todos os pontos que estao sobreo segmento de recta que une os pontos P e P” sao solucao optima doproblema. Para coeficientes de x1 na funcao objetivo superiores a 16

3, a

solucao optima passa para o ponto P”.

(b) Quando o coeficiente de x1 na funcao objetivo = 85, a recta da fun-

cao objetivo tem a mesma inclinacao que a restricao 85x1 + 4x2 = 8.

Para esse valor do coeficiente de x1 todos os pontos que estao sobreo segmento de recta que une os pontos P e P’ sao solucao optima do





problema. Para coeficientes de x1 na funcao objetivo inferiores a 85, a

solucao optima passa para o ponto P’.




2.3 Problema PL1 75

2.3 Problema PL1

2.3.1 Enunciado

Considere o problema de programacao linear (PL) representado graficamentena figura seguinte, onde a zona a sombreado corresponde ao espaco de solu-coes admissıveis, e em que o objetivo e:

minX1 +X2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-1 0 1 2 3 4 5 6

X2

X1

!"#!$%&'

!$%('

)$!"#(! $%('

(a) Qual e a solucao optima do problema?

(b) Quais das seguintes restricoes estao activas na solucao optima?

(i) X2 ≤ 3;

(ii) −2X1 + 3X2 ≥ 3;

(iii) −2X1 + 3X2 ≤ 3;

(iv) X1 ≥ 0;

(v) X2 ≥ 0.





2.4 Problema PL2

2.4.1 Enunciado


minX1 −X2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-1 0 1 2 3 4 5 6

X2

X1

!"#$%&# "'&(

#"'&(

#$!#"'(!"(



(i) X2 ≤ 3;

(ii) −2X1 + 3X2 ≥ 3;

(iii) −2X1 + 3X2 ≤ 3;

(iv) X1 ≥ 0;

(v) X2 ≥ 0.




2.5 Problema PL3 77

2.5 Problema PL3

2.5.1 Enunciado


maxX1 +X2

-1

0

1

2

3

4

5

-1 0 1 2 3 4 5

X2

X1

!"#!$%&'&

!"%"&

!$%$()&

$!"#*!

$%+&



(i) X1 ≥ 0;

(ii) X2 ≥ 0;

(iii) X1 ≥ 1;

(iv) X2 ≤ 2.5;

(v) 2X1 + 3X2 ≤ 8.





2.6 Problema PL4

2.6.1 Enunciado


maxX1 −X2

-1

0

1

2

3

4

5

-1 0 1 2 3 4 5

X2

X1

!"#!$%&#"&

!"%"&

!$%$'(&

$!")*!

$%+&



(i) X1 ≥ 0;

(ii) X2 ≥ 0;

(iii) X1 ≥ 1;

(iv) X2 ≤ 2.5;

(v) 2X1 + 3X2 ≤ 8.




Capıtulo 3

Utilizacao do Solver do Excel


• Saber introduzir no Solver variaveis de decisao, restricoes e funcao ob-jectivo.

• Interpretar os relatorios de resolucao e de analise de sensibilidade pro-duzidos pelo Solver do Microsoft Excel.




80 Utilizacao do Solver do Excel

Exercıcios

3.1 Planeamento da producao na VW Autoeuropa . . . . . . . 81




3.1 Planeamento da producao na VW Autoeuropa 81

3.1 Planeamento da producao na VW Auto-

europa

3.1.1 Enunciado

A Volkswagen Autoeuropa produz 4 modelos de veıculos: Scirocco, Eos,Sharan e Alhambra. A capacidade da fabrica de Palmela limita o total deproducao a um maximo de 200000 unidades por ano. Devido a restricoesderivadas da partilha de equipamentos de producao, o total de unidades daSharan e da Alhambra nao pode exceder as 100000 unidades, assim como ototal de unidades do Scirocco e do Eos nao pode exceder as 65000 unidades. Aestrategia de marketing da Volkswagen exige que a producao de monovolumes(Sharan e Alhambra) constitua, no mınimo, 1,5 vezes a producao dos modelosScirocco e Eos. A polıtica de protecao ambiental da Volkswagen exige aindaque em cada uma da suas fabricas o mix de producao respeite uma mediade emissoes de CO2 de, no maximo, 150 g/Km. Para cada modelo sao aindaconhecidos os lucros unitarios, o potencial de vendas e as emissoes de CO2:

Modelo Lucro unitario (e) Potencial de mercado Emissoes de CO2 (g/Km)Sharan 4500 50000 146

Alhambra 5000 20000 152Eos 3500 50000 148

Scirocco 4000 100000 172

Nas figuras 1, 2 e 3 e apresentado, respetivamente, o modelo em Excel eos relatorios de resposta e de analise de sensibilidade produzidos pelo Solverquando se resolveu o problema da maximizacao do lucro total da Autoeuropa.

(a) Explique o papel de cada uma das linhas do modelo em Excel.

(b) A partir do relatorio de respostas indique qual a solucao otima e o seuvalor. Identifique ainda as restricoes que sao ativas para esta solucaootima.

(c) Recorrendo ao relatorio de analise de sensibilidade indique:

(i) Se o lucro unitario do modelo Eos passasse de 3500 para 2500 e,qual seria a solucao otima? E se o mesmo decrescimo de lucroocorresse para o modelo Scirocco? Justifique ambas as respostas.

(ii) Atraves de uma polıtica agressiva de descontos e possıvel aumentaro potencial de mercado de cada um dos modelos. Para que modelo





Figura 1: Modelo em Excel.

o impacto no lucro global seria potencialmente maior? Porque?Qual poderia ser o valor maximo do desconto? Justifique.

(iii) Interprete o preco sombra da restricao da linha 14.





Figura 2: Relatorio de resposta produzido pelo Solver.





Figura 3: Relatorio de analise de sensibilidade produzido pelo Solver.





3.1.2 Resolucao

(a) • A linha 2 contem as variaveis de decisao do problema, isto e,quantas unidades de cada um dos modelos devem ser produzidas.

• A linha 4 contem os coeficientes da funcao objectivo, estando ovalor da funcao objetivo inscrito na celula F4.

• A linha 6 modeliza o limite maximo de producao da fabrica.

• As linhas 7 e 8 modelizam as restricoes dos maximos de produ-cao conjunta dos modelos Sharan e Alhambra e Scirocco e Eos,respectivamente.

• As linhas 9 a 12 contem as restricoes que limitam a producao decada um dos modelos a quantidade dada pelo respetivo potencialde vendas. A ideia e que nao vale a pena produzir o que nao seconsegue depois vender.

• A linha 13 apresenta a restricao relativa ao mix de producao res-peitar uma media de emissoes de CO2 de, no maximo, 150 g/Km.

• A linha 14 garante que a producao de monovolumes constitui, nomınimo, 1,5 vezes a producao dos modelos Scirocco e Eos.

(b) A solucao otima do problema e produzir 10555,6 unidades do Scirocco,36111,1 unidades do Eos, 50000 unidades da Sharan e 20000 unidadesda Alhambra. a esta solucao corresponde um lucro de 493 611 111,1 e.

Note-se que as quantidades otimas para os dois primeiros modelos naosao inteiras. Correspondendo esses valores a uma producao anual, po-demos considerar que a producao se prolongaria pelo ano seguinte. Noentanto, dada a grandeza das quantidades envolvidas, poder-se-ia ar-rendondar estes valores para os inteiros mais proximos, apesar de,desta forma, nao estar garantida a otimalidade da solucao in-teira obtida.

Para esta solucao otima, as restricoes ativas sao aquelas cuja folga/margem/“slack”e igual a zero. Doutra forma, sao as que surgem com o estado Enlace,ou com o estado Binding na versao em lıngua inglesa dos relatorios.

(c) Recorrendo ao relatorio de analise de sensibilidade indique:

(i) Se o lucro unitario do modelo Eos passasse de 3500 para 2500 e,a solucao otima nao se alteraria, uma vez que esta variacao estadentro do intervalo de variacao deste lucro unitario em que nao hamodificacao na solucao otima: [3500-3863,63 ; 3500+500]. Apesar





de se manterem as quantidades a produzir, o lucro global teria,naturalmente, um decrescimo.

No que diz respeito ao modelo Scirocco, um decrescimo de 1000ecolocaria o lucro unitario fora do intervalo de variacao admissıvelpara este coeficiente ([4000-500 ; 4000+263500]), significando issoque a solucao otima se alteraria.

(ii) A resposta a esta questao implica uma analise dos precos sombradas restricoes relativas ao potencial de mercado, isto e, as restri-coes 4 a 7 (identificadas no relatorio como as restricoes relativasas celulas $F$9 a $F$12). Analisando entao os precos sombraconstatamos que o maior preco sombra surge na restricao $F$12:7319,44. Entao, e o modelo Alhambra que nos dara maior retornopor unidade adicional que se consiga vender, nomeadamente atra-ves da polıtica de descontos. No entanto, esse desconto nuncadeveria ser superior ao preco sombra: 7319,44 e. Note-se aindaque se o potencial de mercado atingir os 20000 + 20000 = 40000(limite maximo onde o preco sombra ainda e valido) esta conclusaodeixa de ser valida.

Uma resposta alternativa olharia em simultaneo para o preco som-bra e para o maximo aumento no potencial de mercado, isto e,compararia 6944,44 × 27500 com 7319,44 × 20000, o que nos le-varia a escolha do modelo Sharan.

(iii) O preco sombra restricao da linha 14 encontra-se, no relatorio desensibilidade, na linha identificada como celula $F$14. O precosombra e negativo e tem o valor de -3541,67 e. Isto significa quese em vez de exigirmos que a producao de monovolumes seja pelomenos 1,5 vezes a producao dos modelos Scirocco e Eos passarmosa exigir que seja pelo menos 1,5 vezes mais uma unidade, o lucrototal diminuiria. Isto e, e prejudicial produzir monovolumes. Vistoainda de outra forma, por cada monovolume a menos que sejaproduzido, o lucro aumenta 3541,67 e.




Capıtulo 4

Metodo Simplex


• Saber relacionar vertices da regiao admissıvel, numa representacao gra-fica, e solucoes basicas de um sistema de equacoes, numa representacaoalgebrica de um problema de programacao linear.

• Reconhecer e utilizar os conceitos de variavel basica e nao basica, solu-cao admissıvel e nao admissıvel, solucao optima, restricao redundantee restricao activa.

• Resolver problemas de programacao linear de maximizacao e minimi-zacao pelo metodo simplex, nomeadamente:

– determinar uma solucao inicial, incluindo a utilizacao do metododo ”Big-M”quando e necessario utilizar variaveis artificiais.

– inserir uma variavel na base.

– retirar uma variavel da base.

– reconhecer quando uma solucao e optima.

– reconhecer quando uma solucao nao e unica.

– reconhecer quando um problema e ilimitado ou impossıvel.

• Determinar os efeitos e impactos na solucao optima de introduzir novasrestricoes ou retirar restricoes ja existentes num problema.




88 Metodo Simplex

Exercıcios

4.1 Problema A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2 Problema B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3 Problema C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.4 Problema D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.5 Problema E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.6 Problema F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.7 Problema G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.8 Problema H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115




4.1 Problema A 89

4.1 Problema A

4.1.1 Enunciado

Resolva, pelo metodo Simplex, o seguinte problema de programacao linear:

maxF = 10x1 + 7x2

suj. a:2x1 + x2 ≤ 50004x1 + 5x2 ≤ 15000x1 , x2 ≥ 0




90 Metodo Simplex

4.1.2 Resolucao

O problema proposto e um problema de programacao linear, dado que afuncao objectivo e as restricoes sao funcoes lineares das variaveis de decisaox1 e x2. Este exemplo simples sera usado para ilustrar a aplicacao do metodoSimplex para resolver problemas de programacao linear. Embora a resolucaopratica de problemas deste tipo seja (sempre) feita recorrendo a programasde computador que permitem obter a solucao de problemas com milharesde restricoes e variaveis, e conveniente a compreensao do funcionamento datecnica de resolucao para facilitar a interpretacao dos resultados obtidos.

Para se aplicar o metodo Simplex, e necessario que o problema satisfacaos requisitos seguintes (forma standard):

(a) Todas as variaveis sao nao negativas (so podem assumir valores positi-vos ou nulos);

(b) Todas as restricoes sao equacoes (ou restricoes do tipo “=”);

(c) Todos os termos independentes sao positivos.

No exemplo deste problema a primeira e a ultima condicao sao satisfeitas.Para representar o problema na forma standard e necessario transformar asduas inequacoes em equacoes. Para isso, sao introduzidas no primeiro mem-bro das inequacoes novas variaveis (tambem nao negativas) com coeficiente+1. Estas variaveis representam a “folga” entre o primeiro e o segundo mem-bro das inequacoes, chamando-se por isso variaveis de folga e representando-se por s (de slack).

maxF = 10x1 + 7x2

suj. a:2x1 + x2 + s1 = 50004x1 + 5x2 + s2 = 15000x1 , x2 , s1 , s2 ≥ 0

A aplicacao do metodo Simplex requer o conhecimento de uma solucaobasica admissıvel inicial, que servira de ponto de partida para o processoiterativo. Em problemas que apenas contenham restricoes do tipo ≤, a in-troducao das variaveis de folga conduz a uma solucao basica admissıvel inicialimediata: fazem-se nulas as variaveis originais do problema (no nosso exem-plo x1 e x2), e as variaveis de folga ficam iguais aos termos independentesdas equacoes respectivas:

(x1, x2, s1, s2) = (0, 0, 5000, 15000)




4.1 Problema A 91

Note-se que esta solucao inicial corresponde a origem da regiao de solucoesadmissıveis, o que e sempre verdade se todas as restricoes de um problemaforem do tipo ≤, com termos independentes positivos. Neste caso a origeme uma solucao basica admissıvel obtida imediatamente com a introducao dasvariaveis de folga em todas as restricoes. O metodo Simplex pode ser apli-cado manualmente recorrendo a um quadro onde se representam de formacondensada todos os parametros do problema (matriz dos coeficientes, termosindependentes e funcao objectivo). Sobre esse quadro sao aplicadas trans-formacoes algebricas de acordo com determinadas regras, que conduzem aobtencao da solucao optima.

variaveis basicas x1 x2 s1 s2 termos independentes↓ ↓s1 2 1 1 0 5000s2 4 5 0 1 15000−F 10 7 0 0 0↗ ↑

custos marginais simetrico do valorda funcao objectivo

Uma iteracao consiste em trocar uma variavel da base: das variaveisnao basicas escolhe-se uma para entrar para a base (ira passar de zero aum valor positivo-eventualmente nulo), e das variaveis basicas e seleccionadauma para sair da base. Esta operacao corresponde a“saltar”para uma solucaobasica admissıvel vizinha (ou adjacente). Matematicamente falando, duassolucoes adjacentes sao aquelas que diferem de apenas uma variavel basica;geometricamente sao dois “cantos”da regiao de solucoes admissıveis que estaounidos por um “lado”do poliedro que representa no espaco essa regiao. Assolucoes basicas de um problema correspondem a todas as interseccoes entreas restricoes, considerando tambem as restricoes xi ≥ 0. De entre estas, saoadmissıveis aquelas que sao representadas apenas por variaveis nao negativas:




92 Metodo Simplex

variaveis basicas x1 x2 s1 s2 termos independentes↓ ↓

⇔ s1 2 1 1 0 5000 50002

(menor quociente)s2 4 5 0 1 15000 15000

4

−F 10 7 0 0 0↗ � ↑

custos marginais o mais simetrico do valorpositivo da funcao objectivo

Criterio de entrada na base: Entra na base a variavel que tiver umcoeficiente mais positivo na linha F . Estes coeficientes (custos marginais)representam o peso relativo das variaveis nao basicas (neste caso x1 e x2), novalor da funcao objectivo. Podemos dizer assim que, entrando a variavel x1

para a base, o valor de F cresce 10 unidades por unidade de crescimento x1.Note-se que isto apenas e verdade se na linha F existirem coeficientes nulossob as variaveis basicas (porque?). Na realidade, a linha de F e consideradacomo sendo uma equacao adicional, onde F representa uma variavel quenunca sai da base:

F = 10x1 + 7x2

pode ser representada como a equacao seguinte:

−F + 10x1 + 7x2 + 0s1 + 0s2 = 0

Escrito desta forma, F aparece com o coeficiente -1; daı a razao de ovalor que aparece no 2o membro da linha F ser igual ao simetrico do valor da




4.1 Problema A 93

funcao objectivo. Sendo interpretada como uma equacao, podemos sempreeliminar variaveis (usando operacoes de pivotacao apropriadas) por forma aque os coeficientes de F sob as variaveis basicas sejam sempre nulos.

Para um problema de minimizacao o criterio de entrada na base seraobviamente o contrario: entra na base a variavel nao basica que provoca ummaior decrescimento no valor de F , ou seja, a que tiver um coeficiente maisnegativo na linha F .

Criterio de saıda da base: Sai da base a variavel xk (basica na equacaoi) que tiver um coeficiente bi

aijmenor (sendo xj a variavel que entrou para a

base).As duas equacoes representadas no quadro acima podem-se escrever (x2 =

0, nao basica):2x1 + s1 = 50004x1 + s2 = 15000

ou:s1 = 5000 − 2x1

s2 = 15000 − 4x1

Entrando x1 para a base, isso significa que x1 vai passar de zero paraum valor positivo. A variavel a sair da base vai ser aquela que primeiro seanular, limitando assim o crescimento de x1 (note-se que todas as variaveisenvolvidas so podem assumir valores positivos ou nulos).

Pela 1a equacao, x1 pode subir ate 50002

= 2500 para s1 se anular (sair dabase); pela segunda equacao, o valor maximo para x1 e 15000

4= 3750. Logo,

a variavel a sair da base sera s1, pois quando x1 cresce e s1 que primeiro seanula, impondo assim o limite no crescimento da variavel x1 em 2500. Comoregra pratica, basta calcular os quocientes entre os termos independentes eos coeficientes da matriz sob a variavel que vai entrar para a base, retirandoda base a variavel basica da equacao que tiver o menor quociente.

Analisemos com mais detalhe a 1a equacao acima:

5000 (termo independente) e o valor que a variavel basica s1 tomava na ite-racao anterior.

2 (coeficiente da matriz sob x1) e o simetrico do peso da variavel x1 nessaequacao. Por outras palavras, podemos dizer que s1 decresce 2 unidadespor unidade de crescimento de x1, anulando-se (i. e. saindo da base)quando x1 atinge 5000

2.

Podem assim ser tiradas algumas conclusoes interessantes, em funcao dovalor dos coeficientes da matriz, aik, sob a variavel que foi escolhida paraentrar para a base, xk:




94 Metodo Simplex

aik > 0 xbi, a variavel basica na equacao i, decresce aik unidades por unidadede crescimento de xk, impondo assim um limite superior a xk igual abiaik

(bi e o termo independente da equacao i).

aik = 0 xbi, a variavel basica na equacao i, nao ve alterado o seu valor, quandoxk entra para a base. Isso significa que xbi nunca saira da base poisnao limita de forma alguma o crescimento de xk.

aik < 0 xbi, a variavel basica na equacao i, cresce aik unidades por unidade decrescimento de xk. Assim, do mesmo modo que para o caso anterior,xbi nao limita o crescimento de xk, logo nunca saira da base.

variaveis basicas x1 · · · xk · · · xm b↓

xb1 · · · · · · a1k · · · · · · b1...

......

......

......

⇔ xbi · · · · · · aik · · · · · · bi...

......

......

......

xbn · · · · · · ank · · · · · · bn−F · · · · · · fk · · · · · · −F0

�

Com base no que se disse, podemos concluir o seguinte: se todos os coefi-cientes da variavel que se escolheu para entrar para a base forem negativos ounulos, isso significa que nenhuma das variaveis basicas decresce com o cres-cimento da nova variavel candidata a basica. Assim, se esta variavel podecrescer sem que qualquer das basicas se anule, entao pode-se concluir que oproblema nao tem uma solucao optima limitada. Situacoes destas ocorremquando a regiao de solucoes admissıveis e um domınio aberto no sentido decrescimento da funcao objectivo.

Continuando com a resolucao do exemplo dado:

base x1 x2 s1 s2 bx1 1 1

212

0 2500 250012

= 5000

⇔ s2 0 3 −2 1 5000 50003

= 1666.7−F 0 2 −5 0 −25000

�

base x1 x2 s1 s2 bx1 1 0 5

6−16

50003

x2 0 1 −23

13

50003

−F 0 0 −113

−23

−850003




4.1 Problema A 95

Solucao optima encontrada: Nao existe nenhuma variavel nao basica(s1 ou s2, neste caso) que tenha um coeficiente positivo na linha F . Se umadessas variaveis tivesse um coeficiente nulo, isso significava que ela poderiaentrar para a base sem alterar o valor da funcao objectivo F (chamam-se aestas solucoes solucoes alternativas a solucao optima encontrada). Note-seque as solucoes alternativas sao tambem solucoes optimas, ja que mantem omesmo valor para a funcao objectivo F .

O valor da solucao optima para este problema seria F = 850003

e os valoresdas variaveis de decisao seriam:

x1 =5000

3, x2 =

5000

3




96 Metodo Simplex

4.2 Problema B

4.2.1 Enunciado

Considere o seguinte problema de Programacao Linear:

max z = 45x1 + 80x2

suj. a:5x1 + 20x2 ≤ 400

10x1 + 15x2 ≤ 450x1 , x2 ≥ 0

(a) Resolva-o pelo algoritmo Simplex.

(b) Entre que valores podera variar o coeficiente c1 de x1 na funcao objec-tivo (agora vale 45), por forma a que uma solucao optima tenha semprevalores positivos (x1, x2 > 0)?




4.2 Problema B 97

4.2.2 Resolucao

(a) Em primeiro lugar e necessario representar o problema na forma stan-dard, introduzindo variaveis de folga, s1 e s2 para transformar as ine-quacoes em equacoes.

max z = 45x1 + 80x2

suj. a:5x1 + 20x2 + s1 = 400

10x1 + 15x2 + + s2 = 450x1 , x2 , s1 , s2 ≥ 0

x1 x2 s1 s2

⇔ s1 5 20 1 0 400s2 10 15 0 1 450−z 45 80 0 0 0

�

x1 x2 s1 s2

x2520

1 120

0 20

⇔ s212520

0 −1520

1 150

−z 25 0 −4 0 −1600�

x1 x2 s1 s2

x2 0 1 225− 1

2514

x1 1 0 − 325

425

24−z 0 0 −1 −4 −2200

Solucao optima: (x1, x2)∗ = (24, 14) com z∗ = 2200

(b) Como a solucao optima tera que estar necessariamente num vertice daregiao admissıvel e como, analisando para a figura abaixo se constataque apenas um vertice (o que corresponde a actual solucao optima) temx1 e x2 estritamente positivos, entao para responder a esta perguntateremos apenas que ver entre que valores pode variar c1 de modo a quea solucao optima continue no mesmo vertice. Como a solucao optimasaltara de vertice quando as linhas de nıvel da funcao objectivo foremparalelas a restricao (R1) ou a restricao (R2), isto e, quando c1

80= 5

20

ou c180

= 1015

, isso conduz-nos a:




98 Metodo Simplex

20 ≤ c1 ≤160

3

20

30

(24,14)

R1

R2




4.3 Problema C 99

4.3 Problema C

4.3.1 Enunciado


maxF = 2x1 + x2

suj. a:x1 + x2 ≥ 2x1 + x2 ≤ 4x1 , x2 ≥ 0




100 Metodo Simplex

4.3.2 Resolucao

Em primeiro lugar e necessario representar o problema na forma standard,introduzindo variaveis de folga para transformar as inequacoes em equacoes.A variavel de folga da primeira restricao tem coeficiente -1 porque a inequacaoe do tipo ≥ (note-se que todas as variaveis sao positivas).

maxF = 2x1 + x2

suj. a:x1 + x2 − s1 = 2x1 + x2 + s2 = 4x1 , x2 , s1 , s2 ≥ 0

Neste caso ja nao se obtem a solucao basica inicial fazendo as variaveis defolga iguais aos termos independentes. Apesar dessa ser uma solucao basica,nao e admissıvel e como tal nao pode ser usada como ponto de partida parao metodo Simplex.

E portanto necessario acrescentar outras variaveis, chamadas variaveisartificiais, nas restricoes que nao tem variaveis basicas.

Introduzindo uma variavel artificial na 1a equacao:

x1 + x2 − s1 + a1 = 2x1 + x2 + + s2 = 4x1 , x2 , s1 , s2 , a1 ≥ 0

O modelo que inclui as variaveis artificiais so e equivalente ao modeloinicial no caso em que as variaveis artificiais sao nulas.

Para forcar as variaveis artificiais a serem nulas, a funcao objectivo maxF =2x1 +x2 deve ser substituıda pela funcao objectivo maxF = 2x1 +x2−Ma1,onde M tem um valor muito elevado. Dado que se trata de um problema demaximizacao, a melhoria da funcao objectivo implica que as variaveis artifi-ciais passem a valer zero (sejam retiradas da base). A solucao basica assimobtida e uma solucao basica admissıvel para o problema original.

Seguidamente, o Metodo das Penalidades usa o metodo Simplex paraanular (retirar da base) essa variavel artificial. Quando isso acontece, a solu-cao obtida e uma solucao basica admissıvel do problema original, que e usadacomo solucao de partida para aplicar o metodo Simplex.

Como nos interessa exprimir F apenas em funcao de variaveis nao ba-sicas (porque?), vamos substituir a variavel artificial pela expressao que arepresenta apenas em funcao de variaveis nao basicas.

Da 1a equacao (onde a1 e variavel basica e as outras variaveis sao naobasicas):




4.3 Problema C 101

x1 + x2 − s1 + a1 = 2

pode-se escrever a1 em funcao de variaveis nao basicas:

a1 = 2− x1 − x2 + s1

Assim, a funcao objectivo a maximizar sera:

F = 2x1 + x2 −Ma1

= 2x1 + x2 −M (2− x1 − x2 + s1)

= −2M + (2 +M)x1 + (1 +M)x2 −Ms1

E o quadro seguinte e o primeiro quadro Simplex.1

base x1 x2 s1 s2 a1 b

⇔ a1 1 1 −1 0 1 2 21

s2 1 1 0 1 0 4 41

−F 2 1 0 0 0 0+M +M −M 0 +2M

�

A partir deste quadro, nao e necessario manter a coluna correspondentea a1, dado que a1 ja saiu da base.

base x1 x2 s1 s2 bx1 1 1 −1 0 2

⇔ s2 0 0 1 1 2−F 0 −1 2 0 −4

�

base x1 x2 s1 s2 bx1 1 1 0 1 4s1 0 0 1 1 2−F 0 −1 0 −2 −8

Nao existe nenhuma variavel nao basica (x2 ou s2, neste caso) que tenhaum coeficiente positivo na linha F . O valor da solucao optima para este

1A linha dos custos marginais esta dividida em duas com a unica finalidade de sim-plificar os calculos. A soma das duas linhas e que representa o custo marginal (p.ex.:2 +M).




102 Metodo Simplex

problema seria F = 8 e os valores das variaveis de decisao seriam:

x1 = 4, x2 = 0, s1 = 2, s2 = 0




4.4 Problema D 103

4.4 Problema D

4.4.1 Enunciado

Considere o seguinte problema de Programacao Linear:

max z = x1 + 2x2 + 3x3

suj. a:x1 + 2x2 + 3x3 = 15

2x1 + x2 + 5x3 = 20x1 + 2x2 + x3 + x4 = 10x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0

(a) Resolva-o pelo metodo Simplex.

(b) Havera solucoes optimas alternativas? Justifique. Em caso afirmativocomo podera obter outra? E sera que as pode obter todas?




104 Metodo Simplex

4.4.2 Resolucao

(a) Em primeiro lugar e necessario acrescentar outras variaveis, chamadasvariaveis artificiais, na primeira e na segunda restricao, que nao temvariaveis basicas:

x1 + 2x2 + 3x3 + a1 = 152x1 + x2 + 5x3 + a2 = 20x1 + 2x2 + x3 + x4 = 10x1 , x2 , x3 , x4 , a1 , a2 ≥ 0

Seguidamente, o Metodo das Penalidades usa o metodo Simplexpara anular (retirar da base) essas variaveis artificiais. Quando issoacontece, a solucao obtida e uma solucao basica admissıvel do problemaoriginal, que e usada como solucao de partida para aplicar o metodoSimplex.

Para forcar as variaveis artificiais a serem nulas, a funcao objectivomax z = x1 + 2x2 + 3x3 deve ser substituıda pela funcao objectivomax z = x1 + 2x2 + 3x3 −M(a1 + a2), onde M tem um valor muitoelevado. Dado que se trata de um problema de maximizacao, a melhoriada funcao objectivo implica que as variaveis artificiais passem a valerzero (sejam retiradas da base). A solucao basica assim obtida e umasolucao basica admissıvel para o problema original.

Como nos interessa exprimir z apenas em funcao de variaveis nao ba-sicas, vamos substituir cada variavel artificial pela expressao que a re-presenta apenas em funcao de variaveis nao basicas.

Das duas primeiras equacoes onde a1 e a2 sao variaveis basicas e asoutras variaveis sao nao basicas:

x1 + 2x2 + 3x3 + a1 = 152x1 + x2 + 5x3 + a2 = 20

pode-se escrever a1 e a2 em funcao de variaveis nao basicas:

a1 = 15 − x1 − 2x2 − 3x3

a2 = 20 − 2x1 − x2 − 5x3

Assim, a funcao objectivo a minimizar sera:




4.4 Problema D 105

z = x1 + 2x2 + 3x3 −M (a1 + a2)

= x1 + 2x2 + 3x3 − (15− x1 − 2x2 − 3x3 + 20− 2x1 − x2 − 5x3)

= x1(1 + 3M) + x2(2 + 3M) + x3(3 + 8M)− 35M

O quadro seguinte e o primeiro quadro Simplex.2

x1 x2 x3 x4 a1 a2

a1 1 2 3 0 1 0 15

a2 2 1 5 0 0 1 20x4 1 2 1 1 0 0 10−z 1 2 3 0 0 0 0

+3M +3M +8M +0 +0 +0 +35M

x1 x2 x3 x4 a1 a2

a1 −15

75

0 0 1 −35

3

x325

15

1 0 0 15

4

x435

95

0 1 0 −15

6

−z −15

75

0 0 0 −35

−12

+15M +7

5M 0 0 0 −8

5M +3M

x1 x2 x3 x4 a1 a2

x2 −17

1 0 0 57

−37

157

x337

0 1 0 −17

27

257

x467

0 0 1 −97

47

157

−z 0 0 0 0 −150 0 0 0 −M −M 0

2A linha dos custos marginais esta dividida em duas com a unica finalidade de sim-plificar os calculos. A soma das duas linhas e que representa o custo marginal (p.ex.:1 + 3M).




106 Metodo Simplex

Quadro optimo

Solucao optima: (x1, x2, x3, x4)∗ = (0, 157, 25

7, 15

7), com z∗ = 15

(b) Ha solucoes optimas alternativas porque ha uma variavel nao basica, avariavel x1, com um custo marginal nulo no quadro optimo.

Para obter outra solucao optima deveria ser feita uma outra iteracaona qual x1 entraria na base.

Pode-se obter o conjunto completo de solucoes optimas fazendo a com-binacao linear das duas solucoes optimas geradas nos quadros simplex.Esta combinacao linear representa a aresta do conjunto das solucoesadmissıveis que une os dois vertices optimos.




4.5 Problema E 107

4.5 Problema E

4.5.1 Enunciado


min z = 4x1 + x2 + x3

suj. a:2x1 + x2 + 2x3 = 43x1 + 3x2 + x3 = 3x1 , x2 , x3 ≥ 0




108 Metodo Simplex

4.5.2 Resolucao

Em primeiro lugar e necessario acrescentar outras variaveis, chamadas va-riaveis artificiais, nas duas restricoes que nao tem variaveis basicas:

2x1 + x2 + 2x3 + a1 = 43x1 + 3x2 + x3 + a2 = 3

Seguidamente, o Metodo das Penalidades usa o metodo Simplex paraanular (retirar da base) essas variaveis artificiais. Quando isso acontece, asolucao obtida e uma solucao basica admissıvel do problema original, que eusada como solucao de partida para aplicar o metodo Simplex.

Para forcar as variaveis artificiais a serem nulas, a funcao objectivo min z =4x1 + x2 + x3 deve ser substituıda pela funcao objectivo min z = 4x1 + x2 +x3 + M(a1 + a2), onde M tem um valor muito elevado. Dado que se tratade um problema de minimizacao, a melhoria da funcao objectivo implica queas variaveis artificiais passem a valer zero (sejam retiradas da base). A so-lucao basica assim obtida e uma solucao basica admissıvel para o problemaoriginal.

Como nos interessa exprimir z apenas em funcao de variaveis nao basi-cas, vamos substituir cada variavel artificial pela expressao que a representaapenas em funcao de variaveis nao basicas.

Das duas equacoes (onde a1 e a2 sao variaveis basicas e as outras variaveissao nao basicas):

2x1 + x2 + 2x3 + a1 = 43x1 + 3x2 + x3 + a2 = 3


a1 = 4 − 2x1 − x2 − 2x3

a2 = 3 − 3x1 − 3x2 − x3


z = 4x1 + x2 + x3 +M (a1 + a2)

= 4x1 + x2 + x3 +M (4− 2x1 − x2 − 2x3 + 3− 3x1 − 3x2 − x3)

= x1(4− 5M) + x2(1− 4M) + x3(1− 3M) + 7M


3A linha dos custos marginais esta dividida em duas com a unica finalidade de sim-plificar os calculos. A soma das duas linhas e que representa o custo marginal (p.ex.:4− 5M).




4.5 Problema E 109

x1 x2 x3 a1 a2

a1 2 1 2 1 0 4

a2 3 3 1 0 1 3−z 4 1 1 0 0 0

−5M −4M −3M −0 −0 −7M

x1 x2 x3 a1 a2

a1 0 −1 43

1 −23

2

x1 1 1 13

0 13

1

−z 0 −3 −13

0 −43

−4

0 1M −43M 0 5

3M −2M

x1 x2 x3 a1 a2

x3 0 −34

1 34

−12

32

x1 1 54

0 −14

12

12

−z 0 −134

0 14

−32

−72

0 0 0 +1M +1M 0

Agora que as variaveis artificiais a1 e a2 ja saıram da base ja se podemretirar do quadro Simplex e finalizar a resolucao.

x1 x2 x3

x335

0 1 95

x245

1 0 25

−z 135

0 0 −115

Dado que se trata de um problema de minimizacao e os coeficientes dasvariaveis na funcao objectivo sao positivos ou nulos, este e o quadro optimoe a solucao optima e: (x1, x2, x3)∗ = (0, 2

5, 9

5), com z∗ = 11

5




110 Metodo Simplex

4.6 Problema F

4.6.1 Enunciado


maxF = x1 + 2x2

suj. a:−4x1 + x2 ≤ 4

2x1 − 3x2 ≤ 6x1 , x2 ≥ 0




4.6 Problema F 111

4.6.2 Resolucao

Comecaremos por representar o problema na forma standard:

maxF = x1 + 2x2

suj. a:−4x1 + x2 + s1 = 4

2x1 − 3x2 + s2 = 6x1 , x2 , s1 , s2 ≥ 0

base x1 x2 s1 s2 b

⇔ s1 −4 1 1 0 4s2 2 −3 0 1 6−F 1 2 0 0 0

�

base x1 x2 s1 s2 bx2 −4 1 1 0 4s2 −10 0 3 1 18−F 9 0 −2 0 −8

�

Pode-se verificar neste ultimo quadro que x1 pode entrar para a base(i.e., crescer a partir de 0), conseguindo um ganho de 9 unidades em F porunidade de crescimento de x1. No entanto, nem x2 nem s2 decrescem com ocrescimento de x1, logo nao limitam o crescimento de x1.

Isto significa que a regiao de solucoes admissıveis e um domınio abertono sentido de crescimento de F (solucao nao limitada).




112 Metodo Simplex

4.7 Problema G

4.7.1 Enunciado


min z = x1 + x2 + x3

suj. a:−x1 + x2 ≥ 12x1 − 2x2 − x3 = 2x1 , x2 , x3 ≥ 0




4.7 Problema G 113

4.7.2 Resolucao

Comecamos por representar o problema na forma standard:

−x1 + x2 − s1 + a1 = 12x1 − 2x2 − x3 + a2 = 2x1 , x2 , x3 , s1 , a1 , a2 ≥ 0


Para forcar as variaveis artificiais a serem nulas, a funcao objectivo min z =x1 + x2 + x3 deve ser substituıda pela funcao objectivo min z = x1 + x2 +x3 + M(a1 + a2), onde M tem um valor muito elevado. Dado que se tratade um problema de minimizacao, a melhoria da funcao objectivo implica queas variaveis artificiais passem a valer zero (sejam retiradas da base). A so-lucao basica assim obtida e uma solucao basica admissıvel para o problemaoriginal.

Seguidamente, o Metodo das Penalidades usa o metodo Simplex paraanular (retirar da base) essa variavel artificial. Quando isso acontece, a solu-cao obtida e uma solucao basica admissıvel do problema original, que e usadacomo solucao de partida para aplicar o metodo Simplex. Como nos interessaexprimir F apenas em funcao de variaveis nao basicas , vamos substituircada variavel artificial pela expressao que a representa apenas em funcao devariaveis nao basicas.

Das duas primeiras equacoes onde a1 e a2 sao variaveis basicas e as outrasvariaveis sao nao basicas:

−x1 + x2 − s1 + a1 = 12x1 − 2x2 − x3 + a2 = 2


a1 = 1 + x1 − x2 + s1

a2 = 2 − 2x1 + 2x2 + x3


F = x1 + x2 + x3 +M (a1 + a2)

= 2x1 + x2 −M (1 + x1 − x2 + s1 + 2− 2x1 + 2x2 + x3)

= 3M + (1−M)x1 + (1 +M)x2 + (1 +M)x3 +Ms1




114 Metodo Simplex


base x1 x2 x3 s1 a1 a2 ba1 −1 1 0 −1 1 0 1

⇔ a2 2 −2 −1 0 0 1 2−F 1 1 1 0 0 0 0

−M +M +M +M 0 0 −3M�

base x1 x2 x3 s1 a1 a2 b

a1 0 0 −12−1 1 1

22

x1 1 −1 −12

0 0 12

1

−F 0 2 32

0 0 −12

−1

0 0 +12M +M 0 +1

2M −2M

Atingiu-se o valor mınimo de F (todos os custos marginais sao ≥ zero)sem que tenham saıdo da base todas as variaveis artificiais.

Isso significa que nao e possıvel encontrar uma solucao basica admissıvelpara o problema original, ou seja, a regiao de solucoes admissıveis e umconjunto vazio.

4A linha dos custos marginais esta dividida em duas com a unica finalidade de sim-plificar os calculos. A soma das duas linhas e que representa o custo marginal (p.ex.:1−M).




4.8 Problema H 115

4.8 Problema H

4.8.1 Enunciado


maxF = x+ 2y + 3z

suj. a:x − y ≥ 0

y + z ≤ 2−x + z = 0x ∈ <

y , z ≥ 0




116 Metodo Simplex

4.8.2 Resolucao

Analisando o problema verifica-se que, como a variavel x nao e limitadaapenas a valores nao negativos, e necessario substituı-la pela diferenca deduas variaveis nao negativas:

x = x1 − x2

x1 , x2 ≥ 0

A representacao das restricoes na forma standard (depois de introduzidasas variaveis artificiais) sera entao:

x1 − x2 − y − s1 + a1 = 0y + z + s2 = 2

−x1 + x2 + z + a2 = 0x1 , x2 , y , z , s1 , s2 , a1 , a2 ≥ 0


Para forcar as variaveis artificiais a serem nulas, a funcao objectivo maxF =x1 − x2 + 2y + 3z deve ser substituıda pela funcao objectivo maxF =x1 − x2 + 2y + 3z −M(a1 + a2), onde M tem um valor muito elevado. Dadoque se trata de um problema de maximizacao, a melhoria da funcao objec-tivo implica que as variaveis artificiais passem a valer zero (sejam retiradasda base). A solucao basica assim obtida e uma solucao basica admissıvelpara o problema original.

Seguidamente, o Metodo das Penalidades usa o metodo Simplex paraanular (retirar da base) essa variavel artificial. Quando isso acontece, a solu-cao obtida e uma solucao basica admissıvel do problema original, que e usadacomo solucao de partida para aplicar o metodo Simplex. Como nos interessaexprimir F apenas em funcao de variaveis nao basicas, vamos substituir cadavariavel artificial pela expressao que a representa apenas em funcao de varia-veis nao basicas.

x1 − x2 − y − s1 + a1 = 0−x1 + x2 + z + a2 = 0


a1 = − x1 + x2 + y + s1

a2 = + x1 − x2 − z

Assim, a funcao objectivo a maximizar sera:




4.8 Problema H 117

F = x1 − x2 + 2y + 3z −M (a1 + a2)

= x1 − x2 + 2y + 3z −M (−x1 + x2 + y + s1 + x1 − x2 − z)

= x1 + x2 + (2−M)y + (3 +M)z −Ms1


base x1 x2 y z s1 s2 a1 a2 ba1 1 −1 −1 0 −1 0 1 0 0s2 0 0 1 1 0 1 0 0 2

⇔ a2 −1 1 0 1 0 0 0 1 0−F 1 −1 2 3 0 0 0 0 0

0 0 −M +M −M 0 0 0 0�

base x1 x2 y z s1 s2 a1 a2 b

⇔ a1 1 −1 −1 0 −1 0 1 0 0s2 1 −1 1 0 0 1 0 −1 2z −1 1 0 1 0 0 0 1 0

−F 4 −4 2 0 0 0 0 −3 0+M −M −M 0 −M 0 0 −M 0

�

base x1 x2 y z s1 s2 a1 a2 bx1 1 −1 −1 0 −1 0 1 0 0

⇔ s2 0 0 2 0 1 1 −1 −1 2z 0 0 −1 1 −1 0 1 1 0

−F 0 0 6 0 4 0 −4 −3 00 0 0 0 0 0 −M −M 0

�

Note-se que embora a solucao actual representada no quadro acima sejadegenerada (x1 = 0 e z = 0), o processo iterativo nao entra em ciclo, umavez que a proxima solucao e necessariamente nao degenerada. Com efeito,entrando y para a base as variaveis x1 e z vao crescer (coeficientes a13 e a33

iguais a -1) uma unidade por unidade de crescimento de y, passando de zeropara um valor positivo.

5A linha dos custos marginais esta dividida em duas com a unica finalidade de sim-plificar os calculos. A soma das duas linhas e que representa o custo marginal (p.ex.:2−M).




118 Metodo Simplex

base x1 x2 y z s1 s2 bx1 1 −1 0 0 −1

212

1

⇔ y 0 0 1 0 12

12

1

z 0 0 0 1 −12

12

1−F 0 0 0 0 1 −3 −6

�

base x1 x2 y z s1 s2 bx1 1 −1 1 0 0 1 2s1 0 0 2 0 1 1 2z 0 0 1 1 0 1 2

−F 0 0 −2 0 0 −4 −8

Quadro optimo

Solucao optima: (x1, x2, y, z)∗ = (2, 0, 0, 2), com z∗ = 8Analisemos agora de novo cuidadosamente as restricoes do problema:

x − y ≥ 0y + z ≤ 2

−x + z = 0x ∈ <

y , z ≥ 0

Da terceira equacao pode-se retirar que z = x. Dado que z ≥ 0 entaox ≥ 0 e portanto nao e necessario decompor a variavel x nas variaveis x1 ex2, como foi feito na resolucao anterior.

Podemos assim escrever o problema equivalente ao problema dado, masde resolucao muito mais simples (ja na forma standard):

maxF = x+ 2y + 3z = 4x+ 2y

suj. a:x − y − s1 + a1 = 0x + y + s2 = 2x , y , s1 , s2 , a1 ≥ 0

F = 4x+ 2y −M (a1)

= 4x+ 2y −M (−x+ y + s1)

= (4 +M)x+ (2−M)y −Ms1




4.8 Problema H 119

base x y s1 s2 a1 b

⇔ a1 1 −1 −1 0 1 0s2 1 1 0 1 0 2−F 4 2 0 0 0 0

+M −M −M 0 0 0�

A variavel artificial foi retirada da base.

base x y s1 s2 bx 1 −1 −1 0 0

⇔ s2 0 2 1 1 2−F 0 6 4 0 0

�

base x y s1 s2 bx 1 0 −1

212

1

⇔ y 0 1 12

12

1

−F 0 0 1 −3 −6�

base x y s1 s2 bx 1 1 0 1 2s1 0 2 1 1 2−F 0 −2 0 −4 −8

�

Quadro optimo

Solucao optima: (x1, x2, y, z)∗ = (2, 0, 0, 2), com z∗ = 8 (s1 = 2, s2 = 0).




120 Metodo Simplex




Capıtulo 5

Programacao Inteira


• Dado o conjunto desordenado de nos de uma arvore de pesquisa:

– determinar se o problema e de minimizacao ou de maximizacao

– reconstruir a arvore de problemas

– saber e explicar se a arvore esta completamente explorada ou nao,e porque

• Dada uma arvore de pesquisa pelo metodo ”branch-and-bound”:

– indicar os melhores limites, superior e inferior, conhecidos ate aomomento




122 Programacao Inteira

Exercıcios

5.1 Problema PIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.2 Problema PIB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.3 Problema PIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.4 Problema PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.5 Problema Triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.6 Problema PIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148




5.1 Problema PIA 123

5.1 Problema PIA

5.1.1 Enunciado

Considere o seguinte problema de Programacao Inteira:

Maximizar:F = 3x+ 7y

suj. a:x ≤ 3.5

5x − 4y ≤ 1047x + 2y ≤ 9x , y ≥ 0 e inteiras

Resolva o problema graficamente, utilizando o algoritmo de “Branch-and-Bound”.





Figura 1: Resolucao grafica do problema original (de programacao inteira).

5.1.2 Resolucao

O problema a resolver e de Programacao Inteira (PI) com apenas duas va-riaveis de decisao. Neste caso e possıvel obter a solucao optima logo directa-mente a partir do grafico, tal como se pode ver na figura 1.

Neste caso especial tambem se pode usar o algoritmo Branch-and-Boundgraficamente, resolvendo os varios problemas de Programacao Linear (PL).

Paralelamente a resolucao dos problemas de PL construiu-se uma arvoreonde se representam as varias ramificacoes geradas durante a aplicacao dometodo.

O algoritmo Branch-and-Bound comeca por resolver o problema de PLassociado ao problema de PI dado, ou seja, retirando as restricoes de inte-gralidade para as variaveis de decisao (problema usualmente designado porproblema relaxado), aqui identificado por PL0.

Problema PL0:

maxF = 3x+ 7y

suj. a:x ≤ 3.5

5x − 4y ≤ 1047x + 2y ≤ 9x , y ≥ 0





Figura 2: Resolucao grafica do problema PL0.

PL0(solução não inteira)x = 3.5y = 3.5F = 35

Figura 3: No inicial da arvore de “Branch-and-Bound”

Na figura 2 pode-se verificar que a solucao do problema PL0 se obtemcalculando a interseccao das rectas:

x = 3.547x + 2y = 9

Essa interseccao faz-se no ponto (x, y) = (3.5, 3.5). O valor da funcaoobjetivo nesse ponto e F = 35. Na figura 3 esta representado o no inicial daarvore de “Branch-and-Bound”.

Uma vez que a solucao e nao inteira, o algoritmo prossegue com a geracaode dois novos problemas, obtidos pela introducao de duas restricoes numa dasvariaveis cujo valor e nao inteiro. Neste caso foi escolhida arbitrariamentea variavel x, tendo sido criados dois problemas, o problema PL01, com aintroducao da restricao x ≤ 3, e o problema PL02, com a introducao darestricao x ≥ 4.

Deste modo e garantido que, a solucao optima inteira do problema ori-ginal, que neste caso existe, esta necessariamente num destes problemas.






Note-se que a reuniao das regioes admissıveis de PL01 e PL02 contem todasas solucoes inteiras admissıveis do problema dado, nao sendo desta forma ex-cluıda qualquer solucao inteira. Por outro lado, tratando-se de um problemade maximizacao, o valor da funcao objetivo optima de v e sempre menor ouigual que o seu valor para o problema “pai”, PL0 (ou ≥, se se tratar de umproblema de minimizacao). Prosseguindo, resolvem-se os problemas PL01e PL02. A ordem de resolucao considera-se arbitraria, ja que nada permiteconcluir a priori qual dos problemas contem a solucao inteira optima.

Problema PL01:maxF = 3x+ 7y

suj. a:x ≤ 3.5

5x − 4y ≤ 1047x + 2y ≤ 9x , y ≥ 0x ≤ 3


x = 347x + 2y = 9






Essa interseccao faz-se no ponto (x, y) = (3, 5114

) ≈ (3, 3.6). O valor dafuncao objetivo nesse ponto e F = 34.5.

Analisemos agora o problema PL02, ja que este pode eventualmente con-duzir a uma solucao inteira, com um valor para a funcao objetivo superiorao obtido para PL01. Se isso acontecer, entao nao e necessario resolversub-problemas gerados por PL01, uma vez que qualquer solucao desses pro-blemas, tem necessariamente um valor da funcao objetivo nao superior ao dePL01. Esta operacao de “corte”na geracao e analise dos problemas de PL econsequencia de valores limite (Bound) impostos pelo algoritmo.


suj. a:x ≤ 3.5

5x − 4y ≤ 1047x + 2y ≤ 9x , y ≥ 0x ≥ 4

Para este problema pode concluir-se facilmente (ver figura 5) que naoexiste qualquer solucao admissıvel. Com efeito, as regioes definidas por x ≤3.5 e x ≥ 4 sao disjuntas.

Na figura 6 esta representada a arvore de “Branch-and-Bound” construıdaate ao momento.






PL01(solução não inteira)x = 3y = 3.6F = 34.5

PL02(sem soluções)

x <= 3 x >= 4

Figura 6: Arvore de “Branch-and-Bound”

Continuando, e necessario resolver os problemas PL011 e PL012, gera-dos pela ramificacao do problema PL01. A ordem de resolucao e arbitraria(escolha-se primeiro PL011).


suj. a:x ≤ 3.5

5x − 4y ≤ 1047x + 2y ≤ 9x , y ≥ 0x ≤ 3

y ≤ 3


x = 3y = 3

Essa interseccao faz-se no ponto (x, y) = (3, 3). O valor da funcao objetivonesse ponto e F = 30. Apesar de ser a primeira solucao inteira obtida ate






entao, nao se pode contudo afirmar que ela e a solucao optima do problemade PI, dado que ainda nao se explorou a solucao do problema PL012. Podeno entanto registar-se esta solucao inteira como a melhor obtida ate aqui.

Dado que se trata de um problema de maximizacao, o valor correspon-dente da funcao objetivo e considerado como um limite inferior para o valoroptimo de F . Durante a aplicacao do algoritmo, qualquer solucao (inteiraou nao) que se obtenha com um valor para o objetivo inferior a 30 pode serimediatamente desprezada, pois existe ja uma solucao inteira com esse valor.

Prosseguindo, resolva-se o problema PL012:

maxF = 3x+ 7y

suj. a:

x ≤ 3.55x − 4y ≤ 1047x + 2y ≤ 9x , y ≥ 0x ≤ 3

y ≥ 4







47x + 2y = 9

y = 4

Essa interseccao faz-se no ponto (x, y) = (74, 4) ≈ (1.7, 4). O valor da

funcao objetivo nesse ponto e F = 1334≈ 33.2.

Na figura 9 esta representada a arvore de “Branch-and-Bound” construıdaate ao momento.

Uma vez que a solucao obtida e nao inteira, e necessario comparar o valorda funcao objetivo com o seu actual limite inferior, F , que neste momento estafixado em 30. Como e superior, isso significa que na regiao admissıvel desteproblema pode existir ainda uma solucao inteira com um valor para a funcaoobjectivo superior ao actual limite inferior. Por este motivo e necessarioprosseguir, gerando dois novos problemas a partir de PL012, introduzindoas restricoes x ≤ 1 e x ≥ 2.

Problema PL0121:

maxF = 3x+ 7y








PL011(solução inteira)x = 3y = 3F = 30

PL012(solução não inteira)x = 1.7y = 4F = 33.2

x <= 3 x >= 4

y <= 3 y >= 4







suj. a:

x ≤ 3.55x − 4y ≤ 1047x + 2y ≤ 9x , y ≥ 0x ≤ 3

y ≥ 4x ≤ 1


47x + 2y = 9x = 1

Essa interseccao faz-se no ponto (x, y) = (1, 5914

) ≈ (1, 4.2). O valor dafuncao objetivo nesse ponto e F = 133

4≈ 32.5 ≥ 30 (valor superior ao da

melhor solucao inteira obtida ate ao momento).

Problema PL0122:

maxF = 3x+ 7y






suj. a:

x ≤ 3.55x − 4y ≤ 1047x + 2y ≤ 9x , y ≥ 0x ≤ 3

y ≥ 4x ≥ 2

Analisando a figura 11, pode-se concluir facilmente que o problema PL0122nao tem qualquer solucao admissıvel.

Na figura 12 esta representada a arvore do Branch-and-Bound construıdaate ao momento.

Partindo do problema PL0121 e introduzindo duas novas restricoes emy, y ≤ 4 e y ≥ 5, obtem-se dois novos problemas, PL01211 e PL0122.

Problema PL01211:

maxF = 3x+ 7y












x <= 3 x >= 4

y <= 3 y >= 4

x <= 1 x >= 2







suj. a:

x ≤ 3.55x − 4y ≤ 1047x + 2y ≤ 9x , y ≥ 0x ≤ 3

y ≥ 4x ≤ 1

y ≤ 4

Na figura 13 pode-se verificar que a solucao do problema PL01211 seobtem calculando a interseccao das rectas:

x = 1y = 4

Essa interseccao faz-se no ponto (x, y) = (1, 4). O valor da funcao objetivonesse ponto e F = 31.

Problema PL01212:

maxF = 3x+ 7y





, , • -- - I h ; 4y - I O , ,-,

/ /

,-, ,

/ , - - ; 4Ih-2y- 9

, /

/ , ' , , , , • , • ,


suj. a:x ≤ 3.5

5x − 4y ≤ 1047x + 2y ≤ 9x , y ≥ 0x ≤ 3

y ≥ 4x ≤ 1

y ≥ 5

Analisando a figura 14, pode-se concluir facilmente que o problema PL01212nao tem qualquer solucao admissıvel. Assim, a solucao do problema PL01211e a solucao optima (inteira) do problema dado.

Na figura 15 esta representada toda a arvore de “Branch-and-Bound”,construıda para resolucao deste problema.












PL01211(solução inteira óptima)x = 1y = 4F = 31


x <= 3 x >= 4

y <= 3 y >= 4

x <= 1 x >= 2

y <= 4 y >= 5

Figura 15: Arvore final de “Branch-and-Bound”





5.2 Problema PIB

5.2.1 Enunciado

Foi utilizado o algoritmo de “Branch-and-Bound” para resolver um problemade programacao inteira (minimizacao), tendo sido gerados e resolvidos osseguintes subproblemas:

A B C D E F G H I

x1 5 51318

− 3 312

− 5 3 −

x2 2 249

− 3 3 − 258

318

−

Z −20 −2323

SSA −21 −22 SSA −2318−215

8SSA

Represente a arvore de problemas correspondente a esta resolucao, indi-cando, em cada um dos ramos, a restricao adicionada em cada ramificacao.Indique tambem qual e a solucao optima.




5.2 Problema PIB 139

BZ = -23 2/3x1 = 5 13/18x2 = 2 4/9

x1 <= 5 x1 >= 6

GZ = -23 1/8x1 = 5x2 = 2 5/8

Csem solução admissível

AZ = -20x1 = 5x2 = 2solução inteira

EZ = -22x1 = 3 1/2x2 = 3

x2 <= 2 x2 >= 3

Fsem solução admissível

HZ = -21 5/8x1 = 3x2 = 3 1/8

x1 <= 3 x1 >= 4

Isem solução admissível

DZ = -21x1 = 3x2 = 3solução inteira

x2 <=3 x2 >= 4

Problema commenor valor de Z

Problemacom x1 <= 5

e menor valor de Z

A ramificação sópode ser em x 2 pois

x1 é inteiro O facto de não haver nenhumsubproblema com x 1>=6 implica quea introdução dessa restrição resultou

num problema sem soluçãoadmissível.

O facto de não haver nenhumsubproblema com x 2>=3 e x1>=4implica que a introdução dessa

restrição resultou num problema semsolução admissível.

Problemacom x1<=3 e x2>=3e menor valor de Z

Solução inteira e melhordo que a obtida em A

solução óptima

Figura 16: Arvore do “Branch-and-Bound”.

5.2.2 Resolucao

Para obtencao da arvore de problemas representada na figura 16, correspon-dente aos subproblemas apresentados no enunciado, e necessario ter em contaque o valor da funcao objetivo “piora” a medida que se desce na arvore (temum maior valor neste caso, dado que se trata de um problema de minimi-zacao), dado que a descida na arvore corresponde a introducao de restricoesadicionais.

A primeira ramificacao teve que ser feita em x1, dado que:

• em nenhum dos restantes subproblemas existe uma solucao com x1 ∈]5, 6[ (consequencia de se ter imposto x1 ≤ 5 e x1 ≥ 6);





• se a ramificacao tivesse sido em x2, todos os restantes subproblemasteriam que ter x2 ≤ 2 ou x2 ≥ 3, mas o subproblema G contradiz essepressuposto.




5.3 Problema PIC 141

PL1(solução não inteira)Z = 100



PL6(solução inteira)Z = 70


PL8(sem soluções)


PL4(solução inteira)Z = 60


Figura 17: Arvore de “Branch-and-Bound”.

5.3 Problema PIC

5.3.1 Enunciado

Considere um problema de maximizacao exclusivamente com variaveis intei-ras. Resolvendo o problema atraves de “Branch-and-Bound”, obtem-se, numdeterminado passo, a arvore representada na figura 17.

(a) Qual e, nesta altura, o melhor limite superior sobre a solucao inteiraoptima?

(b) Qual e, nesta altura, o melhor limite inferior sobre a solucao inteiraoptima?

(c) Indique que nos ja foram explorados e explique porque.

(d) Indique os nos que ainda nao foram explorados e explique porque.

(e) Ja foi atingida a solucao optima do problema inteiro? Porque?





(f) Qual o valor maximo do erro absoluto sobre a solucao optima inteira,se o algoritmo for terminado neste ponto?




5.3 Problema PIC 143

5.3.2 Resolucao

(a) O melhor limite superior sobre a solucao inteira optima no momentode resolucao retratado na arvore e dado pela solucao do problema PL5e e igual a 75. Qualquer solucao inteira que surja a partir da exploracaodesse no tera um valor da funcao objetivo ≤ 75

(b) Os limites inferiores sao dados por valores de solucoes admissıveis (va-riaveis ja inteiras) que ainda se desconhece se sao ou nao optimas. Nestecaso temos ja 2 solucoes inteiras, para PL6 e para PL4. A que tem omaior valor da funcao objetivo fornece o melhor limite inferior, 70neste caso.

(c) Ja foram explorados os nos PL1, PL2, PL3 e PL7 porque ja temramos.

Os nos PL4 e PL6 ja foram explorados porque deram origem a solucoesinteiras.

O no PL8 ja esta explorado porque corresponde a um problema semsolucao admissıvel.

O no PL9 ja foi explorado porque pode ser cortado. Corresponde aum problema com solucao optima nao inteira e com um valor para afuncao objetivo inferior ao valor da solucao inteira do problema PL6.

(d) O no PL5 ainda nao foi explorado, dado que corresponde a um pro-blema com solucao optima nao inteira, mas com um valor para a funcaoobjetivo superior ao valor da melhor solucao inteira obtida ate ao mo-mento (problema PL6).

(e) Ainda nao e possıvel saber se ja foi obtida a solucao optima do problemainteiro, porque ainda ha nos por explorar (PL5). So quando os melhoreslimites inferiores e superiores coincidirem e que se pode afirmar que amelhor solucao inteira obtida e a optima.

(f) Se o algoritmo for terminado neste ponto, o valor maximo do erro abso-luto sobre a solucao optima inteira sera 5, que corresponde a diferencaentre os melhores limites superior e inferior.





Nó 0 93

Nó 1 84

Nó 2 82

Nó 7 Sem

solução

Nó 6 29

Nó 5 52

Nó 4 76

Nó 3 79

Nó 8 49

Solução inteira

Nó 11 71

Nó 12 69

Nó 13 47

Nó 14 38

Solução Inteira

Nó 9 64

Nó 10 81

Figura 18: Arvore de “Branch-and-Bound”.

5.4 Problema PID

5.4.1 Enunciado

Para um problema de maximizacao, foi construıda a arvore de “Branch-and-Bound” representada na figura 18.

Na arvore esta representada a ordem de criacao dos nos, bem como ovalor da funcao objetivo sempre que exista.

(a) Que informacao se pode extrair desta arvore?

(b) Que nos ainda e necessario explorar?




5.4 Problema PID 145

5.4.2 Resolucao

(a) Pode-se extrair da arvore da figura 18 que:

• o melhor limite superior ate ao momento e 76 (maximo valor dafuncao objetivo de entre os nos ainda nao explorados);

• o melhor limite inferior e 49 (valor da funcao objetivo da melhorsolucao inteira obtida ate ao momento).

(b) • Ainda e necessario explorar o no 4 e o no 12 pois o melhor limiteinferior existente ate ao momento (49 no no 8) e inferior ao valorda funcao objetivo nesses dois nos. Ja os nos 6 e 13 nao necessitamde ser explorados porque ja existe uma solucao inteira com valorde funcao objetivo superior.





X2

X1

Max X1 + X2 PL0 Solução óptima X2

X1

Max X1 + X2

PL2 Solução óptima


X2

X1

Max X1 + X2


X2

X1

Max X1 + X2


Figura 19: Passos da resolucao por “Branch-and-Bound”de um problema deProgramacao Linear Inteira.

5.5 Problema Triangulo

5.5.1 Enunciado

Considere o problema de Programacao Linear Inteira representado nas figuras19 e 20.

Pretende-se maximizar x1 + x2, tais que x1 e x2 pertencem a zona desolucoes admissıveis definida pelo 4 e x1 e x2 sao inteiros.

Descreva os passos percorridos na resolucao do problema, atraves da in-terpretacao das figuras 19 e 20.




5.5 Problema Triangulo 147

x1 <= 1

PL 04

PL 12.5

PL33.25

PL 23.5

PL4sem soluções

PL53

solução inteira

PL6sem soluções

x1 >= 2

x2 <= 1 x2 >= 2

x1 <= 2 x1 >= 3

Figura 20: A arvore binaria com a solucao do problema.





5.6 Problema PIE

5.6.1 Enunciado

Foi utilizado o algoritmo de “Branch-and-Bound” para resolver um problemade programacao inteira tendo sido gerados e resolvidos os seguintes subpro-blemas:

A B C D E F G H IX1 0.3 0 1 0 0 0 1.4 1X2 3 3 2 2.7 3 3.6 0.8 1.6X3 0.45 0.75 0 1 0 0.3 1 0.8Z 25.8 24 24 22.7 21 26.4 SSA 23.6 24.4

(a) Indique se o problema em questao e de maximizacao ou de minimizacao

(b) Represente a arvore de problemas correspondente a esta resolucao in-dicando, em cada um dos ramos, a restricao adicionada em cada rami-ficacao.




5.6 Problema PIE 149

Nó FZ = 26.4X1 = 0

X2 = 3.6X3 = 0.3

Nó AZ = 25.8X1 = 0.3X2 = 3

X3 = 0.45

X2 <= 3

Nó GSSA

X2 >= 4

Nó BZ = 24X1 = 0X2 = 3

X3 = 0.75

X1 <= 0

Nó IZ = 24.4X1 = 1

X2 = 1.6X3 = 0.8

X1 >= 1

Nó EZ = 21X1 = 0X2 = 3X3 = 0

X3 <= 0

Nó DZ = 22.7X1 = 0

X2 = 2.7X3 = 1

X3 >= 1

Nó CZ = 24X1 = 1X2 = 2X3 = 0

X3 <= 0

Nó HZ = 23.6X1 = 1.4X2 = 0.8X3 = 1

X3 >= 1

Figura 21: Arvore de Pesquisa do “Branch-and-Bound”

5.6.2 Resolucao

(a) Trata-se de um problema de maximizacao. Caso fosse um problema deminimizacao, a raiz da arvore seria o subproblema com menor funcaoobjectivo, que corresponde ao no E. Como este no possui solucao inteira,nao seria necessario iniciar a ramificacao.

(b) A resolucao desta alınea esta representada na arvore de pesquisa daFigura 21. Note-se que a ramificacao no No I tambem poderia ter sidofeita na variavel X2.




Capıtulo 6

Problemas de Transportes


• Formular um problema como um problema de transportes (formulacaonum quadro de transportes) na forma standard, incluindo:

– a criacao de origens ou destinos fictıcios com as disponibilidadesou as necessidades em falta;

– definicao dos custos unitarios de transporte apropriados.

• Determinar uma solucao inicial:

– pela regra do canto NW;

– pela regra dos custos mınimos.

• Gerar uma solucao basica inicial acrescentando variaveis basicas dege-neradas (com valor zero) para tornar o grafo de solucoes uma arvoreconexa.

• Fazer iteracoes do algoritmo de transportes pelo metodo u−v, incluindoo calculo das diferencas e dos custos marginais, a determinacao davariavel que entra na base e da variavel que sai da base. Atualizacaodo quadro atraves da soma e subtracao de θ.

• Reconhecer num quadro de transportes:

– se a solucao corresponde a solucao otima;

– se ha mais solucoes com o mesmo valor (otimos alternativos).

• Calcular o valor (funcao objetivo) de uma solucao.




152 Problemas de Transportes

Exercıcios

6.1 Reservatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6.2 Transfronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.3 Construtora de Avioes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.4 Instituto de Altos Estudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.5 UnEng5/FND/UNIFIL no Lıbano . . . . . . . . . . . . . . 164




6.1 Reservatorios 153

6.1 Reservatorios

6.1.1 Enunciado

Tres reservatorios, com capacidades diarias de 15, 20 e 25 milhoes de litros deagua, abastecem 4 cidades com consumos diarios de 8, 10, 12 e 15 milhoes delitros de agua. O custo de abastecimento, por milhao de litros, e apresentadona tabela 1.

Tabela 1: Custo de abastecimento, por milhao de litros (em ke)

CidadesA B C D

1 2 3 4 5Reservatorios 2 3 2 5 2

3 4 1 2 3

O problema consiste em determinar a polıtica de abastecimento optima(aquela com menor custo).

Formule o problema como um problema de transportes e resolva-o usandoo respetivo algoritmo.





6.1.2 Resolucao

Solucao inicial pela regra dos custos mınimos:

A B C D F1 – – – – 15 15

2 3 4 5 02 5 – – 15 – 20

3 2 5 2 03 3 10 12 – – 25

4 1 2 3 08 10 12 15 15

A cidade F e uma cidade fictıcia introduzida para equilibrar a oferta coma procura, isto e, para colocar o problema na forma “standard”.

Para que existam 7 variaveis basicas (numero de origens + numero dedestinos - 1) e ainda necessario promover uma variavel nao basica a basica.A variavel x1A foi entao considerada como basica com o valor de zero. Aescolha de x1A em concreto seguiu a regra de o grafo representantivo dasvariaveis basicas dever ser conexo e sem ciclos.

Resolvendo:

0 -3 -2 -1 -22 0+θ – – – 15-θ

2 4 3 4 4 4 5 03 5 – – 15 –

3 2 2 4 5 2 -1 04 3-θ 10 12 – θ

4 1 2 0 3 -2 0θ = min{3, 15} = 3

0 -1 0 -1 -22 3+θ – – – 12-θ

2 2 3 2 4 4 5 03 5-θ – – 15 θ

3 0 2 2 5 2 -1 02 – 10 12 – 3

2 4 1 2 2 3 0θ = min{5, 12} = 5




6.1 Reservatorios 155

0 -1 0 0 -22 8 – – – 7

2 2 3 2 4 3 5 02 – – – 15 5

1 3 1 2 3 5 2 02 – 10 12 – 3

2 4 1 2 1 3 0Custo = 80

Solucao otima:Reservatorio 1 abastece a cidade A com 8 milhoes de litros de agua.Reservatorio 2 abastece a cidade D com 15 milhoes de litros de agua.Reservatorio 3 abastece a cidade B com 10 milhoes de litros de agua.Reservatorio 3 abastece a cidade C com 12 milhoes de litros de agua.Custo total de abastecimento: 80 ke





6.2 Transfronteira

6.2.1 Enunciado

Uma empresa possui duas fabricas (P1 e P2) onde produz um produto quee exportado para 3 locais num paıs vizinho (L1, L2 e L3). O transporte efeito atraves de duas fronteiras (F1 e F2) (nao se impoem limites maximosa quantidade que pode atravessar diariamente cada uma delas). Por outrolado, cada fronteira cobra uma taxa por cada unidade do referido produtoque a atravessa (independentemente de vir de P1 ou P2) – Na Tabela 2 saoapresentados todos os dados deste problema.

Sao conhecidas as disponibilidades diarias em cada fabrica, que sao sufici-entes para satisfazer as necessidades diarias de cada local, tambem conhecidas(Tabela 2). Sabe-se tambem quais sao os custos para transportar uma uni-dade do produto, de cada produtor para cada fronteira e de cada fronteirapara cada destino, indicados na Figura 1.

Tabela 2: Disponibilidades, necessidades e taxas de fronteira.PRODUTORES P1 P2

Disponibilidades 120 80LOCAIS DE DESTINO L1 L2 L3

Necessidades 50 70 60FRONTEIRAS F1 F2

Taxa por unidade 4 3

P1 120

P2 80

L1 50

L2 70

L3 60

F2

F1 50

40

45

55

23

40

20

34

52

38

Figura 1: Rede de transportes.




6.2 Transfronteira 157

(a) Considere o problema que permite encontrar a polıtica optima de trans-porte do produto entre cada produtor, fronteira e local de destino.Formule-o (sem resolver!) como um problema de transportes na formastandard.

(b) Considere agora que chegam diariamente as fronteiras F1 e F2 100 e 90unidades do produto, respectivamente. Usando o algoritmo de trans-portes, determine quais as quantidades a transportar de cada fronteirapara cada um dos locais de destino, por forma a minimizar o custoglobal associado a esse transporte. Considere iguais os restantes dadosdo problema.





6.2.2 Resolucao

(a) Formulacao como problema de transportes:

L1 L2 L3 RP1 RP2 XP1/F1 77 94 74 0 ∞ 0 120P1/F2 77 95 81 0 ∞ 0 120P2/F1 72 89 69 ∞ 0 0 80P2/F2 92 110 96 ∞ 0 0 80

50 70 60 120 80 20 400

Pi/Fj – quantidade exportada a partir da fabrica Pi atraves dafronteira Fj.

X – coluna introduzida para equilibrar a oferta com a procura.Corresponde as quantidades que ficarao nas fabricas.

RPi – Restricao respeitante a fabrica Pi e que garante que o so-matorio do que atravessa as duas fronteiras, vindo da fabrica Pi,nao excede a oferta em Pi.

(b) Solucao inicial pela regra dos custos mınimos:

30 – 60 10 100 90 30 023 40 20 0

20 70 – – 90 70 034 52 38 0

50 70 60 1020 0 0 00

Aplicando o algoritmo de transportes:

0 18 -3 -2323 30+θ – 60 10-θ

23 -1 40 20 034 20-θ 70 – θ

34 52 7 38 -11 0θ = 10




6.2 Transfronteira 159

0 18 -3 -3423 40-θ θ 60 –

23 -1 40 20 11 034 10+θ 70-θ – 10

34 52 7 38 0θ = 40

0 18 -2 -3422 – 40 60 –

1 23 40 20 12 034 50 30 – 10

34 52 6 38 0Quadro optimo

Solucao optima:

De Para QuantidadeF1 L1 0

L2 40L3 60

F2 L1 50L2 30L3 0

Custo optimo = 6060





6.3 Construtora de Avioes

6.3.1 Enunciado

Uma companhia construtora de avioes pretende planear a producao de ummotor, durante os proximos 4 meses.

Para satisfazer as datas de entrega contratuais, necessita de fornecer osmotores nas quantidades indicadas na 2a coluna da tabela 3. O numeromaximo de motores que a companhia produz por mes, bem como o custo decada motor (em milhoes de dolares) sao dados na 3a e 4a colunas da mesmatabela.

Dadas as variacoes nos custos de producao, pode valer a pena produziralguns motores um ou mais meses antes das datas programadas para entrega.Se se optar por esta hipotese, os motores serao armazenados ate ao mes deentrega, com um custo adicional de 0.015 milhoes de dolares/mes.

Tabela 3: Encomendas, producao e custos.

Mes Quantidades Producao Custo unitario Custo unitarioa entregar maxima de producao de armazenagem

1 10 25 1.08 —2 15 35 1.11 0.0153 25 30 1.10 0.0154 20 10 1.13 0.015

O director de producao quer saber quantos motores deve fabricar em cadames (e para que meses de entrega) por forma a minimizar os custos globaisde producao e armazenagem.

Formule o problema e resolva-o pelo algoritmo de transportes.




6.3 Construtora de Avioes 161

6.3.2 Resolucao

A figura e a tabela seguintes representam os custos totais por unidade (somados custos de producao com os custos de armazenamento) para avioes pro-duzidos no mes i e entregues no mes j.

Produção Entrega

1.080

1.110

1.110

1.125

1.100 1.140

1.095

1.115

1.130

1.125

Mês 1

Mês 2

Mês 3

Mês 4

Mês 1

Mês 2

Mês 3

Mês 4

Mes de entrega1 2 3 4 X

1 1.080 1.095 1.110 1.125 0 25Mes de 2 ∞ 1.110 1.125 1.140 0 35

producao 3 ∞ ∞ 1.100 1.115 0 304 ∞ ∞ ∞ 1.130 0 10

10 15 25 20 30 100

(segue-se a resolucao pelo algoritmo de transportes)





6.4 Instituto de Altos Estudos

6.4.1 Enunciado

Os exames realizados no Instituto de Altos Estudos estao concentrados numaunica semana. Seguindo um modelo usual nos institutos congeneres dos Es-tados Unidos, todas as provas sao de escolha multipla e tem de ser resolvidasa lapis.

Os lapis, sao fornecidos pelo Instituto de Altos Estudos e sao necessarios60, 50, 80, 40 e 50 lapis afiados no inıcio de cada dia, de segunda a sexta-feirarespetivamente.

Os lapis afiados podem ser comprados por 15$00 cada. Depois de usadosnum dia de exame, os lapis podem ser afiados, recorrendo ao servico daAfiadora Lda. com um custo de 2$00 a unidade. A Afiadora Lda. devolve oslapis 2 dias depois.

Isso significa que os lapis usados, por exemplo, na segunda-feira so pode-rao ser reutilizados (ja afiados) na quarta-feira, e assim sucessivamente. Nofim da semana os lapis podem ser revendidos a um preco de 5$00 a unidade.

(a) Formule este problema como um Problema de Transportes, de forma aque o fornecimento de lapis para o exame seja feito a um custo mınimo.

(b) Resolva o problema.




6.4 Instituto de Altos Estudos 163

6.4.2 Resolucao

• Formulacao como problema de transportes:

Destinos2a 3a 4a 5a 6a X

Novos 10 10 10 10 10 0 60+50+80+40+50Origens Usados na 2a ∞ ∞ 2 2 2 0 60

Usados na 3a ∞ ∞ ∞ 2 2 0 50Usados na 4a ∞ ∞ ∞ ∞ 2 0 80

60 50 80 40 50 190

• · · ·





6.5 UnEng5/FND/UNIFIL no Lıbano

6.5.1 Enunciado1O Tenente-Coronel Alves Caetano, responsavel pela gestao dos materiaispara a reabilitacao de edifıcios existentes, defronta-se no momento com umproblema de logıstica. Assim, sabendo que brevemente lhe serao enviadas50 ton de areia, 15 ton de brita, 20 ton de cimento e 7 ton de terra, esperadecidir que quantidades armazenar em cada um dos dois estaleiros que a suabase militar, o Ubique Camp, possui. O Estaleiro Norte do Ubique Camppossui uma capacidade de armazenagem de 40 ton, enquanto que o EstaleiroSul possui uma capacidade de 65 ton. Os custos mensais de armazenagemdos materiais, por tonelada, em cada um dos estaleiros estao indicados natabela seguinte:

MaterialAreia Brita Cimento Terra

Estaleiro Norte 2,0 e 1,0 e 3,5 e 1,5 eEstaleiro Sul 2,5 e 1,2 e 3,0 e 2,1 e

Pretende-se entao saber que quantidade de cada tipo de material deve serarmazenada em cada estaleiro de forma a minimizar os custos de armazena-gem.

(a) (i) Formule o problema como um problema de transportes;

(ii) determine uma solucao inicial pela Regra dos Custos Mınimos;

(iii) faca uma primeira iteracao pelo Algoritmo de Transportes;

(iv) verifique se a solucao obtida apos essa primeira iteracao e optimaou nao e explique porque;

(v) apresente a solucao obtida;

(vi) calcule o valor da funcao objetivo para a solucao obtida.

(b) Admita agora que o Estaleiro Norte nao possui as condicoes de arma-zenagem necessarias para garantir a manutencao das propriedades docimento e, como tal, nao se podera armazenar o cimento neste. Ad-mita ainda que se devera usar a capacidade maxima de armazenagemdo Estaleiro Sul.

Apresente o novo quadro inicial de transporte que apresentou na alıneaanterior por forma a contemplar estas restricoes.

1Exame de 2009.01.15 de IO do MIEEC da FEUP




6.5 UnEng5/FND/UNIFIL no Lıbano 165

Atencao: deve so apresentar o quadro inicial e nao deve fazer nenhumaiteracao.





6.5.2 Resolucao

(a) (i) Para formular este problema como um problema de transportesvamos considerar como origens os materiais e como destinos osestaleiros. E necessario para equilibrar a capacidade de armaze-nagem com a quantidade a armazenar e acrescentar um materialfictıcio que absorvera o excesso de capacidade.

Estaleiro Norte Estaleiro SulAreia 50

2,0 2,5Brita 15

1,0 1,2Cimento 20

3,5 3,0Terra 7

1,5 2,1X 13

0,0 0,040 65

(ii) Determinando uma solucao inicial pela regra dos custos mınimostem-se:

Estaleiro Norte Estaleiro SulAreia 18 32 50

2,0 2,5Brita 15 - 15

1,0 1,2Cimento - 20 20

3,5 3,0Terra 7 - 7

1,5 2,1X - 13 13

0,0 0,040 65

(iii) Fazendo uma iteracao pelo algoritmo de transportes:

2 2,50,0 18+θ 32-θ

2,0 2,5-1,0 15-θ θ

1,0 1,20,5 - 20

3,5 3,0-0,5 7 -

1,5 2,1-2,5 - 13

0,0 0,0

Com θ=min(15,32)=15, dando origem ao seguinte quadro:




6.5 UnEng5/FND/UNIFIL no Lıbano 167

2 2,50,0 33 17

2,0 2,5-1,0 - 15

1,0 1,20,5 - 20

3,5 3,0-0,5 7 -

1,5 2,1-2,5 - 13

0,0 0,0

(iv) A solucao obtida e optima porque nao existem diferencas ∆ij = cij −Ui −Vi

nao-negativas, conforme apresentado no quadro abaixo.





2 2,50,0 33 17

2,0 2,5-1,3 - 15

0,3 1,0 1,20,5 - 20

1,0 3,5 3,0-0,5 7 -

1,5 0,1 2,1-2,5 - 13

0,5 0,0 0,0

(v) O armazenamento devera ser feito da seguinte forma: ArmazemNorte: 33 ton. de areia; 7 ton. de terra; Armazem Sul: 17 ton.de areia; 15 ton. de brita; 20 ton. de cimento.

(vi) A funcao objetivo tera um valor de 197e.

(b) Dado que nao e permitida a armazenagem do cimento no EstaleiroNorte, o problema pode ser reformulado considerando um custo infi-nito para o armazenamento deste material neste estaleiro. Por outrolado, dado que a capacidade de armazenamento do Estaleiro Sul deveser usada na totalidade, nao podera haver qualquer material fictıcioassociado a este estaleiro, daı se considerar um custo infinito de arma-zenamento.

Estaleiro Norte Estaleiro SulAreia 50

2,0 2,5Brita 15

1,0 1,2Cimento 20

+∞ 3,0Terra 7

1,5 2,1X 13

0,0 +∞40 65




Capıtulo 7

Problemas de Afetacao


• Formular um problema como um problema de afetacao (quadro de afe-tacao) na forma “standard” incluindo:

– transformar um problema de maximizacao num problema de mi-nimizacao;

– criar linhas ou colunas fictıcias garantindo que numero de origense igual ao numero de destinos;

– atribuir custos a todas as ligacoes entre as origens e os destinos.

• Usar o Metodo Hungaro para resolver o problema de minimizacao.

• Determinar solucoes otimas alternativas.

• Calcular o custo de uma solucao.




170 Problemas de Afetacao

Exercıcios

7.1 Desenhadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7.2 Recrutamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.3 Romeu e Julieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.4 Companhia de Navegacao Aerea . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.5 Asa de Luxo Lda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7.6 WFP na Costa da Somalia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186




7.1 Desenhadores 171

7.1 Desenhadores

7.1.1 Enunciado

Existem quatro desenhadores para desenhar quatro projectos. Embora todospossam cumprir essas tarefas, as suas eficiencias relativas variam de trabalhopara trabalho.

Com base em desempenhos ja conhecidos, produziu-se a seguinte tabelade custos:

D1 D2 D3 D4

P1 8 7 9 9P2 5 2 7 8P3 6 1 4 9P4 2 3 2 6

O objetivo e afectar os desenhadores aos varios projectos de modo aminimizar o custo total de desenho.





7.1.2 Resolucao

Primeiro quadro do problema

8 7 9 95 2 7 86 1 4 92 3 2 6

Subtraccao em cada linha do me-nor elemento dessa linha

1 0 2 23 0 5 65 0 3 80 1 0 4

Subtraccao em cada coluna do me-nor elemento dessa coluna

1 0 2 03 0 5 45 0 3 60 1 0 2

1a iteracao (3 < 4)

1 0 2 03 0 5 45 0 3 60 1 0 2

2a iteracao (3 < 4)

0 0 1 02 0 4 44 0 2 60 2 0 3

Solucao optima (4 = 4)

0 2 1 0

0 0 2 2

2 0 0 4

0 4 0 3

O custo da solucao optima (soma dos tempos) e 17.Uma possıvel solucao optima seria:

• D4 ⇐⇒ P1

• D2 ⇐⇒ P2

• D3 ⇐⇒ P3

• D1 ⇐⇒ P4




7.2 Recrutamento 173

7.2 Recrutamento

7.2.1 Enunciado

Para o preenchimento de 5 lugares, foi pedido a 5 candidatos que manifes-tassem as suas preferencias. Estas foram expressas da seguinte forma:

• indiferenca relativamente ao lugar: ind ;

• preferencia positiva: numa escala de +1 a +10;

• inconveniente: numa escala de -1 a -10.

LugaresCandidatos 1 2 3 4 5

1 -5 +8 -1 ind +42 -4 +2 +2 +3 +2

3 ind ind -5 -1 +34 -3 +3 +2 -2 -1

5 -1 +5 ind +3 +5

(a) Atribua os lugares aos candidatos por forma a maximizar a satisfacaoglobal das preferencias;

(b) Resolva o problema de modo a que o candidato menos satisfeito seja“colocado”com o mınimo de “inconveniencia”.





7.2.2 Resolucao

(a) Atribuir os lugares aos candidatos por forma a maximizar a satisfacaoglobal das preferencias:

Quadro inicial.Associar um valor zero as afecta-coes ind .Problema de maximizacao.


1 -5 +8 -1 0 +42 -4 +2 +2 +3 +23 0 0 -5 -1 +34 -3 +3 +2 -2 -15 -1 +5 0 +3 +5

Somar +5 a todos os elementos,para que todos os elementos ≥ 0.Problema de maximizacao.


1 0 13 4 5 92 1 7 7 8 73 5 5 0 4 84 2 8 7 3 45 4 10 5 8 10

Problema de minimizacao.Complemento para o maximo 13dos elementos da matriz.

13 0 9 8 412 6 6 5 68 8 13 9 511 5 6 10 99 3 8 5 3

Subtraccao em cada linha do me-nor elemento dessa linhaSubtraccao em cada coluna do me-nor elemento dessa coluna

10 0 8 8 44 1 0 0 10 3 7 4 03 0 0 5 43 0 4 2 0

1a iteracao (5 = 5)Solucao optima

10 0 8 8 4

4 1 0 0 1

0 3 7 4 0

3 0 0 5 4

3 0 4 2 0

O valor da solucao optima e 18.




7.2 Recrutamento 175

Uma possıvel solucao optima seria:

• Candidato1⇐⇒ Lugar2





(b) A resolucao do problema de modo a que o candidato menos satisfeitoseja “colocado”com o mınimo de “inconveniencia”, corresponde a resol-ver um problema denominado “Bottleneck Assignment Problem”.

Considere-se entao uma afectacaoinicial igual a afectacao optima ob-tida na alınea (a):

-5 +8 -1 0 +4

-4 +2 +2 +3 +2

0 0 -5 -1 +3

-3 +3 +2 -2 -1

-1 +5 0 +3 +5

Min{0, 8, 2, 3, 5} = 0Faca-se entao a seguinte substitui-cao:

• valores > 0→ 0

• valores ≤ 0→ 1

1 0 1 1 01 0 0 0 0

1 1 1 1 0

1 0 0 1 1

1 0 1 0 0

Dado que a primeira coluna do quadro so tem valores = 1, a afectacaooptima para o “Bottleneck Assignment Problem”e a obtida na alınea(a).





7.3 Romeu e Julieta

7.3.1 Enunciado

Dois jovens recem-casados, Romeu e Julieta, querem dividir as tarefas do-mesticas entre si, de forma a que cada um tenha o mesmo numero de tarefas(duas para cada um) e de forma a que o tempo total gasto por semana sejamantido no mınimo.

(a) Considerando a tabela seguinte, onde se encontram os tempos que cadaum deles gasta a executar cada uma das tarefas, resolva o problemadeste casal.

Compras Cozinha Limpeza RoupaRomeu 2 6 4 3Julieta 1.5 8.5 5.5 4

(b) Considere agora que, apos uma negociacao assaz difıcil, Romeu conse-guiu que a restricao das duas tarefas para cada um fosse levantada, istoe, todas as combinacoes do numero de tarefas atribuıdas a cada um saopossıveis.

Reformule o problema atendendo a esta nova situacao.




7.3 Romeu e Julieta 177

7.3.2 Resolucao

(a) Quadro inicial:

Compras Cozinha Limpeza RoupaRomeu 1 2 6 4 3Romeu 2 2 6 4 3Julieta 1 1.5 8.5 5.5 4Julieta 2 1.5 8.5 5.5 4

Subtraccao em cada linha do me-nor elemento dessa linha

0 4 2 10 4 2 10 7 4 2.50 7 4 2.5

Subtraccao em cada coluna do me-nor elemento dessa coluna

0 0 0 00 0 0 00 3 2 1.50 3 2 1.5

1a iteracao (3 < 4)

0 0 0 00 0 0 00 3 2 1.50 3 2 1.5


1.5 0 0 0

1.5 0 0 0

0 1.5 0.5 0

0 1.5 0.5 0

O custo da solucao optima (soma dos tempos) e 15.5.

Uma possıvel solucao optima seria:

• Romeu⇐⇒ cozinha

• Romeu⇐⇒ limpeza

• Julieta⇐⇒ compras

• Julieta⇐⇒ roupa





(b) Quadro inicial:

Compras Cozinha Limpeza Roupa Nada 1 Nada 2 Nada 3 Nada 4Romeu 1 2 6 4 3 0 0 0 0Romeu 2 2 6 4 3 0 0 0 0Romeu 3 2 6 4 3 0 0 0 0Romeu 4 2 6 4 3 0 0 0 0Julieta 1 1.5 8.5 5.5 4 0 0 0 0Julieta 2 1.5 8.5 5.5 4 0 0 0 0Julieta 3 1.5 8.5 5.5 4 0 0 0 0Julieta 4 1.5 8.5 5.5 4 0 0 0 0




7.4 Companhia de Navegacao Aerea 179

7.4 Companhia de Navegacao Aerea

7.4.1 Enunciado

Uma companhia de navegacao aerea assegura, entre tres cidades (A, B, C),os servicos representados na tabela seguinte:

Voo no Partida as Chegada asde a

1 A 09h00 B 12h002 A 10h00 B 13H003 A 15h00 B 18H004 A 20h00 C 24H005 A 22h00 C 02H006 B 04h00 A 07H007 B 11h00 A 14H008 B 15h00 A 18H009 C 07h00 A 11H0010 C 15h00 A 19H00

O custo de espera de um aviao no solo e considerado como proporcionalao tempo de espera.

Organize os voos (encadeando-os e associando-os aos avioes necessarios),por forma a minimizar os custos globais de espera no solo.

Nota: Considere apenas o caso de definicao de um ciclo diario, isto e, facao planeamento para um perıodo de 24 horas.





7.4.2 Resolucao

Para resolver o problema proposto, e necessario comecar por determinar, paracada aeroporto, que voo deve realizar um aviao que tenha chegado no voo x.O objetivo sera a minimizacao do tempo de espera em cada aeroporto.

Ter-se-ao entao que resolver 3 problemas de afectacao (um para cada ae-roporto). Esses problemas poderao ser resolvidos com quadros independentesou entao com um quadro unico:

Voo de Voo de partidachegada 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 16 23 3 ∞ ∞2 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 15 22 2 ∞ ∞3 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10 17 21 ∞ ∞4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 7 155 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 136 2 3 8 13 15 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞7 19 20 1 6 8 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞8 15 16 21 2 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞9 22 23 4 9 11 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞10 14 15 20 1 3 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

Subtraccao em cadacoluna do menor ele-mento dessa colunaSubtraccao em cada li-nha do menor elementodessa linha

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 5 0 ∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 5 0 ∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 0 19 ∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 0∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 00 0 7 12 12 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞17 17 0 5 5 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞12 12 19 0 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞17 17 0 5 5 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞12 12 19 0 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞




7.4 Companhia de Navegacao Aerea 181

1a iteracao (8 < 10)

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 5 0 ∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 5 0 ∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 0 19 ∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 0∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 00 0 7 12 12 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞17 17 0 5 5 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞12 12 19 0 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞17 17 0 5 5 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞12 12 19 0 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

2a iteracao (9 < 10)

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 0 0 ∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 0 0 ∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 0 24 ∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 0∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 00 0 12 12 12 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞12 12 0 0 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞12 12 24 0 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞12 12 0 0 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞12 12 24 0 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

3a iteracao (10 = 10)Solucao optima.

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 0 0 ∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 0 0 ∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 0 24 ∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 0

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 0

0 0 24 24 24 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞0 0 0 0 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞0 0 24 0 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞0 0 0 0 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞0 0 24 0 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

Uma possıvel solucao optima sera:

• Voo de chegada 1 ⇐⇒ Voo de partida 8














Construindo uma“cadeia”por concatenacao das solucoes encontradas obtem-se:

1 =⇒ 8 =⇒ 4 =⇒ 9 =⇒ 2 =⇒ 7 =⇒ 3 =⇒ 6 =⇒ 15 =⇒ 10 =⇒ 5

O plano diario dos voos esta representado na figura seguinte:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

B A CVoo6 A Voo

1 B B Voo8 A A Voo

4

C Voo9 A

A Voo2 B

B AVoo7

Voo3 B

C Voo10 A A Voo

5CVoo5

Turno 1

Turno 2

Turno 3

Turno 4

Turno 5

Aeroporto departida

Aeroporto dechegada

X Vooz Y

Número dovoo

Sao portanto necessarios 5 avioes. Contudo, para que se verifique o “en-cadeamento” optimo encontrado, 4 avioes deverao rodar nos turnos 1 a 4 e o5o aviao deve fazer o turno 5, num ciclo de 4 dias (Ai, aviao i).

DiaTurno 1 2 3 4 5 . . .

1 A1 A4 A3 A2 A1 . . .2 A2 A1 A4 A3 A2 . . .3 A3 A2 A1 A4 A3 . . .4 A4 A3 A2 A1 A4 . . .5 A5 A5 A5 A5 A5 . . .




7.5 Asa de Luxo Lda 183

7.5 Asa de Luxo Lda

7.5.1 Enunciado

A empresa de transportes Asa de Luxo comprou 3 novos pequenos avioes.Apos um estudo de mercado foram identificados 4 possıveis destinos para osnovos voos a estabelecer: Monte Carlo, Ilhas Canarias, Biarritz, e as IlhasGregas. Para cada um dos destinos foi estimado o lucro (em M$) que cadaum dos avioes proporcionaria:

Destino A1 A2 A3

Monte Carlo 8 11 10Ilhas Canarias 10 9 9

Biarritz 9 4 8Ilhas Gregas 6 7 5

Numa reuniao, o administrador da Asa de Luxo (que possui um aparta-mento em Biarritz) decidiu que Biarritz seria necessariamente o destino deum dos tres avioes.

Por outro lado, o Director de Marketing considerou que, por uma questaode estrategia, se deveria atingir o maior numero possıvel de destinos, naoenviando portanto mais do que um aviao para cada destino.

O responsavel pela manutencao chamou a atencao para o facto de osavioes A1 e A3 nao poderem aterrar nas Ilhas Gregas.

Decida que aviao deve seguir para cada destino e ganhe uma viagemgratis para duas pessoas, para um destino a sua escolha (oferecida pela Asade Luxo, claro!...).





7.5.2 Resolucao

Quadro inicial.Problema de maximizacao.Acrescentou-se um aviao fictıciopara que numero de avioes = nu-mero de destinos.

Destino A1 A2 A3 FictıcioMonte Carlo 8 11 10 ?

Ilhas Canarias 10 9 9 ?Biarritz 9 4 8 ?

Ilhas Gregas 6 7 5 ?

Problema de minimizacao.Complemento para o maximo 11dos elementos da matriz.

Destino A1 A2 A3 FictıcioMonte Carlo 3 0 1 ?

Ilhas Canarias 1 2 2 ?Biarritz 2 7 3 ?

Ilhas Gregas 5 4 6 ?

Para evitar que A1 ou A3 sejamafectos as Ilhas Gregas, coloca-se∞ no custo dessa afectacao.Para obrigar que um dos avioes re-ais va para Biarritz, impede-se queo aviao fictıcio seja afecto a Biar-ritz, colocando ∞ no custo dessaafectacao.

3 0 1 01 2 2 02 7 3 ∞∞ 4 ∞ 0

Subtraccao em cada coluna do me-nor elemento dessa colunaSubtraccao em cada linha do me-nor elemento dessa linha

2 0 0 00 2 1 00 6 1 ∞∞ 4 ∞ 0

1a iteracao (3 < 4)

2 0 0 00 2 1 00 6 1 ∞∞ 4 ∞ 0


3 0 0 1

0 1 0 0

0 5 0 ∞∞ 3 ∞ 0

O valor (lucro) da solucao optima e 29 M$.Uma possıvel solucao optima seria:

• A1 ⇐⇒ Ilhas Canarias




7.5 Asa de Luxo Lda 185

• A2 ⇐⇒ Monte Carlo

• A3 ⇐⇒ Biarritz

• Fictıcio ⇐⇒ Ilhas Gregas





7.6 WFP na Costa da Somalia

7.6.1 Enunciado

1O problema da pirataria ao largo da costa somali nao e exclusivo do WFP.A crescente vulnerabilidade das rotas comerciais levou os governos da UE atentarem utilizar os meios ja no terreno, a escoltar os barcos do WFP, paraaumentarem a seguranca global daquelas aguas. Assim, Ramiro Lopes daSilva recebeu no seu gabinete da Via Cristoforo Colombo uma proposta daUE de transformar o que, em linguagem futebolıstica, se poderia designar demarcacao homem a homem numa marcacao a zona, isto e, os navios da UEdeixarem de escoltar cada navio do WFP, individualmente, para passarem avigiar uma zona marıtima, contribuindo assim para a dissuasao dos ataquespiratas, nao so aos navios do WFP mas tambem aos navios comerciais quecruzam aquelas aguas. Apesar da degradacao da proteccao aos seus navios,Ramiro nao tinha argumentos para contrariar esta mudanca de tactica.

Figura 1: Mapa da costa da Somalia e dos paıses vizinhos e zonas de patru-lhamento marıtimo.

Por questoes operacionais, as aguas da costa da Somalia foram divididasem 4 zonas (figura 1). No entanto, como ja sabemos, apenas 3 navios deguerra estao alocados a este programa de vigilancia: o MV Semlow, o HMS

1Exame de 2009.01.12 de MD do MIEA da FEUP




7.6 WFP na Costa da Somalia 187

Northumberland e o Bouvet. Sabendo que, por questoes de eficacia opera-cional, cada navio apenas pode vigiar uma zona, e querendo o WFP vigiaro maior numero de zonas possıvel, o Ramiro construiu uma tabela com onumero estimado de ataques piratas que seriam evitados se cada um dos na-vios fosse afectado a cada uma das zonas. Este trabalho foi desenvolvido emconjugacao com o comando militar da UE, uma vez que as diferentes carac-terısticas dos navios proporcionam eficacias de cobertura e patrulhamentomuito diferentes (Ramiro deu por si a pensar que nao era mau se a mari-nha francesa afectasse outro navio a estas missoes... o Bouvet era mesmofraquinho fosse qual fosse a zona que lhe fosse atribuıda...) – tabela 1.

Tabela 1: Estimativa do numero de ataques evitados com a afectacao de cadanavio a cada zona.

Z1 Z2 Z3 Z4

MV Semlow 20 22 24 23HMS Northumberland 18 15 16 14Bouvet 10 8 6 4

(a) Determine que navio deve patrulhar que zona, de forma a maximizaro numero total de ataques piratas evitados. Qual e esse numero (ogabinete de imprensa necessita dele com urgencia)?

(b) O Bouvet nao gostou da zona que lhe foi atribuıda e pediu para sermudado para outra zona. E possıvel fazer isso sem diminuir o numerototal de ataques evitados?





7.6.2 Resolucao

(a) Este e um problema de afectacao, de maximizacao e com uma matriznao quadrada. Comecemos por transformar o problema de maximiza-cao num problema de minimizacao, calculando o complemento para omaximo da matriz:

Z1 Z2 Z3 Z4

S 20 22 24 23N 18 15 16 14B 10 8 6 4

−→

Z1 Z2 Z3 Z4

S 4 2 0 1B 6 9 8 10B 14 16 18 20

Agora sera necessario acrescentar um barco fictıcio F para transformara matriz num matriz quadrada. A zona que ficar atribuıda a este barcofictıcio sera a zona nao patrulhada. Os “custos” atribuıdos ao barcofictıcio podem ser quaisquer desde que iguais para todas zonas. Opta-mos pelo valor 0 para originar menos quadros de resolucao. A partirdaı aplica-se o metodo o hungaro nos seus passos habituais, sendo oprimeiro deles a subtraccao, em cada linha, do menor elemento da li-nha. A italico representa-se o menor valor dos nao riscados e a pretocarregado os elementos riscados.

Z1 Z2 Z3 Z4

S 4 2 0 1B 6 9 8 10B 14 16 18 20F 0 0 0 0

−→

Z1 Z2 Z3 Z4

S 4 2 0 1B 0 3 2 4B 0 2 4 6F 0 0 0 0

Z1 Z2 Z3 Z4

S 4 1 0 0B 0 2 2 3B 0 1 4 5F 1 0 1 0

−→

Z1 Z2 Z3 Z4

S 5 1 0 0B 0 1 1 2B 0 0 3 4F 2 0 1 0

Atingidos os 4 riscos obrigatorios estamos perante um conjunto de 4zeros independentes, que representam a solucao optima do problema (apreto carregado no quadro seguinte). Esta solucao deve ser transpostapara a matriz original de forma a calcular-se o numero total de ataquesevitados.

Z1 Z2 Z3 Z4

S 5 1 0 0B 0 1 1 2B 0 0 3 4F 2 0 1 0

−→

Z1 Z2 Z3 Z4

S 20 22 24 23N 18 15 16 14B 10 8 6 4

A solucao optima sera pois:





• afectar o MV Semlow a zona 3;

• afectar o HMS Northumberland a zona 1;

• afectar o Bouvet a zona 2;

ficando a zona 4 sem patrulhamento, resultando esta solucao num totalde ataques evitados de 24 + 18 + 8 = 50.

(b) Apesar do desconforto do Bouvet nao e possıvel afecta-lo a outra zonasem com isso diminuir o numero total de ataques evitados, uma vezque nao ha solucoes optimas alternativas, isto e, a escolha dos 4 zerosindependentes no quadro final e unica.




Capıtulo 8

Problemas de Fluxo Maximo


• Formular um problema como uma rede de fluxos.

• Determinar o fluxo maximo que pode atravessar a rede atraves do algo-ritmo de adicao sucessiva de fluxos desde o no inicial ao no final da rede,incluindo fluxos ”negativos”nalguns ramos ja percorridos por fluxos desentido contrario.

• Determinar cortes mınimos na rede, que provam a optimalidade dasolucao.

• A partir da rede na situacao de fluxo maximo saber responder a ques-toes como:

– justifica-se ou nao a substituicao de um troco?

– que troco da rede ampliar para aumentar o fluxo que a pode atra-vessar?




192 Problemas de Fluxo Maximo

Exercıcios

8.1 Exercıcio dos Depositos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

8.2 Exercıcio No 1 a No 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

8.3 Exercıcio No 1 a No 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

8.4 Exercıcio No 0 a No 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

8.5 Exercıcio Fluxo Maximo no ShopShopping . . . . . . . . . 204

8.6 WFP na Costa da Somalia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206




8.1 Exercıcio dos Depositos 193

8.1 Exercıcio dos Depositos

8.1.1 Enunciado

De tres depositos A, B e C, dispondo respectivamente de 20, 10 e 35 toneladasde um dado produto, pretende-se fazer chegar a tres destinos D, E e F,respectivamente 25, 20 e 20 toneladas do produto. As disponibilidades detransporte em camiao entre os diferentes pontos, sao as seguintes:

D E FA 15 10 —B 5 — 10C 10 5 5

Estabeleca o melhor plano de transportes.(Sugestao: considere um no fictıcio agregando a oferta e um no fictıcio

agregando a procura).





8.1.2 Resolucao

O problema proposto e um problema de fluxo maximo. Seguindo a sugestaodo enunciado, acrescentou-se ao problema um no fictıcio (X) agregando aoferta dos depositos A, B e C e um no fictıcio (Y ) agregando a procura dosdestinos D, E e F . A rede inicial esta representada na figura seguinte.

(20,0)

A (15,0) D

(25,0)

X (10,0) B

(10,0)

E (20,0) Y

(35,0)

C (5,0) F

(20,0)

(10,0)

f=0 f=0

(5,0)

(5,0)(10,0)

Seguindo o algoritmo de fluxo maximo, seleccionou-se um caminho naosaturado entre o no de entrada e o no de saıda. O caminho seleccionadofoi X → A → D → Y . Esse caminho tem uma capacidade maxima de 15(capacidade do ramo com menor capacidade A → D). Na figura seguinte oramo A→ D foi representado a traco mais grosso e somou-se 15 ao fluxo deentrada e de saıda.

(20,15)

A (15,15) D

(25,15)

X (10,0) B

(10,0)

E (20,0) Y

(35,0)

C (5,0) F

(20,0)

(10,0)

f=15 f=15

(5,0)

(5,0)(10,0)

O caminho nao saturado seleccionado a seguir foi X → B → F → Y .Esse caminho tem uma capacidade maxima de 10 (capacidade dos ramoscom menor capacidade X → B e B → F ). Na figura seguinte os ramos commenor capacidade X → B e B → F foram representados a traco mais grossoe somou-se 10 ao fluxo de entrada e de saıda.





(20,15)

A (15,15) D

(25,15)

X (10,10) B

(10,10)

E (20,0) Y

(35,0)

C (5,0) F

(20,10)

(10,0)

f=25 f=25

(5,0)

(5,0)(10,0)

O caminho nao saturado seleccionado a seguir foi X → A → E → Y .Esse caminho tem uma capacidade maxima de 5 (capacidade do ramo commenor capacidade X → A). Na figura seguinte o ramo com menor capacidadeX → A foi representado a traco mais grosso e somou-se 5 ao fluxo de entradae de saıda.

(20,20)

A (15,15) D

(25,15)

X (10,10) B

(10,10)

E (20,5) Y

(35,0)

C (5,0) F

(20,10)

(10,5)

f=30 f=30

(5,0)

(5,0)(10,0)

O caminho nao saturado seleccionado a seguir foi X → C → D → Y .Esse caminho tem uma capacidade maxima de 10 (capacidade do ramo commenor capacidade C → D). Na figura seguinte o ramo com menor capacidadeC → D foi representado a traco mais grosso e somou-se 10 ao fluxo de entradae de saıda.

(20,20)

A (15,15) D

(25,25)

X (10,10) B

(10,10)

E (20,5) Y

(35,10)

C (5,0) F

(20,10)

(10,5)

f=40 f=40

(5,0)

(5,0)(10,10)

O caminho nao saturado seleccionado a seguir foi X → C → E → Y .Esse caminho tem uma capacidade maxima de 5 (capacidade do ramo com





menor capacidade C → E). Na figura seguinte o ramo com menor capacidadeC → E foi representado a traco mais grosso e somou-se 5 ao fluxo de entradae de saıda.

(20,20)

A (15,15) D

(25,25)

X (10,10) B

(10,10)

E (20,10) Y

(35,15)

C (5,0) F

(20,10)

(10,5)

f=45 f=45

(5,0)

(5,5)(10,10)

O caminho nao saturado seleccionado a seguir foi X → C → F → Y .Esse caminho tem uma capacidade maxima de 5 (capacidade do ramo commenor capacidade C → F ). Na figura seguinte o ramo com menor capacidadeC → F foi representado a traco mais grosso e somou-se 5 ao fluxo de entradae de saıda.

(20,20)

A (15,15) D

(25,25)

X (10,10) B

(10,10)

E (20,10) Y

(35,20)

C (5,5) F

(20,15)

(10,5)

f=50 f=50

(5,0)

(5,5)(10,10)

Corte mínimo

Na figura anterior esta representado um corte mınimo (que separa to-talmente a entrada da saıda). Pode-se entao afirmar que o fluxo maximonesta rede (a quantidade maxima de toneladas que pode ser transportadados depositos para os destinos) e 50.

O melhor plano de transportes sera entao:

D E FA 15 5 —B 0 — 10C 10 5 5





Os destinos E e F nao sao completamente abastecidos, nao porque naoexista disponibilidade nos depositos (C ficou ainda com 15 toneladas), masporque a disponibilidade de transporte nao o permite. Para resolver estecaso concreto seria necessario incrementar as disponibilidades de transportea partir de C, nomeadamente para E e F .





8.2 Exercıcio No 1 a No 6

8.2.1 Enunciado

Considere a seguinte rede, em que os numeros nos arcos representam a capa-cidade do arco (quantidade de fluxo que o pode atravessar):

10

2

10

1 15 3 5 20 6

20

4

5

5

15

12

Determine o fluxo maximo possıvel (entre os nos 1 e 6) e represente osfluxos na rede na situacao de fluxo maximo.




8.2 Exercıcio No 1 a No 6 199

8.2.2 Resolucao

A rede inicial esta representada na figura seguinte.

(10,0)

2

(10,0)

1 (15,0) 3 5 (20,0) 6

(20,0)

4

(5,0)

(5,0)

f=0 f=0

(15,0)

(12,0)

Seguindo o algoritmo de fluxo maximo, seleccionou-se um caminho naosaturado entre o no de entrada e o no de saıda. O caminho seleccionadofoi 1 → 4 → 5 → 6. Esse caminho tem uma capacidade maxima de 15(capacidade do ramo com menor capacidade 4 → 5). Na figura seguinte oramo 4 → 5 foi representado a traco mais grosso e somou-se 15 ao fluxo deentrada e de saıda.

(10,0)

2

(10,0)

1 (15,0) 3 5 (20,15) 6

(20,15)

4

(5,0)

(5,0)

f=15 f=15

(15,15)

(12,0)

O caminho nao saturado seleccionado a seguir foi 1 → 2 → 6. Essecaminho tem uma capacidade maxima de 10 (capacidade dos ramos commenor capacidade 1 → 2 e 2 → 6). Na figura seguinte os ramos com menorcapacidade 1→ 2 e 2→ 6 foram representados a traco mais grosso e somou-se10 ao fluxo de entrada e de saıda.

(10,10)

2

(10,10)

1 (15,0) 3 5 (20,15) 6

(20,15)

4

(5,0)

(5,0)

f=25 f=25

(15,15)

(12,0)





O caminho nao saturado seleccionado a seguir foi 1 → 3 → 5 → 6. Essecaminho tem uma capacidade maxima de 5 (capacidade do ramo com menorcapacidade → 5 → 6). Na figura seguinte o ramo com menor capacidade5 → 6 foram representados a traco mais grosso e somou-se 5 ao fluxo deentrada e de saıda.

(10,10)

2

(10,10)

1 (15,5) 3 5 (20,20) 6

(20,15)

4

(5,0)

(5,0)

f=30 f=30

(15,15)

(12,5)

O caminho nao saturado seleccionado a seguir foi 1 → 4 → 6. Esse ca-minho tem uma capacidade maxima de 5 (capacidade dos ramos com menorcapacidade 1 → 4 e 4 → 6). Na figura seguinte os ramos com menor capa-cidade 1→ 4 e 4→ 6 foram representados a traco mais grosso e somou-se 5ao fluxo de entrada e de saıda.

(10,10)

2

(10,10)

1 (15,5) 3 5 (20,20) 6

(20,20)

4

(5,5)

(5,0)

f=35 f=35

(15,15)

(12,5)

Corte mínimo

Na figura anterior esta representado um corte mınimo (que separa total-mente a entrada da saıda). Pode-se entao afirmar que o fluxo maximo nestarede e 35.






8.3.1 Enunciado

Considere a seguinte rede, em que os numeros nos arcos representam a capa-cidade do arco (quantidade de fluxo que o pode atravessar):

15

2

1 20 3

5

15

7

10

4

10

2

5

5

6

15

3

4

4

Determine o fluxo maximo possıvel (entre os nos 1 e 7) e represente osfluxos na rede na situacao de fluxo maximo.





8.3.2 Resolucao

(15,5)

2

1 (20,20) 3

5

(15,9)

7

(10,9)

4

(10,10)

(2,2)

(5,5)

(5,3)

6

(15,15)

(3,3)

(4,2)

(4,4)

Corte mínimo

34 34

Na figura anterior esta representado um corte mınimo (que separa total-mente a entrada da saıda). Pode-se entao afirmar que o fluxo maximo nestarede e 34.






8.4.1 Enunciado

Determine a quantidade maxima de um produto que pode ser enviada atra-ves da rede seguinte, entre a origem e o destino 4. Existem limitacoes nasquantidades que podem atravessar cada arco, encontrando-se as respectivasquantidades maximas representadas junto a cada arco. Considere que esseproduto se encontra disponıvel na origem 0 em quantidade ilimitada.

1

2 3

4

1 2

3 2

1

2 1

0

3

4

Em que arco(s) aumentaria as quantidades maximas admissıveis, de formaa conseguir aumentar a quantidade maxima de produto que e possıvel fazerpassar pela rede?





8.5 Exercıcio Fluxo Maximo no ShopShop-

ping

8.5.1 Enunciado

Uma parte do ShopShopping vai ser construıda imitando uma plataforma deexploracao subaquatica: duas grandes cupulas ligadas por um grande corre-dor. Para que a circulacao de pessoas no centro comercial decorra de umaforma fluida, e necessario que este corredor nao restrinja o fluxo maximo quepode atravessar a seccao subaquatica do centro comercial. Na figura seguinterepresenta-se esquematicamente a planta desta parte do ShopShopping.

Entrada Saída

Cúpula 1 Cúpula 2

1

2

3 2 1

2 3

5 4 ? 2

2 2 1

1

1

1 3 3

4

Em cada corredor esta indicada a respectiva capacidade (em dezenas depessoas por minuto). O corredor de ligacao entre as duas cupulas esta aindapor dimensionar, dado o seu elevado custo, crescente com o aumento decapacidade que se lhe queira atribuir. Note que por questoes de segurancae fluidez de circulacao os corredores funcionam como caminhos de sentidounico (ver setas na figura).

Resolvendo este problema como de fluxo maximo indique qual deve ser acapacidade do corredor de ligacao de forma a que o fluxo que atravessa ascupulas seja maximo e o custo do corredor de ligacao o menor possıvel.




8.5 Exercıcio Fluxo Maximo no ShopShopping 205

8.5.2 Resolucao

Esta questao pode ser resolvida de duas maneiras diferentes:

(a) Consideram-se duas sub-redes, correspondendo cada uma a uma dassub-cupulas, calculam-se os fluxos maximos que podem atravessar cadauma delas separadamente e dimensiona-se o corredor para o menordesses fluxos (para ter menor custo).

(b) Considera-se uma rede so, em que o ramo que representa o corredor naotem uma capacidade maxima pre-definida, e calcula-se o fluxo maximoque pode atravessar essa rede. O fluxo que atravessar o ramo“corredor”define a capacidade que lhe deve ser atribuıda.

Vai-se seguir a segunda hipotese nesta resolucao. Apresenta-se de seguidaa rede ja na situacao de fluxo maximo, com a indicacao do corte mınimo(a) que justifica a optimalidade (maximo) do fluxo. Apresenta-se tambem,embora nao fosse necessario, um segundo corte (b) que tambem e mınimo.

(1,1)

(2,2)

(3,3)

(1,2) (0,1)

(0,2) (2,3)

(4,5) (3,4)

(6,?)

(2,2) (2,2) (2,2)

(0,1)

(0,1)

(1,1)

(1,1) (2,3) (2,3)

(2,4)

F = 6 F = 6

(a) (b)





8.6 WFP na Costa da Somalia

8.6.1 Enunciado1Por mais inacreditavel que pareca, mesmo em situacoes de emergencia, comoa que se vive na Somalia, podem ocorrer emergencias maiores ainda. Sendoa situacao na generalidade do territorio de pre-rotura na disponibilizacao dealimentos as populacoes, em Moqdisho a rotura tornou-se uma realidade,com graves crises sociais e faccoes da populacao a lutar contra outras faccoespor alimentos.

Nesta situacao o WFP, para alem de utilizar todos os barcos mercantesdisponıveis, utiliza uma capacidade de carga adicional, que tem a grandevantagem de estar ja no teatro das operacoes: os navios que fazem parteda forca de guerra naval que assegura a escolta dos navios comerciais e dasorganizacoes humanitarias que cruzam aquelas aguas. Estes navios nao temuma capacidade de carga muito grande, mas podem significar umas toneladasde alimentos a mais em Moqdisho. No entanto, a sua utilizacao tem que sercuidadosamente planeada para que a sua missao de escolta e patrulhamentonao seja prejudicada e nem um unico barco seja atacado e apresado pelospiratas.

Segundo as orientacoes estrategicas mais recentes do comando militar daUE, cada navio tem uma rota dedicada, fazendo o patrulhamento perma-nente dessa rota. Assim, cada navio liga dois portos e, para fazer chegar osalimentos a Moqdisho devera fazer o transbordo da carga para outro naviode guerra que parta desse porto e assim, sucessivamente, se faz chegar estaquantidade extra de alimentos a Moqdisho. Na figura 1 sao representadas asligacoes entre os portos e na tabela 1 sao representada as capacidades (emtoneladas de alimentos) dos navios que asseguram cada uma dessas ligacoes.

Tabela 1: Capacidade de transporte de alimentos dos barcos de guerra (to-neladas).

Salalah Adam Boosaaso Bender Beila Moqdisho Chisimato Mombasa Dar es Salam(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

(1) Salalah - 27 - 12 - - - -(2) Adam - - 30 18 - - - -(3) Boosaaso - - - - 36 - - -(4) Bender Beila - - - - 50 - - -(5) Moqdisho - - - - - - - -(6) Chisimato - - - - 32 - - -(7) Mombasa - - - - 34 31 - -(8) Dar es Salam - - - 27 29 24 44 -






Figura 1: Rotas dos navios de guerra nas missoes de patrulhamento.

(a) Usando o algoritmo de fluxo maximo, determine qual e a quantidademaxima de alimentos que consegue fazer chegar a Moqdisho a partirdo porto de Dar Es Salam (porto de saıda da ajuda alimentar vinda daEuropa). Prove que a solucao que encontrou e optima.

(b) Felizmente tambem o Oriente se mobilizou para acudir a esta catastrofee toneladas de alimentos estao a chegar ao porto de Salalah. Pretende-se agora saber qual e a quantidade maxima de alimentos que se podefazer chegar a Moqdisho a partir, simultaneamente, de Dar es Salam eSalalah. Como resolveria o problema? Conseguiria garantir a optima-lidade da solucao?





8.6.2 Resolucao

(a) Representando os dados constantes da figura 1 e da tabela 1 num grafo,obtem-se a seguinte rede de fluxos. A cada arco (orientado) esta asso-ciado um par de valores que representam, respectivamente, o valor dofluxo que atravessa o arco e a capacidade desse mesmo arco. A nume-racao dos nos corresponde a da tabela 1, sendo o no de entrada na redeo no 8 e o no de saıda o no 5.

8

7

6

5

4

3

2

1

(0,44) (0,34) (0,27)

(0,29)

(0,31)

(0,24) (0,32) (0,36)

(0,12) (0,50)

(0,18)

(0,27)

(0,30)

fin = 0

fout = 0

Em cada iteracao, sempre que um arco dor seleccionado por pertencerao caminho que se pretende saturar, sera representado a carregado e,caso um arco fique saturado, passara a ser representado a vermelho.

Iteracao 1: saturar o caminho 8-7-5, fazendo passar um fluxo de 34.

8

7

6

5

4

3

2

1

(34,44) (34,34) (0,27)

(0,29)

(0,31)

(0,24) (0,32) (0,36)

(0,12) (0,50)

(0,18)

(0,27)

(0,30)

fin = 34

fout = 34

Iteracao 2: saturar o caminho 8-5, fazendo passar um fluxo de 29.

8

7

6

5

4

3

2

1

(34,44) (34,34) (0,27)

(29,29)

(0,31)

(0,24) (0,32) (0,36)

(0,12) (0,50)

(0,18)

(0,27)

(0,30)

fin = 63

fout = 63






8

7

6

5

4

3

2

1

(34,44) (34,34) (27,27)

(29,29)

(0,31)

(0,24) (0,32) (0,36)

(0,12) (27,50)

(0,18)

(0,27)

(0,30)

fin = 90

fout = 90


8

7

6

5

4

3

2

1

(34,44) (34,34) (27,27)

(29,29)

(0,31)

(24,24) (24,32) (0,36)

(0,12) (27,50)

(0,18)

(0,27)

(0,30)

fin = 114

fout = 114

Iteracao 5: saturar o caminho 8-7-6-5, fazendo passar um fluxo de 8.

8

7

6

5

4

3

2

1

(42,44) (34,34) (27,27)

(29,29)

(8,31)

(24,24) (32,32) (0,36)

(0,12) (27,50)

(0,18)

(0,27)

(0,30)

fin = 122

fout = 122





Neste momento nao parece existir qualquer caminho nao saturado entreo no 8 e o no 5. Tal e confirmado pela existencia de um corte mınimo,que confirma a garante a optimalidade da solucao obtida:

8

7

6

5

4

3

2

1

(42,44) (34,34) (27,27)

(29,29)

(8,31)

(24,24) (32,32) (0,36)

(0,12) (27,50)

(0,18)

(0,27)

(0,30)

fin = 122

fout = 122

Corte mínimo

(b) Nesta alınea passamos a ter dois nos de entrada, o no 1 e o no 8,mantendo-se o no 5 como o no de saıda da rede. A forma de resolver oproblema seria criando um no artificial (no I) que se ligaria aos nos 1e 8 com uma capacidade suficientemente grande para poder funcionarcomo infinita (nesta resolucao usou-se o numero 500) e resolver depoiso problema maximizando o fluxo entre o no I e o no 5, com o algo-ritmo habitual. Determinar-sei-ia o corte mınimo, garantindo-se assima optimalidade da solucao.

8

7

6

5

4

3

2

1

(0,44) (0,34) (0,27)

(0,29)

(0,31)

(0,24) (0,32) (0,36)

(0,12) (0,50)

(0,18)

(0,27)

(0,30)

fin = 0

fout = 0

I

(0,500) (0,500)




Capıtulo 9

Problemas de Caminho Mınimo


• Formular um problema como uma rede para a determinacao do caminhoentre dois nos que tem “custo” mınimo.

• Determinar a distancia mınima entre um no e todos os outros nos darede atraves do algoritmo de Dijkstra, quer para redes com ramos naodirigidos quer com ramos dirigidos (com um sentido).

• Determinar o caminho mınimo atraves da subtracao das etiquetas dosnos da rede.

• A partir das etiquetas determinar, sempre que possıvel, a distancia e ocaminho mınimo entre outros dois nos que nao os inicialmente conside-rados.

– Saber em que circunstancias e que isso pode ser feito e em quecircunstancias nao pode.




212 Problemas de Caminho Mınimo

Exercıcios

9.1 Rede Caminho Mınimo No 1 ao No 6 . . . . . . . . . . . . 213

9.2 Guerra Azuis e Verdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

9.3 Ven de Dor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

9.4 Tabuleiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

9.5 Perseguicao ao Ladrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227




9.1 Rede Caminho Mınimo No 1 ao No 6 213

9.1 Rede Caminho Mınimo No 1 ao No 6

9.1.1 Enunciado

Considere a seguinte rede:

15

1

2

3

4

5

69

2

3

16

21

7

4 6

(a) Usando o algoritmo de Dijkstra, determine a distancia mınima do no 1ao no 6 e indique o respectivo caminho.

(b) Pode, apenas a partir dos calculos feitos em (a), dizer qual e a distanciamınima do no 1 ao no 4? Justifique.

(c) Poderia, nas mesmas circunstancias, indicar qual a distancia mınimaentre os nos 2 e 6? Justifique.





9.1.2 Resolucao

(a) Usando o algoritmo de Dijkstra, obtem-se o seguinte quadro:

Nositer 1 2 3 4 5 60 0∗ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞1 0∗ 15 9∗ ∞ ∞ ∞2 0∗ 13 9∗ 12∗ 25 ∞3 0∗ 13∗ 9∗ 12∗ 18 334 0∗ 13∗ 9∗ 12∗ 18∗ 335 0∗ 13∗ 9∗ 12∗ 18∗ 25∗

A distancia mınima entre o no 1 e o no 6 e igual a 25. O caminhomınimo (1→ 3→ 4→ 5→ 6) esta representado na figura seguinte.

151

2

3

4

5

69

2

3

16

21

74 6

(b) E possıvel, apenas a partir dos calculos feitos em (a), dizer qual e adistancia mınima do no 1 ao no 4, dado que essa distancia seria igualao valor da etiqueta definitiva do no 4 (12), uma vez que, por definicao,o valor da etiqueta definitiva do no i e igual a distancia mınima entreo no i e a origem.

(c) Nao e possıvel, apenas a partir dos calculos feitos em (a), indicar quala distancia mınima entre os nos 2 e 6, dado que a distancia mınimaentre os dois nos nao e igual a diferenca entre as distancias mınimasdesses nos a origem.




9.2 Guerra Azuis e Verdes 215

9.2 Guerra Azuis e Verdes

9.2.1 Enunciado

O Paıs Azul foi subitamente atacado pelas tropas do Paıs Verde. O Estado-Maior das Forcas Azuis reuniu de imediato para decidir sobre as movimenta-coes de tropas que se deviam efectuar, de modo a fazer frente a invasao dasForcas Verdes.

O Estado-Maior das Forcas Azuis foi informado que o ataque se estava aprocessar em 3 frentes distintas, com nomes de codigo β1, β2 e β3. Chegou-sede imediato a conclusao que seria necessario transportar duas divisoes decombate para β1, uma divisao para β2 e uma outra para β3. As Forcas Azuisdispunham nessa altura de 5 divisoes de combate nas cidades mais proximasda fronteira atacada, duas aquarteladas em α1 (em codigo, claro!), duas emα2 e uma aquartelada em α3 . Essas divisoes poderiam ser transportadaspara os locais em perigo, contudo os Avioes Verdes ja sobrevoavam o PaısAzul, e a movimentacao das divisoes teria que se fazer com o menor riscohumano possıvel.

Apos uma rapida inspeccao do mapa do territorio fez-se o esquema dafigura seguinte, onde se representam as estradas que podem ser utilizadaspelas divisoes de combate das Forcas Azuis (os valores representados nostrocos dos percursos sao distancias em quilometros).

α1 1

α2

α3

β1

β2

β3

1

2

2

3

3

1

1

4 2

5

3

24

Os generais das Forcas Azuis, peritos em Investigacao Operacional, preci-





savam de decidir de que aquartelamento deviam seguir as divisoes necessariasem β1, β2 e β3. O objetivo era a minimizacao das perdas humanas, relacio-nado directamente com o perigo de bombardeamento.

Durante a reuniao do Estado-Maior das Forcas Azuis, o general de 20estrelas Foj (em codigo, como nao podia deixar de ser) disse: “O perigode bombardeamento das divisoes em movimento pode ser considerado comodirectamente proporcional a distancia entre cada α e cada β. Nesse casodevem-se usar essas distancias como o perigo que uma divisao corre ao sertransportada de αi para βi e aplicar um algoritmo de afectacao para resol-ver o problema”. O general Jac acrescentou: “Podıamos tambem usar umalgoritmo de transportes para resolver o problema, considerando tambem asdistancias como uma medida para o perigo”. Por fim, o general Soj ordenou“A divisao que sobrar fica no aquartelamento respectivo”.

Siga as instrucoes dos generais Foj, Jac e Soj e informe-nos quais foramas decisoes tomadas pelo Estado-Maior das Forcas Azuis, porque nos somos as Forcas

Verdes!!!!





9.2.2 Resolucao

Numa primeira fase, vai ser necessario determinar os caminhos mınimos entreos αi e os βj, para depois usar esses valores tanto no algoritmo de afectacaosugerido pelo general Foj como no algoritmo de transportes sugerido pelogeneral Jac.

(a) Determinacao dos caminhos mınimos entre α1 e os βj:

Nositer α1 1 2 β1 β2 β3

0 0∗ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞1 0∗ 1∗ 3 ∞ ∞ ∞2 0∗ 1∗ 2∗ 3 5 ∞3 0∗ 1∗ 2∗ 3∗ 5 44 0∗ 1∗ 2∗ 3∗ 5 4∗

5 0∗ 1∗ 2∗ 3∗ 5∗ 4∗

Resultados:

• caminho α1 → 1→ β1, com “custo”3;


• caminho α1 → 1→ 2→ β3, com “custo”4.

(b) Determinacao dos caminhos mınimos que partem de α2 :


0 0∗ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞1 0∗ 2∗ 3 ∞ ∞ ∞2 0∗ 2∗ 3∗ 4 6 ∞3 0∗ 2∗ 3∗ 4∗ 6 54 0∗ 2∗ 3∗ 4∗ 6 5∗

5 0∗ 2∗ 3∗ 4∗ 6∗ 5∗

Resultados:



• caminho α2 → 2→ β3, com “custo”5.





(c) Determinacao dos caminhos mınimos que partem de α3 :


0 0∗ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞1 0∗ ∞ 1∗ ∞ ∞ 42 0∗ ∞ 1∗ 4 6 3∗

3 0∗ ∞ 1∗ 4∗ 6 3∗

4 0∗ ∞ 1∗ 4∗ 6∗ 3∗

Resultados:



• caminho α3 → 2→ β3, com “custo”3.

(d) Seguindo a sugestao do general Foj : “O perigo de bombardeamentodas divisoes em movimento pode ser considerado como directamenteproporcional a distancia entre cada α e cada β. Nesse caso devem-se usar essas distancias como o perigo que uma divisao corre ao sertransportada de αi para βi e aplicar um algoritmo de afectacao pararesolver o problema”.

Utilizem-se entao os valores obtidos pelo algoritmo de caminho mınimo,para o algoritmo de afectacao. O destino X no quadro abaixo corres-ponde a ordem do general Soj “A divisao que sobrar fica no aquartela-mento respectivo”.

Divisoes necessariasDivisoes β1 β1 β2 β3

disponıveis 1 2 3 4 Xα1 1 3 3 5 4 0α1 2 3 3 5 4 0α2 3 4 4 6 5 0α2 4 4 4 6 5 0α3 5 4 4 6 3 0

1 2 3 4 X1 0 0 0 1 02 0 0 0 1 03 1 1 1 2 04 1 1 1 2 05 1 1 1 0 0

4 tracos < 5





1 2 3 4 X

1 0 0 0 1 1

2 0 0 0 1 1

3 0 0 0 1 0

4 0 0 0 1 0

5 1 1 1 0 1

5 tracos, solucao optima com custo3 + 3 + 6 + 3 + 0 = 15.

A conclusao deste estudo e a seguinte:

• as duas divisoes aquarteladas em α1 devem ir para β1 (passandopor 1);

• uma das divisoes aquarteladas em α2 deve ir para β2 (passandopor 1) e a outra deve-se manter em α2;

• a divisao aquartelada em α3 deve ir para β3 (passando por 2).

O custo (perigo) total da solucao sera 15.

(e) Seguindo a sugestao do general Jac: “Podıamos tambem tentar usarum algoritmo de transportes para resolver o problema, usando tambemas distancias como uma medida para o perigo”.

Utilizacao dos valores obtidos pelo algoritmo de caminho mınimo, parao algoritmo de transportes:

3

4

4

5

6

4

5

3

0

0

06

α1

α2

α3

1 1 12

2

2

1

β1 β2 β3 X

Obtencao da solucao inicial pela regra dos custos mınimos:





210

10

10

10

//

/ / /

2 1 0

2 1 0

1 0

/ /

/ /

/

1

1

--

--

1

--

--

--

1

1

--

0

3

4

4

5

6

6

4

5

3

0

0

0

Primeiro quadro do algoritmo de transportes:

3

4

3

0 2 0 -3

1+θ

1-θ

--

--

1

--

--

--

1

1-θ

θ

0

3

4

4

5

6

6

4

5

3

0

0

01 1

1

1 -1

0

Do quadro anterior retira-se que θ = 1 e pode-se obter segundo quadrodo algoritmo de transportes:





2

0

--

--

1

--

--

--

1

--

1

0

0 2 -1 -4

3

4

4

3

4

4

5

6

6

4

5

3

0

0

00 0

1

2

0 1

A conclusao deste estudo e igual a obtida pelo algoritmo de afectacao(como seria de esperar):

• as duas divisoes aquarteladas em α1 devem ir para β1 (passandopor 1);

• uma das divisoes aquarteladas em α2 deve ir para β2 (passandopor 1) e a outra deve-se manter em α2;

• a divisao aquartelada em α3 deve ir para β3 (passando por 2).

O custo (perigo) total da solucao sera 2×3 + 1×6 + 1×0 + 1×3 = 15.





9.3 Ven de Dor

9.3.1 Enunciado

O Sr. Ven de Dor, tecnico de vendas, vai comprar um carro novo. Dadasas caracterısticas da profissao do Sr. Ven de Dor, o veıculo sofrera umautilizacao muito grande, o que implica que, apesar de o Sr. Ven de Dor seir reformar daqui a 3 anos, possa ser economicamente mais favoravel trocarde carro ao fim de 1 ou 2 anos, em vez de o manter durante os 3 anos.Isto sobretudo porque os custos de utilizacao e manutencao crescem muitorapidamente com o envelhecimento dos veıculos.

O Sr. Ven de Dor sentou-se a sua secretaria e calculou o custo total,preco de um carro novo menos o que o stand da pelo usado, mais os custosde utilizacao e manutencao (oficina...), de comprar um carro novo no anoi e troca-lo no fim do ano j (o ano 0 e agora). Na tabela seguinte estaorepresentados (em milhares de escudos) os custos calculados pelo Sr. Ven deDor.

i0 1 2

1 800j 2 1800 1000

3 3100 2100 1200

Assim, por exemplo, trocar o carro agora comprado (fim do ano 0) no fimdo ano 1 e depois manter o carro comprado no fim do ano 1 ate ao fim doano 3, corresponde a um custo de 800 + 2100 = 2900.

O Sr. Ven de Dor tem que decidir quantas vezes deve trocar de carro (sealguma) de forma a minimizar a sua despesa total com carros durante estes3 anos.

(a) Formule este problema como um problema de caminho mınimo.

(b) Resolva o problema utilizando o algoritmo de Dijkstra.




9.3 Ven de Dor 223

9.3.2 Resolucao

(a) A representacao do problema do Sr. Ven de Dor como um problema decaminho mınimo esta na figura seguinte.

1 2 3 4 800 1000 1200

2100

1800 3100

Fim ano 0 Fim ano 1 Fim ano 2 Fim ano 3

(b) Partindo da figura e utilizando o algoritmo de Dijkstra, obtem-se oquadro seguinte:

Nositer 0 1 2 30 0∗ ∞ ∞ ∞1 0∗ 800∗ 1800 31002 0∗ 800∗ 1800∗ 29003 0∗ 800∗ 1800∗ 2900∗

O caminho mınimo, que corresponde no problema ao custo mınimopara o Sr. Ven de Dor, sera 2900. Esse custo corresponde a seguintepolıtica optima de aquisicao de automoveis:

O Sr. Ven de Dor deve trocar de automovel ao fim de 1 ano e devemanter esse automovel ate ao fim do perıodo analisado.





9.4 Tabuleiro

9.4.1 Enunciado

Considere um tabuleiro com 3× 4 quadrıculas. Cada quadrıcula contem umnumero:

0 4 3 67 8 6 82 3 1 8

O objetivo do jogo consiste em deslocar um peao desde o canto superior es-querdo ate ao canto inferior direito, atraves de uma sequencia de movimentospara a direita ou para baixo, de forma a minimizar o somatorio dos pontoscorrespondentes as quadrıculas por onde se passou.

(a) Formule este jogo como um problema de caminho mınimo.

(b) Resolva-o, usando uma das tecnicas estudadas na cadeira.




9.4 Tabuleiro 225

9.4.2 Resolucao

(a) A formulacao do jogo descrito como um problema de caminho mınimopassa por fazer corresponder a cada quadrıcula um no, que sera nume-rado de cima para baixo e da esquerda para a direita: 1, 2, 3, 4, 5, 6 . . .Entre quadrıculas adjacentes existirao ramos, orientados de acordo comos movimentos no tabuleiro. A distancia associada a cada ramo sera onumero constante na quadrıcula correspondente ao no de chegada.

Na figura seguinte esta representado o problema de caminho mınimoassociado ao jogo descrito.

1 4 2 3 3 6 4

5 8 6 6 7 8 8

9 3 10 1 11 8 12

7 8 6 8

2 3 1 8

(b) A partir da figura e utilizando o algoritmo de Dijkstra, obtem-se oquadro seguinte:

Nositer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120 0∗ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞1 0∗ 4∗ ∞ ∞ 7 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞2 0∗ 4∗ 7∗ ∞ 7 12 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞3 0∗ 4∗ 7∗ 13 7∗ 12 13 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞4 0∗ 4∗ 7∗ 13 7∗ 12 13 ∞ 9∗ ∞ ∞ ∞5 0∗ 4∗ 7∗ 13 7∗ 12∗ 13 ∞ 9∗ 12 ∞ ∞6 0∗ 4∗ 7∗ 13 7∗ 12∗ 13 ∞ 9∗ 12∗ ∞ ∞7 0∗ 4∗ 7∗ 13∗ 7∗ 12∗ 13 ∞ 9∗ 12∗ 13 ∞8 0∗ 4∗ 7∗ 13∗ 7∗ 12∗ 13∗ 21 9∗ 12∗ 13 ∞9 0∗ 4∗ 7∗ 13∗ 7∗ 12∗ 13∗ 21 9∗ 12∗ 13∗ ∞10 0∗ 4∗ 7∗ 13∗ 7∗ 12∗ 13∗ 21 9∗ 12∗ 13∗ 21∗





A solucao mınima para o jogo descrito no enunciado e 21, e correspondea distancia mınima entre o no 1 e o no 12. O percurso optimo estarepresentado a traco grosso na figura seguinte:

1 4 2 3 3 6 4

5 8 6 6 7 8 8

9 3 10 1 11 8 12

7 8 6 8

2 3 1 8




9.5 Perseguicao ao Ladrao 227

9.5 Perseguicao ao Ladrao

9.5.1 Enunciado

A esquadra da PSP de Cedofeita (Porto) recebeu um pedido muito urgentepara intervir numa tentativa de assalto numa ourivesaria localizada numarua proxima.

O Comando Operacional deseja conhecer qual sera o melhor trajecto a to-mar, por forma a minimizar o tempo da viagem ate ao objectivo pretendido.Usando um mapa daquela zona da cidade, representado esquematicamentena figura, e conhecidos os tempos (medios, em segundos) necessarios parapercorrer cada um dos trocos de rua representados, utilizaram entao o algo-ritmo de Dijkstra para determinar esse caminho mais curto (e, entretanto osladroes...).

Coloque-se no lugar do Comando, e, partindo da rede apresentada, en-contre esse caminho mınimo.





9.5.2 Resolucao

Simplificando o mapa da zona da cidade referida, este pode ser representandoesquematicamente tal como na figura seguinte. Repare que os nos 5, 6 e 7do esquema inicial formam um beco sem saıda.

1

2

3

4

8

10

12

13

14

6

12

11

9

8

16

8

10

7

13

10

11

14 Ourivesaria10 9 4

Simplificando ainda um pouco mais a rede da figura, obtem-se a seguinterede:

1

28

13

14

611 916

10

7

21

10

11

Ourivesaria46

9

4

Utilizando o algoritmo de Dijkstra, obtem-se o quadro seguinte:




9.5 Perseguicao ao Ladrao 229

Nositer 1 2 9 10 11 13 14 Our0 0∗ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞1 0∗ 8∗ ∞ ∞ ∞ 10 ∞ ∞2 0∗ 8∗ ∞ ∞ ∞ 10∗ 15 543 0∗ 8∗ ∞ ∞ 31 10∗ 15∗ 544 0∗ 8∗ ∞ ∞ 31∗ 10∗ 15∗ 545 0∗ 8∗ 47 42∗ 31∗ 10∗ 15∗ 546 0∗ 8∗ 46∗ 42∗ 31∗ 10∗ 15∗ 547 0∗ 8∗ 46∗ 42∗ 31∗ 10∗ 15∗ 54∗

A distancia mınima entre a esquadra e a ourivesaria sera entao igual a 54e o caminho mınimo sera 1→ 2→ Ourivesaria, ou seja, 1→ 2→ 3→ 4→8→ Ourivesaria.




Capıtulo 10

Planeamento e Controlo deProjetos


• A partir da descricao de um projeto, incluindo a lista de atividades e asrespetivas precedencias assim como a duracao media e o desvio-padraode cada atividade:

– desenhar a rede de atividades, na notacao de “atividades nos nos”;

– calcular, para cada atividade, as datas de inıcio mais cedo e maistarde, assim como as datas de fim mais cedo e mais tarde;

– calcular, para cada atividade, as folgas livres e totais;

– determinar o caminho crıtico do projeto.

• No caso de duracoes probabilısticas (PERT), calcular:

– a probabilidade do projeto ter uma duracao diferente da duracaomedia;

– a duracao associada a uma probabilidade dada.

• Face a necessidade de encurtar a duracao de um projeto e conhecendoos custos por unidade de reducao de cada uma das actividades, ava-liar e propor solucoes com o objetivo de minimizar o custo total dessareducao.

• Conhecendo a necessidade de utilizacao de recursos mais caros/escassos:




232 Planeamento e Controlo de Projetos

– determinar datas de inıcio das atividades do projeto por forma anivelar a utilizacao desses recursos nao ultrapassando a duracaodo projeto.

• Conhecendo a disponibilidade maxima de um recurso:

– determinar datas de inıcio das atividades do projeto por formacumprir a restricao de disponibilidade maxima, minimizando oaumento na duracao do projeto.




233

Exercıcios

10.1 Banco TTM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

10.2 Projeto A a I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

10.3 Projeto A a J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

10.4 9 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

10.5 Limpeza ShopShopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

10.6 UNIFIL no Lıbano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

10.7 Estorninhos em Evoramonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250





10.1 Banco TTM

10.1.1 Enunciado

O banco TTM (Tostao a Tostao se faz um Milhao) decidiu transferir e ampliara sua sede e servicos centrais para a cidade do Porto. Este projeto foi divididoem tarefas, tendo as suas precedencias sido estabelecidas e os tempos deexecucao medios, e seus desvios-padrao, estimados:

Atividade Descricao Duracao Desvio- Atividadesmedia Padrao imediatamente

(semanas) (semanas) posterioresLO Obtencao de licencas de obras 5 1 OA, ME RTFOA Obras de alteracao do edifıcio 21 2 IIME Medicao do espaco 1 0 PAI, PAMRTF Recrutamento e treino dos funcionarios 21 1 MPAI Planeamento e aquisicao de infra-estruturas 24 1 IIII Instalacao de infra-estruturas 7 1 IM

PAM Planeamento e aquisicao de mobiliario 10 1 IMIM Instalacao de mobiliario 1 0 MM Mudanca 2 0 —

(a) Desenhe a rede de atividades correspondente ao projeto.

(b) Calcule as folgas totais e livres e determine o caminho crıtico.

(c) Qual e a probabilidade de o projeto se atrasar 2 semanas ou mais?

(d) Durante a execucao do projeto conclui-se que as atividades OA e PAMsofrerao atrasos de 4 e 8 semanas, respectivamente. Sera necessarioalterar a execucao dessas atividades para que a data prevista para aconclusao do projeto nao seja comprometida? Justifique.




10.1 Banco TTM 235

10.1.2 Resolucao

(a) A rede esta representada na figura seguinte.

LO

OA

ME

RTF

PAI

PAM

II

IM

M

5

21

1

21

24

10

7

1

2

(b) Na figura seguinte estao representadas as folgas totais e livres de cadauma das atividades. O caminho crıtico corresponde as atividades LO →ME → PAI → II → IM →M

LO

OA

ME

RTF

PAI

PAM

II

IM

M

5

21

1

21

24

10

7

1

2

0 0 0

5 0 5

5

4 9

26 4 30

5 0 5

6 0 6

5 12 17

26 12 38

6 0 6

30 0 30

30 0 30

37 0 37

37 0 37

38 0 38

38 0 38

40 0

40

6 21 27

16 21 37

(c) Duracao total do projeto e igual a soma das duracoes das atividadesdo caminho crıtico:

DT = D1 +D2 +D3 + . . .+Dn = 40

Como as duracoes das atividades sao variaveis aleatorias, DT tambemsera uma variavel aleatoria com media µT dada por:

µT = µ1 + µ2 + µ3 + . . .+ µn = 40





Admitindo que as duracoes das atividades sao variaveis aleatorias in-dependentes, a variancia da duracao total σ2

T sera:

σ2T = σ2

1 + σ22 + σ2

3 + . . .+ σ2n = 12 + 02 + 12 + 12 + 02 = 3

Duracao total do projeto pode ser descrita por uma distribuicao normalcom media µT e variancia σ2

T .

A probabilidade de o projeto se atrasar 2 semanas ou mais, correspondea probabilidade de a duracao do projeto ser ≥ 42.

P (D ≥ 42) = P(Z ≥ 42−µT

σT

)= P

(Z ≥ 42−40√

3

)= P (Z ≥ 1.15) ≈

0.1251 ≈ 12.5%

(d) Dado que o atraso de 4 semanas na atividade OA, e menor ou igualque a folga total de OA, esse atraso nao compromete a data de fim doprojeto.

Dado que o atraso de 8 semanas na atividade PAM, e e menor ou igualque a folga total de PAM, esse atraso nao compromete a data de fimdo projeto.




10.2 Projeto A a I 237

10.2 Projeto A a I

10.2.1 Enunciado

No quadro seguinte estao representadas as atividades que constituem um de-terminado projecto. Para cada uma e fornecida a sua duracao e as atividadesque lhe sao imediatamente posteriores:

Atividade Duracao Atividadesmedia imediatamente

(semanas) posterioresA 2 GB 4 —C 7 E, I, BD 3 A, FE 3 GF 3 I, BG 4 HH 5 —I 9 H

Desenhe a rede de atividades associada a este projecto e determine ocaminho crıtico e as folgas totais e livres de todas as atividades do projecto.





10.2.2 Resolucao

Aa rede esta representada na figura seguinte.

XX

D

INICIO

0

C

7

D

3

A

2

G

4

B

4

FIM

0

E

3

I

9

F

3

H

5

Na figura seguinte estao representadas as folgas totais e livres de cada umadas actividades. O caminho crıtico corresponde as atividades C → I → H etem uma duracao media de 21 semanas.

EST

FL

LST

D

ID

EFT

FT

LFT

0,00

0,00

0,00

0,00

INICIO

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

7,00

C

7,00

0,00

7,00

0,00

0,00

1,00

3,00

D

3,00

1,00

4,00

3,00

5,00

10,00

2,00

A

5,00

7,00

12,00

10,00

2,00

12,00

4,00

G

14,00

2,00

16,00

7,00

10,00

17,00

4,00

B

11,00

10,00

21,00 21,00

0,00

21,00

0,00

FIM

21,00

0,00

21,00

7,00

0,00

9,00

3,00

E

10,00

2,00

12,00

7,00

0,00

7,00

9,00

I

16,00

0,00

16,00

3,00

1,00

4,00

3,00

F

6,00

1,00

7,0016,00

0,00

16,00

5,00

H

21,00

0,00

21,00




10.3 Projeto A a J 239

10.3 Projeto A a J

10.3.1 Enunciado

Considere o seguinte projecto:

Atividade Duracao Desvio- Atividadesmedia Padrao imediatamente

(semanas) (semanas) precedentesA 8 3 DB 1 0 HC 5 1 —D 8 2 —E 10 3 C, DF 6 2 HG 4 1 B, I, JH 5 1 A, EI 9 2 DJ 2 0 A, E

(a) Trace a rede de atividades para este projecto.

(b) Defina o caminho crıtico (em termos de duracoes medias).

(c) Defina as folgas medias (total e livre) das atividades H, J e I.

(d) Determine a probabilidade de o projecto estar concluıdo antes da se-mana 27 (admita que o projecto arranca no inıcio da semana 0). Cri-tique a estimativa da probabilidade obtida.

(e) Qual a probabilidade de o projecto estar concluıdo entre o inıcio dasemana 27 e o fim da semana 30?

(f) Que data de conclusao do projecto devera ser proposta, para que hajaapenas 5% de probabilidade de nao a cumprir?

(g) No fim da semana 13, o estado de execucao das diferentes atividades eo seguinte:

• atividades completas: C e D

• atividades em execucao:

– E (valor esperado da duracao restante: 1 semana)

– A (valor esperado da duracao restante: 1 semana)





– I (valor esperado da duracao restante: 8 semana)

– atividades nao iniciadas: as restantes

Redefina a rede. Indique sobre a rede os valores esperados das datas deinıcio mais cedo e das datas de fim mais tarde para as atividades naoterminadas, bem como o(s) caminho(s) crıtico(s), na nova situacao.





10.3.2 Resolucao


XX

D

INICIO

0

C

5

D

8

A

8

H

5

J

2

B

1

G

4

E

10

I

9

F

6

FIM

0

(b) Na figura seguinte estao representadas as folgas totais e livres de cadauma das actividades. O caminho crıtico corresponde as atividades D →E → H → F e tem uma duracao media de 29 semanas.

EST

FL

LST

XX

D

EFT

FT

LFT

0

0

0

INICIO

0

0

0

0 0

3

3

C

5

5

3

8

0

0

0

D

8

8

0

8

8

2

10

A

8

16

2

18

18

0

18

H

5

23

0

23

18

4

23

J

2

20

5

25

23

0

24

B

1

24

1

25

24

1

25

G

4

28

1

29

8

0

8

E

10

18

0

18

8

7

16

I

9

17

8

25

23

0

23

F

6

29

0

29

29

0

29

FIM

0

29

0

29

(c) Ver figura anterior.

(d) A duracao total do projeto e igual a soma das duracoes das atividadesdo caminho crıtico:

DT = D1 +D2 +D3 + . . .+Dn = 29






µT = µ1 + µ2 + µ3 + . . .+ µn = 8 + 10 + 5 + 6 = 29


T sera:

σ2T = σ2

1 + σ22 + σ2

3 + . . .+ σ2n = 22 + 32 + 12 + 22 = 18

Duracao total do projeto pode ser descrita por uma distribuicao normalcom media µT e variancia σ2

T .

Neste caso teremos entao:

P (D ≤ 27) = P(Z ≤ 27−µT

σT

)= P (Z ≤ 27−29

4.24) = P (Z ≤ −0.47) ≈

0.5− 0.1808 ≈ 0.32

A probabilidade de o projeto estar concluıdo antes da semana 27 e deaproximadamente 30%.

Foi dito que a duracao do caminho crıtico tinha uma distribuicao quetendia para a distribuicao normal. Isso significa que a sua distribuicaonao sera exactamente normal, tal como nos a consideramos. Estamospois perante uma possıvel fonte de erro para a estimativa da probabili-dade encontrada. Outro pressuposto que pode falsear os resultados e deque a duracao do projeto e a duracao do caminho crıtico encontrado.Ora este e o caminho crıtico quando as atividades demoram exacta-mente a sua duracao media. Se isso nao acontecer pode o caminhocrıtico ser alterado e a duracao do projeto nao corresponder a duracaodo caminho crıtico “medio”.

(e) A probabilidade de o projeto estar concluıdo entre o inıcio da semana27 e o fim da semana 30 corresponde a probabilidade de a duracao doprojeto estar entre 27 e 31.

P (27 ≤ D ≤ 31) = P(

27−294.24≤ Z ≤ 31−29

4.24

)= P (−0.47 ≤ Z ≤ 0.47) =

2× 0.1808 ≈ 0.36

(f) Devem-se propor 36 semanas ate a conclusao do projecto, para quehaja apenas 5% de probabilidade de nao cumprimento.





P (D ≥ d) = 0.05 ≡ P(Z ≥ d−29

4.24

)= 0.05 ≡ d−29

4.24= 1.645 ≡ d = 36

semanas

(g) A situacao intermedia referida no enunciado, esta representada na fi-gura seguinte:

EST

FL

LST

XX

D

EFT

FT

LFT

0

0

0

INICIO

0

0

0

0

0

0

0

A

1

1

0

1

0

0

0

E

1

1

0

1

0

0

0

I

8

8

0

8

1

0

1

H

5

6

0

6

1

5

6

J

2

3

5

8

6

1

7

B

1

7

1

8

8

0

8

G

4

12

0

12

6

0

6

F

6

12

0

12

12

0

12

FIM

0

12

0

12

Os caminhos crıticos correspondem as atividades E → H → F , A →H → F e I → G e tem uma duracao media de 12 semanas

A semana 0 desta rede corresponde a semana 14 da rede inicial, o quesignifica que o projeto pode terminar no inıcio da semana 26 (ou fimda semana 25), estando 3 semanas adiantado face a previsao inicial.





10.4 9 Atividades

10.4.1 Enunciado

Um dado projeto envolve as 9 atividades que se caracterizam na tabela se-guinte:

Atividade Duracao Desvio- Atividadesmedia Padrao imediatamente

(semanas) (semanas) anterioresA 10 2 —B 7 1 —C 16 3 —D 12 1 AE 5 1 BF 12 2 BG 8 2 E, DH 10 2 F, E, DI 8 2 G, H

(a) Defina os numeros de ordem das atividades, desenhe a rede correspon-dente e determine o caminho crıtico.

(b) Calcule as folgas medias total e livre das atividades F, B e D. Qual ointeresse desses valores no controlo de um projecto?

(c) Calcule a probabilidade de o projeto nao estar completo ao fim de 50semanas. Que confianca tem no valor encontrado?




10.4 9 Atividades 245

10.4.2 Resolucao


XX

D

INICIO

0

A

10

B

7

C

16

D

12

E

5

F

12

FIM

0

G

8

H

10

I

8

O caminho crıtico corresponde as atividades A → D → H → I e temuma duracao media de 40 semanas.

EST

LST

XX

D

EFT

LFT

0

0

INICIO

0

0

0

0

0

A

10

10

10

0

3

B

7

7

10

0

24

C

16

16

40

10

10

D

12

22

22

7

17

E

5

12

22

7

10

F

12

19

22

40

40

FIM

0

40

40

22

24

G

8

30

32

22

22

H

10

32

32

32

32

I

8

40

40

(b) Na figura seguinte estao representadas as folgas totais e livres de cadauma das atividades.





EST

FL

LST

XX

D

EFT

FT

LFT

0

0

0

INICIO

0

0

0

0

0

0

0

A

10

10

0

10

0

0

3

B

7

7

3

10

0

24

24

C

16

16

24

40

10

0

10

D

12

22

0

22

7

10

17

E

5

12

10

22

7

3

10

F

12

19

3

22

40

0

40

FIM

0

40

0

40

22

2

24

G

8

30

2

32

22

0

22

H

10

32

0

32

32

0

32

I

8

40

0

40

(c) A duracao total do projecto e igual a soma das duracoes das atividadesdo caminho crıtico:

DT = D1 +D2 +D3 + . . .+Dn = 40


µT = µ1 + µ2 + µ3 + . . .+ µn = 10 + 12 + 10 + 8 = 40


T sera:

σ2T = σ2

1 + σ22 + σ2

3 + . . .+ σ2n = 22 + 12 + 22 + 22 = 13

Duracao total do projecto pode ser descrita por uma distribuicao nor-mal com media µT e variancia σ2

T .

Neste caso teremos entao:

P (D ≥ 51) = P(Z ≥ 51−µT

σT

)= P (Z ≥ 51−40

3.61) = P (Z ≥ 3.05) ≈

1− 0.5− 0.4989 ≈ 0.0011

A probabilidade de o projecto nao estar concluıdo ao fim de 50 semanase de aproximadamente 1%.




10.5 Limpeza ShopShopping 247

10.5 Limpeza ShopShopping

10.5.1 Enunciado1 Quando um centro comercial fecha ao publico continua a fervilhar de vidano seu interior. E preciso limpar, esvaziar contentores, repor stocks nas lojas,fazer manutencao, etc., para que no dia seguinte tudo brilhe como no dia dainauguracao.

Estas tarefas tem que ser levadas a cabo de uma forma organizada erespeitando algumas precedencias entre elas. A sua duracao nao e determi-nıstica, mas a experiencia acumulada de outros centros comerciais permiteestabelecer que a duracao de cada atividade segue uma distribuicao normalcom media e desvio-padrao conhecidos.

Na tabela seguinte apresenta-se essa informacao:

Atividades Atividades imediatamente µ σanteriores (horas) (horas)

Recolha de resıduos (RL) — 2 0.5Lavagem de vidros e montras (LVM) D,MEA 3 1Limpeza do chao (LC) LVM,DEC,RS 4 0.5Desinfestacao (D) — 2 0Montagem de estruturas e andaimes (MEA) — 1 0Manutencao electrica (ME) MEA 2 1Reposicao de stocks (RS) RL 2 1Decoracao (DEC) RL,ME,D,MEA 1 1

(a) Indique o valor esperado para a duracao do projecto constituıdo porestas atividades, indicando as folgas total e livre para cada atividade.

(b) Qual e a probabilidade de este conjunto de atividades nao se concluirnas 10 horas em que o centro comercial esta encerrado?

1Exame de 1999.02.11 de IO da LEEC da FEUP





10.6 UNIFIL no Lıbano

10.6.1 Enunciado2No ambito das suas atividades de construcoes verticais, a UnEng5 tem comomissao a reconstrucao da escola primaria de Naqoura, parcialmente destruıdanos confrontos com Israel em 2006.

Este nao e um projeto complicado em termos de engenharia mas, dadoo seu caracter urgente, tem lugar de destaque nas prioridades da unidadeportuguesa.

A rede seguinte representa a relacao entre as varias atividades identifica-das como essenciais para concretizar o projeto, bem como as suas duracoes(valor medio e desvio padrao).

A

1

3

B

1

3

C

1

4

D

2

5

E

1

5

F

1

3

H

1

2

G

2

4

I

1

2

ES

LS

FS

Act

σ

µ

EF

LF

TS

(a) Determine a duracao e o caminho crıtico do projeto.

(b) Indique todas as folgas (total e livre) de cada uma das atividades doprojeto.

(c) Um atraso de 2 dias no inıcio da atividade F comprometera a duracaototal do projeto? Justifique.

(d) Qual a probabilidade do projeto se prolongar por 3 ou mais dias?





10.6 UNIFIL no Lıbano 249

10.6.2 Resolucao

(a) A rede do projecto esta desenhada na figura seguinte:

0

0

0

A

1

3

3

3

0

3

4

1

B

1

3

6

7

1

3

3

0

C

1

4

7

7

0

3

4

0

D

2

5

8

9

1

7

7

0

E

1

5

12

12

0

8

9

1

F

1

3

11

12

1

12

14

2

H

1

2

14

16

2

12

12

0

G

2

4

16

16

0

16

16

0

I

1

2

18

18

0

Duracao prevista: 18 dias

Caminho crıtico: A→C→E→G→I

(b) Folgas Totais e Livres indicadas na figura anterior.

(c) Tendo em conta que para a atividade F: FT = FL = 1 dia, um atrasode 2 dias no inıcio desta atividade implicaria um atraso de 1 dia naconclusao do projecto, que demoraria 19 dias a ser concluıdo.

(d) Duracao media do projecto:

µT = µA + µC + µE + µG + µI = 18

Variancia da duracao do projecto:

σ2T = σ2

A + σ2C + σ2

E + σ2G + σ2

I = 8

Prob(DT ≥ 21) = Prob(Z ≥ 21− 18√8

) = Prob(Z ≥ 1, 06) = 0, 1446 ' 14, 46%





10.7 Estorninhos em Evoramonte

10.7.1 Enunciado3Para resolver os problemas de falha das linhas, devidos aos bandos de estor-ninhos, foi decidido construir uma linha aerea a 30 kV, EV 30-25-32-08-01,com 6268 m, com origem no apoio no 13 da linha de MT a 15 kV (EV 15-37-14-03-01-05) Herdade dos Cortes e termino no apoio no 9 da linha de MT a 30kV (EV 30-03-35-11) Convento da Serra d’Ossa, freguesias de Evoramonte,Gloria e Redondo, concelhos de Estremoz e Redondo. Com esta linha serapossıvel estabelecer redundancia na distribuicao de energia e minimizar oscortes provocados pelos estorninhos.

A construcao desta nova linha pressupoe a execucao de 5 grandes ativi-dades:

(U) Estudo sobre os habitos de nidificacao dos estorninhos, a levar a cabopelas populacoes de Azaruja, Vimeiro e Estremoz.

(Y) Levantamento topografico do territorio a ser atravessado pela linha.

(K) Ajuste directo da empreitada, por urgencia do interesse publico.

(Z) Construcao da linha.

(W) Construcao de zonas de nidificacao artificiais, para afastar os estorni-nhos na nova linha.

A sequencia e duracao destas atividades estao representadas na figura.

(a) Indique, justificando com os necessarios calculos, os valores das letrasa, b, c, d, e, f , g e h representadas com fundo cinzento na figura.

(b) O levantamento topografico (atividade Y) e executado pela mesmaequipa que executa o estudo sobre os habitos de nidificacao (atividadeU). Considerando que essa equipa tem 16 elementos e que a atividadeY ocupa 10 pessoas durante toda a sua duracao (15 dias) e que a ati-vidade U ocupa 8 pessoas toda a sua duracao (10 dias), qual seria aduracao mınima que se conseguiria para este projeto? Porque?

(c) Considerando que os valores apresentados na figura para a duracao dasatividades sao valores medios, sendo as duracoes uma variavel aleatoriacom distribuicao normal de variancia 1, qual seria a probabilidade dea duracao do projeto ser menor ou igual a 29 dias? Justifique.





10.7 Estorninhos em Evoramonte 251

(d) O que seria necessario ter em consideracao se se quisesse calcular aprobabilidade de o projeto ter uma duracao menor ou igual a 27 dias?

0 X 0 0 0 0 0 0

0 Y 15 0 15 0 0 15

0 U 10 a 10 2 b c

10 K 13 2 3 2 12 d

e Z 30 f 15 0

15 30

10 W 27 g 17 3 h 30

30 T 30 0 0 0 30 30

ES X EF FS d TS LS LF





10.7.2 Resolucao

(a) e = ESZ = max(EFY ;EFK) = max(15; 13) = 15

f = FLZ = LSZ − ESZ = 15− 15 = 0

d = LFK = EFK + FTK = 13 + 2 = ESZ = 15

c = LFU = EFU + FTU = 10 + 2 = 12

b = LSU = LFU − dU = 12− 10 = 2

a = FLU = min(ESK ;ESW )− dU = min(10; 10)− 10 = 0

h = LSW = EST − dW = 30− 17 = 13

g = FLW = LSW − ESW = 13− 10 = 3

0 X 0 0 0 0 0 0

0 Y 15 0 15 0 0 15

0 U 10 0 10 2 2 12

10 K 13 2 3 2 12 15

15 Z 30 0 15 0 15 30

10 W 27 3 17 3 13 30

30 T 30 0 0 0 30 30

ES X EF FS d TS LS LF

(b) A atividade Y e a atividade U nao podem ocorrer em simultaneo.Representam-se na figura seguinte duas alternativas tendo isso em con-sideracao. Numa primeira alternativa a atividade Y decorre antes daatividade U e a duracao total do projecto seria 43 dias. Alternativa-mente, se a atividade U decorrer antes da atividade Y a duracao totaldo projecto seria 40 dias. A duracao mınima que se conseguiria para oprojecto seriam 40 dias.





0 X 0 0 0 0 0 0

0 Y 15 0 15 0 0 10 15

15 U 25 0 10 0 15 8 25

25 K 28 0 3 0 25 28

28 Z 43 0 15 0 28 43

25 W 42 1 17 1 26 43

43 T 43 0 0 0 43 43

0 X 0 0 0 0 0 0

10 Y 25 0 15 0 10 10 25

0 U 10 0 10 0 0 8 10

10 K 13 12 3 12 22 25

25 Z 40 0 15 0 25 40

10 W 27 13 17 13 23 40

40 T 40 0 0 0 40 40

(c) Na figura seguinte esta representada a rede de projecto e as atividadesque estao no caminho crıtico tem fundo cinza claro.

0 X 0 0 0 0 0 0

0 Y 15 0 15 0 0 15

0 U 10 0 10 2 2 12

10 K 13 2 3 2 12 15

15 Z 30 0 15 0 15 30

10 W 27 3 17 3 13 30

30 T 30 0 0 0 30 30

A duracao media do projecto sera igual a soma das duracoes mediasdas atividades que pertencem ao caminho crıtico:

µY + µZ = 15 + 15 = 30

A variancia da duracao do projecto sera a soma das variancias dasduracoes das atividades que pertencem ao caminho crıtico:

τ 2Y + τ 2

Z = 1 + 1 = 2





Prob(DT <= 29) = Prob(D′T < 29−30√2

) = Prob(D′T < −0.707) ≈1− 0.76 ≈ 24%

(d) Repetindo os calculos para o caminho crıtico, mas agora para umaduracao inferior a 27 semanas:

Prob(DT <= 27) = Prob(D′T < 27−30√2

) = Prob(D′T < −2.121) ≈1− 0.9830 ≈ 1.7%

No entanto, ha ainda outro caminho que tem uma duracao de 28 dias,maior portanto que os 27 dias. Esse caminho esta representado nafigura seguinte a traco grosso.

0 X 0 0 0 0 0 0

0 Y 15 0 15 0 0 15

0 U 10 0 10 2 2 12

10 K 13 2 3 2 12 15

15 Z 30 0 15 0 15 30

10 W 27 3 17 3 13 30

30 T 30 0 0 0 30 30

A duracao media desse caminho sera igual a soma das duracoes mediasdas atividades que pertencem ao caminho:

µU + µK + µZ = 10 + 3 + 15 = 28

A variancia da duracao desse caminho sera a soma das variancias dasduracoes das atividades que pertencem ao caminho:

τ 2U + τ 2

K + τ 2Z = 1 + 1 + 1 = 3

Prob(DT <= 27) = Prob(D′T < 27−28√3

) = Prob(D′T < −0.577) ≈1− 0.7190 ≈ 28, 1%

A probabilidade de o projecto ter uma duracao inferior a 27 dias serapois a probabilidade de o primeiro caminho ter uma duracao inferiora 27 dias e o segundo caminho ter uma duracao inferior a 27 dias. Seos dois acontecimentos fossem estatisticamente independentes, a pro-babilidade da interseccao seria o produto das duas probabilidades. Mas





estes acontecimentos sao dependentes. Basta notar que tem a atividadeZ em comum.

Esta e uma das limitacoes do metodo PERT, que nao incorpora ins-trumentos para lidar com estas situacoes. Mesmo quando se calculaa probabilidade de um projecto ter uma certa duracao com base nadistribuicao de probabilidades do caminho crıtico, esta-se a ignorar aprobabilidade de outros caminhos, que em valores medios sao mais cur-tos, se tornarem maiores que o caminho estudado, tornando-se eles ocaminho crıtico.




Capıtulo 11

Teoria da Decisao


Dado um problema de decisao:

• Identificar o decisor, as accoes alternativas, os estados da natureza e asequencia de decisoes.

• Reconhecer accoes alternativas que nao sejam mutuamente exclusivas.

• Calcular a consequencia de cada par (accao alternativa, estado da na-tureza).

• Reconhecer accoes (decisoes) dominadas.

• Representar um problema de decisao por meio de uma Arvore de De-cisao.

• Identificar a decisao a tomar:

– caso o decisor tenha informacao perfeita;

– pelo criterio de Laplace;

– pelo criterio MaxiMin (ou MiniMax);

– pelo criterio de Savage;

– pelo criterio de Hurwicz;

– pelo criterio do Maximo Valor Esperado;

– pelo criterio da mınima Perda de Oportunidade Esperada

• Determinar o VEIP (aumento do Valor Esperado se a informacao forperfeita).




258 Teoria da Decisao

Exercıcios

11.1 Xpt0 Textil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

11.2 Nova peca automovel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

11.3 Aquisicao de maquinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

11.4 Exploracao de Gas Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

11.5 Polido Guapo e a Lavandaria Asseada . . . . . . . . . . . . 270

11.6 LEST O, um novo produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

11.7 A Historia de Chicofredo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

11.8 To be or not to be . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

11.9 Vincennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279




11.1 Xpt0 Textil 259

11.1 Xpt0 Textil

11.1.1 Enunciado

A empresa XptO Lda. e uma empresa textil que esta actualmente a preparara sua coleccao de Inverno, a ser lancada no proximo ano. O Eng. Leopoldo,gestor da empresa, esta com duvidas relativas ao montante de investimento aser destinado a esta coleccao. Este pondera entre o que considera um grandeinvestimento, um investimento mediano e um pequeno investimento. Nosultimos anos, o clima, que tanto influencia o sucesso da coleccao, tem-se re-velado incerto, sendo que o Outono e o Inverno podem ser muito semelhantes,e as vezes o Inverno e marcado por dias de muito sol e calor. E sabido que,se o proximo Inverno apresentar muitos perıodos de sol e calor, a coleccaode Inverno ira ser um fracasso; se, por outro lado, o Inverno for rigoroso, acoleccao trara lucros avultados a XptO; ha tambem a possibilidade de o In-verno apresentar condicoes intermedias, correspondendo a um menor sucessoda coleccao.

O gestor da empresa preparou a matriz de decisao que se segue, com olucro em milhares de euros:

(Ke) Inverno rigoroso Inverno ameno Inverno quenteGrande investimento 5.000 2.000 -2.000Investimento mediano 4.600 1.000 -50Pequeno investimento 800 200 0

(a) Defina o decisor, as accoes e os estados da natureza.

(b) Suponha que a instabilidade dos ultimos anos torna muito difıcil definiras probabilidades de ocorrencia dos estados da natureza. Determineque tipo de investimento deve fazer a XptO com base nos seguintescriterios:

(i) MaxiMax

(ii) MaxiMin

(iii) Laplace

(iv) Hurwicz (α=0.8)

(v) Savage

(c) Considere agora que apesar da instabilidade se estimam as seguintesprobabilidades de ocorrencia dos estados da natureza:





p(Inverno rigoroso)=50%, p(Inverno ameno)=30%, p(Inverno quente)=20%.

Determine que tipo de investimento deve fazer a empresa com base nosseguintes criterios:

(i) Maximizacao do valor esperado

(ii) Minimizacao da perda de oportunidade esperada




11.1 Xpt0 Textil 261

11.1.2 Resolucao

(a) O agente de decisao e o Eng. Leopoldo, gestor da empresa XptO; asaccoes sao: fazer um grande investimento, um investimento mediano eum pequeno investimento; os estados da natureza sao: Inverno rigoroso,Inverno ameno, Inverno quente.

(b) (i) A decisao a tomar sera a de fazer um grande investimento.

(Ke) Inverno rigoroso Inverno ameno Inverno quente MaxiMaxGrande inv. 5.000 2.000 -2.000 5.000

Inv. mediano 4.600 1.000 -50 4.600Pequeno inv. 800 200 0 800

(ii) A decisao a tomar sera a de fazer um pequeno investimento.

(Ke) Inverno rigoroso Inverno ameno Inverno quente MaxiMinGrande inv. 5.000 2.000 -2.000 -2.000

Inv. mediano 4.600 1.000 -50 -50Pequeno inv. 800 200 0 0

(iii) A decisao a tomar sera a de fazer um investimento mediano.

(Ke) Inverno rigoroso Inverno ameno Inverno quente LaplaceGrande inv. 5.000 2.000 -2.000 1.667


(iv) A decisao a tomar sera a de fazer um investimento mediano.

(Ke) Inverno rigoroso Inverno ameno Inverno quente HurwiczGrande inv. 5.000 2.000 -2.000 3.600


(v) A decisao a tomar sera a de fazer um investimento mediano.Matriz dos pesares:

(Ke) Inverno rigoroso Inverno ameno Inverno quente MinMaxGrande inv. 0 0 2.000 2.000

Inv. mediano 400 1.000 50 1.000Pequeno inv.o 4.200 1.800 0 4.200

(c) (i) A decisao a tomar sera a de fazer um grande investimento.

(Ke) Inverno rigoroso Inverno ameno Inverno quente MVEGrande inv. 5.000 2.000 -2.000 2.700


(ii) A decisao a tomar sera a de fazer um grande investimento.

(Ke) Inverno rigoroso Inverno ameno Inverno quente minPOEGrande inv. 0 0 2.000 400

Inv. mediano 400 1.000 50 510Pequeno inv.o 4.200 1.800 0 2.640





11.2 Nova peca automovel

11.2.1 Enunciado

Uma empresa da industria automovel pretende apostar no desenvolvimentode uma nova peca.

Para o desenvolvimento da nova peca a empresa tem como alternativasa investigacao e desenvolvimento (I&D) por conta propria. A direccao daempresa admite tambem a possibilidade de formar um consorcio com umafirma de consultoria em engenharia.

A tabela 1 apresenta os lucros esperados, em valor actual, para os proxi-mos 5 anos, dependendo do sucesso alcancado e da alternativa escolhida:

Lucros Grande sucesso Sucesso moderado Sem sucesso(Me) (p1) (p2) (p3)

D (desenvolvimento proprio) 300 40 -60C (consorcio com outra empresa) 200 30 -20

Tabela 1: Lucros esperados (em valor actual) para os proximos 5 anos

Com base em estudos de viabilidade e apos diversas consultas a empresasde marketing e de desenvolvimento, estimaram-se as probabilidades de p1 =0.2, p2 = 0.4 e p3 = 0.4, para as ocorrencias de cada um dos estados danatureza.

(a) Qual a decisao a que corresponde ao Maximo Valor Esperado?

Apresente uma arvore de decisao.

(b) Qual a decisao a tomar caso se utilize o criterio Maximin (pessimista)?

(c) Determine o ganho esperado com informacao perfeita, e explique o seusignificado.




11.2 Nova peca automovel 263

11.2.2 Resolucao

(a) Como se pode ver na figura seguinte, a decisao que corresponde aomaximo valor esperado (MVE) e a decisao D (fazer o desenvolvimentoproprio). Nesse caso o valor do MVE = 52Me.

(b)GS SM SS Min

D 300 40 −60 −60C 200 30 −20 −20

Maximin −20

Utilizando o criterio Maximin, deve-se tomar a decisao C.

(c) O ganho esperado com informacao perfeita sera:

0.2×max (300, 200)+0.4×max (40, 30)+0.4×max (−60,−20)−MVE =68− 52 = 16Me.





11.3 Aquisicao de maquinas

11.3.1 Enunciado

A empresa Gulas & Gulas que opera na area alimentar, considera a possibi-lidade de adquirir maquinas para rotulagem das suas garrafas, tal como serepresenta na figura.

A empresa devera decidir se adquire uma ou duas maquinas de rotulagem,contudo, o custo por maquina sera menor se as 2 forem compradas ao mesmotempo.

Se for adquirida so uma maquina e a procura do artigo for elevada, a 2a

maquina ainda podera ser comprada mais tarde.As probabilidades estimadas para a procura do produto sao:

• procura baixa 0.30;

• procura alta 0.70

O valor actual associado aos resultados de compra das 2 maquinas noinıcio e de 750Me, se a procura for baixa, e de 1300Me se for alta a procurado produto.

O valor actual associado aos resultados de compra de uma maquina sobprocura baixa e de 900Me. Se a procura for alta ha 3 hipoteses:




11.3 Aquisicao de maquinas 265

• nada fazer resulta no valor de 900Me;

• subcontratar dara 1 100Me;

• comprar a 2a maquina permitira obter 1 000Me.

(a) Construa a arvore de decisao para o problema descrito.

(b) Determine, pelo criterio do Maximo Valor Esperado, quantas maquinasdeverao ser adquiridas no inıcio.





11.3.2 Resolucao

(a) A arvore de decisao para o problema esta representada na figura se-guinte:

(b) Como se pode ver na representacao da arvore de decisao, a decisao queda origem ao Maximo Valor Esperado (MVE) corresponde a comprainicial de duas maquinas.

Nesse caso MVE = 1 135Me.




11.4 Exploracao de Gas Natural 267

11.4 Exploracao de Gas Natural

11.4.1 Enunciado

Uma grande empresa multinacional ligada ao sector energetico pretende pa-gar a empresa Latifundios e Companhia 60 000e pelos direitos de exploracaodo gas natural numa sua propriedade. A oferta da multinacional inclui aopcao para desenvolvimento futuro. Se essa opcao se concretizar, caso o gasnatural seja descoberto durante a fase de exploracao, a empresa Latifundiose Companhia recebera 600 000e adicionais.

A empresa Latifundios e Companhia considera que o interesse da multi-nacional e uma boa indicacao de que o gas existe e pretende avaliar a possi-bilidade de avancar ela propria com a exploracao. Para isso devera contrataruma equipa de especialistas em exploracao e desenvolvimento de gas natural.

O custo inicial da exploracao e de 100 000e, que serao perdidos se nenhumgas for encontrado. Se for descoberto gas na fase inicial, o lucro estimadosera de 2 000 000e.

As alternativas de decisao da Latifundios e Companhia serao entao:

• D1 – aceitar a oferta da multinacional;

• D2 – avancar com a exploracao.

Os estados da natureza serao:

• S1 – nao existe gas natural na propriedade;

• S2 – existe gas natural na propriedade.

A empresa Latifundios e Companhia estima que ha 60% de probabilidadede ser encontrado gas natural na propriedade.

Os ganhos esperados para cada par (alternativa, estado da natureza) saoapresentados na tabela 2

S1 S2

D1 60 660D2 -100 2000

Tabela 2: Ganhos esperados (em Me)

Determine as decisoes recomendadas pelos seguintes criterios:

(a) Maximin (pessimista)





(b) Laplace

(c) Maximo Valor Esperado




11.4 Exploracao de Gas Natural 269

11.4.2 Resolucao

(a)S1 S2 Min

D1 60 660 60D2 −100 2000 −100

Maximin 60

Utilizando o criterio Maximin, deve-se tomar a decisao D1.

(b)S1 S2

D1 60 660 360D2 −100 2000 950

Laplace 950

Utilizando o criterio de Laplace, deve-se tomar a decisao D2.

(c)

D, aceilar of en a da

___ multinacional

1160

D2 Explorar

420

por conta propria ~,

11 60

51 (n30 existe gas na propriedadef 0.4

2 (existe gas na propricdade)

.

0.6 ---_

S [ (mio cx istc gas na propricdade) 0.4

2 (exisle gas na propricdade)

•

0.6 --__

60

660

-100

2000

Utilizando o criterio do Maximo Valor Esperado, deve-se tomar a deci-sao D2 (MVE = 1 160).





11.5 Polido Guapo e a Lavandaria Asseada

11.5.1 Enunciado

Polido Guapo dirige a empresa ASSEADA.Nos ultimos tempos o negocio desenvolveu-se e actualmente foi ja atingido

o valor maximo de capacidade nas duas actuais lavandarias e nao ha qualquerhipotese de crescimento. Polido Guapo nao quer no entanto abrir uma novalavandaria pois esta convicto que o sucesso da sua empresa se deve a boalocalizacao na cidade. Para Polido Guapo isso e ponto assente, a localizacaodas lavandarias e o maior valor da sua empresa.

Polido Guapo reconhece, no entanto, que a operacionalidade da sua em-presa regista dificuldades motivadas pela ocupacao exagerada do espaco e,naturalmente, deseja melhorar o processo de movimentacao das pecas du-rante as varias fases do processo (separacao, limpeza, passagem a ferro, . . . ).Uma hipotese que lhe permitiria libertar um pouco o espaco passaria pelainstalacao de um sistema de transporte aereo (transportador) que permitisselibertar parte do chao da fabrica, actualmente ocupado por caixotes moveis,que juntam as pecas e as movimentam entre fases do processo.

Uma empresa de equipamentos de uma outra cidade propos deslocar umaequipa e instalar o transportador adequado, mas Polido Guapo ainda naose decidiu. A proposta da empresa inclui a instalacao de um transportadornuma das instalacoes, em substituicao dos caixotes moveis, por 25 000e. Seequipar ambas as instalacoes enquanto as equipas se mantem na cidade, ocusto total sera de apenas de 45 000e. Se nao se decidir pela montagemdos transportadores, entao devera gastar 1 000e para substituir os caixotesmoveis por outros mais modernos.

E claro que Guapo pensa que um transportador poupara tempo aos seusempregados e que melhorara a eficiencia do servico, estimando ganhos novalor de 16 000e por instalacao. Para alem disso o ganho economico poten-cial estara no consequente crescimento do seu servico devido ao aumento doespaco disponıvel.

A tabela 3 apresenta as estimativas da Asseada para o valor actual do lu-cro (por simplificacao foram apenas considerados tres valores para o aumentodo negocio):

E evidente que Guapo podera encomendar a instalacao de um transporta-dor por agora e, mais tarde, instalar outro (ao preco de 25 000e) se considerarque a evolucao do negocio e favoravel (ver tabela 3).

(a) Analise, atraves duma arvore de decisao, a situacao da empresa Asse-ada.




11.5 Polido Guapo e a Lavandaria Asseada 271

Aumento do negocio Valor actual do lucro Probabilidade de(%) (por instalacao) ocorrencia0 16000e 0.303 30000e 0.506 50000e 0.20

Tabela 3: Aumento do negocio (lucro e probabilidade de ocorrencia

(b) Na perspectiva Maximo Valor Esperado qual devera ser a decisao deGuapo?

(c) Qual e o VEIP? Explique qual o seu significado para a ASSEADA.





11.5.2 Resolucao

(a)

(b) Utilizando o criterio do Maximo Valor Esperado, devem-se comprar 2transportadores, MVE = 14.6 Ke.

(c)Probabilidade 0.3 0.5 0.2

Aumento do negocio 0% 3% 6%2transportadores −13 15 55

1transportador −9 10 500transportadores −1 −1 −1

Valor Esperado com Informacao Perfeita, V EIP = [0.3× (−1) + 0.5× 15 + 0.2× 55]−14.6 = 18.2− 14.6 = 3.6 Ke.




11.6 LEST O, um novo produto 273

11.6 LEST O, um novo produto

11.6.1 Enunciado

A comercializacao do LEST O, um novo produto (que ate ja tem nome) daempresa Expedita comeca a ganhar forma. Todavia, como e frequente emsituacoes de lancamento de novas marcas, ha um consideravel risco associado– sera que o produto se aguentara bem?

Numa postura prudente, a Expedita acha conveniente introduzir o LEST Oapenas a nıvel regional, para teste de mercado, antes dum lancamento naci-onal. Portanto, a primeira decisao a tomar respeita a conducao (ou nao) doteste de mercado.

A empresa estima o custo de 50 000e para o estudo de mercado. Se foresta a opcao, devera aguardar os resultados desse teste. Entao decidira, nelesapoiada, se apostara na comercializacao do LEST O por todo o paıs. Poroutro lado, se a opcao inicial for nao proceder aos testes, entao a decisaofinal – comercializar ou nao o produto a nıvel nacional, podera desde ja sertomada.

A Expedita avalia o sucesso do produto, no mercado nacional, em 1.2Me,devendo um insucesso derivar num custo para a empresa de 500 000e.

As probabilidades a associar aos varios acontecimentos reflectem o conhe-cimento cientıfico existente e a experiencia da empresa com produtos simila-res. Assim a Expedita avalia como sendo de 50% a probabilidade de sucesso(ou de insucesso) do LEST O a nıvel nacional, sem qualquer informacao pro-veniente de testes de mercado. Contudo, se um teste for realizado e apontarpara sucesso entao a empresa acredita que a probabilidade de sucesso a nıvelnacional do produto sera de 70%, enquanto que, no caso contrario (o testeaponta para fracasso), a probabilidade de sucesso no mercado nacional seraapenas de 20%. Finalmente, supoe-se que a probabilidade do teste apontarpara um sucesso e de 60%.

(a) Qual a estrategia conveniente a adoptar (criterio Maximo Valor Espe-rado)?

(b) A funcao do teste de mercado e a obtencao de informacao mais apuradaalusiva ao mercado nacional, sob a forma de probabilidades. Com basenos dados disponıveis, qual o maximo que a Expedita devera pagar poresse teste de mercado?

(c) Um acrescimo no valor atribuıdo ao sucesso do LEST O (1.2Me) teraalguma consequencia para a resposta em (a)?





11.6.2 Resolucao

(a) MVE = 364 Ke

(b) O valor maximo a pagar seriam 64 Ke(valor de x na equacao abaixo).

[(1200− x)× 0.7 + (−500− x)× 0.3]× 0.6− 0.4× x ≥ 350

(c) A partir de 1375 Ke, comercializar desde ja, sem teste (ver equacaoabaixo).

[(x− 50)× 0.7− 550× 0.3]× 0.6− 0.4× 50 ≤ x× 0.5− 500× 0.5

(0.42− 0.5)x ≤ 21 + 99 + 20− 250

x ≥ 1375




11.7 A Historia de Chicofredo 275

11.7 A Historia de Chicofredo

11.7.1 Enunciado

1

Chicofredo tomou um calmante para o ajudar a suportar a ansiedade facea decisao que teria que tomar dentro de dias e que afectaria toda a sua vidafutura.

Dois anos antes Chicofredo tinha abandonado uma posicao invejada pormuitos na Agencia Espacial Africana, depois de cinco anos de uma carreirafulgurante. O motivo para a sua saıda tinha sido a total falta de apoio daadministracao da Agencia Espacial Africana ao seu projecto de desenvolvi-mento de um novo material que poderia revolucionar a industria aeroespaciale a industria automovel. Dadas as suas caracterısticas Chicofredo tinha bap-tizado o produto de DuroLeve, pois a sua intuicao dizia-lhe que seria ummaterial mais leve e simultaneamente mais resistente do que todos os materi-ais aplicaveis nessas industrias. Para alem disso, se houvesse um investimentoclaro na concepcao do processo de producao DuroLeve poderia mesmo ser re-baptizado de BaratoDuroLeve (Chicofredo sentia-se muito orgulhoso da suacapacidade inata para conceber nomes de produtos).

Um ano antes de abandonar a Agencia Espacial Africana, Chicofredo ti-nha falado com SuperChefe, na altura o Administrador Executivo da AgenciaEspacial Africana e tinha-lhe apresentado a sua ideia para o novo produto.O apoio de SuperChefe foi nulo, porque a Administracao nao queria apos-tar em novos produtos que envolvessem riscos financeiros. O risco na alturaera bastante elevado porque se tratava de um embriao de uma ideia aindatotalmente por testar, envolvendo tanto o desenvolvimento do produto comoa concepcao de um novo processo produtivo. E claro que se tudo corressebem o novo produto podia alterar totalmente a posicao da Agencia EspacialAfricana no seio das Agencias Espaciais Mundiais, mas a Agencia EspacialAfricana nao tinha fundos para financiar a investigacao necessaria.

Chicofredo nao podia desistir do produto e durante todo um ano passouos seus tempos livres tanto a noite como ao fim-de-semana a desenvolvera sua ideia. A sua intuicao estava correcta e algum tempo depois ja tinhadesenvolvido um prototipo para o processo de producao de BaratoDuroLeve etinha conseguido mesmo produzir pequenos lotes do produto. Comecou entaoa reunir algum capital. Investiu 100 000e e conseguiu pedir um emprestimopara 200 000e adicionais. O passo seguinte foi abandonar a Agencia EspacialAfricana para poder dedicar todo o seu tempo ao BaratoDuroLeve.

1Caso baseado num caso apresentado em Clemen, Robert T., Making Hard Decisions,An Introduction to Decision Analysis, Duxbury Press, 1996





Entretanto ja se tinham passado dois anos, ou melhor, exactamente 20meses. Durante esse perıodo tinha feito grandes progressos. Melhorou o pro-duto e ja tinha varios clientes que esperavam impacientemente que ele fizessea sua primeira producao. Ainda havia algumas arestas a limar no processoprodutivo, mas Chicofredo tinha 60% de certeza que esses problemas podiamser facilmente resolvidos. Ele estava ansioso por obter os primeiros lucros, ateporque o seu capital estava a ficar muito reduzido. Nos momentos de maioransiedade tentava acalmar os seus medos relembrando a sua estimativa dopotencial do projecto. A melhor estimativa apontava para vendas no valorde 40 000 000e nos proximos 10 anos, resultando num valor apos custos de10 000 000e.

Ha duas semanas atras tinha sido surpreendido por um telefonema deSubChefe, seu colega de trabalho na Agencia Espacial Africana, que o con-vidou para almocar. Chicofredo, embora apreensivo, nao pode declinar oconvite. Sentia muita pena por ter sido obrigado a abandonar a AgenciaEspacial Africana e tinha muita curiosidade em saber como estavam os seuscolegas de trabalho. Depois de contar as ultimas anedotas, SubChefe abordoudirectamente a questao.

“Chicofredo, na Agencia Espacial Africana todos estamos impressionadoscom a tua capacidade para desenvolver sozinho o BaratoDuroLeve. Nos agorasabemos que cometemos um erro ao te negar o financiamento para o desenvol-vimento interno do produto, mas nao te queremos abandonar uma segundavez e estamos dispostos a ajudar-te agora e podemos mesmo recompensar-tepor todo o trabalho e investimento que fizeste. Se concederes a Agencia Es-pacial Africana direitos especiais sobre o produto, podes voltar a pertenceraos nossos quadros. Estamos dispostos a dar-te um vencimento anual de40 000 e e damos-te 2,5% de royalties sobre a vendas. O que achas destaproposta?”

Chicofredo nao sabia de devia rir ou se se devia zangar. “SubChefe, some apetece atirar-te este copo de agua a cara. Arrisquei o dinheiro quetinha e o que nao tinha para conseguir desenvolver o produto e agora querorentabilizar todos os meus investimentos. Nesta fase do processo nem mepassa pela cabeca vender o meu produto a Agencia Espacial Africana!”

A refeicao continuou com SubChefe a apresentar propostas tendencial-mente melhores que foram todas consistentemente recusadas por Chicofredo.Quando regressou sozinho a casa, Chicofredo sentia-se muito confuso. Vol-tou a pensar nos tempos em que trabalhava na Agencia Espacial Africana econcluiu que nao se importaria de regressar. Aumentaria dessa forma a suaseguranca ate a reforma, mas perderia a oportunidade de ter os lucros quetinha previsto com o BaratoDuroLeve. De qualquer forma, ainda havia umaprobabilidade, ainda que remota, de que todo o projecto falhasse.




11.7 A Historia de Chicofredo 277

No fim da semana, SubChefe telefonou-lhe de novo com duas propos-tas alternativas da Agencia Espacial Africana. Podia ser contratado por 50000e anuais com um adicional de 6% de royalties sobre as vendas. Comoalternativa podia receber um total de 500 000e e ainda a opcao de compra,durante 3 anos, de ate 70 000 accoes da Agencia Espacial Africana a 40e cada.Qualquer que fosse a alternativa aceite por Chicofredo, a Agencia EspacialAfricana pagaria todas as dıvidas de Chicofredo e assumiria desde logo ocontrolo do projecto. Depois de completar o desenvolvimento do processoprodutivo, a Agencia Espacial Africana passaria a ter direitos exclusivos so-bre o produto. Nessa altura Chicofredo apercebeu-se de que SubChefe estavamuito empenhado nesse jogo. Se Chicofredo recusasse as duas propostas, aAgencia Espacial Africana podia por o assunto em tribunal baseando-se nofacto de que Chicofredo tinha usado indevidamente recursos da Agencia Es-pacial Africana no desenvolvimento do produto.

A disposicao de Chicofredo piorou depois de falar com o seu advogadoque lhe disse que teria 60% de probabilidades de perder o caso. Se ganhasseentao a Agencia Espacial Africana teria que pagar as custas dele de tribunal,em contrapartida se perdesse, teria que pagar custas da ordem de 20 000e.

Por outro lado, Chicofredo contactou com o seu contabilista para estima-rem em conjunto o valor das accoes. Se tudo corresse bem no desenvolvi-mento final do produto, BaratoDuroLeve podia estar no mercado dentro de18 meses. Se a Agencia Espacial Africana ficasse com o projecto e se o desen-volvimento corresse bem, as accoes da Agencia Espacial Africana subiriampara 52e cada. Se por outro o projecto falhasse, entao as accoes sofreriamuma pequena reducao para 39e.

Chicofredo pensava em todas as alternativas que tinha pela frente. Por umlado podia voltar a usufruir do espırito de equipa que sempre viveu na AgenciaEspacial Africana. Estes ultimos meses tambem evidenciaram que ele nao erapropriamente um empreendedor, a sua saude tinha-se ressentido pelos riscosque ele vinha a enfrentar. O seu medico tinha-lhe mesmo sugerido que levasseuma vida mais relaxada, sob pena de os seus problemas cardıacos se virem acomplicar. E obvio que Chicofredo valorizava muito a sua saude, mas tinhaque acreditar que seria capaz de suportar a tensao associada a entrada nomercado de BaratoDuroLeve. Depois disso poderia sempre descansar. Pegouentao num lapis para decidir o que responder a SubChefe.

Faca uma analise completa das decisoes que Chicofredo tem que tomar.Desenhe uma arvore de decisao e calcule o valor de todas as solucoes al-ternativas. O que acha que Chicofredo deve fazer? Porque? Diga em quepressupostos se tem que basear para recomendar essa solucao a Chicofredo.





11.8 To be or not to be

11.8.1 Enunciado2

Ser ou n~ao ser... Eis a quest~ao.

Que e mais nobre para a alma

Suportar os dardos e arremessos do fado sempre adverso,

Ou armar-se contra um mar de desventuras

E dar-lhes fim tentando resistir-lhes? Morrer--dormir--

Mais nada; imaginar que um sono p~oe remate

Aos sofrimentos do corac~ao e aos golpes infinitos

Que s~ao a natural heranca da carne. Essa e a soluc~ao

Para se almejar. Morrer--dormir.

Dormir--talvez sonhar: E esse o dilema!

O n~ao sabermos que sonhos podera trazer o sono da morte

Quando alfim desenrolarmos toda a meada mortal,

Nos p~oe suspensos. E isso

Que torna verdadeira calamidade a vida assim t~ao longa.

Pois quem suportaria o escarnio e os golpes do mundo,

As injusticas dos opressores, a insolencia dos orgulhosos,

A agonia do amor n~ao retribuıdo, a demora da justica,

A soberba dos chefes e o desprezo

Da inepcia contra o merito perseverante,

Se estivesse em suas m~aos obter sossego

Com um punhal? Que fardos suportaria,

Gemendo e suando nesta penosa vida,

Se n~ao por temer algo apos a morte--

A terra desconhecida de cujos limites

Nenhum viajante regressou--e um enigma para a vontade,

Fazendo-nos aceitar os males que ja temos,

Do que correr para outros que desconhecemos?

William Shakespeare

Ser ou n~ao ser (Hamlet acto 3 cena 1)

To be, or not to be: that is the question:

Whether ’tis nobler in the mind to suffer

The slings and arrows of outrageous fortune,

Or to take arms against a sea of troubles,

And by opposing end them? To die: to sleep;

No more; and by a sleep to say we end

The heart-ache and the thousand natural shocks

That flesh is heir to, ’tis a consummation

Devoutly to be wish’d. To die, to sleep;

To sleep: perchance to dream: ay, there’s the rub;

For in that sleep of death what dreams may come

When we have shuffled off this mortal coil,

Must give us pause: there’s the respect

That makes calamity of so long life;

For who would bear the whips and scorns of time,

The oppressor’s wrong, the proud man’s contumely,

The pangs of despised love, the law’s delay,

The insolence of office and the spurns

That patient merit of the unworthy takes,

When he himself might his quietus make

With a bare bodkin? who would fardels bear,

To grunt and sweat under a weary life,

But that the dread of something after death,

The undiscover’d country from whose bourn

No traveller returns, puzzles the will

And makes us rather bear those ills we have

Than fly to others that we know not of?

William Shakespeare

To be, or not to be (Hamlet act 3, scene 1)

Descreva as decisoes de Hamlet. Que opcoes tem ele? Que riscos preve?Construa uma arvore de decisao para Hamlet.

2Exercıcio retirado de Clemen, Robert T., Making Hard Decisions, An Introduction toDecision Analysis, Duxbury Press, 1996




11.9 Vincennes 279

11.9 Vincennes

11.9.1 Enunciado

http://en.wikipedia.org/wiki/USS_Vincennes_(CG-49)3

Em Julho de 1988, Vincennes, um navio dos Estados Unidos participavanos combates no Golfo Persico. Subitamente surgiu um ponto no ecran doradar, que correspondia a aproximacao de um aviao. Depois de tentar variasvezes, sem sucesso, que o aviao se identificasse, tudo fazia crer que o aviao eraum F-14 iraniano que iria atacar o Vincennes. O capitao Will Rogers tevemuito pouco tempo para tomar decisoes. Devia ordenar que fosse lancadoum mıssil e assim destruir o aviao? Devia esperar mais um pouco por umaresposta? Se esperasse demasiado tempo e o aviao fosse realmente hostil,entao poderia ser impossıvel evitar o ataque, implicando riscos graves tantopara o navio como para a tripulacao.

O capitao Rogers ordenou que o mıssil fosse lancado e o aviao foi des-truıdo. Soube-se depois que se tratava de um aviao comercial iraniano, com290 pessoas a bordo. Nao houve sobreviventes.

Quais sao os os objetivos fundamentais do capitao Rogers? Quais sao osriscos que ele corre?

Desenhe uma arvore de decisao que represente a sequencia de decisoesque tiveram de ser tomadas pelo capitao Rogers.

In 1988 the USS Vincennes was dispatched to the Persian Gulf to help Iraq, underSaddam Hussein, in its war against Iran. The warship was equipped with AEGIS, the most

3Exercıcio retirado de Clemen, Robert T., Making Hard Decisions, An Introduction toDecision Analysis, Duxbury Press, 1996




http://en.wikipedia.org/wiki/USS_Vincennes_(CG-49)


sophisticated weapon control system yet developed. It uses 16 mainframe computers and12 minicomputers to control up to 122 ship-to-air missiles and two six-ton, six-barrelledautomatic machine guns capable of firing 3,000 rounds per minute. On July 3rd theVincennes shot down Iranian Airbus Flight 655, killing all 290 on board (more than died inthe Lockerbie bombing). While widely reported in the Third World, the incident receivedlittle coverage in the Western media. The crew of the Vincennes had undergone ninemonths of simulated scenarios prior to leaving for the Gulf, all of which were predicatedon hostile encounters. During the crucial minutes in which the airbus was flagged as ahostile F14, the crew ignored indicators that cast doubt onto the AEGIS interpretationof events. Because the AEGIS automatically analyses incoming data, there was no wayto directly evaluate the radar blips. The commander of the nearby USS Sides ”wonderedaloud in disbelief”as the Vincennes prepared to fire but did not intervene with the vesselequipped with AEGIS.

On return to the US, Captain. William Rogers - commander of the Vincennes - recei-ved the Legion of Merit award for “exceptionally meritorious conduct in the performanceof outstanding service” in the Gulf.




Capıtulo 12

Multicriterio


• Dado um problema de decisao multicriterio, identificar as alternativase os criterios de decisao.

• Saber passar as escalas de avaliacao usadas para os diferentes criteriospara escalas numericas, conhecendo as consequencias de cada uma dasdecisoes tomadas nesse processo.

• Saber usar o metodo AHP para determinar pesos relativos dos atributose obter uma ordenacao das alternativas.




282 Multicriterio

Exercıcios

12.1 Horta da Formiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

12.2 VetProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

12.3 So Phtuere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

12.4 Abre Latas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

12.5 Designs Alternativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

12.6 Processamento de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

12.7 Localizacao de Laboratorio de Investigacao . . . . . . . . . 292

12.8 Sorinfacc & Amigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

12.9 KK’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

12.10PATinho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

12.11Seleccao de Estagios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

12.12Ze Playboy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298




12.1 Horta da Formiga 283

12.1 Horta da Formiga

12.1.1 Enunciado1 Definidos ja os tipos de legumes a semear nas hortas-tipo das escolas, foi ne-cessario tomar decisoes quanto ao canteiro das flores que tinha sido previsto.Foram postas a consideracao do grupo de trabalho responsavel pela concep-

cao da horta-tipo tres misturas de flores, M1 , M2 e M3

, que foram avaliadas segundo os criterios “Preco das sementes”,“Harmonia de cores” e “Harmonia de aromas”.

Quanto ao criterio “Harmonia de aromas”, a comissao recebeu um quadrocom a comparacao dos tres tipos de misturas. O numero 3 na linha M1,coluna M2 significa que, avaliada segundo o criterio “Harmonia de aromas”,a mistura M1 e “moderadamente melhor” que a mistura M2.

M1 M2 M3M1 1 3 5M2 1/3 1 1M3 1/5 1 1

Na tabela seguinte estao representadas as avaliacoes de cada uma dasmisturas segundo os outros dois criterios:

Preco das sementes Harmonia de cores

M1 50e Media

M2 70e Grande

M3 100e Grande





284 Multicriterio

(a) Usando o AHP obtenha, a partir do quadro apresentado, uma avaliacaorelativa das tres misturas para o criterio ‘Harmonia de aromas”.

(b) Defina uma escala unica para representar cada um dos tres criterios eadapte as avaliacoes de cada um dos criterios a essa escala. Justifiquedetalhadamente todas as suas decisoes.

(c) Ha alguma forma de a mistura M3 ser a escolhida? Refira-se a escolhae normalizacao das escalas, e a todos os outros factores que considererelevantes.

12.1.2 Resolucao

Folha de Calculo com Resolucao




http://www.fe.up.pt/~mac/ensino/docs/OR/spreadsheets/MultiCriterioResolucoesExercicios.xls

12.2 VetProducts 285

12.2 VetProducts

12.2.1 Enunciado2 A administracao da empresa “VetProducts”, responsavel pela producao edistribuicao de diversos produtos/medicamentos nos parques naturais, in-cumbiu um grupo de trabalho de realizar uma analise das varias unidadesda empresa. O grupo verificou entao que a unidade logıstica concentrava omaior numero de problemas da empresa.

A “VetProducts” tem cinco rotas de distribuicao dos produtos veterina-rios, quatro delas com cerca de 300 km cada e uma quinta com 600 km. Essarota deve-se fundamentalmente ao Parque Natural do Vale do Guadiana, oprimeiro parque a ser servido pela“VetProducts”, numa parceria com mais de20 anos. Essa quinta rota dava muito prejuızo, pois os custos de transporte(gasoleo, desgaste das carrinhas, etc. . . ), bem como os custos do pessoal (ho-ras extra, horas nocturnas, alojamentos, etc. . . ) eram muito elevados. Paraalem disso a motivacao do pessoal, essencialmente muito jovem, era baixa,pois nao gostavam de fazer essa rota, por implicar muitas horas de trabalhoseguidas e, na maioria das vezes, pernoitar fora.

No seu relatorio, o grupo de trabalho indicou como objectivo prioritarioaumentar a rentabilidade (proveitos-custos) dessa quinta rota:

• reduzindo o seu custo operacional;

• aumentando a motivacao do pessoal, o que iria permitir certamente ummelhor ambiente de trabalho, pois este descontentamento acabara porse repercutir na accao dos trabalhadores nas outras rotas;

• procurando aumentar os proveitos desta rota de forma a pelo menosequilibrar os custos.

O grupo de trabalho encontrou quatro alternativas para solucionar o pro-blema.

• A distribuicao nessa rota poderia ser subcontratada a uma empresado sector de distribuicao. Esta solucao tem como inconveniente dar apossibilidade a empresa de distribuicao de comecar a adquirir know-howe a carteira de clientes e encomendas da “VetProducts”, permitindo-lhecomercializar produtos de empresas concorrentes da“VetProducts”, temno entanto a grande vantagem de reduzir significativamente os custosassociados a esta rota, e seria excelente do ponto de vista motivacional

2Baseado num problema elaborado por Carlos Carvalho - MT 2005/2006




286 Multicriterio

para os trabalhadores que assim deixariam de se ter de deslocar taolonge e ficar fora de casa.

• Uma outra solucao passaria por expedir a mercadoria via correio ou au-tocarro para os clientes desta rota e estes iriam levantar a mercadoriaaos locais de chegada da mesma. Esta solucao iria trazer algum descon-tentamento aos clientes, pois para alem do inconveniente de os obrigara deslocar para levantar a mercadoria, muitos dos produtos fabrica-dos e distribuıdos pela “VetProducts” sao armazenados em garrafas egarrafoes de vidro que, pelo caminho e com muitas maos a manusear,poderiam partir facilmente causando custos elevados. Esta e no en-tanto tambem uma excelente alternativa no que concerne a motivacaodo pessoal.

• Uma outra alternativa apontada pelo grupo de trabalho, sera de se ten-tar arranjar mais clientes para esta rota, criando parcerias com outrosparque naturais existentes no percurso. Esta alternativa seria exce-lente para aumentar os proveitos desta rota, mantendo os custos pra-ticamente ao mesmo nıvel. A dificuldade em encontrar outros parquesnaturais interessados nestes produtos e no entanto grande. Do pontode vista de motivacao do pessoal esta seria uma ma alternativa, poisnao so se mantinha a rota, como ainda se iriam arranjar mais clientespara essas zonas mais distantes.

• Uma quarta alternativa passaria por deixar de fornecer produtos aoParque Natural do Vale do Guadiana. Esta medida diminuıa os custos,pois a rota numero 5 passaria a fazer apenas um trajecto de 200 km.Os custos de transporte seriam reduzidos e tambem a necessidade dehoras nocturnas e alojamentos o que faria aumentar a motivacao dosempregados encarregues das distribuicoes. No entanto um estudo re-cente divulgado pelo governo conclui que o numero de parques naturaisda area geografica onde se encontra localizado o Parque Natural doVale do Guadiana vai aumentar muito, tendo a Comunidade Europeiaja disponibilizado fundos para esse fim.

(a) Desenhe esquematicamente os nıveis de decisao existentes neste pro-blema e quais as suas interligacoes.

(b) Que criterios escolheria para avaliar as alternativas?

(c) Sugira, para cada criterio escolhido, uma forma de o medir.




12.2 VetProducts 287

(d) Apresente esquematicamente como poderia construir um sistema queapoiasse a “VetProducts” neste processo de decisao. Saliente todos ospassos que necessitem de esclarecimentos mais detalhados.

12.2.2 Resolucao






288 Multicriterio

12.3 So Phtuere

12.3.1 Enunciado3 Para o preeenchimento de um lugar na So Phtuere Pouco Limitada, apa-receram dois candidatos, o Marco e o Telmo. A administracao da empresapretende avaliar os candidatos segundo tres criterios: experiencia (E), conhe-cimentos tecnicos (T) e qualidades pessoais (P), tendo chegado a um consensosobre a importancia relativa destes criterios. Assim considerou que:

• E e bastante mais importante do que P;

• T e moderadamente mais importante do que E;

• T e muito mais importante do que P.

Com base nos CVs apresentados, nas cartas de referencia e nas entrevis-tas realizadas, e segundo os criterios indicados, a administracao conseguiucomparar adequadamente os dois candidatos, estabelecendo que:

• quanto a experiencia, o Marco e entre moderada e bastante melhor doque o Telmo;

• quanto a conhecimentos tecnicos, o Telmo e moderadamente melhor doque o Marco;

• quanto as qualidades pessoais, o Marco e ligeiramente mais do quemuito melhor que o Telmo.

(a) Ajude a administracao a decidir, utilizando o metodo AHP para “re-solver” o problema.

12.3.2 Resolucao


3Retirado de “Exercıcios de Analise Multi-criterio” do Prof. Jorge Pinho de Sousa





12.4 Abre Latas 289

12.4 Abre Latas

12.4.1 Enunciado4 Para um novo tipo de “abridor de latas”, foram propostos 3 designs. Fo-ram feitos estudos cuidadosos para determinar os criterios de avaliacao desteproduto e para verificar de que forma cada design satisfaz os requisitos as-sociados a esses criterios. Alguns atributos sao “relativamente” objectivos,outros sao materia de opiniao, naturalmente subjectiva. Para estes ultimosfoi usada uma escala tipo AHP, onde valores mais elevados representam maiorpreferencia.

Atributos Custo Tempo Limpeza Fiabilidade Volume Aspecto Seguranca⇓ ⇓ ⇑ ⇓ ⇑ ⇑

Design A 3,42e 3,3 min 78% 102 cm3 6 7Design B 5,84e 1,8 min 91% 102 cm3 7 9Design C 9,88e 3,0 min 99% 320 cm3 9 9

(a) Se aos diferentes atributos nao forem associadas importancias diferenci-adas, diga, justificando adequadamente, qual dos designs e mais atrac-tivo?

(b) “Estude” a robustez dessa sugestao.

12.4.2 Resolucao







290 Multicriterio

12.5 Designs Alternativos

12.5.1 Enunciado5 Para um novo produto, existem 3 designs alternativos. Foram feitos estudoscuidadosos para determinar os criterios de avaliacao deste produto e paraverificar de que forma cada design satisfaz os requisitos associados a essescriterios. Alguns atributos sao “relativamente” objectivos, outros sao materiade opiniao, naturalmente subjectiva. Para estes ultimos foi usada uma escalade 1 a 10, onde valores mais elevados representam maior preferencia. Para opeso e o custo, valores elevados sao naturalmente indesejaveis.

Atributos seguranca estetica custo peso fiabilidade⇑ ⇑ ⇓ ⇓ ⇑

importancia 30% 13% 27% 10% 20%valor maximo – – 20,00e – –Design 1 8 4 17,56e 9,7kg 96%Design 2 7 9 9,95e 6,2kg 81%Design 3 7 7 14,47e 6,0kg 90%

(a) Diga, justificando adequadamente, qual e o design mais atractivo?

12.5.2 Resolucao







12.6 Processamento de Dados 291

12.6 Processamento de Dados

12.6.1 Enunciado6 Uma companhia de processamento de dados esta a planear uma campanhade expansao dos negocios e de melhoramento da imagem. Foram propostastres alternativas: A1, A2 e A3. Dadas as actuais limitacoes orcamentais, ape-nas uma alternativa podera ser implementada. Os resultados esperados decada alternativa foram estimados para cada uma das caracterısticas deseja-veis, bem como definida a importancia de cada criterio. Esta importancia,bem como a “eficacia imediata” sao medidas numa escala de 0 a 10, sendo 10o maximo.

Atributos Custo anual Eficacia imediata Eficacia a longo prazo⇓ ⇑ ⇑

Importancia 3 10 6A1 250 000e 9 boaA2 150 000e 8 suficienteA3 180 000e 6 muito boa

(a) Que alternativa recomendaria ?

(b) Estude a “robustez” da solucao proposta, e analise as suas debilidades.

12.6.2 Resolucao







292 Multicriterio

12.7 Localizacao de Laboratorio de Investi-

gacao

12.7.1 Enunciado7 Uma companhia vai instalar um novo laboratorio de investigacao num de 3paıses. O custo de construcao e aproximadamente o mesmo em qualquer doslocais. Contudo, os custos do terreno e um conjunto de factores intangıveis,como por exemplo a disponibilidade de tecnicos, depende fortemente do local.

Alguns dos criterios, bem como a sua importancia relativa foram medidosnuma escala de 1 a 10, sendo 10 o melhor valor.

Atributos disp. qual. prox. custo potencial clima transportestecnicos empreit univ. terreno de lazer⇑ ⇑ ⇑ ⇓ ⇑ ⇑ ⇑

importancia 10 8 8 6 4 2 2Paıs 1 7 5 10km 300 000e muito bom 6 9Paıs 2 10 9 40km 400 000e muito fraco 1 10Paıs 3 2 5 30km 50 000e excelente 9 5

(a) Com base na informacao do quadro, que resume a apreciacao feita sobreas diferentes alternativas, qual a decisao a tomar?

12.7.2 Resolucao







12.8 Sorinfacc & Amigos 293

12.8 Sorinfacc & Amigos

12.8.1 Enunciado8 A empresa Sorinfacc & Amigos, SA (S&A,SA), dedica-se a producao depecas para veıculos da marca internacional Sorin. Uma vez que a comercia-lizacao da marca se expandiu, recentemente, ao mercado inter-continental, aS&A,SA preve um aumento da procura de pecas, igualmente ao nıvel transna-cional. A ultima assembleia geral de accionistas incumbiu a administracao dese preparar convenientemente para o aumento da procura. A administracao,alem de preparar outras medidas nesse sentido, e considerando o aumentomais do que previsıvel das exportacoes, esta a avaliar a melhor solucao paraque nenhuma encomenda das suas pecas fique por cumprir. Alem do mais,a S&A,SA tera de fazer face ao aumento das exportacoes e, assim, conseguirum transporte internacional de mercadorias sustentado, que e como quemdiz, que permita responder a todas as solicitacoes. A S&A,SA tem as suasinstalacoes numa penınsula muito bem equipada ao nıvel das infra-estruturasviarias, e, alem disso, situa-se muito proximo de uma plataforma intermo-dal que inclui um terminal rodoviario, um porto e um aeroporto e aindauma estacao ferroviaria. Significa isto que, para fazer face ao aumento dasexportacoes, a administracao tera de seleccionar qual ou quais os meios detransporte adequados ao seu proposito. Os criterios de seleccao estabelecidospela administracao sao o custo, a seguranca e a capacidade do transporte demercadorias. Pretende-se que o meio seleccionado signifique uma minimiza-cao do seu custo. Por outro lado, pretende-se ainda que o meio de transporteseja seguro por forma a diminuir os danos materiais e os prejuızos contra-tuais. Por fim, pretende-se que o meio de transporte seleccionado tenha amaior capacidade de carga possıvel. Atendendo a sua privilegiada localiza-cao, a S&A,SA pode optar por utilizar os seguintes tipos de transporte:

• transporte rodoviario (TR): atraves dos veıculos pesados de mercado-rias da firma Semprarodar, Lda. a Administracao conseguiria, semduvida, um meio muito barato, mas com um risco muito elevado, poisa sinistralidade estradal e, de todas, a mais grave.

• transporte ferroviario (TF ): utilizando os comboios da CeFe - CaminhosFerreos, a S&A,SA consegue transportar um bom volume de pecas,ainda a um bom preco, e com uma seguranca muito boa.

• transporte aquaviario (TAq): os navios da empresa Vasco da Gama &Filhos, Lda. (Herdeiros), apesar de ja nao serem tao baratos, permitem

8Baseado num problema elaborado por Francisco Marques Vieira - MT 2005/2006




294 Multicriterio

a melhor capacidade de transporte de carga com um nıvel bom deseguranca.

• transporte aeroviario (TAe): os avioes da NaoAndaVoa, Inc. se bemque com menor capacidade e o meio de transporte mais caro, tem,porem, um excelente nıvel de seguranca, pelo menos no que respeita aotransporte de mercadorias.

Apresenta-se a seguir um quadro-resumo com todas as informacoes quan-titativas recolhidas:

um’s/Kg Acidentes/1000Km Ton/m3

TR 1,5 9 1,25TF 4 4 5,75TAq 6 6,25 9TAe 8 2 2

(a) Explicite num esquema o objectivo, criterios e alternativas envolvidosneste processo.

(b) Descreva detalhadamente como, utilizando o AHP, poderia obter umasolucao a apresentar a Sorinfacc & Amigos, SA.

(c) Obtenha essa solucao.

12.8.2 Resolucao






12.9 KK’s 295

12.9 KK’s

12.9.1 Enunciado9 Considere o problema de decisao caracterizado pela matriz de resultadosjunta, onde, para todos os atributos excepto K1, os valores mais altos sao ospreferidos. Os atributos K2 e K3 sao medidos numa escala de 1 a 10.

Atributos K1 K2 K3 K4

⇓ ⇑ ⇑ ⇑X1 10 000e 7 8 bomX2 12 000e 7 7 muito bomX3 8 000e 6 5 suficienteX4 15 000e 9 8 excelente

Qual sera a alternativa seleccionada se:

(a) todos os atributos sao igualmente importantes?

(b) K2, K3 e K4 sao igualmente importantes, mas K1 e duas vezes maisimportante que os outros?

12.9.2 Resolucao







296 Multicriterio

12.10 PATinho

12.10.1 Enunciado

A companhia de aviacao PATinho pretende criar uma nova rota, para alemda muito procurada rota Corvo ⇔ Berlengas. O seu principal objectivo emanter o actual nicho de mercado: passageiros do Corvo que pretendemusufruir de ligacoes para outras pequenas ilhas. Foi portanto com isso emmente que foram escolhidos os seguintes quatro destinos alternativos:

• Alt 1 – Selvagens;

• Alt 2 – Ilha dos Amores;

• Alt 3 – Ilha de Faro;

• Alt 4 – Ilha de Almourol.

Para avaliar as quatro alternativas foram definidos cinco criterios:

• Crit 1 – Condicoes meteorologicas;

• Crit 2 – Custo de adaptacao para aeroporto;

• Crit 3 – Previsao da procura (numero de clientes por mes);

• Crit 4 – Proximidade de aeroporto alternativo;

• Crit 5 – Quantidade de habitantes disponıveis para garantir operacoesno aeroporto.

Com base na informacao resumida no quadro seguinte que decisao deveser tomada?

Crit 1 Crit 2 Crit 3 Crit 4 Crit 5⇑ ⇓ ⇑ ⇑ ⇑

Alt 1 – Selvagens boas 4 100 30 suficientesAlt 2 – Ilha dos Amores muito mas 2 400 20 poucosAlt 3 – Ilha de Faro razoaveis 5 200 10 muito poucosAlt 4 – Ilha de Almourol boas 20 300 30 suficientes

12.10.2 Resolucao






12.11 Seleccao de Estagios 297

12.11 Seleccao de Estagios

12.11.1 Enunciado

O inıcio do ano aproxima-se e e a altura da seleccao de estagios pelos alunosfinalistas. O Joao passou o fim-de-semana a fazer o seu trabalho de casa e temneste momento 4 alternativas para a realizacao do seu estagio, as empresas1 a 4, tal como se representa na tabela seguinte, com a respectiva apreciacaosegundo 4 criterios:

• Crit 1 – Possibilidade de manter emprego na empresa;

• Crit 2 – Esforco necessario para ter boa nota no estagio;

• Crit 3 – Dificuldade no recrutamento;

• Crit 4 – Custos mensais com deslocacoes.

Crit 1 Crit 2 Crit 3 Crit 4escalas (1–10)⇑ (1–10)⇓ ⇓ ⇓Empresa 1 10 2 elevada 300eEmpresa 2 4 3 baixa 0eEmpresa 3 6 6 muito baixa 400eEmpresa 4 2 9 muito elevada 700e

(a) Os seus criterios de apreciacao nao sao certamente os mesmos do Joao.Retire portanto um dos criterios seleccionados pelo Joao e acrescenteum novo criterio que considere mais representativo. Explique as suasescolhas e indique os cuidados a ter na seleccao do novo criterio.

(b) Use o metodo AHP para atribuir importancias relativas aos criterios.Apresente todos os calculos.

(c) Com base nas importancias relativas dos criterios obtidas na alıneaanterior indique, justificando, qual a alternativa mais atractiva.

12.11.2 Resolucao






298 Multicriterio

12.12 Ze Playboy

12.12.1 Enunciado

10

O Ze Playboy, aluno da Faculdade de Engenharia, frustrado com a quan-tidade de relacionamentos de curta duracao que tem tido, decide que precisade tomar uma atitude diferente e procurar uma namorada para ter uma re-lacao duradoura. Ja que e estudante de engenharia, decide utilizar metodosquantitativos para o ajudar a decidir e a reflectir sobre as suas prioridades.

Depois de se isolar um pouco debaixo das oliveiras da FEUP (pois o Zefuma e nao podia estar dentro da FEUP), concluiu que havia 5 raparigas queseriam possıveis boas companheiras: a Joana, a Lıgia, a Susana, a Diana e aInes.

Durante o perıodo de meditacao com o seu cigarro a sombra das olivei-ras, elegeu 4 caracterısticas que considerou essenciais para a sua escolha:Personalidade, Inteligencia, Ideais e os gastos semanais, estando este ultimocriterio associado ao que seria necessario dispender durante o namoro e even-tual casamento, dependente do nıvel de vida e dos habitos de cada uma dascandidatas.

Construiu entao uma matriz com a avaliacao das caracterısticas para cadauma das candidatas.

Em relacao aos ideais, o Ze pensa que, embora sendo diferentes dos seus,nao seriam antagonicos. A todas atribuiria uma nota positiva quanto a isso.Ja nao tem a mesma atitude quanto ao dinheiro necessario pois o Ze sente queo potencial gasto semanal tem um peso grande se a relacao for duradoura.Por isso sente que consideraria uma candidata como excelente se nao tiverque gastar dinheiro e muito ma se implicar gastos semanais muito elevados(acima de 60e). O Ze Playboy acha no entanto que o dinheiro e o criteriomenos importante.

Depois disso o Ze Playboy, como tinha um amigo na cadeira de SAD,pediu-lhe para o ajudar a resolver o problema de qual seria a mulher maisadequada para ele.

10Baseado num problema elaborado por Pedro Serra - SAD 2005/2006




12.12 Ze Playboy 299

Custos Ideais Inteligencia PersonalidadeSemanais

Joana 20e Suficiente 8 6Lıgia 50e Muito Bom 9 7

Susana 20e Bom 7 9Diana 12e Muito Bom 8 8Ines 25e Excelente 9 9




300 Multicriterio




Capıtulo 13

Filas de Espera


• A partir da descricao de um problema, verificar se se trata de umproblema de filas de espera M/M/1 ou M/M/S.

• Para estes casos, calcular as medidas de desempenho de uma fila deespera (L, Lq, W, Wq) e as probabilidades associadas quer a perma-nencia num dado estado (e.g. Pn) quer as associadas as metricas (e.g.P(W>t) ).

• Avaliar alternativas de configuracao de filas de espera (numero de ser-vidores e eficiencia de servidores), a partir de custos atribuıdos quer aoservico quer ao tempo dos clientes, e selecionar as melhores.




302 Filas de Espera

Exercıcios

13.1 Limpeza de autocarros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

13.2 Pastelaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

13.3 Junta Autonoma das Estradas . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

13.4 Cabina telefonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

13.5 Boeingavela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

13.6 Servico de emergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

13.7 Servico de veterinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

13.8 Seccao de fotocopias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

13.9 Manutencao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

13.10Uma horta na escola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

13.11DouryKayak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330




13.1 Limpeza de autocarros 303

13.1 Limpeza de autocarros

13.1.1 Enunciado

Os autocarros de uma empresa chegam para limpeza a garagem central emgrupos de cinco por hora. Os autocarros sao atendidos em ordem aleatoria,um de cada vez. Cada um requer 11 minutos para ser completamente limpoe sai da garagem logo a seguir.

Determine:

(a) o numero medio de autocarros na garagem;

(b) o numero medio de autocarros esperando para serem limpos;

(c) o tempo medio que um autocarro permanece na garagem.




304 Filas de Espera

13.1.2 Resolucao

Este e um sistema determinıstico, com autocarros como “clientes” e a equipade limpeza como servidor unitario. As chegadas ocorrem uma vez por hora,mas em grupos, sendo o tempo de atendimento de 11 minutos. Um autocarroe atendido quando esta em servico de limpeza.

A tabela mostra a historia do sistema ao longo do perıodo de 1 hora, nosinstantes das chegadas e partidas. Como o atendimento e feito em ordemaleatoria, a sequencia particular apresentada e uma das muitas possıveis paraprocessamento dos autocarros dentro da garagem. As estatısticas requeridas,no entanto, sao independentes da sequencia. Alem disso, como o sistema serenova a cada hora, as estatısticas que caracterizam o sistema ao longo daprimeira hora sao tambem validas ao longo das seguintes.

Relogio Simulado Clientes sendo Fila(minutos) atendidos

0 #4 #3,#1, #2, #511 #1 #3, #2, #522 #5 #3, #233 #3 #244 #2 . . .55 . . . . . .

(a) Numero medio de autocarros na garagem:

5× 11

60+ 4× 11

60+ 3× 11

60+ 2× 11

60+ 1× 11

60+ 0× 5

60= 2.75

(b) Numero medio de autocarros esperando para serem limpos:

4× 11

60+ 3× 11

60+ 2× 11

60+ 1× 11

60+ 0× 11 + 5

60= 1.83

(c) Tempo medio que um autocarro permanece na garagem: nos primeiros11 minutos estao 5 autocarros na garagem, nos 11 minutos seguintesestao 4 autocarros na garagem etc. . .

5× 11 + 4× 11 + 3× 11 + 2× 11 + 1× 11 + 0× 5

5= 33minutos.




13.2 Pastelaria 305

13.2 Pastelaria

13.2.1 Enunciado

Numa pequena pastelaria, apenas uma empregada atende os clientes ao Sa-bado. O modelo de chegada de clientes nesse dia segue aproximadamenteuma distribuicao de Poisson, com uma taxa media de chegada de 10 pessoaspor hora. Os clientes, que sao muitos dada a qualidade dos pasteis, sao aten-didos segundo o esquema FIFO. O tempo gasto para atender um cliente eestimado como sendo exponencialmente distribuıdo, como um tempo mediode atendimento de 4 minutos. Determine:

(a) a probabilidade de se formar uma fila;

(b) o comprimento medio da fila;

(c) o tempo medio de espera de um cliente na fila;

(d) probabilidade dum cliente estar menos de 12 min. na pastelaria.




306 Filas de Espera

13.2.2 Resolucao

Taxa de chegada:

λ = 10clientes

hora

Tempo medio de servico:

1

µ= 4

minutos

cliente

Taxa de atendimento:

µ = 0.25clientes

minuto= 15

clientes

hora

ρ =λ

µ=

2

3

Numero de servidores:

S = 1 ⇒ Fila M/M/1

(a) Probabilidade de se formar uma fila:

1− P0 − P1 = 1− (1− ρ)− ρ(1− ρ) = ρ2 =4

9

P0 – probabilidade de nao estar ninguem na loja.

P1 – probabilidade de estar uma pessoa na loja (a ser atendida).

(b) Comprimento medio da fila:

Lq =λ2

µ(µ− λ)=

100

15(15− 10)=

4

3clientes.

(c) Tempo medio de espera na fila:

Wq =Lqλ

=4

30horas.

(d) Probabilidade de um cliente estar menos de 12 minutos = 15

horas napastelaria:

1− P (W >1

5) = 1− e−µ(1−ρ)t = 1− e−15(1− 2

3) 1

5 = 1− e−1 = 0.6321




13.3 Junta Autonoma das Estradas 307

13.3 Junta Autonoma das Estradas

13.3.1 Enunciado

A Junta Autonoma das Estradas tem tres equipas que analisam a segurancadas estradas nacionais. As funcoes atribuıdas a essas equipas consistem emanalisar as condicoes das estradas nacionais nas proximidades dos locais ondeocorrem acidentes graves.

As equipas sao igualmente eficientes. Cada uma trabalha uma media de 2dias (distribuicao exponencial) para fazer a investigacao no local e prepararum relatorio sobre cada acidente. O numero de acidentes graves nas estradasprincipais segue aproximadamente um processo de Poisson, com uma taxamedia de 300 por ano.

Determine L, Lq, W e Wq para este processo. Qual o significado de cadauma destas medidas de desempenho neste caso?




308 Filas de Espera

13.3.2 Resolucao

Taxa de chegada:

λ = 300acidentes

ano=

300

365

acidentes

dia


1

µ= 2

dias

acidente

Taxa de servico:

µ = 0.5acidentes

dia

λ

µ=

300365

0.5=

600

365≈ 1.65


S = 3 ⇒ Fila M/M/3

ρ =λ

Sµ=

1.65

3= 0.55

P0 (retirado da tabela para λµ

= 1.65 e S = 3):

0.1872− 0.1872− 0.1460

4= 0.1769

Lq =P0

(λµ

)Sρ

S!(1− ρ)2=

0.1769(1.65)30.55

3!(1− 0.55)2= 0.3597

acidentes em fila de espera.

L = Lq +λ

µ= 0.3597 + 1.65 = 2.00

acidentes em fila de espera e a serem investigados.

Wq =Lqλ

=0.3597

300365

= 0.4376

dias por acidente (espera).

W =L

λ=

2300365

=365

150= 2.43

dias por acidente (espera e investigacao).




13.4 Cabina telefonica 309

13.4 Cabina telefonica

13.4.1 Enunciado

As chegadas a uma cabina telefonica sao consideradas “Poisson”, com umtempo medio entre chegadas de 10 min. Assume-se que a duracao de umachamada telefonica e distribuıda exponencialmente, com media de 3 min.

(a) Qual a probabilidade de uma pessoa que chegue a cabina ter de esperar?

(b) Qual o comprimento medio das filas que se poderao formar?

(c) A companhia telefonica podera instalar uma segunda cabina, caso seconclua que um cliente espera em media pelo menos 3 minutos. Quantoe que tera de aumentar o fluxo de chegadas de modo a justificar umasegunda cabina?




310 Filas de Espera

13.4.2 Resolucao

Tempo medio entre chegadas:

1

λ= 10

minutos

chegada

Taxa de chegada:

λ = 6chegadas

hora


1

µ= 3

minutos

chamada


µ = 20chamadas

hora

ρ =λ

µ=

6

20


S = 1 ⇒ Fila M/M/1

(a) Probabilidade de ter de esperar:

1− P0 = 1− (1− ρ) = ρ = 0.3 = 30%

P0 – probabilidade de nao estar ninguem a telefonar.

(b) Comprimento medio da fila:

Lq =λ2

µ(µ− λ)=

36

20× (20− 6)= 0.129 pessoas.

(c) Tempo medio de espera na fila: Wq = 3 minutos = 0.05 horas.

Wq =λ

µ(µ− λ)⇐⇒ λ =

µ2Wq

1 + µWq

=202 × 0.05

1 + 20× 0.05= 10

chegadas

hora.

Justifica-se uma nova cabine se a taxa de chegada passar de 6 para 10chegadas por hora.




13.5 Boeingavela 311

13.5 Boeingavela

13.5.1 Enunciado

O Boeingavela, um pronto-a-comer de um aeroporto, tem atualmente ape-nas uma empregada ao balcao que atende em media 10 clientes por hora.Verificou-se que os clientes chegam a razao de 7 por hora, seguindo este pro-cesso de chegada uma distribuicao de Poisson. O tempo de atendimentosegue uma distribuicao exponencial.

A gerencia admite a hipotese de contratar mais uma empregada de bal-cao o que permitira, ao duplicar a razao media de atendimento, melhorar aqualidade de servico.

(a) Analise o desempenho do sistema de espera no estado atual calculando,nomeadamente, a taxa de ocupacao, a probabilidade do sistema estardesocupado, o comprimento medio da fila de espera e o tempo que umcliente aguarda, em media, para ser atendido.

(b) Se as pessoas desistem sempre que ja ha 3 clientes (no sistema), qual ea percentagem de potenciais clientes perdidos?

(c) Como melhora o desempenho do sistema de espera, no caso de ser con-tratada mais uma funcionaria? Devera recorrer ao tipo de indicadoresutilizados na primeira alınea.

Faca alguns comentarios, que ache oportunos, sobre as situacoes que es-tudou nas varias alıneas.




312 Filas de Espera

13.5.2 Resolucao

Taxa de chegada:

λ = 7clientes

hora


µ = 10clientes

hora

λ

µ= 0.7

(a) Numero de servidores:

S = 1 ⇒ Fila M/M/1

ρ =λ

µ= 0.7

P0 = 1− ρ = 0.3

(obs: para S = 1 P0 e a probabilidade de o sistema estar desocupado)

Numero medio de clientes na fila:

Lq =λ2

µ(µ− λ)=

49

10× 3= 1.63 clientes.

Numero medio de clientes no sistema:

L = Lq +λ

µ= 2.33 clientes.

Tempo medio de espera na fila:

Wq =Lqλ

=1.63

7= 0.2329 horas.

Tempo medio de espera no sistema:

W =L

λ=

2.33

7= 0.3328 horas.




13.5 Boeingavela 313

(b) Se os clientes desistem quando ja ha 3 pessoas no sistema, este passa acomportar-se como M/M/1/3. Entao convira calcular P3, a probabili-dade do sistema se encontrar no estado 3.

Probabilidade de (exactamente) 0 clientes no sistema:

P0 =1− ρ

1− ρk+1(se ρ 6= 1)

Vira entao P0 = 0.3948

Probabilidade de (exactamente) n clientes no sistema:

Pn =

{ρnP0, se n = 1, . . . , k0, se n > k

Neste caso P3 = 0.1354, pelo que os clientes perdidos serao 13.54%.

(c) Numero de servidores:

S = 2 ⇒ Fila M/M/2

ρ =λ

S × µ= 0.35

P0 = 0.4815

(retirado da tabela para λµ

= 0.7 e S = 2).

Numero medio de clientes na fila:

Lq =P0

(λµ

)Sρ

S!(1− ρ)2=

0.4815(0.7)20.35

2!(1− 0.35)2= 0.0977 clientes.

Numero medio de clientes no sistema:

L = Lq +λ

µ= 0.7977 clientes.


Wq =Lqλ

=0.0977

7= 0.0139 horas.

Tempo medio de espera no sistema:

W =L

λ=

0.0977

7= 0.1139 horas.




314 Filas de Espera

13.6 Servico de emergencia

13.6.1 Enunciado

O servico de emergencia dum pequeno hospital tem um medico em servicopermanente.

Pode-se dizer que os doentes chegam segundo uma distribuicao de Pois-son com razao media de 2.4 por hora. O medico garante o tratamento deemergencia, ate outro medico chegar, a aproximadamente 3 doentes por hora.A distribuicao do tempo de atendimento do medico por doente e, aproxima-damente, exponencial.

(a) Em media, que parte do tempo do medico e gasta a prestar servico deemergencia?

(b) Em media, quanto devera esperar um doente ate ser atendido pelomedico?

(c) Se o hospital melhorar a qualidade do atendimento de emergencia, aoacrescentar um medico ao servico permanente (sistema M/M/2), qualpassara a ser a utilizacao do tempo dos medicos?

(d) Com dois medicos disponıveis, quanto devera esperar, em media, umdoente ate ser atendido?

(e) Quanto, em media, devera um doente esperar ate ser visto por ummedico, numa situacao em que um medico e um assistente facam partedum sistema do tipo M/M/1, com razao de servico de 6 doentes porhora, mantendo a razao de chegada em 2.4 doentes por hora?

(f) Para as duas situacoes anteriores: atendimento assegurado por dois me-dicos e atendimento assegurado por um medico e um assistente calculequanto tempo cada doente passara no servico de emergencia. Discutaas vantagens e desvantagens de cada um dos sistemas de atendimento.




13.6 Servico de emergencia 315

13.6.2 Resolucao

Taxa de chegada:

λ = 2.4doentes

hora


µ = 3doentes

hora

λ

µ= 0.8


S = 1 ⇒ Fila M/M/1

ρ =λ

µ= 0.8

Probabilidade do medico estar ocupado:

1− P0 = ρ = 0.8

(b) Tempo medio de espera de um doente ate ser atendido:

Wq =λ

µ(µ− λ)=

2.4

3(3− 2.4)=

4

3= 1.3333 horas

(c) Numero de servidores:

S = 2 ⇒ Fila M/M/2

ρ =λ

S × µ= 0.40

Probabilidade do sistema estar desocupado:

1− ρ = 0.6

O tempo dos medicos sera utilizado a 40%.




316 Filas de Espera

(d)

Lq =P0

(λµ

)Sρ

S!(1− ρ)2=

0.4286(0.8)20.40

2!(1− 0.40)2= 0.1524 doentes.

Tempo medio de espera de um doente ate ser atendido:

Wq =Lqλ

=0.1524

2.4= 0.0635 horas.

(e) Taxa de chegada:

λ = 2.4doentes

hora


µ = 6doentes

hora

λ

µ= 0.4


S = 1 ⇒ Fila M/M/1

Tempo medio de espera de um doente ate ser atendido:

Wq =λ

µ(µ− λ)=

2.4

6(6− 2.4)= 0.1111 horas

(f) Em ambos os casos W , o tempo medio total de um doente no servicode atendimento, e obtido somando o tempo medio de atendimento 1

µ

ao tempo medio na fila Wq.

O tempo medio total de um doente no servico de atendimento no caso deo atendimento ser feito por dois medicos e W = Wq + 1

µ= 0.0635+ 1

3=

0.3968 horas.

No caso de o atendimento ser feito por um medico com um assistente,o tempo medio total de um doente no servico de atendimento e W =Wq + 1

µ= 0.1111 + 1

6= 0.2777 horas.




13.7 Servico de veterinaria 317

13.7 Servico de veterinaria

13.7.1 Enunciado

Edmundo Terra e um dos crıticos do funcionamento do Servico de Veterinariada Cooperativa Agrıcola de Belos Ares. Edmundo afirma que sempre quechama um veterinario ele nunca vem no mesmo dia.

Atualmente o Servico de Veterinaria tem dois veterinarios e cada umatende em media 5 chamadas por dia. Quanto aos pedidos de apoio a ani-mais doentes verifica-se que chegam aleatoriamente, seguindo um processode Poisson, a razao de 9 por dia. O servico pode ser neste caso consideradoM/M/2.

Sensıvel as crıticas dos membros da Cooperativa, a direcao decidiu discutiro caso, admitindo mesmo contratar um novo veterinario.

Avalie a situacao, contribuindo com informacao que possa ser util parauma tomada de decisao sobre a referida contratacao.

http://www.aasm-cua.com.pt/srv7.html




318 Filas de Espera

13.7.2 Resolucao

Taxa de chegada:

λ = 9chamadas

dia


µ = 5chamadas

dia

λ

µ=

9

5= 1.8

Objecto do estudo: pretende-se verificar se a afirmacao:“sempre que chama um veterinario ele nunca vem no mesmo dia”e verdadeira ou nao.Numero de servidores:

S = 2 ⇒ Fila M/M/2

ρ =λ

S × µ=

1.8

2= 0.9

P0 = 0.0528

Numero medio de chamadas na fila:

Lq =P0

(λµ

)Sρ

S!(1− ρ)2=

0.0528(1.8)20.9

2!(1− 0.9)2=

0.1540

0.02= 7.7 chamadas.

Finalmente, o tempo medio de espera na fila:

Wq =Lqλ

=7.7

9= 0.8555 dias.

Logo a afirmacao de Edmundo Terra e incorrecta, dado que as chamadasestao menos de um dia a espera para serem atendidas.




13.8 Seccao de fotocopias 319

13.8 Seccao de fotocopias

13.8.1 Enunciado

A seccao de fotocopias de uma empresa, aberta 40 horas por semana, dispoe

de duas fotocopiadoras. Cada fotocopiadora e arrendada por 12103escudossemana

.Os utilizadores chegam a razao de 33/hora e o tempo medio de servico e de3 minutos.

Suponha verificadas as condicoes indicadas no estudo das filas de espera.

(a) Determine:

• o numero medio de pessoas aguardando a utilizacao duma fotoco-piadora;

• o tempo medio duma pessoa na fila;

• o tempo medio duma pessoa no sistema.

(b) O custo horario medio, para a empresa, do pessoal que recorre ao servico

de fotocopias e de 1, 8103escudossemana

, incluindo overheads. Sera convenienteaumentar o numero de fotocopiadoras arrendadas? E para que numero?




320 Filas de Espera

13.8.2 Resolucao

Taxa de chegada:

λ = 33utilizadores

horaTempo medio de servico:

1

µ= 3

minutos

utilizador=

1

20

horas

utilizador


µ = 20utilizadores

hora

Custo de cada servidor (fotocopiadora) por hora:

12

40

103escudos

hora= 0.3

103escudos

hora


S = 2 ⇒ Fila M/M/2

λ

µ=

33

20= 1.65

P0 = 0.1111− 0.1111− 0.0526

4= 0.0965

ρ =λ

2µ=

33

2× 20= 0.825

No medio de pessoas aguardando a utilizacao duma fotocopiadora:

Lq =P0

(λµ

)Sρ

S!(1− ρ)2=

0.0965(1.65)20.825

2!(1− 0.825)2= 3.5387 pessoas.

Tempo medio duma pessoa na fila:

Wq =Lqλ

=3.5387

33= 0.1072 horas = 6.4 minutos.

Tempo medio duma pessoa no sistema.

W = Wq +1

µ= 0.1072 + 0.05 = 0.1572 horas = 9.4 minutos.





(b) • Com o numero de fotocopiadoras existente (duas), o custo do ser-vico e de 2 × 0.3 103escudos

hora= 0.6 103escudos

horae o custo dos clientes

(espera e atendimento) e de 33 × 0.1572 × 1.8 = 9.3 103escudoshora

.

Assim o custo total para a empresa e 9.9 103escudoshora

• Com tres fotocopiadoras . . .


S = 3 ⇒ Fila M/M/3

λ

µ=

33

20= 1.65

P0 = 0.1872− 0.1872− 0.1460

4= 0.1769

ρ =λ

3µ=

33

3× 20= 0.55


Lq =P0

(λµ

)Sρ

S!(1− ρ)2=

0.1769(1.65)30.55

3!(1− 0.55)2= 0.3597 pessoas.


Wq =Lqλ

=0.7994

33= 0.0109 horas.


W = Wq +1

µ= 0.0109 + 0.05 = 0.0609 horas.

Com 3 fotocopiadoras, o custo do servico e de 3× 0.3 103escudoshora

=

0.9 103escudoshora

e o custo dos clientes (espera e atendimento) e de

33 × 0.0609 × 1.8 = 3.6175 103escudoshora

. Assim o custo total para a

empresa e 4.5175 103escudoshora

• Com quatro fotocopiadoras . . .


S = 4 ⇒ Fila M/M/4




322 Filas de Espera

λ

µ=

33

20= 1.65

P0 = 0.1953− 0.1953− 0.1616

4= 0.1899

ρ =λ

4µ=

33

4× 20= 0.4125


Lq =P0

(λµ

)Sρ

S!(1− ρ)2=

0.1899(1.65)40.4125

4!(1− 0.4125)2= 0.0701 pessoas.


Wq =Lqλ

=0.0701

33= 0.0021 horas.


W = Wq +1

µ= 0.0021 + 0.05 = 0.0521 horas.


=

1.2 103escudoshora


33 × 0.0521 × 1.8 = 3.0962 103escudoshora



• Com cinco fotocopiadoras . . .


S = 5 ⇒ Fila M/M/5

λ

µ=

33

20= 1.65

P0 = 0.2014− 0.2014− 0.1646

4= 0.1922

ρ =λ

5µ=

33

4× 20= 0.33






Lq =P0

(λµ

)Sρ

S!(1− ρ)2=

0.1922(1.65)50.33

5!(1− 0.33)2= 0.0144 pessoas.


Wq =Lqλ

=0.0144

33= 0.0004 horas.


W = Wq +1

µ= 0.0004 + 0.05 = 0.0504 horas.


=

1.5 103escudoshora


33 × 0.0504 × 1.8 = 2.9938 103escudoshora



• A quantidade de fotocopiadoras que minimiza o custo total daempresa e 4, com um custo de 4.2962 103escudos

hora.




324 Filas de Espera

13.9 Manutencao

13.9.1 Enunciado

O supervisor operacional duma empresa de maquinas electricas verificou queo servico de manutencao corrente de equipamento sofria atrasos, devido aespera na seccao de ferramentas. Como qualquer atraso na producao obrigaa uma alteracao das ordens de fabrico ou mesmo ao recurso a horas extraor-dinarias, o supervisor requereu um estudo sobre a viabilidade de acrescentarmais funcionarios a seccao em questao, para melhorar a resposta as necessi-dades do servico de manutencao.

O assunto foi estudado, concluindo-se que o tempo medio entre chega-das e de 80 segundos e que o tempo medio de atendimento, por parte dumfuncionario, e de 60 segundos.

O custo total dum funcionario na seccao de ferramentas e de $8.50 porhora, enquanto que o custo relativo a espera (equipamento parado) e de$15.00 por hora. Considera-se que o dia de trabalho tem 8 horas.

A tabela seguinte, parcialmente completa, informa sobre o efeito na fila deespera de acrescentar mais funcionarios (fila tipo M/M/S, S = 2, 3) a seccao,incluindo a analise dos custos diarios totais envolvidos nas varias opcoes.

Complete a tabela. Na perspectiva dos custos totais tabelados, qual e amelhor opcao?

Numero de funcionarios1 2 3

Numero medio de equipamentos na fila de espera (Lq) 2.25Numero medio de equipamentos no sistema (L) 3.00Tempo medio de um equipamento na fila de espera, em min. (Wq) 3.00Tempo medio de um equipamento no sistema, em min.(W ) 4.00Percentagem de tempo de desocupacao do servico 0.25Custo ($)/dia (funcionarios) 68.00Custo ($)/dia (esperas) 360.00Custo total diario 428.00




13.9 Manutencao 325

13.9.2 Resolucao

Taxa de chegada:

λ =60

80

chegadas

minuto=

602

80

chegadas

hora= 45

maquinas

hora


µ = 1atendimento

minuto= 60

atendimentos

hora

• Verificacao das contas apresentadas no quadro:

Numero medio de maquinas na fila:

Lq =λ2

µ(µ− λ)= 2.25 maquinas.

Numero medio de maquinas no sistema:

L = Lq +λ

µ= 3 maquinas.


Wq =λ

µ(µ− λ)=

45

60× (60− 45)= 0.05

horas

maquina.

Tempo medio de espera no sistema.

W = Wq +1

µ= 0.0667

horas

maquina.

Custo por dia dos funcionarios = $68.

Custo por dia de espera das maquinas = W × λ× 8× 15 = $360

Custo total = $428

• Com dois funcionarios . . .


S = 2 ⇒ Fila M/M/2

λ

µ=

45

60= 0.75




326 Filas de Espera

P0 = 0.4545

ρ =λ

2µ= 0.375


Lq =P0

(λµ

)Sρ

S!(1− ρ)2=

0.4545(0.75)20.375

2!(1− 0.375)2= 0.1227 maquinas.

Tempo medio de uma maquina na fila:

Wq =Lqλ

=0.1227

45= 0.0027 horas.

Tempo medio de uma maquina no sistema:

W = Wq +1

µ= 0.0027 +

1

60= 0.0194 horas.

Custo por dia dos funcionarios = 2× 68 = $136.

Custo por dia de espera das maquinas = W × λ× 8× 15 = $104.7258

Custo total = $240.7258

• Com tres funcionarios . . .


S = 3 ⇒ Fila M/M/3

λ

µ=

45

60= 0.75

P0 = 0.4706

ρ =λ

3µ= 0.25




13.9 Manutencao 327


Lq =P0

(λµ

)Sρ

S!(1− ρ)2=

0.4706(0.75)30.25

3!(1− 0.25)2= 0.0147 maquinas.

Tempo medio de uma maquina na fila:

Wq =Lqλ

=0.0147

45= 0.0003 horas.

Tempo medio de uma maquina no sistema:

W = Wq +1

µ= 0.0003 +

1

60= 0.0170 horas.

Custo por dia dos funcionarios = 3× 68 = $204.

Custo por dia de espera das maquinas = W × λ× 8× 15 = $91.76475

Custo total = $295.7648

A melhor opcao e passar a ter dois funcionarios no servico de manuten-cao.




328 Filas de Espera

13.10 Uma horta na escola

13.10.1 Enunciado1Inserido no projeto “Uma Horta na Escola” serao distribuıdos kits de jar-dinagem a todas as escolas envolvidas. Para fazer a distribuicao dos kits,que as escolas terao que levantar em postos pre-determinados, estao a serestudadas duas alternativas.

A primeira alternativa consiste em ter um unico posto de atendimentona LIPOR, mas com 3 funcionarios a atender. Cada funcionario atende emmedia 3 escolas por hora, seguindo o tempo de atendimento uma distribuicaode probabilidade exponencial negativa. Espera-se que em media 6 escolas porhora vao a LIPOR levantar os respetivos kits, sendo que o numero de escolasque levantam os kits segue uma distribuicao de probabilidades de Poisson.

A segunda alternativa e ter 3 postos de atendimento, cada um com umunico funcionario a atender, espalhados pela regiao metropolitana do Porto,nomeadamente um na cidade do Porto, outro em Valongo e o terceiro emGaia. Mantendo-se a capacidade de atendimento de cada funcionario, a pro-cura e diferente de posto para posto, uma vez que ha mais escolas proximasde alguns postos do que de outros. Para o posto do Porto a procura mediae de 2 escolas por hora, no posto de Valongo e de 1.2 escolas por hora eno posto de Gaia e de 2.8 escolas por hora. Em todos os casos a procuracontinua a seguir uma distribuicao de Poisson.

O custo horario de cada funcionario e de 10 e. Considere que o custo deespera na fila de cada escola e tambem de 10 e por hora. Alem destes custosconsidere ainda o custo de deslocacao das escolas aos postos de distribuicaodos kits de jardinagem. Caso exista um unico posto na LIPOR, as escolasgastarao, em media, 50 e em cada deslocacao. Na alternativa de postosdistribuıdos, portanto mais proximos das escolas, estas terao um custo dedeslocacao de 10 e por escola.

(a) Determine que alternativa minimiza os custos globais de distribuicaodos kits: custo dos funcionarios + custo de espera das escolas paraserem atendidas + custo de deslocacao das escolas.

(b) Comente outras vantagens e desvantagens, para alem das estritamenteeconomicas abordadas na alınea anterior, das duas alternativas, no-meadamente socorrendo-se, para justificar estes seus comentarios, decalculos que fez para resolver a alınea anterior ou de algum calculoadicional que julgue oportuno.





13.10 Uma horta na escola 329

13.10.2 Resolucao

(a) .

Posto unico 3 postos de atendimentoLIPOR Porto Valongo GaiaM/M/3 M/M/1 M/M/1 M/M/1

µ 3 3 3 3λ 6 2 1.2 2.8λµ

2 0.6667 0.4 0.9333

ρ 0.6667 0.6667 0.4 0.9993P0 0.1111Lq 0.8888 1.3333 0.2667 13.0667Custo dos funcionarios 30 10 10 10Custo de espera 8.8880 13.3333 2.6667 130.6667Custo de deslocacao 300 20 12 28Custo Total 338.88 236.6667

Todos os custos foram calculados para o perıodo de uma hora. Assim,o custo de espera e igual ao numero de escolas que, em media, estana fila vezes o custo de uma hora de espera. O custo de deslocacao esimplesmente igual ao numero de escolas que se desloca, numa hora,aos postos de distribuicao (os varios λ) vezes o custo de deslocacao,que dependem de posto para posto.

(b) Sendo globalmente mais economica, a alternativa de ter postos distri-buıdos representa uma solucao muito ma para as escolas que usarao oposto de atendimento de Gaia, onde a tamanho medio da fila e muitoelevado, correspondendo a um tempo de espera medio:

Wq =Lqλ

= 4.6667 horas

enquanto para os outros postos o Wq seria de 0.6667 e de 0.2222 horas.

Para alem de ser uma solucao parcelarmente muito ma, este desiquilı-brio podera levar as escolas de Gaia a procurar outros postos de aten-dimento, alterando radicalmente os valores de procura (λ) sobre queassentaram estes calculos e tornando-os totalmente desfasados da reali-dade. Esta situacao e particularmente grave uma vez que outros valoresde procura poderiam levar a uma decisao completamente diferente: aconcentracao dos 3 postos na LIPOR.




330 Filas de Espera

13.11 DouryKayak

13.11.1 Enunciado

O Rio Douro, com os seus 928 km de extensao, constitui uma das maioresbacias hidrograficas da Europa Ocidental, que se destaca pelos notaveis va-lores historico-culturais, artısticos e ambientais. Apos o seu lento percursopelas planıcies cerealıferas da meseta, o Douro forma a fronteira natural entrePortugal e Espanha. Nesta zona, conhecida como “Douro Internacional” nonosso paıs e“Arribes del Duero”em Espanha a natureza foi prodiga na belezapaisagıstica e na biodiversidade. [. . . ] O relevo desta zona caracteriza-se peloencaixe da sua rede fluvial, onde os vales formam, frequentemente, vertentesescarpadas e falesias, com ate 400 m de altura, produzindo uma paisagem debeleza impressionante.

in http://dourointernacional.no.sapo.pt/arribasdodouro.html 2007.02.04Para aproveitar todos estes recursos e partilha-los com a populacao inte-

ressada, a empresa DouryKayak proporciona descidas pelo Rio Douro, entreMiranda do Douro e Freixo de Espada a Cinta em kayaks. A DouryKayakrealiza viagens para grupos de 12 pessoas (obrigatoriamente), sendo que cadagrupo e atendido individualmente (quando um grupo chegar ao destino e en-viada a informacao para que o proximo grupo possa partir). O horario defuncionamento da empresa e das 7h00 as 17h00, podendo a ultima partidaocorrer na hora limite, as 17h00. A chegada dos grupos ao embarcadouro departida e aleatoria e o numero de grupos que chega por dia pode ser descritopor uma distribuicao de Poisson, sendo o seu valor medio de 4.8 grupos/dia.

O problema da empresa e decidir qual a melhor escolha de kayaks, dadoque existem kayaks de 2 lugares, que tem um preco de 95e cada, kayaks de4 lugares (170e cada) e kayaks de 6 lugares (210e cada). Depois de variostestes concluiu-se que o tempo de viagem por grupo (12 pessoas), incluindoo tempo de retorno ao ponto de partida, e aleatorio e segue uma distribuicaoexponencial negativa. Com 6 kayaks de 2 lugares o tempo medio de viageme de 1h30, com 3 kayaks de 4 lugares a viagem demora em media 2h00 e aviagem de 2 kayaks de 6 lugares demora em media 2h30.

O objetivo da DouryKayak e decidir que tipo de kayaks comprar (2 luga-res, 4 lugares ou 6 lugares), de forma a gastar o mınimo de dinheiro possıvelmas com a restricao de os kayaks estarem ocupados um maximo de 80% dotempo, de forma a poderem contemplar um futuro aumento da procura. Paraa configuracao escolhida, calcule o numero medio de grupos que estarao nafila de espera.

Baseado num problema elaborado por Ana Vanessa Duque - 2005/2006




13.11 DouryKayak 331

13.11.2 Resolucao

Neste problema pretende-se analisar um sistema de fila de espera M/M/1.Quer as chegadas quer o atendimento seguem processos de Poisson (ou ex-ponencial negativos), os “clientes” sao os grupos e o que esta em causa edeterminar a configuracao do servico, que tem impacto no custo do mesmo eno tempo medio de atendimento. Usaremos como unidade de tempo a hora.Como temos tres configuracoes diferentes e alternativas para o atendimento,distinguiremos os tres casos apondo o ındice A, B e C as variaveis habituais,representando, respectivamente, as situacoes de comprar kayaks de 2 lugares,4 lugares e 6 lugares.

Usando entao a nomenclatura habitual das filas de espera:

λ =4.8

10= 0.48

µA =1

1.5=

2

3

µB =1

2= 0.5

µC =1

2.5= 0.4

Para respeitar a condicao dada no enunciado, a probabilidade de o sistemaestar desocupado tera de ser superior ou igual a 20%:

PA0 = 1− λ

µA= 1− ×0.48

23

= 1− 0.72 = 0.28

PB0 = 1− λ

µB= 1− 0.48

0.5= 1− 0.96 = 0.04

PC0 = 1− λ

µB= 1− 0.48

0.4= 1− 1.2

Na hipotese C a fila de espera nao esta em equilıbrio, pois ρC = λµC e

maior que um. Nos outros dois casos, apenas a hipotese A garante a taxa dedesocupacao pretendida.

Para esta situacao A, o numero medio de grupos na fila de espera e dadopor:

LAq =λ2

µA(µA − λ)=

0.482

23× (2

3− 0.48)

= 1.851




332 Filas de Espera




Capıtulo 14

Simulacao


• Dada a descricao de um sistema a simular:

– determinar as entidades, actividades e eventos envolvidos na si-mulacao

– determinar os estados de cada entidade e as regras para ocorreruma mudanca de estado.

• Executar uma simulacao por eventos, representando a evolucao do sis-tema ao longo da simulacao atraves de uma tabela de estados e de umalista de eventos.

• Retirar resultados pre-estabelecidos da simulacao efectuada, como tem-pos medios num estado ou numero medio de entidades num estado (porexemplo, numa dada fila de espera).

• Gerar numeros aleatorios com uma distribuicao de probabilidades:

– discreta, atraves de um histograma ou tabela de probabilidadesdada e a partir de numeros aleatorios uniformemente distribuıdosentre 0 e 1.

– contınua, a partir da funcao inversa da distribuicao de probabili-dade acumulada e a partir de numeros aleatorios uniformementedistribuıdos entre 0 e 1.

• Utilizar os numeros aleatorios para gerar tempos de ocorrencia de even-tos numa simulacao discreta.




334 Simulacao

• Utilizar os numeros aleatorios para fazer uma simulacao estatıstica.

• Retirar resultados pre-estabelecidos da simulacao estatıstica efectuada.




335

Exercıcios

14.1 Avarias na rede electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

14.2 ValorSul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

14.3 Avistamento de Aves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340




336 Simulacao

14.1 Avarias na rede electrica

14.1.1 Enunciado

Na reuniao camararia de ontem, o presidente da Camara Municipal de Estre-moz fez um discurso inflamado contra os frequentes cortes de fornecimentode energia electrica provocados pelos bandos de estorninhos. Uma afirma-cao, em particular, indispos os responsaveis pela REN, por a consideraremfalsa: que os habitantes estariam normalmente cerca de 3 horas por dia semfornecimento de energia electrica.

Os curto-circuitos de causa natural sao, evidentemente, fenomenos alea-torios e a reposicao de servico, por accao do telecomando da rede, tambemnao e determinıstico. E sabido pois que o tempo entre ocorrencias de curto-circuitos segue uma distribuicao de probabilidades exponencial negativa, comum valor esperado de 60 minutos1, e o tempo de reposicao segue uma distri-buicao uniforme, tomando valores entre 1 e 5 minutos.

Atraves de simulacao estatıstica, calcule o tempo medio diario que oshabitantes estao sem energia electrica e conclua se o presidente da CamaraMunicipal tem ou nao razao. Faca apenas 5 iteracoes e utilize os seguintesnumeros aleatorios uniformemente distribuıdos entre 0 e 1:

0.2032 0.5163 0.5160 0.0409 0.5993

0.0980 0.6415 0.5301 0.0555 0.4963

1Recorde que E(X) = 1λ , quando x segue uma distribuicao exponencial negativa de

parametro λ.




14.1 Avarias na rede electrica 337

14.1.2 Resolucao

.(A) (B) (C) (D) (E) (F) (G)

Tempo de ciclo (min) Nº de ciclos Tempo totalNº aleatório Nº aleatório Nº aleatório Nº aleatório acidente/reposição sem serviço

U[0,1] EXP(1/60) U[0,1] U[1,5] num dia (24*60 min) num dia-LN(1 - (A)) / (1/60) (5-1) * (C) + 1 (B) + (D) (24*60)/(E) (D) * (F)

0.2032 13.6277 0.0980 1.3918 15.0195 95.8752 133.44330.5163 43.5727 0.6415 3.5658 47.1385 30.5483 108.93050.5160 43.5408 0.5301 3.1203 46.6610 30.8609 96.29410.0409 2.5048 0.0555 1.2221 3.7269 386.3780 472.19740.5993 54.8715 0.4963 2.9851 57.8567 24.8891 74.2975

Média 177.0326

Tempo entre acidentes (min) Tempo de reposição do serviço (min)




338 Simulacao

14.2 ValorSul

14.2.1 Enunciado

A Valorsul, S.A. e a empresa responsavel pelo tratamento e valori-zacao das cerca de 750 mil toneladas de Resıduos Solidos Urbanosproduzidas, por ano, nos municıpios de Amadora, Lisboa, Loures,Odivelas e Vila Franca de Xira. A sua area de intervencao corres-ponde a menos de 1% da area total do paıs, mas valoriza quaseum sexto de todo o lixo domestico produzido em Portugal. Estaimensa quantidade de resıduos e tratada e valorizada pela Valor-sul atraves de um moderno Sistema de Gestao Integrada de RSUadequado ao crescimento e a composicao do nosso lixo urbano.

in http://www.valorsul.pt

A Valorsul pretende avaliar um novo sistema de descarga dos camioes quediariamente chegam ao aterro sanitario de Mato da Cruz, em Calhandriz.Com este novo sistema o tempo de descarga ´pode ser considerado nulouma vez que os camioes sao descarregado sem andamento. E sabido que, noperıodo de maior trafego (08h00-11h45), a chegada de camioes ao aterro ealeatoria e segue uma distribuicao exponencial com um tempo medio entrechegadas de 5 minutos. O tipo de camiao (tonelagem) que chega e tambemuma variavel aleatoria cuja distribuicao de probabilidade, calculada com basena frequencia relativa passada, e representada na Tabela 1.

Tabela 1: Distribuicao de probabilidade para o tipo de camiao.Tonelagem Probabilidade10 0.2518 0.1526 0.4032 0.20

Pretende-se simular o funcionamento do aterro (chegada e atendimentode camioes) para um perıodo de 15 minutos.

Utilize a seguinte lista de numeros aleatorios uniformemente distribuıdosentre 0 e 1 como base para a simulacao:

0, 4819 0, 2286 0, 1714 0, 3777 0, 7221 0, 7221

0, 6721 0, 4981 0, 4875 0, 8864 0, 9390 0, 6201

0, 9512 0, 9260 0, 6182 0, 4148 0, 1296 0, 6389




14.2 ValorSul 339

14.2.2 Resolucao

Este e um problema de simulacao discreta, em que o tempo entre eventos(chegada de uma camiao) e regido por uma distribuicao exponencial negativacom media 5 minutos (o tempo medio entre chegadas e de 5 minutos). Assim,λ = 0, 2.

Para cada chegada e ainda necessario determinar o tipo de camiao (tonela-gem). Para isso utiliza-se a distribuicao de probabilidade dada no enunciado.

Números

aleatórios

Números aleatórios

com distribuição

exponencial

Números

aleatórios

Obervações

aleatórias com

distribuição

dada pelo

histograma

0,2

0,4819 3,287614 0,4981 26 p(X=x) P(X<=x) X

0,2286 1,297662 0,4875 26 0 10

0,1714 0,939995 0,8864 32 0,25 0,25 18

0,3777 2,371985 0,9390 32 0,15 0,40 26

0,7221 6,403310 0,6201 26 0,40 0,80 32

0,7221 6,403310 0,9512 32 0,20 1,00

0,6721 5,574601 0,9260 32

#Tempo

(minutos)

Tempo entre

observações

(minutos)

Camião

(toneladas)

1 0 3,287614 26

2 3,287614 1,297662 26

3 4,585275 0,939995 32

4 5,525270 2,371985 32

5 7,897255 6,403310 26

6 14,300565 6,403310 32

7 20,703875 5,574601 32

Histograma(a 3ª coluna está desalinhada por causa das

regras de utilização do VLOOKUP())

lambda

O resultado desta simulacao e entao a chegada de 3 camioes de 26 to-neladas e 4 de 32 toneladas, num tempo total de 20,7 minutos. Conclusoesestatisticamente significativas apenas poderiam ser retiradas da repeticao(um numero suficiente de vezes) desta simulacao.




340 Simulacao

14.3 Avistamento de Aves

14.3.1 Enunciado

A bacia do Rio Douro, desde Miranda do Douro ate quase a sua foz, constituium dos ultimos refugios e local de nidificacao de varias especies de aves derapina.

Nao obstante profundas alteracoes provocadas no habitat pela accao hu-mana, quer introduzindo sistemas de monocultivo agrıcolas, quer construindobarragens e vias de comunicacao, uma percentagem consideravel da popula-cao portuguesa de Abutres do Egipto, Grifos, Aguias Reais, Aguias de Bonellie Falcoes Peregrinos constroem os seus ninhos nas paredes rochosas das mar-gens do Rio Douro.

O grupo Quercus tem dedicado um especial carinho ao recenseamento eproteccao destas aves, tendo criado e vindo a manter em funcionamento azona de alimentacao em Miranda do Douro e, com a ajuda de um nucleo deornitologos amadores, tem feito varios estudos destas especies.

Em virtude desse trabalho e ja hoje possıvel ter uma ideia aproximada dapopulacao das varias especies de rapina na bacia do Douro, como podemosver na Tabela 2.

Tabela 2: Populacao de aves de rapina no Parque Natural do Douro Inter-nacional.

Tipo de ave Numero de aves no ParqueAbutre do Egipto 30Grifo 80

Aguia Real 18

Aguia de Bonelli 21Falcao Peregrino 23Total de Aves 172

Da experiencia acumulada sabe-se que no Parque do Douro Internacionala observacao das aves de rapina segue uma distribuicao exponencial negativae que em media se avista uma ave de 2 em 2 horas. O tipo de ave avistado emcada uma das observacoes depende, obviamente, da sua frequencia relativana populacao do parque.

Pretende-se simular o avistamento de aves de rapina num perıodo de 5horas e estimar o numero de aves de cada tipo observado nesse perıodo.

Utilize a seguinte lista de numeros aleatorios uniformemente distribuıdosentre 0 e 1 como base para a simulacao:




14.3 Avistamento de Aves 341

0, 4819 0, 2286 0, 1714 0, 3777 0, 7221 0, 7221

0, 6721 0, 4981 0, 4875 0, 8864 0, 9390 0, 6201

0, 9512 0, 9260 0, 6182 0, 4148 0, 1296 0, 6389

Baseado num problema elaborado por Ana Vanessa Duque - 2005/2006




342 Simulacao

14.3.2 Resolucao

Este e um problema de simulacao discreta, em que o tempo entre eventos(avistamento de uma ave) e regido por uma distribuicao exponencial negativacom media 2 horas (o tempo medio entre avistamentos e de 2 horas). Assim,λ = 0, 5.

Para cada avistamento e ainda necessario determinar o tipo de ave quee avistado. Para isso utiliza-se o numero de aves que vive no parque, istoe, como existem 30 abutres do Egipto, num total de 172 aves de rapina, aprobabilidade de a arvore observada ser um abutre do Egipto e de 30

172= 0, 17.

O resultado desta simulacao e entao a observacao de 3 Grifos, 2 Fal-coes Peregrinos e uma Aguia Real. Conclusoes estatisticamente significativasapenas poderiam ser retiradas da repeticao (um numero suficiente de vezes)desta simulacao.




investigac˘ao operacional~ exerc ciosmac/ensino/docs/or/ioexercicios.pdf · feupfaculdade de...

Documents