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Sinais e SistemasEng. da Computação

Fundamentos Matemáticos

Prof. Aluizio Fausto Ribeiro AraújoDepto. of Sistemas de Computação

Centro de Informática - UFPE

ES 413 Sinais e Sistemas

Introdução

1-2Sinais e SistemasEng. da Computação

Conteúdo

• Números Complexos

• Sinais Senoidais

• Plotagem de Sinais

• Expansão em Frações Parciais

• Vetores e Matrizes

• Miscelânea


Números Complexos (i)• História do Sistema Numérico

– Inicialmente considerava-se apenas números naturais (inteiros positivos) para enumerar objetos e organismos no dia a dia (e.g., crianças, pedras).

– Inclusão de frações para necessidade de medir continuamente quantidades variáveis advindas da agricultura (e.g., comprimento de um campo, peso de mercadorias). Os egípcios e os babilônicos sabiam utilizar frações.

– Pitágoras descobriu os números irracionais que só foram incluídos no sistemas de números mais tarde com Descartes.

– Os números negativos foram entendidos por hindus medievais (em meadosdo século 10). Foi reconhecido a existência de dois valores de raiz quadrada para um número positivo. Mais tarde, em Florença e Veneza renascentistas, o sistema bancário fez uso de números negativos para retiradas maiores que depósitos.

– Na época de Descartes e Newton os números imaginários vieram a ser incluídos no sistema numérico.

• Em 1777 o matemático suiço Leonhard Euler introduziu notação i que depois virou j devido à notação padrão de corrente em Eng. Elétrica.


Números Complexos (ii)• Definição de Número Imaginário

• Origens de Números Complexos

– Aceitos por matemáticos em passo intermediário no método para solucionar equação cúbica (Gerolamo Cardano, 1545):

j

j

ej

2144

exemplo,Por 1

12

±=−×=−

±=−

−=

33

332

332

3

12121212 se-tem;4,15Para,

27422742

:é solução cuja,0

−−+−+=−=−=

+−−+++−=

=++

xba

abbabbx

baxx


Números Complexos (iii)• Utilidade de um Número Complexo

– Problemas do mundo real devem iniciar a partir de números reais e terminar neles também, contudo, os cálculos para obter os resultados podem seguir “atalhos” quando se utiliza números complexos.

• Álgebra de Números Complexos

– Notação de números complexos:

( )θθθθ

θθ

jsenrzrsenjrjbaz

rsenbra

bzaz

jbaz

+=∴+=+=

==

==

+=

coscos

assim,;cos

:se- tempolares scoordenada Em

Im :(ordenada) imaginária parteRe :(abscissa) real parte

onde,


Números Complexos (iv)• Álgebra de Números Complexos

– A fórmula de Euler determina:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

K

K

K

K

+−+−=

−+−+−=

−−++−−+=

+++++++=

+=

!7!5!3

!8!6!4!21cos

!6!5!4!3!21

!6!5!4!3!21

: termososexpandir paraMaclaurin de série da através se-Prova,cos

753

8642

65432

65432

θθθθθ

θθθθθ

θθθθθθ

θθθθθθ

θθ

θ

θ

sen

jjj

jjjjjje

senje

j

j


Números Complexos (iv.a)• Álgebra de Números Complexos

∞<<∞−+++++=

<<−+++++=−

++++++=

xxxxx

xxxxxx

xn

fx

fx

fxffxf n

n

K

K

KK

432x

432

)(3

)3(2

)2(|

241

61

21

1e

1111

1MacLaurin de séries de Exemplos

!)0(

!3)0(

!2)0(

)0()0()(

MacLaurin. escocês matemático ao devido estenomerecebeu série Estazero. de tornoemTaylor de série da expansão a éMaclaurin de Série


Números Complexos (v)• Álgebra de Números Complexos

– A fórmula de Euler determina:

,cos θθθ senje j +=


Números Complexos (vi)• Álgebra de Números Complexos

– Tem-se então as equivalências:

– Em termos de magnitude e ângulo tem-se:

=+=

==

=∴+=

+=

−

ab

bar

rsenbra

erzbjaz

senjej

j

122 tan,

;,cos:polarou cartesiana forma em expressoser pode complexo Número

,cos

θ

θθ

θθθ

θ

zjjj

zj

ez

errez

zrzezz

∠−−

∠

===

=∠==

1111:iaconseqüênc Como

,, onde,

θθ

θ


Números Complexos (vii)• Álgebra de Números Complexos

– Definição de conjugado de um número complexo imagem de zcom respeito ao eixo horizontal):

– A soma de um número complexo e seu conjugado é um número real:

– O produto de um número complexo e seu conjugado é também um número real:

zjj erzzerbjaz ∠−− =∴=−= ** θ

( ) ( ) zabjabjazz Re22* ==−++=+

( )( )222*

22* )()(

zbazz

jjbabjabjabjabjazz

=+=

∴−−−+=−+=


Números Complexos (viii)• Álgebra de Números Complexos

– No plano complexo, um número complexo é representado por um ponto distando r da origem, formando um ângulo ? com o eixo horizontal. Esta maneira é válida para representar casos particulares tais como:

θθ

π

π

π

π

π

rsenbra

njnj

e

je

je

ne

ne

jn

j

j

nj

jn

==

==±

=

−=

=

=

−=

±

−

±

±

,cos que Lembrando

,15,11,7,3 para,,13,9,5,1 para,

quedizer se-pode geral modo de,

,

inteiro um é ,1

ímpar inteiro um é ,1

2/

2/

2/

2

KmK


Números Complexos (ix)• Álgebra de Números Complexos

– Gráfico dos pontos particulares:

jejeee jjnjjn −===−= −±± 2/2/2 ;;1;1 ππππ


Números Complexos (x)• Álgebra de Números Complexos

– Pode-se também determinar o limite abaixo:

( )

1 para,1 pois

0,0,0

.limlim )(

===

>∞<

==∞→

+

∞→

rree

eee

jtj

tjt

t

tj

t

θω

ωαωα

αα

( ) ( ) 31323cos2cos

2 (b)

e3.605551,3.56

23tantan

3.605551,1332

32 (a)para çãorepresenta outra a Encontre :Exemplos

2

3/

3.56j1011

2222

1

0

jsenjjrsenrz

e

z

abz

bazr

jz

j

+=+=+=

=

=

=

=∠=

==+=+==

+=

−−

ππθθ

θ

π


Números Complexos (xi)• Álgebra de Números Complexos

– Operações Aritméticas:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( ))(

2

1

2

1

2

1

)(212121

2211

21

3.562

1.531

21

2

1

2121

21

.

,

çõesrepresenta ambas com scompatívei são divisão e çãoMultiplica

7534233243

então,3213,435

scartesiana scoordenadautilizar devem subtração e Adição

θθθ

θ

θθθθ

θθ

−

+

==

==

==

+=+++=+++=+

+==+==

jj

j

jjj

jj

jj

err

erer

zz

errererzz

erzerz

jjjjzz

jezjez


Números Complexos (xii)• Álgebra de Números Complexos

– Potenciação e Radiciação:

( )( )

[ ] [ ] nkjnnkjnjn

njnnjn

jnnnjn

j

erererz

n

ererz

ererz

erz

/)2(11)2(11

111

.

acima radiciação a para valores há eFormalment

.

.

Para

:polar çãorepresenta com simples mais fique embora ções,representa ambas com scompatívei operações são radiciação e oPotenciaçã

πθπθθ

θθ

θθ

θ

++ ===

==

==

=


Números Complexos (xiii)• Álgebra de Números Complexos

– Exemplos:

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )( )( )

( )( ) ( ) ( )2.3)3.561.53(

3.56

1.53

2

1

2222

1

4.1093.561.533.561.5321

21

3.562

1.531

135

135

135

:polar) (forma Divisão13

11318

13118

3.)(2118

32.3232.43

:a)cartesinan (forma Divisão

.135135135.

:polar) (forma çãoMultiplica

1761298632.43.:a)cartesinan (forma çãoMultiplica

1332e543 Para

00

0

0

00000

00

jjj

j

jjjjj

jj

eee

ezz

jjj

jjjjj

zz

eeeeezz

jjjjjzz

ejzejz

−− ===

−=−=−

−=−+−+=

===

+−=−++=++=

=+==+=


Números Complexos (xiv)• Álgebra de Números Complexos

– Logaritmos: ( )( )

( )

( ) ( )

( )( ) ( ) .ln de principal valor o chamado é 0 para ln de valor O

,3,2,1,0,2ln.lnln

Então,3,2,1,0,.

Se

logloglog

logloglog

2

2

ln

ln

2121

2121

2121

zkzkkjrerz

kererz

ea

ez

aaa

zz/zz

zzzz

kj

kjj

azz

zcc

zzzz

==±±==

===

=

=

×=

−=

+=

±

±

+

K

K

πθπθ

πθθ


Sinais Senoidais (i)• Introdução

– Apresentação:

( )

=

±±=+=

+=

seinoidal. da segundos) (em período o é

seinoidal; da hertz) (em freqüência a é,1

assim, segundos,1 cada para repete se de valor o modo, Deste,2,1,02coscos

:é isto ,2 cada a se-repete ângulo um de cosseno O

)2(cos)(:abaixo expressão a Seja

0

0

00

0

0

T

f

fT

fx(t)nn

tfCtx

Kπϕϕπ

θπ


Sinais Senoidais (ii)• Introdução

( )

2),2(cos)2(cos)(

;0),(cos)(:destaque merecem que especiais casos Dois

.freqüência de chamadoser pode diante em daqui,2

ainda,ou ,2211

seinoidal. da radianos em freqüência a é2seinoidal; da radianos) (em fase a é

seinoidal; da amplitude a é que se- temonde

)(cos)(:anterior expressão a escrevendo-Re

00

0

00

0

00000

00

0

πθππωθω

ωπ

ω

ωππω

πωθ

θω

−==−===

=

=∴==

=

+=

tfCtCtx

tCtx

T

TfT

f

C

tCtx


Sinais Senoidais (iii)

• Introdução– Exemplo:

( )00

0

0

60cos)(

sen)(

cos)(

−=

=

=

tCtx

tCtx

tCtx

ω

ω

ω


Sinais Senoidais (iv)• Adição de Senoidais

– Dois sinais senoidais com a mesma freqüência e fases diferentes podem ser adicionados para formar uma outra senoidal com a mesma freqüência.

−

=+=

+=+

−==+=+

∴−=+

−

ab

baC

tCtbta

CbCa

tbtatCtCtCtC

122

000

000

000

tan; onde,

)(cossencos:escrever se-pode Portanto,

sen,cosonde,

sencos)(cossensencoscos)(cos

:que se- temtricas, trigonomérelaçôes Das

θ

θωωω

θθωωθω

ωθωθθω


Sinais Senoidais (v)• Adição de Senoidais

– Pode-se usar fazores para representar senoidais.

. )2cos(sen pois,2 módulo de icalfasor vert umpor dorepresenta é sen

.0 módulo de horizontalfasor umpor dorepresenta é cosque se- temLogo . ângulo e tamanhode

fasor umapor )(cos senoidal sinal o se-Representa

00

0

0

0

πωωπω

ωθ

θω

−−=−=

=

+

tt)a (?tb

)a (?taC

tC


Sinais Senoidais (vi)• Expressos por Exponenciais

– Utiliza-se a Fórmula de Euler.

( )

( )

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

sencos

sencos

:se- teminverso sentido No21

sen

21cos

je

je

eej

ee

j

j

jj

jj

−=

+=

−=

+=

−

−

−


Plotagem de Sinais (i)• Exponenciais Monotônicas

– Familiarizar com o traçado destes sinais comuns para sistemas:

• A constante de tempo é 0,5.

• A cada intervalo igual a constante de tempo, o valos de x(t)cai para 37% do valor no início deste intervalo.

• Os pares formados pelos múltiplos das constantes de tempo e os valores de x(t) podem ser usados para esboçar o gráfico.

:10) (Figura gráfico traçar para lexponencia da tempode Constante

37.011 Para .0,2; :Exemplo

.0;, :mentemonotonica variamque sinais Dois)1(

)(t

eeattae

aee

c

aac

at

atat

≅=⇒=>=

>−−

−


Plotagem de Sinais (ii)• Exponenciais Monotônicas (gráfico dos exemplos anteriores):


Plotagem de Sinais (iii)• Senoidal Variando Exponencialmente

).3

6cos(4)(

:específico Exemplo).cos()(

: típicoSinal

2

0

π

θω

−=

+=

−

−

tetx

tAetx

t

at


Expansão em Frações Parciais (i)• Principal Objetivo

– Expandir uma função própria, ocorrendo em sistemas lineares e invariantes no tempo, em frações parciais:

• Funções, chamadas de funções racionais, são razões entre dois polinômios, expressas como:

• A função F(x) é imprópria se e própria se .

• Um função imprópria pode ser sempre re-escrita como a soma de um polinômio e uma função própria, por exemplo:

011

1

011

1

)()(

)(axaxax

bxbxbxbxQxP

xF nn

n

mm

mm

++++++++

== −−

−−

KK

nm ≥ nm <

341

1234

21192)( 22

23

++−

++=++

+++=

xxx

xxx

xxxxF


Expansão em Frações Parciais (ii)• Método de Limpar Frações (Clearing Fractions)

– Função racional re-escrita como uma soma de frações parciais com coeficientes desconhecidos a serem determinados igualando-se coeficientes de potências idênticas dos dois lados.

[ ] [ ][ ] [ ]

∴++++++

++++++++=+++

∴++++++++++++=+++

++

++

++

+=

++++++=

)23()6116(

)9157()18218(643

)2)(1()3)(2)(1()3)(1()3)(2(643

: der denominado pelo lados os ambos se-multiplica)3(321)3)(2)(1(

643)(

: racional função aExpandir :Exemplo

24

233

232

231

23

43

22

21

23

24321

2

23

xxkxxxk

xxxkxxxkxxx

xxkxxxkxxkxxkxxx

F(x)x

kxk

xk

xk

xxxxxxxF


Expansão em Frações Parciais (iii)• Método de Limpar Frações (Clearing Fractions)

2

4321

4321

4321

4321

321

43214321

43212

321323

)3(3

32

22

11

)(

:em resultando,3,2,2,1:se- temacima, equações de sistema o se-Resolvendo

62691843111521

3678

1: potência mesma de escoeficient os se-Iguala

)26918()3111521(

)678()(643

+−

++

+−

+=

−==−==

=+++=+++

=+++=++

∴++++++++++++++=+++

xxxxxF

kkkk

kkkkkkkk

kkkk

kkk

kkkkkkkkx

kkkkxkkkxxxx


Expansão em Frações Parciais (iv)• Método Encobrir de Heaviside (Cover-up) ou Resíduos

– Expansão para quando não há repetição dos fatores de Q(x) e a função é própria (m<n).

ixi

xn

ini

ixi

ii

n

n

i

i

n

nnn

mmm

m

kxFx

xxkk

xxkxFx

kx

xk

xk

xk

xxxxP

xF

axaxaxbxbxbxb

xQxP

xF

i

i

i

=−

∴−

−++++−−=−

−−

++−

++−

=−−−

=

∴++++

++++==

=

==

−−

−−

λ

λλ

λ

λλ

λλλ

λλλλλλλ

)()(

)()(

)()()()(

:achar para por lados os ambos se-multiplica

)()()()())(()(

)(

)()(

)(

: própria racional função a Seja

1

1

1

1

21

0111

0111

KK

KKK

KK


Expansão em Frações Parciais (v)• Método Encobrir de Heaviside (Cover-up) ou Resíduos

– Exemplo: Expandir F(x) em frações parciais:

( ) ( )

( ) ( )

32

21

13

)( :se- temAssim

2)(3;1)(2

escoeficient demais os se-encontra teAnalogamen

36

18)3)1)((2)1((

11)1(9)1(2

)3)(2)(1(1192

1)(1

: de resdenominado o se-Emcobre321)3)(2)(1(

1192)(

333222

1

2

1

1

2

11

1

3212

+−

−+

+=

−==∴+===∴−=

=∴−−

=+−−−−−+−

=

∴+−+

−++=+=

++

−+

+=

+−+−+

=

−==

−=−=

xxxxF

kxFxkkxFxk

kk

xxxxx

xxFxk

kxk

xk

xk

xxxxx

xF

xx

xx


Expansão em Frações Parciais (vi)• Método Encobrir de Heaviside (Cover-up) ou Resíduos

– Fatores complexos de Q(x): Segue-se o mesmo procedimento.

.5,5 ,2 Assim

21)32)32)((1)32((

18)32(2)32(4)()32(

21)32)32)((1)32((

18)32(2)32(4)()32(

21020

)13)1(4)1((18)1(2)1(4

)()1(

:achar para por lados os ambos se-multiplica)32()32()1()32)(32)(1(

1824)(

: própria racional função a Seja :Exemplo

00 43.633

43.6321

2

323

2

322

2

2

11

3212

jj

jx

jx

x

ii

ekekk

jjjj

jjxFjxk

jjjj

jjxFjxk

xFxk

kxjx

kjx

kxk

jxjxxxx

xF

−

−−=

+−=

−=

===

−=−+−−+−−

+−−+−−=++=

+=+++−++−

++−++−=−+=

==+−+−+−+−

=+=

−++

+−+

++

=++−++

++=

λ


Expansão em Frações Parciais (vii)• Método Encobrir de Heaviside (Cover-up) ou Resíduos

– Fatores quadráticos de Q(x): Combina-se dois termos vindos de fatores complexos conjugados em um fator quadrático.

8;2)26()8()2(

)1)(()134(21824

:fraçõeslimpar de métodopor sencontrado são e ecoeficient os)134()1(

2)134)(1(

1824

:Portanto Heaviside, de método pelo encontrado é ecoeficient o)134()1()134)(1(

1824)(


21

2212

1

2122

21

221

2

2

1

2211

2

2

−==∴++++++=

+++++=++

++++

+=

+++++

+++

++

=+++

++=

cccxccxc

xcxcxxxx

ccxxcxc

xxxxxx

kxx

cxcxk

xxxxx

xF


Expansão em Frações Parciais (viii)• Fatores Repetidos de Q(x)

– Método Encobrir de Heaviside (Cover-up) adaptado.

[ ] λλ

ααλλλ

αααλ

=

−−

−=

∴−

++−

+−

++−

+−

=

∴−−−−

=

xr

j

j

j

j

i

n

nrrr

nr

xFxdxd

ja

a

kx

kx

kxa

xa

xa

xF

xxxxxP

xF

)()(!

1

,derivadas) e função para (igualdade escoeficient osencontrar Para

Heaviside. de método pelo osdeterminad são escoeficient os)()()()()(

)(

)())(()()(

)(

: própria racional função a Seja

1

111

10

21

KK

K


Expansão em Frações Parciais (ix)• Fatores Repetidos de Q(x)

[ ]

[ ]1

23

2

2

13

2

2

2

1

23

13

1

23

13

0

3

23

2

22

13

03

23

)2(1323164

21

)()1(!2

1

)2(1323164

)()1(

212

)2)1((13)1(23)1(16)1(4

)()1(

111

)1)2((13)2(23)2(16)2(4

)()2(

:achar para por lados os ambos se-multiplica)2()1()1()1()2()1(

1323164)(


−=−=

−=−=

−=

−=

+

+++=+=

+

+++=+=

==+−

+−+−+−=+=

==+−

+−+−+−=+=

−+

++

++

++

=++

+++=

xx

xx

x

x

ii

xxxx

dxd

xFxdxd

a

xxxx

dxd

xFxdxd

a

xFxa

xFxk

kxx

kxa

xa

xa

xxxxx

xF

λ


Expansão em Frações Parciais (x)• Fatores Repetidos de Q(x)

1)2)1((

)13)1(23)1(16)1(4()23)1(32)1(12)(2)1((

)2()1)(1323164()233212)(2(

)2(1323164

:que se- temassim

)()(

:que Lembrando:ão)(continuaç Exemplo

2

232

1

12

232

1

1

23

1

2

=+−

+−+−+−−+−+−+−=

∴+

+++−+++=

∴

+

+++=

−=

−=

−=

a

xxxxxxx

a

xxxx

dxd

a

vdxdvudxduv

vu

dxd

x

x


Expansão em Frações Parciais (xi)• Fatores Repetidos de Q(x)

31

2821

])2)1((

))2)1((2)(33)1(64)1(40)1(8(

)2)1(()64)1(80)1(24()2)1((

[21

)2())2(2)(3364408()648024()2(

21

)2(3364408

!21

)2()1)(1323164()233212)(2(

!21

:que se- temte,Analogamen :ão)(continuaç Exemplo

4

23

4

22

2

14

2322

2

12

23

2

12

232

2

=

−

=+−

+−+−+−+−

−+−

+−+−+−=

∴+

++++−+++=

∴

+

+++=

∴

+

+++−+++=

−=

−=

−=

a

xxxxxxxx

a

xxxx

dxd

a

xxxxxxx

dxd

a

x

x

x


Regra de Cramer (i)• Utilização típica:

– Solucionar sistema de equações lineares.

=

=+++

=+++=+++

nnnnnn

n

n

nnnnnn

nn

nn

y

yy

x

xx

aaa

aaaaaa

yxaxaxa

yxaxaxayxaxaxa

nn

MM

K

MKMMKK

KM

KK

2

1

2

1

21

22221

11211

2211

22222121

11212111

:matricial forma na expressasser podem equações Estas

:icógnitas com ssimultânea lineraes equações Seja


Regra de Cramer (ii)• Descrição do Procedimento:

– Operações para solução do sistema de equações lineares.

.por asubstituíd coluna a com é onde

,,2,1,

:Cramer de fórmula pela dada solução única uma tem vetor o Assim,

0 tedeterminanseu e matriz a Considere

21

22221

11211

yAD

AD

x

A

AA

k-ésima

nkx

aaa

aaaaaa

k

kk

nnnn

n

n

K

KMKMM

KK

==

=

≠


Regra de Cramer (iii)– Exemplo:

04111131

112:como calculado é de tedeterminan O

,173

111131

112 :se- temmatricial forma Em

1

73

32:ssimultânea lineares equaçõe de sistema o Resolva

3

2

1

321

321

321

≠=−=

=

−∴=

=++

=−+

=++

AA

YAxxxx

xxx

xxx

xxx


Regra de Cramer (iv)– Exemplo (continuação):

248

111731312

1

144

111171

1321

248

111137

1131

:é única solução a então zero, de diferente é tedeterminan o Como

33

22

11

−=−

===

==−==

==−==

AAD

AAD

AAD

x

x

x


Vetores e Matrizes (i)• Vetor:

– Entidade especificada por n variáveis em uma dada ordem (n-tupla ordenada) é um vetor n-dimensional. Assim,

[ ]

=

×

==

mnmm

n

n

n

n

aaa

aaaaaa

nm

x

xx

xxx

n

KMKMM

KK

MK

21

22221

11211

2

1

21

: dimensão de ordenadas) variáveisde(array matriz se-Representa

coluna)(vetor linha);vetor (

:por dorepresentaser pode dimensão de vetor Um

A

xx

x


Vetores e Matrizes (ii)• Transformação Linear:

– Um sistema de equações lineares simultâneas pode ser visto como a transformação de um vetor em outro (transformação linear de vetores).

coluna. e linha da elemento o como definido é .escrever se-pode compacta forma Em

:icógnitas com ssimultânea lineraes equações Seja

ij

2

1

2

1

21

22221

11211

2211

22222121

11212111

j-ésimai-ésimaa

y

yy

x

xx

aaa

aaaaaa

yxaxaxa

yxaxaxa

yxaxaxa

nm

mnmnmm

n

n

mnmnmm

nn

nn

yAx =

=

⇔

=+++

=+++=+++

MMK

MKMMKK

KM

K

K


Vetores e Matrizes (iii)• Definições e Propriedades:

.:)( a transpostMatriz

)(, :)( idênticas Matrizes

.)(,0 :zero Matriz

).(, :simétrica Matriz

.)(,1 0, :)unitária(ou identidade Matriz

.)(,00 :diagonal Matriz

se-define , : , Matriz a Seja

21

22221

11211

nmijmnji

ijij

iiij

jiij

iiij

iiij

mnmm

n

n

)(a)(b

nmi,j, ba

nmi,j, aa

nni,j, aa

nni,j, aa

nni,j, , aa

aaa

aaaaaa

nmA

×× ==

×∀==

×∀==

×∀=

×∀==

×∀≠=

=×

TAB

BA

I

A

KMKMM

KK


Vetores e Matrizes (iv)• Álgebra de Matrizes:

AIAAICBCAB)C(ABCACB)C(A

BADABC

AA

BA

BA

BA

==+=++=+

===

∀

∀=

∀++

=

=

×

∑=

×

××

×

×

:neutro Elemento . ; :vidadeDistributi

existe. não )(;.)( :)(

,)(,)( para matrizes, de çãoMultiplica

. :)(escalar por matriz de çãoMultiplica

. :)( matrizes de Adição

,

: dimensão de e matrizes duas Considere

1

21

22221

11211

21

22221

11211

n

kkjikpmij

pnijnmij

nmij

nmijij

mnmm

n

n

mnmm

n

n

)b(ac

i,jba

i,j, )(cacc

i,j, )b(a

bbb

bbbbbb

aaa

aaaaaa

nm

KMKMM

KK

KMKMM

KK


Vetores e Matrizes (v)• Álgebra de Matrizes:

)( que seConclui

1

:Cramer de regra Pela

se- tem, inversa pela termosos ambos ndomultiplica-Pré

)(, :matricial forma em sistema o Considere

1

2

1

2

2222

211

2

1

2

2222

211

2

1

11

1

ADA

DDD

DDDDDD

A

AD

AD

AD

AD

AD

AD

AD

AD

AD

yAxIxyAAxAyAAxy

A

AAxy

1

1

1

11

1

1

11

11

ijij

nnnnn

n

n

nnnnn

n

n

n

a

y

yy

y

yy

x

xx

nn

==−

=

=

=∴=∴=∴=

×=

−−

−−−−

−

MK

MKMMKK

M

K

MKMM

K

K

M


Vetores e Matrizes (vi)• Álgebra de Matrizes:

−−−−

−−=∴

−=

−=

=

=

−−

+

−

314518

114

41

41

.a componente do coluna e linha a se-deletando

obtidaA de submatriz da tedeterminan o é onde ,)1(

,,123321112

Exemplo

33323

23222

3211

ij

333231

232221

131211

1

1

1

111

1

ADDDDDDDDD

A

MMD

ADADADADADADADADAD

AA

ijijji

ij


Vetores e Matrizes (vii)• Derivada e Integral de uma Matriz:

[ ]

[ ]( )

( )

( )

( ) 0

: válidassIdentidade

)()( :matriz uma de Integral

)()( :matriz uma de Derivada

: dimensão de e matrizes as Considere

=

+=+=

=

+=+

∀=

∀=

=

×

×

×

∫∫

I

BABAB

ABA

AB

AA

BABA

A

AA

BA

dtd

dtd

dtd

dtd

dtdcc

dtd

dtd

dtd

dtd

i,j., dttat

i,j., tadtd

t dtd

nm

TTT

TT

nmij

nmij

&&

&


Vetores e Matrizes (viii)• Equação Característica: Teorema de Cayley-Hamilton:

– Toda matriz A satisfaz a sua equação característica, isto é, na equação característica pode se substituir ? por A.

0 é, isto ,0

tica)caracterís (equação se só e se existe equações destas soluçãoA ente.correspondautovalor seu eautovetor um é onde ,

:dosatisfazen ,0 qualquer, )1( e )( doConsideran

0)

é ticocaracterís polinômio o onde

,0 é, isto

21

22221

11211

00

11

11

00

11

11

=

−

−−

=−=−

=≠××

=++++=−=

=++++=

−−

−−

λ

λλ

λλ

λλ

λλλλ

nnnn

n

n

nn

n

nn

n

aaa

aaaaaa

nnn

aaa?Q(?

aaa

KMKMM

KK

K

K

AIIA

xxAxxxA

AI

AAA A Q(A)


Vetores e Matrizes (ix)• Equação Característica: Teorema de Cayley-Hamilton:

– Funções de uma matriz quadrada usando o teorema.

( )

11

2210

10

21

12

001

111

1

10

21

121

1

001

22

11

0

22

110

)

escrita-reser pode infinita série a logo , raciocíno Estendendo

se- temassim acima,seu valor por substtuir se pode equação Nesta

:se- tem,lados ambos ,,

:assim tico,caracterís polinômio o satisfaz ele então , deautovalor é

)

:potências de infinita série uma forma na Função

−−

−−

−−−

+

−−−

+

−−

−−

∞

=

++++=

+∀

−−−−−−−−−=

−−−−−=

×−−−−−=

=++++= ∑

nn

nn

nnn

n

n

nn

nn

n

nn

nn

n

i

ii

f(?

k n

aaaaaaa?

?

aaaa?

aaaa?

f(?

λβλβλββ

λλλλλλ

λλλλ

λλλλλ

λ

λβλβλββ

K

KK

K

K

KK

A


Vetores e Matrizes (x)• Equação Característica: Teorema de Cayley-Hamilton:

– Funções de uma matriz quadrada usando o teorema.

11

2210

1

1

0

1

122

111

2

1

n1

)

:se- temteanalogamen tico,caracterís polinômio o satifaz também Como

1

11

)(

)()(

:se- tem),,,( distintos sautovalore com sistema Para

−−

−−

−

−

++++=

=

nn

nnnn

n

n

n

f(

f

ff

n

AAAIA

A

ββββ

β

ββ

λλ

λλλλ

λ

λλ

λλ

K

M

KMKMM

KK

M

K


Vetores e Matrizes (xi)• Cálculo de Exponencial e Potência:

– Usadas para solucionar sistemas lineares, invariantes no tempo.

1110

1

0

0

22

: Potência,

)(

:que se- tem, de equação da Assim,!!2

:de definida , l,Exponencia

−−

−

=

∞

=

+++=

=

=+++++=

∑

∑

nn

k

k

n

i

ii

t

k

kknnt

t

e

) f(kt

nt

!tte

e

AAIA

A

A

A

AAAAI

A

A

A

βββ

β

K

KK


Miscelânea• Conteúdo

– Relação de expressões matemática, para consulta, que envolvem:

• L’Hopital;

• Séries de Taylor e Maclaurin;

• Séries de potências;

• Somatórios;

• Números Complexos;

• Identidades Trigonométricas;

• Integrais indefinidas;

• Fórmulas comuns de derivadas;

• Constantes usuais;

• Soluções de equações quadráticas e cúbicas.


Exercícios Recomendados• Propostos para o MATLAB ou SCILAB

– Todos

• Problemas– B.1, B.2, B.3, B.5, B.7, B.8, B.9, B.13, B.17, B.18, B.22, B.23,

B.24, B.26, B.27, B.31 até B.37.

introdução - ufpees413/aulas/ss-ufpe-aula-01-fundamentos.pdfsinais e sistemas 1-3 eng. da...

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