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Introdução aos Métodos Numéricos
Instituto de Computação UFFDepartamento de Ciência da Computação
Otton Teixeira da Silveira Filho
Conteúdo específico
● Integração Numérica
Conteúdo temático
● Conceitos básicos
● Interpretação geométrica da integral definida
● Definição de Riemann para a integral
● Regra dos Retângulos
● Regra dos Trapézios
Integração numérica
Aqui veremos alguns métodos para calcular a integral definida, ou seja,
∫a
b
f (x)dx
Integração numérica
Aqui veremos alguns métodos para calcular a integral definida, ou seja,
mas porque e em que situações faríamos isto?
∫a
b
f (x)dx
Integração numérica
i) Quando o integrando não tem primitiva elementar como em
ou nas funções∫a
b
ex2
dx ;∫a
b
x tan x dx
Si(x)=∫0
xsentt
dt ;Γ(z )=∫0
∞
x z−1e−xdx
Integração numérica
ii) Quando o integrando for muito complicado
∫a
bsen x e x
−cos2 x e−x+ch x sh3 x
sen x ch x+ x e−x sh x cos xdx
Integração numérica
iii) Quando a função for dada por pontos
x f(x)
0,12358 12,45678
0,14567 13,47893
0,15678 15,55678
0,21001 15,21145
0,27113 14,31268
0,31897 13,11387
. .
. .
Integração numérica
Aviso
Na maioria dos casos não é uma boa ideia interpolar pontos e depois integrar o polinômio interpolador
Integração numérica
Aviso
Na maioria dos casos não é uma boa ideia interpolar pontos e depois integrar o polinômio interpolador
Lembrem-se das questões que discutimos em interpolação
Interpretação geométrica
Para facilitar o entendimento tenhamos em mente a interpretação geométrica da integral, ou seja,
é equivalente aI=∫a
b
f (x)dx
Teorema do valr médio para integrais
Temos ainda o Teorema do Valor Médio para Integrais que garante que sendo f(x) integrável no intervalo [a,b] então existe pelo menos um ponto c dentro deste intervalo tal que
ou seja, se soubermos qual é este ponto c então a integral é igual à área do retângulo de base b-a e altura f(c)
I=∫a
b
f (x)dx=(b−a ) f (c)
Teorema do valr médio para integrais
Geometricamente é algo assim
no exemplo temos três pontos que satisfazem o teorema
I=∫a
b
f (x)dx=(b−a ) f (c)
Teorema do valr médio para integrais
Como você deve estar suspeitando, encontrar este ponto c não é nada fácil.
Integral de Riemann
Temos também a definição da Integral de Riemann
é equivalente a
onde h é a base de cada retângulo
I=∫a
b
f (x)dx=limh→0
∑i→∞
h f (a+i h)
Integração numérica
Claro que esta definição não é útil numericamente com estes limites de h tendendo a zero e o número de retângulos tendendo ao infinito. Mas a definição da integral de Riemann nos sugere coisas interessantes...
Integração numérica
● “Fatiarmos“ o intervalo em subintervalos
Integração numérica
● “Fatiarmos“ o intervalo em subintervalos
● Integrarmos cada subintervalo com alguma regra simples
Integração numérica
● “Fatiarmos“ o intervalo em subintervalos
● Integrarmos cada subintervalo com alguma regra simples
● Somamos as áreas obtidas
Integração numérica
● “Fatiarmos“ o intervalo em subintervalos
● Integrarmos cada subintervalo com alguma regra simples
● Somamos as áreas obtidas
● Chamaremos a fórmula obtida desta forma de Regra Composta pois será feita pela composição das áreas de cada subintervalo
Integração numérica
Trabalharemos inicialmente sobre a regra de integração em cada subintervalo inicialmente inspirada na definição da integral de Riemann
Integração numérica
Aqui trabalharemos com uma subdivisão igual em todo intervalo de integração
Integração numérica
Aqui trabalharemos com uma subdivisão igual em todo intervalo de integração
Isto simplifica os algoritmos mas é bom observar que é uma limitação artificial que impomos
Retângulos
Método dos Retângulos
Vamos calcular uma aproximação da integral usando um retângulo
Retângulos
Cometeremos uma arbitrariedade: calcularemos a altura dos retângulos usando o ponto mais a esquerda do subintervalo.
Retângulos
Cometeremos uma arbitrariedade: calcularemos a altura dos retângulos usando o ponto mais a esquerda do subintervalo.
Tecnicamente falando, poderíamos usar qualquer ponto do subintervalo para este cálculo
Retângulos
A área aproximada é
Observe que a precisão visualmente é bem ruim mas facilitará pensarmos mais além
R1=(b−a) f (a)
Retângulos
Agora usemos dois retângulos dividindo igualmente o intervalo de integração
Retângulos
A área aproximada é
ou
A precisão continua não sendo boa visualmente
R2=b−a
2f (a)+
b−a2
f (a+b−a
2 )
R2=b−a
2 [ f (a)+f (a+b−a
2 ) ]
Retângulos
Agora usemos três retângulos dividindo igualmente o intervalo de integração
Retângulos
A área aproximada é
ou
As coisas estão visualmente melhorando embora lentamente
R3=b−a
3f (a)+
b−a3
f (a+b−a
3 )+ b−a3
f (a+2b−a
3 )
R3=b−a
3 [ f (a)+ f (a+b−a
3 )+ f (a+2b−a
3 ) ]
Integração numérica
Façamos uma releitura do que fizemos:
● Integramos cada subintervalo como se a função fosse constante, ou seja, um polinômio de grau 0
● Somamos as áreas de cada subintervalo para obtermos uma aproximação da integral original
Retângulos
Continuando este processo obteríamos para n retângulos
uma versão finita da fórmula de Riemann.
Rn=hn [ f (a)+ f (a+hn )+ f (a+2hn )+⋯+ f (a+(n−1)hn ) ]=hn∑i=0
n−1
f (a+i hn); hn=b−an
Integração numérica
Do estudo de interpolação sabemos que nossa precisão aumenta com o aumento do grau do polinômio
Integração numérica
Do estudo de interpolação sabemos que nossa precisão aumenta com o aumento do grau do polinômio
Torna-se natural pensarmos em criar um método similar ao dos retângulos mas usando polinômios de grau mais alto
Trapézios
Método dos Trapézios
Vamos calcular uma aproximação da integral usando um polinômio de primeiro grau que interpola f(x) dentro do intervalo [a, b].
Tecnicamente falando, não é claro quais dos pontos do intervalo deveremos usar
Arbitrariamente usaremos os extremos do intervalo de integração
Trapézios
Método dos Trapézios
Vamos calcular uma aproximação da integral usando um polinômio de primeiro grau que interpola f(x) dentro do intervalo [a, b] usando os pontos extremos do intervalo
Trapézios
Repare que não precisamos saber qual é o polinômio interpolador. Queremos a sua integral.
Mas aqui temos uma facilidade.
Trapézios
Repare que não precisamos saber qual é o polinômio interpolador. Queremos a sua integral.
Mas aqui temos uma facilidade. Observe que a área que queremos calcular é a área de um trapézio. Assim teremos
T 1=f (a)+f (b)
2(b−a)=
b−a2
[ f (a)+ f (b)]
Trapézios
Agora vamos calcular uma aproximação da integral com dois trapézios, ou seja, dois subintervalos
Trapézios
Somemos as áreas
T 2=f (a)+ f (a+(b−a)/2)
2b−a
2+
f (a+(b−a)/2)+f (b)
2b−a
2
Trapézios
Somemos as áreas
ou
T 2=f (a)+ f (a+(b−a)/2)
2b−a
2+
f (a+(b−a)/2)+f (b)
2b−a
2
T 2=12
b−a2 [ f (a)+ f (b)+2 f (a+
b−a2 ) ]
Trapézios
Para simplificar escreveremos
T 2=h2
2 [ f (a)+f (b)+2 f (a+h2 ) ] ;h2=b−a
2
Trapézios
Continuemos o procedimento agora com três subintervalo
Trapézios
Teremos aqui para a soma das áreas
T 3=f (a)+ f (a+h3)
2h3+
f (a+h3)+ f (a+2h3)
2h3+
f (a+2h3)+ f (b)
2h3 ;h3=
b−a3
Trapézios
Teremos aqui para a soma das áreas
ou
T 3=f (a)+ f (a+h3)
2h3+
f (a+h3)+ f (a+2h3)
2h3+
f (a+2h3)+ f (b)
2h3 ;h3=
b−a3
T 3=h3
2 [ f (a)+ f (b)+2 f (a+h3 )+2 f (a+2h3 ) ]
Trapézios
Não fica difícil verificar que se continuarmos este procedimento teremos
T n=hn
2 [ f (a)+f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
Trapézios
Não fica difícil verificar que se continuarmos este procedimento teremos
Vamos a um exercício
T n=hn
2 [ f (a)+f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
Integração numérica – Um exemplo
Calcule numericamente o valores aproximados para a integral abaixo usando 1, 2, 3 e 4 retângulos e também 1, 2, 3 e 4 trapézios
∫1
2dxx
Integração numérica – Um exemplo
Calcule numericamente o valores aproximados para a integral abaixo usando 1, 2, 3 e 4 retângulos e também 1, 2, 3 e 4 trapézios
Aqui a = 1, b = 2 e
∫1
2dxx
f (x)=1x
Integração numérica – Um exemplo
Façamos por retângulos
Um retângulo
Rn=hn∑i=0
n−1
f (a+i hn);hn=b−an
; f (x)= 1x
R1=h1 f (a);h1=b−a
1=
2−11
=1
R1=1 f (1)=111=1
Integração numérica – Um exemplo
Façamos por retângulos
Dois retângulos
Rn=hn∑i=0
n−1
f (a+i hn);hn=b−an
; f (x)= 1x
R2=h2 [ f (a)+f (a+h2) ] ;h2=b−a
2=
2−12
=12
R2=12 [ f (1)+ f (1+
12) ]=1
2 [ 11 +1
3 /2 ]=12 [1+
23 ]=5
6=0,833
Integração numérica – Um exemplo
Façamos por retângulos
Três retângulos
Rn=hn∑i=0
n−1
f (a+i hn);hn=b−an
; f (x)= 1x
R3=h3 [ f (a)+ f (a+h3)+f (a+2h3) ] ;h3=b−a
3=
2−13
=13
R3=13 [ f (1)+ f (1+
13)+ f (1+
23) ]= 1
3 [ 11+1
4 /3+
15 /3 ]=1
3 [1+34+
35 ]= 47
60=0,78 33
Integração numérica – Um exemplo
Façamos por retângulos
Quatro retângulos
Rn=hn∑i=0
n−1
f (a+i hn);hn=b−an
; f (x)= 1x
R4=h4 [ f (a)+ f (a+h4)+f (a+2h4)+ f (a+3h4) ] ;h4=b−a
4=
2−14
=14
R4=14 [ f (1)+ f (1+
14)+ f (1+
24)+f (1+
34)]=1
4 [ 11+
15 /4
+1
6/4+
17 /4 ]=1
3 [1+45+
46+
47 ]=0,759523
Integração numérica – Um exemplo
Observemos os valores obtidos
R1=1; R2=0,8 33 ;R3=0,78 33 ;R4=0,759523
Integração numérica – Um exemplo
Observemos os valores obtidos
Há uma evolução nos valores mas é lenta e ainda não temos uma ideia boa do valor da integral
Partamos para o método dos Trapézios
R1=1; R2=0,8 33 ;R3=0,78 33 ;R4=0,759523
Integração numérica – Um exemplo
Trapézios
Um trapézio
T n=hn
2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
; f (x )=1x
T 1=h1
2[ f (a)+ f (b) ] ;h1=
b−a1
=2−1
1=1
Integração numérica – Um exemplo
Trapézios
Um trapézio
T n=hn
2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
; f (x )=1x
T 1=h1
2[ f (a)+ f (b) ] ;h1=
b−a1
=2−1
1=1
T 1=12
[ f (1)+ f (2)]=12 ( 11 +
12 )=3
4=0,75
Integração numérica – Um exemplo
Trapézios
Dois trapézios
T n=hn
2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
; f (x )=1x
T 2=h2
2[ f (a)+f (b)+2 f (a+h2) ] ;h2=
b−a2
=2−1
2=
12
Integração numérica – Um exemplo
Trapézios
Dois trapézios
T n=hn
2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
; f (x )=1x
T 2=h2
2[ f (a)+f (b)+2 f (a+h2) ] ;h2=
b−a2
=2−1
2=
12
T 2=12
12
[ f (1)+ f (2)+2 f (1+1/2) ]=14 ( 1
1+
12+
23/2 )= 1
4 (1+12+
43 )=17
24=0,70833
Integração numérica – Um exemplo
Trapézios
Três trapézios
T n=hn
2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
; f (x )=1x
T 3=h3
2[ f (a)+ f (b)+2 f (a+h3)+2 f (a+2h3) ] ; h3=
b−a3
=2−1
3=
13
Integração numérica – Um exemplo
Trapézios
Três trapézios
T n=hn
2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
; f (x )=1x
T 3=h3
2[ f (a)+ f (b)+2 f (a+h3)+2 f (a+2h3) ] ; h3=
b−a3
=2−1
3=
13
T 3=12
13
[ f (1)+ f (2)+2 f (1+1 /3)+2 f (1+2 /3)]=14 ( 1
1+
12+
24 /3
+2
5 /3 )=16 (1+
12+
64+
65 )= 7
10=0,7
Integração numérica – Um exemplo
Trapézios
Quatro trapézios
T n=hn
2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
; f (x )=1x
T 4=h4
2[ f (a)+ f (b)+2 f (a+h4)+2 f (a+2h4)+2 f (a+3h4)] ;h4=
b−a4
=2−1
4=
14
Integração numérica – Um exemplo
Trapézios
Quatro trapézios
T n=hn
2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
; f (x )=1x
T 4=h4
2[ f (a)+ f (b)+2 f (a+h4)+2 f (a+2h4)+2 f (a+3h4)] ;h4=
b−a4
=2−1
4=
14
T 4=12
14
[ f (1)+ f (2)+2 f (1+1 /4)+2 f (1+2 /4)+2 f (1+3 /4) ]
Integração numérica – Um exemplo
Trapézios
Quatro trapézios
T n=hn
2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
; f (x )=1x
T 4=h4
2[ f (a)+ f (b)+2 f (a+h4)+2 f (a+2h4)+2 f (a+3h4)] ;h4=
b−a4
=2−1
4=
14
T 4=12
14
[ f (1)+ f (2)+2 f (1+1 /4)+2 f (1+2 /4)+2 f (1+3 /4) ]
T 4=18 ( 11 +
12+
25 /4
+2
6 /4+
27 /4 )=1
8 (1+12+
85+
86+
87 )=0,697023
Integração numérica – Um exemplo
Observemos os valores obtidos
Há uma evolução nos valores aparentemente mais rápida. Mas sabemos que o valor da integral é
T 1=0,75 ;T 2=0,70833 ;T 3=0,7 ;T 4=0,697023
Integração numérica – Um exemplo
Observemos os valores obtidos
Há uma evolução nos valores aparentemente mais rápida. Mas sabemos que o valor da integral é
T 1=0,75 ;T 2=0,70833 ;T 3=0,7 ;T 4=0,697023
∫1
2dxx
=ln(2)≈0,693147
Integração numérica – Um exemplo
Comparemos os resultados
Indiscutivelmente o resultado do Método dos Trapézios é bem melhor com um esforço computacional quase idêntico ao Método dos Retângulos
T 1=0,75 ;T 2=0,70833 ;T 3=0,7 ;T 4=0,697023
∫1
2dxx
=ln (2)≈0,693147
R1=1; R2=0,8 33 ;R3=0,78 33 ;R4=0,759523
Integração numérica – Avaliando os resultados
Avaliando os resultados
Em tese fazemos integração numérica por ser difícil ou impossível calcular a integral analiticamente.
Então, como avaliar os resultados obtidos?
Integração numérica – Avaliando os resultados
Neste curso usaremos a seguinte regra:
● Calcule a integral para número de intervalos diferentes e crescentes
● A cada dois valores estime a mudança usando
onde são as estimativas calculadas.
Exemplifiquemos como os valores obtidos anteriormente
|Ei−E j||Ei|
Eie E j
Integração numérica – Um exemplo
Obtivemos os valores
Assim temos uma avaliação da evolução do valor como
Calculado temos a estimativa
Temos um testemunho da evolução da precisão
T 1=0,75 ;T 2=0,70833
|T 2−T 1||T 1|
=|0,70833−0,75|
|0,75|=0,0 55
T 3=0,7
|T 3−T 2||T 2|
=|0,7−0,708 33|
|0,708 33|=0,011764
Integração numérica – Um exemplo
Como o cálculo de obtemos outra avaliação
Veremos da aplicação deste critério em outros métodos que seguirão
T 4=0,697023
|T 4−T 3||T 3|
=|0,697023−0,7|
|0,7|=0,00425
Trapézios não regular
Regra dos Trapézios não Regular
Não somos obrigados a criar um método de integração apenas para subintervalos regulares. Veja a figura
Trapézios não regular
...o que é equivalente a termos uma tabela com os valores xi
Trapézios não regular
Vamos somar a área de cada trapézio
ou
I≈h1
f (a)+ f (x1)
2+h2
f (x1)+ f (x2)
2+h3
f ( x2)+ f (x3)
2⋯+hn
f (xn−1)+ f (b)
2hi=x i+1−x i
I≈h1
2f (a)+
h1+h2
2f ( x1)+
h2+h3
2f (x2)⋯+
hn−1+hn
2f (xn−1)+
hn
2f (b)
Trapézios não regular
O que nos deixa com
I≈12 [h1 f (a)+(h1+h2) f (x1)+(h2+h3) f (x2)⋯+(hn−1+hn) f ( xn−1)+hn f (b) ]
hi=xi+1−x i
Trapézios não regular
O que nos deixa com
Tal fórmula pode ser útil não só quando temos a função explicitamente como também quando temos a função dada por pontos
I≈12 [h1 f (a)+(h1+h2) f (x1)+(h2+h3) f (x2)⋯+(hn−1+hn) f ( xn−1)+hn f (b) ]
hi=xi+1−x i