Introdu cao`aTeoriadosN umerosFabioE.BrocheroMartinezCarlosGustavoT.deA.MoreiraNicolauC.SaldanhaEduardoTengan28deFevereirode2011PrefacioEstelivro eumaversaoreduzidadolivroTeoriadosN umeros: umpasseiopelomundointeirocomprimoseoutrosn umerosfamiliares,dosmesmosautores,publicadonacole caoProjetoEuclides,doIMPA,em2010.Foi preparado especialmente para servir como texto do curso de Introdu cao `a Teoria dos N umeros, a ser dadoporCarlosGustavoMoreiranaEMALCAdeSalta,naArgentina.RiodeJaneiro,28defevereirode2011Conte udo0 Princpios 20.1 PrincpiodaIndu caoFinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2 PrincpiodaCasadosPombos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 DivisibilidadeeCongruencias 91.1 Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 mdc,mmceAlgoritmodeEuclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 OTeoremaFundamentaldaAritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6 OAneldeInteirosModulon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7 AFun caodeEulereoTeoremadeEuler-Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.8 Polin omios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.9 OrdemeRazesPrimitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 Equa coesM odulom 442.1 Equa coesLinearesModulom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.2 CongruenciasdeGrau2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2.1 ResduosQuadr aticoseSmbolodeLegendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2.2 LeideReciprocidadeQuadr atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.3 CongruenciasdeGrauSuperior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 Equa coesDiofantinas 573.1 TernasPitagoricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2 SomadeQuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.1 SomadeDoisQuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2.2 SomadeQuatroQuadradoseoProblemadeWaring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2.3 SomadeTresQuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2.4 TeoremadeMinkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3 DescensoInnitodeFermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.3.1 Equa caodeMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3.2UltimoTeoremadeFermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.4 Equa caodePell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.4.1 AEqua caox2Ay2= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.4.2 Solu coesdaEqua caox2Ay2= c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.4.3 Solu coesdaEqua caomx2ny2= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814 Fun coesAritmeticas 844.1 Fun coesMultiplicativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2 Fun caodeMobiuseFormuladeInversao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3 AlgumasEstimativassobrePrimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.3.1 OTeoremadeChebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90CONTEUDO4.3.2 OPostuladodeBertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.3.3 Outrasestimativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.4 AFun caodeEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.5 AFun cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.6 N umerosLivresdeQuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.7 AsFun coese. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.8 AFun caoN umerodeDivisoresd(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.9 AFun caoN umerodeParti coesp(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.10 AFun caoCustoAritmetico(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Bibliograa 113Captulo0PrincpiosNestecaptulopreliminarveremosduaspropriedadesbasicasdosn umerosnaturais,oPrincpiodaIndu c aoFinitaeoPrincpiodaCasadosPombos.0.1 PrincpiodaInducaoFinitaSejaP(n)umapropriedadedon umeronaturaln,porexemplo: npodeserfatoradoemumprodutoden umerosprimos; 1 + 2 + +n =n(n+1)2; aequa cao2x + 3y= nadmitesolu caocomxeyinteirospositivos.UmamaneiradeprovarqueP(n) everdadeiraparatodonaturaln n0eutilizarochamadoPrincpiodaIndu c ao Finita(PIF), que e um dos axiomas que caracterizam o conjunto dos n umeros naturais. O PIF consisteemvericarduascoisas:1. (BasedaIndu cao)P(n0) everdadeirae2. (PassoIndutivo)SeP(n)everdadeiraparaalgumn umeronatural n n0, ent aoP(n + 1)tambemeverdadeira.Nabasedaindu cao,vericamosqueapropriedade ev alidaparaumvalorinicialn = n0. Opassoindutivoconsisteemmostrarcomoutilizaravalidadedapropriedadeparaumdadon(achamadahip otesedeinduc ao)paraprovaravalidadedamesmapropriedadeparaointeiroseguinten + 1. Umavezvericadosabaseeopassoindutivo,temosuma cadeiadeimplica coesP(n0) everdadeira(base)passoindutivo=P(n0 + 1) everdadeirapassoindutivo=P(n0 + 2) everdadeirapassoindutivo=P(n0 + 3) everdadeira...demodoqueP(n) everdadeiraparatodonaturaln n0.Vejamosalgunsexemplos.Exemplo0.1. Demonstrarque,paratodointeiropositivon,1 + 2 + +n =n(n + 1)2.[SEC.0.1: PRINCIPIODAINDU CAOFINITA 3Solu c ao: Observemos que 1 =122donde aigualdade vale para n = 1 (base da indu cao). Agorasuponha queaigualdadevalhaparan = k(hipotesedeindu cao):1 + 2 + +k =k(k + 1)2Somandok + 1aambosladosdaigualdade,obtemos1 + 2 + +k + (k + 1) =k(k + 1)2+ (k + 1) =(k + 1)(k + 2)2demodoqueaigualdadetambemvaleparan=k + 1. PeloPIF, aigualdadevaleparatodon umeronaturaln 1.Exemplo0.2. Demonstrarque,paratodon umeronatural n,Mn= n(n21)(3n + 2)em ultiplode24.Solu c ao: Vejaquesen = 0ent aoM0= 0,que eumm ultiplode24(basedaindu cao).Agora,suponhamosqueparacertointeirokon umeroMkedivisvelpor24(hipotesedeindu cao)evamosmostrarqueMk+1tambem edivisvelpor24(passoindutivo). Calculamosprimeiramenteadiferen caMk+1 Mk= (k + 1)_(k + 1)21__3(k + 1) + 2_k(k21)(3k + 2)= k(k + 1)[(k + 2)(3k + 5) (k 1)(3k + 2)]= 12k(k + 1)2.Umdosn umerosnaturaisconsecutivoskek + 1epardondek(k + 1)2esemprepare12k(k + 1)2edivisvelpor 24. Por hip otese de indu cao, Mke divisvel por 24 e temos portanto que Mk+1= Mk +12k(k +1)2tambemedivisvelpor24,comosequeriademonstrar.UmavariantedoPIFeaseguinteversao(` asvezesapelidadadeprincpiodeinduc aoforteouprincpiodeinduc aocompleta),emquesedevemostrar1. (BasedaIndu cao)P(n0) everdadeirae2. (PassoIndutivo)SeP(k) everdadeiraparatodonaturalktalquen0 k n,ent aoP(n + 1)tambem everdadeira.Exemplo0.3. AsequenciadeFibonacciFneasequenciadenidarecursivamenteporF0= 0, F1= 1 e Fn= Fn1 +Fn2paran 2Assim,seusprimeirostermoss aoF0= 0, F1= 1, F2= 1, F3= 2, F4= 3, F5= 5, F6= 8, . . .MostrequeFn=nn onde =1+52e=152s aoasrazesdex2= x + 1.Solu c ao: TemosqueF0=00= 0eF1=11= 1(basedeindu cao). Agorasejan 1esuponhaqueFk=kkparatodokcom0 k n(hipotesedeindu cao). Assim,Fn+1= Fn +Fn1=nn +n1n1 =(n+n1) (n+n1) =n+1n+1 4 [CAP.0: PRINCIPIOSpois2= + 1 =n+1= n+n1eanalogamenten+1= n+n1.Observe que,neste exemplo,comoopassoindutivo utiliza osvalores dedoistermosanteriores dasequenciade Fibonacci, a base requer vericar a formula para os dois termos iniciais F0e F1e nao apenas para o primeirotermo.Exemplo0.4. Demonstrarque,paraquaisquernaturaisn m,ocoecientebinomial_nm_def=n!m!(n m)!einteiro.Solu c ao: Procederemosporindu caosobreasomam + n. Sem + n=0ent aom=n=0e_00_=1einteiro(basedeindu cao). Paraopassoindutivo,observeprimeiramentequepara0 < m < ntemosaseguinteidentidadedebinomiais_nm_=_n 1m_+_n 1m1_queseguediretamentedasdeni coes:_n 1m_+_n 1m1_=(n 1)!m!(n m1)!+(n 1)!(m1)!(n m)!=_(n m) +m_(n 1)!m!(n m)!=_nm_.Agorasuponhamos que_nm_einteiroparam + n k(hipotesedeindu cao). Notequepodemos suportambemque0 3n2+ 3n + 1.0.5. Dadouminteiropositivon, denimosT(n, 1)=ne, paratodok 1, T(n, k + 1)=nT(n,k). Provequeexistec Ntal que,paratodok 1,T(2010, k) < T(2, k +c). Determineomenorinteiropositivoccomessapropriedade.0.6. Mostrequeparatodonekinteirospositivos_nn_+_n + 1n_+_n + 2n_+ +_n +kn_=_n +k + 1n + 1_.0.7. Demonstreaf ormuladobin omiodeNewtonparannatural:(x +y)n=_n0_xn+_n1_xn1y + +_nn 1_xyn1+_nn_yn.6 [CAP.0: PRINCIPIOS0.8. Encontrarcomdemonstrac aoumaexpress aoparaomultin omio(x1 +x2 + +xk)nemtermosdoscoecientesmultinomiais_ni1, . . . , ik_def=n!i1! ik!ondei1 + +ik= n.0.9. Considerenretasemposi c aogeral emumplano, istoe, semquehajaduasretasparalelasoutresretasconcorrentesemummesmoponto.(a) Determineemfun c aodenon umeroderegi oesemqueasretasdividemoplano.(b) Demonstre que e possvel colorir essas regi oes com duas cores sem que duas regi oes vizinhas tenham a mesmacor(duasregi oess aovizinhasseelaspossuemumsegmentoderetaemcomum).0.10. Sejamx1, . . . , xnn umerosreaispositivos. Nesteexercciovamosprovarquex1 + +xnnnx1 xn.Tal desigualdadeeconhecidacomodesigualdadedasmediasaritmeticaegeometrica.(a) UtilizeoPIFparamostraradesigualdadedasmediasparan = 2k.(b) Sejamx1, . . . , xnreaispositivosxadoseA=x1++xnnamediaaritmeticadestesn umeros. Suponhaqueadesigualdadevalhaparan + 1n umerosreaispositivosquaisquer; aplicando-aparax1, . . . , xn, A, concluaqueadesigualdadevaletambemparaquaisquernn umerosreaispositivos.(c) Combinandoositensanteriores,proveadesigualdadeparatodonnatural.0.11. Demonstrarqueparacadan umeronaturalnexisteumn umeronaturalMsatisfazendosimultaneamenteasseguintesduascondic oes:(i) Mpossuindgitospertencentesaoconjunto {1, 2}.(ii) Medivisvel por2n.0.12(IMO1987). Mostrequen aoexisteumafun c aof :N Ntal quef(f(n)) = n + 1987paratodon N.0.2 PrincpiodaCasadosPombosEintuitivamenteclaroquesecolocamosn + 1objetosemngavetasent aohaveraaomenosumagavetacommaisdeumobjeto. IstoeexatamenteoquearmaochamadoPrincpiodaCasadosPombos(PCP)ouPrincpiodasGavetasdeDirichlet: setemoskn + 1pombosencasinhas, ent aoexistiraumacasinhaondehavera pelo menos k +1 pombos. De fato, se em todas as casas houvesse no maximo kpombos, ent ao o n umerodepombosnaopoderiaultrapassarkn.O PCP parece bastante inocente, mas tem muitas aplica coes interessantes, especialmente em argumentos deexistenciaemquenaosedeterminaoobjetoprocuradoexplicitamente. Comoexemplosfalammaisdoque103palavras,vejamosalguns.Exemplo0.7. DoconjuntoA= {1, 2, . . . , 99, 100}, escolhemosaoacaso51n umeros. Demonstrarqueentreosn umerosescolhidossempreexistemdoisques aoconsecutivos.Solu c ao: Paraprovaristo, primeiroescolhamosgavetasadequadasaoproblema. Distribumososn umerosdeAem50 gavetas assimconstrudas:{1, 2} {3, 4} {5, 6} {99, 100}Comoha50gavetas das quais retiramos 51n umeros, sempreexistiraumagavetadaqual escolhemos doisn umeros e estes, gra cas `a nossa constru cao, serao consecutivos. Podemos generalizar este resultado considerandoosn umeros {1, 2, . . . , 2n}eescolhendodentreelesn + 1n umerosaoacaso.[SEC.0.2: PRINCIPIODACASADOSPOMBOS 7Exemplo0.8. DoconjuntoA= {1, 2, . . . , 99, 100}, escolhemosaoacaso55n umeros. Demonstrarqueentreosn umerosescolhidossempreexistemdoistaisquesuadiferen cae9.Solu c ao: Como no exemplo anterior o problema e descobrir como formar as gavetas. Consideremos as gavetasnumeradas 0, 1, 2, . . . , 8, onde o n umero n e colocado na gaveta i se, e s o se, o resto na divisao de n por 9 e i. Comoescolhemos 55 = 96+1 n umeros, pelo PCP existira uma gaveta j na qual ha 7 ou mais n umeros escolhidos. Masemcadagavetahanomaximo12n umeros(porexemplo,oconjunto {1, 10, 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91, 100}possui exatamente12elementos). Segue, comonoproblemaanterior, queexistir aodois n umeros queseraoconsecutivos emtalconjunto,isto e,doisn umeroscujadiferen ca e9.Exemplo0.9. Demonstrarquequalquerconjuntodeninteirospossui umsubconjunton aovaziocujasomadoselementosedivisvel porn.Solu c ao: Sejama1, a2, . . . , anoselementosdoconjunto, edenamosas somasparciais sj=a1 + + ajpara j= 1, . . . , n. Se algum dos sje divisvel por n o problema ca resolvido. Se nenhum e divisvel por n, ent aoospossveisrestosnadivisaoporns ao1, 2, . . . , n 1ecomohansomasparciaispeloPCPexistemduassjeskcomj< kquedeixamomesmo. Portantosk sj= aj+1 + +akedivisvelporne {aj+1, aj+2, . . . , ak}eosubconjuntoprocurado.Por outro lado, observemos que n e a quantidade mnima de elementos para que se verique tal condi cao, nosentidoemqueexistemconjuntosAcomn 1elementostaisqueasomadoselementosdetodosubconjuntonao vazio de A nao e divisvel por n. Por exemplo, A = {1, n+1, 2n+1, . . . , (n1)n+1} e um destes conjuntos(verique!).Exemplo0.10. Sejaumn umeroreal. Demonstrarque,paratodointeiron 2,existeuminteiro0 < k < ntal queom odulodadiferen caentrekeseuinteiromaispr oximoemenorouigual a1n.Solu c ao: Vamos denotar por {x}apartefracion aria don umeroreal x, istoe, o unicoreal quesatisfaz0 {x} < 1ex = m+{x}paraalgumm Z.Considere {k}parak = 1, 2, . . . , n. Particioneointervalo[0, 1)emnpartesdetamanho1n:[0, 1) =_0,1n__1n,2n__2n,3n_ _n 1n, 1_Se {k} [0,1n) ou {k} [n1n, 1) para algum k = 1, . . . , n1, o problema acabou. Caso contrario, pelo PCPhaveraduaspartesfracionarias {j}e {k}com1 j neobserveafatora caoa2m1 = (a2m1+ 1)(a2m2+ 1)(a2m3+ 1) . . . (a2n+ 1)(a2n1)Logoa2m+ 1 = (a2n+ 1) q + 2comq Zeassimmdc(a2m+ 1, a2n+ 1) = mdc(a2n+ 1, 2)que eiguala2sea2n+ 1forpar,isto e,seafor mpar,e eiguala1casocontrario.Alemdeservirdeferramentacomputacionalparaocalculodomdc,adivisaoeuclidianatemconsequenciasteoricasimportantes. Oproximoteoremamostraqueesemprepossvelescreveromdcdedoisn umeroscomocombina caolineardestes(comcoecientesinteiros).Teorema1.7(Bachet-Bezout). Sejama, b Z. Ent aoexistemx, y Zcomax +by= mdc(a, b).Portantosec Zetal quec | aec | bent aoc | mdc(a, b).Demonstra c ao: Ocasoa=b=0etrivial (temosx=y=0). Nosoutroscasos, considereoconjuntodetodasascombina coesZ-linearesdeaeb:I(a, b)def= {ax +by: x, y Z}Sejad=ax0+ by0omenor elementopositivodeI(a, b) (hapelomenos umelementopositivo, verique!).ArmamosqueddividetodososelementosdeI(a, b). Defato, dadom=ax + by I(a, b), sejamq, r Zoquocienteeorestonadivisaoeuclidianadempord,demodoquem = dq +re0 r < d. Temosr = mdq= a(x qx0) +b(y qy0) I(a, b).Mascomor < ded eomenorelementopositivodeI(a, b),seguequer = 0eportantod | m.Emparticular, comoa, b I(a, b)temosqued | aed | b, logod mdc(a, b). Noteaindaquesec | aec | b,ent aoc | ax0 + by0c | d. Tomandoc = mdc(a, b)temosquemdc(a, b) | doque,juntamentecomadesigualdaded mdc(a, b),mostraqued = mdc(a, b).Corolario1.8. Sejama, b, c Z. Aequac aoax +by= cadmitesoluc aointeiraemxeyse,esomentese,mdc(a, b) | c.Demonstra c ao: Seaequa caoadmitesolu caointeira, ent aomdc(a, b) divideoladoesquerdo, logodevedividirodireitotambem. Reciprocamente,semdc(a, b) | c,digamosc = k mdc(a, b)comk Z,peloteoremaacimaexisteminteirosx0ey0taisqueax0 +by0= mdc(a, b)emultiplicandotudoporkobtemosquex = kx0ey= ky0s aosolu coesdaequa caodada.Temosumaoutraimportanteconsequenciadoteoremaanterior:Proposi cao1.9. Semdc(a, b) = 1ea | bc,ent aoa | c.Demonstra c ao: Comomdc(a, b)=1, existemx, y Ztaisqueax + by=1 =a cx + (bc) y=c. Dofatodeadividircadatermodoladoesquerdo,temosquea | c.[SEC.1.2: MDC,MMCEALGORITMODEEUCLIDES 13Lembramosqueumnatural p>1echamadoprimoseos unicosdivisorespositivosdeps ao1epeumnatural n>1echamadocompostoseadmiteoutrosdivisoresalemde1en. Observemosque1naoenemprimonemcomposto.Claramente, sepeprimoep atemosmdc(p, a)=1. Usandoaproposi caoanterioreindu caotemososeguinteresultado:Corolario1.10. Sejapumn umeroprimoesejama1, . . . am Z. Sep | a1 am, ent aop | aiparaalgumi,1 i m.Oproximolemaresumealgumaspropriedades uteisdomdc:Lema1.11. Temos1. Sepeprimo,ent aomdc(a, p)e1oup.2. Sekeuminteiro,ent aomdc(a, b) = mdc(a kb, b).3. Sea | c,ent aomdc(a, b) | mdc(c, b).4. Semdc(a, b) = 1,ent aomdc(ac, b) = mdc(c, b).Demonstra c ao: Oprimeiroitemeclaroeosegundoeapenasumareformula caodolema1.4. Paraprovaroterceiroitem,observequemdc(a, b) | aea | cimplicamquemdc(a, b) | c. Comotambemtemosmdc(a, b) | b,conclumos que mdc(a, b) | mdc(b, c) por Bachet-Bezout. Finalmente, para mostrar o ultimo item, note primeiroquemdc(c, b) | mdc(ac, b) poismdc(c, b) dividesimultaneamenteaceb. Reciprocamente, paramostrarquemdc(ac, b) | mdc(c, b),podemos escrever ax +by= 1 com x, y Z por Bachet-Bezout. Assim,mdc(ac, b)divideac x +b cy= cetambemdivideb,logodividemdc(c, b).VejamoscomopodemosusaraspropriedadesacimaparasolucionaroseguinteExemplo1.12. Sejaman= 100 +n2edn= mdc(an, an+1). Calculardnparatodon.Solu c ao: Aplicandoapropriedade2temosquedn= mdc(100 +n2, 100 + (n + 1)2) = mdc(100 +n2, 2n + 1).Como2n + 1 e mpar,mdc(4, 2n + 1) = 1epelaspropriedades4e2temosquedn= mdc(400 + 4n2, 2n + 1)= mdc(400 + 4n2(2n + 1)(2n 1), 2n + 1)= mdc(401, 2n + 1).Como 401 e primo, ent ao mdc(401, 2n+1) = 401 se 2n+1 = 401k (com k = 2r+1 inteirompar) e mdc(401, 2n+1) = 1casocontrario,ouseja,dn=_401 sen = 401r + 200comr Z1 casocontrario.Aproximaproposi caoconectaomdceommcdedois inteiros epodeser utilizada, juntamentecomoalgoritmodeEuclides,paraocalculoecientedommc.Proposi cao1.13. Sejamaebdoisn umerosnaturais,ent aomdc(a, b) mmc(a, b) = a b.Demonstra c ao: Escrevad=mdc(a, b)ea=a1deb=b1dondea1, b1 Zs aotaisquemdc(a1, b1)=1.Temosmmc(a, b)=al paraalguml Z; alemdisso, b | mmc(a, b) b1d | a1dl b1 | a1l. Comomdc(a1, b1)=1, istoimplicaqueb1 |l pelaproposi cao1.9. Peladeni caodemnimom ultiplocomum, temosque ldeve ser o mnimo n umero divisvel por b1, assim conclumos que l = b1e portanto mmc(a, b) = b1a. Logomdc(a, b) mmc(a, b) = d b1a = a b.14 [CAP.1: DIVISIBILIDADEECONGRUENCIASAdemonstra caoquedemosdoteoremadeBachet-Bezoutnaomostracomoefetivamenteencontrarumasolu caodeax + by= mdc(a, b). Porem,istopodeserfeitoutilizando-seoalgoritmodeEuclides,comomostraoexemploaseguir. Defato,esteexemplopodeservircomopontodepartidaparaumasegundademonstra caodoteoremadeBachet-Bezout(vejaosexerccios).Exemplo1.14. Encontretodososx, y Ztaisque1001x + 109y= mdc(1001, 109).Solu c ao: Fazemos as divisoes sucessivas para o calculo de mdc(1001,109) = 1utilizandooalgoritmodeEuclides(vejaoexemplo1.5). Emseguida,isolamososrestos:20 =1001109 99 =10920 52 =209 21 =92 4Notequea ultimadivisaopermiteexpressaromdc1comocombina caolinearde9e2:9 1 2 4 = 1.Masdapen ultimadivisao,temosque 2 =20 9 2,logosubstituindo estaexpressao nacombina caolinearacima,temos9(209 2) 4 = 1 9 9 20 4 = 1eagoraexpressamos1comocombina caolinearde20e9. Repetindoesteprocedimento,eventualmenteexpres-saremos1comocombina caolinearde1001e109. Tomamosocuidadode lembrar quaiss aoos coecientesaebnasequa coesax +by= mdc(a, b)duranteassimplica coes. Continuando,obtemos1 = (10920 5) 9 20 4 =109 9 20 491 =109 9 (1001109 9) 49 =1001 (49) +109 450Logoumasolu caodaequa cao1001x + 109y= 1 e(x0, y0) = (49, 450). Paraencontrarasdemais,escrevemosoladodireitodestaequa caoutilizandoasolu caoparticularqueacabamosdeencontrar:1001x + 109y= 1001x0 + 109y01001(x x0) = 109(y y0).Comomdc(1001, 109) =1temos pelaproposi cao1.9que1001dividey y0, ouseja, y y0=1001t paraalgumt Ze, portanto, x x0= 109t. Assim, assolu coesdaequa caodadas aotodosospontosdareta1001x + 109y= 1daforma(x, y) = (x0 109t, y0 + 1001t) = (49, 450) + (109, 1001) tcomt Z.Emgeral, oraciocniodoexemploacimamostraquesemdc(a, b)=1e(x0, y0)eumasolu caodaequa caoax +by= c,ent aotodasassolu coesinteirass aodadasporx = x0 bkey= y0 +akcomk Z.Exemplo1.15. Sejam a, b inteiros positivos com mdc(a, b) = 1. Mostre que para todo c Z com c > abab,aequac aoax +by= cadmitesoluc oesinteirascomx, y 0.Solu c ao: Seja(x0, y0)umasolu caointeira(queexistepeloteoremadeBachet-Bezout). Devemosmostraraexistenciadeuminteiroktalquex = x0 bk > 1 e y= y0 +ak > 1,[SEC.1.3: OTEOREMAFUNDAMENTALDAARITMETICA 15ouseja,y0 + 1a< k 1.1.3 OTeoremaFundamental daAritmeticaEstamosagoraprontosparaenunciaroteoremaquecaracterizatodon umeronatural emtermosdeseusconstituintes primos.Teorema1.16(TeoremaFundamental daAritmetica). Sejan 2umn umeronatural. Podemosescreverndeuma unicaformacomoumproduton = p1 pmondem 1eumnatural ep1 . . . pms aoprimos.Demonstra c ao: Mostramosaexistenciadafatora caodenemprimosporindu cao. Seneprimonaohaoqueprovar(escrevemosm=1, p1=n). Senecompostopodemosescrevern=ab, a, b N, 1 1naoseriadivisvelpornenhumprimopi,oquecontradizoTeoremaFundamentaldaAritmetica.16 [CAP.1: DIVISIBILIDADEECONGRUENCIASObservequen aoprovamosquep1p2. . . pm + 1 eprimoparaalgumconjuntonitodeprimos(porexemplo,osmprimeirosprimos). Alias,2 3 5 7 11 13 + 1 = 30031 = 59 509nao eprimo. N aoseconhecenenhumaformulasimplesquegeresempren umerosprimos(vejaase cao??paraumadiscussaosobreesteassunto).Embora a quantidade de primos seja innita, uma quest ao natural e saber o quao rarosoufrequenteseless ao. Nasegundapartedolivro, discutiremosmaisafundoestaquest aosobreadistribui caodosprimos. Poroutro lado, e interessante notar que existem cadeias arbitrariamente longas de n umeros compostos consecutivos:nasequencia(k + 1)! + 2, (k + 1)! + 3, (k + 1)! + 4, . . . , (k + 1)! + (k + 1),nenhumtermo eprimo,poiselesadmitemfatoresproprios2, 3, 4, . . . , k + 1,respectivamente.Umainteressanteprovaalternativa,devidaaErd os,dequeexisteminnitosprimos easeguinte:Suponha, por contradi cao, que existe um n umero nito de primos, digamos p1, p2, . . . , pk. Seja n um n umeronatural. Ent aopodemosescreverqualquern umerom nnaformam = m21m2,ondem21 nem2= pa11 pa22 pakkondeak= 0ou1paracadak.Assim,considerandotodasaspossveismaneirasdeescreverosnaturaism n,temos: 2kescolhasparam2enomaximo nescolhasparam1. Ouseja,paratodonnatural,valequen 2knabsurdo,poisestadesigualdadenaovaleparansucientementegrande.Exemplo1.18(OIbM1987). Asequenciapnedenidadaseguinteforma:(i) p1= 2.(ii) Paratodon 2,pneomaiordivisorprimodaexpress aop1p2p3 pn1 + 1.Demonstrarquepnediferentede5.Solu c ao: Dadoquep1= 2,p2= 3,p3= 7,segue-sequeparaqualquern 3,p1p2 pn1em ultiplode2ede3,portantop1p2 pn1 + 1nao em ultiplonemde2nemde3. Alemdisso,comop1= 2,ent aopne mparparatodon 2,assimp1p2 pn1nao em ultiplode4.Suponhamosqueexistantalquepn= 5,isto e,omaiordivisorprimodep1p2 pn1 + 1 e5. Como2e3naodividemp1p2 pn1 + 1,temosquep1p2 pn1 + 1 = 5k.Portantop1p2 pn1= 5k1 = (5 1)(5k1+ 5k2+ + 5 + 1),donde4 | p1p2 pn1,umacontradi cao.Exemplo1.19. Determinetodasasternas(a, b, c)deinteirospositivostaisquea2= 2b+c4.Solu c ao: Comoa2= 2b+c4(a c2)(a +c2) = 2b,peloTeoremaFundamentaldaAritmeticaexistemdoisnaturaism>ntaisquem + n=b, a c2=2nea + c2=2m. Subtraindoasduas ultimasequa coes,obtemosque2c2=2m 2n, assimc2=2n1(2mn 1). Como2n1e2mn 1s aoprimosentresi eoseuproduto e um quadrado perfeito (i.e. os expoentes das potencias de primos distintos s ao pares), novamente peloTeoremaFundamentaldaAritmetica2n1e2mn 1devemserambosquadradosperfeitos,logon 1epare2mn1 = (2k 1)2paraalguminteiropositivok. Como2mn= (2k 1)2+ 1 = 4k(k 1) + 2edivisvelpor2masnaopor4,temosm n = 1. Assim,fazendon 1 = 2t,temosquetodasassolu coess aodaforma(a, b, c) = (3 22t, 4t + 3, 2t)comt Ne efacilvericarquetodososn umerosdestaformas aosolu coes.[SEC.1.3: OTEOREMAFUNDAMENTALDAARITMETICA 17SeguedoTeoremaFundamentaldaAritmeticaquetododivisorden = pe11. . . pemmedaformapd11. . . pdmmcom0 di ei. Assim, obtemosooutroalgoritmousual paracalcularomdcdedoisn umeros: fatoramososdoisn umerosemprimosetomamososfatorescomunscomosmenoresexpoentes. Estealgoritmoebemmenos eciente do que o de Euclides para inteiros grandes (que em geral nao sabemos fatorar de forma ecientecomputacionalmente)maseinstrutivosaberqueosdoisalgoritmosdaoomesmoresultado. Alemdisso, estealgoritmotemconsequenciasteoricasimportantes,comoporexemplooCorolario1.20. Semdc(a, n) = mdc(b, n) = 1,ent aomdc(ab, n) = 1.Demonstra c ao: Evidenteapartirdoalgoritmodescritoacima.Para encerrar esta se cao, vejamos ainda algumas outras aplica coes do Teorema Fundamental da Aritmetica.Proposi cao1.21. Sejan=pe11. . . pemmafatorac aodenempotenciasdeprimosdistintospiesejak(n)def=

d|n,d>0dkasomadask-esimaspotenciasdosdivisorespositivosden. Ent aok(n) =p(e1+1)k11pk1 1 . . . p(em+1)km1pkm 1.Parak=0, af ormulaacimadeveserinterpretadatomando-seolimitek 0, demodoqueaquantidadededivisorespositivosdene0(n) = (e1 + 1) (em + 1).Demonstra c ao: Comoasomanadeni caodek(n)percorretodososn umerosdaformadk= pd1k1. . . pdmkmcom0 di ei,temosaseguintefatora cao:k(n) = (1 +pk1+p2k1+ +pe1k1) . . . (1 +pkm +p2km+ +pemkm).Somandoasprogress oesgeometricas1 +pki+p2ki+ +peiki=p(ei+1)ki1pki1,oresultadosegue.Proposi cao1.22(FatoresdoFatorial). Sejapumprimo. Ent aoamaiorpotenciadepquedividen! eponde =_np_+_np2_+_np3_+ Observequeasomaacima enitapoisostermos_npi_s aoeventualmentezero.Demonstra c ao: No produto n! = 1 2 . . . n,apenas os m ultiplos de p contribuem com um fator p. H a_np_taism ultiplosentre1en. Destes,osques aom ultiplosdep2contribuemcomumfatorpextraeha_np2_taisfatores. Dentreestes ultimos,osques aom ultiplosdep3contribuemcommaisumfatorpeassimpordiante,resultandonaformulaacima.Exemplo1.23. Determinecomquantoszerostermina1000!.Solu c ao: Oproblemaeequivalenteadeterminarqual amaiorpotenciade10quedivide1000! ecomohamuitomaisfatores2doque5em1000!,oexpoentedestapotenciacoincidecomodamaiorpotenciade5quedivide1000!,ouseja,_10005_+_100052_+_100053_+_100054_= 249.Assim,1000! terminacom249zeros.18 [CAP.1: DIVISIBILIDADEECONGRUENCIASProblemasPropostos1.1(IMO1959). Mostrequeafrac ao21n+414n+3eirredutvel paratodonnatural.1.2. Encontretodososinteirospositivostaisque(a) n + 1 | n31(b) 2n 1 | n3+ 1(c)1n+1m=1143(d) 2n3+ 5 | n4+n + 11.3. Demonstre:(a) sem | a b,ent aom | akbkparatodonatural k.(b) sef(x)eumpolin omiocomcoecientesinteiroseaebs aointeirosquaisquer,ent aoa b | f(a) f(b).(c) sekeumnatural mpar,ent aoa +b | ak+bk.1.4. Mostreque(a) 2151e210+ 1s aoprimosentresi.(b) 232+ 1e24+ 1s aoprimosentresi.1.5. Demonstrarque(n 1)2| nk1se,es ose,n 1 | k.1.6(IMO1992). Encontrartodososinteirosa, b, ccom1 < a < b < ctaisque(a 1)(b 1)(c 1)edivisordeabc 1.Dica: Mostrarprimeiroquea 4econsiderarospossveiscasos.1.7(IMO1998). Determinetodososparesdeinteirospositivos(a, b)taisqueab2+b + 7dividea2b +a +b.Dica: Mostrequeab2+b + 7 | 7a b2econsiderartrescasos: 7a b2maior,menorouigual azero.1.8. Mostreque,sen > 1,ent aon

k=11k= 1 +12+ +1nn aoeumn umerointeiro.1.9(OBM1997). Sejamc Q,f(x) = x2+c. Denimosf0(x) = x, fn+1(x) = f(fn(x)), n N.Dizemosquex Repre-peri odicose {fn(x), n N}enito. Mostreque {x Q| xepre-peri odico}enito.1.10. Demonstrarquesemdc(a, 2n+1) = 2nemdc(b, 2n+1) = 2n,ent aomdc(a +b, 2n+1) = 2n+1.1.11. Demonstrarquesea,b,c,d,mens aointeirostaisquead bc = 1emn = 0,ent aomdc(am+bn, cm+dn) = mdc(m, n).1.12. SejaFnon-esimotermodasequenciadeFibonacci.(a) Encontrar dois n umeros inteiros a e b tais que 233a+144b = 1 (observe que 233 e 144 s ao termos consecutivosdasequenciadeFibonacci).(b) Mostrequemdc(Fn, Fn+1) = 1paratodon 0.(c) DeterminexneyntaisqueFn xn +Fn+1 yn= 1.[SEC.1.3: OTEOREMAFUNDAMENTALDAARITMETICA 191.13. Sejamaebdoisinteirospositivosedseum aximodivisorcomum. Demonstrarqueexistemdoisinteirospositivosxeytaisqueax by= d.1.14. Denimosasequenciadefra coesdeFareydeordemncomooconjuntodefrac oesreduzidasabtaisque0 ab 1,1 b n. PorexemploasequenciadeFareydeordem3e01,13,12,23,11.(a) Demonstrarqueseabecds aodoistermosconsecutivosdeumasequenciadeFarey,ent aocb ad = 1.(b) Demonstrarquesea1b1,a2b2,a3b3s aotrestermosconsecutivosdeumasequenciadeFarey,ent aoa2b2=a1+a3b1+b3.1.15. Utilizeinduc aoemmin{a, b}eoalgoritmodeEuclidesparamostrarqueax + by=mdc(a, b) admitesoluc aocomx, y Z,obtendoumanovademonstrac aodoteoremadeBachet-Bezout.1.16. Sejamaebn umerosinteirospositivos. ConsidereoconjuntoC= {ax +by | x, y N}Lembre-sedequej amostramosnoexemplo1.15quetodon umeromaiorqueab a bpertenceaC.(a) Demonstrequeon umeroab a bn aopertenceaC.(b) Acharaquantidadeden umerosinteirospositivosquen aopertencemaC.1.17(IMO1984). Dadososinteirospositivosa,bec,doisadoisprimosentresi,demonstrarque2abc ab bc ca eomaiorn umerointeiroquen aopodeexpressar-senaformaxbc +yca +zabcomx,yezinteirosn aonegativos.1.18(IMO1977). Sejama, binteirospositivos. Quandodividimosa2+b2pora +b,oquocienteeqeorestoer. Encontrartodososa, btaisqueq2+r = 1977.1.19. Demonstrarquemdc(2a1, 2b1) = 2mdc(a,b)1paratodoa, b N.1.20. Encontrartodasasfun c oesf: Z Z Zsatisfazendosimultaneamenteasseguintespropriedades(i) f(a, a) = a.(ii) f(a, b) = f(b, a).(iii) Sea > b,ent aof(a, b) =aabf(a b, b).1.21. Mostrequeseneumn umeronatural composto,ent aonedivisvel porumprimopcomp n.1.22(IMO1989). Proveque,paratodointeiropositivon,existem ninteirospositivosconsecutivos,nenhumdosquaisepotenciadeprimo.1.23(Chi1998). Encontrartodososnparaosquais1 +_n1_+_n2_+_n3_divide22000.1.24(IMO2002). Sejamd1< d2< < dkosdivisorespositivosdeuminteiron > 1. Sejad = d1d2 +d2d3 + +dk1dk. Mostrequed < n2eencontrartodososnparaosquaisd | n2.1.25(IMO1997). Encontrartodosospares(x, y)deinteirospositivostaisquexy2= yx.Dica: Sejamx=p11. . . pnney=p11. . . pnnasfatorac oescan onicasdexey. Mostrequej=tjex=ytparaalgumt Qetentelimitarosvaloresdet.1.26. Generalizaroresultadoanteriorparaxyn= yx,ondexeys aointeirospositivos.1.27(IMO1984). Sejama, b, c, dinteirosmparestaisque00, logoexisteatal queordpa=d. Logoad=1e, para0 k0, logoexistemrazesprimitivasmodulop.Corolario1.80. Sejapumprimo. Paracadad | p 1,existemexatamente(d)elementosem(Z/pZ)comordemd. Emparticular,ppossuiexatamente(p 1)razesprimitivas.Comisto,encerramosademonstra caodoteorema1.71. Vejamosalgumasaplica coes.Exemplo1.81. Mostrequeexistennatural tal queosmil ultimosdgitosde2npertencema {1, 2}.Solu c ao: Observamosinicialmentequeparatodok Nexisteumn umeromkdekalgarismos, todos1ou2, divisvelpor2k. Defato, m1=2em2=12satisfazemoenunciado. Sejamk=2krk, rk N. Serkepar,tomemk+1= 210k+mk= 2k+1(5k+rk/2),eserke mpar,tomemk+1= 10k+mk= 2k+1(5k+rk)/2.Como m1000 2(mod10), 5 nao divide r1000=m100021000. Portanto, como 2 e raiz primitiva modulo 51000pelaproposi cao1.75,existek Ncom2k r1000(mod51000). Logo2k= b51000+r1000paraalgumb Neassim2k+1000= b101000+ 21000r1000= b101000+m1000,eas1000 ultimascasasde2k+1000s aoas1000casasdem1000,quepertencemtodasa {1, 2}.Observa cao1.82. Um grupo G e chamado decclico se existe um elemento gtal que G = {gn| n Z}. O fatodepne2pn,pprimo mpar,admitiremrazesprimitivasequivaleadizerqueosgrupos(Z/pnZ)e(Z/2pnZ)s ao cclicos, ou ainda que h a isomorsmos de grupos(Z/pnZ) = Z/(pn)e(Z/2pnZ) = Z/(2pn)ondeaoperac aonosgruposdadireitaeaadic ao.Oleitorn aodeveterdiculdadesparaadaptaraprovaacimaamdemostrarquetodocorpoKcomumn umeronitodeelementos(talcomooconstrudonoexemploap osoteorema1.57)admiteraizprimitiva,istoe,oseugrupodeunidadesK= K \ {0}eumgrupocclico.[SEC.1.9: ORDEMERAIZESPRIMITIVAS 43ProblemasPropostos1.70. Encontrar as ordens de 2 e 5 m odulo101. Encontrar tambemtodos os elementos de ordem20 em(Z/101Z).1.71. Demonstrarque2n | (an+ 1)paratodointeiropositivoa.1.72(IMO1978). Sejammeninteirospositivoscomm0tal quegt=e. Seordgeomenortpositivocomestapropriedade,mostrequeH= {gn| n N}eumsubgrupodeGcomord gelementos.(d) Aplicando o teorema de Lagrange ao subgrupo do item anterior, prove que g|G|= e para todo g G. ObservequeistoforneceumanovaprovadoteoremadeEuler-FermatnocasoemqueG = (Z/(n)).1.77(APMO1997). Encontrarumnnoconjunto {100, 101, . . . 1997}tal quendivide2n+ 2.1.78. Denimosafun caodeCarmichael :N Ncomoomenorinteiropositivotal quea(n)1(modn)para todo a primo com n. Observe que, pelo teorema 1.71, (pl) = pl1(p1) para todo p primo mpar. Mostrarque(a) (2) = 1,(4) = 2e(2l) = 2l2paratodol 3.(b) Sen = p11 . . . pkkeafatorac aoemprimosden,ent ao(n) = mmc{(p11), . . . , (pkk)}.1.79 (IMO2000). Existe um inteiro Ndivisvel por exatamente 2000 primos diferentes e tal que Ndivide 2N+1?1.80(IMO1990). Encontrartodososn umerosnaturaisntaisquen2| 2n+ 1.1.81(IMO1999). Encontrartodosospares(n, p)deinteirospositivostaisquep eprimo,n 2pe(p 1)n+1edivisvel pornp1.1.82(Banco-IMO2000). Determinetodasastriplas(a, m, n)deinteirospositivostaisqueam+ 1 | (a + 1)n.Captulo2EquacoesModulomNestecaptuloestudaremosequa coesdotipof(x) 0 (modm)navariavelx,ondef(x) eumpolin omiocomcoecientesinteiros.2.1 EquacoesLinearesModulomSemdc(a, m) = 1,comoa einvertvelmodulom,aequa caoax b (modm),temsolu cao unicamodulom, dadaporx a(m)1b(modm)(utilizandooteoremadeEuler-Fermatparaencontrar o inverso de a Z/(m)). Assim, todas as solu coes da equa cao acima s ao da forma x = a(m)1b +kmondek Z. Nocasogeral,semdc(a, m) = d > 1temosqueax b (modm) =ax b (modd)b 0 (modd).Logoumacondi caonecessariaparaqueacongruencialinearax b(modm)tenhasolu caoequed |b. Estacondi cao etambemsuciente,jaqueescrevendoa = da,b = dbem = dm,temosqueax b (modm)ax b(modm).Comomdc(a, m)=1, hauma unicasolu cao(a)(m)1bmodulom, istoe, hadsolu coesdistintasmodulom, asaberx (a)(m)1b + km(modm)com0 k, deformaqueB1 =B2implicapB1 =pB2.PeloteoremachinesdosrestosexisteumnaturalrBcomrB 0 (modpX)paratodosubconjuntoX A,X = B rB 1 (modpB).( einvertvelmodulopB). Tomemosc =

XAX=(1 +mkXX)rXevamosmostrarqueA = {cx1, cx2, . . . , cxn, c}continuaasatisfazerascondi coesdoenunciado.DadoB {cx1, cx2, . . . , cxn}, temosqueB= {cx |x B}paraalgumB A. Comoceumapotencia-esima, ctambemeumapotenciakB-esima, portanto,

xB x=cmkBBseraumapotenciakB-esimaparatodoB = . Alemdisso,parasubconjuntosdeAdaformaB {c},temos

xB{c}x = c (1 +mkBB) =_ XAX=,B(1 +mkXX)rX_(1 +mkBB)rB+1,que eumapotenciapB-esima,poisrB + 1erX(X = B)s aom ultiplosdepB.[SEC.2.2: CONGRUENCIASDEGRAU2 47ProblemasPropostos2.1. Resolverasequac oeslineares(a) 7x 12(mod127)(b) 12x 5(mod122)(c) 40x 64(mod256)2.2. Resolverosistemadecongruenciaslinearesx 0 (mod7)x 1 (mod12)x 5 (mod17)2.3. Uminteiropositivonechamadodeauto-replicanteseos ultimosdgitosden2formamon umeron. Porexemplo,25eauto-replicantepois252= 625. Determinetodososn umerosauto-replicantescomexatamente4dgitos.2.4. Sejama, n N>0e considere asequencia(xk) denidapor x1=a, xk+1=axkparatodokN.DemonstrarqueexisteN Ntal quexk+1 xk(modn)paratodok N.2.5. Demonstrarqueosistemadeequac oesx b1(moda1)x b2(moda2)...x bk(modak)temsoluc aose,es ose,paratodoiej,mdc(ai, aj) | (bi bj). (Nocasoparticularemquemdc(ai, aj) = 1, oproblemasereduzaoteoremachinesdosrestos).2.6. Demonstrarque,parakenn umerosnaturais,epossvel encontrarkn umerosconsecutivos,cadaumdosquaistemaomenosndivisoresprimosdiferentes.2.7. Demonstrarquesea,becs aotresinteirosdiferentes,ent aoexisteminnitosvaloresdenparaosquaisa +n,b +nec +ns aoprimosrelativos.2.8. Demonstrarqueparatodointeiropositivometodon umeropar2k, este ultimopodeserescritocomoadiferen cadedoisinteirospositivos,cadaumdosquaiseprimorelativocomm.2.9. Demonstrar queexistem progress oes aritmeticas decomprimento arbitr ario formadasporinteirospositivostaisquecadatermoeapotenciadeuminteiropositivocomexpoentemaiordoque1.2.2 CongruenciasdeGrau2Sejap > 2umn umeroprimoea, b, c Zcomanaodivisvelporp. Resolveraequa caoquadraticaax2+bx +c 0 (modp)eomesmoqueresolver(completandoquadrados)(2ax +b)2 b24ac (modp)(noteque2eas aoinvertveismodulop). Assim,estamosinteressadosemencontrarcriteriosdeexistenciadesolu coesdaequa caoX2 d (modp).48 [CAP.2: EQUA COESMODULOMSeaequa caoacimaadmitesolu cao(i.e. sedeum quadradoperfeito emZ/pZ)ent aodizemosquedeumresduoourestoquadr aticomodulop. H aexatamente(p + 1)/2resduosquadraticosmodulop,asaber02, 12, 22, 32, . . . ,_p 12_2mod pjaquetodointeiroxecongruentea i mod pparaalgumi tal que0 i (p 1)/2, demodoquex2econgruenteaumdosn umerosdalistaacima. Notequemodulopestesn umeross aotodosdistintos: defato,temosquei2 j2(modp) =p | (i j)(i +j)p | i joup | i +ji j (modp)Mascomo0 i, j (p 1)/2 =02umn umeroprimoeauminteiroqualquer. Parasimplicarcalculosenota coesdeniremosochamadosmbolodeLegendre:_ap_=___1 sep aea eumresduoquadr aticomodulop0 sep | a1 casocontrarioProposi cao2.7(CriteriodeEuler). Sejap > 2umprimoeauminteiroqualquer. Ent ao_ap_ a(p1)/2(modp).Demonstra c ao: Paraa 0(modp)oresultadoeclaro, demodoquepodemossuporpa. PeloteoremadeFermattemosqueap1 1(modp),donde(ap121)(ap12+ 1) 0 (modp)p | ap121oup | ap12+ 1ap12 1 (modp).Assim,devemosmostrarqueap12 1(modp)se,es ose,a eumresduoquadraticomodulop.Sea eumresduoquadr atico,digamosa i2(modp),novamentepeloteoremadeFermattemosqueap12 ip1 1 (modp).Assim, os resduos quadr aticos 12, 22, . . . , (p12)2modulo p s ao razes do polin omio f(x) = xp121 em Z/(p)[x].MasZ/(p) ecorpo,logof(x)podeternomaximodeg f= (p 1)/2razesemZ/(p). Istomostraqueasrazesdef(x)s aoexatamenteosresduosquadr aticosnaocongruentesazeromodulopeque, portanto, ap121(modp)se,es ose,a eumresduoquadr aticomodulop.Corolario2.8. OsmbolodeLegendrepossuiasseguintespropriedades:1. sea b(modp)ent ao_ap_=_bp_.[SEC.2.2: CONGRUENCIASDEGRAU2 492._a2p_= 1sep a.3._1p_= (1)p12,ouseja, 1eresduoquadr aticom odulopse,es ose,p 1(mod4).4._abp_=_ap__bp_.Demonstra c ao: Ositens1 e2 s aoimediatosapartirdadeni caoe3 seguedocriteriodeEuler:_1p_ (1)p12(modp) =_1p_=(1)p12jaquep>2eambososladosdacongruencias aoiguaisa 1. Damesmaforma,aplicandoocriteriodeEulertemosque_abp_ (ab)p12 ap12bp12_ap__bp_(modp),oquemostraque_abp_=_ap__bp_,poisnovamenteambososladosdacongruencias aoiguaisa 1.Exemplo2.9. Mostrequeopolin omiof(x)=x4 10x2+ 1eirredutvel emZ[x], maseredutvel m odulopparatodoprimop.Solu c ao: Vejamos quef(x)eirredutvel emZ[x]. Observeinicialmentequeas razes def(x) s aotodasirracionais: sep, q Zs aotaisquemdc(p, q)=1ef(p/q)=0 p4 10p2q2+ q4=0, temosda ultimaigualdade que q | p4=q= 1 e p | q4=p = 1 ja que p e qs ao primos entre si, logo p/q= 1, nenhumadasquais eraizdef(x)(cujoszeross ao 2 3).Logosef(x)forredutvel ele eoproduto dedoispolin omiosdegrau2,quepodemossupor monicos. Comooprodutodoscoecientesindependentesdestesdoisfatoresdeveserigualaocoecienteindependentedef(x),que e1,temosapenasduaspossibilidades:f(x) = (x2+ax + 1)(x2+bx + 1) ouf(x) = (x2+ax 1)(x2+bx 1)coma, b Z. Emambososcasos,temosa + b = 0(coecientedex3). Logo,noprimeirocaso,comparandoocoecientedex2temosab + 2 = 10a2= 12,oque eimpossvel. Osegundocaso eanalogo.Agora,parap = 2ep = 3temosf(x) (x + 1)4(mod2) e f(x) (x2+ 1)2(mod3).Agora se p > 3 e um primo, temos que ou_2p_= 1, ou_3p_= 1 ou_6p_= 1 ja que_2p__3p_=_6p_. No primeiro caso,sea2 2(modp)temosf(x) (x2+ 2ax 1)(x22ax 1) (modp).Janosegundocaso,seb2 3(modp)temosf(x) (x2+ 2bx + 1)(x22bx + 1) (modp).Finalmente,no ultimocaso,sec2 6(modp)temosf(x) (x2+ 2c 5)(x22c 5) (modp).Istomostraquef(x) eredutvelmodulopparatodoprimop.2.2.2 Lei deReciprocidadeQuadraticaO criterio de Euler ja nos fornece uma maneira de identicar resduos quadraticos. Entretanto, vamos provarumresultadomuitomaisforte,que eafamosaTeorema2.10(ReciprocidadeQuadr atica).50 [CAP.2: EQUA COESMODULOM1. Sejampeqprimos mparesdistintos. Ent ao_pq__qp_= (1)p12q122. Sejapumprimo mpar. Ent ao_2p_= (1)p218=_1 sep 1 (mod8)1 sep 3 (mod8)Antesdeapresentaraprova,vejamosalgumasaplica coes.Exemplo2.11. Determinarse 90eresduoquadr aticom odulo1019oun ao.Solu c ao:_901019_=_ 11019__21019__321019__51019_= (1) (1) 1 _10195_=_45_=_225_= 1Ouseja, 90 eresduoquadr aticomodulo1019.Exemplo2.12. Sejapumn umeroprimo. Mostreque1. sepedaforma4n + 1ent aop | nn1.2. sepedaforma4n 1ent aop | nn+ (1)n+1 2n.Solu c ao: Noprimeiroitem,4n 1(modp),dondeelevandoanobtemos(4n)n= 22nnn (1)n(modp).Poroutrolado,pelocriteriodeEulerepelareciprocidadequadr aticatemos22n= 2p12 (1)p218 (1)n(2n+1) (1)n(modp)Portantonn 1(modp),comoqueramosdemonstrar.Nosegundoitem,temos4n 1(modp)eassim(4n)n= 22nnn 1 (modp)mas 22n1=2p12(1)p218=(1)n(2n1)(modp), donde 22n2 (1)n(modp). Conclumos que2nn (1)n(modp)emultiplicandopor2neutilizando4n 1(modp)obtemosnn 2n (1)n(modp),comodesejado.Oprimeiropassodademonstra caodaleidereciprocidadequadr atica eoseguinteLema2.13(Gau). Sejamp>2umn umeroprimoeauminteiropositivoprimorelativocomp. Sejason umerodeelementosdoconjunto_a, 2a, 3a, . . . ,p12 a_taisqueseurestom odulopemaiordoquep12. Ent ao_ap_= (1)s.[SEC.2.2: CONGRUENCIASDEGRAU2 51Demonstra c ao: A ideia e imitar a prova do teorema de Euler-Fermat. Como o conjunto {1, 2, . . . , p12} eum sistema completo de invertveis modulo p, para cada j= 1, 2, . . . ,p12podemos escrever aj jmj(modp)comj {1, 1}emj {1, 2, . . . ,p12}. Temosquesei =j ent aomi =mjdonde {m1, m2, . . . , mp12}={1, 2, . . . ,p12}. Defato,semi= mjtemosa i a j (modp)oua i a j (modp); comoaeinvertvelmodulope0p/21 (mod2)

1ip12_iqp_ s (mod2)oqueencerraaprova. Paraumaoutraprovadaleidereciprocidadequadr atica,vejaase cao??.ProblemasPropostos2.10. Calcular_44103_,_601019_e_20101019_.2.11. Sejampumprimo mparecuminteiroquen aoem ultiplodep. Provequep1

a=0_a(a +c)p_= 1.2.12. Existeminteirosmentaisque5m26mn + 7n2= 1985 ?2.13. Demonstrarqueacongruencia6x2+ 5x + 1 0(modm)temsoluc aoparatodovalornatural dem.2.14. Demonstrarqueexisteminnitosprimosdaforma3k + 1e3k 1.2.15. Demonstrarquesemdc(a, b) = 1on umeroa2+b2n aopodeterfatoresprimosdaforma4k 1esealemdissomdc(a, 3) = 1ent aoon umeroa2+3b2n aopodeterfatoresdaforma3k 1. Quepodemosdizersobreosfatoresprimosdea2+pb2ondepeumprimo?2.16. Demonstrarque,parap = 1093,2p12 1 (modp2)2.17. a)(Euler)SejaFn= 22n+1on-esimon umerodeFermat. ProvequetodofatorprimodeFnedaformak2n+1+ 1.b)(Lucas)Proveque,sen 2,ent aotodofatorprimodeFnedaformak2n+2+ 1.c)Mostreque225+ 1ecomposto.2.18 (IMO1996). Sejam a, b inteiros positivos tais que 15a+16b e 16a15b sejam quadrados perfeitos. Encontraromenorvalorquepodetomaromenordestesquadrados.2.19. Sejapumn umeroprimo mpar. Mostrarqueomenorn aorestoquadr aticopositivodepemenorquep + 1.2.20. SejamMumn umerointeiroepumn umeroprimomaiordoque25. MostrarqueasequenciaM, M+1, , M+ 3p 1contemumreston aoquadr aticom odulop.2.21(Putnam1991). Sejapumprimo mpar. Quantoselementostemoconjunto{x2| x Z/pZ} {y2+ 1 | y Z/pZ}?2.22(IMO2008). Provequeexisteumn umeroinnitodeinteirospositivosntaisquen2+ 1temumdivisorprimomaiordoque2n +2n.[SEC.2.3: CONGRUENCIASDEGRAUSUPERIOR 532.3 CongruenciasdeGrauSuperiorDadoumpolin omiof(x) Z[x]eumn umeronaturaln,vamosestudarcondi coesparaqueacongruenciaf(x) 0 (modn)tenha solu cao. O primeiro resultado diz que basta considerar o caso em que n = pke a potencia de um primo p.Proposi cao2.14. Suponhamosquen = pk11 pkllondeospjs aoprimosdistintos. Temosumaequivalenciaf(x) 0 (modn)___f(x) 0 (modpk11)...f(x) 0 (modpkll)demodoquef(x) 0(modn)admitesoluc aose,esomentese,f(x) 0(modpkjj)temsoluc aoparacadaj.Demonstra c ao: Comoaspotencias pkjjs aocoprimas duasaduas,temosque ndivide um inteiro Mse,es ose, pkjj| Mpara cada j, o que demonstra a equivalencia. Assim, a existencia de solu cao para f(x) 0(modn)implicaaexistenciadesolu caoparaosistemaacima. Reciprocamente, secadaf(x) 0(modpkjj)temumasolu caox aj(modpkjj), peloteoremachinesdosrestosexisteatal quea aj(modpkjj)paratodoj, demodoquef(a) f(aj) 0(modpkjj)paratodojelogof(a) 0(modn)pelaequivalenciaacima. Noteemparticularqueon umerodesolu coesdistintasmodulondef(x) 0(modn) eigualaoprodutodon umerodesolu coesmodulopkjjdef(x) 0(modpkjj).Aproximaproposi caoindicacomo, apartirdeumasolu caodef(x) 0(modpk0), obtersolu coesparaf(x) 0(modpk)paratodok k0.Proposi cao2.15(LemadeHensel). Sejaf(x) Z[x]umpolin omio,pumn umeroprimo. Sejaa Ztal quef(a) 0(modpk0)ecujamaiorpotenciapl0depcompl0| f(a)satisfaz0 2l0 1.Apos algumas redu coes deste tipo,obtemos uma equa cao equivalente como nas hipoteses do teorema de Legen-dre, quepodeent aoserusadoparadecidiraexistenciadeumpontoracional nacurva. Notequeahip otesesobrea, b, cnaoteremomesmosinalnoteoremadeLegendreequivale`aexistenciadepontosreaisnaotriviaisnacurva.Se ha algum ponto racional (x0, y0) numa tal curva, ent ao ha innitos. Isto pode ser visto a partir do exemploaseguir,queilustraometodogeometricoquepermiteencontrartodosospontosracionaisexplicitamente.Exemplo3.5. Encontretodosospontosracionaisdaelipsex25/2+y25/3= 1.Solu c ao:Efacil encontrarumdestespontosracionais, digamos(x, y)=(1, 1). Paraencontrarosdemais,come camostra candoumaretardecoecientes racionaisparalela`aretatangente`aelipsenopontoP0= (1, 1).Derivandoaequa caodaelipseemrela cao`ax,obtemos2x5/2+2yy5/3=0eassimy= 2/3para(x, y)=(1, 1).Portantopodemostomar(porexemplo)aretardeequa caoy= 23x 2. Agora, paraumpontoP =P0daelipse,sejasaretaqueligaPaP0= (1, 1);comoestaretanao eparalelaar,temosqueresdeterminam umpontoQ,comonaguraaseguir.rsP0QPVamosmostrarqueaassocia caoP Qdeneumabije caoentreospontosracionaisdaelipse, excetuandoopontoP0,eospontosracionaisdaretar.Emprimeirolugar, sePeumpontoracional daelipseent aoaequa caodaretas, queligadois pontosracionaisPeP0, possui coecientesracionais. LogoQseraumpontoracional, sendoaintersec caodeduasretasrescujasequa coestemcoecientesracionais.Reciprocamente, suponha que Q = (a, b) e um ponto racional de r. Ent ao a equa cao da reta s,determinadapelos pontos racionais P0 e Q, ter a coecientes racionais: y1 =b1a1(x1). Como a equa cao da elipse tambem62 [CAP.3: EQUA COESDIOFANTINAStemcoecientesracionais,aintersec caoP = P0descomaelipseseraumpontoracional,jaqueisolandoynaequa caodesesubstituindonaequa caodaelipseobtemosumaequa caoquadraticacomcoecientesracionais25x2+35_1 +b 1a 1 (x 1)_21 = 0.Sabemosqueaabscissax=1deP0eumadasrazes, logoaoutraraiz(queeaabscissadeP)eracionaltambem pelas rela coes de Girard. Como Ppertence `a reta s cuja equa cao tem coecientes racionais, a ordenadadePtambemseraracional,ouseja,Pseraumpontoracional.Aposalgumascontas,obtemosaseguinteformulaparaPemfun caodeQ = (a, b):P=_10a2+ 90a + 2110a2+ 24a + 87, 10a220a 11110a2+ 24a + 87_Assim, os pontos racionais Pda elipse s ao obtidos fazendo a percorrer todos os racionais a Q juntamente coma = ,i.e.,olimiteparaa naexpressaoacima,queforneceopontoinicialP0= (1, 1),quecorrespondeao pontonoinnito der,intersec caodercomaretastangente`aelipsenopontoP0(noplanoprojetivo,eclaro!). Vejamaisdetalhesnase cao??.3.2.1 SomadeDoisQuadradosNestase cao,caracterizamososn umerosques aosomasdedoisquadrados.Teorema 3.6. Os unicos n umeros quepodemseexpressar comosomade dois quadrados s aoos daforman=2sd2l ondeseumnatural el eumn umerolivredequadradostaisqueseusfatoresprimoss aodaforma4k + 1.Come camosobservandoquesepeumprimodaforma4k + 3quedividen=a2+ b2, ent aop |aep |b.Defato,seistonaoocorresse,bseriainvertvelmodulop,logodea2 b2(modp)teramosque 1 eresduoquadraticomodulop, oqueeabsurdopois_1p_=(1)(p1)/2= 1jaquep 3(mod4). Logop2| nerepetindooprocessocomnp2= (ap)2+ (bp)2nolugarden,conclumosquetodoprimodaforma4k + 3aparececomexpoenteparnafatora caocan onicaden. Assim,apenasosn umerosdaformadescritanoteoremapodemsersomadedoisquadrados.Agoratodonatural npodeseexpressarcomon=k2mondekems aointeirospositivosemelivredequadrados,dondesempodeseescrevercomosomadedoisquadradosm = a2+b2ent aoomesmoocorreparan = (ak)2+ (bk)2. Alemdisso,setemosdoisn umerosques aosomadedoisquadrados,digamosm = a2+b2en = c2+d2,ent aoaseguinteidentidadeden umeroscomplexosmn = (a2+b2)(c2+d2) = |a +bi|2 |c +di|2= |(a +bi)(c +di)|2= |(ac bd) + (ad +bc)i|2= (ac bd)2+ (ad +bc)2mostraqueseuprodutotambemserasomadedois quadrados. Assim, paramostrar quetodondaformadescrita no teorema esoma de dois quadrados,basta mostrar que 2 e todo primo da forma 4k +1 s ao somas dedoisquadrados. Sep=2temosque2=12+ 12esomadedoisquadrados. Paraooutrocaso, precisamosdoseguinteLema3.7(LemadeThue). Sem>1eumn umeronatural eaeuminteiroprimorelativocomment aoexistemn umerosnaturaisxeyn aonulosmenoresdoqueouiguaisa metaisquealgumdosn umerosaxyedivisvel porm.Demonstra c ao: Seja q= m, ent ao q +1 > m e portanto (q +1)2> m. Consideremos todos os (q +1)2n umerosdaformaax yondexeytomamosvalores0, 1, . . . , q. Comos oexistemmrestosaosedividirumn umeroporm,peloPrincpiodaCasadosPombosdoisdosn umerosanteriores,digamosax1 y1eax2 y2,s aocongruentesmodulom. Portantoadiferen caa(x1 x2) (y1 y2) edivisvelporm. Temos0 xi, yi m= |x1 x2|, |y1 y2| m.[SEC.3.2: SOMADEQUADRADOS 63Sex1 x2=0ent aoy1 y2seradivisvel porm, oqueimplicay1=y2, masospares(x1, y1)e(x2, y2)s aodiferentes,umacontradi cao. Deigualforma, sey1 y2=0ent aoa(x1 x2)seradivisvelporm, masaems aoprimosrelativos, logom |x1 x2eassimx1=x2, outracontradi cao. Logox= |x1 x2| ey= |y1 y2|satisfazemascondi coesdoenunciado.Retomando o nosso problema inicial, se p e um n umero primo da forma 4k+1, ent ao_1p_= (1)(p1)/2= 1,logoexisteatalquep |a2+ 1. Aplicandoolemaanterior,existeminteiros00taisquemp=a2+ b2+ c2+ d2. Assim, paraterminarademonstra cao, bastaprovarquesem>1ent aoexisteum0 0eracionaisx, y, z, tcomt = 0taisquex2+y2= ment2z2= m,poisn = (xt)2+ (yt)2+ (zt)2serasomade3quadradosderacionaise,pelolema,somade3quadradosdeinteiros.Podemos supor que n e livre de quadrados: sempre podemos escrever n = a2 n, onde n e livre de quadrados,ese n=x2+ y2+ z2ent aon=(ax)2+ (ay)2+ (az)2. Alemdisso, comonnaoem ultiplode4, ae mpar, elogoa2 1(mod8),donden = a2 n n(mod8).Temosagoraalgunscasos:1. Sen 1(mod4)ousejan mod 8 {1, 5}, tomamosmprimom 1(mod4)em 1(modn). Talprimoexistepois, peloteoremachinesdosrestos, existeumacoma 1(mod4)ea 1(modn)epeloteoremadeDirichlet(verapendiceA)existeminnitosprimoscongruentescoma mod 4n. Comom 1(mod4)em eprimo,existemx,ytaisquex2+y2= m.Poroutrolado,existemtezracionaiscomnt2z2= mse,esomentese,existemu,vewinteirosnaonulos tais que nu2v2mw2= 0. Pelo teorema de Legendre, isso equivale a n ser quadrado modulo m em ser quadrado modulo n, mas m 1 = 12(modn). Alem disso, se n = p1p2 pkcom os piprimos,usandoofatoquem 1(mod4)epelaleidereciprocidadequadr aticaobtemos_nm_=

1ik_pim_=

1ik_mpi_.Mas m 1(modn), em particular m 1(modpi), assim_mpi_=_1pi_= (1)pi12. Mas o n umero defatorespidencongruentescom3(mod4) eparpoisn 1(mod4),portanto_nm_= 1.[SEC.3.2: SOMADEQUADRADOS 672. Senepar, ousejan mod 8 {2, 6}, temosquen=2p1 pk, ondeospis aoprimos mparesdistintos.Tomemoscomoantesmprimo,m 1(mod4)em 1(modn/2); aindatemosodireitodeescolheraclassedecongruenciademmodulo8, quepodeser1ou5. Lembramosquesem 1(mod8)ent ao_2m_=1esem 5(mod8)ent ao_2m_= 1. Temoscomoantes m 1(modn), donde meumquadradomodulon. Bastamostrarquempodeserescolhidodemodoquensejaquadradomodulom.Temos_nm_=_2m_ 1ik_pim_=_2m_ 1ik_mpi_=_2m_ 1ik_1pi_.Bastaent aoescolheraclassedecongruenciademmodulo8demodoque_2m_=

1ik_1pi_paraquetenhamos_nm_= 1,comoqueramos.3. Sen 3(mod8), tomamosm=2qcomqprimo, q 1(mod4)e2q 1(modn). Temoscomoantes m 1(modn),donde meumquadradomodulon. Vamosmostrarquenequadradomodulom, comonequadradomodulo2, bastamostrarqueequadradomoduloq. Sendon=p1 pk, compiprimos,temos_nq_=

1ik_piq_=

1ik_qpi_=

1ik_2pi__2qpi_=

1ik_2pi__1pi_e_2pi__1pi_=_1 sepimod 8 {1, 3}1 sepimod 8 {5, 7}Como1 1 3 3 5 5 7 7 1(mod8), 1 3 5 7 3(mod8), 1 5 3 7 5(mod8)e1 7 3 5 7(mod8),ndeve terumaquantidade pardefatores pertencentes a {5, 7} mod 8,poiscasocontrarion mod 8 {5, 7}. Assimtemos_nq_= 1.Comisto,encerramosaprovadoteoremadostresquadrados.3.2.4 TeoremadeMinkowskiNestase caoveremoscomoalgumastecnicasgeometricaspodemserutilizadasnoestudodesomasdequa-drados. Come camoscomumaDeni cao3.17. UmreticuladoemRneumconjuntodaforma = Z1 + +Zn= {a11 + +ann | ai Z}paraalgumabase1, . . . , ndeRn. Denimosovolumedestereticuladocomovol()= | det(1, . . . , n)|, ouseja,comoovolumedoconjuntoP= {r11 + +rnn | ri R, 0 ri< 1}chamadodeparalelogramofundamentalassociado` abase1, . . . , n.Por exemplo, aguraaseguir mostraumreticuladoemR2. Notequevol() independedaescolhadabasequegera, poisquaisquerduasdestasbasesest aorelacionadasporumamatrizdemudan cadebasededeterminante 1.68 [CAP.3: EQUA COESDIOFANTINAS12Dadoumreticulado Rn,escrevemosa b (mod)a b (a, b Rn)Estarela caodeneumarela caodeequivalenciaemRneumconjuntoderepresentantesdoquocienteRn/edadojustamentepeloparalelogramofundamental.Oprincipalresultadodestase cao eoseguinteTeorema3.18(Minkowski). Seja RnumreticuladoeV Rneumsubconjuntomensur avel tal que1. V esimetricocomrela c ao` aorigem(i.e. v V =v V );2. V econvexo;3. vol(V ) > 2nvol().Ent aoexisteumpontoemV diferentedaorigem.Demonstra c ao: SejaP oparalelogramofundamental determinadopor umabase1, . . . , ndeeseja12V=_v2 | v V_. Considerandooquociente12V/,podemosparticionar12V emumaquantidadeenumeraveldesubconjuntos mensuraveisUitais queexistami comi+ Ui P. Comovol(12V ) =12nvol(V ) >vol() = vol(P),pelo princpio da casados pomboscontnuo existem i = jtaisque (i +12Vi) (j +12Vj) = ,istoe, existemdoispontosdistintos v, w V taisquev2 w2(mod) vw2comvw2=0. Masvw2 Vtambem, pois w V =w Ve v, w V =vw2 Vpelas hip oteses 1 e 2, respectivamente.Assim,0 =vw2 V .Agora podemos apresentar duas novas provas curtas dos teoremas que caracterizam primos que s ao soma dedoisequatroquadrados.Teorema3.19. Todoprimopdaforma4k + 1esomadedoisquadrados.Demonstra c ao: Como antes, temos que existe um inteiro x tal que x2 1(modp) pois_1p_= (1)(p1)/2=1. ConsidereoreticuladoemR2def= {(a, b) Z2| a bx (modp)}Temos que o volume de e p (xado b, a e determinado modulo p, logo contem um em cada p pontos de Z2).Portanto,peloteoremadeMinkowski,existeumponto(a, b) = (0, 0)emquepertenceaocrculocomcentrona origem e cujo raio e_3p/2 pois a area deste crculo e 3p/2 > 22p = 22vol(). Assim, 0 < a2+b2< 3p/2 ea2+b2 b2(x2+ 1) (modp)a2+b2 0 (modp)Ouseja,a2+b2= p.[SEC.3.2: SOMADEQUADRADOS 69Teorema3.20. Todoprimopesomadequatroquadrados.Demonstra c ao: Pelo lema 3.11, temos que existem inteiros u, vtais que u2+v2+1 0(modp). ConsidereoreticuladoemR4dadopordef= {(a, b, c, d) Z4| a cu +dv (modp)eb cv du (modp)}.Temos que tem volume p2(xados c e d, a e b cam determinados modulo p, logo contem um a cada p2pontosemZ4). AesferaderaioremR4temvolume2r4/2. Tomandor =_19p/10,como2(19p10)2/2 > 24vol() =16p2peloteoremadeMinkowskiexisteumponto(a, b, c, d) talque01ef 0. Logo existe uma solu cao(a, b, c)naqual cemnimo. Emparticular, temosqueaebs aoprimosentresi, poissed=mdc(a, b)>1poderamossubstituir(a, b, c)por(ad,bd,cd2)eobterumasolu caocomcmenor. De(a2)2+ (b2)2=c2temosportanto que (a2, b2, c) e uma tripla pitag orica primitiva e assim existem inteiros positivos m e n primos relativostaisquea2= m2n2, b2= 2mn e c = m2+n2.Temosdaprimeiraequa caoque(a, n, m)eumatriplapitag oricaprimitivaeportantome mpar. Assim, deb2= 2mnconclumosqueb,eportanton,epar. Observandoaindaqueb2= (2n)meumquadradoperfeitoemdc(2n, m)=1,conclumosquetanto2ncomoms aoquadradosperfeitos,dondepodemosencontrarinteirospositivossettaisque2n = 4s2e m = t2.Poroutraparte,dadoquea2+n2= m2,ent aoexistiraointeirospositivosiej,primosentresi,taisquea = i2j2, n = 2ij e m = i2+j2.Portantos2=n2= ij,logoiejseraoquadradosperfeitos,digamosi = u2ej= v2.Logotemosquem = i2+j2,i = u2,j= v2em = t2,assimt2= u4+v4,isto e,(u, v, t) eoutrasolu caodaequa caooriginal. Poremt t2= m m2< m2+n2= cet = 0porquem ediferentede0. Istocontradizaminimalidadedec,oqueconcluiademonstra cao.Observemos alem disso que, uma vez que esta equa cao nao possui solu coes inteiras positivas, ent ao a equa caox4+y4= z4e,maisgeralmentex4n+y4n= z4n,naopossuemsolu coesinteiraspositivas.Exemplo3.22(IMO1981). Encontrartodasassoluc oesinteiraspositivasdaequac aom2mn n2= 1.Solu c ao: Notequem2=n2+ mn 1 n2=m n, comigualdadese, es ose, (m, n)=(1, 1), queeclaramenteumasolu cao. Agoraseja(m, n)umasolu caocomm > n. Demonstremosque(n, mn)tambem esolu cao. Paraistoobservemosquen2n(mn) (mn)2= n2nm+n2m2+ 2mn n2= n2+nmm2= (m2nmn2) = 1,[SEC.3.3: DESCENSOINFINITODEFERMAT 71Assim, setemosumasolu cao(m, n), podemosencontrarumacadeiadescendentedesolu coes, eesteprocessopararaquandoatingirmos umasolu cao(a, b) coma=b, ouseja, asolu cao(1, 1). Invertendooprocesso,encontraremos portanto todas as solu coes, isto e, se (m, n) e solu cao ent ao (m+n, m) e solu cao. Portanto todasassolu coespositivass ao(1, 1), (2, 1), (3, 2), . . . , (Fn+1, Fn), . . .ondeFnrepresentaon-esimotermodasequenciadeFibonacci.Exemplo3.23(IMO2003). Determinetodososparesdeinteirospositivos(a, b)paraosquaisa22ab2b3+ 1euminteiropositivo.Solu c ao: Seja(a, b)umasolu caointeirapositiva. Logo2ab2b3+ 1 1,eportantoa b2. Nocasoa =b2,eclaroqueobtemos umasolu cao. Paraqualquer outrasolu cao, a>b2enessecasoa22ab2 b3+ 1=b2(2a b) + 1 > b2=a > b.Agorasea22ab2b3+1= k N,ent aoa eraizdopolin omiocomcoecientesinteirosx22kb2x +k(b31) = 0.Masestepolin omiopossui outrasolu caointeiraa1=2kb2 a=k(b31)a0, assim(a1, b)tambemesolu caodoproblemaseb > 1. Supondoquea eamaiorraiz,dea a1teremosquea kb2eassima1=k(b31)ak(b31)kb2< b.Destaforma, oub=1oua1=b2eneste ultimocasok=b24ea=b42 b2. Portantoassolu coesdoproblemas ao(a, b) = (l, 2l),(2l, 1)ou(8l4l, 2l),coml N.3.3.1 Equa caodeMarkovAequa caodeMarkov eaequa caodiofantinaeminteirospositivosx2+y2+z2= 3xyz.Eobvioque(1, 1, 1) e(1, 1, 2) s aosolu coes daequa cao. Alemdisso, comoaequa caoesimetrica, podemosconsiderar,semperdadegeneralidade,somenteassolu coescomascoordenadasx y zordenadasdeformanaodecrescente.Assimsuponhamos que (x, y, z) e umasolu caocomxyz comz >1. Opolin omioquadraticoT23xyT +(x2+y2) = 0 possui duas solu coes, e uma dela e z, assim a outra e z= 3xy z=x2+y2z Z\ {0}.Vejamosquesey>1ent aoz 1,ouy= zesubstituindo naequa cao originaltemosque1 +y2+y2= 3y2,oqueimplicaquez= y= 1,oquecontradizofatodez> 1.Dofatoanterior,temosquedadaumasolu caodaequa caodeMarkov(x, y, z)comz 2esemprepossvelencontrar uma solu cao menor (z, x, y) e este processo somente para quando chegamos `a solu cao (1, 1, 1),isto e,estamosgerandoumaarvoredesolu coesdaseguinteforma:72 [CAP.3: EQUA COESDIOFANTINAS(1,1,1)||(1,1,2)||(1,2,5)||(1,5,13) (2,5,29)| || |(1,13,34) (5,13,194) (2,29,169) (5,29,433)Umimportante problemaemabertorelacionadocomaequa caode Markove oproblemadaunicidade,proposto por Frobenius ha cerca de 100 anos em[8] (veja tambem[1]): para quaisquer inteiros positivosx1, x2, y1, y2, z comx1 y1 z ex2 y2 z tais que(x1, y1, z) e(x2, y2, z) s aosolu coes daequa caodeMarkovtemosnecessariamente(x1, y1) = (x2, y2)?Seoproblemadaunicidadeadmitirumasolu caoarmativa, paracadatreal, suapre-imagemk1(t)pelafun caokdenidanase cao3.4consistir adeuma unicaclassedeGL2(Z)-equivalencia(vejaoexerccio3.10).3.3.2UltimoTeoremadeFermatUmdosmaisfamososproblemasnahistoriadaMatem aticaetalvezumdosquemaisinspirouodesenvol-vimentodenovasteorias eochamado ultimoteoremadeFermat.PierredeFermat, quetinhaocostumedefazeranota coesnasmargensdesuacopiadolivrodeDiofanto,enunciouoteoremaquearmaserimpossvelencontrarinteirospositivosx, y, ztaisquexn+yn= zn()quandoneuminteiromaiordoque2: encontrei umademonstra caoverdadeiramentemaravilhosaparaisto,masamargem edemasiadopequenaparaconte-la.Paramostrarainexistenciadesolu coesde(), bastaconsiderarosexpoentesprimos. Muitoscasosparti-cularesforammostradosaolongodahistoria, osquaissedividememdoistipos: oprimeiro, quandopxyz,eosegundo, maisdifcil, quandop | xyz. Defato, SophieGermainprovouoprimeirocasoparatodoprimoptal que2p + 1tambemeprimo(vejaaproposi cao??). Legendreprovouoteoremaparapprimoquando4p + 1, 8p + 1, 10p + 1, 14p + 1ou16p + 1eprimo; comisto, provouo ultimoteoremadeFermatparatodop 3. Ent ao a2 3b2(modp) e como b e invertvel moduloptemos_3p_= 1_p3_= 1p 1 (mod6)pelaleidereciprocidadequadr atica. Peloexemplo3.8(outeorema??)sabemosqueexisteminteirosm1en1taisquep=m21+ 3n21, eteremosquep3=c2+ 3d2ondec=m31 9m1n21ed=3m21n1 3n31. Notequemdc(p, m1)=mdc(p, n1)=1ep>3eportantomdc(p, c)=mdc(p, d)=1, comonademonstra caoacimadequemdc(a, b) = 1.Procederemos por indu cao sobre o n umero de divisores primos de s. Se s = 1 o resultado e evidente. O casoemquestemumdivisorprimoeexatamenteoresultadoanterior. Agora, suponhamosqueoresultadovalhapara todo s que tenha kfatores primos (nao necessariamente distintos). Se s tem k +1 fatores primos, digamoss = ptcompprimo(p > 3),observemosquet3p6= s3p3= (a2+ 3b2)(c2+ 3d2) = (ac 3bd)2+ 3(ad bc)2.Alemdissocomo(ad +bc)(ad bc) = (ad)2(bc)2= d2(a2+ 3b2) b2(c2+ 3d2)= p3(t3d2b2),ent aop3|(ad + bc)(ad bc). Sepdivideosdoisfatores, teremosquep |adep |bc. Lembrequemdc(p, c)=mdc(p, d) =1, oqueimplicaquep | aep | b, oquecontradizahip otesemdc(a, b) =1. Assim, p3divideexatamenteumdosfatores,etomandoadequadamenteossinaisteremosqueu =ac 3bdp3, v=ad bcp3s aointeirostaisquet3= u2+ 3v2. Comottemkfatoresprimossegueporhip otesedeindu caoquet = m22 + 3n22, u = m32 9m2n22, v= 3m22n2 3n32.Agora,dadoquea = uc + 3vdeb = (ud vc),substituindot,u,v,cedemtermosdemieni(i = 1, 2)ems,aebefazendom = m1m2 + 3n1n2,n = m1n2 m2n1,obteremosoquequeramosdemonstrar.OmetodoutilizadoporEulerparademonstrarocason=3ebasicamenteometododedescensoinnito.Seja x, y, zuma solu cao de x3+y3= z3, com xyzmnimo. Como qualquer fator comum de dois destes n umerosetambemfatordoterceiro,podemosarmarquex, y, zs aoprimosrelativosdoisadois. Emparticularumdetaisn umerosserapar.Note que x = y e impossvel pois caso contrario 2x3= z3e o expoente da maior potencia de 2 do lado direitoseriam ultiplode3, enquantoquedoladoesquerdonao. Assim, semperdadegeneralidade,podemosassumirquex > y.Suponhaprimeiroquexeys ao mparesezpar,podemosescreverx = p +qey= p qcomp > 0eq> 0primosrelativos(poisxeys aoprimosrelativos)edediferenteparidade,assimx3+y3= (x +y)(x2xy +y2)= 2p((p +q)2(p +q)(p q) + (p q)2)= 2p(p2+ 3q2).74 [CAP.3: EQUA COESDIOFANTINASPortanto2p(p2+ 3q2)eumcuboperfeito. Deigualforma,nocasoemqueze mparexouyepar,podemossuporsemperdadegeneralidadequeye mpar,esubstituindoz= q +pey= q pobteremosx3= z3y3= 2p((p +q)2+ (p +q)(q p) + (q p)2)= 2p(p2+ 3q2).Como p2+3q2e mpar e 2p(p2+3q2) e um cubo perfeito temos que p sera par. Calculando o maximo comumdivisorentrepep2+ 3q3,obtemosmdc(p, p2+ 3q2) = mdc(p, 3q2) = mdc(p, 3).Portantohadoiscasos: mdc(p, 3) = 1emdc(p, 3) = 3.Noprimeiro,existemnaturaisaebtaisquea3=2peb3=p2+ 3q2. Nestecasosabemos,pelolema3.24,queexisteminteirosmendediferenteparidadeeprimosrelativostaisqueb = m2+ 3n2, p = m39mn2, q= 3m2n 3n3.Logoa3= 2m(m3n)(m+ 3n). Observemosqueosn umeros2m,m3nem+ 3ns aoprimosrelativos,logoexistem inteiros e, fe gtais que 2m = e3, m3n = f3e m+3n = g3. Em particular, teremos que f3+g3= e3.Comoefg= a3= 2p x +y< xyz,teremosumasolu caomenor,oquecontradizaescolhadex, y, z.Nocasoemque3 | p, ent aop=3rcommdc(r, q)=1, logoz3=18r(3r2+ q2)oux3=18r(3r2+ q2)eportantoexisteminteirospositivosaebtaisque18r= a3e3r2+ q2= b3. Denovo,existiriaminteirosmentaisqueb = m2+ 3n2, q= m39mn2, r = 3m2n 3n3.Daquiseguequea3= 27(2n)(m n)(m + n). Deigualformateremosqueosn umeros2n,mnem + ns aoprimosrelativos,portantoexisteminteirospositivose,fegtaisque2n = e3, mn = f3, m+n = g3.Seguequee3+f3= g3,quetambemcontradizaminimalidadedasolu cao(x, y, z).Exemplo3.25. Demonstrarqueaequac aox2+ 432 = y3n aotemsoluc oesracionaisdiferentesde(36, 12).Solu c ao: Suponhamosqueaequa caopossuiumasolu cao(a, b)comb = 12. Comoaebs aoracionais,ent aoa36=kn = 1eb12=mn = 1comk, m, n Z. Sejau = n +k = 0,v= n k = 0ew = 2m. Comou3+v3w3= 2n3+ 6nk28m3ek =an36, m =bn12,substituindotemosu3+v3w3= 2n3+n3a263n3b363=n3216(432 +a2b3) = 0.oquenosgeraumasolu caonaotrivialdaequa caox3+y3= z3,umabsurdo.ProblemasPropostos3.20. Demonstrarquen aoexisteumtri anguloret angulocomladosinteirostal quesua areasejaumquadradoperfeito.3.21. Encontrartodosospares(n, m)den umerosinteirostaisquen | m2+ 1 e m | n2+ 1.3.22(IMO1987). Sejanuminteiromaiorouigual a2. Mostrequesek2+k +neprimoparatodoktal que0 k _n3,ent aok2+k +neprimoparatodoktal que0 k n 2.[SEC.3.4: EQUA CAODEPELL 753.23(IMO1988). Dadosinteirosaebtaisqueon umeroab + 1dividea2+b2,demonstrarquea2+b2ab + 1eumquadradoperfeito.3.24(IMO2007). Provequeseaebs aointeirospositivostaisque4ab 1 | (4a21)2ent aoa = b.3.25. Demonstrarqueaequac ao3x2+ 1 = y3n aotemsoluc oesracionaisdiferentesdex = 1ey= 1.3.26. Demonstrarqueaequac aox3+y3+z3= 1possuiinnitassoluc oesinteiras.3.27. Demonstrarqueaequac aox3+y3+z3= ncomn = 9k 4n aopossuisoluc oesinteiras.Observa cao: Sen = 30,desconhece-seseaequac aopossuioun aosoluc aointeira.3.28. Demonstrarqueaequac aox3+ y3+ z3=t3possuiinnitassoluc oesinteiraspositivasprimitivas(i.e.,commdc(x, y, z, t) = 1).3.29. Demonstrarqueaequac aox3+ y3=2z3n aopossui soluc oesinteiraspositivasn aotriviais(i.e. alemdascomx = y= z).Dica: Como x, ys ao de igual paridade ent ao x = m+n, y= mn. Se mdc(m, 3) = 1 concluir que mdc(m, m2+3n2) = 1ecadaumdeles eumcubo. Usaracaracteriza c aodassoluc oesdaequac aos3= m2+3n2parachegaraumasoluc aomenorqueainicial.3.4 EquacaodePellSejaAuminteiropositivo. Estamosinteressadosnaequa caox2Ay2= 1,comxeyinteiros. SeAeumquadradoperfeito, digamosA=k2, temosquex2 Ay2=(x ky)(x + ky)=1admiteapenasassolu coestriviais y= 0, x = 1, pois teramos xky= x+ky= 1. O caso interessante e quando A nao e um quadradoperfeito, eportantoAeumirracional (defato, seA=pq, commdc(p, q)=1eq>1, teramosA=p2q2oqueeumabsurdo,poismdc(p, q)=1 =mdc(p2, q2)=1, dondep2/q2naopodeserinteiro). Nessecaso, aequa caox2Ay2= 1 econhecidacomoumaequac aodePell .Assolu coesdaequa caodePellcorrespondemapontosinteirossobreumahiperbole. Nagura,ahiperboleex22y2= 1: oponto(3, 2) eumexemplodepontointeirosobreahiperbolepois322 22= 1masoponto(7, 5)est aproximo`ahiperbolemasnaopertenceaelapois72 2 52= 1 =1. Comoveremos, oproximopontodecoordenadasinteiraspositivassobreestahiperbole e(17, 12),queest aforadagura.Outropontodevistaeodequeestamosprocurandopontosdeumahiperbolesobreumreticulado. Naproximagura, ahiperboleeu2 v2=1eoreticuladoconsistenospontosdaforma(a, b2), aebinteiros.Asduasgurass odiferemporumatransforma caolinear.76 [CAP.3: EQUA COESDIOFANTINASE facil ver que se a equa cao tem alguma solu cao (x1, y1) ent ao possui innitas. Mais geralmente, se x21Ay21=1,temos(x1 Ay1)n(x1 +Ay1)n= (x21 Ay21)n= (1)n.Fazendoasubstitui caoxn +Ayn= (x1 +Ay1)n=n

i=0_ni_xni1(A)iyi1ondexn=n2

i=0_n2i_xn2i1Aiy2i1e yn=n12

i=0_n2i + 1_xn2i11Aiy2i+11.obtemosx2n Ay2n= (1)nparatodon N.De maneira mais ou menos equivalente, podemos dizer que se (x1, y1) e solu cao ent ao a transforma cao linear_x1y1Ay1A x1_preserva tanto a hiperbole u2v2= 1 quanto o reticulado que consiste nos pontos da forma (a, bA) (conformeasegundagura).Vejamosagoraqueaequa caodePellsemprepossuisolu cao.Teorema3.26. Aequac aox2Ay2= 1,comAdiferentedeumquadradoperfeito,possuisoluc aon aotrivialeminteirospositivos,i.e.,comx +yA > 1.Demonstra c ao: ConsidereoconjuntoD = {x +yA | x, y Q}. Denimosanormacomosendoafun caoN:D Qx +yA x2Ay2,TemosqueNeumafun caomultiplicativa,isto e,N_(x +yA)(u +vA)_= N(x +yA)N(u +vA) x, y, u, v Q.Defato,N_(x +yA)(u +vA)_= N((xu +Ayv) + (xv +yu)A)= (xu +Ayv)2A(xv +yu)2= x2u2+A2y2v2A(x2v2+y2u2)= (x2Ay2)(u2Av2).[SEC.3.4: EQUA CAODEPELL 77ComoAeirracional,peloteorema??adesigualdade |A pq| 1existen 1talque(x1 +y1A)n x +yA < (x1 +y1A)n+1.Multiplicandoporxn ynA = (x1 +y1A)n> 0,obtemos1 (x +yA)(xn ynA) = (xxn yynA) + (yxn xyn)A< x1 +y1A.Como N_(x +yA)(xnynA)_= N(x +yA)N(xnynA) = 1,temos que (xxnyynA, yxnxyn)tambemeumasolu caodaequa caodePell, menorqueasolu caomnima. Temosquexxn yynA 0, poiscasocontrarioxxn yynA < 0xyxnyn< A,poremx2n y2nA = 1 =_xnyn_2= A+1y2n> A=xnyn>Aeanalogamentexy>A,oquecontradizxyxnyn< A. Damesmaforma,yxn xyn 0poiscasocontrarioxnyn 0.No caso em que x e par e y e mpar, fazendo yp= x21 = (x1)(x+1), como mdc(x+1, x1) = 1, segue quex1 e x+1 s ao potencias p-esimas, ou seja, existem inteiros s e t tais que x1 = spe x+1 = tp=tpsp= 2com s, t Z e p 5. Com isto a unica solu cao e t = 1 e s = 1, mas isso implica que x = 0, o que foi descartadonaship oteses.Agora, no caso em que x e mpar e y e par, temos que x+1 e x1 s ao pares e mdc(x+1, x1) = 2. Daquipodemosdividiroproblemaemdoissubcasos: nocasoemquex12seja mpar,existeminteirosweztaisquex 12= wp,x + 12= 2p2zpe y= 2wz com mdc(w, 2z) = 1.Assimwp=x + 121 = 2p2zp1 (2p21)zp,isto e,_wz_p 2p21 > 1,portantow > z.Poroutroladow2p=_x 12_2=x2+ 6x + 9 8(x + 1)4=_x + 32_2(2z)p.Assimobtemosaequa cao(w2)p+ (2z)p= (x+32)2. Como(w2)p+ (2z)pw2+ 2z= (w2)p1(w2)p2(2z) + (w2)p3(2z)2 + (2z)p1 p(w2)p1(modw2+ 2z)emdc(w, 2z) = 1temosmdc_w2+ 2z, (w2)p+ (2z)pw2+ 2z_= mdc(w2+ 2z, p(w2)p1) | p,logosepx+32temosquew2+ 2zeumquadrado. Masw2 1Como(a + bA)(a bA)= 1 a + bA>0, defato a + bAeamaiorsolu caopositivaquetemxnegativoeypositivo. Multiplicandoadesigualdadeanteriorpor a +bA,obtemos(a +bA) > (c +dA)(a +bA) = (ac +bdA) + (cb ad)A> a +bA > 0.Temos que (ac +bdA, cb ad) e solu cao de x2Ay2= 1. Observemos que ac +bdA, cb ad nao podem sersimultaneamentepositivos,porqueistocontradizaescolhadasolu caofundamental. Tambemnaopodemosterque ac +bdA < 0,cb ad > 0porque a +bA eamaiorsolu caopositivacomxnegativoeypositivo. Por ultimo,nocaso ac + bdA >0,cb ad ac,ad >cb,multiplicandoaprimeiradesigualdadepordeasegundaporcobtemosbd2A > acd > c2b,assim0 > b(c2Ad2) = b,oquetambemecontraditorio.Assim conclumosque(a +bA)2= c +dA. Comoa2Ab2= 1,somandoasigualdadestemosc 1 = 2a2logoa2= (c 1)/2.80 [CAP.3: EQUA COESDIOFANTINASVejamosagoraqueacondi caosobreosfatoresprimosdeAnaoesucienteparagarantiraexistenciadesolu cao. Por exemplo, x234y2= 1 nao possui solu cao inteira. De fato, a solu cao fundamental de x234y2= 1e35 + 634,mas3512= 17nao equadrado,logo,peloteoremaanterior,x234y2= 1naopossuisolu coes.NocasoemqueAeumprimodaforma4k + 1, aequa caox2 Ay2= 1semprepossui solu cao. Maisgeralmente,temososeguinteresultado,devidoaDirichlet.Proposi cao3.29(Dirichlet). SejaAprodutodenom aximotresprimosdistintosdaforma4k + 1taisque_pq_= 1paratodop = qdivisoresprimosdeA. Ent aoaequac aox2Ay2= 1possuisoluc ao.Demonstra c ao: Sejax0 +Ay0asolu caofundamentaldex2Ay2= 1. Como1 = x20 Ay20 x20 y20(mod4),ent aox0e mparey0epar. Alemdisso,dofatodeque(x0 1)(x0 + 1) = Ay20ex0 + 1ex0 1s otemfatorcomum2,seguequeexisteminteirossetprimosrelativoseinteirosa, bcomA = abtaisquey0= 2st, x0 1 = 2as2e x0 + 1 = 2bt2eassimas2 bt2= 1. Bastaportantomostrar quea=1(demodoqueb=A). Paraisto, observemosquea =Aporquecasocontrariob=1e(t, s)seriaumasolu caomenordoqueasolu caomnima(x0, y0)dex2Ay2= 1. Poroutrolado,se1 < a < Atemosdoispossveiscasos:1. aeprimo,nestecasotomamosumdivisorprimopdebetemosqueas2 1(modp). Logo_ap_= 1,masp edaforma4k + 1eportantoistoimplica_ap_= 1,oquecontradizahip otesedoteorema.2. a e produto de dois primos e b e primo, neste caso se p e um divisor primo de a temos que bt2 1(modp),assim_bp_= 1,oquedenovocontradizahip otesedoteorema.O resultado anterior foi generalizado por Richaud, Tano e outros. O seguinte teorema contem essencialmentetodosestesresultados.Teorema3.30(Nagell-Trotter). Sejam p1, . . . , pnn umeros primos congruentes a 1 m odulo 4 e A = p1p2. . . pn.Suponha quenao existamndices diferentes i, j, ktais que_pipj_=_pjpk_= 1. Ent ao x2Ay2= 1 possui soluc ao.Demonstra c ao: Ver[29]ou[19].3.4.2 SolucoesdaEquacaox2Ay2= cNovamente assumimos que A nao e quadrado perfeito. Seja (x1, y1) (N>0)2a solu cao mnima de x2Ay2=1. Dadoc Znaonulo,seexistealgumasolu caodex2Ay2= ccom(x, y) N2,ent aoexisteminnitas: defato,seu +vA = (x +yA)(x1 +y1A)ncomn Z,ent aou2Av2= c.Poroutrolado,nemsempreexisteumatalsolu cao. Umacondi caonecessariaparaaexistenciadesolu coeseaseguinte: sepeumdivisorprimodeA, temosx2c(modp), assimparaqueexistasolu caocdeveserresduoquadr aticomodulopparatododivisorprimopdeA. Infelizmenteestacondi caonaoesuciente, porexemploaequa caox27y2= 11naopossuisolu caojaqueolhandomodulo4x2+y2 x27y2= 11 1 (mod4),oque eimpossvel. Entretanto_117_=_47_= 1.A seguinte proposi cao ajuda a reduzir o trabalho necessario para decidir se x2Ay2= c tem alguma solu cao(x, y) N2.Proposi cao3.31. Seja=x1 + y1A>1onde(x1, y1)easoluc aomnimadex2 Ay2=1. Dadoc Zn aonulo,seexistemx, y Ncomx2Ay2= c,ent aoexistemu, v Ncomu +vA _|c|eu2Av2= c(emparticular,paraestasoluc ao0 u _|c|e0 v _|c|/A).[SEC.3.4: EQUA CAODEPELL 81Demonstra c ao: Se= r +sAcomr, s Qdenimos = r sA,temosent aoN() = N( ) = =r2As2.Seja=x + yA>0comN()=x2 Ay2=c. Ent aoN( k)=cparatodok Z. Emparticularpodemosescolherumk Ztal que_|c| 0 R>0uma fun c ao totalmente multiplicativa e estritamente mon otona, ent ao existe Rtal quef(n) = n.Demonstra c ao: Trocandof por 1/f, podemos supor semperdade generalidade que f e estritamentecrescente, edenamos=log2f(2). Vejamosquef(n)=n. Paraistoobservemosque, aplicandof, paratodom N>0temos2mlog2 n nm< 2mlog2 n+1= 2mlog2 n (f(n))m< 2(mlog2 n+1)Assim,2mlog2nm f(n) < 2(mlog2n+1)mparatodom N>0.Maslimmmlog2nm= limm(mlog2n + 1)m= log2n,dondeconclumosquef(n) = 2log2 n= n.Exemplo4.3. Encontrarcondic oesnecess ariasesucientessobremenparaquen(m) = m(n).Solu c ao: Sen(m) = m(n)ent aon(m) = mn

p|mpprimo_1 1p_= mn

q|nqprimo_1 1q_= m(n).Da temos que n e m devem ter os mesmos divisores primos; caso contrario, consideremos {pi} e {qj} os fatoresprimosdenemrespectivamentequenaos aocomunsaosdoisn umeros,ent ao

(pi 1)

qj=

(qj 1)

pi.Mas,comopi qjeqj piparatodososfatoresprimos,conclumosque

pi

(pi 1) e

qj

(qj 1),oque eimpossvel. Agora,senemtemosmesmosfatoresprimosprova-sediretamentedaformulaacimaquen(m) = m(n).Oseguinteteoremanosmostraumaformadeconstruirfun coesmultiplicativas.Teorema4.4. Sefeumafun c aomultiplicativaent aoafun c aoF(n) =

d|nf(d)etambemmultiplicativa.Demonstra c ao: Sejamaebinteirostaisquemdc(a, b) = 1ent aoF(ab) =

d|abf(d) =

d1|a,d2|bf(d1d2) =

d1|a,d2|bf(d1)f(d2)=

d1|a

d2|bf(d1)f(d2) =

d1|af(d1)

d2|bf(d2)= F(a)F(b).SeguequeFtambem emultiplicativa.86 [CAP.4: FUN COESARITMETICASCom o resultado anterior obtemos outro metodo para demonstrar que k(n) e multiplicativa, ja que f(n) = nkeclaramenteumafun caomultiplicativa.Exemplo4.5. Demonstrarque(n)d(n) n.Solu c ao: Se 0ent aoparaqualquerprimoptemos(p) (p), logocomoemultiplicativatemosque(n) (d)paratododivisordden. Ent ao,pelolema1.77,(n)d(n) =

d|n(n)

d|n(d) = n,comoqueramosdemonstrar. Notequeaigualdades oseobtemquandon = 1oun = 2.Exemplo4.6. Encontrartodososinteirosnparaosquais(n) = d(n).Solu c ao: Sep 3 eumprimo,temosque(p) = (p 1)p1 2(1 + 2)1 2_1 + 2( 1)_ + 1 = d(p),onde aigualdade s ose daquandop =3e =1. Portanto, pelamultiplicatividade das fun coes (n) ed(n), os unicosmpares quesatisfazem(n) =d(n) s aon=1en=3. Por outrolado, se>3temos(2) = 21> + 1 = d(2);para = 3obtemosassolu coesn = 1 8 = 8en = 3 8 = 24.Assim, s o nos falta resolver os casos (2n) = d(2n)(n) = 2d(n) e (4n) = d(4n)2(n) = 3d(n)ondene mpar. Temos(5) = 4 = 2d(5),(15) = 8 = 2d(15)e(9) = 6 = 2d(9),donde2 5 = 10,2 9 = 18e2 15 = 30tambems aosolu coesdaequa caoinicial. Demonstremosagoraquenaoexistemmaissolu coes. Sen = pepotenciadeumprimo mparpent aoparap = 3e 3,ouparaparap = 5e 2,ouparap 7,temoscomoacimaque(n) = p1(p 1) > 2 + 2 = 2d(n) >32d(n).Poroutrolado,jasabemosque(n) d(n)paratodon mpar. Assim,damultiplicatividadedasfun coes(n)ed(n), obtemosquesenedivisvel por33, 52ouporalgumprimop 7, ent ao(n) >2d(n) >32d(n) eanalisandooscasosrestantesobtemosapenasassolu coesapresentadasanteriormente.Emconclus ao,as unicassolu coesde(n) = d(n)s ao1,3,8,10,18,24,30.Oseguinteteoremarelacionaafun caod(n)comafun cao x.Teorema4.7. Sejanuminteiropositivo,ent ao2n

k=1d(k) n

k=1_2nk_= n.Demonstra c ao: Sejaf(i)def=

1ki_2ik_.Observemosqueparai, k > 1_2ik__2i 2k_=_1 sek | 2iouk | 2i 10 casocontrario.Portantoparai 2temosf(i) f(i 1) = 2i2i 2+

2ki__2ik__2i 2k__+_2i 2i_= 2 + (d(2i) 2) + (d(2i 1) 2) + 1= d(2i) +d(2i 1) 1,[SEC.4.2: FUN CAODEMOBIUSEFORMULADEINVERSAO 87donde2n

k=1d(k) = d(2) +d(1) +n

i=2_f(i) f(i 1) + 1_= 3 +f(n) f(1) +n 1= f(n) +nqueeraoquequeramosdemonstrar.4.2 FuncaodeMobiuseFormuladeInversaoDenimosafun caodeMobius:N>0 Zpor(n) =___1 sen = 10 sea2| nparaalguma > 1(1)ksen eprodutodekprimosdistintos.Facilmentesecomprovaqueafun caodeMobius emultiplicativa. AlemdissoLema4.8. Paratodointeiropositivontemos

d|n(d) =_1 sen = 10 sen > 1.Demonstra c ao: No caso n = 1 nao temos nada para provar. Como a fun cao

d|n(d) e multiplicativa peloteorema4.4,bastamostraolemaparan = pkondep eumn umeroprimo. Defato,

d|pk(d) =k

j=0(pj) = 1 1 = 0comoqueramosdemonstrar.Teorema4.9(F ormuladeinversaodeMobius). Sejaf(n) umafun c aomultiplicativaeF(n)=

d|nf(d),ent aoparatodoninteiropositivo,f(n) =

d|n(d)F_nd_.Demonstra c ao: Vejamosque

d|n(d)F_nd_=

d|n(d)

d1|ndf(d1)=

d|n

d1|nd(d)f(d1)=

d1|n

d|nd1(d)f(d1)=

d1|nf(d1)

d|nd1(d) = f(n)(1) = f(n),comoqueramosdemonstrar.88 [CAP.4: FUN COESARITMETICASAgora,observemosqueparatodon umeronaturalm,feFdenidascomoantes,m

n=1F(n) =m

n=1

d|nf(d) =m

d=1

d|n1nmf(d)Comof(d) esomado_md_vezes,ent aom

n=1F(n) =m

d=1f(d)_md_.Nocasoparticularemquef(n) = (n)temosqueF(n) = npelolema1.77eassimm(m+ 1)2=m

n=1(n)_mn_.Sef(n) = (n),ent aoF(n) = 0sen > 1eF(1) = 1pelolema4.8,portanto1 =m

n=1(n)_mn_.AigualdadeanteriornospermiteresolveroseguinteExemplo4.10. Demonstrarque,paratodointeirom > 1,m

k=1(k)k< 1.Solu c ao: Como 1 < (k)__mk_mk_< 1e_mk_mk= 0quandok = 1, m,ent aom

k=1(k)_mk_mm

k=1(k)k< m1Usandoaidentidadeacimaprovadatemosque1 mm

k=1(k)k< m1,logom

mk=1(k)k < m e simplicando m obtemos o que queramos demonstrar.E conhecido (Mangoldt 1897)quesemtendeparainnito,ent aoasomaanteriorconvergepara0.Teorema4.11(SegundaformuladeinversaodeMobius). Sejamf, gfun c oesreaiscomdomnio(0, +)taisqueg(x) =

k=1f_xk_paratodox,ent aof(x) =

k=1(k)g_xk_.Demonstra c ao: Observemosquef(x) =

k=1(k)_

r=1f_xkr__=

m=1_

k|m(k_f_xm_= f(x),comoqueramosdemonstrar.[SEC.4.2: FUN CAODEMOBIUSEFORMULADEINVERSAO 89Aseguintee umadas formula coes dafamosahip otese de Riemann, umdos problemas emabertomaisimportantesdaMatem atica. OClayMathematicsInstituteofereceumpremiode1milhaodedolaresparaaaprimeirademonstra caodaHip otesedeRiemann(verhttp://www.claymath.org/millennium/).Conjetura4.12(Hip otesedeRiemann). Se > 1/2,ent aolimn1nn

m=1(m) = 0.Podemosreenunciarestaconjecturaassim: sejaf :(0, +) Rdenidapor_f(t) = 0 set < 1

k=1f(t/k) = 1 set 1.Ent ao,paratodo > 1/2,limtf(t)t= 0.Defato,pelasegundaformuladeinversaodeMobius,temosf(t) =t

m=1(m).ProblemasPropostos4.1. Encontrartodososinteirospositivosntaisquen = d26 +d27 1,onde1 = d1< d2< < dk= ns aotodososdivisorespositivosdon umeron.4.2. Sejaron umerodefatoresprimosdiferentesden,demonstrarque

d|n|(d)| = 2r.4.3. Sejanuminteiropositivoquen aoeprimoetal que(n) | n 1. Demonstrarquenpossui aomenosquatrofatoresprimosdistintos.4.4. Dadosdoisn umerosreaisetaisque0 < 1,demonstrarqueexisteumn umeronatural mtalque (k)k.Demonstrarqueexisteumn umeroinnitoden umerossuperabundantes.4.6. Demonstrarqued(n) < 2n. Poderiamelhorarestacota?4.7. Demonstrarque(n)d(n) n.4.8. Encontrartodososvaloresdenparaosquais(n) | n.90 [CAP.4: FUN COESARITMETICAS4.9. Dois n umeros aeb s ao amig aveis se(a) =b e(b) =a. Por exemplo1184e1210s aoamig aveis(vericar!). Encontraroutradupladen umerosamig aveis.4.10. Demonstrarquem | (mn 1)paratodonse,es ose,m = 2,3,4,6,8,12ou24.4.11. Demonstrarque(n!)n!> 1 +12+ +1n.4.12. Demonstrarqueexisteminnitosn umerosnaturaisnparaosquais(x) = nn aotemsoluc ao.4.13. Demonstrarqueparatodom > 1m

k=1(k)k2npi 1 e 2_npi 1_> 2_npi_ 2 npi,somandoteremosque2 >_2npi_2_npi_> 1.Portantoesta ultimaexpressaos opodetomarosvalores1e0. Conclumosque 2 p

i=11 = p.Alemdisso,se2n3< p < nent ao = 2e= 1,logo 2= 0.[SEC.4.3: ALGUMASESTIMATIVASSOBREPRIMOS 91PodemosagoramostraraseguinteProposi cao4.14(Chebyshev). Seja(x) aquantidadedeprimos menores doqueouiguais ax. Existemconstantespositivasc < Ctaisquecxlog x< (x) < Cxlog xparatodox 2.Demonstra c ao: Observemosinicialmenteque_2nn_=(2n)!n!n!em ultiplodetodososprimospquesatisfazemn < p 2n. Como_2nn_ 0peloteoremaanterior,temosqueexisteCtalquepn< Cnlog nparatodon 2. Analogamenteseprovaaexistenciadec.92 [CAP.4: FUN COESARITMETICASTemosaindaoseguintecorolariodoteoremadeChebyshev,quedeixamoscomoexerccioparaoleitor.Corolario4.16. Sejaf :N [0, +)umafun c aodecrescente. Aserie

pprimof(p)convergese,esomentese,aserie

n=2f(n)log nconverge. Emparticular,

pprimo1p= +.Observa cao4.17. UminteressanteargumentodevidoaErd osd aumaoutraprovadadivergenciadaseriedosinversos dos primos: supondo que

pprimo1p< +,existeN Ntal que

pprimopN1p nlog n n +12+12n

j=11j.Assim,conclumosque_n +12_log n n + 1 >n

j=1log j>_n +12_log n n +14n+34eoresultadosegue.Aterceirasoma eestimadacomparando-acomaintegral_n2dxx log x= log log n log log 2,e edeixadacomoexerccioparaoleitor.[SEC.4.3: ALGUMASESTIMATIVASSOBREPRIMOS 95Agora,mostremosalgumasestimativassobren umerosprimos.Proposi cao4.22.

pprimopnlog pp= log n +O(1).Demonstra c ao: Pelaproposi cao1.22,temosn! =

pprimopnpvponde vp=

k=1_npk_.Tomandologaritmos,temos

nk=1 log k =

p primopnvp log p,ecomonp 1 < np vpn1k2= O(_ndxx2) = O(1n),logo

d>n(d)d2= O(1n)eassimn

k=1(k) =n22n

d=1(d)d2+O_nn

d=11d_=n22

d=1(d)d2+O(nlog n).98 [CAP.4: FUN COESARITMETICASAlemdisso,notequeparatodo > 1temosque

m=11m

n=1(n)n=

k=1

d|k (d)k= 1.Em particular

d=1(d)d2= (

d=11d2)1=62pela proposi cao 4.25,assim substituindo este valor na expressaoacimatemosoresultadodesejado.Observemosqueaproposi caoanteriormostraquea probabilidade dequedoisn umerosnaturaissejamprimosentresi,ouseja,limN1N2#{(m, n) N2| 1 n, m Ne mdc(m, n) = 1}eiguala62 60,79%.Proposi cao4.27.

nk=1(k)k=6n2+O(log n).Demonstra c ao: Comonaproposi caoanterior,(k) =

d|k (d)kdeportanton

k=1(k)k=n

k=1

d|k(d)d=n

d=1_nd_(d)d= nn

d=1(d)d2+O_n

d=11d_=62n +O(log n).Proposi cao4.28. 0 < liminfn(n) log log nn< +.Demonstra c ao: Sejapioi-esimon umeroprimo. Sentemkfatoresdistintos, ent aon>nkondenk=p1 p2 pkeoprodutodoskprimeirosn umerosprimos. Assim,(n)n=

pprimop|n_1 1p_

1ik_1 1pi_=(nk)nk,logo(n) log log nn(nk) log log nknk. Bastamostrarqueliminfk(nk) log log nknk(0, ),maslog (nk) log log nknk=k

j=1log_1 1pj_+ log log log nk.Comolog_1 1pj_= 1pj+O(1p2j),pelaproposi cao4.23obtemosk

j=1log_1 1pj_= k

j=11pj+O(1) = log log pk +O(1).Mas pelo corolario 4.15,temos que k pk Ck log kpara algum C,o que implica log log pk= log log k +O(1).Destamaneira,paramostrarqueliminfk(nk) log log nknk (0, ),bastavericarquelimsupk(log log k log log log nk) = 0.[SEC.4.4: AFUN CAODEEULER 99Temosquenk=

kj=1pk (Ck log k)k,dondelog nk k(log k + log(C log k)) < 2k log k parakgrande,eassimlog log nk< log k + log log k + log 2. Portantolimsupk(log log k log log log nk) 0.Poroutrolado,certamentetemosnk>2k,logolog nk>k log 2,log log nk>log k + log log 2,eassimlimsupk(log log k log log log nk) 0.Logoestelimsup ezero,completandoaprova.Observa cao4.29.Epossvel provarqueliminfn(n) log log nn= e.Observequeoutrotipodeestimativatrivialpodeserobtidadofatoque(p)=p 1, paratodopprimo,assimcaclaroquelimsupn(n)n= 1.Resumindoosv ariostiposderesultadosqueobtivemossobre(n)dizemosqueaordemmediade(n)e6n2,aordemmaximade(n) eneaordemmnimade(n) eenlog log n.ProblemasPropostos4.22. Provequeseapartereal deemaiorouigual a2ent ao

m=1(m)m=

m=11m1_

m=11m.4.23(Sierpi nski). Mostrarqueoconjunto_(n + 1)n n N_e denso em [0, 1], isto e, que , para todo a [0, 1] e todo > 0, existe um inteiro positivo n tal que(n)na < .4.24(Schinzel). Mostrarqueoconjunto_(n + 1)(n) n N_edensonoconjuntodosn umerosreaispositivos.4.25. Mostarqueparatodo 1en 0n

k=1(k)k=62(2 )n2+O(n1log n).4.26. Mostrarquen

k=1(k)k2=62log n +62+O_log nn_.100 [CAP.4: FUN COESARITMETICAS4.5 AFuncaoLembramosque(n)=

d|ndeumafun caomultiplicativa. Assim, sen=p11p22 pkkeafatora caocan onicaden,ent ao(n) =k

j=1(1 +pj+ +pjj) =k

j=1pj+1j1pj 1=k

j=1pjj_1 +1 pjjpj 1_donden

kj=1(1 +1pj) (n) < n

kj=1pjpj1. Usandoaformulade(n)temosquek

j=1_1 1p2j_(n)(n)n2< 1,Mas

pprimo11 1p2=

pprimo_1 +1p2+1p4+1p6+ _=

k=11k2=26jaqueexpandindooproduto, cadanaturalkapareceexatamenteumavezpeloteoremafundamentaldaarit-metica. Logotemosque62n1k2= O(_ndxx2) = O(1n)e

k11k2= 2/6.Proposi cao4.33.

nk=1(k)k=26n +O(log n).Demonstra c ao: Observemosque(k)k=

d|kdk=

d|k1d,assimporumprocedimentosimilaraoanteriortemosn

k=1(k)k=n

k=1

d|k1d=n

d=11d_nd_= nn

d=11d2+O(log n) =26n +O(log n).[SEC.4.6: NUMEROSLIVRESDEQUADRADOS 1014.6 N umerosLivresdeQuadradosVamosnestase caoaestimara probabilidade deumn umeronaturaldadoserlivredequadrados,ouseja,vamoscalcularolimitelimn1n#{1 k n | kelivredequadrados} =limn1nn

k=1|(k)|.Proposi cao4.34. limn1n

nk=1|(k)| =62.Demonstra c ao: Sejag(x)= x2ef(x)=

kx|(k)|. Observemosquecomoumnatural nseescreveunicamente como n = r2l com l livre de quadrados, temos que

r1f(x2r2 ) = g(x). Assim, pela segunda formuladeinversaodeMobius(teorema4.11),temosf(x2) =

kx(k)g_xk_=

kx(k)_x2k2_=

kx(k)x2k2+O(x) =62x2+O(x),jaque

k1(k)k2= 6/2(verademonstra caodaproposi cao4.26). Sey= x2,temosquef(y) =62y +O(y),oqueimplicaoresultado.4.7 AsFuncoeseSen=p11p22 pkkcomp1 0ent aolimnd(n)2(1+) log n/ log log n= 0 e limsupnd(n)2(1) log n/ log log n= +.Demonstra c ao: Paraaprimeiraarma cao,bastamostrarquelog d(n) (1 +)log 2 log nlog log nparaalgumtal que00 N>0 | x n, xy n}+ #{(x, y) N>0 N>0 | y n, xy n}#{(x, y) N>0 N>0 | x n, y n}= 2n

d=1_nd_n2=2_nn

d=11d+O(n)__n +O(1)_2= 2n_logn + +O_1n__n +O(n)= nlog n + (2 1)n +O(n)utilizandoaestimativamaisprecisa

1jn1j= log n + +O(1n).Observa cao 4.38.Epossvel dar estimativas mais precisas paraotermode erronestaproposi c ao. Seja(n) :=

nk=1d(k)n(log n+21). A proposi c ao anterior (que e devida a Dirichlet) diz que (n) = O(n1/2).OproblemadosdivisoresdeDirichletconsisteemdeterminaromenor Rtal que(n) = O(n+), > 0.Hardy provou em [10] que 14: de fato, ele mostrou que existe c > 0 tal que, para certos valores arbitrariamentegrandesden, (n)>cn1/4, e, paraoutrosvaloresarbitrariamentegrandesden, (n)< cn1/4. Poroutrolado,Huxleyprovouem[14]que 131416= 0, 31490384615384615384615 . . . . Conjectura-seque = 1/4.Finalmente, paraquasetodon N, (n)e(n)s aodaordemdelog log npelase caoanterior, donde, sen = p11p22 pkkeafatora caocan onicaden,2(n)= 2kk

j=1(1 +j) = d(n) k

j=12j= 2(n).[SEC.4.9: AFUN CAONUMERODEPARTI COESP(N) 105Assim,log d(n) edaordemdelog 2 log log nparaquasetodon,ouseja,d(n) = (log n)log 2 log nparaquasetodon, apesardeaordemmediaded(n)serlog n. Issosedeveaofatode, paraalgunspoucosvaloresden,d(n)sermuitomaiorquelog n, lembrandoqueaordemmaximaded(n)e2(1+o(1)) log n/ log log nlog n, paratodon N. Defato,Ramanujammostrouque,parar 1,esseefeitofazcomque

nk=1(d(k))rsejadaordemC(r)n(log n)2r1paraumacertaconstanteC(r) (0, ).4.9 AFuncaoN umerodeParticoesp(n)Umapartic aodeuminteiropositivoneumaformadeescreverncomosomadeinteirospositivos, naoimportandoa ordem. Assim, podemos identicar uma parti cao de ncomumvetor (a1, a2, . . . , ak), ondek, a1, a2, . . . , aks aointeirospositivos,a1 a2 akea1 + a2 + + ak=n. Paracadainteiropositivon,denotamosporp(n)on umerodeparti coesdistintasden. Porexemplo,comoasformasdeescrever6comosomadeinteirospositivoss ao6 = 5 + 1 = 4 + 2 = 4 + 1 + 1 = 3 + 3 = 3 + 2 + 1 = 3 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 =2 + 2 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1,temosp(6) = 11.Umaparti caopodeserrepresentadaporumapilhadequadradinhosondeaalturadecadacolunadapilhaemonotonanaocrescentedaesquerdaparaadireita. Umaconven caoedequeasalturasdascolunass aoosinteirosa1 a2 ak. Naguramostramosaparti cao7 + 5 + 4 + 4 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1de28.N aoemuitofacil estimarcomprecis aoaordemdemagnitudedafun caop(n). Come camosmostrandoasseguintesestimativaselementares,mostradasem[13]:Proposi cao4.39. 2n p(n) nn2n, n 1.Demonstra c ao: Essasdesigualdadess aoigualdadesparan = 1. Vamossuporapartirdeagoraquen > 1.Aprimeiradesigualdadepodesermostradaconsiderandoasparti coesobtidasdaseguinteforma: paracadaconjunto A = {a1, a2, . . . , ar} {1, 2, . . . , n}, podemos associar a parti cao n = a1+a2+ +ar +(na1a2 ar). Notequea1 +a2 + + ar 1 + 2 + +n = n(n + 1)/2 < n,eque,paran 5,n a1 a2 areomaiortermodaparti cao,oquemostraque,paran 5,asubconjuntosdistintosde{1, 2, . . . , n} correspondem parti coes distintas, e como ha 2nsubconjuntos de {1, 2, . . . , n}, segue quep(n) 2npara n 5. Como p(2) = 2 = 22, p(3) = 3 > 23e p(4) = 5 > 24, a primeira desigualdadeest aprovada.Japaraasegundadesigualdade, acadaparti cao =(a1, a2, . . . , ak) de n, coma1a2 ak,associamos o maior inteiro positivo q= q() tal que aq q. Em outras palavras, q() e o lado do maior quadradocontidanodiagramadaparti cao: noexemplodaguraanterior, q() =4(eoquadradoest asombreado).Notequeq()2n. Assim, ha npossibilidadesparaq(). Poroutrolado, umavezdeterminadoq(),temosquea1, a2, . . . , aq() q() satisfazemasdesigualdades0 aiq(), osaj, paraj>q()est aounicamentedeterminados pelos n umeros bi, 1 i q() dados por bi= |{j >q(); aji}|, 1 i q(), os quaissatisfazem

iq()bi=

j>q()aj< n,eassim,comoantes,hanomaximonq() nnpossibilidadespara106 [CAP.4: FUN COESARITMETICASosbi, 1 i q()eportantoparaosaj, j> q(). Assim,temosp(n)

1qn(nq)2 n(nn)2= n