Universidade Aberta do Brasil - UFPB VirtualCurso de Licenciatura em Matem aticaIntroduc ao ` aAlgebraProf. Lenimar Nunes de Andradee-mail: lenimar@mat.ufpb.brvers ao 1.0 22/fevereiro/2010Sum ario1 Operac oes bin arias 11.1 Introduc ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Denic oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Exemplos de operac oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Propriedades das operac oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Exerccios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Grupos 112.1 Introduc ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Denic oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Grupos de classes de restos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 Grupos de permutac oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7 Subgrupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.8 Homomorsmos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.9 N ucleo de um homomorsmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.10 Isomorsmos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.11 Pot encias e m ultiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.12 Grupos cclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.13 Classes laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.14 Subgrupos normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.15 Grupos quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.16 Grupos diedrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.16.1 Rotac oes e reex oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.16.2 Simetrias de um quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.16.3 Simetrias de um tri angulo equil atero. . . . . . . . . . . . . 382.16.4 Grupos diedrais e isomorsmos . . . . . . . . . . . . . . . 392.17 Exerccios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 An eis 423.1 Introduc ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42i3.2 Denic ao e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4 Suban eis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5 An eis comutativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.6 An eis com unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.7 An eis de integridade e corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.8 Homomorsmo de an eis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.9 Isomorsmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.10 Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.11 An eis-quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.12 Exerccios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 Polin omios 594.1 Introduc ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2 Sequ encias e polin omios sobre um anel . . . . . . . . . . . . . . . 604.3 Proposic oes b asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4 Grau de um polin omio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.5 Imers ao de A em A[x]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.6 Notac ao usual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.7 Divis ao em A[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.8 Razes de polin omios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.9 Polin omios sobre um corpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.10 Polin omios irredutveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.11 Func oes polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.12 Exerccios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71iiCaptulo 1Operac oes bin arias1.1 Introduc aoO conceito de operac ao e dos mais b asicos em Matem atica. Desde os primeirosanos de escola que ouvimos falar de operac oes de adic ao, multiplicac ao, divis ao, etc.A formalizac ao desse conceito est a nas sec oes a seguir.Uma operac ao bin aria e uma regra que permite associar dois elementos de umconjunto com um terceiro elemento. Pode ter v arias propriedades tais como comu-tatividade, associatividade, elemento neutro, entre outras.Dado um conjunto e uma operac ao denida nele:A ordem dos elementos e importante para a operac ao?Seaoperac aoforusadamaisdeumavezemdeterminadaexpress ao, ent aosempre devemos comecar a operar com os primeiros elementos ou podemoscomecar tamb em pelos ultimos elementos?Dada uma operac ao em um conjunto, existe algum elemento que tenha propri-edades especiais?E possvel inverter todos os elementos do conjunto de acordo com a operac aodenida nele?1.2 Denic oesDenic ao 1.1. Consideremos A umconjunto n ao vazio. Uma opera c ao bin aria sobreA e uma func aof :A A A.E comum denotar-se o valor gen ericof (x, y) deuma operac ao por x y (l e-se: x estrela y).Dessa forma, uma operac ao bin aria sobre um conjunto A e uma lei que associa acada par (x, y) um unico elemento x y A. O elemento x y chama-se composto dex e y, x e denominado primeiro termo ou termo da esquerda e y e o segundo termoou termo da direita.1Outras notac oes tamb em s ao usadas para denotar uma operac ao sobre um con-junto A:Notac ao aditiva neste caso a operac ao e denotada por+, o composto x y edenotado por x + y e e chamado de soma, os termos s ao chamados de parcelas.Notac ao multiplicativa neste caso a operac ao e denotada por , o compostox y e denotado por xy e e chamado de produto, os termos s ao chamados defatores.Notac ao de composic ao neste caso a operac ao e denotada por , o compostox y e denotado por x y e e chamado de composic ao.Outros smbolos para uma operac ao gen erica tamb em podem ser utilizados taiscomo , , , , etc.1.3 Exemplos de operac oesExemplo 1.1. Consideremos a func ao f : denida por f (x, y) = x+y.Dados dois n umeros reaisx e y, f associa ao par (x, y) o n umero realx+ y que echamado a soma de x e y.Exemplo 1.2.Sejaf :, f (x, y) =xy que associa a cada par deinteiros (x, y) o seu produto xy. A func aof e a operac ao de multiplicac ao sobre osinteiros.Exemplo 1.3. Sejam A e E=(A).As func oesf : E E E, f (X, Y)=X Y e g: E E E, g(X, Y)= X Y s ao as operac oes de intersec ao e uni aosobre E.Exemplo 1.4. A func aof : denida porf (x, y) = x y e a operac aode subtrac ao sobre .Exemplo 1.5.Consideremos E=Mmn() o conjunto de todas as matrizes m ncom elementos reais. A func aof : E E E, f (X, Y) = X + Y e a operac ao deadic ao sobre E.Exemplo 1.6. Consideremos E=

= conjunto de todas as func oes deem . Afunc ao F: E E E, F( f , g) =f g e a operac ao de composic ao sobre E.1.4 Propriedades das operac oesConsideremos uma operac ao sobre um conjunto A.2Denic ao 1.2 (Propriedade associativa). Dizemos que e uma operac ao associativaquando x (y z) = (x y) z para quaisquer x, y, z A.Exemplo 1.7.A adic ao e uma operac ao associativa sobre porquex+ (y + z) =(x+ y)+ zparaquaisquer x, y, z . Aadic aotamb em eassociativasobreosconjuntos , ,e .Exemplo 1.8. A multiplicac ao e associativa sobre porque x(yz) = (xy)z paraquaisquer x, y, z . A multiplicac ao tamb em e associativa sobre os conjuntos,,e .Exemplo 1.9. A adic ao e a multiplicac ao de matrizes de Mnn() tamb em s ao asso-ciativas.Exemplo 1.10. Acomposic ao de func oes de em e associativa porque f (gh) =( f g) h para quaisquerf , g, h

.Exemplo 1.11. A potenciac ao sobre = 1, 2, 3, n ao e associativa porque, porexemplo, 4(32) (43)2. Note que 4(32)= 49e (43)2= 46.Exemplo 1.12. A operac ao de divis ao sobre+= x x> 0 n ao e associativaporque, por exemplo, 4 = 8 : (4 : 2)(8 : 4) : 2 = 1.Exemplo 1.13.Denotando por3o espaco tridimensional, a operac ao de produtovetorial em 3n ao e associativa porque, por exemplo,

i (

i

j.,,.

k).,,.

j (

i

i.,,.

0)

j.,,.

0.Observac ao. Quando uma operac ao e associativa, n ao h a necessidade de par entesesao escrevermos o composto de mais de dois elementos. Por exemplo, faz sentidoescrevermos 2 + 3 + 5 porque tanto faz calcularmos (2 + 3) + 5 ou 2 + (3 + 5) qued ao o mesmo resultado. No entanto, n ao faz sentido escrever algo como 25 : 5 : 5,porque, dependendo da ordem com que as divis oes s ao feitas, o resultado pode ser25 ou 1.Denic ao 1.3 (Propriedade comutativa). Dizemos que e uma operac ao comutativaquando x y = y x para quaisquer x, y A.Exemplo 1.14. A adic ao em e uma operac ao comutativa porque x +y = y + x paraquaisquer x, y . A adic ao tamb em e comutativa em outros conjuntos tais como, , , e Mmn().Exemplo 1.15. A multiplicac ao em e comutativa porque x y = y x para quaisquerx, y . A multiplicac ao tamb em e comutativa em outros conjuntos num ericoscomo , ,e .3Exemplo 1.16. A potenciac ao em n ao e comutativa porque, por exemplo, 25= 32e 52= 25 o que implica 25 52.Exemplo 1.17. A multiplicac ao em M22() n ao e comutativa porque_ 1 11 0_ _ 2 34 5_ =_ 6 82 3__ 2 34 5_ _ 1 11 0_ =_ 5 29 4_Exemplo 1.18.A composic ao de func oes de em n ao e comutativa, porque sef (x) =x2e g(x) =3x + 1, ent ao ( f g)(x) =f (g(x)) =f (3x + 1) =(3x + 1)2e(g f )(x) = g( f (x)) = g(x2) = 3x2+ 1. Portanto, f gg f .Denic ao 1.4 (Elemento neutro).Dizemos que e A e um elemento neutro` a es-querda para a operac ao denida em um conjunto A quando e x=x para todox A. De modo an alogo, dizemos que e A e um elemento neutro` a direita para quandox e =x para todox A. Se e e simultaneamente elemento neutro` aesquerda e ` a direita, ent ao dizemos simplesmente que e e elemento neutro para essaoperac ao.Observac ao. Seaoperac aoforcomutativa, ent aooelementoneutro` aesquerdatamb em e elemento neutro ` a direita e vice-versa.Exemplo 1.19. On umero0(zero) eoelementoneutrodaadic aoemporquex + 0= x= 0 + x para todo x . O zero tamb em e o elemento neutro das adic oesem , ,e .Exemplo 1.20. O elemento neutro das multiplicac oes em, , , e e o n umero1 (um) porque x1 = x = 1x para todo x nesses conjuntos.Exemplo 1.21. O elemento neutro da multiplicac ao em M22() e a matriz identi-dade_ 1 00 1_ porque_ 1 00 1_ _x yz w_ =_x yz w_ =_x yz w_ _ 1 00 1_para quaisquer x, y, z, w .Exemplo 1.22. Oelementoneutro dacomposic ao defunc oesem

e afunc aoidentidade I

denida por I

(x) = x, porque I

f =f =f I

para todaf

Exemplo 1.23. A divis ao em admite 1 como elemento neutro` a direita porquex: 1=x para todox . No entanto,a divis ao n ao possui elemento neutro` aesquerda porque n ao existe e que seja xo (independente de x) e que e :x=xpara todo x .4Proposic ao 1.1. Se uma opera c ao possuir elemento neutro, ent ao ele e unico.Demonstra c ao. Vamos supor que e1 e e2 sejam dois elementos neutros para . Ent ao,como e1 e elemento neutro temos e1 e2= e2 e, como e2 e elemento neutro temose1 e2=e1. Logo, e1 e2=e2=e1 de onde conclumos que e1=e2, ou seja, oelemento neutro, se existir, e unico. Denic ao 1.5 ( Elementos invertveis ). Consideremos uma operac ao sobre umconjunto A que tenha elemento neutro e. Dizemos que x A e invertvel (ou sime-triz avel) quando existir um elemento x A tal que x x= e= x x. O elementox e chamado o inverso (ou o sim etrico) para a operac ao .Quando a operac ao e uma adic ao, o inverso de x costuma ser denotado por x.Quando a operac ao e uma multiplicac ao, o inverso de x e indicado por x1.Exemplo 1.24. Considerando a adic ao em , temos que 5 e um elemento invertvele seu inverso e o 5 porque (5) + 5 = 0 = 5 + (5).Exemplo 1.25. Considerando a multiplicac ao em , temos que 3 e invertvel e seuinverso e13 porque133 = 1 =133. Note que se a multiplicac ao fosse em , ent ao o3 n ao seria invertvel porque n ao existe x tal que x3 = 1 = 3x.Exemplo 1.26. Considerando a multiplicac ao em M22(), o elemento X=_ 5 41 1_ e invertvel e seu inverso e X1=_1 41 5_ porque_ 5 41 1_ _1 41 5_ =_ 1 00 1_ =_1 41 5_ _ 5 41 1_Agora, com a mesma operac ao, o elemento Y=_ 4 41 1_ n ao e invertvel porque aequac ao_ 4 41 1_ _ a bc d_ =_ 1 00 1_leva ao sistema linear___4a + 4c = 14b + 4d = 0a + c = 0b + d = 1que n ao tem soluc ao.Exemplo 1.27. A func aof (x) =x3 e uma bijec ao de em, logo, possui umainversa que e a func ao deemdenida por g(x) =3x. Comof g = I

= g f ,temos quef e invertvel ef1= g.5Proposic ao 1.2. Se a opera c ao em A tem elemento neutro e, e associativa e umelemento x e invertvel, ent ao o inverso de x e unico.Demonstra c ao. Consideremosx ex elementos inversos dex. Comox x=e,temos que x (x x)=x e, ou seja, (x x.,,.e) x=x o que implica x=x.Logo, o inverso e unico. Proposic ao 1.3. Consideremos uma opera c ao com elemento neutro sobre A. Se x e invertvel, ent ao o inverso x tamb em e invertvel e (x)= x (ou seja, o inverso doinverso de x e igual ao pr oprio x).Demonstra c ao. Como x e o inverso de x, temos x x= e = x x. Isso mostra quex tamb em e invertvel e seu inverso e x. Proposic ao 1.4. Se e uma opera c ao em A que e associativa, tem elemento neutroe, x e y s ao dois elementos invertveis, ent ao x y e invertvel e (x y)= y x.Demonstra c ao. Devemos mostrar que (x y) (y x) = e e que (y x) (x y) = e:Usando duas vezes a propriedade associativa, temos: (x y) (y x.,,.z) = x (y (y x.,,.z)) = x ((y y.,,.e) x) = x (e x) = x x= e.De modo an alogo: (y x) (x y)= y ((x (x y))= y ((x x) y)=y (e y) = y y = e.Logo, y x e o inverso de x y. Denic ao 1.6 (Elementos regulares). Dizemos que um elemento a A e regular` aesquerda com relac ao a uma operac ao sobreA quando para quaisquerx, y Atemos quea x = a y x = y.De modo an alogo, dizemos que a A e regular ` a direita com relac ao a quandopara quaisquer x, y A tivermosx a = y a x = y.Se a for regular ` a esquerda e ` a direita, simultaneamente, ent ao dizemos simples-mente que a e regular.Exemplo 1.28. 2 e regular para a adic ao emporque2 + x = 2 + y x = ypara quaisquer x, y . Esse elemento tamb em e regular com relac ao ` a adic ao emoutros conjuntos num ericos como , ,e .6Exemplo 1.29. Considerandoaoperac aodemultiplicac aoem, temosque2 eregular com relac ao a essa operac ao porque2x = 2y x = yparaquaisquer x, y . Noteque0n ao eregularparaessaoperac aoporque04 = 05, mas 45.Denic ao 1.7 (Propriedade distributiva). Consideremos um conjunto A no qual est aodenidas duas operac oes e .Dizemos que e distributiva ` a esquerda com rela c ao a quandox (yz) = (x y)(x z)para quaisquer x, y, z A.Dizemos que e distributiva ` a direita com rela c ao a quando(yz) x = (y x)(z x)para quaisquer x, y, z A. Quando for distributiva ` a esquerda e ` a direita comrelac ao a , ent ao diremos simplesmente que e distributiva com rela c ao a .Observac ao. Se for uma operac ao comutativa, ent ao a distributividade ` a esquerdae ` a direita, se ocorrerem, ocorrem simultaneamente.Exemplo 1.30. Ema multiplicac ao e distributiva com relac ao ` a adic ao porquex(y + z) = xy + xze, como a multiplicac ao em e comutativa, deduzimos a partir da igualdade anteriorque(y + z)x = yx + zxpara quaisquer x, y, z .Exemplo1.31. SeEforumconjunton aovazioqualquereA = (E), ent aoaintersec ao de conjuntos em A e distributiva com relac ao ` a uni ao porqueX (Y Z) = (X Y) (X Z)e(Y Z) X= (Y X) (Z X)para quaisquer X, Y, Z A.7Exemplo 1.32. Em a divis ao e distributiva ` a direita com relac ao ` a adic ao, porque(x + y)/z = x/z + y/zpara quaisquerx, y, z . No entanto, n ao e distributiva` a esquerda porque, porexemplo,1/(2 + 3)1/2 + 1/3.Denic ao 1.8 (Parte fechada para uma operac ao). Consideremos um conjunto Ano qual est a denida uma operac ao e X um subconjunto n ao vazio de A. Dizemosque X e uma parte fechada de A com relac ao ` a operac ao se, e somente se,x, y X x y Xpara quaisquer x, y X.Exemplo 1.33. Consideremos a operac ao de multiplicac ao sobre os racionais , A oconjunto dos racionais positivos e B o conjunto dos racionais negativos. Como Ae para quaisquer x, y A temosx, y A xy Aconclumos que A e parte fechada decom relac ao ` a multiplicac ao.Como 2 B, 3 B e (2)(3) = 6B, temos que B n ao e parte fechada de com relac ao ` a multiplicac ao.Denic ao 1.9 (T abua de uma operac ao). Seja A= a1, a2, . . . , an um conjunto comn elementos. Uma operac ao sobre A e uma func ao que associa a cada par (ai, aj)oelementoai aj. Umat abuaparaaoperac ao eumatabeladenlinhasporncolunas, cujoelementodai- esimalinhaej- esima coluna e oelementoai aj,conforme mostrado a seguir: a1a2. . . aj. . . ana1...a2.........ai. . . . . . . . . ai aj...anExemplo 1.34. Se A = 1, 0, 1, ent ao a t abua de multiplicac ao sobre A e: 1 0 11 1 0 10 0 0 01 1 0 18Se A = 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ent ao a t abua da operac ao de uni ao sobre A e: 1 1, 2 1, 2, 3 1, 2, 3, 41 1 1, 2 1, 2, 3 1, 2, 3, 41, 2 1, 2 1, 2 1, 2, 3 1, 2, 3, 41, 2, 3 1, 2, 3 1, 2, 3 1, 2, 3 1, 2, 3, 41, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4Exemplo 1.35.Se A= 1, 2, 3, 6, ent ao a t abua da operac ao mmc(x, y), o mnimom ultiplo comum de x e y, e:mmc 1 2 3 61 1 2 3 62 2 2 6 63 3 6 3 66 6 6 6 61.5 Exerccios propostos1)) Mostre que a operac ao usual de subtrac ao, denida sobre o conjunto dos n umerosinteiros, n ao e comutativa, n ao e associativa e n ao tem elemento neutro.2)) Consideremos a operac ao bin aria denida em E= a, b, c, d, e de acordo coma seguinte t abua:* a b c d ea a b c b db b c a e cc c a b b ad b e b e de d b a d ca)Calcule a b, d d e [(c a) e] a a partir da t abua;b)Calcule (a b) c e a (b c) a partir da t abua. A partir desses resultados, epossvel concluir se a operac ao e associativa?c)Calcule (b d) c e b (d c) a partir da t abua. A partir desses resultados, epossvel concluir se a operac ao e associativa?3))Consideremosdoisinteirosdadosaebeaoperac ao sobredenidaporx y= ax + by para quaisquer x, y . Determine condic oes sobre a e b para queessa operac ao tenha a propriedade citada em cada um dos itens:9a)comutativa;b)associativa;c)comutativa e associativa;d)tenha elemento neutro.4)) Verique, em cada caso a seguir, se denida sobre e comutativa, associativaou se tem elemento neutro:a) x y = x + y + x2yb) x y = x + y 3c) x y =3_x3+ y3d) x y = xye) x y = max(x, y)5)) Verique, em cada caso a seguir, se , denida sobre , o conjunto dos n umerosreais positivos, e comutativa, associativa ou se tem elemento neutro:a) x y =xy1+xyb) x y =x+y1+xyc) x y =_x2+ y210Captulo 2Grupos2.1 Introduc aoOs grupos s ao conjuntos especiais que t em grande import ancia na Matem atica.S aoconjuntosqueest aoligadosaumadeterminadaoperac aoequesatisfazemav arias propriedades: associatividade e exist encia do elemento neutro e do elementoinverso. Muitosconjuntoseoperac oesfamiliaress aoconsideradosgrupos. Porexemplo, o conjunto dos n umeros inteiros, o conjunto dos n umeros reais, o con-juntos das matrizes de determinada ordem,juntamente com a operac ao de adic aousual denida em cada um desses conjuntos, podem ser considerados grupos.A denic ao de grupo surgiu no incio do s eculo XIX com o jovem matem aticofranc esEvariste Galois (pronuncia-se como Galu a) estudando determinados ti-pos de equac oes alg ebricas. Ap os contribuic oes de outras areas como Geometriae Aritm etica, estabeleceu-se denitivamente como importante teoria matem atica apartir de 1870. Grupos est ao por tr as de muitas outras estruturas alg ebricas impor-tantes tais como corpos e espacos vetoriais e s ao considerados importante ferramen-tas para o estudo de simetrias em geral. T em v arias aplicac oes ` a Fsica e tamb em ` aQumica.Neste captulo, queremos explorar conte udos relacionados com as seguintes per-guntas:Como identicar se determinado conjunto com uma operac ao e um grupo? H aalguma import ancia na ordem na qual e realizada uma operac ao com dois deseus elementos?O conjunto, sendo um grupo, pode conter subconjuntos que tamb em s ao con-siderados grupos? Caso esses conjuntos sejam todos nitos, h a alguma relac aoentre suas quantidades de elementos?Dados dois grupos,existe alguma relac ao entre eles? Eles se comportam damesma forma, com as mesmas propriedades alg ebricas?Para responder a esses questionamentos, desenvolvemos a seguir as noc oes de gru-pos, subgrupos, homomorsmos, isomorsmos, entre outras.112.2 Denic oesDenic ao 2.1. Suponhamos que G seja um conjunto n ao vazio e uma operac aosobre G. Dizemos que G e um grupo com relac ao ` a operac ao quando forem veri-cadas simultaneamente as seguintes propriedades: for associativa, ou seja, x (y z) = (x y) z para quaisquer x, y, z G; possuir elemento neutro, ou seja, existir e G tal que x e= e x=x paratodo x G;todo elemento de G for invertvel (simetriz avel) com relac ao a , ou seja, paratodo x G, existe x1 G tal que x x1= x1 x = e.Se, al em das tr es propriedades acima, a operac ao for comutativa, ou seja, se x y =y x para quaisquer x, y G, ent ao dizemos que G e um grupo abeliano ou um grupocomutativo com relac ao ` a operac ao .Observac ao. Quando a operac ao puder car subentendida,podemos dizer sim-plesmente que G e um grupo no lugar de (G, ) e um grupo ou no lugar de G e um grupo com a opera c ao .Observac ao.Se G for um grupo com relac ao` a operac ao , ent ao ele deve ser fe-chado com relac ao a essa operac ao, ou seja, para quaisquerx, y G, devemos tertamb em que x y G.Observac ao. Quando a operac ao for uma adi c ao, ent ao diremos que G e um grupoaditivo; quando for uma multiplica c ao, diremos que e um grupo multiplicativo.2.3 ExemplosExemplo 2.1. Consideremos o conjunto dos n umeros inteiroscom a operac ao deadic ao de inteiros. Temos as seguintes propriedades:x + (y + z) = (x + y) + z, x, y, z , ou seja, a operac ao de adic ao de inteiros eassociativa;x +0 = x e 0 + x = x, x , ou seja, o 0 (zero) e o elemento neutro da adic aode inteiros;x + (x)= 0 e (x) + x= 0, x , ou seja, todo elemento x depossui umsim etrico (inverso aditivo) que e o x.Devido` as tr es propriedades anteriores, dizemos que e um grupo com relac ao` aadic ao de inteiros que e o mesmo que armar que (, +) e um grupo.Al em das tr es propriedades anteriores, temos tamb em uma quarta propriedadeque e a seguinte:12x + y = y + x, x, y , ou seja, a adic ao e comutativa.Porcausadessasquatropropriedadesanteriores, dizemosque(, +) eumgrupoabeliano ou um grupo comutativo.Exemplo 2.2. Obtemos resultados an alogos se trocarmos no exemplo anteriorpor, ou . Ou seja, (, +), (, +) e (, +) tamb em s ao grupos abelianos com relac ao` a adic ao denidas nesses conjuntos.Note que o conjunto dos n umeros naturais, , n ao e um grupo com relac ao` aadic ao porque um natural positivo x n ao possui sim etrico x que tamb em pertenca aesse conjunto.Exemplo 2.3. Consideremos o conjunto dos racionais n ao nulos, , com a operac aode multiplicac ao. As seguintes propriedades s ao vericadas:(xy)z = x(yz), x, y, z ;x1 = x1, x ;xx1= x1 x = 1, x , onde x1=1x.Devidoaessaspropriedades, podemosarmarque(, ) eumgrupo. Comoaseguinte propriedadexy = yx, x, y tamb em e v alida, temos que (, ) e um grupo abeliano.Note que e preciso que o 0 (zero) seja retirado do conjunto para poder ser v alidaa segunda propriedade anterior porque o 0 n ao tem inverso multiplicativo. Assim,(, ) n ao e um grupo multiplicativo.Exemplo 2.4. De modo semelhante ao exemplo anterior, temos que (, ) e (, )tamb em s ao grupos abelianos multiplicativos.Note que (, ) n ao e um grupo multiplicativo porque os unicos elementos in-vertveis de s ao 1 e 1.Exemplo 2.5.Vamos denotar porMmn() o conjunto de todas as matrizes de or-dem m n com elementos inteiros. Consideremos a operac ao de adic ao de matrizesdenida por:__a11. . . a1n.........am1. . . amn__+__b11. . . b1n.........bm1. . . bmn__ =__a11 + b11. . . a1n + b1n.........am1 + bm1. . . amn + bmn__A operac ao de adic ao assim denida e associativa (ou seja,(A+B) +C= A+(B+C)para quaisquer A, B, C Mmn()), possui elemento neutro que e a matriz nulaO =__0 . . . 0.........0 . . . 0__13e toda matrizX=__a11. . . a1n.........am1. . . amn__possui um inverso aditivoX=__a11. . . a1n.........am1. . . amn__que e tal que X + (X) = (X) + X= O. Portanto, (Mmn(), +) e um grupo aditivo.A adic ao de matrizes de Mmn() e comutativa, ou seja X, Y Mmn(), X+Y=Y+ X temos que o grupo (Mmn(), +) e abeliano.De modo an alogo temos que (Mmn(), +), (Mmn(), +) e (Mmn(), +) tamb ems ao grupos abelianos.Exemplo 2.6. Seja GLn() o conjunto de todas as matrizes quadradas n n de ele-mentos reais cujos determinantes s ao diferentes de 0, ou seja,GLn() = X Mnn() det(X)0.Consideremos a multiplicac ao de matrizes denida por:__a11. . . a1n.........am1. . . amn__

__b11. . . b1n.........bm1. . . bmn__ =__c11. . . c1n.........cm1. . . cmn__onde ci j= ai1b1j+ai2b2j+ +ainbnj=_nk=1 aikbk j para quaisquer i, j 1, 2, . . . , n.Aoperac ao de multiplicac ao assimdenida e associativa (ou seja,(AB)C= A(BC)para quaisquer A, B, C Mmn()), possui elemento neutro que e a matriz identidadeI=__1 0 . . . 00 1 . . . 0............0 0 . . . 1__etodamatrizX GLn()possui uminversomultiplicativoX1que etal queXX1= X1 X= I. Portanto, (GLn(), ) e um grupo multiplicativo.GLn() e denominado grupo linear real de grau n e n ao e um grupo abeliano sen 2. Por exemplo, consideremos emGL2() os seguintes elementos: X=_ 1 20 1_e Y=_ 0 13 4_. Temos que XY=_ 6 93 4_ e YX=_ 0 13 10_; logo, XYYX.De modo an alogo, podem ser denidos o grupo linear racional de grau n GLn()e o grupo linear complexo de grau n GLn() ambos s ao grupos multiplicativos n aoabelianos.14Denic ao: Se (G, ) for um grupo em que G e um conjunto nito com n elementos,ent ao a ordem de G e denida como sendo o n umero de elementos distintos de G e edenotada por G ou por o(G). Se o conjunto G for innito, ent ao dizemos que, nestecaso, a ordem de G e innita.Exemplo 2.7. ConsideremosA= 1, 1eaoperac aodemultiplicac aodenidanesse conjunto. A t abua de (A, ) e a t abua da sua multiplicac ao: 1 11 1 11 1 1Neste caso, (A, ) e um grupo abeliano de ordem 2, ou seja, A = 2.Exemplo 2.8.Se Vfor um espaco vetorial, ent ao (V, +) e um grupo. Assim, todoexemplo de espaco vetorial tamb em e um exemplo de grupo aditivo.2.4 Grupos de classes de restosExemplo 2.9. Sendo n> 1 um inteiro, consideremosn= 0, 1, . . . , n 1 o con-junto das classes de restos m odulo n em que a = x x a e m ultiplo de n = a + kn k .Denimos emn a seguinte operac ao de adic ao: x, y n, x + y=x + y. Essaoperac ao assim denida possui as seguintes propriedades:( x + y) + z = x + y + z = (x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z = x + ( y + z) paraquaisquer x, y, z n; logo, a adic ao em n e associativa. x + 0= x + 0= x e 0 + x= 0 + x= x, para todo x n; logo, a adic ao possuielemento neutro 0. x + n x=x + (n x)= n=0 e n x + x= (n x) + x= n=0 para todo x n; logo, todo elemento x n possui inverso aditivo n x. x+ y =x + y =y + x = y+ xpara quaisquer x, y n; logo, a adic ao ecomutativa.Dessaforma, conclumosquen eumgrupoabelianoaditivodeordemnque edenominado grupo aditivo das classes de restos m odulo n.Por exemplo, quando n = 5 temos 5= 0, 1, 2, 3, 4 onde0 = 5k k = . . . , 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, . . . 1 = 1 + 5k k = . . . , 14, 9, 4, 1, 6, 11, 16, . . . 152 = 2 + 5k k = . . . , 13, 8, 3, 2, 7, 12, 17, . . . 3 = 3 + 5k k = . . . , 12, 7, 2, 3, 8, 13, 18, . . . 4 = 4 + 5k k = . . . , 11, 6, 1, 4, 9, 14, 19, . . . Observe que, neste caso,5 = 5 + 5k k = 5 (k + 1).,,.j k = 5j j = 0e tamb em que 6 = 1, 7 = 2, 8 = 3, etc.A t abua de operac ao do grupo aditivo (5, +) e:+01234001234112340223401334012440123Exemplo 2.10. Sejap um n umero primo ep= 1, 2, . . . , p 1. Consideremosnesse conjunto a seguinte multiplicac ao denida por x y=xy, x, y p. Essaoperac ao possui as seguintes propriedades:( x y) z= xy z= (xy)z= x(yz)= xyz= x( y z) para quaisquer x, y, z p; logo, a multiplicac ao em p e associativa. x 1=x1= x e1 x=1x= x, para todo x p; logo, a multiplicac aopossui elemento neutro 1. x y=xy=yx= y x para quaisquer x, y p; logo, a multiplicac ao ecomutativa.Para todo x p, como p e primo, mdc(x, p) = 1 e da existeminteiros a e b taisque a x+b p = 1 o que implica em ax + bp = ax+bp = a x+b p.,,.=0= 1.Como, em p, p=0, temos que a x=1= x a; logo, todo elemento x ppossui inverso multiplicativo.Dessa forma,ca mostrado quep e um grupo multiplicativo abeliano de ordemp 1, se p for primo.Por exemplo, se p = 7, a t abua de operac ao do grupo multiplicativo (7, ) e:16

123456112345622461353362514441526355316426654321Observac ao: Se n n ao for primo, ent ao n n ao e um grupo com relac ao ` a multipli-cac ao porque n pode ser fatorado na forma n=rs e, da, rs= r s= n=0 eassim ca mostrado que existem elementos r, s n tais que r s n, ou seja, nn ao e fechado com relac ao a essa operac ao.2.5 Grupos de permutac oesExemplo 2.11. Consideremos E um conjunto n ao vazio e SE o conjunto de todas asfunc oes bijetorasf : E E. Em SE pode ser denida uma operac ao que associaa cada ( f , g) E E a func ao compostaf g. Essa operac ao possui as seguintespropriedades: f , g, h SE, ( f g) h =f (g h), ou seja, a operac ao e associativa;A func ao identidade I: E E, I(x)=x, e o elemento neutro da operac ao porque I f =f I=fpara todaf SE;Toda func aofSE e bijetora e possui uma func ao inversaf1SEtal quef f1=f1 f = I.Logo, SE e um grupo com relac ao` a operac ao de composic ao de func oes que econhecido pelo nome grupo de permuta c oes sobre E.Observac ao: Quando o conjunto E possuir pelo menos tr es elementos, ent ao po-demos vericar que SE n ao e abeliano. Para isso, sejam a1, a2, a3 E, dois a doisdistintos, e denamos as seguintes bijec oes: f (a1) = a2, f (a2) = a3, f (a3) = a1 ef (x) = x se x E a1, a2, a3g(a1) = a1, g(a2) = a3, g(a3) = a2 e g(x) = x se x E a1, a2, a3Neste caso, temos que f (g(a1)) = f (a1) =a2eg( f (a1)) =g(a2) =a3de ondeconclumos quef gg f .17Exemplo 2.12. Se n for um inteiro maior do que 1 eE= 1, 2, . . . , n,ent ao SEpassa a ser denotado por Sn e e denominado grupo de permuta c oes de grau n. Umelementof Sn tal quef (i) = ai com i E costuma ser denotado porf =_1 2 3na1a2a3 an_Com esse tipo de notac ao, a ordem das colunas n ao e importante, ou seja,_1 2na1a2 an_ =_2 1na2a1 an_ =_n 21ana2 a1_, etc.Sef =_1 2na1a2 an_ e g=_1 2nb1b2 bn_ ent ao a compostaf g podesercalculadodaseguinteforma: paracadar 1, 2, , n, se f : brabr,g : r br, ent aof g : r abr, ou seja,f g =_1br na1 abr an__1rnb1 br bn_ =_r abr

_e, para calcular o inverso de um elemento, e s o inverter as linhas:f1=_ a1a2a3 an1 2 3n_Por exemplo, em S5, sef =_ 1 2 3 4 53 2 4 5 1_ e g =_ 1 2 3 4 54 5 1 3 2_, ent ao: f g =_ 1 2 3 4 55 1 3 4 2_g f =_ 1 2 3 4 51 5 3 2 4_ f1=_ 3 2 4 5 11 2 3 4 5_ =_ 1 2 3 4 55 2 1 3 4_g1=_ 4 5 1 3 21 2 3 4 5_ =_ 1 2 3 4 53 5 4 1 2_Observac ao. Um elemento gen erico de Sn ef =_1 2 3na1a2a3 an_onde a1, a2, , an 1, 2, , n. O a1 pode ser escolhido de n maneiras. Comon ao pode haver repetic ao dos ai(porque f e uma func ao bijetora), o a2pode serescolhido de n1 maneiras, o a3 de n2 maneiras, etc. Desse modo, pelo PrincpioFundamental da Contagem existem n(n 1)(n 2)21= n! possibilidades paraf . Logo, a ordem de Sn e igual a n!.18Exemplo 2.13. Sendo S3= e, 1, 2, 3, 4, 5, onde e =_ 1 2 31 2 3_,1=_ 1 2 31 3 2_, 2=_ 1 2 32 1 3_, 3=_ 1 2 32 3 1_, 4=_ 1 2 33 1 2_ e5=_ 1 2 33 2 1_.A t abua de S3 e: e 12345e e 1234511e 4523223e 15433254e 14451e 32554321eNote que a ordem de S3 e igual a 3! = 6.2.6 PropriedadesAs seguintes propriedades s ao consequ encias diretas das denic oes de um grupo(G, ). Algumas j a foram demonstradas no captulo anterior.O elemento neutro e de G e unico;Para todo x G, existe um unico inverso x1 G;Para todo x G, (x1)1= x;Se x, y G, ent ao (xy)1= y1 x1;E v alida a lei do corte: para quaisquer a, b, x G temos quea x = b x a = bx a = x b a = bSea, b G, aequac aoa x =bpossuiuma unicasoluc aox Gque ex = a1 b.2.7 SubgruposDenic ao 2.2. Seja (G, ) um grupo. Um subconjunto n ao vazio H G que sejafechado com relac ao ` a operac ao e denominado um subgrupo de G quando (H, )tamb em for um grupo.19Exemplo 2.14. Sejam G= (, +) e H= (, +); com a operac ao de adic ao, amboss ao grupos. Como H e fechado comrelac ao ` a adic ao (porque a soma de dois n umerosinteiros sempre d a como resultado um n umero inteiro), podemos dizer, neste caso,que H e um subgrupo de G, ou seja, que e um subgrupo de com relac ao ` a adic aousual.Exemplo 2.15. Todo grupo G admite pelo menos dois subgrupos: H1= G e H2= e,onde e e o elemento neutro de G. Esses s ao denominados subgrupos triviais de G.Proposic ao 2.1. Sendo (G, ) um grupo,um subconjunto n ao vazioH G e umsubgrupo de G se, e somente se, x y1 H, x, y H.Demonstra c ao. () Suponhamos G e H grupos com relac ao ` a operac ao e sejameGe eHos elementos neutros de GeHrespectivamente. Como eH e o elementoneutro de H, temos eH eH=eH e, como eG e o elemento neutro de G temos queeH eG=eH. Portanto, eH=eH eH=eH eG e da, pela lei do corte temoseH= eG, ou seja, os elementos neutros de G e de H coincidem.Seja y He sejam y1He y1Gos inversos de y em G e em H, respectivamente.Ent ao, y y1H= eH e y y1G= eG. Como eH= eG, temos y y1G= y y1He, da,y1G= y1H , ou seja, os inversos de y em G e em H coincidem.Assim, se x, y H, ent ao y1H= y1 H e da x y1 H.() Suponhamos agora que x, y H x y1H. Como H n ao e vazio,existe algum h H. Por hip otese, tomando x = h e y = h, temos que h h1 H, ouseja, e H. Da, H possui elemento neutro.Usando a hip otese, comx =e, temos que, para todo y H,e y1H, ouseja, y1 H. Usando novamente a hip otese, x, y1 H x (y1)1 H, isto e,x y H.Para quaisquer x, y, z H, temos x, y, z Ge, como G e umgrupo,x (y z) =(x y) z. Logo, aoperac ao emH eassociativae, juntamentecom as propriedades observadas anteriormente, ca mostrado que H e um grupo e,portanto, e um subgrupo de G. Exemplo 2.16. Sejam G= (, ) o grupo multiplicativo dos racionais n ao nulos eH G o conjunto de todas as pot encias de expoente inteiro de 3:H= 3t t = ,127, 19, 13, 1, 3, 9, 27, 81,Sejam x e y dois elementos gen ericos de H. Ent ao, x e y s ao pot encias de 3, ou seja,x= 3me y= 3ncom m, n . Da, xy1= (3m)(3n)1= 3m 3n= 3mn. Comom n , temos 3mn H, de onde conclumos que H e subgrupo de G.Exemplo 2.17. Seja G= (, +) o grupo aditivo dos inteiros e H= G o conjuntode todos os inteiros pares. Dados x, y , ent ao x=2m e y=2n com m, n .20Da, x + (y).,,.xy1= 2m 2n= 2 (m n).,,..Conclumos assim que e um subgrupode G.2.8 Homomorsmos de gruposDenic ao 2.3. Dados dois grupos (G, ) e (J, .) uma func aof : G J e denomi-nada um homomorsmo de G em J quandof (x y) =f (x).f (y)para quaisquer x, y G.Exemplo 2.18. Sejam G=(, +) eJ =(, ). A func ao exponencial de base 2denida por f : G J, f (x) =2x, e um homomorsmo de G em J porque paraquaisquer x, y G temosf (x + y).,,.f (xy)= 2x+y= 2x 2y=f (x)f (y).,,.f (x).f (y).Exemplo 2.19. Sejam G=2= com a operac ao de adic ao (a, b) + (c, d)=(a + c, b + d) eJ =(, +). Consideremos T:G J, T(x, y) =5x 4y. Paraquaisquer X= (x1, y1) e Y= (x2, y2) pertencentes a G temos queT(X + Y) = T((x1, y1) + (x2, y2)) = T(x1 + x2, y1 + y2) = 5(x1 + x2) 4(y1 + y2) =(5x1 4y1) + (5x2 4y2) = T(x1, y1) + T(x2, y2) = T(X) + T(Y)Portanto, conclumos que T e um homomorsmo de G em J.Proposic ao 2.2. Sejam (G, ) e (J, .) grupos, eG o elemento neutro de G, eJ o ele-mento neutro de J ef : G J um homomorsmo de G em J.Temos as seguintespropriedades:a) f (eG) = eJb) x G, f (x1) = [ f (x)]1c)Se H e subgrupo de G, ent aof (H) e subgrupo de JDemonstra c ao. a) f (eG).f (eG)=f (eG eG)=f (eG)=f (eG).eJ. Usando a leido corte emf (eG).f (eG) =f (eG).eJ, obtemosf (eG) = eJ.b)Para todo x G temos quef (x).f (x1)=f (x x1)=f (eG)= eJ e tamb emquef (x1).f (x)=f (x1 x)=f (eG)= eJ.Logo, o inverso def (x) ef (x1),ou seja, [ f (x)]1=f (x1).21c)Como eG H ef (eG) =eJtemos quef (H) n ao e vazio porque cont em pelomenos o elemento eJ. Sejamx, y f (H); ent ao, x = f (a) e y = f (b) coma, b H. Da, x.y1=f (a).[ f (b)]1=f (a).f (b1) =f (a b1). Comoa, b H, temos a b1 H e assimf (a b1) f (H) de onde conclumos quex.y1f (H). Fica mostrado dessa forma quef (H) e subgrupo de J.

Observac ao. A partir do item (c) da proposic ao anterior, usando H= G, conclumosque sef : G J e um homomorsmo de grupos, ent ao a imagem Im( f )=f (G) eum subgrupo de JProposic ao 2.3. Consideremos(G, ), (J, .)e(L, ,)grupos. Se f : G Jeg: J L s ao homomorsmos de grupos, ent ao a composta g f : G Ltamb em e um homomorsmo de grupos.Demonstra c ao. Sejam x, y G. Ent ao,(g f )(x y) = g( f (x y)) = g( f (x).f (y)) = g( f (x)) , g( f (y))= (g f )(x) , (g f )(y)de onde conclumos que g f e um homomorsmo de G em L. 2.9 N ucleo de um homomorsmoDenic ao 2.4. Sejam (G, ) e (J, .) grupos, eJ o elemento neutro de J ef : G Jum homomorsmo. O n ucleo de f, denotado por N( f ) ou ker( f ), e denido comosendo o conjunto de todos os elementos de G cuja imagem pela func aof e igual aoelemento neutro de J.N( f ) = x G f (x) = eJExemplo 2.20. Sejam G= (, +), J= (, ) ef : G J tal quef (x)= 2x. Oelemento neutro de J e igual a 1, e da, para determinarmos o n ucleo de f , precisamosresolver a equac aof (x)= 1, ou seja, 2x= 1= 20. A unica soluc ao dessa equac ao ex = 0. Portanto, N( f ) = 0Exemplo 2.21. SejamG= (2, +), J= (, +) e f : G J tal que f (x, y) = 5x4y.Como o elemento neutro de J e 0, se um elemento (x, y) pertencer ao n ucleo def ,devemos terf (x, y)= 0, ou seja, 5x 4y= 0 o que implica y=54x. Logo, o n ucleodef e:N( f ) = (x, y) 2 y =54x = (x, 54x) x .Observac ao. Muitas vezes, por quest ao de simplicidade de notac ao, vamos denotara operac ao do grupo em estudo por um ponto . Assim, usaremos com bastantefrequ encia um pontono lugar de outros smbolos como , ., ,, , , etc.22Proposic ao 2.4. Sejaf : G Jum homomorsmo de grupos e eGo elementoneutro de G.a)O n ucleo def , N( f ), e um subgrupo de G;b)A fun c aof e injetora se, e somente se, N( f ) = eG.Demonstra c ao. a)Pelo que vimos anteriormente, f (eG) =u onde eGe u s ao oselementos neutros de G e J, respectivamente. Logo, eG N( f ) o que implicaem N( f ).Sejam x, y N( f ). Da, temos que f (x) = u e f (y) = u e aplicando-se f a x y1,obtemosf (xy1)=f (x)f (y1)=f (x)f (y)1= uu1= u. Conclumosassim que xy1 N( f ) e, consequentemente, que N( f ) e um subgrupo de G.b)() Suponhamos quefseja injetora. Seja x um elemento qualquer do domniodef tal quef (x) =u. Comof (eG) =u, temos f (x) =f (eG), e, comof einjetora, temos x = eG. Logo, N( f ) = eG.() Suponhamos agora N( f ) = e e quef (x) =f (y) onde x e y s ao elementosgen ericos do domnio def . Ent ao, f (x)[ f (y)]1=f (x)[ f (x)]1= u o queimplicaf (x)f (y1) =f (xy1) =u. Logo, xy1N( f ) = e, ou seja,xy1= e (xy1)y = ey x = y e da, temos quef e injetora.

Exemplo 2.22. Pelo que mostramos nos exemplos 2.20 e 2.21 anteriores, usando aproposic ao 2.9, temos quef :, f (x)= 2x e injetora (porque N( f )= 0).Por outro lado, f : 2, f (x, y) = 5x 4y n ao e injetora porque o N( f ) cont emoutros elementos al em do elemento neutro (0, 0) de 2.2.10 Isomorsmos de gruposDenic ao 2.5. Sejam G e J grupos. Um isomorsmof : G J e um homomor-smo de grupos que e tamb em uma func ao bijetora.Denic ao 2.6. Quando existir um isomorsmo de gruposf : G J, diremos queG e isomorfo a J e denotamos por G = J.Denic ao 2.7. Quando G coincidir com J, um isomorsmof : G G tamb em echamado de automorsmo de G.Exemplo 2.23. SejamG= (+, ) o grupo multiplicativo dos n umeros reais positivose J= (, +) o grupo aditivo dos n umeros reais. A func aof : G J, f (x) = log(x) e um isomorsmo de grupos porque: f e bijetora;23 f e um homomorsmo: f (xy) = log(xy) = log(x) + log(y) =f (x) + f (y).Portanto (+, ) = (, +).Observac ao.Quando dois grupos G e J s ao isomorfos, ent ao eles t em as mesmaspropriedades. Por exemplo,se um deles for abeliano,ent ao o outro tamb em ser aabeliano; se um deles for nito e de ordem n, ent ao o outro tamb em ser a nito e deordem n, etc. As t abuas das operac oes de grupos isomorfos s ao muito parecidas umacom a outra.Proposic ao 2.5. Se f : G J for umisomorsmo de grupos, ent aof1: J G tamb em e um isomorsmo.Demonstra c ao. A inversa de uma func ao bijetora f tamb em e bijetora. Dessa forma,resta mostrar aqui apenas que a inversa de um homomorsmo tamb em e um homo-morsmo. Sejam y, z J dois elementos quaisquer do domnio def1e a, b Gtaisquey = f (a), z = f (b). Da, temosquea = f1(y), b = f1(z). Comof (ab) =f (a) f (b) = yz, temos que ab =f1(yz), ou seja, f1(y) f1(z) =f1(yz).Isso mostra quef1 e um homomorsmo de grupos e, consequentemente, e um iso-morsmo. Observac ao. Pelo que foi mostrado na proposic ao anterior, temos que seG = J, ent ao J = G.Proposic ao 2.6. Se f : G J e g : J L s ao isomorsmos, ent ao g f : G Ltamb em e um isomorsmo.A demonstrac ao e imediata: basta usar a proposic ao 2.3 e o fato de que a com-posic ao de duas func oes bijetoras resulta em uma func ao bijetora.Observac ao. Aproposic ao anterior signica que G = J e J = L implicamemG = L.2.11 Pot encias e m ultiplosDenic ao 2.8. Consideremos um grupo multiplicativo G com elemento neutro e, xum elemento de G e m um inteiro qualquer. A m- esima pot encia de x e denida por:xm=___e se m = 0xm1 x se m 1(x1)mse m < 0Exemplo 2.24. No grupo (7, ), escolhendo-se x = 2, temos:x0= 1;x1= x11 x = x0 x = 1 2 = 2;24x2= x1 x = x1 x = xx = 22 = 4;x3= x31 x = x2 x = 4 2 = 8 = 1;x4= x41 x = x3 x = 1 2 = 2;x1= 21= 4;x2= (x1)2= 42= 2;x3= (x1)3= 43= 42

4 = 2 4 = 1.Exemplo 2.25. Sendo Go grupo multiplicativo GL2() e escolhendo o elementox =_5 41 1_ G, temos os seguintes exemplos de pot encias de x:x0=_ 1 00 1_x1= x11 x = x0 x =_ 1 00 1_

_5 41 1_ =_5 41 1_x2= x21 x = x1 x = xx =_5 41 1_

_5 41 1_ =_21 164 3_x3= x31 x = x2 x =_21 164 3_

_5 41 1_ =_109 6817 13_x1= matriz inversa de x =_1 41 5_x2= (x1)(2)= (x1)2= x1 x1=_1 41 5_

_1 41 5_ =_ 3 164 21_S ao consequ encias imediatas da denic ao as seguintes propriedades de pot enciasde elemento em um grupo G :1) x G, m, n , xm xn= xm+n2) x G, m, n , (xm)n= xmn3) x G, m , xm= (xm)1= (x1)mA denic ao de pot encia de um elemento e usada em grupos multiplicativos. Se ogrupo for aditivo, ent ao no lugar de pot encias, usamos o conceito de m ultiplo de umelemento cuja denic ao est a dada a seguir.25Denic ao 2.9. Consideremos um grupo aditivo G com elemento neutro e, x um ele-mento de G e m um inteiro qualquer. O m- esimo m ultiplo de x e denido por:mx=___e se m = 0(m 1)x + x se m 1(m)(x) se m < 0Exemplo 2.26. No grupo aditivo 5, tomando-se x = 2 temos que:0 2 = 0;1 2 = (1 1) 2 + 2 = 0 + 2 = 2;2 2 = (2 1) 2 + 2 = 1 2 + 2 = 2 + 2 = 4;3 2 = (3 1) 2 + 2 = 2 2 + 2 = 4 + 2 = 1;4 2 = (4 1) 2 + 2 = 3 2 + 2 = 1 + 2 = 3;5 2 = (5 1) 2 + 2 = 4 2 + 2 = 3 + 2 = 0.2.12 Grupos cclicosDenic ao 2.10. Um grupo multiplicativo G e denominado cclico quando existir umelemento x G tal que todo elemento de G seja igual a alguma pot encia de x, ouseja, G= xk k ; neste caso, o elemento x e denominado um gerador de G.Notac ao: G= [x] ou G= (x).Exemplo 2.27. Seja G=_. . . , 14, 12, 1, 2, 4, 8, . . ._o grupo multiplicativo das pot enciasde 2. Neste caso, G e um grupo cclico cujo gerador e o 2, ou seja, G= [2]. Noteque neste caso temos que12 tamb em e gerador de G, ou seja, G= [12].Exemplo 2.28. O grupo multiplicativo dos n umeros reais positivos G= (+, ) n ao ecclico porque n ao e possvel encontramos um n umero real positivo cujas pot enciasdeem origem a todo o G.Observac ao. Se G for um grupo aditivo, ent ao usamos o conceito de m ultiplo nolugar de pot encia de um elemento do grupo. Neste caso, G e cclico quando existirx G tal que G= kx k =[x]. Por exemplo, o grupo (, +) e cclico e = [1].Proposic ao 2.7. Todo grupo cclico e abeliano.Demonstra c ao. Seja G um grupo multiplicativo cclico. Ent ao, existe a G tal quetodo elemento de G e igual a uma pot encia de a. Sejam x, y G. Existem m, n tais que x= ame y= ane da:xy= am an= am+n= an+m= an am= yx. Logo,G e abeliano. 26Denic ao 2.11.Dado um elementox de um grupo multiplicativo G, se existir ummenor n umero inteiro positivo n tal quexn= e =elemento neutro de Gent ao n e denominado a ordem (ou o perodo) do elemento x. Se n ao existir tal menorinteiro positivo tal que xn= e, ent ao dizemos que x tem ordem zero. A ordem de umelemento x e denotada por o(x).Exemplo 2.29. No exemplo 2.24 vimos que21=2,22=4,23=1= elementoneutro de G=7. Portanto, o(2) =3. Note que, neste caso, as pot encias de2 serepetem de 3 em 3 (24= 21, 25= 22, 26= 23, etc.)Exemplo 2.30. No grupo multiplicativo das pot encias de 2 no exemplo 2.27, observeque 21= 2, 22= 4, 23= 8, 24= 16, . . . e as pot encias n ao se repetem. N ao existeum menor inteiro positivo n tal que 2n= 1; logo, neste caso, temos o(2) = 0.Proposic ao 2.8. Sejax um elemento de um grupo multiplicativo Gcuja ordem en > 0. Ent ao [a] = e, a, a2, , an1 e um grupo cclico de ordem n.Demonstra c ao. Suponhamos que no conjunto e, a, a2, , an1 haja repetic ao deelementos, ou seja, suponhamos ai= ajcom 0 i 1 um inteiro, o conjunto Mnn() das matrizes quadradasn n com elementos em e um anel com relac ao` a adic ao e` a multiplicac ao dematrizesdenidasdeformausual. Tamb ems aoan eisosseguintesconjuntosdematrizes: (Mnn(), +, ), (Mnn(), +, ), (Mnn(), +, ) e (Mnn(m), +, ).Exemplo 3.5. Dados dois an eis A e B, o produto cartesiano AB tamb em e um anelse forem denidas nele as seguintes operac oes:Adic ao em A B: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)Multiplicac ao em A B: (x1, y1)(x2, y2) = (x1x2, y1y2)43O anel assim construdo e denominado produto direto deA porB. Por exemplo,quandoA=B=, ent aooprodutodireto eoanel. Ozerode eoO=(0, 0), oinversoaditivodeumelemento(a, b) eoelemento(a, b). Considerando agora os elementos particulares X= (1, 2) e Y= (4, 5) de , temos os seguintes exemplos de operac oes com esses elementos: X+ Y=(1 + 4, 2 + 5) = (3, 7) e XY= (14, 25) = (4, 10).Exemplo 3.6. Consideremos o conjunto de todas as func oes de em, denotadopor

:A =

= f f :no qual a soma f +g e o produto f g de duas func oes f , g A quaisquer s ao denidosda seguinte forma: f + g :, ( f + g)(x) =f (x) + g(x) fg :, ( fg)(x) =f (x)g(x)A adic ao e a multiplicac ao de func oes assim denidas satisfazem ` as seguintes pro-priedades:1)[( f +g) +h](x) = ( f +g)(x) +h(x) = [ f (x) +g(x)] +h(x) =f (x) +[g(x) +h(x)] =f (x) + (g + h)(x) = [ f + (g + h)](x), f , g, h A2)( f + g)(x) =f (x) + g(x) = g(x) + f (x) = (g + f )(x), f , g A3)Sendo O a func ao nula O:, O(x) =0, temos: ( f + O)(x) =f (x) +O(x) =f (x) + 0 =f (x), f A4)DadafA, a func ao (f ) A denida por (f )(x) = f (x) e tal que [ f +(f )](x) =f (x) + (f )(x) =f (x) f (x) = 0 = O(x)5)[( fg)h](x) =( fg)(x)h(x) =[ f (x)g(x)]h(x) =f (x)[g(x)h(x)] =f (x)(gh)(x) = [ f(gh)](x), f , g, h A6)[ f(g+h)](x) =f (x)(g+h)(x) =f (x)[g(x) +h(x)] =f (x)g(x) + f (x)h(x) =( fg)(x)+ ( fh)(x) =( fg+fh)(x), f , g, h A. De modo an alogo:( f + g)h =fh + gh.Conclumos assim que (A, +, ) e um anel de func oes de em com as operac oesde adic ao e multiplicac ao de func oes. Por motivos semelhantes, temos que (

, +, ), (

, +, ) e (, +, ) tamb em s ao an eis de func oes.Denic ao 3.2. Em um anel A, a diferen ca entre dois elementos x e y de A e denotadapor x y e e denida por x y = x + (y).Denic ao 3.3. Se n for um inteiro positivo, a n- esima pot encia de um elemento x deum anel A pode ser denida do seguinte modo: x1= x e xn= xn1 x se n > 1.44Observac ao. Denimos apenaspot enciade expoente inteiropositivo porque, emgeral, em um anel qualquer A pode n ao fazer sentido calcularx0, e nemx1. Porexemplo se A for o anel 2 dos inteiros m ultiplos de 2, ent ao n ao se calculam nesseanel 20, e nem 21.3.3 PropriedadesSeja (A, +, ) um anel com relac ao a uma adic ao + e uma multiplicac ao.Com relac ao ` a adic ao, (A, +) e um grupo abeliano. Logo:O zero 0 e unico;Para cada x A, existe um unico (x) A tal que x + (x) = 0; (x + y) = (x) + (y), x, y A; (x) = x, x A;x + a = x + b a = b, a, b, x Ax0 = 0x = 0, x ADemonstra c ao: x0 = x(0 + 0) = x0 + x0 x0 + (x0).,,.=0= (x0 + x 0) + (x0) 0= x0 + (x0 + (x0).,,.=0)= x0 + 0= x0. Logo, x0= 0.Analogamente, 0x = 0.(x)y = x(y) = (xy), x, y ADemonstra c ao: (x)y + xy= [(x) + x]y= 0y= 0, da, (x)y e oinverso aditivo de xy, ou seja, (x)y = (xy). De modo an alogo se mostraque x(y) = (xy).(x)(y) = xy, x, y ADemonstra c ao: usandoapropriedadeanterior, temosque(x)(y) =x ((y)) = xy.x(y z) = xy xz, x, y, z ADemonstra c ao: x(yz) = x(y+(z)) = xy+x(z) = xy+[(xz)] = xyxz.3.4 Suban eisDenic ao 3.4.Seja (A, +, ) um anel e S um subconjunto de A. Dizemos queS e um subanel de A quando (S, +, ) tamb em for um anel com as operac oes de Arestritas ao conjunto S .45Observac ao. Se Sfor um subanel de A, ent ao S e fechado para as operac oes de A,ou seja, x + y Se xy Spara quaisquer x, y S .Exemplo 3.7. Oconjunto dos m ultiplos de 2, 2, e umsubanel de comas operac oesde adic ao e multiplicac ao de inteiros usuais. Em geral, (n, +, ) e um subanel de(, +, ) para qualquer inteiro positivo n.Exemplo 3.8. Oconjunto das matrizes quadradas nn de elementos inteiros Mnn() eumsubanel doconjuntodasmatrizesquadradasn ndeelementosracionaisMnn() com as operac oes de adic ao e multiplicac ao de matrizes usuais. Temostamb em que Mnn(), +, ) e um subanel de Mnn(), +, ) e que Mnn(), +, ) e su-banel de Mnn(), +, ).A proposic ao a seguir fornece um crit erio bastante util para se determinar se umconjunto e subanel de um anel.Proposic ao 3.1. Sejam (A, +, ) e S um subconjunto de A. Ent ao, S e um subanelde A se, e somente se, Sfor fechado com rela c ao ` a subtra c ao e ` a multiplica c ao deA, ou seja, se, e somente se, x y Se xy Spara quaisquer x, y S .Demonstra c ao. () Suponhamos Ssubanel de A. Como (S, +) e um grupo, temosx y Spara quaisquerx, y S , ou seja, S e fechado com relac ao` a subtrac ao.Como S e subanel de A, ele e fechado com relac ao ` a multiplicac ao. Isso demonstraa primeira parte da proposic ao.() Suponhamos agora que Sseja fechado com relac ao ` a subtrac ao e ` a multipli-cac ao.Sendo Sfechado com relac ao ` a subtrac ao, (S, +) e um subgrupo de (A, +) (vejaProposic ao 2.1). Como (A, +) e abeliano, (S, +) tamb em e abeliano.Como x(yz)= (xy)z e v alida para quaisquer x, y, z A, temos que, emparticular, tamb em e v alida para quaisquer x, y, z S .Como x(y +z) = xy + xz e (x +y)z = xz +yz s ao v alidas para quaisquerx, y, z A, temos que, em particular, tamb em s ao v alidas para quaisquer x, y, z S .Logo, S e subanel de A, o que demonstra a segunda parte da proposic ao. Observac ao. Se tiv essemos trocado a subtrac ao da proposic ao anterior pela adic ao,obteramos uma propriedade que, em geral, n ao seria verdadeira. Por exemplo, con-siderando os n umeros naturais com as operac oes de adic ao e multiplicac ao deinteiros, temos que ele e fechado com relac ao a essas operac oes, mas n ao e um su-banel de (, +, ).46Exemplo 3.9. Consideremos no anel A = (M22()), +, ) o conjuntoS =__x 0y 0_ x, y _.E claro que S porque, por exemplo,_ 1 02 0_ S .Al em disso,dados dois elementos quaisquer de S , M=_x 0y 0_ eN=_ z 0t 0_,temos que MN=_x z 0y t 0_ Se M N=_xz 0yz 0_ S . Usando a Proposic ao3.1, conclumos que S e um subanel de A.3.5 An eis comutativosDenic ao 3.5. Um anel (A, +, ) e denominado comutativo se a sua multiplicac ao forcomutativa, ou seja, se xy = yx, x, y A.Exemplo 3.10. O anel dos inteiros (, +, ) e um anel comutativo porque xy = yx,x, y . Tamb em s ao comutativos os seguintes an eis: ,,,m e

com asoperac oes usuais de adic ao e multiplicac ao denidas em cada um desses conjuntos.Exemplo 3.11. Consideremos o anel A=(M22(), +, ) das matrizes quadradas2 2 com elementos inteiros. Sejam X=_ 1 12 0_ e Y=_ 1 04 1_ dois elementosdesse anel. Como XY=_ 5 12 0_ e YX=_ 1 16 4_, temos XY YX. Assim,chegamos` aconclus aodequeAn ao eumanelcomutativo. Emgeral, Mnn(),Mnn() Mnn() e Mnn() n ao s ao an eis comutativos se n 2.3.6 An eis com unidadeDenic ao 3.6. Umanel comunidade e umanel A cuja multiplicac ao possui elementoneutro, denotado por 1A ou simplesmente por 1, e denominado a unidade do anel.Exemplo 3.12. On umero 1 e a unidade dos an eis (, +, ), (, +, ),(, +, ) e (, +, ).Logo, esses s ao exemplos de an eis com unidade.Exemplo 3.13. Dado m 2 inteiro, (m, +, ) e um anel com unidade. Neste caso, aunidade e a classe 1.Exemplo 3.14.O anel A=(M22(), +, ) e um anel com unidade que e a matrizidentidade I =_ 1 00 1_. Em geral, Mnn(), Mnn() Mnn() e Mnn() tamb ems ao an eis com unidade que e a matriz identidade de ordem n n.Exemplo 3.15. Se S e um subanel de A, ent ao s ao possveis v arios casos:47ambos podem ter unidades e essas unidades podem coincidir ou n ao;um pode ter unidade e o outro n ao ter;nenhum dos dois tem unidade.Por exemplo, e subanel de, ambos t em como unidade o n umero 1. Por outrolado, 2 e subanel de , mas 2 n ao tem unidade.Exemplo 3.16. Sejam A= (M22()), +, ) e S=__x 00 0_ x _. Ent ao, S e umsubanel de A, a unidade de A e a matriz IA=_ 1 00 1_, enquanto que a unidade de S ea matriz IS=_ 1 00 0_. Portanto, neste caso temos que A e Ss ao an eis com unidade,S e subanel de A, mas IS IA.3.7 An eis de integridade e corposDenic ao 3.7.Um anel comutativo com unidade A e denominado anel de integri-dade quandox, y A, xy = 0 x = 0 ou y = 0.Denic ao 3.8. Dizemos que x0 e y0 em um anel A s ao divisores pr oprios dezero quando xy = 0.Observac ao. De acordo com as denic oes anteriores, um anel de integridade e umanel comutativo com unidade que n ao tem divisores pr oprios do zero.Exemplo 3.17. No anel dos inteiros,sex, y s ao tais quexy =0,ent aotemos que x= 0 ou y= 0. Logo, e um anel de integridade. Tamb em s ao an eis deintegridade:,e .Exemplo 3.18. Em8, os elementos2 e4 s ao diferentes de0, mas2 4=8=0.Logo, 2 e 4 s ao divisores pr oprios do zero em8 e, consequentemente, 8 n ao e anelde integridade. Em geral, m e anel de integridade se, e somente se, m for primo.Exemplo 3.19.Em A=M22() consideremos os elementos X=_ 0 20 0_ e Y=_ 0 30 0_. X e Y n ao s ao matrizes nulas, no entanto XY=_ 0 00 0_. Logo, X e Y s aodivisores pr oprios do zero e A n ao e anel de integridade.Exemplo 3.20. Em

= f f : consideremos g : denida porg(x) =_ 0 se x < 0x se x 048e h : denida porh(x) =_ x se x < 00 se x 0E claro que g e h s ao func oes n ao nulas e, no entanto, seu produto gh e a func aonula porque se x< 0, ent ao (gh)(x)= g(x)h(x)= 0(x)= 0 e, se x 0, ent ao(gh)(x) = g(x)h(x) = x0 = 0. Logo, g e h s ao divisores pr oprios do zero no anel

.Denic ao 3.9. Um anel comutativo com unidade K e denominado um corpo se todoelemento n ao nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, x K, x0 x1 K tal que xx1= 1.Exemplo 3.21. Os an eis ,e s ao exemplos de corpos. No entanto,n ao e umcorpo, porque nem todo elemento depossui inverso multiplicativo (por exemplo,2 e n ao existe y tal que 2y = 1)Exemplo 3.22.Sejamp um inteiro primo positivo e A=p. Como A e um anelcomutativo com unidade 1, para A ser um corpo, basta que todo elemento n ao nulode A tenha um inverso multiplicativo. Seja x p tal que x0. Ent ao, podemosconsiderar que 1 x p1. Como p e primo, mdc(x, p) = 1 e, da, existem inteirosa, b tais que ax + bp= 1 ax + bp= 1 a x + b p.,,.=0= 1 a x= 1.Logo, ( x)1= a de onde podemos concluir que p e um corpo.Proposic ao 3.2. Todo corpo e um anel de integridade.Demonstra c ao. Seja K um corpo e x, y K tais que xy= 0. Suponhamos que umdeles, digamos y, seja diferente de 0. Como K e um corpo, existe y1K tal queyy1=1. Da,xy=0 (xy)y1=0y1x(yy1.,,.=1) =0 x=0.Logo, Kn ao tem divisores pr oprios de zero, o que implica que ele e um anel deintegridade. Observac ao. A recproca da proposic ao anterior n ao e v alida, ou seja, nem todo anelde integridade e um corpo. O exemplo mais conhecido dessa situac ao e o anel dosinteiros .Exemplo 3.23. O anel das func oes

n ao e um corpo porque n ao e anel de integri-dade (veja Exemplo 3.20).Proposic ao 3.3. Todo anel de integridade nito e um corpo.Demonstra c ao. Seja A= a1, a2, , an um anel de integridade com n elementos eseja k A tal que k 0. Consideremosf :A A denida por f (x)= kx. Se49a, b A s ao tais que f (a) =f (b), ent ao k a = k b k ak b = 0 k (ab) = 0.Como k0 e A e anel de integridade, temos a b = 0, ou seja, a = b. Logo, fde Aem A e injetora. Como A e nito, temos quef tamb em e sobrejetora. Se a1= 1 fora unidade de A, ent ao existe x A tal quef (x) = 1, ou seja, kx = 1, o que signicaque k1=x. Logo, todo elemento n ao nulo k A possui um inverso multiplicativoe, consequentemente, A e um corpo. 3.8 Homomorsmo de an eisDenic ao 3.10. Uma func aof : A B de um anel A em um anel B e denominadahomomorsmo de an eis quando forem vericadas as seguintes propriedades: x, y A, f (x + y) =f (x) + f (y); x, y A, f (xy) =f (x)f (y)Exemplo 3.24. Sejam A=, B= (produto direto) e a func aof :A Bdenida porf (x)= (0, x). Se x, y , ent aof (x + y)= (0, x + y)= (0, x) + (0, y)=f (x) + f (y), e tamb emf (xy) = (0, xy) = (0, x)(0, y) =f (x)f (y). Logo, f e umhomomorsmo do anel A no anel B.Denic ao 3.11.O n ucleo de um homomorsmof : A B, denotado por N( f )ou por ker( f ), e denido como sendo o conjunto de todos os elementos de A cujaimagem pelaf e igual ao zero do anel B:N( f ) = x A f (x) = 0BExemplo 3.25. Ainda com relac ao ao exemplo 3.24, vamos determinar o seu n ucleo.Suponhamos a N( f ).Ent ao pela denic ao de n ucleo, f(a) = (0, 0) = zero do anelB. Comof (a) = (0, a), temos que (0, a) = (0, 0) de onde resulta que a = 0. Assim, on ucleo def e o conjunto N( f ) = 0.Sejaf : A B um homomorsmo de an eis. As seguintes propriedades podemser vericadas: f (0A) = 0B onde 0A representa o zero do anel A e 0B e o zero de B; f (x) = f (x), x A; f (x y) =f (x) f (y), x, y A; f e uma func ao injetora se, e somente se, N( f ) = 0A;Se S e um subanel de A, ent aof (S ) e um subanel de B.50Lembrando que A e B sendo an eis, temos que (A, +) e (B, +) s ao grupos e as pro-priedades citadas acima s ao id enticas ` as que foram mostradas nas proposic oes 2.2 e2.4.Proposic ao 3.4. Sejaf : A B um homomorsmo de an eis que seja uma fun c aosobrejetora. Ent ao:Se A possuir unidade 1A, ent ao o mesmo acontece com B e a unidade de B e1B=f (1A);SeA tem unidade ex e invertvel (com rela c ao` a multiplica c ao),ent aof (x)tamb em e invertvel ef (x1) = [ f (x)]1.Demonstra c ao. Seja y um elemento qualquer de B. Comof e sobrejetora, y=f (a)paraalguma Aedayf (1A) = f (a)f (1A) = f (a1A) = f (a) =y. Demodo an alogo se mostra quef (1A)y= y. Assim, f (1A) e a unidade de B, ou seja,f (1A) = 1B.Seja x1o inverso de x A. Temos que x x1= 1A f (x)f (x1) =f (1A) = 1B.Analogamente, temos tamb em quef (x1)f (x)= 1B. Logo, f (x1) e o inverso def (x), isto e, f (x1) = [ f (x)]1. 3.9 IsomorsmoDenic ao3.12. Umisomorsmodeumanel Aemumanel B euma func aof : A B que e um homomorsmo e bijetora.Observac oes. Se existir umisomorsmode an eis f : A B, ent aof1: B A tamb em e um isomorsmo.Quando existir um isomorsmo de A em B, ent ao diremos que A e B s ao iso-morfos e denotamos isso por A = B.SeAeB foreman eisisomorfos, ent aoelest emasmesmaspropriedades, adiferenca entre eles e basicamente os nomes dos elementos.Exemplo 3.26. SendoA um anel qualquer, ent ao o anelA 0 e isomorfo aA.Neste caso, a diferenca entre eles e apenas de uma segunda coordenada nula quetem cada elemento de A 0. Para vericar que A e A 0 s ao isomorfos, bastaconsiderarmos uma func aof :A A 0 denida por f (x)= (x, 0). Temos asseguintes propriedades a respeito def : f (x + y) = (x + y, 0) = (x, 0) + (y, 0) =f (x) + f (y), x, y A; f (xy) = (xy, 0) = (x, 0)(y, 0) =f (x)f (y), x, y A;Sef (x) =f (y), ent ao (x, 0) = (y, 0) x = y, logo, f e injetora;51Dado Y= (a, 0) um elemento gen erico de A 0, o elemento a A e tal quef (a) = (a, 0) = Y, logo, f e sobrejetora.Portanto, f e um isomorsmo de A em A 0.Observac ao. De modo an alogo, temos tamb em que todo anel A e isomorfo ao anel0 A.3.10 IdeaisDenic ao 3.13. Em um anel comutativo A, um subconjunto n ao vazio I A e umideal em A quando ele satiszer ` as seguintes propriedades:x y I, x, y I;ax I, x I e a AExemplo 3.27. Sejam A =e I= 2 = conjunto dos inteiros pares.E claro que I, porque 0 I;Sex, y I, ent aox=2m e y=2n com m, n . Da, temos quex y=2m 2n = 2(m n) I;Se a A, ent ao ax = a(2m) = 2(am) I.Portanto, ca mostrado dessa forma que 2 e um ideal em .Em geral, temos quen e um ideal empara todo inteiro n.Exemplo 3.28. Seja A=

= todas as func oes deeme I = f A f (2)=0 = func oes de em cujos gr acos passam pelo ponto (2, 0). Temos as seguintespropriedades a respeito do conjunto I:Consideremos, por exemplo, a func aof : denida porf (x)=x 2.Comof (2) = 0 temos quef I o que signica que I;Se f , g I, ent aof (2) =0 eg(2) =0. Da, seh = f g, ent ao h(2) =( f g)(2) =f (2) g(2) = 0 0 = 0, logo, h I;Sef Ie g A, ent aof (2) =0. Sej =fg, ent aoj(2) =( fg)(2) =f (2)g(2) = 0g(2) = 0, logo, j I.Portanto, I e um ideal em A.Exemplo 3.29. Todo anelA possui pelo menos dois ideais: o pr oprio anelA e oconjunto unit ario formado s o pelo zero, o 0. Esses s ao chamados os ideais triviaisde um anel.52Exemplo 3.30. Seja f : A B um homomorsmo de an eis e N= N( f ). A respeitode N, temos as seguintes propriedades:Comof e homomorsmo, f (0)= 0. Isso signica que 0 N e, consequente-mente, N.Se x, y N, ent aof (x)= 0 ef (y)= 0.Da, f (x y)=f (x) f (y)= 0 0=0 x y N;Se x N e a A, ent ao ax e tal quef (ax)=f (a)f (x)=f (a)0= 0 ax N.Com isso, ca mostrado que o n ucleo N( f ) e um ideal em A.Observac ao.Note que um ideal em um anel A e um tipo particular de subanel deA. No entanto, nem todo subanel e um ideal em um anel A. Por exemplo, e umsubanel de , mas n ao e um ideal em: basta considerar 1 e 2 e observarque 1 2.Proposic ao 3.5. Sejam A um anel comutativo e I um ideal em A. Ent ao:a)0 I;b) x I x I;c) x, y I x + y I;d)Se 1 I, ent ao I= A;e)Se I possui algum elemento invertvel, ent ao I= A.Demonstra c ao. a)Como I, ent ao I cont em algum elemento a. Ent ao a a I 0 I;b)Como 0 I, temos que 0 x = x I;c)Como x, y I, ent ao x, (y) I x (y) = x + y I;d)E claro que I A. Seja x A. Como 1 I, temos x1 I, ou seja,x I.Portanto, A I de onde conclumos que A = I;e)Se x I for invertvel, ent ao xx1= 1 I o que implica em I= A.

Denic ao 3.14. Sejam A um anel comutativo e a1, a2, , an A, onde n 1 e uminteiro. O conjunto formado por todas as combinac oes do tipo x1 a1+ x2 a2+ +xnan, com x1, x2, , xn A e um ideal em A que e denominado ideal gerado pora1, a2, , an e e denotado por (a1, a2, , an).53Observac ao. Usando-se a denic ao de ideal, e imediato vericar que I= (a1, , an) e um ideal em A:Tomando todos os xi= 0, obtemos 0 = 0a1 ++ 0an I; logo, I.Sejam x, y I; ent ao x= x1a1 ++ xnan e y= y1a1 ++ ynan, ondexi, yi A, i 1, , n. Temos que xy = (x1 y1.,,.A)a1++(xn yn.,,.A)an I.Se x I e a A, ent ao ax= a(x1a1 ++ xnan.,,.=x)= (ax1.,,.A)a1 ++(axn.,,.A)an I.Denic ao 3.15. Quando I = (a)= xa x A for um ideal geral por um unicoelemento a de um anel comutativo A, ent ao I e denominado ideal principal geradopor a.Exemplo 3.31.O conjunto dos n umeros pares e um ideal principal de porque egerado pelo 2 . Em geral, I= n e um ideal principal dee I= (n).Denic ao 3.16. Umaneldeintegridadenoqualtodososideaiss aoprincipais edenominado anel principal.Exemplo 3.32. e um anel principal. Para vericarmos isso, seja I um ideal de .Se I = 0, ent ao I e principal porque I = (0) e gerado s o pelo zero. Se I0ent ao existe um menor n umero positivo n que pertenca a I (neste caso, I e formadopor n umeros positivos e negativos pois x I x I). Se m I for um elementoqualquer, ent ao dividindo m por n, obtemos que m = qn + r onde 0 r < n. Comor= m qn I, n ao podemos ter r> 0 porque sen ao r seria um elemento positivode Ie menor do que n, o que seria absurdo (n e o menor elemento positivo de I).Portanto, r= 0, o que signica que m= qn. Conclumos ent ao observando que Icont em n e todo elemento de I e m ultiplo de n, ou seja, I= (n) I e ideal principalem .Proposic ao 3.6. Seja A um anel comutativo com unidade. Ent ao, A e um corpo se, esomente se, seus unicos ideais s ao os triviais A e 0.Demonstra c ao. () SuponhamosA um corpo eIum ideal deA tal queI0.Ent ao I cont em um elemento n ao nulo x e, como A e um corpo, x e invertvel e, peloitem (e) da Proposic ao 3.5, temos que A=I. Logo, os ideais de A s o podem ser o0 ou o A.() Suponhamos que os unicos ideias de A sejam os triviais. Como A e um anelcomutativo com unidade,ent ao,paraA ser um corpo,falta s o que todo elementox0 possua um inverso (multiplicativo). Considerando I = (x) temos que I 0e da s o pode ser I= A, ou seja, A= (x).Como 1 A, temos tamb em que 1 (x),54isto e, existe a A tal que 1= ax a= x1. Portanto, x possui inverso e da A eum corpo. Denic ao 3.17. DadosdoisideaisI eJdeumanelcomutativoA, denimosasseguintes operac oes com eles:Intersec ao: I J= x A x I e x JAdic ao: I + J= x + y x I e y JOs conjuntos I J e I + J assim obtidos tamb em s ao ideais de A.Proposic ao 3.7. Sejam I e J ideais em um anel comutativo A. Ent ao:a)I J e o maior ideal que est a contido em I e em J;b)I + J e o menor ideal que cont em simultaneamente I e J.(Aqui, menor e maior se referem ` a ordem da inclus ao de conjuntos).Demonstra c ao. a)Seja K um ideal de A tal que K I e K J. Ent ao K I J.Isso mostra que I J e o maior ideal que est a contido simultaneamente em I eJ.b)Seja L um ideal de A tal que I L e J L. Se x I+ J, ent ao x= i +j ondei I ej J. Como i, j L, temos i +j L, isto e, x L. Logo, I+ J L oque mostra que I + J e o menor ideal que cont em I e J simultaneamente.

Denic ao 3.18. Seja P um ideal de um anel comutativo A tal que PA. Dizemosque P e um ideal primo quandox, y A, xy P x P ou y P.Exemplo 3.33. No anel A=, consideremos P=3= inteiros m ultiplos de 3.Ent ao, sex, y A s ao tais quexy P, ent aoxy 3 3(xy) 3x ou3y x P ou x P. Logo, P e um ideal primo.Exemplo 3.34. Por outro lado, o ideal J= 6 n ao e um ideal primo pois podemosconsiderar x = 2 e y = 3 para os quais xy = 6 J, mas, xJ e yJ.Observac ao. Em geral, p e um ideal primo dese, e somente se, p e primo.Denic ao 3.19. Em um anel comutativo A, um idealMA e denominado idealmaximal quando o unico ideal que cont em M e e diferente dele e o pr oprio anel A.Exemplo 3.35. SejamA =eM=2. SeI forumidealdiferentedeMequecontenhaoM, ent aocont emalgumn umero mpar x =2n+ 1 I. Como(2n) M I, temos que 1=x (2n) I e da conclumos que I = A. Logo, M emaximal.55Exemplo 3.36. Por outro lado, o ideal J= 8 n ao e maximal em A =porque, porexemplo, o ideal L = 4 e diferente de J e diferente de A e, no entanto, J L AObservac ao. Pode-se mostrar que em um anel comutativo com unidade A, todo idealmaximal em A tamb em e um ideal primo.3.11 An eis-quocientesSeja I um ideal em um anel comutativo A no qual consideramos a seguinte relac ao:x y x y I, x, y A.Essa e uma relac ao de equival encia em A porque:Como 0 I, temos x x I x x, x A;Se x y, ent ao x y I (x y) I y x I y x;x y e y z x y I e y z I (x y) +(y z) I x z I x z.As classes de equival encia, neste caso, s ao os conjuntos x= x + i i I= x + I eo conjunto-quociente de A por e o conjunto A/= x x A que e formado portodas as classes de equival encia da relac ao . Neste caso, denotaremos A/ tamb empor A/I.Denic ao 3.20. Seja I um ideal em um anel comutativo A. O anel quociente de Apor I e o conjuntoA/I= x + I x Acom as operac oes de adic ao e multiplicac ao denidas a seguir:Adic ao: (x + I) + (y + I) = (x + y) + I, x, y AMultiplicac ao: (x + I)(y + I) = (xy) + I, x, y AObservac ao. Pode-se mostrar que se I for um ideal de um anel comutativo A e sex1+I= x2+I e y1+I= y2+I, ent ao (x1+y1)+I= (x2+y2)+I e (x1y1)+I= (x2y2)+I.Isso mostra que as operac oes de adic ao e multiplicac ao denidas em 3.20 est ao bemdenidas, ou seja, independem dos representantes das classes.Todas as propriedades mencionadas na denic ao de um anel podem ser verica-das tais como:A adic ao de classes e comutativa, porque (x+ I)+ (y+ I) =(x+ y)+ I =(y + x) + I= (y + I) + (x + I), para quaisquer x, y I.Oelementoneutrodoanel-quociente A/I eaclasse0+I = I, porque(x + I) + (0 + I) = (x + 0) + I= x + I para todo x A.56O inverso aditivo de x+I e (x)+I porque x+I +(x)+I= (x+(x))+I= 0+Ipara todo x A.Teorema 3.1. Sejaf :A B um homomorsmo de an eis que seja tamb em umafun c ao sobrejetora. Se I for o n ucleo def , ent ao A/I e B s ao an eis isomorfos.Demonstra c ao. J a vimos que o n ucleo I e um ideal de A; logo, podemos ter o anel-quociente A/I = x + I x A. Seja :A/I B denida por (x + I)=f (x).Essa func ao satisfaz ` as seguintes propriedades. Para quaisquer a, b A temos:((a+I) +(b+I)) = ((a+b) +I) =f (a+b) =f (a) + f (b) = (a+I) +(b+I).((a + I)(b + I)) = ((ab) + I) =f (ab) =f (a)f (b) = (a + I)(b + I).(a + I)=(b + I) f (a)=f (b) f (a) f (b)= 0B f (a b)= 0B a b I a + I= b + I.Dado y B, comof e sobrejetora, temos que existe a A tal quef (a) =b.Logo, a classe a + I e tal que (a + I) =f (a) = b.As duas primeiras propriedades vericadas acima mostram que e um homomor-smo de an eis; as duas ultimas, mostram que e uma func ao bijetora. Portanto, eum isomorsmo de A/I em B. Exemplo 3.37. Sejaf : 5 denida porf (x)= x. Essa func ao e sobrejetoraporque dado qualquer a 5, ent ao a e tal quef (a)= a. Al em disso, ela e umhomomorsmo de an eis pois para quaisquer x, y , temos: f (x + y) = x + y = x + y =f (x) + f (y) f (xy) = xy = x y =f (x)f (y)Sendof um homomorsmo de an eis, podemos calcular seu n ucleo N( f ). Suponha-mos a N( f ). Ent ao, pela denic ao de n ucleo, f (a)=0= elemento neutro de 5com relac ao ` a adic ao, o que implica em a=0. Dessa ultima igualdade, conclumosque (a0) e um m ultiplo de 5, ou seja, a e um m ultiplo de 5. Como a e um elementogen erico de N( f ), chegamos ` a conclus ao de que ele e igual ao conjunto de todos osm ultiplos de 5, ou seja, N( f ) =5. Usando agora o Teorema do Homomorsmo(para an eis), obtemos que/5 = 5.De um modo geral, temos que /n = n.573.12 Exerccios propostos1)Considerandoasoperac oes e ,emdenidaspor x y = x+ y 3ex , y = x + y xy3 , mostre que (, , ,) e um anel comutativo com unidade.2) Verique se (S, +, ) e um subcorpo de (, +, ) em cada um dos seguintes casos:a)S= a + b3 a, b b)S= a + b3 a, b c)S= a2 + b3 a, b d)S= a + b33 a, b (OBS.: S e um subcorpo de K quando ambos s ao corpos e S K)3) Verique se o sistema_3x + 4y =12x + y =6tem soluc ao (x, y) 7 7.4) Sendo A um anel de integridade, mostre com detalhes que sex A for tal quex2= 1, ent ao x = 1 ou x 1.5) Construa as t abuas de adic ao e multiplicac ao do anel-quociente /5.6)Mostrequese f : eumisomorsmodean eis, ent ao f eafunc aoidentidade.7) Verique se (I, +, ) e um ideal do anel (A, +, ) em cada um dos seguintes casos:a)I= , A = ;b)I= 3, A = ;c)I= f : f (1) = 0, A =

.d)I= f : f (3) =f (4) = 0, A =

.8) Verique se [5]= a + b5 a, b e [7]= a + b7 a, b s aoan eis isomorfos (com as operac oes de adic ao e multiplicac ao usuais).9) Seja A= a + b2 a, b . Mostre que sef : A A for um isomorsmo dean eis, ent aof (2) =2 ouf (2) = 2.58Captulo 4Polin omios4.1 Introduc aoUm polin omio e uma sequ encia de elementos de um anel, onde, a partir de certaordem,todos os termos da sequ encia s ao nulos. Na sua forma mais simples,s aoestudados desde o Ensino Fundamental. Se forem denidas operac oes de adic aoemultiplicac aonoconjuntodospolin omios, ent aopodemosobterumaestruturade anel. Costuma-se denir tamb em outros conceitos envolvendo polin omios taiscomo grau, valor do polin omio em um elemento particular do anel, quociente deuma divis ao, resto de uma divis ao e m aximo divisor comum.O estudo de polin omios est a relacionado a um outro assunto muito importanteque e o das equac oes polinomiais, tamb em conhecidas como equac oes alg ebricas.Determinar razes de polin omios, ou seja, resolver equac oes alg ebricas, e um dosproblemas mais antigos e dos mais frequentes na Matem atica e suas aplicac oes.Nestecaptulopretendemosdesenvolverconte udosquepermitamresponderaperguntas tais como:Quais as operac oes usuais que podem ser feitas com polin omios?Se um conjunto for um anel de polin omios, existem subconjuntos que tamb ems ao an eis?Quais os elementos de um anel de polin omios possuem inversos multiplicati-vos?Dados dois polin omios, sempre existe um divisor comum a ambos?Existem polin omios que t em propriedades parecidas com as dos n umeros pri-mos no anel dos inteiros?Os conceitos de polin omio e de func ao polinomial podem ser sempre confun-didos?594.2 Sequ encias e polin omios sobre um anelDenic ao 4.1. Seja A um anel. Uma sequ encia de elementos em A e uma func aof : A.Uma sequ encia costuma ser representada na forma f =(a0, a1, a2,), ou deforma mais simplicadaf =(ai). Nesse formato, estamos representandof (k) porak, para todo k . O elemento ak A e denominado o k- esimo termo da sequ encia.Denic ao 4.2. Consideremos duas sequ enciasf = (ai) e g = (bi).Igualdade: Dizemos quef = g quando ai= bi para todo i .Adic ao: A soma def com g e uma sequ encia h= (ci) tal que ci= ai + bi paratodo i .Multiplicac ao: O produto def por g e uma sequ enciaj =(di) tal que di=i

k=0aikbk para todo i .De acordo coma denic ao acima, o produto das sequ encias f = (ai) pela sequ enciag = (bi) e uma sequ encia h = (di) cujos termos s ao:d0= a0b0,d1= a1b0 + a0b1,d2= a2b0 + a1b1 + a0b2,d3= a3b0 + a2b1 + a1b2 + a0b3,

dk= akb0 + ak1b1 + ak2b2 ++ a0bk

Exemplo 4.1. Consideremos as seguintes sequ encias sobre :f = (3, 2, 0, 0, 0, , 0,) e g= (4, 1, 5, 0, 0, , 0,). A soma def com g e asequ encia h = (3 + 4, 2 + 1, 0 + 5, 0 + 0, , 0 + 0,) = (7, 1, 5, 0, 0, , 0,)e o produto defpor g e a sequ enciaj = (di) onde:d0= 34 = 12,d1= 31 + (2)4 = 5,d2= 35 + (2)1 + 04 = 13,d3= 30 + (2)5 + 01 + 04 = 10,d4= 30 + (2)0 + 05 + 01 + 04 = 0,dk= 0para todok 5,Logo, j = (12, 5, 13, 10, 0, 0, , 0,).60Denic ao 4.3. Em um anel A, uma sequ encia (a1, a2, a3,) com ai A para todoi e denominada polin omio sobre A quando existir umndice s tal que ak= 0para todo k > s.Observac ao.Uma sequ encia que e um polin omio tem todos os seus termos nulosa partir de certa ordem. Por isso, um polin omio tamb em e denominado sequ enciaquase-nula. Os termos de um polin omio tamb em s ao chamados de coecientes.Exemplo 4.2. f =(5, 6, 9, 3, 0, 0, , 0,), ondeak=0 sek >3 e umpolin omio sobre o anel ;g=__ 1 23 4_,_ 0 21 0_,_ 0 01 8_,_ 0 00 0_, ,_ 0 00 0_, _ e um polin omiosobre o anel M22();h=(1, 1, 1, 1, , 1,), onde ak=1 para todo k n ao e um polin omiosobre .o =(0, 0, 0, 0, , 0,) e um polin omio sobre um anelA e e denominadopolin omio nulo sobre A.4.3 Proposic oes b asicasNotac ao:Vamos denotar por A[x] o conjunto de todos os polin omios sobre o anelA.Proposic ao 4.1. A soma de dois polin omios sobre um anel A tamb em e um polin omiosobre A, ou seja, A[x] e fechado com rela c ao ` a adi c ao.Demonstra c ao. Sejamp=(ai) e q=(bi) dois polin omios de A[x]. Por denic ao,existem ndices m, n tais que ai=0 se i >m e bi=0 se i >n. Seja r =max(m, n). Se i> r, ent ao i> m e i> n e da ci= ai + bi= 0 + 0= 0. Portanto, asequ enciaf = (ci) = p + q e um polin omio sobre o anel A. Proposic ao 4.2.O produto de dois polin omios sobre um anel A tamb em e um po-lin omio sobre A, ou seja, A[x] e fechado com rela c ao ` a multiplica c ao.Demonstra c ao. Sejamp=(ai) e q=(bi) polin omios de A[x] e m, n tais queai= 0 se i > m e bi= 0 se i > n. Sejaf = (ci) =fg. Se k 1, ent ao, por denic ao,cm+n+k= a0bm+n+k+a1bm+n+k1++ambn+k+am+1bn+k1+am+2bn+k2++am+n+kb0.Como bm+n+k= bm+n+k1= = bn+k= 0 e am+1= am+2= = am+n+k= 0, temosque cm+n+k= 0. Logo, escolhendo r= m + n, temos ci= 0 se i > r. Isso mostra quef = pq e um polin omio sobre A. Proposic ao 4.3. Se A for um anel, ent ao A[x] tamb em e um anel.61Demonstra c ao. Sejamf =(ai), g=(bi) e h=(ci) tr es polin omios gen ericos emA[x].Sef + g= (ci) e g +f = (di), ent ao ci= ai + bi= bi + ai= di, i ; logo,f + g = g + f .Se f +(g+h) = (ci) e ( f +g)+h = (di), ent ao ci= ai+(bi+ci) = (ai+bi)+ci= di,i ; logo, f + (g + h) = ( f + g) + h.Seja o = (0, 0, 0, , 0,) = (ei) tal que ei= 0 para todo i . Temos ent ao:f + o= (di) onde di= ai+ ei= ai+ 0= ai, i . Logo, f + o=f , o quesignica que o e o elemento neutro da adic ao (denominado polin omio nulo).Seja f =(di), onde di= ai, i . Ent ao, se f + (f ) =(ei), ent aoei= ai+di= ai+(ai) = 0, i ; logo, f+(f ) = o, e isso signica que f e o inverso (aditivo) def .Sejam gh=(di), f(gh) =(ei), fg=(xi), ( fg)h=(yi). Para todom , temos: em=

i+l=maidl=

i+l=mai__

j+k=lbjck__=

i+j+k=mai(bjck) =

i+j+k=m(aibj)ck=

k+n=m__

i+j=naibj__ck=

n+k=mxnck=ym. Fica mostrado assimquef(gh) = ( fg)h.Sejamf(g + h) =(di), fg=(xi) efh=(yi). Para todo k , temos:dk=

i+j=kai(bj+cj) =

i+j=k(aibj+aicj) =

i+j=kaibj+

i+j=kaicj= xk+yk. Portanto,f(g+h) =fg+ fh. De modo an alogo se mostra que ( f +g)h =fh+g h.Com essas 6 propriedades, ca mostrado que A[x] e um anel. Proposic ao 4.4. Se A for um anel comutativo, ent ao A[x] tamb em e.Demonstra c ao. J a foi mostrado em proposic ao anterior que A[x] e um anel. Faltamostrar apenas que a multiplicac ao de A[x] e comutativa. Consideremos os seguintespolin omios de A[x]: f = (ai), g= (bi), fg= (ci), gf = (di). Para todo k ,temos: ck=

i+j=kaibj=

i+j=kbjai= dk. Logo, fg = gf . Proposic ao 4.5. Se A for um anel com unidade, ent ao A[x] tamb em e.Demonstra c ao. Sejamf =(a0, a1, , an, 0, 0,)ee =(1, 0, 0, 0, , 0,).Ent ao: fe =fe ef =f ; logo, e = (1, 0, 0, , 0,) e a unidade de A[x] Proposic ao 4.6. Se A for um anel de integridade, ent ao A[x] tamb em e.62Demonstra c ao. Tendo emvistaoquej afoimostradoemproposic oesanteriores,restamostrarapenasqueamultiplicac aodedoispolin omiosn aonulosd acomoresultado um polin omio n ao nulo. Sejamf =(ai) e g=(bi) dois polin omios n aonulos de A[x] e sejam m, n tais que am0, ak se k>m e bn0, bj=0 sej > n. Sefg = (ci), vamos calcular o cm+n:cm+n= a0bm+n + a1bm+n1 ++ ambn ++ am+n1b1 + am+nb0= ambn.Como am0, bn0 e A e anel de integridade, temos ambn0 cm+n0 fgn ao e nulo. 4.4 Grau de um polin omioDenic ao 4.4. Consideremos f =(ai) um polin omio n ao nulo. O grau de f e omaior ndice dos termos n ao nulos def , ou seja, e denido como sendo igual a n sean 0 e ak= 0 para todo k> n. Neste caso, o termo an e denominado coecientedominante def . O polin omio nulo o = (0, 0, 0, , 0,) n ao tem grau denido.Notac ao: O grau de um polin omiof e denotado por fou por gr( f ).Exemplo 4.3. O termo n ao nulo de p= (5, 2, 1, 8, 0, 0, , 0,) [x] que temo maior ndice e o a3= 8; logo, o grau de p e 3, ou seja, p = 3.Exemplo 4.4. O termo n ao nulo de q = (2, 0, 0, 3, 1, 0, 0, , 0,) 5[x] que temo maior ndice e o a4= 1; logo, q = 4.Exemplo 4.5. Em um anel A, se a A, ent ao o polin omio do tipoc = (a, 0, 0, 0, , 0,) e um polin omio de grau 0 e e denominado polin omio cons-tante em A[x].Proposic ao 4.7. Sejam A um anel e p= (ai), q= (bi) dois polin omios n ao nulos deA[x]. Temos as seguintes propriedades:a)Se p + q0, ent ao (p + q) max(p, q);b)Se pq, ent ao (p + q) = max(p, q);c)Se pq0, ent ao (pq) p + q;d)Se o coeciente dominante de p ou de q for regular, ent ao (pq) = p + q.Demonstra c ao. a)Sejam p+q = (ci) e r= max(p, q). Ent ao ci= ai+bi= 0 paratodo i > r. Logo, (p+q) e no m aximo igual a r, isto e, (p+q) max(p, q);b)Suponhamos n= p > g. Sendo p + q= (ci), ent ao ci= ai + bi= 0 para todoi > n. Logo, (p + q) = n = max(p, q).63c)Sejam p= m, q= n e pq= (ci). Ent ao ai= 0 se i> m e bi= 0 se i> n.Al em disso, para todo k 1, temos cm+n+k=am+n+kb0+ am+n+k1b1+ +am+1bn+k1 + ambn+k ++ a0bm+n+k= 0; logo, (pq) m + n = p + q.d)Sejam m=p e n=q. Sepq=(ci), ent ao cm+n=a0bm+n+ a1bm+n1+ + am1bn+1 + ambn + am+1bn1 ++ am+nb0= ambn. Como am0, bn0e um dos dois e regular, temos ambn0 cm+n0 e, consequentemente,(pq) = m + n = p + q.

Exemplo 4.6. Em[x], se f = (2, 1, 4, 0, 0,) e g = (3, 5, 0, 0,), ent ao f +g =(1, 6, 4, 0, 0, , 0,) efg= (6, 7, 7, 20, 0, 0, , 0,). Neste caso, temosf = 2, g = 1, ( f + g) = 2 = max(f , g) e ( fg) = 3 = f + g.Exemplo 4.7. Em4[x], sep =(3, 1, 2, 0, 0,)eq =(0, 3, 2, 0, 0,), ent aop+q = (3, 0, 0, 0, 0,) e p q = (0, 1, 1, 2, 0, 0, 0,). Observe que p = 2, q = 2,(p + q) = 0 < p + q e (pq) = 3 < p + q.4.5 Imers ao de A em A[x]Sendo A um anel, como A e A[x] s ao conjuntos com elementos distintos, ent ao,a rigor, A n ao est a contido em A[x]. No entanto, h a um subconjunto de A[x] que secomporta como se fosse o pr oprio A, ou seja, existe um subanel L tal que A =L A[x]. Por causa disso, e aceit avel armar que A A[x].Proposic ao 4.8. Se A e um anel, ent ao L= (a, 0, 0, 0,) a A e um subanel deA[x].Demonstra c ao.EclaroqueL porqueo =(0, 0, 0, 0,) L. Sejamp =(a, 0, 0, 0,)eq =(b, 0, 0, 0,)doiselementosdeL. Temos: p q =(a b, 0, 0, 0,) L e pq = (ab, 0, 0, 0,) L. Logo, L e um subanel de A[x]. Observac ao. O subanelL assim denido e denominado conjunto dos polin omiosconstantes sobre o anel A.Proposic ao 4.9. Seja A um anel. Se L = (a, 0, 0, 0,) a A, ent ao A e isomorfoa L.Demonstra c ao. Seja : A L denida por (x)= (x, 0, 0, 0,). Denida dessemodo, e um isomorsmo de an eis:(a + b)= (a + b, 0, 0, 0,)= (a, 0, 0, 0,) + (b, 0, 0, 0,)=(a) + (b),a, b A;(a+ b) =(ab, 0, 0, 0,) =(a, 0, 0, 0,)(b, 0, 0, 0,) =(a)(b),a, b A;64(a) = (b) (a, 0, 0, 0,) = (b, 0, 0, 0,) a = b; logo, e injetora;Dado (y, 0, 0, 0,) L, temos que (y) = (y, 0, 0, 0,); logo, e sobrejetora.

Devidoa esse isomorsmo, podemos identicar a Acomopolin omio(a, 0, 0, 0,) A[x], ou seja, podemos escrevera = (a, 0, 0, 0, , 0,).Em particular, 0 = (0, 0, 0, , 0,) e 1 = (1, 0, 0, 0, , 0,).Note que se a = (a, 0, 0, 0,) A[x] for umpolin omio constante ep=(p0, p1, p2, , pn, 0, , 0,) A[x] for um polin omio qualquer com ter-mos em um anel A, ent ao ap= (a, 0, 0, 0, 0,)(p0, p1, p2, , pn, 0,) o queimplicaap = (ap0, ap1, ap2, , apn, 0,).4.6 Notac ao usualDenic ao 4.5. Seja A um anel com unidade. O polin omiox = (0, 1, 0, 0, , 0,) e denominado indeterminada sobre A.Usando a denic ao de produto de polin omios, temos:x2= xx = (0, 0, 1, 0, 0, 0, , 0,)x3= x2 x = (0, 0, 0, 1, 0, 0, , 0,)x4= x3 x = (0, 0, 0, 0, 1, 0, , 0,)e, em geral, xn e um polin omio que tem todos os termos iguais a zero com excec aoapenas de xn= 1.Dado um polin omio qualquer de A[x], f = (a0, a1, a2, , an, 0, 0,), temos quef = (a0, 0, 0, 0, , 0, 0,) + (0, a1, 0, 0, , 0, 0,)+(0, 0, a2, 0, , 0, 0,) ++ (0, 0, 0, 0, , an, 0,) =a0(1, 0, 0, 0, , 0, 0,) + a1(0, 1, 0, 0, , 0, 0,)+a2(0, 0, 1, 0, , 0, 0,) ++ an(0, 0, 0, 0, , 1, 0,) =a0 + a1x + a2x2++ anxn.Assim, a notac aof =a0+ a1x+ a2x2+ + anxn e considerada a usual paraindicar um polin omiof .Exemplo 4.8. O polin omio p= (4, 5, 3, 2, 7, 0, 0, 0, , 0,) [x] e denotadona forma usual por p = 4 + 5x 3x2+ 2x3+ 7x4.654.7 Divis ao em A[x]A partir deste ponto, vamos sempre considerar um polin omio sobre um anel co-mutativo com unidade.Denic ao 4.6. Sendo A um anel (comutativo com unidade), dados dois polin omiosfe g em A[x], dizemos quefdivide g quando existir h A[x] tal que g =fh.Notac ao: Denotamos fdivide gporf g e fn ao divide gporfg.Observac ao. f divide g e considerado o mesmo que: f e divisor de g ou g e divisvelporfou g e m ultiplo def .Exemplo 4.9. Sejam f = 2+x e g = 65x+x2= (2+x)(3+x). Considerandoh = 3 + x, temos que g =fh e da conclumos quef g.A relac ao fdivide g no anel A[x] possui as seguintes propriedades:a) f f , f A[x];b) f g e g h f hc) f g f (hg), h A[x];d) f g ef h f (pg + qh), p, q A[x].Demonstra c ao. a)Sendo g = 1 (constante), temosf = gf f f ;b)Existemp, q A[x] tais que g=pf e h=qg;logo,h=q(pf ) =( qp.,,.A[x])f f h;c)Existe p A[x] tal que g = pf (hg) = (hp)f f (hg), h A[x];d)Existem a, b A[x] tais que g = a f e h = b f p g+q h = (a p+b q) f f (pg + qh).

Oteoremaaseguir econhecidocomoAlgoritmodaDivis aoouAlgoritmodeEuclides.Teorema 4.1. Consideref = a0+a1x +a2x2+ +anxne g = b0+b1x +b2x2+ +bmxmdois polin omios de A[x] tais que g n ao e o polin omio nulo e seu coecientedominante e invertvel. Ent ao, existem polin omios q, r A[x] tais quef = gq + r er= 0 ou r < g.Demonstra c ao. Sef = 0, ent ao basta considerar q = 0, r= 0.Sef0 e f < g, ent ao basta tomar q = 0 e r=f .66Sef0 e f g, ent ao vamos usar o Princpio de Indu c ao para mostrar queo teorema e v alido:Se f = 0, ent ao g= 0 e da f =a0 e g=b0. Neste caso, basta tomarr= 0 e q = b10 a0.Suponhamos que f = n e o teorema e v alido para todo polin omio de graumenor do que n (hip otese de induc ao).Consideremos o polin omio h=f anb1m xnmg. Se h=0 ouh