Instituto Municipal de Ensino Superior de Catanduva – SP

Curso de Licenciatura em Matemática – 3º ano – Prática de Ensino da Matemática III

Prof. M.Sc. Fabricio Eduardo Ferreira –– fabricio@fafica.br

Estudo da Trigonometria (I)

Introdução

A trigonometria é uma parte da geometria que estuda as relações entre as medidas dos lados e dos ângulos

de um triângulo. Inicialmente a trigonometria era destinada ao cálculo de distâncias inacessíveis porém, atualmente,

temos aplicações trigonométricas em diversos fenômenos, entre eles, os periódicos.

De acordo com o referencial legal atual alguns “rudimentos” de trigonometria podem ser iniciados no 9º ano

do Ensino Fundamental contudo, geralmente, a sistematização do conhecimento desta área ocorre no 1º ano do

Ensino Médio.

Inicialmente sugere-se a seguinte para o desenvolvimento do estudo da trigonometria:

1º) o estudo da proporcionalidade envolvendo as razões trigonométricas de ângulos notáveis no triângulo retângulo;

2º) a compreensão e definições das principais razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente de um ângulo) no

triângulo retângulo;

3º) a dedução dos valores das principais razões trigonométricas dos ângulos notáveis (30º, 45º e 60º);

4º) as aplicações das principais razões trigonométricas em situações que envolvem triângulos retângulos;

5º) a expansão das ideias de seno e cosseno de um ângulo para triângulos quaisquer (lei dos senos e lei dos

cossenos);

Num segundo momento as ideias a serem desenvolvidas em relação à trigonometria devem explorar:

a) situações que envolvem periodicidade como, por exemplo, a projeção de sombras ou fenômenos naturais;

b) a introdução do conceito de ciclo trigonométrico onde serão aplicadas as relações outrora estudadas no triângulo

retângulo;

c) o conhecimento de uma nova unidade de medida de arcos e de ângulos centrais (radiano);

d) a relação entre a unicidade das razões trigonométricas de um determinado arco (funções trigonométricas);

e) a elaboração de gráficos envolvendo as principais funções trigonométricas (função seno de um arco, função

cosseno de um arco, função tangente de um arco);

f) as transformações envolvendo as principais funções trigonométricas (𝑦 = 𝑐 sen 𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑦 = 𝑐 cos 𝑎𝑥 +

𝑏)(𝑦 = 𝑐 tan 𝑎𝑥 + 𝑏);

g) as funções inversas das principais funções trigonométricas (função secante de um ângulo, função cossecante de

um ângulo e função cotangente de um ângulo);

h) a sistematização das fórmulas que envolvem soma de arcos, diferença entre arcos, arcos duplos e arcos-metades;

i) a formalização das principais identidades trigonométricas.

A proporcionalidade e a trigonometria

Antes mesmo de inserir o vocabulário destinado aos conceitos trigonométricos o professor pode explorar

situações que envolvam a proporcionalidade decorrida de determinadas razões trigonométricas de ângulos notáveis.

Por exemplo, o professor pode solicitar ao aluno realizar medições envolvendo triângulos retângulos semelhantes e

pedir que o mesmo descreva suas conclusões quando um dos ângulos agudos medir 30º.

Perguntas do tipo “quando mede o cateto oposto de cada triângulo?” e “qual conclusão você pode redigir a

partir de suas observações?”, são muito importantes na resolução de outras situações como a que segue-se:

Qual a altura do avião em relação ao chão na figura ao lado?

Sugere-se que pouco a pouco o professor comece a elaborar, junto com os alunos, um vocabulário que o

acompanhará nas explorações trigonométricas durantes sua escolarização. Um bom exemplo disto são as definições

de cateto oposto e cateto adjacente a um ângulo pois, dependendo do ângulo que estiver se referindo, tem-se valores

diferentes. Outro bom exemplo de elaboração de um vocabulário adequado ao trabalho na trigonometria é a definição

de ângulo complementar (pois o seno de um ângulo agudo equivale ao cosseno de seu complementar).

Para que o aluno perceba que as principais razões trigonométricas são constantes (para determinado ângulo)

sugere-se que o professor desenvolva atividades onde os alunos possam experimentar realizar medições e comparar

os resultados utilizando o mesmo ângulo. Os softwares de geometria dinâmica (como o GeoGebra) são ótimas

ferramentas para realizar tais explorações.

2

3,61≅ 0,554 = sen 33,69°

4

7,21≅ 0,554 = sen 33,69°

Desta forma o aluno vai construindo, junto ao professor, as principais razões trigonométricas que são:

sen 𝛼 =cateto oposto

hipotenusa; cos 𝛼 =

cateto adjacente

hipotenusa; tan 𝛼 =

cateto oposto

cateto adjacente

Cateto oposto ao ângulo C

Cateto adjacente ao ângulo C

Cateto oposto ao ângulo B

Cateto adjacente ao ângulo B

O papel dos ângulos notáveis na trigonometria do triângulo retângulo

Os chamados ângulos notáveis (30º, 45º e 60º) são facilmente observáveis em diversas configurações por

serem submúltiplos de 360º, 180º e 90º. Logo explorar o desenvolvimento das razões trigonométricas dos principais

ângulos notáveis é fundamental para que o aluno se aproprie deste conhecimento e saiba, posteriormente, aplica-lo

nas mais diversas situações.

Basicamente o professor deve explorar o cálculo da diagonal do quadrado e da altura do triângulo equilátero

para deduzir tais razões trigonométricas.

Diagonal do quadrado

𝑑2 = 𝑙2 + 𝑙2 ⇒ 𝑑2 = 2𝑙2 ⇒ 𝑑 = √2𝑙2 ⇒ 𝑑 = 𝑙√2

No ∆ABC temos que:

sen 45° =𝑙

𝑙√2=

1

√2=

√2

2

cos 45° =𝑙

𝑙√2=

1

√2=

√2

2

tan 45° =𝑙

𝑙= 1

Altura do triângulo equilátero

No ∆CDB temos que:

𝑙2 = ℎ2 + (𝑙

2)

2

⇒ 𝑙2 = ℎ2 +𝑙2

4⇒

⇒ ℎ2 = 𝑙2 −𝑙2

4⇒ ℎ2 =

4𝑙2

4−

𝑙2

4⇒

⇒ ℎ2 =3𝑙2

4⇒ ℎ = √

3𝑙2

4⇒ ℎ =

𝑙√3

2

Logo temos no ∆CDB que:

sen 30° =𝑙 2⁄

𝑙=

𝑙

2∙

1

𝑙=

1

2

cos 30° =𝑙√3 2⁄

𝑙=

𝑙√3

2∙

1

𝑙=

√3

2

tan 30° =𝑙 2⁄

𝑙√3 2⁄=

𝑙

2∙

2

𝑙√3=

1

√3=

√3

3

Também temos no ∆CDB que:

sen 60° =𝑙√3 2⁄

𝑙=

𝑙√3

2∙

1

𝑙=

√3

2

cos 60° =𝑙 2⁄

𝑙=

𝑙

2∙

1

𝑙=

1

2

tan 60° =𝑙√3 2⁄

𝑙 2⁄=

𝑙√3

2∙

2

𝑙= √3

Reunindo os resultados obtidos numa única tabela temos que:

sen cos tan

30° 1

2

√3

2

√3

3

45° √2

2

√2

2 1

60° √3

2

1

2 √3

Explorando os resultados obtidos o aluno pode concluir que sen 30° = cos 60° e sen 45° = cos 45°, ou

seja, o seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno de seu ângulo complementar. Outra relação que pode ser

explorada é que tan 30° =1

tan 60°. Em outras palavras isto significa que a tangente de um ângulo agudo equivale ao

inverso da tangente de seu complementar.

A contextualização das situações envolvendo razões trigonométricas

Para que os alunos tenham uma visão adequada da trigonometria é imprescindível que os mesmos possam

aplicar os conceitos desenvolvidos em situações cotidianas que lhes sejam rotineiras. Segue um bom exemplo de tais

situações:

Sobre uma rampa de 6 m de comprimento e inclinação de 30º com a horizontal,

devem-se construir degraus de altura 25 cm. Quantos degraus desse tipo serão construídos?

Inicialmente pode-se sugerir ao aluno elaborar um esquema para representar tal situação. Desta forma temos:

Em se tratando de situações problemas que envolvam trigonometria, uma dificuldade muito comum entre os

alunos é a identificação de qual a razão trigonométrica que deva ser utilizada para resolvê-la. Existem muitas razões

para que o aluno não reconheça qual a razão trigonométrica indicada na situação, contudo, uma forma de auxiliá-lo

na resolução de suas dúvidas é solicitando que o próprio aluno indique os elementos presentes no esquema que

elaborou. No exemplo anterior, temos:

Ao ser questionado qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto a um ângulo e a hipotenusa o

aluno responderá que se trata da razão seno de um ângulo. Desta forma temos que:

sen 30° =ℎ

6→

1

2=

ℎ

6→ 2ℎ = 6 → ℎ =

6

2= 3 𝑚

3 𝑚 = 300 𝑐𝑚 → 300 ÷ 25 = 12 degraus

Cateto oposto ao ângulo de 30º

Hipotenusa

Utilizando as razões seno de um ângulo e cosseno de um ângulo em outros tipos de triângulos

Após a exploração das principais razões trigonométricas no triângulo retângulo é importante que o professor

faça uma expansão de tais ideias para os outros tipos de triângulos (acutângulo e obtusângulo). Isto ocorrerá pelas

relações conhecidas por Lei dos Senos e Lei dos Cossenos. É importante salientar que o papel da contextualização

é imprescindível neste momento para que tais relações não sejam desenvolvidas apenas por constarem nos currículos

ou, porquê serão necessárias para estudos futuros.

Lei dos Senos

Suponha que um observador esteja numa margem de um rio no ponto A (ver figura a seguir) e deseja saber qual

é a distância (em linha reta) entre sua posição e uma árvore situada na outra margem de um rio (situada no ponto P).

Para isto o observador pode deslocar-se (em linha reta) até um ponto B situado na mesma margem onde se

encontra e distante 1 km do ponto A (por exemplo). Sabendo que a medida do ângulo 𝐵�́�𝑃 = 130° e a medida do

ângulo 𝐴�́�𝑃 = 40°, quanto mede a distância 𝐴𝑃?

A Lei dos Senos nos afirma que a medida do lado de um triângulo qualquer é diretamente proporcional à

medida do seno do ângulo oposto à este ângulo. Simbolicamente, seja um triângulo qualquer ABC cujos lados medem

a, b e c, respectivamente. Pela Lei dos Senos temos que:

𝑎

sen Â=

𝑏

sen 𝐵=

𝑐

sen 𝐶

Representando a situação dada, temos que:

Note que nesta situação conhecemos a medida de dois ângulos e de um lado, desejando determinar a medida

do outro lado. Aplicando a Lei dos Senos no ∆ABP, temos que: 1

sen 10°=

𝑥

sen 40°→

1

0,174=

𝑥

0,643→ 𝑥 =

0,643

0,174≅ 3,760 𝑘𝑚 ou 3760 𝑚

Lei dos Cossenos

Determine a medida da diagonal maior do paralelogramo da figura a seguir.

Como os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes o problema pode ser reinterpretado da

seguinte forma:

Seja um triângulo qualquer ABC cujos lados medem a, b e c. De acordo com a Lei dos Cossenos temos que:

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ cos Â

𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 ∙ cos B

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ cos C

Note que nesta situação conhecemos a medida de dois lados e do ângulo formado entre estes lados. Logo

para calcular a medida da diagonal do paralelogramo dado basta aplicar a Lei dos Cossenos:

𝑑2 = 52 + 102 − 2 ∙ 5 ∙ 2 ∙ cos 120° → 𝑑2 = 25 + 100 − 2 ∙ 5 ∙ 2 ∙ (−1

2) →

→ 𝑑2 = 125 + 10 → 𝑑2 = 135 → 𝑑 = √135 → 𝑑 = 3√15 ≅ 3 ∙ 3,9 = 11,7 𝑐𝑚

OBSERVAÇÕES

a) Ao trabalhar com triângulos quaisquer o aluno irá de deparar com diversos valores de ângulos agudos e obtusos.

As razões trigonométricas de tais ângulos podem ser obtidas através de tabelas de razões trigonométricas ou

com o auxílio de uma calculadora científica. Tanto os valores contidos nas tabelas quanto aqueles fornecidos

pelas calculadoras são advindos de relações entre os ângulos centrais determinados pelos arcos delimitados

pelas extremidades de cordas numa circunferência.

b) O Teorema de Pitágoras pode ser entendido como um caso particular da Lei dos Cossenos para o ângulo de 90º

entre os dois catetos. Seja um triângulo ABC, reto em A cujas respectivas medidas sejam a, b e c. Desta forma

temos que:

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ cos 90° → 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ 0 → 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2