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ÍÍNNDDIICCEE
IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO........................................................................................................................................................................................................................................ 55
II –– PPOOLLIINNÓÓMMIIOOSS EE SSUUAASS RRAAÍÍZZEESS ...................................................................................................................................................................................... 77
TEOREMA DE KRONEKER ...................................................................................................................................................................................... 11 TEOREMA DE VIETT ............................................................................................................................................................................................. 13
IIII –– AAPPLLIICCAAÇÇÃÃOO DDAASS FFÓÓRRMMUULLAASS DDEE VVIIEETTTT NNAA RREESSOOLLUUÇÇÃÃOO DDEE PPRROOBBLLEEMMAASS NNOO EENNSSIINNOO SSEECCUUNNDDÁÁRRIIOO ...... 1166
EXERCÍCIOS. PARTE I.......................................................................................................................................................................................... 16 EXERCÍCIOS. PARTE II........................................................................................................................................................................................ 19
IIIIII –– PPOOLLIINNÓÓMMIIOOSS DDEE ““NN”” VVAARRIIÁÁVVEEIISS...................................................................................................................................................................... 2211
TEOREMA 7: TEOREMA FUNDAMENTAL SOBRE POLINÓMIOS SIMÉTRICOS .............................................................................................. 23
IIVV –– AAPPLLIICCAAÇÇÕÕEESS PPRRÁÁTTIICCAASS DDEE PPOOLLIINNÓÓMMIIOOSS SSIIMMÉÉTTRRIICCOOSS .................................................................................................................. 2299
1. RACIONALIZAR O DENOMINADOR ........................................................................................................................................................ 29 2. CONSTRUÇÃO DE POLINÓMIOS ............................................................................................................................................................. 32 3. RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS SIMÉTRICOS.......................................................................................................................................... 37
EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS PPRROOPPOOSSTTOOSS........................................................................................................................................................................................................ 4433
SUGESTÕES, RESPOSTAS E SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS ........................................................................................................ 44
CCOONNCCLLUUSSÃÃOO ...................................................................................................................................................................................................................................... 4466
FFOONNTTEESS BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFIICCOOSS .................................................................................................................................................................................................... 4477
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
5
IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO
O ensino da Matemática tem sido alvo de muitos estudos devido ao
fraco aproveitamento dos alunos. As razões que levam à essa situação são várias e, uma delas,
certamente, está ligada com a maneira como a disciplina tem sido leccionada, isto é, com os tipos de exercícios que são introduzidos na turma, com a motivação dos alunos, com a metodologia utilizada na resolução dos exercícios/problemas, etc.
Nesta perspectiva, é necessário analisar bem as unidades temáticas de forma a permitir uma boa selecção dos exercícios para a motivação dos alunos, despertando neles o gosto pela disciplina o que, por sua vez, vai facilitar a aprendizagem.
Assim, tendo em conta estes aspectos, levantou-se a seguinte hipótese: - “Se forem apresentados aos professores diversidades de
exercícios/problemas, bem como uma forma para construir os seus próprios exercícios/problemas, terão mais possibilidades para motivar os alunos e, por conseguinte, atingir melhores resultados na disciplina de Matemática”.
Foi assim que surgiu o tema da minha tese para obtenção do grau de licenciatura em Matemática, Aplicação de “Polinómios” na resolução de Problemas da “Matemática Elementar”, que pauta pelos seguintes objectivos:
- Fazer uma abordagem teórica dos polinómios e suas raízes ao nível da Álgebra Superior;
- Aplicar o teorema de Viett na resolução de exercícios/problemas no estudo das equações do 2º grau;
- Apresentar uma metodologia para racionalização do denominador de uma fracção;
- Considerar o método de resolução de sistemas simétricos; - Dar sugestões de criação de novos exercícios sobre o tema; - Propor diversos exemplos de problemas. Para traçar estes objectivos parti dos seguintes pressupostos:
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
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- No tratamento da unidade temática, “equações do 2º grau”, no 10º ano de escolaridade, os manuais apresentam pouca diversidade de exercícios, que permite aos professores explorar a capacidade dos seus alunos. Os exercícios/problemas devem ser elaborados de tal forma que elevem a capacidade de raciocínio dos alunos, que motivem os alunos para a aprendizagem, que relacionem aquilo que se está a aprender com o já aprendido. Por exemplo: “Sem resolver a equação, 0=2+3+2 xx , obtenha uma equação cujas raízes são inversos das suas”.
- Os processos da racionalização de denominadores das fracções utilizados no Ensino Secundário não permitem a resolução de alguns
exercícios. Por exemplo: a racionalização da fracção, =+12
14
;
- Os exercícios de construção de polinómios são pouco diversificados, pois não abordam a relação entre polinómios, por exemplo: “Seja
( ) 123 −+−= xxxxf . Encontrar ( ) [ ]xQxg ∈ cujas raízes são cubos das raízes de ( )xf ”.
- A resolução dos sistemas simétricos não contemplada no programa tem feito falta. Este conteúdo pode ser ministrado, pois o método de resolução está ao alcance dos alunos. È o caso do sistema,
+=+
+=+
3
1322
uvvu
uvvu.
O trabalho ora apresentado foi realizado com base nas pesquisas e análises bibliográficas. Ao longo da sua realização, houve vários encontros de reflexão entre a orientadora e o autor, que permitiram o seu enriquecimento.
Pretende-se que este trabalho seja acessível a todos aqueles que pretendem obter uma orientação na escolha dos exercícios/problemas ao longo do tratamento das unidades temáticas nele referidas.
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
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II –– PPOOLLIINNÓÓMMIIOOSS EE SSUUAASS RRAAÍÍZZEESS
Tendo em consideração o tema deste trabalho, Aplicação de “Polinómios” na resolução de Problemas da “Matemática Elementar”, considera-se de grande importância fazer uma pequena abordagem dos polinómios e as suas raízes.
Na origem de todos os assuntos básicos da Matemática Elementar (em particular, Álgebra) estão teorias fundamentais da Matemática ou Álgebra Superior.
As propriedades gerais encontram suas aplicações “simplificadas” em situações restritas ao nível “elementar”.
Assim polinómios de uma variável considerados sobre os corpos de números reais (R) e racionais (Q) a nível do Ensino Secundário são casos particulares dos polinómios de uma variável, construídos sobre um domínio de integridade com identidade L de característica zero (ou corpo qualquer P)
A noção de um polinómio introduz-se ao nível do Ensino Secundário no 8º ano e atinge uma certa profundidade nos níveis de ensino posteriores onde os alunos estudam polinómios com coeficientes reais.
Definição 1: Chama-se polinómio de variável x a toda expressão racional inteira redutível à forma 01
11 ...)( axaxaxaxf n
nn
n ++++= −− (forma
canónica), em que: e 011 ;;...;; aaaa nn − são números reais e 0≠na e n é um número natural ou nulo, isto é, 0Nn ∈ e Às expressões 01
11 e ,...,, axaxaxa n
nn
n−
− dá-se o nome de termos do polinómio e os números 011 e ;;...;; aaaa nn − denominam-se por coeficientes.
e Ao grau da potência nnxa chama-se grau do polinómio.
Exemplos 1: a. 132 2 +− xx (grau 2) b. 13 −x (grau 1)
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
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c. 232 23 +−+− xxx (grau 3) Nota 1:
a. Os polinómios de grau 0 (zero) chamam-se constantes b. O grau de um polinómio nulo é indeterminado
É claro que introduzindo a Definição 1 no 9º Ano de Escolaridade, não se faz referência às questões:
à Que estrutura algébrica formam polinómios sobre um corpo (corpo numérico)?
à Como se constrói essa estrutura? à Que propriedade possui essa estrutura, e porquê?
São momentos importantes e pensa-se que saber e compreender a sua fundamentação algébrica rigorosa é muito importante para os professores do Ensino Secundário, pois estende os seus horizontes de conhecimento e transforma-os em profissionais mais qualificados na sua área.
Por isso se vão abordar neste trabalho alguns capítulos da Teoria dos polinómios sobre um domínio de integridade com identidade L (ou corpo P)
Definição 2: Seja L – domínio de integridade com identidade, x um elemento transcendente sobre L.
Ao anel de polinómios de uma variável sobre L chama-se extensão simples transcendente L[x].
Os elementos desse anel chamam-se polinómios de uma variável x sobre L e designam-se por f(x), g(x), etc.
A Definição 2 é algébrica e é equivalente à definição funcional de polinómios só quando L é domínio de integridade de característica zero ( 0=char ).
Desse modo as definições algébrica e funcional de polinómios consideradas sobre os corpos numéricos (Q, R, C), não se distinguem.
O estudo das raízes de um polinómio no Ensino Secundário é uma das
grandes prioridades dentro da Matemática, uma vez que na resolução de equações do tipo 0... 01
11 =++++ −
− axaxaxa nn
nn não se faz outra coisa se não
procurar todas as raízes do polinómio que compõe o primeiro membro da equação. Seja 01
11 ...)( axaxaxaxf n
nn
n ++++= −− polinómio sobre o corpo P e ∆
extensão de P , isto é, ∆⊆P , então ( ) ∆∈∆∈∀ αα f:
Definição 3: Um elemento ∆∈α tal que ( ) 0=αf chama-se raiz do polinómio de ( ) [ ]xPxf ∈ .
Exemplo 2: -3 é uma raiz do polinómio 35)( 23 +−+= xxxxf , com efeito:
( ) ( ) ( ) 031592733533)3( 23 =+++−=+−⋅−−+−=−f Teorema 1: Um elemento ∈1x P é raiz de um polinómio ( ) [ ]xPxf ∈ se e
somente se o binómio 1xx − é divisor de ( )xf .
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
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Demonstração Segundo o Teorema de Bezout1, o resto da divisão inteira de )(xf por
1xx − é )( 1xf , por isso: g Se )(xf é divisível por 1xx − , então o resto é igual a zero; logo
f( 1x ) é igual a zero, isto é, 1x é raiz. g Se 1x é raiz de )(xf , então 0)( 1 =xf , logo )(xf é divisível por
1xx − . Nota 2: O Teorema 1 é condição necessária e suficiente para que 1x
seja raiz do polinómio ( )xf . Deste modo pode-se apresentar outra definição equivalente a Definição 3.
Definição 4: Um elemento Px ∈1 chama-se raiz do polinómio ( ) ][xPxf ∈ se ( )xf se divide por 1xx − .
Esta definição pode ser generalizada para o caso de raízes múltiplas de polinómios.
Definição 5: Um elemento Px ∈1 chama-se raiz de ordem, Nk ∈ , do polinómio ( )xf se ( )xf é divisível por ( )kxx 1− e não por ( ) 1
1+− kxx .
Assim sendo: g As raízes de ordem 1 (um) chamam-se raízes primas ou simples; g As raízes de ordem 2 (dois) chamam-se raízes duplas; g As raízes de ordem 3 (três) chamam-se raízes triplas; etc. Exemplo 3: O polinómio 43)( 23 +−= xxxf admite uma raiz dupla )2( e uma prima
)1(− , com efeito, ( )xf é divisível por ( )22−x e não por ( )32−x e é divisível por 1+x e não por ( )21+x .
Utilizando a regra de Ruffini2, pode-se constatar isto:
1 -3 0 4 2 2 -2 -4
1 -1 -2 0 = R 2 2 2
1 1 0 = R -1 -1
1 0 =R
( ) ( )12)( 2 +⋅−= xxxf Nota 3: a) Se ( )xf é um polinómio nulo, então Px ∈∀ 1 é raiz de ordem
indefinida de ( )xf , com efeito ( )xf é divisível por ( )mxx 1− com Nm ∈ ;
1 Bezout (Estevão) – Matemático Francês (1730-1783)
2 Ruffini – Matemático e Médico Italiano (1765-1822)
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
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b) Se 0)( ≠xf , então qualquer raiz Px ∈1 tem a ordem determinada f(x) deg ≤k , pois ( )xf é divisível por ( )kxx 1− e não por ( )mxx 1− , f(x) deg >m ;
c) Se 1x é raiz de ordem k de ( )xf onde nk < e f(x) d n eg= , então: ( ) )()( 1 xgxxxf k ⋅−=
Teorema 2: A quantidade de todas as possíveis raízes dum polinómio [ ]xPxf ∈≠ 0)( não é mais do que o seu grau.
Demonstração Suponhamos que:
11 k ordem de raíz é x ; 22 k ordem de raíz é x ;
… mk ordem de raíz é mx .
( ) ( ) ( ) )(...)( 2121 xgxxxxxxxf mk
mkk ⋅−⋅−⋅−= onde ( )xg é um polinómio para
o qual nenhum dos elementos mxxx ,...,, 21 é raiz. Então, ++++= mkkk ... f(x) deg 21 ( )xg deg , isto é: deg...21 <+++ mkkk ( )xf . Corolário 1: Se ( ) [ ]xPxf ∈ de grau n tem 1+n raízes diferentes, então
é um polinómio nulo. Agora passaremos a enunciar um teorema conhecido por princípio de
identidade de dois polinómios. Teorema 3: Dois polinómios [ ]xPf(x) e g(x) ∈ , cujos graus não são maiores
do que n , são iguais se eles tomam valores iguais em 1+n pontos diferentes. Demonstração
Sejam, ∑=
−−=
n
i
inin xaxf
0)( e ∑
=
−−=
n
i
inin xbxg
0)(
Suponhamos que ( )xg e ( )xf tomam os mesmos valores para os seguintes 1+n valores diferentes:
)()( 11 xgxf = )()( 22 xgxf =
… )()( nn xgxf =
)()( 11 ++ = nn xgxf Então, ( ) ( )xgxf − cujo grau não é superior a n , anula-se para
1+n valores diferentes, isto é, ( ) ( )xgxf − tem 1+n raízes (pelo menos). Então pelo Corolário 1, ( ) ( ) 0=− xgxf ⇔ ( ) ( )xgxf = . Definição 6: Seja *P uma extensão de P e [ ]xPxp ∈)( um polinómio
irredutível. Quando )(xp tem uma raiz em *P , dizemos que *P é um corpo de ruptura de )(xp .
Definição 7: O corpo P chama-se corpo de decomposição do polinómio ( )xf , se ( )xf se decompõe em factores lineares em [ ]xP .
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
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Definição 8: O corpo P chama-se algebricamente fechado se todas as raízes de polinómio arbitrário ( ) [ ]xPxf ∈ pertencem ao mesmo corpo P , isto é, se for corpo de decomposição de qualquer polinómio sobre ele.
De seguida vamos apresentar um teorema de grande utilidade na resolução de exercícios práticos apresentados neste trabalho, que descreve o processo de construção de um corpo de ruptura de um polinómio irredutível.
TEOREMA DE KRONEKER3 Teorema 4 (de Kroneker): Se f(x) é um polinómio de grau 1≥
irredutível sobre o corpo P, então existe uma extensão do corpo P, que contem uma determinada raiz de f(x).
Demonstração Consideremos o anel [ ]xP e construímos o anel – quociente [ ]
( ))(xfxP
(corpo de ruptura), onde ( )xf é irredutível sobre P . [ ]
( ))(xfxP é o anel de classes de restos obtidos da divisão de qualquer
polinómio ( ) [ ]xPxg ∈ por ( )xf . g Além disto, [ ]
( ))(xfxP é um corpo, isto é, para as classes de
[ ]( ))(xf
xP diferentes de ( )xf=0 se efectua a divisão, isto é, todo o elemento de [ ]
( ))(xfxP diferente de 0 é invertível.
Para se convencer disso, devemos mostrar a existência da classe que desempenha o papel da unidade e que, para qualquer classe diferente de 0 , existe a classe inversa.
A unidade de [ ]( ))(xf
xP é 1, isto é, a classe de polinómios que na divisão
por ( )xf dá resto 1. Seja )(xS ∈ [ ]
( ))(xfxP , uma classe diferente de 0 e ( )xs ∈ )(xS , então
( )xs não é divisível por ( )xf , e sabendo que ( )xf é irredutível, tem-se ( ) 1)();( =xfxsMDC , isto é, ( ) ( ) [ ]xPxvxu ∈∃ e :
1)()()()( =⋅+⋅ xvxfxuxs 1)()()()( +⋅−=⋅⇔ xvxfxuxs , o que significa que 1)()( =⋅ xUxS , onde
)(xU a classe que contém ( )xu .
1)()( =⋅ xUxS ( ) 1)()(
−=⇔ xSxU , isto é, )(xU é inverso de )(xS .
Logo, [ ]( ))(xf
xP é um corpo.
g Mostremos que [ ]( ))(xf
xP é extensão do corpo P .
Pomos em correspondência a cada elemento a de P uma classe de polinómios que tem o resto igual a ""a (polinómio de grau zero) na divisão por f(x), isto é, aa → .
3 Kroneker (Leopold) – Matemático Alemão (1823-1891)
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
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Tais classes completam um subcorpo do corpo [ ]( ))(xf
xP isomorfo a P .
Realmente a bijecção é evidente e a "." e ""+ de elementos de P corresponde a “+” e “.” das classes às quais pertencem os elementos de P .
Por isso, pode-se não distinguir os elementos de P e as classes correspondentes de [ ]
( ))(xfxP .
g Designemos por X a classe de polinómios que tem o resto ""x na divisão por ( )xf . X ∈ [ ]
( ))(xfxP .
É fácil verificar que X é raiz do polinómio ( )xf em [ ]( ))(xf
xP .
Seja 011
1 ...)( axaxaxaxf nn
nn ++++= −
− e iA uma classe correspondente a Pai ∈ , ( )ni ,0= .
Consideremos o elemento 011
1 ... AXAXAXA nn
nn +⋅++⋅+⋅
−− do corpo
[ ]( ))(xf
xP .
A classe 011
1 ... AXAXAXA nn
nn +⋅++⋅+⋅
−− contem ( )xf (tendo em conta as
regras de "." e ""+ de classes). Como ( )xf é divisor de ( )xf , então essa classe é igual a classe 0 . Deste modo, substituindo em 01
11 ... AXAXAXA n
nn
n +⋅++⋅+⋅−
− as classes
iA por respectivos elementos Pai ∈ , verifica-se que no corpo [ ]( ))(xf
xP tem
lugar: 0... 01
1
1 =++++−
− aXaXaXan
n
n
n , isto é, a classe X é raiz de ( )xf . Como consequência deste teorema, pode-se enunciar o seguinte
teorema: Teorema 5: Para qualquer polinómio )(xf de grau 1≥ sobre o corpo P,
existe uma extensão L do corpo P, tal que )(xf se representa sob a forma de produto de factores lineares, isto é, L é o corpo de decomposição de )(xf .
Demonstração Com efeito: Seja ][)( xPxf ∈ de grau 1≥n . Pelo Teorema 4 existe uma extensão 1K
de P, tal que )(xf tem uma raiz 1x e, por isso, pode ser representada sob a forma:
( ) )()( 11 xfxxxf ⋅−= , onde )(1 xf ][1 xK∈ e grau de )(1 xf é 1−n . Aplicando o Teorema 4 ao corpo 1K e ao polinómio )(1 xf , obtemos a
extensão 2K do corpo 1K , onde existe uma raiz 2x do polinómio )(1 xf . Claro que 2x é raiz de )(xf e 2K é extensão de P. Agora tem lugar a representação:
( ) ( ) )()( 221 xfxxxxxf ⋅−⋅−= , onde )(2 xf ][2 xK∈ e grau de )(xf é igual a 2−n .
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
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Continuando este processo constroem-se as extensões, nKKK ,...,, 43 do corpo P; que contêm as raízes, nxxx ,...,, 43 de )(xf .
Depois de n passos se obtém o polinómio )(n xf de grau 0, isto é, )(n xf é igual a um constante nKc ∈ .
O corpo nK é a extensão L procurada do corpo P, assim: ( ) ( ) ( )nxxxxxxcxf −⋅⋅−⋅−⋅= ...)( 21
Exemplo 4: 2)( 2 −= xxf não se decompõem em factores lineares sobre o corpo Q,
mas em R: ( ) ( )22)( +⋅−= xxxf , logo R é um corpo de decomposição de )(xf . Corolário 2: Um polinómio de grau n tem no corpo de decomposição n
raízes: nxxx ,...,, 21 . Com efeito, como )(xf não pode ter em nenhuma extensão de P mais do
que n raízes, então pode-se dizer que o corpo de decomposição contem todas as raízes de )(xf .
Corolário 3: Em corpo de decomposição do polinómio, 01
11 ...)( axaxaxaxf n
nn
n ++++= −− , a sua decomposição canónica tem a forma:
( ) ( ) ( ) nkn
kkn xxxxxxaxf −⋅⋅−⋅−⋅= ...)( 21
21 , onde: nkkk n =+++ ...21 e nxxx ,...,, 21 são raízes diferentes.
Com efeito, na decomposição ( ) ( ) ( )nxxxxxxcxf −⋅⋅−⋅−⋅= ...)( 21 , pode existir os factores iguais, agrupando-os obtém-se a representação:
( ) ( ) ( ) nkn
kk xxxxxxcxf −⋅⋅−⋅−⋅= ...)( 2121 , onde nkkk n =+++ ...21 e
nxxx ,...,, 21 são diferentes em pares, isto é, representa a sua forma canónica. A constante c define-se igualando os coeficientes de nx dos polinómios
que ficam nas duas partes da expressão: ( ) ( ) ( ) nk
nkk xxxxxxcxf −⋅⋅−⋅−⋅= ...)( 21
21 , logo nac = . Com esta exposição teórica chega-se ao teorema que ao longo deste
trabalho vai ser explorado no sentido da sua aplicação na resolução de problemas do ensino secundário.
TEOREMA DE VIETT4 Teorema 6 (de Viett): se nxxx ,...,, 21 são raízes do polinómio,
011
1 ...)( axaxaxaxf nn
nn ++++= −
− e 0≠na , então:
n
nn a
axxx 121 ... −−=+++
n
nnnnn a
axxxxxxxxxxxx 2123213121 ......... −
− =⋅++⋅++⋅+⋅++⋅+⋅
… ( )∑ −⋅−=⋅⋅⋅
kn
kC n
knkjjj a
axxx 1...21
, onde nk ≤≤2 e ( )!!!
knknC k
n −⋅=
4 Viett (Fransua) – Matemático Francês (1540-1603)
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
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( )n
nn a
axxx 021 1... ⋅−=⋅⋅⋅
Estas fórmulas são conhecidas como fórmulas de Viett. Para obtê-las, basta multiplicar os binómios na parte direita da
identidade: ( ) ( ) ( )nn
nn
nn xxxxxxaaxaxaxa −⋅⋅−⋅−⋅=++++ −
− ...... 21011
1 , reduzir os termos semelhantes e igualar os coeficiente do mesmo grau de x nas duas partes da igualdade apresentada.
A título de exemplos: g Para 2=n
( ) ( )212012
2 xxxxaaxaxa −⋅−⋅=++ ( )2112
2201
22 xxxxxxxaaxaxa +−−⋅=++⇔
( ) 21212222
2012
2 xxaxxaxaxaaxaxa +−−+=++⇔ , então:
( )2
1121221 a
axxxxaa −=+⇔+⋅−=
2
0212120 a
axxxxaa =⇔=
g Para 3=n ( ) ( ) ( )321301
22
33 xxxxxxaaxaxaxa −⋅−⋅−⋅=+++
( )321213112
3222
323
3012
23
3 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxaaxaxaxa −++−+−−⋅=+++⇔
( ) ( ) 3213323313213
2132333
33 xxxaxxaxxaxxaxxaxaxaxa −+++⋅−−−+⇔
( )
=−
++=
++=−
⇔
−=++=
++⋅−=
3213
0
3231213
1
3213
2
32130
3233132131
32132
xxxaa
xxxxxxaa
xxxaa
xxxaaxxaxxaxxaa
xxxaa
g Para 4=n ( ) ( ) ( ) ( )4321401
22
33
44 xxxxxxxxaaxaxaxaxa −⋅−⋅−⋅−⋅=++++
( ++−+−−⋅=++++⇔ 42
22
343
23
34
34401
22
33
44 xxxxxxxxxxxxxaaxaxaxaxa
)4321321421212
431312
412
13
432322 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx +−−+−++−−−+
( ) ( +⋅+⋅+++⋅−=++++⇔ 4243
123444
4012
23
34
4 xxaxxxxxaxaaxaxaxaxa ) ( ) +⋅+++⋅−⋅+++++ xxxxxxxxxxxxxaxxxxxxxxxxx 3214214314324
24321314132
43214 xxxxa ⋅+
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=
+++=−
+++++=
+++=−
⇔
43214
0
4324314213214
1
4342324131214
2
43214
3
xxxxaa
xxxxxxxxxxxxaa
xxxxxxxxxxxxaa
xxxxaa
Exemplo 5: Consideremos o polinómio, 1)( −= nxxf , sobre o seu corpo de decomposição, C.
As raízes de )(xf são raízes de ordem n de unidade: 0W , 1W , 2W , 3W , …,
1−nW , onde nkisen
nkWk
ππ 22cos += , ( )1,0 −= nk
Pelas Fórmulas de Viett obtém-se:
( )
−=
=+++=+++
−−
−−
−
nnn
nn
n
WWWW
WWWWWWWWW
1......
0...0...
1210
122010
110
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IIII –– AAPPLLIICCAAÇÇÃÃOO DDAASS FFÓÓRRMMUULLAASS DDEE VVIIEETTTT NNAA RREESSOOLLUUÇÇÃÃOO DDEE PPRROOBBLLEEMMAASS NNOO EENNSSIINNOO SSEECCUUNNDDÁÁRRIIOO
As fórmulas de Viett não são mais do que a extensão das fórmulas da
soma e produto das raízes de uma equação do 2º grau ministrada no Ensino Secundário no 10º Ano de Escolaridade.
Neste sentido passa-se a apresentar alguns exercícios de aplicação dessas fórmulas que podem servir como exercícios de apoio para os professores que trabalham no Ensino Secundário.
Também, na base de algumas ideias gerais expostas nos problemas “com parâmetros”, sugere-se a criação das colectâneas de exercícios individuais para a prática lectiva dos professores (Exercícios. Parte II).
EXERCÍCIOS. PARTE I 1. Completar uma equação do 2º grau sabendo as suas raízes 1x e
2x :
a) 11 =x e 32 −=x b) 611 +=x e 612 −=x
c) 2
711
+−=x e
271
2−−
=x
d) 31 −=x e 332 =x Resolução
a) É claro que a equação procurada pode ser escrita na forma
02 =++ CBxx , com efeito, 00 22 =++⇔=++acx
abxcbxax .
23121 =⇔−=−⇔−=+ BBBxx ( ) 33121 −=⇔=−⋅⇔=⋅ CCCxx
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
17
A equação procurada é 0322 =−+ xx . Outras equações equivalentes à 0322 =−+ xx podem ser encontradas, bastando para isso, multiplicar o primeiro
membro da referida equação por um constante diferente de zero. b) Seja a equação procurada na forma 02 =++ CBxx
221 −=⇔−=+ BBxx
( ) ( ) 56161616122
21 −=−=−=⇔−⋅+=⇔=⋅ CCCxx A equação procurada é 0522 =−− xx . Outras equações equivalentes à
0522 =−− xx podem ser encontradas, bastando, para isso, multiplicar o primeiro membro da referida equação por um constante diferente de zero.
c) Seja a equação procurada na forma 02 =++ CBxx
12
712
7121 =⇔
−−+
+−=−⇔−=+ BBBxx
23
46
471
271
271
21−
=−
=⇔−
=⇔
−−⋅
+−=⇔=⋅ CCCCxx
A equação procurada é 032023 22 =−+⇔=−+ xxxx . Outras equações
equivalentes à 032 2 =−+ xx podem ser encontradas, bastando, para isso, multiplicar o primeiro membro da referida equação por um constante diferente de zero.
d) Seja a equação procurada na forma, 02 =++ CBxx
3233321 −=⇔+−=−⇔−=+ BBBxx 933321 −=⇔⋅−=⇔=⋅ CCCxx
A equação procurada é 09322 =−−+ xx . Outras equações equivalentes à 09322 =−−+ xx podem ser encontradas, bastando, para isso, multiplicar o primeiro membro da referida equação por um constante diferente de zero.
Nota: Da resolução destes exercícios, pode-se constatar que, para além do conhecimento das fórmulas de Viett, os alunos devem ainda dominar as operações com números reais onde muitas vezes apresentam várias dificuldades.
Ainda, o professor pode propor outros tipos de exercícios aos alunos: 2. Indique as raízes das equações seguintes sem aplicar a fórmula
resolvente: a) 01272 =+− xx b) 0132 2 =+− rr c) 0123 2 =−− tt
Resolução Tendo em conta que se uma equação do 2º grau tem raízes, 1x e 2x
então:
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
18
( ) 0000 222 =+−⇔=++⇔≠=++ PSxxac
abxacbxax , onde:
21 xxS += e 21 xxP ⋅= Na resolução de exercícios em 2) deve-se em primeiro lugar, reduzir a
equação à forma 02 =+− PSxx e a partir da soma e do produto das raízes, determinar as próprias raízes.
a) 01272 =+− xx 7=S e 8=P , significa que 1x e 2x são positivos
1x 2x 21 xx ⋅ 21 xx + 4 3 12 7
Então, { }3,4=Solução
b) 0132 2 =+− rr 021
232 =+−⇔ xx
23
=S e 21
=P , significa que 1x e 2x são positivos.
Nota-se que 211
23
+==S (basta efectuar a divisão inteira de 3 por 2) e
que P==⋅21
211 .
Então,
=
21
,1Solução
c) 0123 2 =−− tt 031
322 =−−⇔ tt
32
=S e 31
−=P , significa que 1x e 2x são de sinais opostos.
Nota-se que
−
+==31
132S e que P=
−=
−
⋅31
31
1
Então,
−
=31
,1Solução
3. Decompor em factores lineares os seguintes polinómios, caso possível. a) 152)( 2 −−= xxxf b) ( ) axaxxg 22)( 2 +++= c) 123)( 2 −−= vvxh
Resolução a) 152)( 2 −−= xxxf 3 xe 5x-15P e 2 21 −==⇒==S
( ) ( )35)( +⋅−= xxxf b) ( ) axaxxg 22)( 2 +++= aaS −=−=⇒=−−= 21 xe 2x2aP e 2
( ) ( )axxxg +⋅+= 2)(
c) 123)( 2 −−= vvxh 31 xe 1
31-P e
32
21−
==⇒== xS
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
19
( )
+⋅−⋅=
31
13)( xxxh
EXERCÍCIOS. PARTE II Os problemas com parâmetros exigem um nível elevado de
“familiarização” com o assunto e compreensão da matéria. A resolução desses exercícios têm carácter investigativo, pressupõem os momentos de “análise” e “síntese”, interpretação de diferentes situações ou casos.
Descobrindo as “potencialidades cognitivas”, isto é, a “bagagem” de ideias que os problemas contêm, a amplitude das suas aplicações, o professor, sem grandes dificuldades, consegue criar um vasto leque de exercícios “simples” para os seus alunos.
Seguidamente, propõem-se alguns exercícios do género: 1. Demonstrar que as raízes das equações 02 =++ qpxx e
012 =++ pxqx são números inversos entre si. Resolução
Com efeito, se 1x e 2x são raízes da equação 02 =++ qpxx , então: pxx -=+ 21 e qxx =21
Para a equação 012 =++ pxqx , se 1y e 2y são suas raízes, então:
2121
2
21
1
21
2121
11xxxx
xxx
xxxxx
qp-yy +=+=
+==+
212121
1111xxxxq
yy ×===× , logo as raízes de 02 =++ qpxx são inversos
das raízes de 012 =++ pxqx . 2. Encontrar o quadrado da diferença das raízes da equação,
02 =++ qpxx . Resolução
Sejam 1x e 2x as raízes da equação 02 =++ qpxx , então: pxx -=+ 21 e qxx =21
( ) ( ) q-xx-xxq-xxxxx-x-xx 2222 212
212
22
12
2212
12
21 +=+=+= q-pqq--p 422 22 ==
R: O quadrado da diferença das raízes é igual a 4q-2p Nota: Partindo desses exemplos, podemos propor exercícios
interessantes que poderão despertar interesses nos alunos na aprendizagem. Até porque, se repararmos bem, na resolução deste tipo de exercício, os alunos têm de ser capazes de conhecer fórmulas de casos notáveis, aplicar artifícios e conhecer as operações básicas com números reais, principalmente, permitindo, deste modo, a consolidação da matéria.
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
20
O exercício do ponto 2, por exemplo, pode ser lançado da seguinte forma:
" Sem resolver a equação, 0232 =++ xx determina o quadrado da diferença das suas raízes.
Resolução: 2q e 3 ==p ( ) 18-924-34q-- 2 ==×== 22
21 pxx
3. Encontrar a soma dos quadrados das raízes da equação, 02 =++ qpxx .
Resolução Sejam 1x e 2x as raízes da equação 02 =++ qpxx , então:
pxx -=+ 21 e qxx =21 ( ) ( ) 2q-2q-p-- 22
22
122
22
1212
212
22
1 2 pxxxxxxxxxx =+⇔=+⇔+=+ R: A soma dos quadrados das raízes da equação 02 =++ qpxx é 2q-2p . 4. Encontrar a soma dos cubos das raízes da equação
02 =++ qpxx . Resolução
Sejam 1x e 2x as raízes da equação 02 =++ qpxx , então: pxx -=+ 21 e qxx =21
( ) ( ) ( )122133
23
12
2122
13
213
23
1 333 xxxx-pxxxxxxxxxx +=+⇔+=+ --- ( ) qppxxpqpxx 33 33
23
133
23
1 +=+⇔=+⇔ ----
R: A soma dos cubos das raízes da equação 02 =++ qpxx é qpp 33 +- .
5. Para que valor do parâmetro “p”, a razão entre as raízes da equação, 0162 =−+ pxx , é igual a -4?
Resolução Sejam 21 e αα as raízes da equação 0162 =−+ pxx . Sabe-se que: 1) p−=+ 21 αα 2) 1621 −=αα
3) 212
1 44 αααα
−=⇔−= (pelo dado)
De 2): 2416416 22
22221 ±=⇔=⇔−=−⇔−= αααααα De 3): Se 22 =α então, 81 −=α , logo 682 =⇔−=− pp Se 22 −=α então 81 =α , logo 682 −=⇔−=+− pp O parâmetro “p” pode ser igual a 6 ou -6.
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
21
IIIIII –– PPOOLLIINNÓÓMMIIOOSS DDEE ““NN”” VVAARRIIÁÁVVEEIISS
A noção de polinómio de n variáveis introduz-se a partir da noção do polinómio de uma variável.
Sabe-se que, na linguagem algébrica, essa definição significa o seguinte:
Um polinómio de uma variável x sobre um domínio de integridade L com identidade, é um elemento do anel [ ]xL que é extensão simples transcendente de L, e x um elemento transcendente sobre L. Representa-se por, ( ) ( ),..., xgxf .
Tendo em conta que qualquer extensão transcendente simples de [ ]xL é também domínio de integridade com identidade, isto é, por exemplo,
[ ][ ] [ ]yxLyxL , = , onde y é um elemento transcendente sobre [ ]xL , pode-se estender a noção de um polinómio de uma variável para noção de um polinómio de duas, três, …, “n” variáveis sobre um domínio de integridade com identidade, em particular, um corpo.
Definição 9: Ao anel de polinómios [ ]nn xxxxL ,,...,, 121 − de variáveis, nn xxxx ,,...,, 121 − , sobre o domínio de integridade L, chama-se anel de polinómios de
uma variável nx sobre o domínio de integridade [ ]121 ,...,, −nxxxL , isto é: [ ][ ] [ ]nnn xxxxLxxxxL ,,...,, ,...,, 121n121 −− = (por definição).
Cada elemento do anel [ ]nxxxL ,...,, 21 chama-se polinómio de “n” variáveis,
nxxx ,...,, 21 sobre L e designa-se por ( )nxxxf ,...,, 21 , ( )nxxxg ,...,, 21 , …, tendo a forma:
( ) ∑=
=n
i
kn
kkin
niii xxxAxxxf1
2121 ...,...,, 21 , onde LAi ∈ , ( )n,1,0 =∈ + iZkli .
Definição 10: Dois termos de um polinómio que se distinguem só por coeficientes chamam-se semelhantes.
Se um polinómio não tem termos semelhantes diz-se que o polinómio está na forma canónica.
Definição 11: Grau do termo nkn
kk xxAx ...2121 do polinómio, ( )nxxxf ,...,, 21 é a
soma, nkkk +++ ...21 .
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
22
O número ik chama-se grau do termo dado relativamente a ix . Definição 12: O maior dos graus dos termos do polinómio chama-se
grau do polinómio dado. Definição 13: O termo de grau maior chama-se termo maior do
polinómio. Obs.: Um polinómio pode ter diferentes termos maiores. Exemplos 6: ( ) xyxyzzxzxyzyxf −++= 32,, 2423 Os termos maiores são: 232 zxy e 24zx Definição 14: Se todos os termos do polinómio têm o mesmo grau, “l”,
então o polinómio chama-se homogéneo ou forma de grau “l”. Obs.: Qualquer polinómio pode ser representado sob a forma de soma
de número finito dos polinómios homogéneos de graus diferentes. Definição 15: Um polinómio ( )nxxxf ,...,, 21 chama-se simétrico
relativamente às variáveis kiii xxx ,...,,
21 onde ( )k1,j =ji são números do conjunto
{ }( )nk ,...,3,2,1 ≤n diferentes em pares, se depois de uma permutação qualquer de variáveis
kiii xxx ,...,,21
, se obtém um polinómio igual ao polinómio dado. Um polinómio ( )nxxxf ,...,, 21 chama-se simétrico se ele é simétrico
relativamente a todas as variáveis, nxxx ,...,, 21 . Nota: qualquer constante pode ser considerado um polinómio simétrico. Exemplos 7:
a) ( ) 22, yxyxf += é simétrico, com efeito, ( ) ( )yxfxyxyf ,, 22 =+= b) ( ) 5223, 2
212121
22121 ++−−+= xxxxxxxxxxg é também simétrico
c) ( ) 32212
2321 2,, xxxxxxxxh −+= é simétrico relativamente a 31 x e x , mas não é simétrico relativamente a 32 x e x ou 21 x e x , por isso ele não é simétrico.
Nota: Aos polinómios:
nxxx +++= ...211σ nn xxxxxx 131212 ... −+++=σ
…
∑=k
nk
Cjjjjk xxxx ...
321σ , onde ( )
−⋅
=!!
!knk
nC kn
nn xxxx ...321=σ , são polinómios simétricos fundamentais (elementares ou simples).
Propriedades de polinómios simétricos 1. A soma, a diferença e o produto de polinómios simétricos de “n”
variáveis sobre o corpo P é um polinómio simétrico sobre esse corpo.
2. O conjunto de todos os polinómios simétricos é um subanel do domínio de integridade [ ]nxxxP ,...,, 21 . Esse subanel é um domínio de integridade com unidade.
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
23
3. Se o polinómio simétrico contém o termo ni ln
li
ll xxxUx ......2121 , então
ele contém também o termo formado mediante a uma permutação de expoentes nllll ,...,,, 321 arbitrária.
4. Se nii ln
li
li
ll xxxxx ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ++ ...... 121121 é termo maior de um polinómio
simétrico, então nlll ≥≥≥ ...21
TEOREMA 7: TEOREMA FUNDAMENTAL SOBRE POLINÓMIOS SIMÉTRICOS Qualquer polinómio simétrico, ( )nxxxf ,...,, 21 , de “n” variáveis sobre P,
pode ser representado sob a forma de um polinómio sobre P de polinómios simétricos fundamentais 1σ , 2σ , …, nσ de variáveis nxxx ,...,, 21 .
Antes de passar para a demonstração do teorema apresentado, vai-se fazer algumas observações que servirão de base para a demonstração do teorema.
1. Um polinómio de “n” variáveis nxxx ,...,, 21 pode ter somente um número finito de diferentes (não semelhantes) termos de grau determinado, “l”. Esse número não ultrapassa a quantidade de possibilidades de representação de “l” como soma de “n” parcelas ordenadas inteiras não negativas.
Exemplos 8: Para 7=l ; 2=n temos 8 possibilidades. 347 2;57 1;67 0;77 4;37 5;27 ;617 ;707 +=+=+=+=+=+=+=+=
2. O termo maior nln
ll xxx ...2121 de qualquer polinómio simétrico pode
ser representado como o termo maior do produto de polinómios simétricos fundamentais, nσσσ ...,, ,21 .
Considera-se o produto, nnn ln
lln
llll σσσσ ⋅⋅⋅ −−
−− −13221121
Pela propriedade 4 de polinómios simétricos, nnn lllllllll ,,...,,, 1433221 −−−− − são números inteiros não negativos, por isso nnn l
nll
nllll σσσσ ⋅⋅⋅ −
−−− −13221
121 é um polinómio de nxxx ,...,, 21 .
Assim como o termo maior do produto de dois ou mais polinómios fundamentais é igual ao produto dos termos maiores desses polinómios e sabendo que os termos maiores de nσσσ ,...,, 21 são, respectivamente,
nn xxxxxxxxxxxx ... ,... ..., , , , 21121321211 − , então o termo maior do produto nnn l
nll
nllll σσσσ ⋅⋅⋅ −
−−− −13221
121 é igual a: ( ) ( ) ( )nnn l
nll
nllll xxxxxxxxx ......... 21121211
13221 ⋅⋅⋅⋅ −−
−− − , que coincide com o termo nl
nll xxx ⋅⋅⋅ ...21
21 . 3. Sabe-se que qualquer polinómio simétrico pode ser representado
sob a forma da soma de polinómios simétricos homogéneos. Com efeito, se um polinómio é simétrico então cada um dos seus
componentes homogéneos é também um polinómio simétrico. Pois, para qualquer
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
24
permutação de variáveis nxxx ,...,, 21 , cada termo do polinómio se transforma em termos do mesmo grau, isto é, em outro termo do mesmo polinómio homogéneo. Por isso, a igualdade do polinómio, obtido depois de uma permutação das variáveis, ao polinómio dado significa invariedade de cada um dos componentes homogéneos, isto é, a simetria desses polinómios homogéneos.
Demonstração do Teorema Fundamental dos Polinómios Simétricos Depois destas observações, pode-se demonstrar o teorema
fundamental dos polinómios simétricos. Vai-se fazer a demonstração para os polinómios simétricos homogéneos, uma vez que cada polinómio simétrico pode ser representado sob a soma de polinómios simétricos homogéneos.
Seja ( )nxxxf ,...,, 21 um polinómio homogéneo de grau “m”. Suponhamos que o termo maior de ( )nxxxf ,...,, 21 tem a forma:
nln
ll xxAx ...2121 (1)
Constrói-se o polinómio simétrico: ( ) nnn l
nll
nllll
n Axxxg σσσσ ⋅⋅⋅⋅⋅= −−
−− −1322112121 ...,...,,
Segundo observação 2, o termo maior desse polinómio é igual a (1). Além disso, ( )nxxxg ,...,, 21 é polinómio homogéneo, assim como são homogéneos os seus factores nσσσ ,...,, 21 .
O grau do polinómio ( )nxxxg ,...,, 21 é igual ao grau do polinómio ( )nxxxf ,...,, 21 , pois esses polinómios têm os mesmos termos maiores.
Considera-se agora ( ) ( ) ( )nnn xxxgxxxfxxxf ,...,,,...,,,...,, 2121211 −= Claro que ( )nxxxf ,...,, 211 é também um polinómio simétrico homogéneo de
grau “m”. Mas esse polinómio já não contém todos os possíveis termos desse grau. Realmente, ( )nxxxf ,...,, 211 já não contém o termo (1). Além do mais nessa subtracção desaparecem todos os !n termos que se obtêm do termo (1) como resultado de todas as possíveis permutações dos expoentes nlll ,..,, 21 , assim como pela propriedade 3, esses termos estão contidos nos polinómios ( )nxxxf ,...,, 21 e
( )nxxxg ,...,, 21 . O polinómio ( )nxxxf ,...,, 211 pode conter só termos do mesmo grau com
sistema de expoentes nlll ,..,, 21 “inferior” a do termo (1). Aplica-se a esse polinómio o mesmo raciocínio, isto é, seja o termo
maior de ( )nxxxf ,...,, 211 da forma: nmn
mm xxxB ⋅⋅⋅⋅ ...2121 (2)
Constrói-se o polinómio: ( ) nnn mn
mmn
mmmmn Bxxxg σσσσ ⋅⋅⋅⋅⋅= −
−−− −13221
121211 ...,...,, e forma-se a diferença ( ) ( ) ( )nnn xxxgxxxfxxxf ,..,,,..,,,..,, 211211212 −= .
Também ( )nxxxf ,...,, 212 é polinómio simétrico homogéneo de grau “m” que não contém os termos (1) e (2), e pode conter só os termos com os sistemas de expoentes “inferior” a do sistema de expoentes de (1) e (2).
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
25
Assim como a quantidade de diferentes termos de grau “m”, pode ser um número finito (Obs. 1), então, continuando este processo, a um determinado passo, chega-se à diferença:
( ) ( ) ( )nknknk xxxgxxxfxxxf ,...,,,...,,,...,, 2121211 −=+ que não pode conter nenhum termo de grau “m”, isto é, igual ao polinómio nulo.
Então, das diferenças: gff −=1
112 gff −= …
11 −− −= kkk gff
kk gf −=0 , segue-se a que kk gggggf +++++= −121 ... Assim como os polinómios kgggg ,...,,, 21 são expressos por produtos de
polinómios nσσσ ..., , , 21 , então o polinómio ( )nxxxf ,...,, 21 fica representado sob a forma de um polinómio de nσσσ ,...,, 21 .
( ) ( )nn ,...,σ,σσ ,...,x,xxf 2121 ϕ= (3) Os coeficientes desse polinómio ϕ são obtidos de coeficientes do
polinómio dado depois de adição e subtracção, por isso, são elementos do corpo P. Teorema 8: A representação de um polinómio simétrico sob a forma de
um polinómio de polinómios simétricos fundamentais é única. Exemplos 9: Encontrar a representação do polinómio,
( ) ( ) 54,, 23
22
21
2323
22
231
2213
212
21321 +++⋅−+++++= xxxxxxxxxxxxxxxxxxf , sobre Q,
por polinómios simétricos fundamentais. Primeiro vai-se escrever ( )321 ,, xxxf sob a forma de uma soma algébrica
de polinómios homogéneos de graus diferentes: ( ) 54,, 21321 +−= ffxxxf onde: ( ) 2
3232
22
312
2132
122
13211 ,, xxxxxxxxxxxxxxxf +++++= ( ) 2
32
22
13212 ,, xxxxxxf ++= Vai-se agora expressar separadamente 1f e 2f por polinómios
simétricos fundamentais. O termo maior de 1f é 2
21 xx , isto é, 21 =l , 12 =l e 03 =l (sistema de
expoentes de 22
1 xx ). ( ) 21
03
012
1213211 ,, σσσσσ ⋅=⋅⋅= −−xxxg
Não é necessário determinar a subtracção 11 gf − , basta determinar a forma dos termos do polinómio ( )321 ,, σσσϕ , e depois encontrar os coeficientes através do método de coeficientes indeterminados.
Na diferença 11 gf − desaparecem todos os termos da forma 321
321lll xxx ⋅⋅ , cujos expoentes 321 ,, lll é uma permutação qualquer do sistema dos
expoentes 2, 1, 0, do termo maior de 1f . Ao mesmo tempo, podem aparecer os
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
26
termos do mesmo grau “3” mas com outro sistema “inferior” de expoentes. Neste caso, tal sistema é 1, 1, 1.
Portanto, no segundo passo, será necessário subtrair o polinómio simétrico: ( ) 3321
'1 ,, σ⋅== axxxg .
Assim como para os termos de grau “3” não existem sistemas de expoentes “inferior” a 1, 1, 1, então se pode escrever:
3213211 ),,( σσσ ⋅+⋅= axxxf , onde “ a ”, por enquanto, um coeficiente indeterminado ou em forma desenvolvida.
Para encontrar o valor do coeficiente “ a ”, basta atribuir às variáveis, 321 ,, xxx , quaisquer valores do corpo Q, por exemplo, 1321 === xxx . Assim sendo,
pode-se obter o seguinte: ( ) 396,, 3213211 −=⇔+=⇔⋅+⋅= aaaxxxf σσσ
Logo, ( ) 3213211 3,, σσσ ⋅−⋅=xxxf Analogamente pode-se proceder para ( ) 2
32
22
13212 ,, xxxxxxf ++= . O termo maior é 2
1x , isto é, 21 =l , 02 =l e 03 =l , logo: ( ) 2
13212 ,, σ=xxxg Podem aparecer os termos do mesmo grau “2”, mas com outro, sistema
“inferior” de expoentes. Neste caso, 1, 1, 0. Então, ( ) 23212 ,,' σ⋅= bxxxg Como, para os termos de grau “2”, não existem sistemas de expoentes
“inferior” a 1, 1, 0, então, pode-se escrever: ( ) 2
213212 ,, σσ ⋅+= bxxxf
Para 1321 === xxx , se obtém: ( ) 2393,, 2
213212 −=⇔+=⇔⋅+= bbbxxxf σσ
Logo, ( ) 22
13212 2,, σσ ⋅−=xxxf Finalmente, ( ) ( ) 5243,, 2
21321321 +⋅−⋅−⋅−⋅= σσσσσxxxf .
Nota: Uma das grandes vantagens da representação de um polinómio sob a forma de um polinómio de polinómios simétricos fundamentais consiste exactamente na representação de Somas de Potências, isto é, polinómios simétricos da forma:
{ }( )0\Nk onde ...321 ∈++++= kn
kkkk xxxxS
Do teorema fundamental sobre polinómios simétricos, segue-se a que cada soma de potências pode ser representado como um polinómio de polinómios simétricos fundamentais (com coeficientes inteiros).
É fácil ver que: 11 σ=S
22
12 2σσ −=S (foi encontrado no decurso da resolução do exercício do exemplo 9).
Pode-se obter a fórmula para 332
313 ... nxxxS +++= , aplicando o método
geral de representação de polinómio simétrico por polinómios simétricos fundamentais.
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
27
Completa-se a tabela:
Sistema de expoentes de termos maiores
Termos maiores Produtos de polinómios fundamentais correspondentes
3, 0, 0 31x 3
1σ 2, 1, 0 2
21 xxa ⋅ 21 σσ ⋅⋅a
1, 1, 1 321 xxxb ⋅ 3σ⋅b
Logo, pode-se escrever: 321
313 σσσσ ⋅+⋅⋅+= baS , onde “ a ” e “b ” são coeficientes
indeterminados. Para determinar “ a ” e “b ”, toma-se primeiro:
0... ;1 4321 ====== nxxxxx , obtém-se: 23 =S ; 21 =σ ; 12 =σ e 03 =σ . 3282321
313 −=⇔⋅+=⇔⋅+⋅⋅+= aabaS σσσσ
Depois: 1321 === xxx e 0...54 ==== nxxx , obtém-se: 33 =S , 31 =σ , 32 =σ e 13 =σ .
33332733 3213
13 =⇔+⋅⋅−=⇔⋅+⋅⋅−= bbbS σσσσ Deste modo: 321
313 32 σσσσ ⋅+⋅⋅−=S
Analogamente, podem ser representados 4S , 5S , …, por polinómios simétricos fundamentais.
No entanto, existem relações que ligam as somas de potências com os polinómios simétricos fundamentais: chamam-se Fórmulas de Newton:
" ( ) ( ) 011... 111
2211 =⋅⋅−+⋅⋅−+−⋅+⋅− −−
−− kk
kk
kkk SkSSSS σσσ , ( )nk ,...,2,1= .
" ( ) 01...2211 =⋅⋅−+−⋅+⋅− −−− nnkn
kkk SSSS σσσ , ( ),...,1+= nk Utilizando fórmulas de Newton é possível encontrar representação de
kS por nσσσ ,...,, 21 , se já são conhecidas as representações para 1S , 2S , …, 1−kS . Considera-se agora um dos corolários mais importantes do teorema
fundamental dos polinómios simétricos. Corolário 4: Se )(xf é um polinómio de uma variável x sobre o corpo P
com raízes nααα ,...,, 21 (que podem não pertencer ao corpo P), então o valor de qualquer polinómio simétrico ( ) [ ]nn xxxPxxxg ,...,,,...,, 2121 ∈ para, 11 α=x , 22 α=x , …,
nnx α= é um elemento do corpo P. Com efeito, seja o polinómio: ( ) ][... 01
11 xPaxaxaxxf n
nn ∈++++= −
− . Designam-se as raízes desse polinómio por nααα ,...,, 21 , que podem não
pertencer a P, mas, de certeza à uma extensão ∆ de P. Toma-se agora um polinómio simétrico qualquer ( )nxxxg ,...,, 21 sobre P de
“n” variáveis.
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
28
De acordo com o teorema fundamental de polinómios simétricos, o polinómio ( )nxxxg ,...,, 21 pode ser representado por polinómios simétricos fundamentais nσσσ ,...,, 21 com coeficientes do corpo P.
Então, ( ) ( )nnxxxg σσσϕ ,...,,,...,, 2121 = . Coloca-se em ( )nxxxg ,...,, 21 , no lugar de 1x o elemento 1α , 2x o elemento
2α , …, nx o elemento nα . Assim como todas as raízes pertencem a uma extensão ∆ de P, então,
( )ng ααα ,...,, 21 em geral é um elemento do corpo ∆ . Mas, a especificidade de polinómios simétricos consiste no facto de ( )ng ααα ,...,, 21 ser também um elemento de P.
Com efeito, pelas fórmulas de Viett, os respectivos valores de polinómios simétricos fundamentais expressam-se pelos coeficientes do polinómio ( )xf .
( ) 121211 ...,...,, −−=+++= nnn aαααααασ ( ) 213121212 ...,...,, −− =⋅++⋅+⋅= nnnn aααααααααασ
… ( ) 021 1... an
nn ⋅−=⋅⋅⋅= ααασ Então, ( ) ( )[ ]02121 1,...,,,...,, aaag n
nnn ⋅−−= −−ϕααα Agora é fácil ver que ( )ng ααα ,...,, 21 é um elemento do corpo P, assim
como é resultado de operações de adição e de multiplicação dos elementos ( )1-n ..., 1, 0,i =∈ Pai e coeficientes do polinómio ( )nxxxg ,...,, 21 .
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
29
IIVV –– AAPPLLIICCAAÇÇÕÕEESS PPRRÁÁTTIICCAASS DDEE PPOOLLIINNÓÓMMIIOOSS SSIIMMÉÉTTRRIICCOOSS
Feitas as considerações teóricas sobre os polinómios simétricos, passa-
se para a sua aplicação prática na racionalização do denominador de uma fracção, na construção de polinómios (ou equações polinomiais) e na resolução de sistemas simétricos.
Nota-se que as fórmulas de Viett voltam a ter lugar importante, ao longo da resolução dos exercícios aqui apresentados, pois estão “intimamente” ligadas aos polinómios simétricos fundamentais.
1. RACIONALIZAR O DENOMINADOR Evitar a irracionalidade do denominador de uma fracção é um problema
muito frequente em Matemática no Ensino Secundário, quando se simplifica uma fracção.
Daí que se vai aproveitar os conhecimentos sobre polinómios simétricos, para apresentar uma metodologia (um procedimento) de racionalização do denominador de uma fracção, pensando com isso estar a enriquecer os conhecimentos daqueles que consultarem este trabalho.
Na racionalização do denominador de uma fracção do tipo 3
3
2242
−+ ,
costuma-se multiplicar ambos os termos da fracção por 3 232 2222 +⋅+ , devendo-se isto à fórmula seguinte: ( ) ( )2233 bbaababa +⋅+⋅−=− .
Passa-se da análise deste exemplo para apresentar um método geral.
De um modo geral, é dada uma fracção ( )( )1
1αα
gf , onde )(xf , )(xg são
polinómios sobre Q e 1α é raiz irracional de um polinómio ( ) [ ]xQx ∈ψ Se ( )xψ é um polinómio de grau “n”, então no seu corpo de
decomposição ele tem, além de 1α , as raízes nααα ,...,, 32 . Para evitar a
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
30
irracionalidade do denominador, multiplica-se ( )1αf e ( )1αg por ( ) ( ) ( )nggg ααα ⋅⋅⋅ ...32 , e obtém-se:
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )n
n
gggggggf
gf
αααααααα
αα
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=......
321
321
1
1
O produto ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nngggg αααϕαααα ,...,,.... 21321 =⋅⋅⋅ é o valor do polinómio simétrico ( ) [ ]nn xxxQxxx ,...,,,...,, 2121 ∈ϕ , para ( )nix ii ,1 == α .
( ) Qn ∈αααϕ ,...,, 21 (pelo corolário 4), desse modo a irracionalidade do denominador da fracção é evitada.
É de salientar que, tanto o numerador como o denominador da fracção, ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )n
ngggggggf
αααααααα
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
...
...321
321 , podem ser calculados sem saber as raízes nααα ,..., 21 , de
( )xψ . O denominador ( ) ( ) ( ) ( )ngggg αααα ⋅⋅⋅⋅ ...321 pode ser representado por polinómios simétricos fundamentais de nααα ,..., 21 que se exprimem por coeficientes de ( )xψ .
O produto ( ) ( ) ( )nggg ααα ⋅⋅⋅ ...32 é simétrico relativamente a nααα ,...,, 32 e, por isso, pode ser representado por coeficientes do polinómio
( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn xxxax
xxw αααα
ψ−⋅⋅−⋅−⋅=
−= ...32
1
, que tem raízes nααα ,...,, 32 .
Os coeficientes de ( )xw exprimem-se por 1α e coeficientes de ( )xψ , encontrados como resultado da divisão de ( )xψ por ( )1α−x (aplicando a regra de Ruffini).
Apresentam-se agora alguns exercícios para ilustrar aquilo que foi acima exposto.
Exercícios
1. Racionaliza os denominadores das seguintes fracções:
a) =−
+3
3
2242
b) =+12
14
c) =−+ 321
1
Resolução
a) =−
+3
3
2242
31 2=α ; ( ) 4+= xxf ; ( ) xxg −= 2 ; ( ) 23 −= xxψ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )32112321321 2224222 ααααααααααα −⋅+−−=−⋅−⋅−=⋅⋅ ggg
321213113223 2242448 αααααααααααα −++−+−−= ( ) ( ) 6202048248 321323121321 =−⋅+⋅−=−++⋅+++⋅−= αααααααααααα
( ) ( ) 211
2
1
ααα
ψ++=
−= xx
xxxw
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
31
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 323232233232 2422422 αααααααααααα ++⋅−=+−−=−⋅−=⋅ gg
( ) 3 23211
211 22242424 ++=++=+−⋅−= αααα
Então: ( ) ( )
34226
18262126
2224422242 33
3 233 233
3
3
++=++
=++⋅+
=−
+
b) =+12
14
41 2=α ; ( ) 1=xf ; ( ) 1+= xxg ; ( ) 24 −= xxψ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+⋅+⋅+⋅+=⋅⋅⋅ 43214321 1111 αααααααα gggg
( ) ( )43432121 11 αααααααα +++⋅+++= ++++++++++++= 432423224314131143431 αααααααααααααααααααα
( )+++++=++++ 4321432142132121 1 αααααααααααααααα ( ) ( )+++++++++++ 432431421321434232413121 αααααααααααααααααααααααα
1200014321 −=−+++=+ αααα
( ) ( ) 31
21
21
3
1
αααα
ψ+++=
−= xxx
xxxw
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )43333432432 11111 ααααααααααα +⋅+++=+⋅+⋅+⋅=⋅⋅ ggg ( ) ( )+++++++=+++++++= 434232432432324224334 11 ααααααααααααααααααααα
4 34 2431
211432 22211 −+−=−+−=+ αααααα
Então: 4 34 24
4 34 24
42221
12221
121
+−+−=−
−+−=
+
c) =
−+ 3211
321 −=α ; ( ) 1=xf ; ( ) 1+= xxg ; ( ) 110 24 +−= xxxψ Nota: o ( )xψ é obtido utilizando o seguinte processo:
( ) 6256253232 2222 −=−⇔−=⇔−=⇒−= xxxx ( ) ( ) 01100242510625 242422 =+−⇔=−+−⇔−=−⇒ xxxxx
Então, ( ) 110 24 +−= xxxψ . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+⋅+⋅+⋅+=⋅⋅⋅ 43214321 1111 αααααααα gggg
( ) ( )43432121 11 αααααααα +++⋅+++= ++++++++++++= 432423224314131143431 αααααααααααααααααααα
( )+++++=++++ 4321432142132121 1 αααααααααααααααα ( ) ( )+++++++++++ 432431421321434232413121 αααααααααααααααααααααααα
81010014321 −=++−+=+ αααα
( ) ( ) ( ) ( )311
21
21
3
11010 αααα
αψ
+−++−++=−
= xxxx
xxw
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )43333432432 11111 ααααααααααα +⋅+++=+⋅+⋅+⋅=⋅⋅ ggg
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
32
( ) ( )+++++++=+++++++= 434232432432324224334 11 ααααααααααααααααααααα ( ) ( ) 3
112
112
12
11432 1010110101 αααααααααα −++−−=+−−+−+−=+ ( ) ( ) ( ) 9329323299
21
21
31 −−+−+−−=−++−= ααα
( ) 46222939296253329362299 12
13
1 −−−=−−+−+−+−−=−++−= ααα
4262
846222
3211 ++
=−
−−−=
−+
2. CONSTRUÇÃO DE POLINÓMIOS É dado um polinómio ( ) [ ]xPxf ∈ com as raízes nααα ,...,, 21 . Construir um
polinómio ( )xg cujas raízes ( )nii ,1 =β se exprimem por iα de ( )xf , mediante as relações, ( )ii αϕβ = , onde ( ) [ ]xPx ∈ϕ (P um corpo).
Problemas desse tipo são muito frequentes no Ensino Secundário, pelo que se vai apresentar um método que permite resolver essas questões.
Seja o polinómio ( )xg na forma: ( ) 011
1 ... axaxaxxg nn
n ++++= −− , onde:
( ) ( ) ( )nna αϕαϕαϕ +++=− − ...211 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnna αϕαϕαϕαϕαϕαϕ ⋅++⋅+⋅= −− 131212 ...
… ( ) ( ) ( ) ( )n
n a αϕαϕαϕ ⋅⋅⋅=⋅− ...1 210 Como já se viu, os coeficientes ( )1-n1,i =ia são valores de polinómios
simétricos determinados sobre P para valores de variáveis iguais a ( )iαϕ , onde iα são raízes de ( ) [ ]xPxf ∈ .
Do Teorema Fundamental de Polinómios Simétricos segue-se a que sempre é possível encontrar a expressão dos coeficientes ia procurados por coeficientes do polinómio dado, ( )xf , e esses coeficientes pertencem ao mesmo corpo P.
Esses raciocínios têm lugar quando ( )nii αααϕβ ,...,, 21= , onde iϕ é um polinómio simétrico arbitrário sobre P.
Exercícios
1. Encontrar uma equação cujas raízes 21 e ββ são ligadas com as
raízes 21 e αα da equação ( )0a 02 ≠=++ cbxax , mediante a relação: à 11 αβ k= 22 αβ k= ( )0≠k
Resolução Seja a equação procurada na forma 02 =++ CBxx
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
33
( ) BabkBkBkkB =
−
⋅−⇔−=+⋅⇔−=+⇔−=+ 212121 ααααββ
akbB =⇔
ackCC
ackCCkC
22
212
21 =⇔=⋅=⇔=⇔= ααββ
R: A equação procurada é: 002
22 =++⇔=++ackx
akbxCBxx .
022 =++⇔ ckkbxax Aqui o professor pode diversificar os exercícios tomando k como um
número inteiro ou racional qualquer. 2. Completa uma equação cujas raízes são quadrados das raízes da
seguinte equação: 0=++2 qpxx . Resolução
Sejam 1x e 2x as raízes da equação 0=++2 qpxx , então: pxx -=+ 21 e qxx =21
Seja a equação pedida na forma 0=++2 cbxx , então: ( ) 2q-pb-b2x-- 2
1 +=⇔=+⇔=+ 22
212
22
1 xxxbxx ( ) 22
212
22
1 qccxxxx =⇔== R: A equação pedida é ( ) 0=+2++ 22 qxqx 2p- . Nota: com este exercício, os professores podem propor várias outras
aos seus alunos, como por exemplo: " Sem resolver a equação 0=2+3+2 xx , obtenha uma equação
cujas raízes são quadrados das suas raízes. 3. Completar uma equação do 2º grau cujas raízes são ( )2ba + e
( )2ba − , sabendo que “a” e “b” são raízes da equação 02 =++ qpxx .
Resolução Seja a equação pedida na forma 02 =++ CBxx ( ) ( ) ( ) ( ) BabbapBabbapBbaba −=−++⇔−=−++−⇔−=−++ 42 2222222
222 44 pqBBqpp −=⇔−=−+⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) CqppCabbapCbaba =−⋅⇔=−+⋅⇔=−⋅+ 42 2222222
qppC 24 4−=⇔ R: A equação pedida é: ( ) ( ) 0440 24222 =−+−+⇔=++ qppxpqxCBxx . 4. Sejam βα e raízes da equação 0473 2 =++ xx . Sem resolver a
equação dada, completar uma equação do 2º grau cujas raízes
são 1-
e 1 α
ββ
α−
.
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
34
Resolução Seja 02 =++ cbxx a equação pedida.
( ) ( )( ) bbb −=
++−+−−+
⇔−=+−−−+−
⇔−=−
+− 1
2111
222
βαβαβααββα
αββαββαα
αβ
βα
bbbb =−⇔−=⇔−=+−
⇔−=++
+⋅−
−
⇔2123
314946
314
37
38
949
137
34
37
342
37 2
( ) 72
31434
111=⇔=⇔=
++−⇔=
−⋅
−CCCC
βααβαβ
αβ
βα
R: A equação pedida é:
062321072
21230 222 =+−⇔=+−⇔=++ xxxxCBxx
5. Encontrar -2-2
21 + xx , onde 1x e 2x são raízes da equação 0=++2 cbxax , sem resolver a equação dada.
Resolução
ab- =+ 21 xx e
acxx =21 , então:
( )( )
=
⋅−
−
=−+
=+
=+=+ 2
2
221
212
212
22
1
22
21
22
21
2-2
2-1
2211
ac
ac
ab
xxxxxx
xxxx
xxxx
0c ,222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
≠−
=
−
=−
=c
acb
aca
acb
ac
ac
ab
R: 0c onde ,22
22
22
1 ≠−
=+ −−
cacbxx .
Nota: atribuindo aos parâmetros “a”, “b” e “c” valores numéricos, pode-se encontrar -2-2
21 + xx sem resolver a equação dada.
6. Completar uma equação do 2º grau sabendo que 21 x
1 e 1x
são suas
raízes, onde 21 xe x são raízes da equação 0)(a 02 ≠=++ cbxax Resolução
Seja a equação pedida na forma 02 =++ CBxx Se 21 xe x são raízes da equação 0)(a 02 ≠=++ cbxax , então:
abxx −=+ 21 e
acxx =21
Em equação 02 =++ CBxx :
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
35
( )cbBcB
cbB
acab
Bxx
xxBxx
=⇔≠−=−
⇔−=
−
⇔−=+
⇔−=+ 011
21
21
21
caCC
acC
xxC
xx=⇔=⇔=⇔=⋅
1111
2121
R: Então a equação pedida é:
00 22 =++⇔=++ abxcxcax
cbx
Nota: Deste exercício, pode-se constatar que, se trocarmos os coeficientes “a” e “c” numa equação do 2º grau, poderemos encontrar uma outra equação cujas raízes são inversas das da equação dada.
Sendo assim o exercício pode ser apresentado da seguinte forma: " Sem resolver a equação 0=2+3+2 xx , obtenha uma equação
cujas raízes são inversos das suas. O aluno que já conhece o exercício pode em “cinco segundos”, resolver
esta questão: basta trocar os coeficientes 1=a e 2=c , o que não acontece com um outro aluno que não a conhece.
7. Completar uma equação do 2º grau, sabendo que uma das suas
raízes é igual a soma das raízes da equação ( )002 ≠=++ acbxax , e outra, ao produto das raízes da mesma equação.
Resolução Seja a equação pedida na forma 02 =++ CBxx e 21 e αα as suas raízes,
então:
ab−
=1α e ac
=2α
acbBB
acbB
ac
abB −
=⇔−=+−
⇔−=+−
⇔−=+ 21 αα
221 abcC
ac
abCC −
=⇔⋅−
=⇔=αα
Então a equação pedida é:
( ) 00 222
2 =−−+⇔=−
+−
+ bcxacabxaabcx
acbx
8. Completar uma equação do 2º grau cujas raízes são maiores do que as raízes da equação ( )002 ≠=++ acbxax em uma unidade.
Resolução Sejam 21 xe x as raízes de ( )002 ≠=++ acbxax , e a equação procurada
na forma 02 =++ CBxx
Sabe-se que: acx
abxx =
−=+ 2121 xe , então:
( ) ( ) Ba
abBabBxx =
−⇔−=+
−⇔−=+++
2211 21
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
36
( ) ( ) Ca
bcaCab
acCxxxxCxx =
−+⇔=+−⇔=+++⇔=+⋅+ 1111 212121
R: A equação pedida é: 020 22 =−+
+−
+⇔=++a
bcaxa
abxCBxx
( ) ( ) 022 =−++−+⇔ bcaxabax 9. Seja ( ) 123 −+−= xxxxf . Encontrar ( ) [ ]xQxg ∈ cujas raízes são
cubos das raízes de ( )xf . Sejam 321 ,, ααα as raízes de ( )xf , então: 3
11 αβ = , 322 αβ = e 3
33 αβ = são raízes de ( ) cbxaxxxg −+−= 23 , pois 321 ,, βββ têm os mesmos sinais de
321 ,, ααα . Pelas fórmulas de Viett, segue-se a que:
( ) ( ) ( +⋅++⋅−++=++=++= 213213
3213
33
23
1321 3 αααααααααααβββa ) ( ) 13313 3213231 =+−=⋅+++ ααααααα , pois
3213
13
33
23
13 33 σσσσ ⋅+⋅−=++= xxxS
( ) ( ) ( ) ( ) −++=++=++= 3323121
332
331
321323121 ααααααααααααββββββb
( ) ( ) ( )2321
23213
22132
21323121 33 αααααααααααααααααα ⋅+++⋅++⋅−
( ) 13113113131 3213213 =+⋅⋅−=⋅+⋅++⋅⋅−= αααααα
( ) 1133
321321 ==== αααβββc R: Então, ( ) 123 −+−= xxxxg Obs. : Sendo ( ) ( )xfxg = significa que as raízes de ( )xf elevadas ao
cubo não se alteram.
Este facto pode ser explicado pelo seguinte: ( )114
+−
=xxxf , pelo que as
suas raízes são iguais às raízes de ordem 4 de unidade (excepto -1). Recorda-se que as raízes de ordem 4 de 1 são: ii −− ,,1,1 .
10. Seja ( ) .6116 23 −+−= xxxxf Encontrar ( ) [ ]xQxg ∈ cujas raízes
são dobros das raízes de ( )xf . Resolução
Sejam 321 ,, ααα as raízes de ( )xf , então: 11 2αβ = , 22 2αβ = e 33 2αβ = são raízes de ( ) cbxaxxxg −+−= 23 , pois 321 ,, βββ têm os mesmos sinais de
321 ,, ααα . Pelas fórmulas de Viett, segue-se a que:
( ) 12622222 321321321 =×=++⋅=++=++= ααααααβββa ( )323121323121323121 4444 ααααααααααααββββββ ++⋅=++=++=b
44114 =×= 48688 321321 =×=== αααβββc
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
37
R: Então, ( ) 484412 23 −+−= xxxxg .
3. RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS SIMÉTRICOS Os “sistemas simétricos” de n equações com n incógnitas definem-se
com mais rigor ao nível da Álgebra Superior. Para este trabalho limitamo-nos ao estudo de sistemas simétricos de
duas equações com duas incógnitas. Assim sendo: Um sistema de duas equações com duas incógnitas em que equações não
se alteram numa permutação qualquer de variáveis chama-se “sistema simétrico”. As partes esquerdas das equações de tais sistemas são polinómios
simétricos de duas variáveis ou redutíveis aos tais, ou suas razões. Como por exemplo:
Ò 51-1- =+ yx é equivalente a 5=+
xyyx em que ( )0;0 ≠≠ yx e a parte
esquerda da igualdade é a razão de dois polinómios simétricos elementares de duas variáveis;
Ò ( )[ ]2yx-1313 +=⇔=++ xyyxyx com 13≤+ yx onde ( ) ( )[ ]2yx-13, +=yxf já é um polinómio simétrico de duas variáveis.
Vai-se, de seguida, apresentar um método para resolução de sistemas simétricos com duas incógnitas, o que muitas vezes causam problemas para professores e alunos ao longo do Ensino Secundário.
O método consiste na substituição conforme o seguinte: yxu += e yxv ⋅= , onde x e y são variáveis do sistema. Essa ideia
surgiu do teorema fundamental aplicado a esse caso particular. Deve-se lembrar que resolver um sistema significa determinar as suas
soluções (pares ordenados que satisfazem a cada equação do sistema) ou concluir que o sistema é impossível.
É de notar que, em sistemas simétricos, tendo em conta a natureza dos polinómios simétricos, se ( )21, xx é uma solução, então ( )12 , xx é também solução.
Exercícios
Na fase inicial é bom que se saiba resolver os sistemas simétricos
básicos, como os seguintes: 1. Resolve os seguintes sistemas simétricos
a)
=⋅=+34
yxyx
Resolver este sistema é mesmo que procurar dois números cuja soma é 4 e produto é 3.
x y yx + yx ⋅
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
38
1 3 4 3 São os números 1 e 3.
( ) ( ){ }1,3;3,1=S
b)
=⋅=+132
23yxyx
Analogamente, pode-se encontrar os números 12 e 11. ( ) ( ){ }12,11;11,12=S
Com esta prática já se pode resolver outros tipos de sistemas como os
seguintes:
c)
=⋅
=+
201
1211
zt
zt d)
=⋅=+
61322
vuvu e)
=+
=+−−
−−
135
22
11
yxyx
f)
=+
=+
56
13
yxxy
yx
g)
=++=+
5622
yxxyxyyx h)
=++
=++
13
9122
yxyx
yxyx
i)
+=+
+=+
3
1322
uvvu
uvvu j)
=
=+
93411
xyyx
k) ( ) ( )( ) ( )
=+⋅+=+⋅+
2511011
xyyxyx
l)
=++=+
233422
xyyxyx
Resolução
c)
=
=+
⇔
=
=+
201
12
201
1211
tz
tzzt
tz
zt Para ztu += e tzv = , com 0≠t e 0≠z
=−+−
−=⇔
=
−⋅
−=⇔
=
=+⇔
=
==⇔
=
=
0201
53
53
201
5353
201
53
201
53
2012
201
12
2 tt
tz
tt
tz
tz
zt
v
u
v
vu
=−+−
−=⇔
01122053
2 tt
tz
( ) ( )
101
21
40812
641204124 22
=∨=⇔−
±−=
=−⋅−⋅−=−=∆
ttt
acb
=
=∨
=
=⇔
10121
21101
t
z
t
z
=
21,
101;
101,
21S
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
39
d) ( )
==−+
⇔
=⋅=+
6132
613 222
uvuvvu
vuvu Para vut += e uvz =
=−=
∨
==
⇔
==
⇔
==−
⇔65
65
625
613 22
zt
zt
zt
zzt
à
==
∨
==
⇔
==+
⇔
==
23
32
65
65
vu
vu
uvvu
zt
( ) ( ){ }3,2;2,31 =S
à
−=−=
∨
−=−=
⇔
=−=+
⇔
=−=
23
32
65
65
uv
uv
uvvu
zt
( ) ( ){ }3,2;2,32 −−−−=S
( ) ( ) ( ) ( ){ }3,2;2,3;3,2;2,321 −−−−=∪= SSS
e)
( )( )
( )
=−+
=+
⇔
=+
=+
⇔
=+
=+⇔
=+
=+−−
−−
132
5
13
5
1311
511
135
2
2
2
22
22
22
11
xyxyyx
xyyx
xyyx
xyyx
yx
yxyxyx
Para,
yxu += e xyv = , com 00 ≠∧≠ yx
( )( )
=−
=⇔
=−
=⇔
=−
=⇔
=−+
=+
02125
1325
132
5
132
5
222
2
2
2
2 vvvu
vvuvu
vvu
vu
xyxyyx
xyyx
( )
=
=⇔
=−⋅=
⇔
6165
01625
v
u
vvvu
(Pois 0≠v )
=
=∨
=
=⇔
=
=+⇔
2131
3121
61
65
y
x
y
x
xy
yx
=
21,
31;
31,
21S
f) ( )
=+
=−+
⇔
=+
=+
⇔
=+
=+
56
132
56
13
56
13 222
yxxy
xyyx
yxxy
yx
yxxy
yx
Para yxu += e xyv = ,
com 0≠x ∧ 0≠y . ( )
==
⇔
==−
⇔
=
=−⇔
=
=−
⇔
=+
=−+
56
51312150
56
13225
56
132
56
132 22
uv
uvv
u
vv
uv
vu
yxxy
xyyx
==
∨
==
⇔
=+=
⇔23
32
56
yx
yx
yxxy
( ) ( ){ }2,3;3,2=S
g) ( )
=++=+⋅
⇔
=++=+
56
5622
yxxyyxxy
yxxyxyyx Para yxu += e xyv =
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
40
==
∨
==
⇔
=+=
⇔23
32
56
uv
uv
vuuv
à
==
∨
==
⇔
=+=
⇔
==
12
21
32
32
yx
yx
yxxy
uv
( ) ( ){ }1,2;2,11 =S
( )
−==−+−
⇔
−==−⋅
⇔
=+=
⇔
==
xyxx
xyxx
yxxy
uv
2032
232
23
23 2
( ) ( )impossível quação
831424 22
Eacb −=−⋅−⋅−=−=∆
( ) ( ){ }1,2;2,1=S
h) ( )
=++
=−+⇔
=++
=++
13
91
13
91 222
xyxy
xyyx
yxyx
yxyx Para yxu += e xyv = , com
( ) ( )0000 <∧<∨>∧> yxyx ( )
( ) ( )
−=
=−⇔
≤−=
=−⇔
=+
=−⇔
=++
=−+2
2222
13
91
13 13
91
13
91
13
91
uv
vu
uuv
vu
uv
vu
xyxy
xyyx
( )( ) ( ) ( )
==+
⇔
==
⇔
−=
=⇔
−=
=−+−⇔
−=
=−−9
10910
13
26026
13
9126169
13
911322
22
2
22
xyyx
vu
uv
u
uv
uuu
uv
uu
==
∨
==
19
91
yx
yx
( ) ( ){ }1,9;9,1=S
i) ( )
=−+
=−+⇔
+=+
+=+
3
133
3
13 222
uvvu
uvvu
uvvu
uvvu Para vut += e uvz = , com
( ) ( )0000 <∧<∨>∧> vuvu ( )
( )( )
( )
−=
=−⋅−⇔
≥−=
=−⇔
=−
=−⇔
=−+
=−+2
22222
3
1333
3 3
133
3
133
3
133
tz
tt
ttz
zt
zt
zt
uvvu
uvvu
( ) ( ) ( )
−=
=−+−⇔
−=
=−+−⇔
−=
=−+−2
2
2
2
2
22
3
0209
3
040182
3
1327183
tz
tt
tz
tt
tz
ttt
( ) ( )
4 52
191201494 22
=∨=⇔−
±−=
=−⋅−⋅−=−=∆
ttt
acb
( )
==
∨
==
⇔
−=
=−+−
14
45
3
02092
2
zt
zt
tz
tt
à
==
∨
==
⇔
==+
⇔
==
14
41
45
45
yx
yx
xyyx
zt
( ) ( ){ }1,4;4,11 =S
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
41
à ( )
=−+−
−=⇔
=−⋅−=
⇔
==+
⇔
==
0144
144
14
14
2 xxxy
xxxy
xyyx
zt
( ) ( )
32 322
324
1211444 22
+=∨−=⇔−±−
=
=−⋅−⋅−=−=∆
xxx
acb
+=
−=∨
−=
+=⇔
=−+−
−=
32
32
32
32014
42 x
y
x
yxxxy
( ) ( ){ }32,32;32,322 −++−=S
( ) ( ) ( ) ( ){ }32,32;32,32;1,4;4,121 −++−=∪= SSS
j)
=
=+
⇔
=
=+
934
93411
xyxy
yx
xyyx Para b+= au e b.av = , com 00 >∧> yx ; onde
u e v são polinómios simétricos de variáveis a e b ( )yb; == xa
=
=∨
=
=⇔
=
=+⇔>
==
⇔
=
=⇔
=
=+
1
3
3
1
3
4)0(
34
934
934
2 y
x
y
x
xy
yxPois v
vu
vvu
xyxy
yx
==
∨
==
19
91
yx
yx
( ) ( ){ }1,9;9,1=S
k) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
=+⋅+=+++
⇔
=+⋅+=+⋅+
251101
2511011
xyyxyxxy
xyyxyx
Para yxt += e xyz =
( ) ( )
=−+−
−=⇔
=+−⋅−=
⇔
=+⋅=++
⇔02510
92510
9251
1012 tt
tztt
tzzttz
( ) ( )
52
1002514104 22
=−−
=
=−⋅−⋅−=−=∆
t
acb
==
∨
==
⇔
=+=
⇔
==
14
41
44
54
yx
yx
yxxy
tz
( ) ( ){ }1,4;4,1=S
l) ( )
=++=−+
⇔
=++=+
23342
2334 222
xyyxxyyx
xyyxyx Para yxt += e xyz =
−==−+
⇔
−==−+−
⇔
=+=−
⇔tz
tttz
ttzt
zt23
080223
03424623
342 222
( )
8 102
182324801424 22
=∨−=⇔±−
=
=−⋅⋅−=−=∆
ttt
acb
==
∨
=−=
⇔
−==−+
158
3310
2308022
zt
zt
tztt
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
42
à ( )
=−−−
−−=⇔
=−−⋅
−−=⇔
=
−=+⇔
=
−=
0331010
331010
3310
3310
2 xxxy
xxxy
xyyx
zt
( ) ( ) ( )impossívelEquaçãoacb
323314104 22 −=−⋅−⋅−−=−=∆
à
==
∨
==
⇔
==+
⇔
==
35
53
158
158
yx
yx
xyyx
zt
( ) ( ){ }3,5;5,3=S
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
43
EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS PPRROOPPOOSSTTOOSS
1. Complete uma equação do 2º grau, sabendo as suas raízes 1x e 2x :
a) 11 −=x ; 22 −=x b) 31 =x ; 32 −=x
c) 21 =x ; 32 =x d) 231 +=x ; 232 −=x
e) 4
331
+=x ;
433
2−
=x f) 331 =x ; 32 −=x
2. Indique as raízes das equações seguintes sem aplicar a fórmula resolvente: a) 010112 =+− xx b) 02012 =++ xx c) 062 =−+ xx d) 0862 =−+− uu e) 0156 2 =+− vv f) 01310 2 =++− tt
3. Decomponha, se possível, em produto de factores: a) 962 ++ xx b) 123 2 −− vv c) ( ) atat 332 +++
4. Para que valores do parâmetro 0≠k , a soma dos cubos das raízes da
equação 22 26 kkxkx +− é igual a 72 ?
5. Sabendo que 2 é uma raiz da equação ( ) 02b2 23 =−++− axxax onde
Z b a , ∈ , encontrar os valores dos parâmetro ba e e outras raízes da equação dada.
6. Resolva os seguintes sistemas:
a) ( )
−=+=+
2733
yxxyyx b)
=++
=++
137
22 xyyxxyyx
c)
=+=+
53533
yxyx d)
=+
=+
2065
22
33
xyyxyx
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
44
e)
=++=++
5173333
yxyxyyxx f)
==+
2933
xyyx
g) ( )( )
=++=+
281933
yxxyyx
7. Racionalize os denominadores das seguintes fracções:
a) 6 211
+ b)
1+αα , onde 0133 =+− αα
8. Sem determinara as raízes do polinómio dado, construa um polinómio ( )xP
sabendo que as suas raízes são: a) Quadrados das raízes de 842 23 −+− xxx . b) Triplos das raízes de 3323 +++ xxx .
SUGESTÕES, RESPOSTAS E SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Sugestão: A equação pode ser escrita na forma 02 =+− PSxx onde S e P são,
respectivamente, a soma e o produto das raízes. A partir de 02 =+− PSxx determina-se outras equações equivalentes, multiplicando ambos os termos de 02 =+− PSxx por um constante diferente de zero.
a) 3−=S e 2=P , logo a equação procurada pode ser: 0232 =++ xx . b) 032 =−x c) ( ) 06322 =++− xx d) 0762 =+− xx
e) 083
232 =+− xx
f) 09322 =−− xx 2. Sugestão: Reduza a equação à forma 02 =+− PSxx . S e P são, respectivamente, a
soma e o produto das raízes.. Conhecida a soma e o produto pode-se determinar as raízes procuradas.
a) 11=S e 10=P , logo { }10,1:.Sol . b) { }10,2:. −−Sol c) { }2,3:. −Sol d) { }4,2:. −−Sol
e)
31,
21:.Sol
f)
−
51,
21:.Sol
3. Sugestão: Determine as raízes utilizando a soma e produto das raízes e, depois, utilize a fórmula: ( ) ( )21
2 xxxxacbxax −⋅−⋅=++ onde 1x e 2x são raízes de cbxax ++2 . a) 6−=S e 9=P , logo existe uma raiz dupla 3− . Então, ( )22 396 +=++ xxx
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
45
b) ( )
+⋅−⋅=−−
3113123 2 vvvv
c) ( ) ( ) ( )3332 +⋅+=+++ tatatat 4. R: 4=k 5. R: 2−=b ; 1−=a e as outra raízes são 1− e 2− . 6.
a) ( ) ( ){ }1,2;2,1:. −−Sol Sugestão: ( ) ( )yxxyyxyx +⋅−+=+ 3333
b) ( ) ( ){ }1,3;3,1:.Sol Sugestão: ( ) xyyxxyyx −+=++ 222
c) ( ) ( ){ }3,2;2,3:.Sol d) ( ) ( ){ }1,4;4,1:.Sol e) ( ) ( ){ }1,2;2,1:.Sol f) ( ) ( ){ }1,2;2,1:.Sol g) ( ) ( ){ }3,2;2,3:. −−Sol
7.
a) 63366 3242221
211
+−+−+−=+
b) 3
13
1133
21
22323 +−=
−−+−+−
=−
−−=
+ααααααααα
αα
8. a) 64164)( 23 −−+= xxxxP
Sugestão: 22
12
32
22
12 2 σσ ⋅−=++= xxxS b) 81273)( 23 +++= xxxxP
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
46
CCOONNCCLLUUSSÃÃOO
O estudo realizado ao longo da elaboração deste trabalho e os resultados alcançados são satisfatórios apesar dos esforços despendidos, pois permitiu-me alargar os meus horizontes de conhecimentos.
A abordagem teórica dos polinómios feita a nível da Álgebra Superior, vai permitir àqueles que vão consultar este trabalho, ter um conhecimento mais sólido, que lhes dão a capacidade de criar os seus próprios exercícios para motivar os alunos e aprofundar os seus conhecimentos.
Os exercícios apresentados acerca das equações do 2º grau devem ser introduzidos paulatinamente aumentando os seus graus de dificuldades. Há um leque de exercícios que permite a criação de vários outros, dando possibilidades aos professores de diversificar os problemas de acordo com as características dos seus formandos.
A metodologia apresentada para racionalização do denominador de uma fracção vai ajudar na resolução de vários exercícios, elevando o nível de conhecimentos dos alunos e dos professores. No entanto, esses exercícios devem ser apresentados aos alunos com noção clara acerca do Teorema de Viett.
O método de resolução dos sistemas simétricos está ao alcance dos alunos de nível igual ou superior ao 9º ano, só que os exercícios devem ser adequados a esses níveis, pelo que, se for introduzido lhes vai dar possibilidades de resolução de vários sistemas, que muitas vezes parecem de resolução impossível.
Os exercícios aqui apresentados podem ser aproveitados para os vários níveis de ensino, conforme for o grau de conhecimentos adquiridos pelos alunos; permitem uma relação entre os diferentes conteúdos estudados ao longo do Ensino Secundário.
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
47
FFOONNTTEESS BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFIICCOOSS
1. ÁVILA, Geraldo. Variáveis Complexas e Aplicações. Brasília. 3ª Edição. JC
Editora. 2000
2. GARCIA, Maria Madalena, DOS ANJOS; Alfredo Osório, RUIVO; António
Fernando. Compêndio de Matemática. Porto. 1976.
3. FADEEV, D. K., LYASCHENCO, N. N., NIKULINE, M. C., SOKOLOVSKY, J. F.,.
Problemas algébricos de 6 a 8 anos de escolaridade. Moscovo. 1988.
4. SKANAVI, M. I. Coletânea dos Problemas Matemático para os Candidatos para
o Ensino Superior. 3ª edição. Moscovo. 1978.
5. KOSFRIKIN, A. Introdução à Álgebra Superior. Moscovo. Editora Nauka. 1977.
6. ZAVALO, S., HATZET, B., KASTARCHUK, V.. Álgebra e Teoria dos Números, II
Parte. Kiev. Vuschaya Skala. 1980.
7. KUROSH, A.. Curso da Álgebra Superior. Moscovo. Editora Nauka. 1975.
8. MONTEIRO, António I., MATOS, Isabel Teixeira. Álgebra - Um Primeiro Curso.
Escolar Editora. 1995.
9. CABRAL, Manuela. Álgebra. Universidade Aberta. 1996.
10. FADIEEV, I., SAMINSKI, I.. Problemas da Álgebra Superior. Moscovo. Editora
Mir. 1980.