DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS

Tema: Álgebra

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DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS

Definição

Dado um polinómio e uma raiz de , a “multiplicidade de” é o maior número natural , tal que para algum polinómio , com .Se a multiplicidade de for igual a , dizemos que é uma “raizsimples” do polinómio .

Multiplicidade da raiz de um polinómio

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DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOSExemplo 29 é raiz dos polinómios

D

Repara que: é raiz simples (ou de multiplicidade ) de .Como , 1 é raiz dupla (ou de multiplicidade de ) de .Como , é raiz tripla (ou de multiplicidade de ) de .Como , 1 é raiz tripla (ou de multiplicidade de ) de .

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Sejam as raízes do polinómio de grau e e existe um único polinómio sem raízes tal que

O polinómio tem grau zero se e só se

Propriedade 14

Fatorização de um polinómio

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DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOSExemplo 30 e são raízes do polinómio

No caso de , repara que é um polinómio de grau e que não tem raízes reais, pois

é uma equação impossível em .Então, é um polinómio de grau

, sendo e as suas raízes, todas de multiplicidade .

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DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOSExemplo 30 (continuação) e são raízes do polinómio

𝐵 (𝑥 )=(𝑥−1 )2 (𝑥+2 ) (𝑥−3 )=𝑥4−3 𝑥3−3 𝑥2+11𝑥−6

No caso de , temos de grau 0 e sem raízes, sendo então

.

Então, é um polinómio de grau

,

sendo e as suas raízes, todas de multiplicidade e (respetivamente) .

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DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOSExemplo 30 (continuação) e são raízes do polinómio

𝐶 (𝑥 )=3 (𝑥−1 )2 (𝑥+2 ) (𝑥−3 )=3𝑥4−9𝑥3−9 𝑥2+33 𝑥−18

No caso de , temos de grau 0 e sem raízes, sendo então

.

Então, é um polinómio de grau

,

sendo e as suas raízes, todas de multiplicidade e (respetivamente) .

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DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOSExemplo 31 Sabendo que é raiz do polinómio

,

vamos decompor num produto de polinómios do grau.Podemos então dividir por aplicando a Regra de Ruffini:

21212−6−120

𝐴 (𝑥 )=(𝑥−2)×𝑄 (𝑥)𝐴 (𝑥 )=(𝑥−2)× (𝑥2+𝑥−6 )

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DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOSExemplo 31 (continuação) Como é um polinómio de grau , podemos procuraras suas raízes utilizando a fórmula resolvente na equação .Assim:

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DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOSExemplo 31 (continuação)Sabendo que é raiz do polinómio

,

Como e são as raízes de , podemos escrever que

Como,

Então,

sendo todos estes polinómios do grau e

A raiz tem multiplicidade e é um zero de multiplicidade , ou seja, é uma raiz simples.

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DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOSExemplo 32Sendo um número real diferente de zero. Consideremos que o polinómio

𝐴 (𝑥 )=𝑘× (𝑥+1 )3× (𝑥+5 )2× (𝑥−3 )admite como raiz de multiplicidade , como raiz demultiplicidade e como raiz simples ou de multiplicidade .O polinómio

𝐵 (𝑥 )=𝑘× (𝑥+1 )2× (𝑥+5 )× (𝑥−5 )× (𝑥2+1 )tem grau e admite raízes: como raiz de multiplicidade e e5, como raízes de multiplicidade (ou raízes simples).

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Dado um polinómio de coeficientes inteiros, o seu termo degrau zero é múltiplo inteiro de qualquer raiz inteira de .

Propriedade 15

Exemplo 33Seja .Repara que é divisível por , e , pelo que , e são suas raízes.

6=6×1 6=−3×(−2) 6=2×3

Repara também que o termo de grau zero é e é múltiplo de , e :

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Exemplo 34O termo de grau zero de é .Os divisores inteiros de são e Para verificarmos se os números são raízes de só precisamos de calcular para .

𝐴 (1 )=13−3×1−2=1−3−2=−4≠0𝐴 (−2 )= (−2 )3−3× (−2 )−2=−8+6−2=−4≠0𝐴 (2 )=23−3×2−2=8−6−2=0Portanto, as raízes inteiras de são e .