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Modelação, Identificação e Controlo Digital 5-Controlo com técnicas polinomiais

J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sistemas e Controlo

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Equações Diofantinas

Considere-se a equação

�� + =

� � �� polinómios conhecidos � �� polinómios desconhecidos

• Há soluções?

• Quantas soluções há para uma dada equação?

Em geral, a equação pode ser definida num anel (exs. anel dos inteiros, anel

dos polinómios)

Vamos começar com um exemplo no anel dos inteiros.



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Uma equação diofantina no anel dos inteiros

Quais são os valores de x e y (inteiros) que satisfazem:

� � �� + =

� �= =� � é uma solução.

Além disso, se � �� é uma solução, é possível gerar outras soluções por

� � � � � �= + = −� ��

com � um inteiro arbitrário

De facto, todas as soluções são geradas deste modo.



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Exemplo: Uma equação diofantina sem soluções

� � �� + =

A não existência de soluções é devida ao facto de o máximo divisor comum

de 4 e 6 (que é 2) não dividir o segundo membro.

Este facto é geral.

Sempre par Número ímpar



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Divisão de Polinómios

Diz-se que o polinómio A divide o polinómio B, se existir um polinómio Q,

denominado "quociente" tal que:

� �=

Nem sempre é possível encontrar um Q que verifique isto, sendo em geral

� � = +

em que o polinómio R (denominado resto) verifica

∂ ∂ �<

e o símbolo ∂ representa o grau do polinómio.



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Divisão de polinómios: Exemplos

�� ++=++= �� = + �� += ��

O polinómio � é divisível por �� dado que para

�= +� �

tem-se

� � = �



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�� ++ �� +�

�� −−

��

O polinómio � não é divisível por �� . Para este, tem-se:

Portanto: �� =

�� =�

e o polinómio A pode ser descrito como:

� � �= × +� � ��

� �



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Operadores ‘div’ e ‘mod’

Em polinómios, os operadores ‘div’ e ‘mod’ têm o seguinte significado:

A div B = quociente da divisão polinomial

A mod B = resto da divisão polinomial

No exemplo anterior temos: A div B1 = 5z+2; A div B2 = 5z

A mod B1 = 0; A mod B2 = 10

No caso geral, as seguintes igualdades são verdadeiras:

A = (A div B) B + A mod B

A/B = A div B + (A mod B)/B



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Máximo divisor comum

O máximo divisor comum dos polinómios � e � é um polinómio que divide

simultaneamente � e � e cujo grau é máximo.

Representa-se por � � � .

Por exemplo, dados os polinómios

� � � � � = + + +� � � � e � � � � � = + + −� � �

o máximo divisor comum é:

( )� � � �� = + +� �

O polinómio �+� também divide � e � mas o seu grau é inferior.



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Algoritmo de Euclides

Cálculo do máximo divisor comum entre polinómios.

Inicialização:

A0 = A

B0 = B

Iterar:

An+1 = Bn

Bn+1 = An mod Bn

Parar quando:

Bn+1 = 0



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Equações diofantinas com polinómios

A solução da equação em que A, B, C, X, Y são polinómios

�� + =

tem solução sse o máximo divisor comum de A e B dividir C.

Se A e B são coprimos (i. e. se não tiverem raízes comuns), então tem

solução (e.g. 1 divide C).



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Todas as soluções podem ser expressas por

� �� = + = −

em que � � e �� verificam a equação (são denominadas uma solução

particular) e é um polinómio arbitrário.

Assim, há infinitas soluções para a equação diofantina AX+BY=C se A e B

não têm factores comuns. A solução será única se fôr imposta uma condição

no grau adequada.



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Soluções de ordem mínima (S.O.M)

A S.O.M para X obtém-se com: Q = -X0 div B

Assim, temos: X = X0 – (X0 div B) B = X0 mod B

E o ordem de X é: deg X = deg (X0 mod B) < deg B

(A S.O.M para Y obtém-se de forma análoga)

Assim considera-se a equação em que A e B não têm factores comuns:

�� + =

Há uma solução única que verifica a condição ∂ ∂� �<

ou, alternativamente ∂ ∂� �<



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Algoritmo de Euclides Extendido

�� =+ ��

Seja G o m.d.c entre A e B.

Se G divide C então podemos resolver o problema mais simples:

AX+BY = G , AU+BV = 0

Encontrando as soluções X, Y, U e V para este problema, as soluções do

problema completo podem ser calculadas através de (mostre!):

Solução Particular: X0 = XC div G, Y0 = YC div G

Solução Geral: X’ = X0 + QU, Y’ = Y0 + QV

Solução Mínima: Q= -X0 div U ou Q= -Y0 div V



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Para resolver o problema:

AX+BY = G (G escalar)

AU+BV = 0

Escrita Matricial:

� �

� � � �

� � � � � � � � � �

� � � � �

� �� = � =� ��

� ��

A partir da matriz � �

� �

�

�

� ��

utilizar operações elementares nas linhas

para chegar à matriz �

� � �

�

� ��

, usando algoritmo de Euclides.



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De volta ao problema de colocação de pólos

Considere-se a equação diofantina que surge no posicionamento de pólos,

com possível cancelamento de zeros e termos adicionais em R e S:

� � � �� −+ =

Tem solução se �� e �� − não têm raízes comuns. Com efeito, neste caso

o seu máximo divisor comum é 1, que divide � �� .

Para além disso, há uma solução única tal que

�� ∂ ∂< ∂ +



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No caso mais geral temos:

�� ∂ ∂= ∂ + − (1)

Neste caso, pode ainda mostrar-se que

� � � � � � ∂ ∂ ∂ ∂= + − − ∂ (2)

As factorizações de R e S conduzem a:

� �+∂ = ∂ + ∂ + ∂ (3)

�� ∂ = ∂ + ∂ (4)

Considera-se o caso:

� � ∂ ∂= = ∂ (5)



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De (3) e (4), vem:

� � � � �+∂ + ∂ + ∂ = ∂ + ∂

Introduzindo (1) e (2), temos:

�� ∂ ∂ ∂ ∂++ − + ∂ = ∂ + − + ∂

Logo, conclui-se:

� �� ∂ += ∂ − ∂ + ∂ + ∂ − − ∂

Esta equação dá-nos o grau mínimo de Ao para cumprir as restrições de

ordem tomadas.



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Algoritmo de projecto de colocação de pólos

Dados - Modelo do processo:

� �

� �

Especificações:

Modelo desejado para a cadeia fechada (modelo de referência):

� �

� �

�

�

(deve satisfazer ∂ ∂ ∂ ∂� � � �� − ≥ − )

Componente desejada para o polinómio R: � �

Componente desejada para o polinómio S: ��



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Pole Placement Design Algorithm (cont.)

1) Factorizar

� � �= + −

em que todos os zeros a cancelar, dados pelas raízes de �+ , devem estar

dentro do círculo unitário.

2) Calcular �� que satisfaz

� �� −=

3) Escolher �� que satisfaz a condição de causalidade

� �� ∂ ∂ ∂ ∂ +≥ − − + ∂ + ∂ −



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4) Calcular � �� =

5) Resolver a equação diofantina para obter os polinómios e � :

� � � �� −+ =

em que

6) Calcular

�

� � �

� �

� � �

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

< + ∂= + − − ∂

�

�

�

� � �

+=

=



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Exercício

Calcular os polinómios R,S,T de um controlador discreto com acção integral

para um sistema do tipo integrador duplo. Faça o período de amostragem

igual a 0.5 s. Coloque os polos desejados para o sistema em malha fechada

nas localizações z = 0.5+0.5j e z = 0.5-0.5j. Coloque todos os polos de um

eventual observador em z = 0.

Utilize o algoritmo de Euclides estendido para resolver a equação diofantina!



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Solução Incremental da Equação Diofantina

Dada uma solução para a equação diofantina (R0, S0), pretende-se obter de forma

incremental (sem ter que resolver de raiz outra equação diofantina) outras soluções em

que se incluem termos adicionais em R e S.

Seja:

�� ==+

e U, V, soluções da eq. homogénea:

�=+ ��



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�

�

�

�

=+

=+

��

��

��

� ��

Defina-se um polinómio mónico estável X e considere-se R e S da forma:

��

� �

+=

+=�

�

Teremos então (mostre): �

�� =+

Iremos então calcular Y para que R=R0Rd e S = S0Sd

zi – pólos de Rd

zj – pólos de Sd

com

�� −∂=∂∂+∂=∂ ��

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