Sumário: Resolução de equações de 2º grau. Fórmula resolvente.

2 3x x 3x 2 6x x 5.

a)

b)

c)

1 24a a

22 2

4 4a a a

2 8 14 4 2a aa

2 9 14 2aa

3 1 2y y 3 3 2 y y 26 3 6 3 y y y

23 3 6 y y

6 2 x2 x

d) 12 2 12

x x 2 2 12 22 2xx x

2 12 22

x x x

2 12 22

x

2 12 22

x 2 24 1 52 22 2 2

x x

2 2 22A B A AB B

Casos Notáveis da Multiplicação:

6.a)

b)

25a 2 10 25 a a

23 2y 23y 29 12 4 y y

2a 2 5 a 25

22 2 3 2 y

c) 4 4x x 22 4x 2 16x

1 110 102 2

x x

2

21 102

x

21 1004

xd)

2 2A B A B A B

Casos Notáveis da Multiplicação:

7.a)

b)

c)

3 15x 3 3 5x 3 5x

26 5b b 6 5b b b 6 5b b

210x x 10 1x x x 10 1x x

2 1x 1 1x x d)

e)

f)

g)

236 y 2 26 y 6 6y y

24 100x 2 22 10x 2 10 2 10x x

2 6 9x x 2 22 3 3x x 3 3x x

2 2 1x x 1 1x x h)

2 5 2 5x x 2 2 5 5x x

4 5 5x x

0A B 0A 0B

Lei do Anulamento do Produto:

8.a) 4 2 0x x 4 0 2 0x x

4 2x x 4,2S

b) 1 5 0a a 1 0 5 0a a

1 5a x 5, 1S

c) 3 0x x 0 3 0x x

0 3x x 3,0S

d) 27 0b b 0 1 7 0b b

0 7 1b b 10,7

S

1 7 0b b

107

b b

f) 2 9 0x 3 0 3 0x x

3 3x x 3,3S

3 3 0x x

e) 23 2y y

0 3 2 0y y 0 3 2y y

20,3

S

23 2 0y y 203

y y

3 2 0y y

Resolução de Equações do 2º Grau INCOMPLETAS

Equações do tipo2 0ax

Exemplo: 23 0x 2 03

x

2 0x

0x 0S

As equações deste tipo têm sempre uma única solução x = 0.

0 sempre!a

Equações do tipo2 0ax c

Exemplo: 22 8 0x 2 82

x

2 4x 4x

2, 2S

Sempre que a e c têm sinais opostos, as equações deste tipo têm duas soluções simétricas.

22 8x

2 2x x

Equações do tipo2 0ax c

Exemplo: 22 8 0x 2 82

x

2 4x

ou S S

Sempre que a e c têm o mesmo sinal, as equações deste tipo são impossíveis, isto é, não têm soluções.

22 8x

Equação Impossível (em R)

Equações do tipo2 0ax bx

Exemplo: 2 2 0x x

0 2 0x x

2,0S

As equações deste tipo podem sempre ser resolvidas utilizando a Lei do Anulamento do Produto, colocando o x em evidência. Obtêm-se duas soluções, sendo uma delas a solução nula.

2 0x x

0 2x x

Resolução de Equações do 2º Grau COMPLETAS

Certas equações do 2º grau podem ser resolvidas através da aplicação do desenvolvimento do quadrado do binómio

Exemplo: 2 8 16 0x x

4 4x x 4S

24 0x

4 4 0x x

4 0 4 0x x

Neste caso, diz-se que -4 é uma solução (ou raíz) dupla!

2x216 4

8 2 4x x

Fórmula Resolventedas equações do 2º grau com uma incógnita

2 0ax bx c 2 0bx cxa a

2 2

2 02 2

bx b b cxa a a a

2 2

02 2b b cxa a a

2 2

2

2

2 4a

b b cxa a a

2 2

2 2

42 4 4b b acxa a a

2

2

42 4b b acxa a

2

2

42 4b b acxa a

2 42

b b acxa

FÓRMULA RESOLVENTE DAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU

Exemplo: 2 8 12 0x x

8 162

x

28 8 4 1 122 1

x

8 64 482

x

8 42

x

8 4 8 42 2

x x

4 122 2

x x

2 6x x 6, 2S

a = 1b = 8

c = 12

2 42

b b acx

a