UNIVERSIDADE SALVADOR - UNIFACSDEPARTAMENTO DE ENGENHARIA E ARQUITETURAPROF.: SERGIO TRANZILLO FRANÇA

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I - RESUMOS E EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

CURSO: ENGENHARIA

DEFORMAÇÕES: Conceitos; Deformação específica; Diagrama tensão X deformação; Lei de Hooke; Comportamento elástico e plástico; Barra sob carga axial; Problemas estaticamente indeterminados; Variação de temperatura; Coeficiente de Poisson; Estado múltiplo de carregamento; Deformação de cisalhamento; Principio de Saint-Venant.

DEFORMAÇÃO: Alteração de forma e volume de um corpo(geometria) , sob a ação de uma carga; Normal e de cisalhamento.

Razão deformação X comprimento constante: Deformação específica (deformação por unidade de área): ε = δ / L

Diagrama Tensão X Deformação curva característica de propriedade de um material. Materiais dúcteis e materiais frágeis.

Abaixo da tensão de escoamento: tensão proporcional à deformação específica: Lei de Hooke.

σ = E ε

Material: comportamento elástico e comportamento plástico.

Barras submetidas a carga axial: σ = E ε ⇒ ε = =

δ = ε L ⇒ δ =

Barras com diferentes características (P, A ou E) separar em segmentos: δ =

PROBLEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS: Equações de equilíbrio estáticoDeformação / condições geométricas

Método da superposição: separar cargas e reação superabundante - superpor

VARIAÇÃO DE TEMPERATURA: deformação δT = α ∆T L

ε = δ / L ⇒ εT = α ∆T

Barras limitadas: criar tensões, com deformação nula Método da superposição: temperatura/reação

α ∆T L = P = A E α ∆T ; σ = E α ∆T

ENGENHARIA - 01

Função da carga, do comprimento e da área.

Módulo de Elasticidade

σE

PAE

PLAE

ΣPiLiΣAiEi

Igualar deformações

Coeficiente de dilatação térmica

Deformação térmica específica

PLAE

SERGIO TRANZILO FRANÇA

Observações: deformação geral nula, porém com possibilidade de deformação relativa entre as partes distintasSituações específicas: deformação limitada (folga); tensões no contato

COEFICIENTE DE POISSON: carga axial: alongamento em x contração em y e z

ESTADO MÚLTIPLO DE CARREGAMENTO: tensões nas três direçõesGeneralização da Lei de Hooke - Principio da Superposição

σx

σx

σx

DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO: Ângulo (inclinação do cubo)

Generalizando:

PRINCIPIO DE SAINT-VENANT: Tensões e deformações produzidas em pontos distantes da região de aplicação das cargas, serão as mesmas produzidas por qualquer carga aplicada que tenha a mesma resultante estaticamente equivalente e que seja aplicada na mesma região do corpo

- εy

εx

- εz

εxʋ = =

εx = σx

E; εy= εz =

ʋ σx

E

εy = σy

E; εx= εz =

ʋ σy

E

εz = σz

E; εx= εy =

ʋ σz

E

σx σy σz

εx σx

Eεy

εz

σx

Eσz

E

- ʋ σy

E- ʋ σz

E- ʋ σx

E- ʋ σz

E- ʋ σx

E- ʋ σy

E

0 ≤ ʋ ≤ 0,5

γ

π/2 -γ

π/2 +γ

εx = σx

E; εy= εz =

ʋ σx

E

ε << 1 ⇒ ângulo = tg

τzx = G γzx

Módulo de Elasticidade Transversal

τyz = G γyz

τxy = G γxy

2 ( 1 +ʋ )EG = 1/3 E < G < 1/2 E

ENGENHARIA - 02

SERGIO TRANZILO FRANÇA

Deformação específica transversal: εy = εz

ʋ =Deformação específica transversalDeformação específica longitudinal

EXERCÍCIOS

SERGIO TRAZILO FRANÇA

ENGENHARIA - 03

1. Um parafuso atravessa uma placa, como ilustrado. Determine:a) a deformação da barra AD;b) a deflexão do ponto C;c) o valor de P, para que a deflexão total seja nula;d) mantendo-se a força P = 200 N, o valor do diâmetro da barra CD, para que a deflexão total seja nula.Dados - Barra AC: E = 105 GPa; Barra CD: E = 200 GPa

2. Sendo as barras AB e CD de Latão, com E = 105 GPa, e seção uniforme de 6,0 X 18,0 mm, Determine:a) a deflexão do ponto Eb) o maior valor de P, para que a deflexão em E, não ultrapasse 0,2 mm

3. A barra ABC é rígida, e está originalmente na horizontal. Quando a força P é aplicada, o ponto C desloca-se 25 mm para baixo. Determine:a) o valor da força P;b) a deformação do arame BD;c) a deformação do arame CE.Dados: diâmetro dos arames: 15 mm; E = 200 GPa.

4. Uma viga rígida é suportada em suas extremidades por dois tirantes de aço (E = 200 GPa), com tensão

admissível de 16,2 MPa. Sendo q = 3 kN/m, e x = 4 m, determine o o diâmetro de cada tirante, de modo que a viga permaneça horizontal.

5. Para a viga da questão anterior, sendo os diâmetros dos tirantes AB e CD, respectivamente 50 mm e 30 mm, determine a intensidade da carga q e o valor de x, para que a viga permaneça horizontal.

6. Um tubo de alumínio (E = 70 GPa), é preenchido com concreto (E = 25 GPa), estando sujeito a uma força P.Sendo o diâmetro externo do tubo de 60 mm e diâmetro interno de 45 mm, determine as tensões normais no alumínio e no concreto, quando P = 300 kN.

7. Considere a figura da questão 1, totalmente em aço (E=200GPa), submetida apenas a forças de 180 kN em B e 200 kN em D. Suponha colocado na extremidade livre, uma placa, com um afastamento de 0,5 mm. Determine:a) as reações em A e Db) a deflexão do ponto C.

8.Dois tubos são feitos do mesmo material e estão acoplados como mostrado. Se a área da seção transversal de AB for metade da área da seção de BC, determine as reações nas extremidades, quando aplica-se uma força P em B.

9. O perfil ADE (rígido), é suportado por um pino em D, um arame de aço em B (E = 200 GPa – diâmetro 25 mm), e por um bloco de alumínio no ponto E (E = 70 GPa – seção retangular 20 x 30 mm). Determine: a) a tensão normal no arame e no blocob) a deflexão no ponto A

10. Três cabos idênticos, fixados na parte superior de um pavimento, sustentam uma barra rígida ABD, na qual está aplicada uma carga P no ponto C, como indicado.

ɸ 35 mm ɸ 25 mm

P = 200 N180 N

A B CD

180 N

50 N180 N

250 mm 200 mm 400 mm

ABC

4 m

3 m

2 m

D

EP

3 m

AB

C

L/2 L/2

P

A

B C

250 mm

300 mm P = 5 kN

200 mm

200 mm

D

E

A

B

C

x8 m

6,0 m

q

D

A

B

C

150 mm

300 N

250 mm 100 mm

D

E

200 mm

250 mm

SERGIO TRANZILO FRANÇA

Considere para os cabos o diâmetro de 10 mm e E=200GPa. Determine a deflexão de cada um dos pontos, e as tensões nos cabos, considerando P=25kN.

11. As três barras a seguir, de aço, latão e alumínio, estão fixadas nas extremidades A e D. Considerando que na temperatura ambiente não há tensão nas barras, calcule as tensões nas seções centrais das mesmas, quando o conjunto está submetido a uma variação de temperatura de 30oC. Os coeficientes de dilatação térmica linear do aço, latão e alumínio são, respectivamente, 12,0 x 10-6 /oC, 20,9 x 10-6 /oC e 23,6 x 10-6 /oC. Os módulos de elasticidade do aço, latão e alumínio são, respectivamente, 200 GPa, 100 GPa e 70 GPa. Determine o deslocamento dos pontos B e C.

12.Visando tornar a estrutura mais leve, decidiu-se substituir, em um pilar de concreto, as 4 barras de aço por 4 de alumínio. Qual o efeito desta substituição no concreto, quando o mesmo se submeter a uma variação de temperatura de 15ºC?Dados: Concreto: α = 10 X 10-6; E = 25 GPa Alumínio: α = 23,6 X 10-6; E = 70 GPa

13. Um pequeno bloco cilindrico com diâmetro original de 15 mm e comprimento de 300 mm, é colocado em uma maquina de compressão e comprimido até que seu comprimento se torna 280 mm. Determoinar o novo diâmetro do bloco.

14. . Uma placa, presa a um suporte fixo, é submetida a tensões de igual valor, nas direções x e y indicadas, mediante forças axiais aplicadas nestas direções.Sabendo-se que esta placa sofre uma redução de sua espessura (direção z) de 12 µm, determine:

a) o valor das forças aplicadas;b) a variação nas duas outras dimensões (BC e CD).

Dados: E = 75 GPa; ʋ = 0,4.

15. Suponha que entre o suporte fixo e a placa da questão anterior, seja posicionado um bloco de plástico, com as dimensões especificadas a seguir. Sabendo que para este material, G = 1,5 GPa, determine a deflexão do bloco, considerando:a) somente a aplicação da força na direção x;b) somente a aplicação da força na direção y.

16. Tres chapas rigidas são acopladas por meio de dois calços de borracha posicionados simetricamente, sendoa chapa central submetida a força indicada. Determine o deslocamento vertical desta chapa, causado pela deformação de cisalhamento na borracha. Dados: calços com dimensão 30 mmX20 mm na seção transversal, com G = 0,20 GPa.

RESPOSTAS

1.a) 5,47 X 10 -7 m b) – 2,67 X 10 -7 m c) P = 65,53 N d) 43,7 mm 2. a) 3,71 X 10 -4 m; b) P = 2,7 kN3. a) P = 106,0 kN; b) BD = 0,015 m; c) CE = 0,012 m.4. AB = 26,6 m; CD = 15,4 m5. q = 10 kN/m; x = 4,3 m.6. σ: Al = 165,8 MPa; C = 59,3 MPa7. a) Rd = - 158,7 kN; Ra = - 221,3 kN b) 3,32 X10 -4 m8. RC = 2/3 P; RA = 1/3 P9. a) σ: Arame = 527,2 kPa; Bloco = 368,7 kPa b) 8,4 X10 -7 m10. A: σ = 39,8 MPa; δ = 2,0 X 10 -4 m B: σ = 79,6 MPa; δ = 4,0 X 10 -4 m D: σ = 198,9 MPa; δ = 1,0 X 10 -3 m11. σAB= 26,7 MPa; δ = -5,6 X 10 -5 m σBC= 26,7 MPa; δ = -4,1 X 10 -5 m σCD= 52,4 MPa.12. Será submetido a uma tensãp de tração de 288 kPa.13. 15,38 mm14. a) Fx = 90 kN; Fy = 180 kN b) BC: 1,8 X 10 -5 m ; C: 3,2 X 10 -5 m 15. a) 4,165 X 10 -4 m b) 8,33 X 10 -4 m 16. 8,33 mm

250 mm 200 mm 400 mm

ɸ 35 mm ɸ 25 mm

50 N

A B C D

AÇO LATÃO ALUMINIO

1 m

1 m 0,5m 0,5m

A B DC

P

x

y

z

40 mm

80 mm

160 mm

A

B

C D

Diâmetro das barras: 20 mm

50 mm

60 mm120 mm

P = 50 N

40 mm 40 mm

2,6 m

20 cm 30 cm

ENGENHARIA - 04

SERGIO TRANZILO FRANÇA