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INSTITUTO DE FÍSICA TEÓRICA

-São Paulo - SP-

SOBRE O CALOR ESPECÍFICO

NUM MEIO LIMITADO

TESE DE MESTRADO

Alfredo Takashi Suzuki

Sio Paulo, março-1980

71- T

INSTITUTO DE FÍSICA TEÓRICA

-São Paulo - SP-

SOBRE C CALOR ESPECÍFICO

NUM MEIO LIMITADO

TESE DE MESTRADO

Alfredo Takashi Suzuki

Sao Paulo, março-1980

* Lembra-te do dia de sábado, para o santificar. Seis dias

trabalharás, e farás toda a tua obra. Mas o sétimo dia é o sábado

do Senhor teu Deus; não farás nenhum trabalho, nem tu, nem teu fi-

lho, nem tua filha, nem o teu serve, nem a tua serva, nem o teu ani

mal, nerr; o forasteiro das tuas portas para dentro; porque em seis

dias fez o Senhor os céus e a terra, o mar e tudo que neles há,e ao

sétimo dia descansou: por isso o Senhor abençoou o dia de sábado, e

o santificou*.

(êxode 20:6-11)

Ao gr . * Deus e Salvador Jesus Cristo, Criador dos céus,

da terra, do ir-? v de tudo o que neles há, Doador, Manrenedor e R£

dentor da vide, c m ações de graça.

Aos

Meus pais

e irmãos,

dedico

Registo aqui meus sinceros agradecimentos a toclon qi.i&u • oy

direta ou indiretamente, coritribuirani para a consecução det;te trab^

Ibo, seja colaborando, seja incentivando, apoiando ou acoriBelnaudo.

siiD, entre tantos, desejo mencionar norlnalrnt-r 'c ird

nha

- X Fundação de Amparo a Fesquisa do Eatado de 'ião Paulo,

pela outorga de imprescindível subsídio;

- Ao Instituto de Física da Universidade de são Paulo, pe

Ia formação acadêmica;

- Ao Instituto de Física Teórica, na pessoa do »ev dire/-

tor, prof. Paulo Leal Ferreira, pela acoüMda;

- AO prof. Abraham Hiraz Ziirerman, pela orientação, dedi-

cação, paciência e atençãc durante a elaboração do tra-

balho ;

- Aos demais professores, pela docência e pelas valjosss

diacvissões;

- Aos col«egas e amigos, pela compreensão, tolerâncj.e e -

amizade;

- Aos funcionários do Instituto de Física TeórJce, pela -

consideração;

- A Ione, pelo eamêro, ciiidado e voluntariedade na datil£

grafia;

- Ao prof. Bruto Max Pimentel Escobar, pelo estímulo;

- Ao Gersor: Francisco, "alter ego", pelos conuelhof,, pelo

incentivo e pelo epoio.

Este trabalho divide-se em apenas três seções e sete apê_u

dices conforme indicados abaixo, com a respectiva paginação:

SEÇÕES PG.:

1. INTRODUÇÃO 1

2. Calor Especifico Superficial a Baixas Temperaturas 3

2.1 - Descrição do Método 7

2.2 - Calor Específico de Debye 10

2.3 - Cristal Semi-Infinito 14

3. Variação do Calor Específico na Presença da Camada

Adsorvida 32

APÊNDICES

I - As Quantidades H>jm< '> = a j <VU~^V A l

I I - Integral de Contorno no Plano c-Complexo A .

III - Densidade de Lagrangeana A9

IV -Propagadores t u ^ y ^ v M . ' ) A1*

V -Propagadores fy^yT,**-,-^ A 1 6

VI - Funções de Green çf^^X-**-,n) A i 7

VII - Cálculo dos Elementos de Matriz çj0^u ,-y,fk, £O A19

a) Sub-Apindices Cl a G2

BIBLIOGRAFIA BI

1- Introdução

As técnicas da Mecânica Estatística cem sido usadas para

atacar uma variedade de problemas físicos; entre outros, envolveu

do sólidos, líquidos, gases, metais, soluções eietrolíticas, poli,

meros, teoria de transporte, espectroscopia, propriedades elétri-

cas da matéria, transição helicoidal do DNA, membranas celulares,~ (1)adsorçao .

No que tange aos materiais sólidos, para os quais esta-

remos de ora em diante concentrando nossa atenção, há dois proces_

sos de investigação equivalentes, embora sob pontos de vista con-(2)

ceitualmente diferentes:

a) Considera-se o sistema como uma coleção de oscilado-

res harmônicos de energias quantizadas, (np+V*)"nto- t onde n-^o^...

são os números quânticos, "h é a constante de Planck dividida por

2'S/ e "Jp é a freqüência angular de um oscilador, ou

b) Considera-se o sistema como uma região delimitada do

espaço físico onde está enclausurada (ou que contém) um gás de

quanta sonoro - os &ssim chamados fónons.

A maneira mais usual de se computar as propriedades ter-

modinâmicas de um dado sistema físico é analisar o comportamento

do seu calor específico. Assim, estaremos especialmente interessa

dos no estudo do calor específico dos sólidos, seguindo a aborda-

gem usual, que é a de se considerar ^ sólido como um sistema eiásti

co, isotrópico e contínuo que comporta modos normais de freqüên-

cias características.

Num breve retrospecto histórico da investigação do calor

específico de sólidos, chegamos ao ano de 1912 com a bem conheci-

da teorid de Debye, aplicada a sólidos elásticos, isotrópicos e

contínuos de extensão infinita (v-»oo) f n a qual se postulou jm

espectro contínuo de freqüências com uma freqüência .limiar supe-

rior ( freqüência de corte ) chamada freqüência de Debye. 0 x e ^ ^

tadc pode ser expresso da seguinte forma

o

onde R é a constante universal dos gases e,

sendo 16 a constante de Boitzmann, OJB a freqüência de Debye e

® > , a temperatura de Debye. A baixas temperaturas (T«@í))obtemos

a bem conhecida expressão do calor específico proporcional à T :

Para sistemas, digamos. "uin pouco menos ideais" - siste-

mas limitados, por exemplo - o compute do calor específico torna-

se extremamente complicado, uma vez que, nesse caso, as propried_a

des termodinâmicas são afetadas pelo contornos do sistema.

Onsager et ai e Stratton^ consideraram o caso do s£

lido elástico, isotrópico e contínuo de forma paralelepipédica -

uma chapa de lados l, ftt « i3 - obedecendo condições de contorno

cíclicas nas direções paralelas às superfícies livres de tensões,

no limite de espessuras não muito finas da chapa. Para o termo de

pendente do volume, o resultado corresponde ao cálculo de Debye,

enquanto o calor específico superficial tem a seguinte expressão:

onde h é a constante de Planck; cL e cT são as velocidades do som

das ondas longitudinais e transversais respectivamente; £»(2>) é a

função zeta de Riemann de argumento 3 e S é a área das superfí-

cies livres de tensão.

Estes resultados resumem com bastante precisão a termod^

nâmica dos sistemas limitados, uma vez que em condições usuais (

dimensão dos iados do paralelepípedo nao muito desproporcionais

entre si, isto 4, chapas não muito Tinas) e a baixas temperat.urar.,

as demais cohiribuiçõcs ac calor ;jspecífico ( por exemplo, terno-

de dependência linear e pontual; contribuição das vibrações de in_

terferincia das ondas superficiais das faces opostas entre si )

são negligíveis .

Não é nossa pretensão aqui estudar o calor específico de

sistemas "tão limitados", mas,dados os argumentos acima, propomo-

nos a tomar como sistema modelar, um sólido elástico, ísotrópieo

e contínuo de extensão semi-infinita, o qual nos apresenta as ca-

racterísticas desejáveis, quais sejam, um contorno ( a superfície

de contorno) - sob a hipótese livre de tensões - e a vantagem de

que, nesse caso, termos lineares ou pontuais sequer aparecem.

Nossa atenção estará portanto voltada ao termo do calor

específico superficial. A idéia para o método de cálculo é a de

Peierls, conforme ilustrado por Burt ' em seu artigo, utilizand£

se o propagador ou matriz evolução dos deslocamentos; porém, de-

senvolvendo-se o cálculo em si na mesma linha de raciocinio contor(6)

me utilizado por Ezawa na demonstração da completeza das ondaselásticas no semi-espaço.

0 enfoque seguinte é verificarmos a variação do calor e_s

pecífico na presença de um filme fino adsorvido à superfície de

contorno, para a qual procuramos determinar a expressão formal.

Finalmente, os cálculos considerados de importância, mas

que devido à sua extensão, não foram inclusos na seqüência normal,

estão compilados num apêndice.

2- Calor Específico Superficial a Baixas Temperaturas

Consideremos um sólido elástico, isotrópico e contínuo

de extensão semi-infinita, ocupando o semi-espaço que convenciona

remos como semi-espaço * * O , sendo o plano xy a superfície de

contorno. Designaremos por it (*,t) os modos normais de propaga-

ção das ondas elásticas nesse meio limitado pelo p ctno xy, com

7 * (ftt,c,m>; onde lit é um vetor de onda bi-dimensional paralel-.,

ao plano xy, c é a velocidade de fase para propagação dessas on-

das num plano paralelo ao plano xy e m designa : »;ipo d^ o. la.Os

distintos modos são dados por:

c o n - : c ò ã - k c , k = ' S i « * + l c y « y ^ It e I f c - l . S e u m a á r e a n o p l a n o > :y <*~ ilk. i«" ~ '

as funções e obedecem a condições de contorno p ^ r i ^ - n e ^

f ron te i r a s dessa á rea , sendo que o l i m i t e S - ^ ^ o e s t á .-u'e-;? e:-i;i:^

Para os ve tores d t^) definimos os seguin tes v e r s o r s s : >n ^ c •••?_£A

sor da direção z e !l<-= **•''*•. Com esses elementos, classificamos os

seguintes cinco modos :

Modo H (ou SH):

com

(-2)

Modos S+ e S- (ou P-SV misto);

com

Modo T :

com.

Ú* ft) -• t — ~~~

Modo R:

onde c«, é a solução não trivial da equação:

li ' • " . . A

«0 -

a JT71T

Tei

Os vetores tit*} em (l) satisfazem a seguinte rela?^-.

ortoqonalidade;

(d*

onde:

k • - U f h e«Jkli[(livU'O* (7)

(S)

co(c-C) s e c ^ c*perteniem ac espectro c

\Oc,c' se c *u c' pertence ao espectro rl^c

(6)

' m »*»'

0 se

:i os ve tores CLÍ%) err. (1) vale a ^fguinr

oo

L () - u. (

aos ve to res <AW em ( l ) , « v i i i - ^ a r«r

lação ii<=- consp

com

. —M^ \ C*W + H s.

onde o intervalo de integração em c depende do 'ripo de onda cue é

considerado. Observe que tomamos paira as ondas, não a normaliza -

ção de Ezawa , mas a utilizada por Dacol .

2.1- Descrição do Método:

Ao considerarmos o cristal sólido como uma coleção de o_s

ciladores harmônicos, o calor específico, C, de cristal pode ser

escrito ime-liatamento como

C - Uaf(A) "£ àte-u»,) <42>)

onde X. %(íl-a)j) é a densidade de estados dos modos normais de vi-

bração e F(Í2) é o calor específico de um oscilador harmônico de

freqüência O. que encontramos facilmente em diversas literaturas

ou compêndios de Mecânica Estatística, e dado por

Observe que em realidade estamos tratando o calor especí_

fico na aproximação acústica e não na aproximação ótica, isto é,

consideramos baixas freqüências e uma freqüência limiar superior.

Porém, no limite a baixas temperaturas, T « ®j>, a integração em

XI até o infinito é justificável. 0 problema todo na expressão

(13) está em conhecermos a densidade dos modos normais T.£>(n-uJ|J).

Precisamos saber como calculá-la.

Seja UA*+)a j-ésima componente dos deslocamentos do meio

na posição * e no instante ^ . A quantidadeGf («.,*';t)dada por:

Q. l*,*1;*) - H ^(«.^u'W *«.xte (-

é a matriz evolução eu propagador Para o sistema, de^ce cv.e

a propriedade

l ) & <-

onde a integral espacial d*' é feita sobre todo volume v do <-or-

po ( em nosso caso especial, no semi-espaço V / O ) ; as componentes

M. ( O são dos modos descritos em (l) e que satisfazem a condi

ção de orrogonalidade (6).

Definindo a transformada de Fourier têmpora] G. U. •»' a) do

propagador Gj (<*, y t) , escrevemo-la explicitamente:

Agora, calculando o traço de Gr (*.,*;íl) t isto é, na si-

tuação em que %, s oil , obtemos:

J v J «- -oo

J v

que e justamente a densidade de modos normais. Introduzindo o re

sultado (18) na expressão (13) para o calor específico

onde escrevemos X. Q-. te.UvíOsimplificadamente como G\^t£i).

Se não estivéssemos interessados nos efeite^ de 5-up-7; í-

cie, bastaria substituir Cj(*;íl) que aparece em (19) pela corr : .po/_

dente quantidade^ (A)do cristal infinito e obteríamos o Cdior es-

pecífico de Debye Cj> . Observe que Gj (O) é independemt de '4, !r--MW

veremos adiante) em virtude de o cristal infinite ser u *r -• J/J-

nalmente invariante. É claro, a restrição z} 0 não existe ^qui.

Uma análise na simetria de um cristal semi-infinito co_n

duz-nos também à possibilidade de fatorização de G\{*.,?i) devido .\

existência 1c wna invariância translacional paralelamente à supe£

fície de contorno. Verifiquemos isto:

J g-

(<2O)

conforme explicitado pela expressão (18)

Agora, de (l) obtemos que

tX U)_e (21)

que substituida em (20) resulta

Isto significa que (19) pode ser reescrita imediatamente

como:

C = S (dílF Ca) U ^ qCy.il) (25)

onde S representa o resultado da integração espacial em x e em y.

Aplicando a fórmula somatória (12) em (22) temos:

10

2.2- Ca.: or Específico de De bye :

A fim de ilustrar o método e introduzir alguma notaç~o ,

consideremos o caso do cristal infinito e o propagador Gf (ÍV;

Para o caso do sólido infinito, 3"" (KvvO , onde m é ou o

modo longitudinal, ou o modo transversal, este-duplamente degene-

rado. Assim a fórmula somatória é X^T fkO = \ <i pX> f <1P-,V >

onde |2, é o vetor de onda tridimensional. Queremos que esta fo'r-

mula somatória seja semelhante à expressão (12). Então procedere-

mos ao seguinte:

+ 00

\

-co;

f

Agora, aJ^ = c m ; então <O

Portanto fe* . oj^ k"1"

Necessito que jzm» seja função de k e de c, logc, redefl

no U J ^ nessas variáveis e obtenho: 00^«. U.c.

Então:

C-oo

Os modos normais, por outro lado, podem ser escrito? como

(O)J A tiP-- * -tU)

( t ) C Jtfc) e T c Ju.

C21)

11

onde I vTmtiP-M a 1 . A expressão (20) nos diz que:

Açora . 4JL com *x. ty=«L

Col

-ao

Defino £*.,*_ J.çL. 1 . Então

(Í2)

A função delta é ujna função par e cl U-=

T,

Então:

Efetuando a integração em k, obtemos

- a.

onde a soma sobre os modos está subentendida. A .integrai, segun-

do a tabela Gradshteyn, 3.241-4, pg. 292 vale:

d(Xv 1

onae o fator 2 no modo transversal surge pelo f-ato dr? ser lup;.~. -

mente degenerado.

Introduzindo esteQ(íi)na expressão (19) obtemos:

!2!L "RpLN* <*o>

ou, na forma indicada, em termos da função de Debye (fora do limi.

te

com

Como ilustração ainda, torna-se interessante se ao invés

da expressão (19) utilizarmos a (23). Nesse caso,

C

G (jQ.) não depende de z e F(íi) dada em (14) pode ser

reescrita como:

\ Cm -& •

que é claramente uma função par em CL. '**-)tambem e par em Jfl. e

I(t)e1 p par em z. Então, com o auxílio da expressão (25), es-

creveremos o calor específico de Debye como:

cr>4)

onde: 1 M

1 . J

13

que é o rp^ltaâc (q0) :a (31)

'-.i" ,, a expressar (34) pode ser reescrita como

._

Para o modo longitudinal., © ^ = K w J ç* _ A ' , err:uanto

que para o modo t r ansve r sa l , w - & ,,/c? Ã^ . Assim,

Mão há necessidade de calcular explicitamente essas in-

tegrais uma vez que o intuito aqui é simplesmente mostrar a equi-

valência entre a (37) e a (34). 0 fator 2 que surge no moio trans

versai se deve à sua degenerescência.

2.3- Cristal Semi-Infinito:

No estudo do calor específico de um cristal semi-infini-

to, devido à presença da superfície de contorno, além do termo vo

lumétrico que corresponde ao calor específico de Debye - surge d

contribuição adicional de um termo de superfície.

A fim de simplificar os cálculos - mas sem perda ahjurrM

de generalidade - vamos trabalhar no sub-espaço H* = C*-,°\ on se-

ja, escolheremos um sistema de coordenadas tc.1 que II*. = A •,

(Axi*.)=Et a í( Í Cj .A vantagem de se trabalhar nesse sub-espa

ço é que o modo ri(ou SH) desacopla-se dos demais e em consequen -

cia, a expressão (24) que nos dá o propagador em termos dos modos

normais também se desacopla e o calor específico pode ser calcula

do por etapas, de acordo com os modos considerados. Assim, pode -

mos escrever:

C . c011 + ">

onde C a <- SLO dados por ( 2 3 ) ;

Q

com JL, L i-scriLu bimpiií icãdamente v,

a^ Calcule ic ^'^o-'a;]cidoi

en";ãjador mo .JO KtC^C^

c

*"T

Agoiv., | t^''í^")l's lu^'ti,)]2 „ _çl _£_L cos^ôUr ..enferme e/-

p r e s s ã o (k-i-.-'i -\J Apêndice I . Enráo :

' 'V l Í " i Í (1 + ces 12 pIc-Yj

que possui am ?.eriüo i n d e p e n d e n t e de z . Mudando a v a r i ó v e l •!'..• i u n

graçao de c p .r-, B em (--il), t emos:

L •:...;;.^'; t | . ( í i i para o termo i n oepenrjer, i <-.• j - 7

Q d.;n."> P d 2 ' d '-' l r ' r ' ! ' J Í1"- aep'.-r:^e de ?.. Er.r%o:

a.2) Pi-...-:•• : ,: :;o, Í^ÚOÜ. G%;íl) S Y GÍ

J

Então:

loep)[(^li\ can2a!t7. ,

1

15

conforme- :A- b) >••• (A—r) *c Apêndice I e onde A(a,^ «. BCw^) estio

defmi'::'•••• <-•<•• (3). note cue- ,iui,ii temos dois termos independentes

ie ?.. Ar--:.ÍP, -C'.;... ,; ' u'- anterior, definimos as quantidades

(4q)

+ 2 & (r-,(O ( oti; M

16

ii) Modo T:ir)

(52)

conforme (A-5b) e (A-5c) do Apêndice I. Temos um termo independen

te de z; assim como antes:

c*.! \ CSÍ.)

onde C(if ^) e jHitf.fO estão definidos em (4)

i i i ) Modo R:

17

kA l (5Ç.)

onde T<.(J£*,v\^está d e f i n i d a em ( 5 ) . Não há termo i n d e p e n d e n t e de z,

e n t ã o , Gj(* tvt.&) permanece como indicado em ( 5 5 ) , sem desmembra -

mento.

b) cálculo do Calor Específico:

b.l) Termos independentes de z:

Definimos < *(£V) = q^CH) + ( a ' ) + G^CQ.} t a parte do

propagador independente de z com Gj"(í2)dado pela expressão (44);

Gf^(Q) , pela expressão (49) e ^'"'(Xl) t pela expressão (53). E£

sa parte do propagador deve corresponder exatamente ao propagador

livre (do cristal infinito), ou seja, deve resultar no calor espe

cífico de Debye.

Agora to « U.c •• Itc ••/**+*l e Lc V^+71com

CT

Fazendo a mudança de variáveis de c para OL ou & (deperi

dendo do caso), resulta:

l e i

«O

d f t * í £ l l ^ T > | ( 5 7 )c

.18

Introduzindo (57) na expressão (23) e integrando em

obtemos:

• e

Desde que LU) = \ e função par em z, temos:

cí , V

Então:

que é justamente o calor específico de Debye dado por (37).

b.2) lermos dependentes de z:

i ) Modo H: Introduzindo-se Q ^;X1) dada pela expressão

(45) na (39) e efetuando a integração eii í l

obtemos:

C(H). S ( A ( ° l i Ê . FlWcWjPTTMi, «a 2\ I r I0

A integral em z é imediata:

mm. *8

Vimos que F(JC1) é função par em jQ , por tan to : « ^m^f-

no seu argumento fr*- . Então:

+OO

que é facilmente integrável em ft«- . Realizando esta integração,

temos:

Finalmente, <à\ « 2<iWdU., com P(kcT) dada por (14)

Assim:

Fazendo a mudança de variável Oi r T* *CT , reescrevere-

mos

Realizaiido uma integração por partes, a integral acima

pode ser escrita em termos da função zeta de Riemanncle argumento

3:

onde k =

20

ii) Modo R: Introduzindo a expressão para Gj <^,^^ àa-ia

por (55) e (56) na (40) e realizando a inze

gração em /l , obtemos:

forifr K .

Efetuando agora a integração em z, que não apresenta di

ficuldade, temos:

i ^

A expressão que aparece entre chaves no integrando vale:

í l

que é justamente o fator K_ definido era (5). Portanto;

Explicitando FC^c«^de acordo com (14) e desenvolvendo

Udl*, temos:

(21T

Como antes, fazemos a mudança de variáveis

c

21

Efetuando uma integração por partes, a integral acima ex

prime-se em termos da função zeta de Riemann:

onde k

iii) Modos S+.S- e T; Para estes restantes modos, os ter

mos que dependem de z são -Igo mais

complexos, envolvendo integrais em c que exigem um exame mais ciú

dadoso. Antes, porém, convém reagrupar os diversos termos de G^<±>

e de Gf U-.JCI")de"um modo conveniente". Observando as expressões

(50) e (54), notamos ser esse "modo conveniente", o seguinte:

(

c eT

j

ac AM - « ^ h t[dc.rB-x-ori)g ^ i + c.c.j i é ( a -CA I j C 2|l j

C7

e maneira que:

^ (GO)

Introduzindo Gj«,CL •Q á l - na expressão (40) e r ea l i ze

a . . egração em Í2 , obtemos respectivamente:

22

SUil J&Éki Ú<L FCUO (*x-0A

cc,

+.c.n

Definiremos as expressões acima entre chaves de

e S respectivamente, e observando que:

podemos ver que:

23

ao o» "O

• * * *

onde as funções Cl*,^) , g(*,Ê) e lt(oc, >) são definidas da segui_n

te forma:

o. oco

Demohstra-se (vide Apêndice II) que as integrais entre

as chaves S* SA c S«,« são equivalentes à metade da i n t e -

'gral de circuito:

re>(OdC

onde +ic) * L^CO, p>tcjj etc. ; P é o seguinte circuito no

plano c-complexo cortado:

irrtC

t-CK -c. :c* .««•c

Assim:

«O °O(c)dc

eco de

J 'l

Observando agora as expressões (61) - (63), notamor cue

há uma forte dependência das funções no argumento kc: desde que,

além de F(lcc) , a parte exponencial de cada uma das expressões

tem no seu argumento o produto ock , jilt e (ac+p)lc. respectivamente,

e lembrando como oc e £ dependem de c, obtemos claramente a

dependência em kc.

Nota-se que a integração em c terá uma contr] uíção vin-

da do polo em c=o. Porém,como queremos o resultado em ierros in

função zeta de Rieaann, integraremos inicialmente em z e em k.

Reescrevemos, então:

p o o

onde explicitamos a dependência em k e z das funções.

A integração na variável z sendo efetuada, resulta:

\ te

CD

Seja agora I s ( U.ML F(jcc)

k c» \ ^r J

Chamando ^ _ \kc , temos:

Integrando por par tes UÍTÜ ve;*, o b ire

1, 3r (3) í ; (3) U

Então:

2T 3V k ^y

Análise dos possíveis polo?:

1) As funções no numerador são analíticas em todo o domínio de i_n

tegração considerado;

2) i) Em Cx , temos polos simples em c- ± C U devido ao fator ocl

que aparece no denominador, porém são polos localizado? fe-

ra do domínio delimitado por p ; r.3o constituem polos de

interesse.

ii) Em C . , temos polos simples >-:-.K •:•= ± C T devido ao fd'or (3?

aparente no denominador. He?,me o1 <•;<•::L-j-y;ão que a acjin-i.

27

3) i) Em cap temos polo de ordem superior de interesse;

ii) Em c= ±Ca. temos polos simples de interesse. Provêm do ter-

mo (f£-fi* + 4-«t{S que aparece no denominador pois:

Calculo de C.,:

onde I(O « ± V . (^>if-

Res I Cc = iCa); Seja <JCO s (p.*-O'+4ot^. Então;

Agora, para c = i C ^ , tem-se:

oc(c«±co. Jc£TT , i*R

'T

Portanto,

L cf + of *t c;

Res

*«<* F^P

onde foi utilizado o fato de que (1+*C

Res

Como Ç ^ s <-** . ç^. t 1-*£ t tem-se

Res

pressão entre colchetes pode ser escrita como

i foi* m T <

onde TCC*»,^ é a expressão definida em (5).

V Res f (c- t e , ) . -C• « C Í

Observe que v(c=O)=O. Também

m o r enquanto** L.

de*««o

Utilizando a conhecida identidade (4+*O CIfô«v^» a ex-

28

Isto quer dizer que o polo em c=0 é ãe quinta ordem,

uma vez que temos também o fator c" no denominador.

Seja wto = Cp>*-O*-ta£. Então, para c-->0, tem-se d

são:

líw*. *KO _ ô _ £ç*

Para c-*>0, temos também, expandindo v(c)

U u-tc) = *( J

Introduzindo essas duas expansões em fCc) , obtemos:

T

\ C i

. 1 G c ^ -v c'(4c£g^- ia ctcl) + cA(ei?i-^cTA - kclc

" 2cs (c j -c^c^c^lc*

Portanto,(GS)

Assim, de (64) e (65) temos para

Calculo de C. :

onde Ô C O

Res

Res

Res P(c = ±c.) - -<

Res

(GG)

(67)

co

30

V Res &tc*=co . Su-Ct

* actc*(c;-c

Da (67) e(68) obtemos para

(Go)

Cálculo de

onde

Res

Res llc-lC) ._JltSl

Res

v Res iu«o) -O (71)

De (70) e (71) obtemos para C ^ :

L * 2 cia)

Dos resultados (66), (69) e (72) obtemos

Agora:

(73)

Observe que o primeiro termo de (73) cancela a contri-

buição do modo R dada por (59) . Então, a parte do propagador de

pendente de z contribui ao calor específico do cristal semi-infi

nito com:

r\ r*°° r T) - niH) <~l(° „ r* r r-

onde C ° ° é dado por (58) .

^ t-gct- 5c£c? Iv C B 3«EStfa) I H Í ^ V Y 3C^ t-gct- 5c£c? I (74)

que é o termo superficial do calor específico.

3. Variação do Calor Específico na Presença de Camada Adsorvida;

A densidade de lagrangeana para as ondas elásticas num

semi-espaço isotrópico, elástico e contínuo é dada por (vide o

Apêndice III):

« W . {.? (^ l|a - «fMJ} (-rs)

onde e é a densidade de massa do meio;ü(*;t) é o /etor ene c!e

creve os deslocamentos no Instante t do ponto ai = C*1(xl(Xj); * denota

a conjugação complexa e a repetição de índices subentende uma so-

matória sobre os mesmos conforme notação usual, A quantidade t Cct]

está relacionada com a "densidade de energia potencial" do meio,

valendo;

*Pt*O . (C*-2C*)(d'v d.) (div it.) + C* 3 U L í dUt + du. \ <7G)

As equações de movimento derivam-se da densidade de 1«-

grangeana segundo as equações de Buler-Lagrange:

_ O

Defini ndo Mij Uj para o segundo termo, temos:

onde "M**-J -

(78)

Definiremos também: G° - função de Green para o sistema

cristal semi-infinito "livre" (isto é, na ausência da camada adsor

vida); P°- propagador "livre" do cristal semi-infinito (correspon

de ao anterior propagador G dado pela expressão -24-) e P- propag£

dor "perturbado" (cristal semi-infinito com a presença do filme fi

no). As equações que essas funções obedecem são respectivamente:

Função de Green G°:

Propagador•

é definido à semelhança da equação (15).

34

Introduzindo agora a perturbação cinf.r.i^ oada por uma

variação de massa (que caracterizará a camada adscivida ou o fi_i

me fino):

jL-O (82)

onde X é a constante que denota e especi f ica ã v?>n.. yáo da m-iss

na região da camada; a equação (81) torna-se:

onde:

H'(j , ÍXãíyy^Sy (65)

Note que a (84) aplicado a P° deve rne repro-iuzir a (80) .

Escrevo então:

Aplicando H .íati ») e ^ Í S ^ ^ à esquer ; :. J J

uma vez que HVcz)^^;!) « O pela (30).

Agora H"^(2)^jm(2;a) - &ttn6(+i-+j)á(x.l-%.,/;. Entã

que, comparada à equação (83) , mostra que 5"=-4 , Portanto

onde HcjW* H*jW) + H'

Podemos r ee sc reve r a (86) então como:

onde:

« - * > > £ j V (68)

Escolhendo agora o "ansatz" seguinte:

-

as equações em r:^ tornam-se equações em 4t<m de modo que a (87)

fica: (vide o Apêndice IV)

Tanto a função de Green como o propagador sao invarian

tes por translação temporal, de modo que:

Temos onteo as transformadas de Fourier:

+00

-CO

tar

-00

4-ao

-ao

de modo que a equação (91) se escreve como: (vioe Apêndice V)

Na situação particular em que

Nessa etapa, verifica-se claramente aur. nd situação de

X * O (variação de massa nula, isto é, sem o }•., ;r:iL-), recobramos

o propagador do cristal semi-infinito

pagador:

M.G. imrt , para o cristal semi-ir: f if: -•, nos dá o pr£

37

Clit•(.«-- XT')

fo . (.Rt (a) *- -«."to •fc , / , t i ) vs) • -».\o •<

A transformada de Fourier temporal de tíuV^A)

+fl0

onde foi utilizada a. notação do Apêndice I para os produtos

Temos então:

(101)

Ainda de acordo com o Apêndice I, no sub-espaço onde

(U.,0) , temos:

De semeihd/ite modo, a função de Green para o cristal se-

mi-infinito livre é dada por (vide Apêndice VI):

onde

38

de modo que no sub-espaço ic»llt,o) ainda temos válido que

-' O H (105)

Defino a quantidade % de

modo que s.- « o ,se j + t e j ou ( « 2 . Introduzindo-se-lhe

na expressão (97) tem-se:

que, em notação matricial, nos dá S T « T , ou seja:

Assim,temos:

Í1OG)

s -•«1

o

O

s»

o

onde 6 » 1 -

» m A -

1 (y•>, ft)

1107)

S"1 =C

O

39

onde

(106)

Desenvolvendo a equação matricial "P = S" r , temos:

O 5 U O

Cai O ^33

onde

com

40

(109)

Estas soluções fe ty.V'"1'^ devem agora ser introduzi^

das na equação (96) de modo a obtermos o propagador genérico:

onde a dependência em Be e em Si. foi omitida para brevidade de

notação e redefiniremos í**^ * \t*V'

Observando a (102), a (105) e a (109), conclui-se que

também

•* -0. (140)

Os termos não nulos de k. (**') s^° d a d o s Por:4. (**'

M11)

onde as quantidades çf-^Us,) são dadas em (104) e as quantidades

jtk U^J,') em (109), via (i08).

De acordo com a escolha do "ansatz", (89) e (90), temos:

A situação que nos interessa é dada pela condição

: ( V » O )

A transformada de Fourier em

ns

com

A densidade de estados é o traço da matriz da transformei

da de Fourier 'jo propagador, isto é:

vOO

0 calor específico é dado por

onde F(d) é o calor específico de vm oscilador harmônico de fre-

qüência SX . Então:

Finalmente, a variação no calor específico devido a pre-

sença do filme é

A C - C-C° . Si daPíaMd^l^k^. Afcíy.t.íl) (i*2)

onde

A

Facilitando a notação:

que, de acordo com (ill), resulta em:

Utilizando a (109) para os fe;,ly,O temos:

43

Exprimindo conforme a (108) os vários Gij temos:

onde os V ey*)devera ser calculados pela (101)

Ç ^ > e o s ^ ^ W 3 s ã ° d a d ° S P ° r * 1 0 4 * : (AP^dice VII)e os Ça V> e o s

« , *c f **••*-

•#«^v+ f**Vj

onde o sinal (+) denota a função de Green avançada, enquanto o

sinal (-) denota a função retardada, e as quantidades:

*A-

e;

(tlÔ)

45

J

L ** J

«SUç.(cX.ttÊ)

v»

" 4£lcç.(c3itiS) I J

J

VI Te"

. Cci+v

.çaCcAtve-> [±1]

onde

0 próximo passo seria determinar as expressões explícitas

de jt*;(x*O através da (101), introduzindo-se-lhes em seguida na

expressão para A^iU) , que, uma vez obtida, deve ainda ser manusea

da convenientemente nas diversas integrações que envolvem o calcu

Io da variação do calor específico conforme indicado na equação

(112). Porém, face â extensão e complexidade dos fatores envolvi-

dos, e, tendo em vista o cuidado que devemos ter nos passos de

cálculos em contraposição à exiguidade do tempo para realizá-lo,

carecemos deixando apenas indicado.

A-i

Apêndice I:

Face a necessidade de reportarmo-nos com freqüência a cer-

tas quantidades durante a seqüência dos cálculos, houvemos por L-

compilá-los à parte, para facilitar eventuais consultas às mesmas.

Nesse primeiro Apêndice, vamos definir a quantidade:

onde os **/•(») sao as componentes dos modos normais na sua parre ç-.~

torada, dependente de z apenas e o sinal * denota a conjugação com

plexa. Vamos introduzir também o sistema de coordenadas tal que:

onde, por conveniência, redefiniremos os índices (x,y,z) por (1,2,

3) respectivamente. Assim, para cada um dos distintos medos nor -

mais, obtemos as seguintes quantidades <f>- (/>

Modo H (ou SH):

LC*

O ; j ouj

Modos S+ e S- (ou P-SV misto): Aqui,

Modo Ti

A-2

(A-U>)

-»YÍ I

J

— I sinK^-V' - SCA^U(^') _ ítf-i)*"4»ftir SLWCCU(YY>

= O j eu. m. = 1 (A-5a)

lios resultados seguintes, foram usadas as seguintes iden-

A

bl-OT-Átíp, J

J (A-5b)

(&1-O -

Modo R:

A - 3

?> L (p?-OV4t»p, C^ -0 l - 4 i ^ J j (A-5c)

JJ (A-6d)

(A-5e)

) =o j ou vw =2 (A-GCL)

A-4

(A-Gd)

onde:

A-

Apêndice II;

Este segundo Apêndice propõe-se a mostrar a equivalência

entre as integrais de extremo que aparecem em S^ e a metade da

integral de circuito no plano c-complexo cortado:

onde o circuito P é o seguinte

J.

g-H •'•

^

\

Introduz-se agora as funções de variável complexa c:

occo. JsL -

Essas funções possuem cortes no plano complexo ao longo do

eixo real para \cl>Ci. e ic\">cT respectivamente. Temos ainda,

para c no cor te :

A-6

£-•0

a (c = t

onde oc e p. denotam as antigas funções de c, real.

Seja aaora d integral I = \ -f (o dc , onde 1_L

somatória dos cadinhos L , U L-4 «. L^:

L. :) dc + 1 |(c) dc

La U U

Para conveniência, definimos a função gt«.p>) , tal que:

f<c) paxc

) c-CO

-Cl.

-C-

. 2,100

-C".

c-c,

cL

) c-T

c,

OO

dcc

0 procedimento padrão agora é fechar o circuito adicionan-

do dtfis semi-círcuios ae raio "suficientemente grande" aos caminhos

Isto nor; contorno P definido logo no início desse

Apêndice.

A-7

A função f(c) é proporcional a <?'* , onde <x , em

termos de c, é dado por:

<x(O

Desde que c seja complexo, vamos definir £- =

z designa a notação usual dos números complexos. Então

onde

ou*.) = ji-

No plano complexo temos o seguinte esquema:

«.-1 - u e.

iví

No semi-piano superior,

reac .

0 4 81

0 i 6a\/

o+o 6

o

Ne st, .1-p.l.i-c inferior,

C> -V.Wporeional a e" ~ | , temos:

A-8

Como ix z cV^' 5 PÍce^^+t^cw.^) ; o ^ í i , e f(c) é pro-

Para ç - c<; , portanto, f (c)-> o já que U > o , y, c

(o cristal ocupa esse semi-espaço) e Oi íxAiOé 1 no intervalo oi i

Então, finalmente, concluimos que

(A-7)

O procedimento para S e S e totalmente análogo, de

modo que será omitido aqui.

Apêndice III: Densidade de Lagràngeana

Considere-se cx(.x.;t) o vetor deslocamento no instante t

de um ponto v. = (.x.,,* ) no meio isotrópico, elástico e contí-

nuo, que no seu estado de equilíbrio ocupa um volume V , com

uma superfície de contorno S. As equações de movimento são des-

critas por:

pü-i T -dCcj (A-8)

onde © é a densidade de massa do meio; £l.c é a i-ésima componen-

te da aceleração e Q ; constituem o tensor das tensões:

com A e M- sendo as constantes (ou coeficientes) de Lamé.

As velocidades C L e CT em termos dessas constantes, se

exprimem cpmo:

c" ^-mu, QI _ |U. (A-1O)i_ _ * — f - —

de sorte que (A-8) se reescreve como:

P

üi . J% (A-11)

com ^ - Ü . s (CÍ"^T> \ A + CT u«

Defino agora o seguinte operador:

que, com o auxílio da identidade

ro+r©-t A = arodidlivA ~ V /A

posso reescrevê-lo como:

A-10

•z

"T

Agora, operando no vetor deslocamento

3 U.

u campo vetorial <LJL , pode ser descrito em termos de uma

componente: lo/.ai rudinal e outra transversal»

CL - çco ,d£ ^ r o t f _ ( d w t = o ) (A-n)

de modo qne as equações se desacoplam em

i l _ c V2N tj, = o (A-1Ôa)

^s O (A-16 b)

de onde ít ^-/]. i-ncir-;,.i o si jnif içado de c u « «de c^.

3c: a superfície é livre de tensões, então a condição de

contorno sobr-, 8 é ia da por:

onde'v. é a rio •-. i -•/* erior em cada ponto de S.

Cons•{•:••-r*>-'•;•:.: aaora o espaço linear das ondas que

zem a cor.-:j.<; -^ • . . M S / W ) (A-19) e tendo o seguinte produto

no ou esc--: -ir .

h-L 1

C . = f l*/t>* • «A*-,*) <**. (A-20)

Então, segue-se que o operador Ltò) é hermitiano. Tomando

a forma sesquilinear:

(A Q1)

observa-se imediatamente da definição que:

v ] * (A-22)

Além disso, com o auxílio da definição do produto esca-

lar (A-20), podemos definir a quantidade:

íí

( v* 3íij_d* , pela (A-16)I 3x,

Escrevendo em a notação simplificada d = ã_ , temos

v a S d ^ (A-

Agora utilizando o teorema de Gauss (teorema da diver

gência) na quantidade:

\BjU*Gij)ck -_ \ v*^-j j _ ^ 3 = O ( pela (A-19)

Como: %K*^) - OjvDS ^ 3 , ^ (A-24)

então: (pela A-23)

A-12

Temos para o integrado (usando A-12)

(c:-ecí)(d.w^(a.vUL) + c

Observe também que:

e como ckjicwj'1.- j r » 1 J' \J' ' segue que:

Então:

<v, L(9)UL> = -W[(cí-2c^

Pela (A-21)

(A-25)

(A-2G)

confirmando a hermi ti cidade de L(3).

A lagrangeana para esse problema é obtida da quantidade

genérica:

5 i i \ + 1 < v , L O ) t i > < L , ) ] l

?;+. / eL JjlJ

l \ L ^ 1 J 1

onde <t;[iuj •-- § tu,CL] fdutPLtt], 0 significado f ís ico de

vtorna-se claro como sendo l*/^) vezes a energia potencial do meioelás t ico ainn ' a -:santidade «J- é tomada real..

A-13

Definiremos então a densidade de lagrangeana,£llcil( como:

1 p

onde índices repetidos denotam uma somatória e, de acordo com a

(A-21):

div|x) +C^3 jU .*(9j^ i + 3 í U j ) (A-30)

As equações de. movimento se derivam então, através da

expressão:

onde l i " u « e/ou t ; • *\i

Consideremos o caso *\, » LL • Então:

MttL- O

V loíiL

de modo que a equação do movimento f ica:

j .^ (A-32)

com LO) definido em (A-15).

Para *i-= u , o procedimento é totalmente análogo, e

obtém-se:

J L u a j i í

A-14

Compa 'a.rjdc 'A-32) e (A-33) com o resultado (A-16), vemos

que a densidade de lagrangeana reproduz o resultado. A densidade

de lagrangean,' que nos interessa é então:

"^ \ t t ' í

com CPfuldado por:

A-i

Apêndice IV;

A equação (87) nos dá:

i1)' ;1) - \\ V * ' íi^-í5

onde H(a). &(vv)Í-5w

0 segundo termo , dado pela integral dupla, I;

Ti» *

Utilizando-se o "ansatz" especificado em (89) e (90),

tem-se, integrando e m y d*.9* dV^dt»

A integral entre colchetes é bem conhecida e

Então:

-00

Introduzindo em (A-34) e escrevendo'?-^/) er^lí.i) con

forme o"ansatz", obteraos, pela identificação dos integrandos de

á\ , a igualdade desejada, ou seja:

13G)

Apêndice V;

A-16

Temos a equcçao:

que escr i ta sobre \ i-orma transformada em Í2 fica

•00

O último termo se desenvolve como:

-0O -"O

-OO

Então:

40O

+00

-oo

p . (

de onde, pela : -.ierjtiíicação dos integrandos resulta

(A-

A-iy

Apêndice VI:

A equação para a função de Green GfOx./xl-í-i1) é (79)

Agora } ^{^M) JáSl^xC,^)^ , e

o

2t )-oo

Então:

2 X

Por outro lado a expressão (77a) nos dá a equação para

os vetores deslocamento:

= o

onde u («.t) * u- t*) ê J , de modo que

Como Mtj é um operador espacial,

Portanto,

2

fudada então por:

. -If. wj u'\*)

A função de Green G{" (<*._*;;íl) que satisfaça (A-38) é

(A-40)

Agora,para os modos normais do semi-espaço elástico, escrevemo

(T> (3j tBí. irTU. (X) = UL U) Z

l W

A-18

onde IW. t \t- são ve;,.or~ ~ v:idimensionais e S urna superfície tendendo

ao infinito. Prot..nt~<,

" j t • —_ ^ -L< —• • t.~[ -J; i

Emprea . a róriauia somatória para X.-,, temos:

l m^R) C ^ - O J * j ]

onde os produtos a":^- u ^ o * a j («w) estão definidos no Apêndice I.

Concluídos, ejitão, finalmente que:

CA-W

os sinais (+), (-) indicando a fur.ção de green avançada e retardada

respectivamente.

A-19

Apêndice VII: Calculo dos elementos de matriz ^ u _z/-tK ni :

Defino ilskc^, de modo que (nx-ou, ± ir: > - k^'cX-^^^

a) Caso j=k=2; Aqui, só o modo H contribui. Então:

oO

Mudando a variável de integração de c para a e escrevendo

(ia + ie)] e, considerando que o integrando é

uma função par em tf> , temos:

-OO

Função de Green (+):

•+OÜ

> T -oo

, onde

•ao

-oo

-00

com C^ e C + ser.do os contornos seguintes no plano ^-complexo:

Entãoí

A=20

It . -

Para o cálculo del"^e de I^ , temos que considerar a si-

tuação >z>' e a situação 7j<1\' • No primeiro caso, a circuitação

do contorno para o cálculo de l^e C^ e del^C*, como em 1^ e li, •

Porém quando <V» para lc a circuitação deve ser C^ e para 1^ , C^ ;

Si . " ; ^ . . S i . . ^ , para

51. i . para

Então,

Função de Green (-);

0 cálculo é análogo; somente que agora os resíduos são

calculados nos polos ft-(5iA-Ct e (5- -çrt+i£. 0 resultado final é

tal que ÇK^.*!,^,**)"* t í £ M ^ ' A ' ^ onde * denota conjugação com

plexa. Então:

Quando V V » temos

^ (A-U)

Para os outros valores de j e k, os cálculos estão -i

seguir, sendo que os detalhes do desenvolvimento das integrais que

aparecem estão compilados nos sub-apêndices numerados alfa-numéri-

camente de C-l a G-2.

A-21

b) Caso j=k=l:

Aqui, o modo H não contribui , mas temos contribuições de

outros modos:

> C l - CT

onde

Termos em

. f de Jt fitas I U-ty- ') 1) c TL U»(cA-c?itê) J

lcf,X*i ) c <XÍCÍ-c*ii€) ) C (ci-c*ii6

«0 CO

O O

00 *«O

l i . • 1 dw. co ackh-fc') J_ \ dix cos^ktyY)

-CO

ces

p JComo:

Jí

A-22

ti,

Termos em z+z1:

-1

dç

cL

fdc t

"

Defino:

, (dç i.1 t

c.c

C

De modo que:

TC (ci-ci*it)

A-23

1 I t * !V (vo

Termos mistos; z,z':

l i c

• C T

(dC ^jb-0 U n ^ 4 g. P 1 '

Defino:

Jii f 0 0

2. dc.

1U-<(«!«, +file*')

c

cl-c'^fc J

(ci-itie)

A-24

Ofiservando que

K

K

Finalmente temos que:

fcj

ocA J+ 1

(A-Quando z « z ' . temos:

.it^aiÉftlll I e

A-2t>

c) Caso jyk=

onde:

Agrupando nos termos: .

Termos em z-z•:

1

) c (cA-c71 le1) \ c j jcci-c»tie) jcu cT r

CO <O

é idê

A primeira integral é idênt ica ao I * enquanto a segunda

é idêntica a 1^ ; assim:

Como c5C^

oc2^> em

, intercombiando

^ ) - . Assim:

A-26

Termos em z+z1 :

COOd c I lfr*-< ~)Z-A-ocfe ] | QCcg\ O.let*

[ [

2 ) c

c.c.\ (

Defino:

»»

c i - c j tve.

?Tt 2 ) 0. cc.l _e

Então:

T<

c,'. c;

Portanto:

J '^4 'J.nl,v_ , V i •' ' I

P>n.

Termos mistos em z, z1

Defino:

C (6*-if- '

""T

OD

(

- +

1 1 l-cMit J

Observe que (^. o u

ssTC

(ei t i e )

Cí-C*

Portanto:

. \T L

(ei i

i \j J

Agora:

A-28

p - J

e**ie) L (pi- 0 %

* 1J

Quando z=2'« temos:

OÍA

I]

(A -46)

d) Caso isl e j=3

onde:

»'M'-.'•••'»)* •

Termos em z-z•:

oO

.( d e . feityfiku-z.') 1

(Cj \ C

00

= 3^ corn

kp—H !-íHcí " c

Portanto:

__^ Q l v ) r* BTtlcP.(ci*iOl ' ' [

Termos em z+z1:

Defino:

13*

K L cX-ci+it J

c c

«o

__ c c

K (ei-c* tie) c!-c}

A-30

-V

cA-it6 J[

Termos mistos em z, z* :

Defino:

L ^ | J L X. c*i i t

c (fcVo^W

TC iííiÕ (ci-cJtt6)

Portanto:

t

- e

A-

Quando z=zt, temos:

. CcAt -0% Aw f

j (A-5O)

e) Caso i=3 e i=l:

onde:

(."•)

S'

Agrupando em termos conv-.-a.ientes podemo

Termos em z-z1:

Observe que )' e idêntico . Então:

T.JÍ

A-32

Termos em z+z1 :

Comparando Tj,(y,1)1 com

oposto do outro, então por T C +

L^^)^ notamos que um tem o sinal

podemos escrever imediatamente

ei tie.

Termos mistos em z, z*:

Comparando T^l^ 1)- com T^C»,^1)" notamos que trocando o

sinal de T»(v»|')* e intercambiando simultaneamente z por z' (e z'

por z) obtfemos o T3, CJÍ,^* • Assim:

54 vn i c ^ l l ci-è; ^ ^ • J C A

Portanto:

_ti-W

f _ iO (citte) L (&-V-* J***

Quando z=z't temos:

(A-51)

«V.(

SUB-APÊNDICES:

1. Cálculos de L* e 1^ C-l a C-';

2. Cálculos de SwC^'Yt S^^'^ %£\& '' D~1 e D'2

3. Cálculos de^C^MVv^^S^^----' E~x e E"2

4. Calculo de J* F-l a i•'- i

5 . Cálculos d e ^ ^ ^ ^ p í y t í ^ - ^ e G"2

C-l

Calculo

4l

Defino:

de Ií :

r\ r ir-oo

e " doe

L; = M,+M,

i ; =

Com:

M , . _ i ( à " 1 ^ doe.-CO

Q. ' dot

4 \ f.«-<-OO

+OO

4 \ (.«-•L.-OD

â) Caso z-z '>O: No plano oc-complexo, temo;

M l M

,, . _±(k e^ T + Coc-OL«.- c-i

dcç

4'"'

.í * ^"^ doe

4 7 L«-\3loc-C-i^LOc-(.o(A-v?)ji_ot

onde:

C-2

lm a

Então calculando os resíduos correspondentes

00 a.

ÜÍÍL. -Ü

- llv

M.

1|L*- ' - • - - •-!• , y \ ••

s- V '? O

o} Caso z—z' <^Q : Mo pian o o(,-complex

A 1 [0C-

c;i £ í _4 l [t<-v][0í.-(-O]|<x-(!VA-ie)lcx-

cômputo rios resíduos:

"-or I: an to :

C-3

I* = t<ft f ^ ) r» -V . I^^Wn 6( )j-eS-V>. jT^VVil 1

(SAD

Cálculo d e l * :

a) Caso 2-2* >o ;

l i - Jff, + iTr

b) Caso z-2'<O;

ÍJ = Jl,

O cálculo é totalmente análogo ao caso do l | . Aqui, nestecaso, l i , aparece a contribuição extra do fator (£*" no numeradorque deve ser levado em conta no cálculo dos resíduos.

1) Resíduo nos pólos t i : O fator ft* contribui com:

<• (TI / • - 7

Assim, os termos que vim da contribuição do resíduo nos

pólos t i tem sinal contrário aos do caso X^.

2) Resíduo nos pólos t (frg-t-it); Estes polos aparecem no cálculo

das integrais-K.,(Aa. ,-W"i e *KtSeja a função ULI^ ff ^ , então:

Res u [» • ± (PA+Í«] » t

M^ e X^que tem a circuitação no semi-plano imaginá-

rio positivo, vale o sinal positivo, enquanto para Jíz. e .X, que

tem a circuitação no semi-plano inferior, vale o sinal negativo.

3) Resíduo nos pólos t (fea-ifc): Estes polos aparecem no cálculo das

integrais JT^ JTti X, e -tf*

Seja a função u

Res

Para Jí, e J^z que tem a circui"tação no semi-plano superior

vale o sinal negativo e para-Ni e Ji 1 com circuitação no semi-plano

inferior, vale o sinal positivo»

Assim, "mutatis mutandis" obtemos:

D-i

'V*Cálculos de: S^C^r, S^ly^V « ^,»^.S^

De acordo com o Apêndice II, podemos escrever:

P

P1 - VtV*onde:

«c Up?-O + <*m CcA-c*± ie)

. 4 ft(f-o 1

e P é o circuito de integração no plano c-complexo cortado como

já descrito anteriormente. Os polos de interesse nos integrandos

são:

c - te» t polos simples,

c - o , polo de 3* ordem

' c - t CCsi*ií)t polos simples.

Assim computando os resíduos, temos:

_ e

= o elcgU+O -Scu-c? e'VP

R>rtanto,

v

K (cX-cjtie) 2L c^-c^ J CcAtie)

K (ci-c£*

*l-o

D-2

E-i

Cáxculos de:ws.lv»í^».VvV)*;w%Mtí •

De acordo com o apêndice II, podemos escrever:

4<H>(c)dc

P

(Ode

onde:

f ( o . ocr^-if-l5S c Lipo'

it i c ) . ±*4 C

e P é o circuito de integração no plano c-complexo cortado.

Os pelos de interesse são:

C^ICR,, polos simples,

c = o , polos de 33 ordem,

c=±(c^.tv€) ,"polos simples.

Assim computando os resíduos, temos:

2 |Íõ

E-2

Q (c

o CC--O)w

3

= +C*) e l

p.r, J ( C í

U[ 2, (cj-cV J , - A : :

Portanto:

_((J>1 -1? -v 4 Di» p> ftJ (cA + Vc.;

( c i - câ+ ie i

Ul

-M'f

TC

F - l

Cálculo do J»

,+cO

* " 2 \-00

Defino:

tf =

ondt

1 f°-oo

- 1 ( Pie. » "

-co

+00doc.

-00 *

Caso z-z*>o ;

No piano OC-complexo:

r[ot-t][a-(-o][ot-

Oi . -^" 4

4 /• ioilcU-V) •

F-2

onde C*,CÍ (C7 - e C~ são contornos na integração no plano oc-com

plexo já definidos anteriormente, para o cálculo de 1*.

Desenvolvendo os resíduos nos polos correspodentes, ob-

temos finalmente que:

~v]r £w. c^vm

4(

!-«>

onde z-zf >O.

b) Caso z-z* <O : No plano OC -complexo:

' ' doe4t Tç* [0C-v'LX-C-i)][0^-

oce

cr

doc

F-3

Desenvolvendo os resíduos nos polos correspondentes, temos:

1" (44M&+i£) [ j

JSinteticamente, podemos escrever,para ambos os casos:

" L J ' ' L J í

Cálculos <te:

Pelo Apêndice II, temos:

ronde:

rT

U O . 1 r pf-n I pc Ijp» o*ir»p(p'-i)

Os polos de interesse são:

r polos simples,

C« O » Pol° <3e 3* ordem,

C»ttcAtt£)' P °l o s simples.

Calculando os resíduos, temos:

6-1

G-2

X U£-c

(C-O) _ | ^ct+C*-

<2K

1 flcrc4vtf^-c£ I^^Vl^

tie)

19

±

Assim, as integrais de contorno ficam:

*f1 #

(c\\ -

S..

^ A ,

lcittO

icAA +

^ 'SS 0CcA. t i f i )

B-l

BIBLIOGRAFIA te REFERÊNCIAS:

(1) - D.A. McQuarrie, "Statistical Thermodynamics11, Harper & Row,

N.Y., 1973.

(2) - R.K. Pathria, "Statistical Mechanics", Pergamon Press, 1972.

(3) - M. Dupuis, R. Mazo and L. Onsager, "The Jour. Chem. Phys.",33,1452-61(1960).

(4) - R. Stratton, "Phil. Mag.", 44,519-32,(1953)

-R.Stratton, "The Jour.Chem.Phys.", 27,2972-4,(1962).

(5) - M.G. Burt, "J.Phys.C: Solid State Phys.", £,855-67,(1973)»

(6) - H. Bzawa, "Annals of Physics", 62,438-60(1971).

(7) - D.K. Dacol, Tese de Mestrado,IFT, (1974)- D.K. Dacol and A.H. Zimerman, "Phys.Rev.", Bll.974-7(1975)

(•) vide também M. Born and K. Huang, "Dinamical Theory of Crist

Lattices", 391-5(1968), citado.