Como o cortex se dobra? uma regra universal para a girificação

mamíferos e humanos

July 2015

Bruno Mota

Junho 2016

Biologia e física: Um choque de culturas

A aplicação de técnicas experimentais de

física na biologia tem uma longa história

O uso dos métodos da física teórica

para produzir modelos para biologia,

por outro lado, é menos comum

Biologia teórica?

O cérebro de cada espécie segue uma regra particular ou geral? Quão

especiais são os humanos?

Se tais regras gerais existirem, será possível obtê-las a partir de

primeiros princípios?

Tais princípios são gerais? Válidos para cada ordem? Genera? Phylla?

Qual deve ser sua forma matemática?

Na prática, para responder estas perguntas são necessários dados

precisos e em grande volume. Esta é a primeira vez na história da

neurociência em que tais dados estão disponíveis!

Universalidade pode ser consequência de um

princípio fundamental – E.g. Black body radiation

Earth

Sun

CMB (“the Universe”)

• Só um grau de liberdade(T)

• Aproximadamente verdadeiro para

quase toda a matéria

• Mas as divergências importam!

• Ajuste grosso vs ajuste fino

A teoria fundamental da biologia:

Evolução através da seleção natural

Evolução é um mecanismo de otimização vinculada

Não há uma direção – adaptação às circunstancias específicas

Adaptação a partir de estruturas pré-existentes –

Não existe ‘de volta à prancheta’

A evolução é conservadora – Reduce, reuse, recycle

Ancestral comum – Homologia entre estruturas

O cortex I

O Cortex II

Se girificação é uma adaptação, ela ocorreu diversas vezes

Cortices maiores são em geral mais girificados

Mas nem sempre!

Como o córtex se dobra? I

Ele empena para cima!

How do cortices fold? I

Como o córtex se dobra? II

Ele empena para os lados!

How do cortices fold? II

Como o córtex se dobra? III

Ele estica!

Como o córtex se dobra?? IV

Ele se amassa!

Dicotomias falsas

Baixa resolução vs alta resolução

Neuroanatomia comparativa vs MRI humano

Efeitos de superfície vs efeitos de volume

Ciência dos matérias vs geometria diferencial vs física estatística

Afinal, estas são modelos. Nenhum deve

explicar completamente todas as características

da morfologia cortical.

Precisamos de previsões quantitativas para testar

hipóteses!

Quantificando a girificação

As variáveis de baixa resoluçãp

Area total AT

Area exposta AE

Espessura média T

Folding is a better function of cortical surface

area

Folding index is a RATIO: look directly at AT x AE

Power law suggests cortices are self-similar down to a

fundamental scale

AE ~ AT0.798

Two functions relate exposed and total cortical

surface

AE ~ AT1.000

The dynamics I: Axonal effective energy minimization

M

𝐹𝑉 = (𝑝 + 𝑝𝑐𝑠𝑓)𝜋

6𝐴𝐸3/2

− 𝑇𝐴𝑇

The dynamics II: Wiring length minimization?

l

a

myelinated = ½

unmyelinated = ¼

vaxon = a l

vaxon = v’axon

The dynamics II: Wiring length minimization?

vaxon = v’axon

So, why doesn’t the White matter shrink to a point?

Self-avoidance! The surface can´t cross itself

𝐹𝑆 Ԧ𝑠, 𝑛 = 𝜎𝐴𝑇 + න𝑑2 Ԧ𝑥1𝑑2 Ԧ𝑥2𝛿

2 Ԧ𝑠 Ԧ𝑥1 − Ԧ𝑠 Ԧ𝑥2 Λ𝑇 𝑛 Ԧ𝑥1 − 𝑛( Ԧ𝑥2)

Λ𝑇 𝑢 = 𝑇 − 2 𝑢 if -T/2<u<T/2, 0 otherwise

𝐹𝑆 𝜎𝐴𝑇 + 𝛼𝑇𝐴𝑇2

𝐴𝐸(Flory)

The free energy

𝐹 = 𝜎𝐴𝑇 + 𝛼𝑇𝐴𝑇2

𝐴𝐸+ (𝑝 + 𝑝𝑐𝑠𝑓)

𝜋

6𝐴𝐸3/2

− 𝑇𝐴𝑇

F F

=A/AT

AT

The free energy II

𝐹 = 𝜎𝐴𝑇 + 𝛼𝑇𝐴𝑇2

𝐴𝐸+ (𝑝 + 𝑝𝑐𝑠𝑓)

𝜋

6𝐴𝐸3/2

− 𝑇𝐴𝑇

F

F

AT

The free energy

𝐹 = 𝜎𝐴𝑇 + 𝛼𝑇𝐴𝑇2

𝐴𝐸+ (𝑝 + 𝑝𝑐𝑠𝑓)

𝜋

6𝐴𝐸3/2

− 𝑇𝐴𝑇

F

=A/AT

𝑇1/2𝐴𝑇= 𝑘𝐴𝐸5

4

𝜕𝐹

𝜕𝐴𝐸= 0

A general rule for cortical folding...

𝐴𝑇

𝑇2= 𝑘

𝐴𝐸

𝑇2

5

4

𝐴𝑇 ≈ 1000 𝑇2

Onset of folding:

When AT = AE

𝐾𝐺 = 4𝜋

𝐴

𝑇2𝐾𝐺 ≈ 0.13

From Gauss-Bonet theorem

Onset of folding:

Lembrando: A curva de Koch

𝑙𝑖𝑛𝑡𝑟𝑖𝑛𝑠𝑖𝑐 = 𝑛𝑙0= 𝑙𝑒𝑥𝑡𝑟𝑖𝑛𝑠𝑖𝑐𝑑

𝑙0𝑑−1

𝑙𝑖

𝑙𝑜=

𝑙𝑒

𝑙𝑜

𝑑

l

lo

lol4

l0

l1l2l3

𝑛=𝑙

𝑙𝑜

𝑑

… just like paper balls

1-ply

5 cm

A4

A5

A6

A7

A8

A9

.

.

.

.

.

𝑎 2

𝑎

Another type of self-avoiding surface…

1-ply

5 cm

8-ply

Luiza Houzel

6-ply4-ply3-ply2-ply

A4

A5

A6

A7

A8A9

.

.

.

.

.

...where sheet thickness is the

fundamental length scale

2α is the fractal dimension.

𝐴𝑇

𝑇2= 𝑘

𝐴𝐸

𝑇2

5

4

The least component analysis

𝑇1

2𝐴𝑇= 𝑘𝐴𝐸5

4

In log-space, power law relations

become linear combinations.

Different choices for x and y axis

correspond to different ways of

looking into 3D

Log T x Log AE x LogAT space

1

2log 𝑇 + log𝐴𝑇=

5

4log𝐴𝐸

A variação em cortices humanos

A mesma regra para ambos os sexos

Uma regra universal para a girificação...

𝑇1/2𝐴𝑇 = 𝑘𝐴𝐸𝛼

Ou, de forma equivalente

Como k é afetado por idade ou doença?

Healthy human RH males

𝑇1/2𝐴𝑇𝐴𝐸−𝛼 = k

Como a girificação é afetada pela idade e doença (Alzheimer)?

𝑇1/2𝐴𝑇𝐴𝐸−𝛼 = k

𝑇1/2𝐴𝑇𝐴𝐸−𝛼 = k(age)

O que uma teoria de girificação mais completa precisa?

T é (quase) a única escala de comprimento

Incorporar as dinâmicas da superfície e do volume

Lisencefalia and giroencefalia são geradas pela mesma dinâmica

Explicar ATT1/2 = k AE5/4

Lidar com a auto-evitação de forma explícita

Girificação não depende do número de neurônios

Obrigado!

… e caveat emptor