Auto-similaridade, invariância de escala e

bolinhas de papel: A matemática experimental dos fractais

Bruno Mota

Bolinhas de papel…

1-ply

5 cm

8-ply

Luiza Houzel

6-ply

4-ply

3-ply2-ply

A4

A5

A6

A7

A8A9

.

.

.

.

.

1. Escalas naturais e invariância por escalas

Roteiro

2. Leis de potência e alometria

3. Fractais: Medindo litorais

4. Bolas de papel: qual é a escala fundamental?

1. Escalas naturais e invariância por escalas

Escalas naturais

Certas quantidades têm

valores típicos

A altura h de uma porta pode

variar; mas tipicamente

1m < h < 3m

A idade de humanos se

mede, tipicamente, em

décadas; não em dias, ou

em séculos

Escalas naturais II

O número de pessoas com idades entre, e.g. 30 e 40 anos, é dado

pela área sob o gráfico entre estes valores

Quantidades sem escalas naturais

Na escala Richter, um terremoto de magnitude 7 é dez

vezes mais intenso que um de magnitude 6, que é dez

vezes mais intenso que um de magnitude 5, etc.

É uma escala logarítmica

Eis os terremotos medidos na Califórnia em 1995

Quantidades sem escalas naturais

Sem as escalas (dias e MJ) é dificil

saber se o gráfico se refere à um dia,

ano ou século

Ao plotarmos a freqüência em que

ocorrem os tremores em função de

sua magnitude:

Em um gráfico log-log, obtemos uma

reta, válida por 7 ordens de grandeza

Ajustando a escala de energia, a

ocorrencia de terremotos tem a

mesma distribuição em qualquer

escala temporal!

Quantidades sem escalas naturais

É a isto que chamamos invariância por escala

A freqüência f é bem descrita como uma lei de potência da

intensidade I:

f = k I

Invariância por escala

f = k I

Leis de potência como esta são invariantes por escala: têm sempre a mesma forma em qualquer escala escolhida para f e I

De forma inversa, é possível provar que as únicas distribuições invariantes por escala são leis de potência

Assim,Lei de potência Invariância por escala

Invariância por escala II

f = k I

Em um gráfico log-log, temos:

log f = log k + log I

log k é o valor ao longo do eixo I=1 (log I=0)

é a inclinaçao do gráfico

1. Escalas naturais e invariância por escalas

Roteiro

2. Leis de potência e alometria

3. Fractais: Medindo litorais

4. Bolas de papel: qual é a escala fundamental?

2. Leis de potência e alometria

As várias ordens de grandeza da vida

Sob diversas formas de medida, seres vivos

abarcam uma enorme quantidade de

escalas:

Uma baleia (Balaenoptera musculus) pesa

150 toneladas

(1,5 x 108 gramas)

Um musaranho (Suncus etruscus) pesa

2 gramas

(2 x 100 gramas)

Alometria

Leis de potência surgem naturalmente em medições de

anatomia comparada

E.g., peso, massa encefálica, ritmo cardíaco, número de

bifurcações em geral (sistema circulatório, ramos de árvores)

ritmo metabólico, etc.

Parecem existir regras gerais para construir classes e ordens de

seres vivos, que permanecem válidas por diversas ordens de

grandeza

Alometria II

Leis de potência surgem naturalmente em medições de anatomia

comparativa

Tais leis se aplicam a uma enorme faixa de ordens de grandeza

O santo graal: Deduzir estas relações a partir de primeiros

princípios

Em alguns casos, isto já foi feito!

Exemplo: redes hierárquicas (West & Brown)

• Sistema respiratório (alvéolos),

• Sistema sanguíneo (células),

• Sistema vascular vegetal (folhas).

Suprem um sistema biológico até o seu nível elementar

E.g.:

Redes hierárquicas II

i. A rede preenche todo o espaço do sistema

ii. As unidades elementares são invariantes

iii. A energia gasta na distribuição (ou outra quantidade

escarsa equivalente ) é minimizada

Para obter as relações alométricas, foram tomadas as

seguintes hipóteses:

Usando somente estas premissas, foi possível obter modelos

analíticos para os sistemas circulatório e respiratório de

mamíferos (West et al 1997), e para o sistema vascular

vegetal (West et al 1999).

Os coeficientes das leis de potência calculados

correspondem aos observados!

1. Escalas naturais e invariância por escalas

Roteiro

2. Leis de potência e alometria

3. Fractais: Medindo litorais

4. Bolas de papel: qual é a escala fundamental?

3. Fractais: Medindo litorais

Britain’s coastline

The length of Britain’s coastline

It depends on the size of the ruler

How is the coastline length related toruler length?

Fractals: the Koch curve‘Folded’ down to fundamental scale lo

𝑑𝑘𝑜𝑐ℎ =𝑙𝑜𝑔4

𝑙𝑜𝑔3

l

lo0

lo1

lo2

lo3

lo

l4

l0

l1

l2

l3

lo4

𝑑𝑘𝑜𝑐ℎ =𝑙𝑜𝑔4

𝑙𝑜𝑔3

Fractals: the Koch curve II

𝑙𝑖𝑛𝑡𝑟𝑖𝑛𝑠𝑖𝑐 = 𝑛𝑙0= 𝑙𝑒𝑥𝑡𝑟𝑖𝑛𝑠𝑖𝑐𝑑

𝑙0𝑑−1

𝑙𝑖

𝑙𝑜=

𝑙𝑒

𝑙𝑜

𝑑

l

lo

lol4

l0

l1l2l3

𝑛=𝑙𝑒

𝑙𝑜

𝑑

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Roteiro

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4. Bolas de papel: qual é a escala fundamental?4. Bolas de papel: qual é a escala fundamental?

Bolinhas de papel

1-ply

5 cm

A4

A5

A6

A7

A8

A9

.

.

.

.

.

𝑎 2

𝑎

A self-avoiding surface…

1-ply

5 cm

8-ply

Luiza Houzel

6-ply4-ply3-ply2-ply

A4

A5

A6

A7

A8A9

.

.

.

.

.

...where sheet thickness is the

fundamental length scale

2α is the fractal dimension.

𝐴𝑇

𝑇2= 𝑘

𝐴𝐸

𝑇2

5

4

A self-avoiding surface…

1-p

ly

Luiza Houzel

6-p

ly4-p

ly

3-p

ly2-p

ly

𝑇1/2𝐴𝑇= 𝑘𝐴𝐸5/4

A mesma regra para o cortex...

a = 1.305 (mamíferos)

a = 1.252 (só humanos)

𝑇1/2𝐴𝑇= 𝑘𝐴𝐸𝑎

Obrigado!