métodos da física teórica i (notas de aula)
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Universidade Federal do Pará Instituto de Ciências Exatas e Naturais
Colegiado do Curso de Licenciatura em Física Modalidade a Distância
Métodos da Física Teórica I (Notas de Aula)
Tópico 3
- Coordenadas Generalizadas
8 5
Coordenadas Generalizadas
Até o momento fizemos um estudo dos vetores, operadores e integrais vetoriais com o uso dascoordenadas cartesianas, que são adaptáveis a muitas soluções de problemas físicos. Porém, emalguns sistemas físicos, são melhor adaptados a outras coordenadas, tais como, cilíndricas, esféricas,hiperbólicas e outras.Consideraremos agora estudar as grandezas matemáticas numa só coordenada, afim de que a partir
dela as outras sejam deduzidas. Tais coordenadas são definidas como coordenadas generalizadas eque têm como varáveis (q1, q2, q3) .
5.1 Sitema de Coordenadas Curvilinear
Considerando as coordenadas (q1, q2, q3) em que a representação gráfica formam planos não-ortogonais(coordenadas curvilinear) em relação com as coordenadas cartesianas (x, y, z)
X
Y
Z
q2 = constante
q1 = constante
q3 = constante
q1
q3
q2
Pela interseção entre e tem-se as seguintes relaçõesx = x (q1, q2, q3)y = y (q1, q2, q3)z = z (q1, q2, q3)
(5.1)
69
ou por meio das relações inversas
q1 = q1 (x, y, z)q2 = q2 (x, y, z)q3 = q3 (x, y, z)
(5.2)
5.1.1 Vetores em Coordenadas Generalizadas
Associando para cada coordenada (q1, q2, q3) um vetor unitário ei, teremos
q1 → e1 (5.3)
q2 → e2
q3 → e3
logo um vetor A (campo vetorial) qualquer no sistema de coordenadas curvilinear será
A = A1 (q1, q2, q3) e1 +A2 (q1, q2, q3) e2 +A3 (q1, q2, q3) e3, (5.4)
onde A1, A2 e A3 são componentes de A que estão em função das coordenadas (q1, q2, q3).
5.1.2 Métrica
Seja dS a distância entre dois pontos próximos, no eixo cartesiano
(dS)2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 (5.5)
Da equação (5.1) podemos achar a diferencial para cada coordenada, de tal modo que
dx =∂x
∂q1dq1 +
∂x
∂q2dq2 +
∂x
∂q3dq3
dy =∂y
∂q1dq1 +
∂y
∂q2dq2 +
∂y
∂q3dq3 (5.6)
dz =∂z
∂q1dq1 +
∂z
∂q2dq2 +
∂z
∂q3dq3
que, substituindo em (5.5) ,
(dS)2 =(
∂x∂q1dq1 + ∂x
∂q2dq2 + ∂x
∂q3dq3
)2+
(∂y∂q1dq1 + ∂y
∂q2dq2 + ∂y
∂q3dq3
)2+
(∂z∂q1dq1 + ∂z
∂q2dq2 + ∂z
∂q3dq3
)2
e, desenvolvendo o quadrado de cada termo,
(dS)2 =(
∂x∂q1
)2dq21 +
(∂x∂q2
)2dq22 +
(∂x∂q3
)2dq23 + 2
(∂x∂q1
)(∂x∂q2
)dq1dq2 + 2
(∂x∂q1
)(∂x∂q3
)dq1dq3 +
+2(
∂x∂q2
)(∂x∂q3
)dq2dq3 +
(∂y∂q1
)2dq21 +
(∂y∂q2
)2dq22 +
(∂y∂q3
)2dq23 + 2
(∂y∂q1
)(∂y∂q2
)dq1dq2 +
+2(
∂y∂q1
)(∂y∂q3
)dq1dq3 + 2
(∂y∂q2
)(∂y∂q3
)dq2dq3 +
(∂z∂q1
)2dq21 +
(∂z∂q2
)2dq22 +
(∂z∂q3
)2dq23 +
+2(
∂z∂q1
)(∂z∂q2
)dq1dq2 + 2
(∂z∂q1
)(∂z∂q3
)dq1dq3 + 2
(∂z∂q2
)(∂z∂q3
)dq2dq3
70
(dS)2 =
[(∂x∂q1
)2+
(∂y∂q1
)2+
(∂z∂q1
)2]
︸ ︷︷ ︸dq21
g11
+
[(∂x∂q2
)2+
(∂y∂q2
)2+
(∂z∂q2
)2]
︸ ︷︷ ︸dq22
g22
+ (5.7)
+
[(∂x∂q3
)2+
(∂y∂q3
)2+
(∂z∂q3
)2]
︸ ︷︷ ︸dq23
g33
+[2(
∂x∂q1
)(∂x∂q2
)+ 2
(∂y∂q1
)(∂y∂q2
)+
+ 2(
∂z∂q1
)(∂z∂q2
)]dq1dq2 +
[2(
∂x∂q1
)(∂x∂q3
)+ 2
(∂y∂q1
)(∂y∂q3
)+ 2
(∂z∂q1
)(∂z∂q3
)]dq1dq3 +
+[2(
∂x∂q2
)(∂x∂q3
)+ 2
(∂y∂q2
)(∂y∂q3
)+ 2
(∂z∂q2
)(∂z∂q3
)]dq2dq3.
considerando apenas o termo de dq1dq2[2(
∂x∂q1
)(∂x∂q2
)+ 2
(∂y∂q1
)(∂y∂q2
)+ 2
(∂z∂q1
)(∂z∂q2
)]dq1dq2 =
[(∂x∂q1
)(∂x∂q2
)+
(∂y∂q1
)(∂y∂q2
)+
+(
∂z∂q1
)(∂z∂q2
)]dq1dq2 +
[(∂x∂q1
)(∂x∂q2
)+
(∂y∂q1
)(∂y∂q2
)+
(∂z∂q1
)(∂z∂q2
)]dq1dq2
e invertendo os termos
=[(
∂x∂q1
)(∂x∂q2
)+
(∂y∂q1
)(∂y∂q2
)+
(∂z∂q1
)(∂z∂q2
)]
︸ ︷︷ ︸g12
dq1dq2 +
+[(
∂x∂q2
)(∂x∂q1
)+
(∂y∂q2
)(∂y∂q1
)+
(∂z∂q2
)(∂z∂q1
)]
︸ ︷︷ ︸g21
dq2dq1
logo, substituindo em (5.7), temos:
(dS)2 = g11dq21 + g22dq
22 + g33dq
23 + g12dq1dq2 + g21dq2dq1 +
+g23dq2dq3 + g32dq3dq2 + g31dq3dq1 + g13dq1dq3.
e generalizando os coeficientes de g para índices i, j
gij =
(∂x
∂qi
)(∂x
∂qj
)+
(∂y
∂qi
)(∂y
∂qj
)+
(∂z
∂qi
)(∂z
∂qj
)(5.8)
teremos
(dS)2 =3∑
i=1
3∑
i=1
gijdqidqj
(dS)2 =3∑
i,j=1
gijdqidqj (5.9)
o resultado acima é conhecido com Métrica de Rieman.
71
5.1.3 Coordenadas Ortogonais
Neste curso optaremos pelo uso de apenas coordenadas ortogonais, que são coordenadas cujas super-fícies se interceptam em ângulos retos, sendo que para isso é necessário que
gij = 0 para i = j (5.10)
ou seja, não existe o termo do produto dqidqj, com i = j. Nesse caso a métrica se reduz a
(dS)2 =3∑
i=1
giidq2i
(dS)2 = g11dq21 + g22dq
22 + g33dq
23 (5.11)
Definindoh2i = gii (5.12)
onde hi é o fator de escala ou fator de proporcionalidade, temos:
h2i =
(∂x
∂qi
)2+
(∂y
∂qi
)2+
(∂z
∂qi
)2(5.13)
que substituindo na equação (5.11)
(dS)2 = (h1dq1)2 + (h2dq2)
2 + (h3dq3)2
(dS)2 =3∑
i=1
(hidqi)2 =
3∑
i=1
(dSi)2
ondedSi = hidqi (5.14)
Portanto, podemos agora definir os elementos diferenciais das integrais de linha, área e volume,assim como os operadores diferenciais (gradiente, divergente, rotacional e laplaciano).
5.1.4 Elemento Diferencial de Linha
dl =3∑
i=1
dSiei =3∑
i=1
hidqiei
oudl = h1dq1e1 + h2dq2e2 + h3dq3e3 (5.15)
5.1.5 Elemento Diferencial de Área∑
i,j,k
dAek =∑
i,j,k
dSidSj ek =∑
i,j,k
hihjdqidqj ek
onde i = j = k, os índices não podem assumir valores iguais, portantodA = h2h3dq2dq3e1 + h1h3dq1dq3e2 + h1h2dq1dq2e3 (5.16)
72
5.1.6 Elemento Diferencial de Volume
dV = dS1dS2dS3 = h1dq1h2dq2h3dq3
dV = h1h2h3dq1dq2dq3 (5.17)
5.1.7 Integral de Linha
Seja V =3∑
j=1
Vj ej um vetor, logo
∫
C
V · dl =
∫3∑
j=1
Vj ej ·3∑
i=1
hidqiei
∫
C
V · dl =∑i,j
∫Vjhidqiej · ei =
∑i,j
∫Vjhidqiδij
∫
C
V · dl =∑i
∫
C
Vihidqi (5.18)
5.1.8 Integral de Superfície∫
C
V · dA =
∫ ∑i
Viei ·∑j,k,l
dSjdSkel
=∑
i,j,k,l
∫VidSjdSkei · el =
∑i,j,k,l
∫VidSjdSkδil
=∑i,j,k
∫VidSjdSk
onde dSj = hjdqj e dSk = hkdqk, portanto∫
C
V · dA =∑i,j,k
∫Vjhjhkdqjdqk (5.19)
5.1.9 Integral de Volume∫
V
VdV =
∫ ∑i
Vieih1h2h3dq1dq2dq3
∫
V
VdV =∑i
∫Vih1h2h3dq1dq2dq3ei (5.20)
73
5.1.10 Operador Gradiente em Coordenadas Generalizadas
Seja ϕ uma função escalar das coordenadas (q1, q2, q3) ;então da definição de gradiente,
∇ϕ = (∇ϕ)i ei =∂ϕ
∂Sei (5.21)
onde da equação (5.14)∂S = hi∂qi (5.22)
logo substituindo (5.22) em (5.21)
∇ϕ =∂ϕ
hi∂qiei
ou
∇ϕ =1
h1
∂ϕ
∂q1e1 +
1
h2
∂ϕ
∂q2e2 +
1
h3
∂ϕ
∂q3e3 (5.23)
5.1.11 Divergente em Coordenadas Generalizadas
Seja A = A(q1, q2, q3) = A1e1 +A2e2 +A3e3 um campo vetorial, então:
∇ ·A =1
h1h2h3
[∂ (A1h2h3)
∂q1+∂ (A2h1h3)
∂q2+∂ (A3h1h2)
∂q3
](5.24)
5.1.12 Rotacional em Coordenadas Generalizadas
∇×A =1
h1h2h3
h1e1 h2e2 h3e3
∂∂q1
∂∂q2
∂∂q3
h1A1 h2A2 h3A3
ou
∇×A =1
h2h3
[∂
∂q2(h3A3)−
∂
∂q3(h2A2)
]e1 +
1
h1h3
[∂
∂q3(h1A1)−
∂
∂q1(h3A3)
]e2 +
+1
h1h2
[∂
∂q1(h2A2)−
∂
∂q2(h1A1)
]e3 (5.25)
5.1.13 Laplaciano em Coordenadas Generalizadas
Seja ϕ = ϕ (q1, q2, q3) uma função escalar, então:
∇2ϕ =1
h1h2h3
[∂
∂q1
(h2h3h1
∂ϕ
∂q1
)+∂
∂q2
(h1h3h2
∂ϕ
∂q2
)+∂
∂q3
(h1h2h3
∂ϕ
∂q3
)](5.26)
74
5.2 Sistemas de Coordenadas Especiais
Devido à simetria, e adaptações geométricas, os sistemas de coordenadas mais usados para resolverproblemas físicos são:
- Coordenadas Cartesianas- Coordenadas Cilíndricas- Coordenadas Esféricas
Embora outros tipos de coordenadas sejam necessárias, nos limitaremos apenas a essas três.
5.3 Coordenadas Cilíndricas
Considera-se como coordenadas cilíndricas as seguintes variáveis
q1 → ρ (5.27)
q1 → ϕ
q1 → z
Portanto admitindo um cilindro de raio ρ e altura z, localizado na origem dos eixos cartesianosX,Y, Z :
ϕ
Y
Z
X
ϕϕϕϕ
k
ρρρρ
ρ
ρ
z
z
ϕ
ρ
y
x
das figuras acima temos as seguintes relações de (ρ, ϕ, z) com as coordenadas cartesianas
ρ2 = x2 + y2 0 ≤ ρ <∞ (5.28)
tanϕ =y
x→
y = ρ sen ϕx = ρ cosϕ
0 ≤ ϕ ≤ 2π (5.29)
z = z −∞ < z < +∞ (5.30)
75
5.3.1 Vetores Unitáriosρ eρ
ϕ ou eϕ
k ez
5.3.2 Produto Vetorial entre Vetores Unitáriosk× ρ = ϕ
ρ× ϕ = k
ϕ× k = ρ
k× ϕ = −ρϕ× ρ = −k
ρ × k = −ϕ(5.31)
5.3.3 Relação entre os Vetores Unitários
Da configuração geométrica obtem-se as seguintes relações entre(ρ,ϕ, k
)e(i, j, k
)
ρ = cosϕ i+ senϕ j
ϕ = −senϕ i+ cosϕ j
k = k
(5.32)
que, na forma matricial, ρ
ϕ
k
=
cosϕ senϕ 0−senϕ cosϕ 0
0 0 1
︸ ︷︷ ︸Matriz Transformação
i
j
k
(5.33)
ou, por meio das relações inversas,
i= cosϕ ρ− senϕ ϕj= senϕ ρ+ cosϕ ϕk = k
(5.34)
ou ainda,
i
j
k
=
cosϕ −senϕ 0senϕ cosϕ 0
0 0 1
ρ
ϕ
k
(5.35)
76
5.3.4 Vetores Unitários Variando no Tempo
No sistemas de coordenadas não retangulares (cilíndrica, esféricas...), os vetores unitários não sãonecessariamente constantes em relação ao tempo. Com isso, irá existir uma taxa de variação temporalpara os vetores
(ρ,ϕ, k
).
Taxa de variação temporal dos vetores unitáros → dρ
dt,dϕ
dt,dk
dt
5.3.5 Variação Temporal para o Vetor ρ
Da relação entre os vetores unitários (5.32) o vetor ρ será dependente apenas da variável ϕ (ρ = ρ (ϕ)) ,de tal modo que seu diferencial será
dρ =∂ρ
∂ϕdϕ
que, fazendo-se atuar o diferencial dt,dρ
dt=∂ρ
∂ϕ
dϕ
dt
onde∂ρ
∂ϕ= −senϕ i+ cosϕ j
portanto,dρ
dt=
(−senϕ i+ cosϕ j
)
︸ ︷︷ ︸ϕ
dϕ
dt
dρ
dt= ϕ
dϕ
dtlogo,
dρ
dt=·ϕϕ (5.36)
5.3.6 Variação Temporal para o Vetor ϕ
Mesmo procedimento para o vetor ϕ
ϕ = ϕ (ϕ) → dϕ =∂ϕ
∂ϕdϕ
dϕ
dt=∂ϕ
∂ϕ
dϕ
dt
dϕ
dt=(cosϕ i+ senϕ j
)
︸ ︷︷ ︸−ρ
dϕ
dt
dϕ
dt=− ·
ϕρ (5.37)
77
5.3.7 Variação Temporal para o Vetor k
dk
dt= 0 (5.38)
5.3.8 Vetor em Coordenadas Cilindricas Variando no Tempo
Seja A um vetor variando no tempo, tal que
A(t) = Aρ(t)ρ +Aϕ(t)ϕ +Az(t)k (5.39)
derivando em relação ao tempo
dA(t)
dt= Aρ
dρ
dt+
·Aρρ + Aϕ
dϕ
dt+
·Aϕϕ + Az
dk
dt+
·Azk
dA(t)
dt= Aρ
·ϕϕ +
·Aρρ+Aϕ
(− ·ϕρ
)+
·Aϕϕ + Az0 +
·Azk
dA(t)
dt=
(·Aρ −Aϕ
·ϕ
)ρ +
(Aρ
·ϕ+
·Aϕ
)ϕ +
·Azk (5.40)
portanto, o vetor A(t) pode assumir qualquer grandeza física em que a taxa de variação temporalexista, como por exemplo: força, posição, velocidade, aceleração...
5.3.9 Vetor Posição
Seja r o vetor posição em coordenadas cilindricas
ϕ
Y
Z
X
k
ρρρρ
ρ
ρ
r
zk
então, da figura acima, temosr = ρρ+ zk (5.41)
Exemplo 5.1Calcular as componentes da velocidade em coordenadas cilíndricas.
Solução
78
Do vetor posição, temosr = ρρ+ zk
comparando com o vetorA = Aρρ +Aϕϕ +Azk
teremos
Aρ = ρ →·Aρ =
dρ
dt
Aϕ = 0 →·Aϕ = 0
Az = z →·Az =
·z
porém, de (5.40)dA
dt=
(·Aρ − Aϕ
·ϕ
)ρ +
(Aρ
·ϕ+
·Aϕ
)ϕ +
·Azk
e fazendo a comparação r = A
dr
dt=
( ·ρ− 0
·ϕ)ρ +
(ρ·ϕ+ 0
)ϕ +
·zk
v =dr
dt=
·ρρ + ρ
·ϕϕ +
·zk
5.3.10 Fatores de Escala
Afim de calcularmos os operadores vetoriais e as integrais faz-se necessário o cálculo dos fatores deescala. Da equação (5.13) foi visto que
h2i =
(∂x
∂qi
)2+
(∂y
∂qi
)2+
(∂z
∂qi
)2
que, adaptando para as coordenadas ρ, ϕ e z:
h2ρ =
(∂x
∂ρ
)2+
(∂y
∂ρ
)2+
(∂z
∂ρ
)2
h2ρ = (cosϕ)2 + (senϕ)2 + (0)2
hρ = 1
h2ϕ =
(∂x
∂ϕ
)2+
(∂y
∂ϕ
)2+
(∂z
∂ϕ
)2
h2ϕ = ρ2sen2ϕ+ ρ2cos2ϕ + 02
hϕ = ρ
79
h2z =
(∂x
∂z
)2+
(∂y
∂z
)2+
(∂z
∂z
)2
h2z = 02 + 02 + 12
hz = 1
portanto,
Fatores de Escala em Coordenadas Cilíndricas →
hρ = 1hϕ = ρhz = 1
(5.42)
5.3.11 Elemento de Linha
Da equação (5.15)dr = h1dq1e1 + h2dq2e2 + h3dq3e3
dr = hρdρρ + hϕdϕϕ + hzdzk
dr = dρρ + ρdϕϕ + dzk (5.43)
5.3.12 Vetor de Área (Interpretação Geométrica)
Considerando os elementos diferenciais das duas áreas de um cilindro (base e lateral)
dAk = ρdρdϕk (5.44)
dAρ = ρdϕdzρ (5.45)
80
5.3.13 Elemento de Volume
dV = h1h2h3dq1dq2dq3
dV = hρhϕhzdρdϕdz
dV = ρdρdϕdz (5.46)
5.3.14 Operador Gradiente
Seja Ψ = Ψ(ρ, ϕ, z) uma função escalar, então
∇Ψ(ρ, ϕ, z) =1
hρ
∂Ψ
∂ρρ+
1
hϕ
∂ϕ
∂ϕϕ+
1
hz
∂ϕ
∂zk
=1
1
∂Ψ
∂ρρ+
1
ρ
∂ϕ
∂ϕϕ+
1
1
∂ϕ
∂zk
∇Ψ(ρ, ϕ, z) =∂Ψ
∂ρρ+
1
ρ
∂ϕ
∂ϕϕ+
∂ϕ
∂zk (5.47)
onde o operador nabla em coordenadas cilíndricas é
∇ =∂
∂ρρ+
1
ρ
∂
∂ϕϕ+
∂
∂zk (5.48)
5.3.15 Divergente
Seja A = A(ρ, ϕ, z) = Aρρ + Aϕϕ + Azk um vetor, então:
∇ ·A =1
hρhϕhz
[∂ (Aρhϕhz)
∂ρ+∂ (Aϕhρhz)
∂ϕ+∂ (Azhρhϕ)
∂z
]
∇ ·A =1
1.ρ.1
[∂ (ρ.Aρ)
∂ρ+∂ (Aϕ.1.1)
∂ϕ+∂ (Az.ρ.1)
∂z
]
∇ ·A =1
ρ
∂ (ρAρ)
∂ρ+
1
ρ
∂ (Aϕ)
∂ϕ+∂Az
∂z(5.49)
5.3.16 Rotacional
∇×A =1
hϕhz
[∂ (hzAz)
∂ϕ− ∂ (hϕAϕ)
∂z
]ρ +
1
hzhρ
[∂ (hρAρ)
∂z− ∂ (hzAz)
∂ρ
]ϕ +
+1
hρhϕ
[∂ (hϕAϕ)
∂ρ− ∂ (hρAρ)
∂ϕ
]k
∇×A =1
ρ
(∂Az
∂ϕ− ∂ (ρAϕ)
∂z
)ρ+
(∂Aρ
∂z− ∂Az
∂ρ
)ϕ +
1
ρ
(∂ (ρAϕ)
∂ρ− ∂Aρ
∂ϕ
)k (5.50)
81
5.3.17 Laplaciano (função escalar)
∇2Ψ =1
ρ
∂
∂ρ
(ρ∂Ψ
∂ρ
)+
1
ρ2∂2Ψ
∂ϕ2+∂2Ψ
∂z2(5.51)
5.3.18 Laplaciano (Campo Vetorial)
Seja um vetor A = A(ρ, ϕ, z) = Aρρ + Aϕϕ + Azk , então tem-se a seguinte identidade vetorialem coordenadas cilíndricas:
∇2A = ∇ (∇ ·A)−∇× (∇×A)
logo
∇2A =
(∇2Aρ −
1
ρ2Aρ −
2
ρ2∂Aϕ
∂ϕ
)ρ +
(∇2Aϕ −
1
ρ2Aϕ +
2
ρ2∂Aρ
∂ϕ
)ϕ + (5.52)
+ ∇2Azk
5.4 Coordenadas Esféricas
Seja uma esfera de raio r e um ponto localizado em sua superfície,
Z
X
Y
onde θ é o ângulo polar e ϕ o ângulo azimutal, de tal forma que as coordenadas esféricas são
q1 → r (5.53)
q1 → θ
q1 → ϕ
e que, da figura acima temos, as seguintes relações de (r, θ, ϕ) com as coordenadas cartesianas:
x = r senθ cosϕ 0 ≤ r ≤ ∞y = r senθ senϕ 0 ≤ θ ≤ πz = r cosθ 0 ≤ ϕ ≤ 2π
(5.54)
82
5.4.1 Vetores Unitáriosr er
θ ou eθ
ϕ eϕ
(5.55)
5.4.2 Produto Vetorial entre Vetores Unitáriosr× θ = ϕ
θ × ϕ = r
ϕ× r = θ
r× ϕ = −θϕ× θ = −r
θ × r = −ϕ(5.56)
5.4.3 Relação entre os Vetores Unitários
Da configuração geométrica, obtém-se as seguintes relações entre(r,θ, ϕ
)e(i, j, k
)
r = senθ cosϕ i+ senθ senϕ j + cosθ k
θ = cosθ cosϕ i+ cosθ senϕ j− senθ k
ϕ = − senϕ i + cosϕj(5.57)
que, na forma matricial,
r
θ
ϕ
=
senθcosϕ senθsenϕ cosθcosθ cosϕ cosθsenϕ −senθ−senϕ cosϕ 0
︸ ︷︷ ︸Matriz Transformação
i
j
k
(5.58)
ou, por meio das relações inversas,
i = senθ cosϕ r + cosθ cosϕ θ − senϕ ϕj = senθ senϕ r + cosθ senϕ θ + cosϕ ϕk = cosθ r− senθ θ
(5.59)
ou ainda,
i
j
k
=
senθ cosϕ cosθ cosϕ −senϕsenθ senϕ cosθ senϕ cosϕcosθ −senθ 0
r
θ
ϕ
(5.60)
83
5.4.4 Variação Temporal para o Vetor r
Da relação entre os vetores unitários (5.32) o vetor r será dependente apenas das variáveis θ e ϕ(r = r (θ, ϕ)) , de tal modo que seu diferencial será
dr =∂r
∂θdθ +
∂r
∂ϕdϕ
que fazendo-se atuar o diferencial dt
dr
dt=∂r
∂θ
dθ
dt+∂r
∂ϕ
dϕ
dt
portanto
dr
dt=
(cosθcosϕ i+ cosθsenϕ j− senθ k
) dθdt
+(−senθsenϕ i+ senθcosϕ j− 0 k
) dϕdt
dr
dt= θ
dθ
dt+ senθ
(−senϕ i + cosϕj
) dϕdt
logo:dr
dt=
·θθ + senθ
·ϕ ϕ (5.61)
5.4.5 Variação Temporal para o Vetor θ
Mesmo procedimento para o vetor θ
θ = θ (θ, ϕ) → dθ =∂θ
∂θ
dθ
dt+∂θ
∂ϕ
dϕ
dt
dθ
dt=(−senθcosϕ i− senθ senϕ j− cosθ k
) dθdt+
(−cosθsenϕ i+ cosθcosϕ j
) dϕdt
dθ
dt=−
·θr + cosθ
·ϕϕ (5.62)
5.4.6 Variação Temporal para o Vetor ϕ
Para o vetor ϕ teremos
ϕ = ϕ (ϕ) → dϕ
dt=∂ϕ
∂ϕ
dϕ
dt
dϕ
dt=(−cosϕ i − senϕ j
) dϕdt
84
dϕ
dt=
−cosϕ
(senθ cosϕ r + cosθ cosϕ θ − senϕ ϕ
)−
−senϕ(senθ senϕ r + cosθ senϕ θ + cosϕ ϕ
) dϕdt
dϕ
dt=− ·
ϕsenθ r− ·ϕcosθ θ (5.63)
Com isso temos queA = Arr +Aθθ +Aϕϕ,
sendo A é um vetor qualquer em coordenadas eféricas, de tal modo que sua derivada em relação aotempo seja
dA
dt=d
dt
(Arr +Aθθ +Aϕϕ
)
dA
dt=
·Arr +Ar
dr
dt+
·Aθθ + Aθ
dθ
dt
·+ Aϕϕ + Aϕ
dϕ
dtportanto,
dA
dt=
(·Ar − Aθ
·θ − Aϕ
·ϕsenθ
)r +
(Ar
·θ +
·Aθ − Aϕcosθ
·ϕ
)θ + (5.64)
+
(·Aϕ+ Arsenθ
·ϕ + Aθcosθ
·ϕ
)ϕ
5.4.7 Vetor Posição
Seja r o vetor posição em coordenadas esféricas
x y
z
r
r
então, da figura acima temosr = rr (5.65)
85
5.4.8 Fatores de Escala
Calculando os fatores de escala em coordenadas esféricas por meio da equação (5.13)
h2i =
(∂x
∂qi
)2+
(∂y
∂qi
)2+
(∂z
∂qi
)2
que adaptando para (r, θ, ϕ)
h2r =
(∂x
∂r
)2+
(∂y
∂r
)2+
(∂z
∂r
)2
h2r = (senθcosϕ)2 + (senθsenϕ)2 + (cosθ)2
h2r = sen2θ(cos2ϕ+ sen2ϕ
)+ cos2θ
hr = 1
h2θ =
(∂x
∂θ
)2+
(∂y
∂θ
)2+
(∂z
∂θ
)2
h2θ = (rcosθcosϕ)2 + (rcosθsenϕ)2 + (−rsenθ)2
hθ = r
h2ϕ =
(∂x
∂ϕ
)2+
(∂y
∂ϕ
)2+
(∂z
∂ϕ
)2
h2ϕ = (−rsenθsenϕ)2 + (rsenθcosϕ)2 + (0)2
hϕ = rsenθ
portanto
Fatores de Escala em Coordenadas Esféricas→
hr = 1hθ = rhϕ = rsenθ
(5.66)
5.4.9 Elemento de Linha
dr = hrdrr + hθdθθ + hϕdϕϕ
dr = drr + rdθθ + rsenθdϕϕ (5.67)
86
5.4.10 Vetor de Área (Interpretação Geométrica)
Considerando o elemento diferencial da superfície da esfera,
x y
z
r
r θ
dθ
ϕ
dϕ
rdθ
rsen dθ ϕ
rsenθ
dA = dAr
dA = rdθrsenθdϕr
dA = r2senθdθdϕr (5.68)
5.4.11 Ângulo Sólido
Seja uma superfície fechada S, com um ponto O no seu interior e cuja a distância até a superfície ér.
0r
dS
o elemento de ângulo sólido (dΩ) é definido como
dΩ =r.dS
r3=
r.dS
r2
dΩ = senθdθdϕ (5.69)
Para calcular o ângulo sólido, basta integrar na superfície esférica
Ω =
∫ 2π
0
∫ π
0
senθdθdϕ
Ω = 4π (5.70)
87
5.4.12 Elemento de Volume
dV = hrhθhϕdrdθdϕ
dV = r2senθdrdθdϕ (5.71)
5.4.13 Operador Gradiente
Seja Ψ(r, θ, ϕ) uma função escalar, então:
∇Ψ(r, θ, ϕ) =1
hr
∂Ψ
∂rr +
1
hθ
∂Ψ
∂θθ +
1
hϕ
∂Ψ
∂ϕϕ
∇Ψ(r, θ, ϕ) =1
1
∂Ψ
∂rr +
1
r
∂Ψ
∂θθ +
1
rsenθ∂Ψ
∂ϕϕ
∇Ψ(r, θ, ϕ) =∂Ψ
∂rr +
1
r
∂Ψ
∂θθ +
1
rsenθ∂Ψ
∂ϕϕ (5.72)
onde o operador nabla em coordenadas esféricas é
∇ =∂
∂rr +
1
r
∂
∂θθ +
1
rsenθ∂
∂ϕϕ (5.73)
5.4.14 Divergente
Seja A = A(r, θ, ϕ) = Arr + Aθθ+ Aϕϕ um vetor, então:
∇ ·A =1
hrhθhϕ
[∂ (Arhθhϕ)
∂r+∂ (Aθhrhϕ)
∂θ+∂ (Aϕhrhθ)
∂ϕ
]
∇ ·A =1
1.r.rsenθ
[∂ (Arr.rsenθ)
∂r+∂ (Aθ1.rsenθ)
∂θ+∂ (Aϕr)
∂ϕ
]
∇ ·A =1
r2∂
∂r
(Arr
2)+
1
rsenθ∂
∂θ(Aθsenθ) +
1
rsenθ∂Aϕ
∂ϕ(5.74)
88
5.4.15 Rotacional
∇×A =1
hθhϕ
[∂ (hϕAϕ)
∂θ− ∂ (hθAθ)
∂ϕ
]r +
1
hrhϕ
[∂ (hrAr)
∂ϕ− ∂ (hϕAϕ)
∂r
]θ +
+1
hrhθ
[∂ (hθAθ)
∂r− ∂ (hrAr)
∂θ
]ϕ
∇×A =1
rsenθ
[∂ (senθAϕ)
∂θ− ∂Aθ
∂ϕ
]r +
1
r
[1
senθ∂Ar
∂ϕ− ∂ (rAϕ)
∂r
]θ + (5.75)
+1
r
[∂ (rAθ)
∂r− ∂Ar
∂θ
]ϕ
5.4.16 Laplaciano (função escalar)
∇2Ψ(r, θ, ϕ) =1
r2∂
∂r
(r2∂Ψ
∂r
)+
1
r2senθ∂
∂θ
(senθ
∂Ψ
∂θ
)+
1
r2sen2θ∂2Ψ
∂ϕ2(5.76)
5.4.17 Laplaciano (Campo Vetorial)
Seja um vetor A = A(r, θ, ϕ) = Arr + Aθθ+ Aϕϕ, então tem-se a seguinte identidade vetorial emcoordenadas esféricas:
∇2A = ∇ (∇ ·A)−∇× (∇×A)
logo,
∇2A =
(∇2Ar −
2
rAr −
2
r2∂Aθ
∂θ− 2cosθr2senθ
Aθ −2
r2senθ∂Aϕ
∂ϕ
)r + (5.77)
+
(∇2Aθ −
1
r2sen2θAθ +
2
r2∂Ar
∂θ− 2cosθr2sen2θ
∂Aϕ
∂ϕ
)θ +
+
(∇2Aϕ −
1
r2sen2θAϕ +
2
r2senθ∂Ar
∂ϕ+
2cosθr2sen2θ
∂Aθ
∂ϕ
)ϕ
89
5.5 Exercícios
1)- Sabendo-se que
ei =∂r
∂qi/
∣∣∣∣∂r
∂qi
∣∣∣∣
é um conjunto de vetores unitários normais às superfícies qi = cte, i = 1, 2 e 3. Mostre que
ei =1
hi
∂r
∂qi
onde r =∑i
xiei é vetor posição.
2)- Um sistema ortogonal de duas dimensões é descrito pelas coordenadas q1 e q2. Mostre que oJacobiano é dado por
J
(x, y
q1, q2
)= h1h2
3)- Sendo e1 um vetor unitário na direção de crescimeto de q1, mostre que
a)- ∇ · e1 =1
h1h2h3
∂(h2h3)
∂q1b)- ∇× e1 =
1
h1
[e2∂h1h3∂q3
− e3∂h1h2∂q2
]
Note que mesmo e1 sendo um vetor unitário, não significa que o rotacional e o divergente neces-sariamente se anulam.
4)- Mostre que∂r
∂qi·∇qj =
hihjδij
onde qi, qj são coordenadas genéricas ortogonais, com i, j = 1, 2, 3
5)- No espaço de Minkowski definiremos x1 = x, x2 = y, x3 = z, x4 = ict. De tal modo que no
intervalo espaço-tempo ds2 = dx2 + dy2 + dz2 − c2dt2 =4∑
i=1
dx2i . Mostre que a métrica no espaço de
Minkowski é gij = δij . Ou na forma matricial
(gij) =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
6)- Mostre que [∂r
∂q1·(∂r
∂q2× ∂r
∂q3
)][∇q1 · (∇q2 ×∇q3)] = 1
90
7)- Mostre que os vetores unitários em coordenadas cilíndricas em função das componentes carte-sianas são
Y
X
ϕϕϕϕ ρρρρ
ϕϕϕϕ
ρρρρ
ρ = cosϕ i + sinϕ j
ϕ = − sinϕ i + cosϕ j
k = k
e suas relações inversas dadas por:
i = cosϕ ρ − sinϕ ϕ
j = sinϕ ρ+ cosϕ ϕ
k = k
8)- Do resultado anterior, mostre que
∂ρ
∂ϕ= ϕ ,
∂ϕ
∂ϕ= −ρ
e que as outras derivadas dos vetores unitários em coordenadas cilíndricas, em relação as coordenadascilíndricas, se anulam.
9)- Mostre que em coordenadas cilíndricas
∇ · r = 3 e ∇× r = 0
10)- Mostre que :a) A operação paridade (reflexão através da origem) num ponto (ρ, ϕ, z) relativo aos eixos fixos
(x, y, z) consiste na transformação
ρ → ρ
ϕ → ϕ± πz → −z
b) ρ e ϕ tem paridade ímpar e k paridade par.
11)- Um corpo rígido é rotacionado sobre um eixo fixo com uma velocidade angular constante ω.Considere ω situado sobre o eixo z. Expressando r em coordenadas cilíndricas, calcule:
91
a) v = ω × r b) ∇× v
12)- Mostre que as componentes da velocidade e da aceleração em coordenadas cilíndricas são
v =.ρρ+ ρ
.ϕϕ+
.zk e a =
(..ρ− ρ .
ϕ2)ρ+ (ρ
..ϕ+ 2
.ρ
.ϕ) ϕ+
..zk
13)- Resolva a equação de Laplace ∇2ψ = 0 , em coordenadas cilíndricas para ψ = ψ(ρ).
14)- Calcule o ∇ · E para uma linha carregada uniforme, cujo o campo é dado por
E =ρl
2πε0ρρ
15)- Uma função vetorial é dada por
V(ρ, ϕ) = Vρ(ρ, ϕ)ρ+ Vϕ(ρ, ϕ)ϕ.
Mostre que ∇×V tem somente componentes z.
16)- A partir do termo∇2(∇× v) = 0
da equação de Navier-Stokes, quando v = v(ρ)k . Mostre que
d
dρ
(ρd2v
dρ2
)− 1
ρ
dv
dρ= 0
e quev = v0 + aρ2
é uma solução possível, onde v0 e a são constantes.
17)- Um fio condutor longo, conduz uma corrente I, no eixo z. O vetor potencial magnético édado por
A =µI
2πln(
1
ρ)k
Mostre que a indução magnética B , ( B =∇×A.) , é dada por
B =µI
2πρϕ
18)- Calcule o Laplaciano de F
F =ρ · bρ
sendo b um vetor constante em coordenadas cilíndricas.
92
19)- Uma força é descrita por
F = − y
x2 + y2i +
x
x2 + y2j
Expresse F em coordenadas cilíndricas e calcule ∇×F.
20)- Da magnetohydrodinâmica tem-se o termo (B ·∇)B. Se o vetor indução magnética é dadopor B = Bϕ(ρ)ϕ. Mostre que
(B ·∇)B = −B2ϕρρ
21)- Uma onda transversal eletromagnética (TEM) em um guia de onda coaxial, tem o campoelétrico e o vetor indução magnético dados por E = E(ρ, ϕ)ei(kz−wt) e B = B(ρ, ϕ)ei(kz−wt), respecti-vamente. Os dois campos sartisfazem a equação vetorial de Laplace
∇2E(ρ, ϕ) = 0
∇2B(ρ, ϕ) = 0
Mostre que E = ρ (E0a/ρ)ei(kz−wt) e B = ϕ (B0a/ρ)e
i(kz−wt) são soluções da equação de Laplace,onde a é o raio interno do condutor e E0, B0 são amplitudes.
22)- Seja o vetor A = 30e−ρρ− 2zk. Calcule ambos os lados do teorema da divergência para ovolume limitado por r = 2, z = 0 e z = 5.
23)- Mostre que a densidade de cargas se anula para um campo dado por
D = b(ρ2 + z2)−3/2(ρρ+ zk)
onde b é uma constante.
24)- Mostre que a componente da velocidade em coordenadas esféricas é dada por
v =.rr + r
.
θθ + r sin θ.ϕϕ
25)- Repita o problema 11, para coordenadas esféricas.
26)- Verifique o operador paridade quando
r → r
θ → π − θϕ → ϕ± π
e mostre que r e ϕ tem paridade ímpar e θ par.
27)- Um certo vetor V não tem componente radial e seu rotacional não tem componentes tan-genciais. O que isto implica sobre a dependência radial das componentes tangenciais de V ?
93
28)- Mostre que a integral de linha, para um campo elétrico E, de uma carga pontual q é dadopor ∫ b
a
E.dl =1
4πε0q
(ra − rbrarb
)
29)- Mostre que
a) ∇f(r) =df
drr b) ∇rn = nrn−1r c) ∇× (rf(r) = 0
30)- Calcule o divergente e o rotacional do vetorr
ra, sendo a uma constante.
31)- Uma partícula de massa m, move-se em resposta à uma força central de acordo com asegunda lei de Newton
m..r = f(r)r
Mostre que r× ..r = c (constante). Este resultado é conhecido como a segunda lei de Kepler.
32)- Um potencial Coulombiano é dado por
ϕ(r) =q
4πε0
e−r/λ
r
onde λ é uma constante. Calcule o campo elétrico.
33)- Obtenha o campo elétrico de um dipolo pontual atraves do cálculo do gradiente de
ϕ(r) =q
4πε0
p.r
r3
34)- Expresse ∂/∂x , ∂/∂y e ∂/∂z em coordenadas esféricas e mostre que
−i(x∂
∂y− y ∂∂x
)= −i ∂
∂ϕ
35)- O operador momento angular é definido na mecânica quântica como L = −i(r×∇) .Mostreque
a) Lx + iLy = eiϕ(∂
∂θ+ i cot θ
∂
∂ϕ
)d) L = i
(1
sin θ
∂
∂ϕθ − ∂
∂θϕ
)
b) Lx − iLy = −e−iϕ
(∂
∂θ− i cot θ ∂
∂ϕ
)e) ∇ =
∂
∂rr−ir× L
r2
c) L× L = iL
94
36)- Mostre que as três formas abaixo (em coordenadas esféricas) de ∇2ψ(r) são equivalentes
a)1
r2d
dr
[r2dψ(r)
dr
]b)
1
r
d2
dr2[rψ(r)] c)
d2ψ(r)
dr2+
2
r
dψ(r)
dr
37)- Mostre que
∇2( r
rn
)=n(n− 3)
rn+1
38)- Num modelo para a coroa solar a equação de estado para o fluxo de calor assume que
∇.(k∇T ) = 0
onde k, a condutividade térmica, é proporcional à T 5/2. Assumindo que a temperatura T é propor-cional à rn, mostre que a equação do fluxo de calor é satisfeita por T = T0(r0/r)
2/7.
39)- Mostre que as funções abaixo são soluções de ∇×A =r
r2
a) A = −cot θ
rϕ b) A = −ϕ sin θ
rθ
40)- Um vetor potencial para um dipolo magnético é dado por
A =µ04π
m× r
r3
Mostre que o vetor indução magnético é dado por
B =µ02π
m cos θ
r3r +
µ04π
m sin θ
r3θ
onde m = mk é o vetor momento do dipolo.
41)- Para uma distância longa, em relação ao seu ponto inicial, a radiação do dipolo elétrico temas componentes dos campos dadas por
E = aE sin θei(kr−wt)
rθ B = aB sin θ
ei(kr−wt)
rϕ
Mostre que as equações de Maxwell
∇×E = −∂B∂t
∇×B = ε0µ0∂E
∂tsão satisfeitas e que
aEaB
=w
k= c = (ε0µ0)
−1/2
42)- O vetor potencial magnético de uma casca esférica uniformemente carregada e rotacionadaé:
A =
µ0a2σω
3· sin θr2
ϕ , r > a
µ0aσω
3· r cos θ ϕ , r < a
onde a é raio da casca esférica, σ a densidade superficial de carga e ω a velocidade angular. Ache ovetor indução magnético .
95