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INSTITUTO DE FÍSICA TEÓRICA
-São Paulo - SP-
SOBRE O CALOR ESPECÍFICO
NUM MEIO LIMITADO
TESE DE MESTRADO
Alfredo Takashi Suzuki
Sio Paulo, março-1980
71- T
INSTITUTO DE FÍSICA TEÓRICA
-São Paulo - SP-
SOBRE C CALOR ESPECÍFICO
NUM MEIO LIMITADO
TESE DE MESTRADO
Alfredo Takashi Suzuki
Sao Paulo, março-1980
* Lembra-te do dia de sábado, para o santificar. Seis dias
trabalharás, e farás toda a tua obra. Mas o sétimo dia é o sábado
do Senhor teu Deus; não farás nenhum trabalho, nem tu, nem teu fi-
lho, nem tua filha, nem o teu serve, nem a tua serva, nem o teu ani
mal, nerr; o forasteiro das tuas portas para dentro; porque em seis
dias fez o Senhor os céus e a terra, o mar e tudo que neles há,e ao
sétimo dia descansou: por isso o Senhor abençoou o dia de sábado, e
o santificou*.
(êxode 20:6-11)
Ao gr . * Deus e Salvador Jesus Cristo, Criador dos céus,
da terra, do ir-? v de tudo o que neles há, Doador, Manrenedor e R£
dentor da vide, c m ações de graça.
Aos
Meus pais
e irmãos,
dedico
Registo aqui meus sinceros agradecimentos a toclon qi.i&u • oy
direta ou indiretamente, coritribuirani para a consecução det;te trab^
Ibo, seja colaborando, seja incentivando, apoiando ou acoriBelnaudo.
siiD, entre tantos, desejo mencionar norlnalrnt-r 'c ird
nha
- X Fundação de Amparo a Fesquisa do Eatado de 'ião Paulo,
pela outorga de imprescindível subsídio;
- Ao Instituto de Física da Universidade de são Paulo, pe
Ia formação acadêmica;
- Ao Instituto de Física Teórica, na pessoa do »ev dire/-
tor, prof. Paulo Leal Ferreira, pela acoüMda;
- AO prof. Abraham Hiraz Ziirerman, pela orientação, dedi-
cação, paciência e atençãc durante a elaboração do tra-
balho ;
- Aos demais professores, pela docência e pelas valjosss
diacvissões;
- Aos col«egas e amigos, pela compreensão, tolerâncj.e e -
amizade;
- Aos funcionários do Instituto de Física TeórJce, pela -
consideração;
- A Ione, pelo eamêro, ciiidado e voluntariedade na datil£
grafia;
- Ao prof. Bruto Max Pimentel Escobar, pelo estímulo;
- Ao Gersor: Francisco, "alter ego", pelos conuelhof,, pelo
incentivo e pelo epoio.
Este trabalho divide-se em apenas três seções e sete apê_u
dices conforme indicados abaixo, com a respectiva paginação:
SEÇÕES PG.:
1. INTRODUÇÃO 1
2. Calor Especifico Superficial a Baixas Temperaturas 3
2.1 - Descrição do Método 7
2.2 - Calor Específico de Debye 10
2.3 - Cristal Semi-Infinito 14
3. Variação do Calor Específico na Presença da Camada
Adsorvida 32
APÊNDICES
I - As Quantidades H>jm< '> = a j <VU~^V A l
I I - Integral de Contorno no Plano c-Complexo A .
III - Densidade de Lagrangeana A9
IV -Propagadores t u ^ y ^ v M . ' ) A1*
V -Propagadores fy^yT,**-,-^ A 1 6
VI - Funções de Green çf^^X-**-,n) A i 7
VII - Cálculo dos Elementos de Matriz çj0^u ,-y,fk, £O A19
a) Sub-Apindices Cl a G2
BIBLIOGRAFIA BI
1- Introdução
As técnicas da Mecânica Estatística cem sido usadas para
atacar uma variedade de problemas físicos; entre outros, envolveu
do sólidos, líquidos, gases, metais, soluções eietrolíticas, poli,
meros, teoria de transporte, espectroscopia, propriedades elétri-
cas da matéria, transição helicoidal do DNA, membranas celulares,~ (1)adsorçao .
No que tange aos materiais sólidos, para os quais esta-
remos de ora em diante concentrando nossa atenção, há dois proces_
sos de investigação equivalentes, embora sob pontos de vista con-(2)
ceitualmente diferentes:
a) Considera-se o sistema como uma coleção de oscilado-
res harmônicos de energias quantizadas, (np+V*)"nto- t onde n-^o^...
são os números quânticos, "h é a constante de Planck dividida por
2'S/ e "Jp é a freqüência angular de um oscilador, ou
b) Considera-se o sistema como uma região delimitada do
espaço físico onde está enclausurada (ou que contém) um gás de
quanta sonoro - os &ssim chamados fónons.
A maneira mais usual de se computar as propriedades ter-
modinâmicas de um dado sistema físico é analisar o comportamento
do seu calor específico. Assim, estaremos especialmente interessa
dos no estudo do calor específico dos sólidos, seguindo a aborda-
gem usual, que é a de se considerar ^ sólido como um sistema eiásti
co, isotrópico e contínuo que comporta modos normais de freqüên-
cias características.
Num breve retrospecto histórico da investigação do calor
específico de sólidos, chegamos ao ano de 1912 com a bem conheci-
da teorid de Debye, aplicada a sólidos elásticos, isotrópicos e
contínuos de extensão infinita (v-»oo) f n a qual se postulou jm
espectro contínuo de freqüências com uma freqüência .limiar supe-
rior ( freqüência de corte ) chamada freqüência de Debye. 0 x e ^ ^
tadc pode ser expresso da seguinte forma
o
onde R é a constante universal dos gases e,
sendo 16 a constante de Boitzmann, OJB a freqüência de Debye e
® > , a temperatura de Debye. A baixas temperaturas (T«@í))obtemos
a bem conhecida expressão do calor específico proporcional à T :
Para sistemas, digamos. "uin pouco menos ideais" - siste-
mas limitados, por exemplo - o compute do calor específico torna-
se extremamente complicado, uma vez que, nesse caso, as propried_a
des termodinâmicas são afetadas pelo contornos do sistema.
Onsager et ai e Stratton^ consideraram o caso do s£
lido elástico, isotrópico e contínuo de forma paralelepipédica -
uma chapa de lados l, ftt « i3 - obedecendo condições de contorno
cíclicas nas direções paralelas às superfícies livres de tensões,
no limite de espessuras não muito finas da chapa. Para o termo de
pendente do volume, o resultado corresponde ao cálculo de Debye,
enquanto o calor específico superficial tem a seguinte expressão:
onde h é a constante de Planck; cL e cT são as velocidades do som
das ondas longitudinais e transversais respectivamente; £»(2>) é a
função zeta de Riemann de argumento 3 e S é a área das superfí-
cies livres de tensão.
Estes resultados resumem com bastante precisão a termod^
nâmica dos sistemas limitados, uma vez que em condições usuais (
dimensão dos iados do paralelepípedo nao muito desproporcionais
entre si, isto 4, chapas não muito Tinas) e a baixas temperat.urar.,
as demais cohiribuiçõcs ac calor ;jspecífico ( por exemplo, terno-
de dependência linear e pontual; contribuição das vibrações de in_
terferincia das ondas superficiais das faces opostas entre si )
são negligíveis .
Não é nossa pretensão aqui estudar o calor específico de
sistemas "tão limitados", mas,dados os argumentos acima, propomo-
nos a tomar como sistema modelar, um sólido elástico, ísotrópieo
e contínuo de extensão semi-infinita, o qual nos apresenta as ca-
racterísticas desejáveis, quais sejam, um contorno ( a superfície
de contorno) - sob a hipótese livre de tensões - e a vantagem de
que, nesse caso, termos lineares ou pontuais sequer aparecem.
Nossa atenção estará portanto voltada ao termo do calor
específico superficial. A idéia para o método de cálculo é a de
Peierls, conforme ilustrado por Burt ' em seu artigo, utilizand£
se o propagador ou matriz evolução dos deslocamentos; porém, de-
senvolvendo-se o cálculo em si na mesma linha de raciocinio contor(6)
me utilizado por Ezawa na demonstração da completeza das ondaselásticas no semi-espaço.
0 enfoque seguinte é verificarmos a variação do calor e_s
pecífico na presença de um filme fino adsorvido à superfície de
contorno, para a qual procuramos determinar a expressão formal.
Finalmente, os cálculos considerados de importância, mas
que devido à sua extensão, não foram inclusos na seqüência normal,
estão compilados num apêndice.
2- Calor Específico Superficial a Baixas Temperaturas
Consideremos um sólido elástico, isotrópico e contínuo
de extensão semi-infinita, ocupando o semi-espaço que convenciona
remos como semi-espaço * * O , sendo o plano xy a superfície de
contorno. Designaremos por it (*,t) os modos normais de propaga-
ção das ondas elásticas nesse meio limitado pelo p ctno xy, com
7 * (ftt,c,m>; onde lit é um vetor de onda bi-dimensional paralel-.,
ao plano xy, c é a velocidade de fase para propagação dessas on-
das num plano paralelo ao plano xy e m designa : »;ipo d^ o. la.Os
distintos modos são dados por:
c o n - : c ò ã - k c , k = ' S i « * + l c y « y ^ It e I f c - l . S e u m a á r e a n o p l a n o > :y <*~ ilk. i«" ~ '
as funções e obedecem a condições de contorno p ^ r i ^ - n e ^
f ron te i r a s dessa á rea , sendo que o l i m i t e S - ^ ^ o e s t á .-u'e-;? e:-i;i:^
Para os ve tores d t^) definimos os seguin tes v e r s o r s s : >n ^ c •••?_£A
sor da direção z e !l<-= **•''*•. Com esses elementos, classificamos os
seguintes cinco modos :
Modo H (ou SH):
com
(-2)
Modos S+ e S- (ou P-SV misto);
com
Modo T :
com.
Ú* ft) -• t — ~~~
Modo R:
onde c«, é a solução não trivial da equação:
li ' • " . . A
«0 -
a JT71T
Tei
Os vetores tit*} em (l) satisfazem a seguinte rela?^-.
ortoqonalidade;
(d*
onde:
k • - U f h e«Jkli[(livU'O* (7)
(S)
co(c-C) s e c ^ c*perteniem ac espectro c
\Oc,c' se c *u c' pertence ao espectro rl^c
(6)
' m »*»'
0 se
:i os ve tores CLÍ%) err. (1) vale a ^fguinr
oo
L () - u. (
aos ve to res <AW em ( l ) , « v i i i - ^ a r«r
lação ii<=- consp
com
. —M^ \ C*W + H s.
onde o intervalo de integração em c depende do 'ripo de onda cue é
considerado. Observe que tomamos paira as ondas, não a normaliza -
ção de Ezawa , mas a utilizada por Dacol .
2.1- Descrição do Método:
Ao considerarmos o cristal sólido como uma coleção de o_s
ciladores harmônicos, o calor específico, C, de cristal pode ser
escrito ime-liatamento como
C - Uaf(A) "£ àte-u»,) <42>)
onde X. %(íl-a)j) é a densidade de estados dos modos normais de vi-
bração e F(Í2) é o calor específico de um oscilador harmônico de
freqüência O. que encontramos facilmente em diversas literaturas
ou compêndios de Mecânica Estatística, e dado por
Observe que em realidade estamos tratando o calor especí_
fico na aproximação acústica e não na aproximação ótica, isto é,
consideramos baixas freqüências e uma freqüência limiar superior.
Porém, no limite a baixas temperaturas, T « ®j>, a integração em
XI até o infinito é justificável. 0 problema todo na expressão
(13) está em conhecermos a densidade dos modos normais T.£>(n-uJ|J).
Precisamos saber como calculá-la.
Seja UA*+)a j-ésima componente dos deslocamentos do meio
na posição * e no instante ^ . A quantidadeGf («.,*';t)dada por:
Q. l*,*1;*) - H ^(«.^u'W *«.xte (-
é a matriz evolução eu propagador Para o sistema, de^ce cv.e
a propriedade
l ) & <-
onde a integral espacial d*' é feita sobre todo volume v do <-or-
po ( em nosso caso especial, no semi-espaço V / O ) ; as componentes
M. ( O são dos modos descritos em (l) e que satisfazem a condi
ção de orrogonalidade (6).
Definindo a transformada de Fourier têmpora] G. U. •»' a) do
propagador Gj (<*, y t) , escrevemo-la explicitamente:
Agora, calculando o traço de Gr (*.,*;íl) t isto é, na si-
tuação em que %, s oil , obtemos:
J v J «- -oo
J v
que e justamente a densidade de modos normais. Introduzindo o re
sultado (18) na expressão (13) para o calor específico
onde escrevemos X. Q-. te.UvíOsimplificadamente como G\^t£i).
Se não estivéssemos interessados nos efeite^ de 5-up-7; í-
cie, bastaria substituir Cj(*;íl) que aparece em (19) pela corr : .po/_
dente quantidade^ (A)do cristal infinito e obteríamos o Cdior es-
pecífico de Debye Cj> . Observe que Gj (O) é independemt de '4, !r--MW
veremos adiante) em virtude de o cristal infinite ser u *r -• J/J-
nalmente invariante. É claro, a restrição z} 0 não existe ^qui.
Uma análise na simetria de um cristal semi-infinito co_n
duz-nos também à possibilidade de fatorização de G\{*.,?i) devido .\
existência 1c wna invariância translacional paralelamente à supe£
fície de contorno. Verifiquemos isto:
J g-
(<2O)
conforme explicitado pela expressão (18)
Agora, de (l) obtemos que
tX U)_e (21)
que substituida em (20) resulta
Isto significa que (19) pode ser reescrita imediatamente
como:
C = S (dílF Ca) U ^ qCy.il) (25)
onde S representa o resultado da integração espacial em x e em y.
Aplicando a fórmula somatória (12) em (22) temos:
10
2.2- Ca.: or Específico de De bye :
A fim de ilustrar o método e introduzir alguma notaç~o ,
consideremos o caso do cristal infinito e o propagador Gf (ÍV;
Para o caso do sólido infinito, 3"" (KvvO , onde m é ou o
modo longitudinal, ou o modo transversal, este-duplamente degene-
rado. Assim a fórmula somatória é X^T fkO = \ <i pX> f <1P-,V >
onde |2, é o vetor de onda tridimensional. Queremos que esta fo'r-
mula somatória seja semelhante à expressão (12). Então procedere-
mos ao seguinte:
+ 00
\
-co;
f
Agora, aJ^ = c m ; então <O
Portanto fe* . oj^ k"1"
Necessito que jzm» seja função de k e de c, logc, redefl
no U J ^ nessas variáveis e obtenho: 00^«. U.c.
Então:
C-oo
Os modos normais, por outro lado, podem ser escrito? como
(O)J A tiP-- * -tU)
( t ) C Jtfc) e T c Ju.
C21)
11
onde I vTmtiP-M a 1 . A expressão (20) nos diz que:
Açora . 4JL com *x. ty=«L
Col
-ao
Defino £*.,*_ J.çL. 1 . Então
(Í2)
A função delta é ujna função par e cl U-=
T,
Então:
Efetuando a integração em k, obtemos
- a.
onde a soma sobre os modos está subentendida. A .integrai, segun-
do a tabela Gradshteyn, 3.241-4, pg. 292 vale:
d(Xv 1
onae o fator 2 no modo transversal surge pelo f-ato dr? ser lup;.~. -
mente degenerado.
Introduzindo esteQ(íi)na expressão (19) obtemos:
!2!L "RpLN* <*o>
ou, na forma indicada, em termos da função de Debye (fora do limi.
te
com
Como ilustração ainda, torna-se interessante se ao invés
da expressão (19) utilizarmos a (23). Nesse caso,
C
G (jQ.) não depende de z e F(íi) dada em (14) pode ser
reescrita como:
\ Cm -& •
que é claramente uma função par em CL. '**-)tambem e par em Jfl. e
I(t)e1 p par em z. Então, com o auxílio da expressão (25), es-
creveremos o calor específico de Debye como:
cr>4)
onde: 1 M
1 . J
13
que é o rp^ltaâc (q0) :a (31)
'-.i" ,, a expressar (34) pode ser reescrita como
._
Para o modo longitudinal., © ^ = K w J ç* _ A ' , err:uanto
que para o modo t r ansve r sa l , w - & ,,/c? Ã^ . Assim,
Mão há necessidade de calcular explicitamente essas in-
tegrais uma vez que o intuito aqui é simplesmente mostrar a equi-
valência entre a (37) e a (34). 0 fator 2 que surge no moio trans
versai se deve à sua degenerescência.
2.3- Cristal Semi-Infinito:
No estudo do calor específico de um cristal semi-infini-
to, devido à presença da superfície de contorno, além do termo vo
lumétrico que corresponde ao calor específico de Debye - surge d
contribuição adicional de um termo de superfície.
A fim de simplificar os cálculos - mas sem perda ahjurrM
de generalidade - vamos trabalhar no sub-espaço H* = C*-,°\ on se-
ja, escolheremos um sistema de coordenadas tc.1 que II*. = A •,
(Axi*.)=Et a í( Í Cj .A vantagem de se trabalhar nesse sub-espa
ço é que o modo ri(ou SH) desacopla-se dos demais e em consequen -
cia, a expressão (24) que nos dá o propagador em termos dos modos
normais também se desacopla e o calor específico pode ser calcula
do por etapas, de acordo com os modos considerados. Assim, pode -
mos escrever:
C . c011 + ">
onde C a <- SLO dados por ( 2 3 ) ;
Q
com JL, L i-scriLu bimpiií icãdamente v,
a^ Calcule ic ^'^o-'a;]cidoi
en";ãjador mo .JO KtC^C^
c
*"T
Agoiv., | t^''í^")l's lu^'ti,)]2 „ _çl _£_L cos^ôUr ..enferme e/-
p r e s s ã o (k-i-.-'i -\J Apêndice I . Enráo :
' 'V l Í " i Í (1 + ces 12 pIc-Yj
que possui am ?.eriüo i n d e p e n d e n t e de z . Mudando a v a r i ó v e l •!'..• i u n
graçao de c p .r-, B em (--il), t emos:
L •:...;;.^'; t | . ( í i i para o termo i n oepenrjer, i <-.• j - 7
Q d.;n."> P d 2 ' d '-' l r ' r ' ! ' J Í1"- aep'.-r:^e de ?.. Er.r%o:
a.2) Pi-...-:•• : ,: :;o, Í^ÚOÜ. G%;íl) S Y GÍ
J
Então:
loep)[(^li\ can2a!t7. ,
1
15
conforme- :A- b) >••• (A—r) *c Apêndice I e onde A(a,^ «. BCw^) estio
defmi'::'•••• <-•<•• (3). note cue- ,iui,ii temos dois termos independentes
ie ?.. Ar--:.ÍP, -C'.;... ,; ' u'- anterior, definimos as quantidades
(4q)
+ 2 & (r-,(O ( oti; M
16
ii) Modo T:ir)
(52)
conforme (A-5b) e (A-5c) do Apêndice I. Temos um termo independen
te de z; assim como antes:
c*.! \ CSÍ.)
onde C(if ^) e jHitf.fO estão definidos em (4)
i i i ) Modo R:
17
kA l (5Ç.)
onde T<.(J£*,v\^está d e f i n i d a em ( 5 ) . Não há termo i n d e p e n d e n t e de z,
e n t ã o , Gj(* tvt.&) permanece como indicado em ( 5 5 ) , sem desmembra -
mento.
b) cálculo do Calor Específico:
b.l) Termos independentes de z:
Definimos < *(£V) = q^CH) + ( a ' ) + G^CQ.} t a parte do
propagador independente de z com Gj"(í2)dado pela expressão (44);
Gf^(Q) , pela expressão (49) e ^'"'(Xl) t pela expressão (53). E£
sa parte do propagador deve corresponder exatamente ao propagador
livre (do cristal infinito), ou seja, deve resultar no calor espe
cífico de Debye.
Agora to « U.c •• Itc ••/**+*l e Lc V^+71com
CT
Fazendo a mudança de variáveis de c para OL ou & (deperi
dendo do caso), resulta:
l e i
«O
d f t * í £ l l ^ T > | ( 5 7 )c
.18
Introduzindo (57) na expressão (23) e integrando em
obtemos:
• e
Desde que LU) = \ e função par em z, temos:
cí , V
Então:
que é justamente o calor específico de Debye dado por (37).
b.2) lermos dependentes de z:
i ) Modo H: Introduzindo-se Q ^;X1) dada pela expressão
(45) na (39) e efetuando a integração eii í l
obtemos:
C(H). S ( A ( ° l i Ê . FlWcWjPTTMi, «a 2\ I r I0
A integral em z é imediata:
mm. *8
Vimos que F(JC1) é função par em jQ , por tan to : « ^m^f-
no seu argumento fr*- . Então:
+OO
que é facilmente integrável em ft«- . Realizando esta integração,
temos:
Finalmente, <à\ « 2<iWdU., com P(kcT) dada por (14)
Assim:
Fazendo a mudança de variável Oi r T* *CT , reescrevere-
mos
Realizaiido uma integração por partes, a integral acima
pode ser escrita em termos da função zeta de Riemanncle argumento
3:
onde k =
20
ii) Modo R: Introduzindo a expressão para Gj <^,^^ àa-ia
por (55) e (56) na (40) e realizando a inze
gração em /l , obtemos:
forifr K .
Efetuando agora a integração em z, que não apresenta di
ficuldade, temos:
i ^
A expressão que aparece entre chaves no integrando vale:
í l
que é justamente o fator K_ definido era (5). Portanto;
Explicitando FC^c«^de acordo com (14) e desenvolvendo
Udl*, temos:
(21T
Como antes, fazemos a mudança de variáveis
c
21
Efetuando uma integração por partes, a integral acima ex
prime-se em termos da função zeta de Riemann:
onde k
iii) Modos S+.S- e T; Para estes restantes modos, os ter
mos que dependem de z são -Igo mais
complexos, envolvendo integrais em c que exigem um exame mais ciú
dadoso. Antes, porém, convém reagrupar os diversos termos de G^<±>
e de Gf U-.JCI")de"um modo conveniente". Observando as expressões
(50) e (54), notamos ser esse "modo conveniente", o seguinte:
(
c eT
j
ac AM - « ^ h t[dc.rB-x-ori)g ^ i + c.c.j i é ( a -CA I j C 2|l j
C7
e maneira que:
^ (GO)
Introduzindo Gj«,CL •Q á l - na expressão (40) e r ea l i ze
a . . egração em Í2 , obtemos respectivamente:
22
SUil J&Éki Ú<L FCUO (*x-0A
cc,
+.c.n
Definiremos as expressões acima entre chaves de
e S respectivamente, e observando que:
podemos ver que:
23
ao o» "O
• * * *
onde as funções Cl*,^) , g(*,Ê) e lt(oc, >) são definidas da segui_n
te forma:
o. oco
Demohstra-se (vide Apêndice II) que as integrais entre
as chaves S* SA c S«,« são equivalentes à metade da i n t e -
'gral de circuito:
re>(OdC
onde +ic) * L^CO, p>tcjj etc. ; P é o seguinte circuito no
plano c-complexo cortado:
irrtC
t-CK -c. :c* .««•c
Assim:
«O °O(c)dc
eco de
J 'l
Observando agora as expressões (61) - (63), notamor cue
há uma forte dependência das funções no argumento kc: desde que,
além de F(lcc) , a parte exponencial de cada uma das expressões
tem no seu argumento o produto ock , jilt e (ac+p)lc. respectivamente,
e lembrando como oc e £ dependem de c, obtemos claramente a
dependência em kc.
Nota-se que a integração em c terá uma contr] uíção vin-
da do polo em c=o. Porém,como queremos o resultado em ierros in
função zeta de Rieaann, integraremos inicialmente em z e em k.
Reescrevemos, então:
p o o
onde explicitamos a dependência em k e z das funções.
A integração na variável z sendo efetuada, resulta:
\ te
CD
Seja agora I s ( U.ML F(jcc)
k c» \ ^r J
Chamando ^ _ \kc , temos:
Integrando por par tes UÍTÜ ve;*, o b ire
1, 3r (3) í ; (3) U
Então:
2T 3V k ^y
Análise dos possíveis polo?:
1) As funções no numerador são analíticas em todo o domínio de i_n
tegração considerado;
2) i) Em Cx , temos polos simples em c- ± C U devido ao fator ocl
que aparece no denominador, porém são polos localizado? fe-
ra do domínio delimitado por p ; r.3o constituem polos de
interesse.
ii) Em C . , temos polos simples >-:-.K •:•= ± C T devido ao fd'or (3?
aparente no denominador. He?,me o1 <•;<•::L-j-y;ão que a acjin-i.
27
3) i) Em cap temos polo de ordem superior de interesse;
ii) Em c= ±Ca. temos polos simples de interesse. Provêm do ter-
mo (f£-fi* + 4-«t{S que aparece no denominador pois:
Calculo de C.,:
onde I(O « ± V . (^>if-
Res I Cc = iCa); Seja <JCO s (p.*-O'+4ot^. Então;
Agora, para c = i C ^ , tem-se:
oc(c«±co. Jc£TT , i*R
'T
Portanto,
L cf + of *t c;
Res
*«<* F^P
onde foi utilizado o fato de que (1+*C
Res
Como Ç ^ s <-** . ç^. t 1-*£ t tem-se
Res
pressão entre colchetes pode ser escrita como
i foi* m T <
onde TCC*»,^ é a expressão definida em (5).
V Res f (c- t e , ) . -C• « C Í
Observe que v(c=O)=O. Também
m o r enquanto** L.
de*««o
Utilizando a conhecida identidade (4+*O CIfô«v^» a ex-
28
Isto quer dizer que o polo em c=0 é ãe quinta ordem,
uma vez que temos também o fator c" no denominador.
Seja wto = Cp>*-O*-ta£. Então, para c-->0, tem-se d
são:
líw*. *KO _ ô _ £ç*
Para c-*>0, temos também, expandindo v(c)
U u-tc) = *( J
Introduzindo essas duas expansões em fCc) , obtemos:
T
\ C i
. 1 G c ^ -v c'(4c£g^- ia ctcl) + cA(ei?i-^cTA - kclc
" 2cs (c j -c^c^c^lc*
Portanto,(GS)
Assim, de (64) e (65) temos para
Calculo de C. :
onde Ô C O
Res
Res
Res P(c = ±c.) - -<
Res
(GG)
(67)
co
30
V Res &tc*=co . Su-Ct
* actc*(c;-c
Da (67) e(68) obtemos para
(Go)
Cálculo de
onde
Res
Res llc-lC) ._JltSl
Res
v Res iu«o) -O (71)
De (70) e (71) obtemos para C ^ :
L * 2 cia)
Dos resultados (66), (69) e (72) obtemos
Agora:
(73)
Observe que o primeiro termo de (73) cancela a contri-
buição do modo R dada por (59) . Então, a parte do propagador de
pendente de z contribui ao calor específico do cristal semi-infi
nito com:
r\ r*°° r T) - niH) <~l(° „ r* r r-
onde C ° ° é dado por (58) .
^ t-gct- 5c£c? Iv C B 3«EStfa) I H Í ^ V Y 3C^ t-gct- 5c£c? I (74)
que é o termo superficial do calor específico.
3. Variação do Calor Específico na Presença de Camada Adsorvida;
A densidade de lagrangeana para as ondas elásticas num
semi-espaço isotrópico, elástico e contínuo é dada por (vide o
Apêndice III):
« W . {.? (^ l|a - «fMJ} (-rs)
onde e é a densidade de massa do meio;ü(*;t) é o /etor ene c!e
creve os deslocamentos no Instante t do ponto ai = C*1(xl(Xj); * denota
a conjugação complexa e a repetição de índices subentende uma so-
matória sobre os mesmos conforme notação usual, A quantidade t Cct]
está relacionada com a "densidade de energia potencial" do meio,
valendo;
*Pt*O . (C*-2C*)(d'v d.) (div it.) + C* 3 U L í dUt + du. \ <7G)
As equações de movimento derivam-se da densidade de 1«-
grangeana segundo as equações de Buler-Lagrange:
_ O
Defini ndo Mij Uj para o segundo termo, temos:
onde "M**-J -
(78)
Definiremos também: G° - função de Green para o sistema
cristal semi-infinito "livre" (isto é, na ausência da camada adsor
vida); P°- propagador "livre" do cristal semi-infinito (correspon
de ao anterior propagador G dado pela expressão -24-) e P- propag£
dor "perturbado" (cristal semi-infinito com a presença do filme fi
no). As equações que essas funções obedecem são respectivamente:
Função de Green G°:
Propagador•
é definido à semelhança da equação (15).
34
Introduzindo agora a perturbação cinf.r.i^ oada por uma
variação de massa (que caracterizará a camada adscivida ou o fi_i
me fino):
jL-O (82)
onde X é a constante que denota e especi f ica ã v?>n.. yáo da m-iss
na região da camada; a equação (81) torna-se:
onde:
H'(j , ÍXãíyy^Sy (65)
Note que a (84) aplicado a P° deve rne repro-iuzir a (80) .
Escrevo então:
Aplicando H .íati ») e ^ Í S ^ ^ à esquer ; :. J J
uma vez que HVcz)^^;!) « O pela (30).
Agora H"^(2)^jm(2;a) - &ttn6(+i-+j)á(x.l-%.,/;. Entã
que, comparada à equação (83) , mostra que 5"=-4 , Portanto
onde HcjW* H*jW) + H'
Podemos r ee sc reve r a (86) então como:
onde:
« - * > > £ j V (68)
Escolhendo agora o "ansatz" seguinte:
-
as equações em r:^ tornam-se equações em 4t<m de modo que a (87)
fica: (vide o Apêndice IV)
Tanto a função de Green como o propagador sao invarian
tes por translação temporal, de modo que:
Temos onteo as transformadas de Fourier:
+00
-CO
tar
-00
4-ao
-ao
de modo que a equação (91) se escreve como: (vioe Apêndice V)
Na situação particular em que
Nessa etapa, verifica-se claramente aur. nd situação de
X * O (variação de massa nula, isto é, sem o }•., ;r:iL-), recobramos
o propagador do cristal semi-infinito
pagador:
M.G. imrt , para o cristal semi-ir: f if: -•, nos dá o pr£
37
Clit•(.«-- XT')
fo . (.Rt (a) *- -«."to •fc , / , t i ) vs) • -».\o •<
A transformada de Fourier temporal de tíuV^A)
+fl0
onde foi utilizada a. notação do Apêndice I para os produtos
Temos então:
(101)
Ainda de acordo com o Apêndice I, no sub-espaço onde
(U.,0) , temos:
De semeihd/ite modo, a função de Green para o cristal se-
mi-infinito livre é dada por (vide Apêndice VI):
onde
38
de modo que no sub-espaço ic»llt,o) ainda temos válido que
-' O H (105)
Defino a quantidade % de
modo que s.- « o ,se j + t e j ou ( « 2 . Introduzindo-se-lhe
na expressão (97) tem-se:
que, em notação matricial, nos dá S T « T , ou seja:
Assim,temos:
Í1OG)
s -•«1
o
O
s»
o
onde 6 » 1 -
» m A -
1 (y•>, ft)
1107)
S"1 =C
O
39
onde
(106)
Desenvolvendo a equação matricial "P = S" r , temos:
O 5 U O
Cai O ^33
onde
com
40
(109)
Estas soluções fe ty.V'"1'^ devem agora ser introduzi^
das na equação (96) de modo a obtermos o propagador genérico:
onde a dependência em Be e em Si. foi omitida para brevidade de
notação e redefiniremos í**^ * \t*V'
Observando a (102), a (105) e a (109), conclui-se que
também
•* -0. (140)
Os termos não nulos de k. (**') s^° d a d o s Por:4. (**'
M11)
onde as quantidades çf-^Us,) são dadas em (104) e as quantidades
jtk U^J,') em (109), via (i08).
De acordo com a escolha do "ansatz", (89) e (90), temos:
A situação que nos interessa é dada pela condição
: ( V » O )
A transformada de Fourier em
ns
com
A densidade de estados é o traço da matriz da transformei
da de Fourier 'jo propagador, isto é:
vOO
0 calor específico é dado por
onde F(d) é o calor específico de vm oscilador harmônico de fre-
qüência SX . Então:
Finalmente, a variação no calor específico devido a pre-
sença do filme é
A C - C-C° . Si daPíaMd^l^k^. Afcíy.t.íl) (i*2)
onde
A
Facilitando a notação:
que, de acordo com (ill), resulta em:
Utilizando a (109) para os fe;,ly,O temos:
43
Exprimindo conforme a (108) os vários Gij temos:
onde os V ey*)devera ser calculados pela (101)
Ç ^ > e o s ^ ^ W 3 s ã ° d a d ° S P ° r * 1 0 4 * : (AP^dice VII)e os Ça V> e o s
« , *c f **••*-
•#«^v+ f**Vj
onde o sinal (+) denota a função de Green avançada, enquanto o
sinal (-) denota a função retardada, e as quantidades:
*A-
e;
(tlÔ)
45
J
L ** J
«SUç.(cX.ttÊ)
v»
" 4£lcç.(c3itiS) I J
J
VI Te"
. Cci+v
.çaCcAtve-> [±1]
onde
0 próximo passo seria determinar as expressões explícitas
de jt*;(x*O através da (101), introduzindo-se-lhes em seguida na
expressão para A^iU) , que, uma vez obtida, deve ainda ser manusea
da convenientemente nas diversas integrações que envolvem o calcu
Io da variação do calor específico conforme indicado na equação
(112). Porém, face â extensão e complexidade dos fatores envolvi-
dos, e, tendo em vista o cuidado que devemos ter nos passos de
cálculos em contraposição à exiguidade do tempo para realizá-lo,
carecemos deixando apenas indicado.
A-i
Apêndice I:
Face a necessidade de reportarmo-nos com freqüência a cer-
tas quantidades durante a seqüência dos cálculos, houvemos por L-
compilá-los à parte, para facilitar eventuais consultas às mesmas.
Nesse primeiro Apêndice, vamos definir a quantidade:
onde os **/•(») sao as componentes dos modos normais na sua parre ç-.~
torada, dependente de z apenas e o sinal * denota a conjugação com
plexa. Vamos introduzir também o sistema de coordenadas tal que:
onde, por conveniência, redefiniremos os índices (x,y,z) por (1,2,
3) respectivamente. Assim, para cada um dos distintos medos nor -
mais, obtemos as seguintes quantidades <f>- (/>
Modo H (ou SH):
LC*
O ; j ouj
Modos S+ e S- (ou P-SV misto): Aqui,
Modo Ti
A-2
(A-U>)
-»YÍ I
J
— I sinK^-V' - SCA^U(^') _ ítf-i)*"4»ftir SLWCCU(YY>
= O j eu. m. = 1 (A-5a)
lios resultados seguintes, foram usadas as seguintes iden-
A
bl-OT-Átíp, J
J (A-5b)
(&1-O -
Modo R:
A - 3
?> L (p?-OV4t»p, C^ -0 l - 4 i ^ J j (A-5c)
JJ (A-6d)
(A-5e)
) =o j ou vw =2 (A-GCL)
A-4
(A-Gd)
onde:
A-
Apêndice II;
Este segundo Apêndice propõe-se a mostrar a equivalência
entre as integrais de extremo que aparecem em S^ e a metade da
integral de circuito no plano c-complexo cortado:
onde o circuito P é o seguinte
J.
g-H •'•
^
\
Introduz-se agora as funções de variável complexa c:
occo. JsL -
Essas funções possuem cortes no plano complexo ao longo do
eixo real para \cl>Ci. e ic\">cT respectivamente. Temos ainda,
para c no cor te :
A-6
£-•0
a (c = t
onde oc e p. denotam as antigas funções de c, real.
Seja aaora d integral I = \ -f (o dc , onde 1_L
somatória dos cadinhos L , U L-4 «. L^:
L. :) dc + 1 |(c) dc
La U U
Para conveniência, definimos a função gt«.p>) , tal que:
f<c) paxc
) c-CO
-Cl.
-C-
. 2,100
-C".
c-c,
cL
) c-T
c,
OO
dcc
0 procedimento padrão agora é fechar o circuito adicionan-
do dtfis semi-círcuios ae raio "suficientemente grande" aos caminhos
Isto nor; contorno P definido logo no início desse
Apêndice.
A-7
A função f(c) é proporcional a <?'* , onde <x , em
termos de c, é dado por:
<x(O
Desde que c seja complexo, vamos definir £- =
z designa a notação usual dos números complexos. Então
onde
ou*.) = ji-
No plano complexo temos o seguinte esquema:
«.-1 - u e.
iví
No semi-piano superior,
reac .
0 4 81
0 i 6a\/
o+o 6
o
Ne st, .1-p.l.i-c inferior,
C> -V.Wporeional a e" ~ | , temos:
A-8
Como ix z cV^' 5 PÍce^^+t^cw.^) ; o ^ í i , e f(c) é pro-
Para ç - c<; , portanto, f (c)-> o já que U > o , y, c
(o cristal ocupa esse semi-espaço) e Oi íxAiOé 1 no intervalo oi i
Então, finalmente, concluimos que
(A-7)
O procedimento para S e S e totalmente análogo, de
modo que será omitido aqui.
Apêndice III: Densidade de Lagràngeana
Considere-se cx(.x.;t) o vetor deslocamento no instante t
de um ponto v. = (.x.,,* ) no meio isotrópico, elástico e contí-
nuo, que no seu estado de equilíbrio ocupa um volume V , com
uma superfície de contorno S. As equações de movimento são des-
critas por:
pü-i T -dCcj (A-8)
onde © é a densidade de massa do meio; £l.c é a i-ésima componen-
te da aceleração e Q ; constituem o tensor das tensões:
com A e M- sendo as constantes (ou coeficientes) de Lamé.
As velocidades C L e CT em termos dessas constantes, se
exprimem cpmo:
c" ^-mu, QI _ |U. (A-1O)i_ _ * — f - —
de sorte que (A-8) se reescreve como:
P
üi . J% (A-11)
com ^ - Ü . s (CÍ"^T> \ A + CT u«
Defino agora o seguinte operador:
que, com o auxílio da identidade
ro+r©-t A = arodidlivA ~ V /A
posso reescrevê-lo como:
A-10
•z
"T
Agora, operando no vetor deslocamento
3 U.
u campo vetorial <LJL , pode ser descrito em termos de uma
componente: lo/.ai rudinal e outra transversal»
CL - çco ,d£ ^ r o t f _ ( d w t = o ) (A-n)
de modo qne as equações se desacoplam em
i l _ c V2N tj, = o (A-1Ôa)
^s O (A-16 b)
de onde ít ^-/]. i-ncir-;,.i o si jnif içado de c u « «de c^.
3c: a superfície é livre de tensões, então a condição de
contorno sobr-, 8 é ia da por:
onde'v. é a rio •-. i -•/* erior em cada ponto de S.
Cons•{•:••-r*>-'•;•:.: aaora o espaço linear das ondas que
zem a cor.-:j.<; -^ • . . M S / W ) (A-19) e tendo o seguinte produto
no ou esc--: -ir .
h-L 1
C . = f l*/t>* • «A*-,*) <**. (A-20)
Então, segue-se que o operador Ltò) é hermitiano. Tomando
a forma sesquilinear:
(A Q1)
observa-se imediatamente da definição que:
v ] * (A-22)
Além disso, com o auxílio da definição do produto esca-
lar (A-20), podemos definir a quantidade:
íí
( v* 3íij_d* , pela (A-16)I 3x,
Escrevendo em a notação simplificada d = ã_ , temos
v a S d ^ (A-
Agora utilizando o teorema de Gauss (teorema da diver
gência) na quantidade:
\BjU*Gij)ck -_ \ v*^-j j _ ^ 3 = O ( pela (A-19)
Como: %K*^) - OjvDS ^ 3 , ^ (A-24)
então: (pela A-23)
A-12
Temos para o integrado (usando A-12)
(c:-ecí)(d.w^(a.vUL) + c
Observe também que:
e como ckjicwj'1.- j r » 1 J' \J' ' segue que:
Então:
<v, L(9)UL> = -W[(cí-2c^
Pela (A-21)
(A-25)
(A-2G)
confirmando a hermi ti cidade de L(3).
A lagrangeana para esse problema é obtida da quantidade
genérica:
5 i i \ + 1 < v , L O ) t i > < L , ) ] l
?;+. / eL JjlJ
l \ L ^ 1 J 1
onde <t;[iuj •-- § tu,CL] fdutPLtt], 0 significado f ís ico de
vtorna-se claro como sendo l*/^) vezes a energia potencial do meioelás t ico ainn ' a -:santidade «J- é tomada real..
A-13
Definiremos então a densidade de lagrangeana,£llcil( como:
1 p
onde índices repetidos denotam uma somatória e, de acordo com a
(A-21):
div|x) +C^3 jU .*(9j^ i + 3 í U j ) (A-30)
As equações de. movimento se derivam então, através da
expressão:
onde l i " u « e/ou t ; • *\i
Consideremos o caso *\, » LL • Então:
MttL- O
V loíiL
de modo que a equação do movimento f ica:
j .^ (A-32)
com LO) definido em (A-15).
Para *i-= u , o procedimento é totalmente análogo, e
obtém-se:
J L u a j i í
A-14
Compa 'a.rjdc 'A-32) e (A-33) com o resultado (A-16), vemos
que a densidade de lagrangeana reproduz o resultado. A densidade
de lagrangean,' que nos interessa é então:
"^ \ t t ' í
com CPfuldado por:
A-i
Apêndice IV;
A equação (87) nos dá:
i1)' ;1) - \\ V * ' íi^-í5
onde H(a). &(vv)Í-5w
0 segundo termo , dado pela integral dupla, I;
Ti» *
Utilizando-se o "ansatz" especificado em (89) e (90),
tem-se, integrando e m y d*.9* dV^dt»
A integral entre colchetes é bem conhecida e
Então:
-00
Introduzindo em (A-34) e escrevendo'?-^/) er^lí.i) con
forme o"ansatz", obteraos, pela identificação dos integrandos de
á\ , a igualdade desejada, ou seja:
13G)
Apêndice V;
A-16
Temos a equcçao:
que escr i ta sobre \ i-orma transformada em Í2 fica
•00
O último termo se desenvolve como:
-0O -"O
-OO
Então:
40O
+00
-oo
p . (
de onde, pela : -.ierjtiíicação dos integrandos resulta
(A-
A-iy
Apêndice VI:
A equação para a função de Green GfOx./xl-í-i1) é (79)
Agora } ^{^M) JáSl^xC,^)^ , e
o
2t )-oo
Então:
2 X
Por outro lado a expressão (77a) nos dá a equação para
os vetores deslocamento:
= o
onde u («.t) * u- t*) ê J , de modo que
Como Mtj é um operador espacial,
Portanto,
2
fudada então por:
. -If. wj u'\*)
A função de Green G{" (<*._*;;íl) que satisfaça (A-38) é
(A-40)
Agora,para os modos normais do semi-espaço elástico, escrevemo
(T> (3j tBí. irTU. (X) = UL U) Z
l W
A-18
onde IW. t \t- são ve;,.or~ ~ v:idimensionais e S urna superfície tendendo
ao infinito. Prot..nt~<,
" j t • —_ ^ -L< —• • t.~[ -J; i
Emprea . a róriauia somatória para X.-,, temos:
l m^R) C ^ - O J * j ]
onde os produtos a":^- u ^ o * a j («w) estão definidos no Apêndice I.
Concluídos, ejitão, finalmente que:
CA-W
os sinais (+), (-) indicando a fur.ção de green avançada e retardada
respectivamente.
A-19
Apêndice VII: Calculo dos elementos de matriz ^ u _z/-tK ni :
Defino ilskc^, de modo que (nx-ou, ± ir: > - k^'cX-^^^
a) Caso j=k=2; Aqui, só o modo H contribui. Então:
oO
Mudando a variável de integração de c para a e escrevendo
(ia + ie)] e, considerando que o integrando é
uma função par em tf> , temos:
-OO
Função de Green (+):
•+OÜ
> T -oo
, onde
•ao
-oo
-00
com C^ e C + ser.do os contornos seguintes no plano ^-complexo:
Entãoí
A=20
It . -
Para o cálculo del"^e de I^ , temos que considerar a si-
tuação >z>' e a situação 7j<1\' • No primeiro caso, a circuitação
do contorno para o cálculo de l^e C^ e del^C*, como em 1^ e li, •
Porém quando <V» para lc a circuitação deve ser C^ e para 1^ , C^ ;
Si . " ; ^ . . S i . . ^ , para
51. i . para
Então,
Função de Green (-);
0 cálculo é análogo; somente que agora os resíduos são
calculados nos polos ft-(5iA-Ct e (5- -çrt+i£. 0 resultado final é
tal que ÇK^.*!,^,**)"* t í £ M ^ ' A ' ^ onde * denota conjugação com
plexa. Então:
Quando V V » temos
^ (A-U)
Para os outros valores de j e k, os cálculos estão -i
seguir, sendo que os detalhes do desenvolvimento das integrais que
aparecem estão compilados nos sub-apêndices numerados alfa-numéri-
camente de C-l a G-2.
A-21
b) Caso j=k=l:
Aqui, o modo H não contribui , mas temos contribuições de
outros modos:
> C l - CT
onde
Termos em
. f de Jt fitas I U-ty- ') 1) c TL U»(cA-c?itê) J
lcf,X*i ) c <XÍCÍ-c*ii€) ) C (ci-c*ii6
«0 CO
O O
00 *«O
l i . • 1 dw. co ackh-fc') J_ \ dix cos^ktyY)
-CO
ces
p JComo:
Jí
A-22
ti,
Termos em z+z1:
-1
dç
cL
fdc t
"
Defino:
, (dç i.1 t
c.c
C
De modo que:
TC (ci-ci*it)
A-23
1 I t * !V (vo
Termos mistos; z,z':
l i c
• C T
(dC ^jb-0 U n ^ 4 g. P 1 '
Defino:
Jii f 0 0
2. dc.
1U-<(«!«, +file*')
c
cl-c'^fc J
(ci-itie)
A-24
Ofiservando que
K
K
Finalmente temos que:
fcj
ocA J+ 1
(A-Quando z « z ' . temos:
.it^aiÉftlll I e
A-2t>
c) Caso jyk=
onde:
Agrupando nos termos: .
Termos em z-z•:
1
) c (cA-c71 le1) \ c j jcci-c»tie) jcu cT r
CO <O
é idê
A primeira integral é idênt ica ao I * enquanto a segunda
é idêntica a 1^ ; assim:
Como c5C^
oc2^> em
, intercombiando
^ ) - . Assim:
A-26
Termos em z+z1 :
COOd c I lfr*-< ~)Z-A-ocfe ] | QCcg\ O.let*
[ [
2 ) c
c.c.\ (
Defino:
»»
c i - c j tve.
?Tt 2 ) 0. cc.l _e
Então:
T<
c,'. c;
Portanto:
J '^4 'J.nl,v_ , V i •' ' I
P>n.
Termos mistos em z, z1
Defino:
C (6*-if- '
""T
OD
(
- +
1 1 l-cMit J
Observe que (^. o u
ssTC
(ei t i e )
Cí-C*
Portanto:
. \T L
(ei i
i \j J
Agora:
A-28
p - J
e**ie) L (pi- 0 %
* 1J
Quando z=2'« temos:
OÍA
I]
(A -46)
d) Caso isl e j=3
onde:
»'M'-.'•••'»)* •
Termos em z-z•:
oO
.( d e . feityfiku-z.') 1
(Cj \ C
00
= 3^ corn
kp—H !-íHcí " c
Portanto:
__^ Q l v ) r* BTtlcP.(ci*iOl ' ' [
Termos em z+z1:
Defino:
13*
K L cX-ci+it J
c c
«o
__ c c
K (ei-c* tie) c!-c}
A-30
-V
cA-it6 J[
Termos mistos em z, z* :
Defino:
L ^ | J L X. c*i i t
c (fcVo^W
TC iííiÕ (ci-cJtt6)
Portanto:
t
- e
A-
Quando z=zt, temos:
. CcAt -0% Aw f
j (A-5O)
e) Caso i=3 e i=l:
onde:
(."•)
S'
Agrupando em termos conv-.-a.ientes podemo
Termos em z-z1:
Observe que )' e idêntico . Então:
T.JÍ
A-32
Termos em z+z1 :
Comparando Tj,(y,1)1 com
oposto do outro, então por T C +
L^^)^ notamos que um tem o sinal
podemos escrever imediatamente
ei tie.
Termos mistos em z, z*:
Comparando T^l^ 1)- com T^C»,^1)" notamos que trocando o
sinal de T»(v»|')* e intercambiando simultaneamente z por z' (e z'
por z) obtfemos o T3, CJÍ,^* • Assim:
54 vn i c ^ l l ci-è; ^ ^ • J C A
Portanto:
_ti-W
f _ iO (citte) L (&-V-* J***
Quando z=z't temos:
(A-51)
«V.(
SUB-APÊNDICES:
1. Cálculos de L* e 1^ C-l a C-';
2. Cálculos de SwC^'Yt S^^'^ %£\& '' D~1 e D'2
3. Cálculos de^C^MVv^^S^^----' E~x e E"2
4. Calculo de J* F-l a i•'- i
5 . Cálculos d e ^ ^ ^ ^ p í y t í ^ - ^ e G"2
C-l
Calculo
4l
Defino:
de Ií :
r\ r ir-oo
e " doe
L; = M,+M,
i ; =
Com:
M , . _ i ( à " 1 ^ doe.-CO
Q. ' dot
4 \ f.«-<-OO
+OO
4 \ (.«-•L.-OD
â) Caso z-z '>O: No plano oc-complexo, temo;
M l M
,, . _±(k e^ T + Coc-OL«.- c-i
dcç
4'"'
.í * ^"^ doe
4 7 L«-\3loc-C-i^LOc-(.o(A-v?)ji_ot
onde:
C-2
lm a
Então calculando os resíduos correspondentes
00 a.
ÜÍÍL. -Ü
- llv
M.
1|L*- ' - • - - •-!• , y \ ••
s- V '? O
o} Caso z—z' <^Q : Mo pian o o(,-complex
A 1 [0C-
c;i £ í _4 l [t<-v][0í.-(-O]|<x-(!VA-ie)lcx-
cômputo rios resíduos:
"-or I: an to :
C-3
I* = t<ft f ^ ) r» -V . I^^Wn 6( )j-eS-V>. jT^VVil 1
(SAD
Cálculo d e l * :
a) Caso 2-2* >o ;
l i - Jff, + iTr
b) Caso z-2'<O;
ÍJ = Jl,
O cálculo é totalmente análogo ao caso do l | . Aqui, nestecaso, l i , aparece a contribuição extra do fator (£*" no numeradorque deve ser levado em conta no cálculo dos resíduos.
1) Resíduo nos pólos t i : O fator ft* contribui com:
<• (TI / • - 7
Assim, os termos que vim da contribuição do resíduo nos
pólos t i tem sinal contrário aos do caso X^.
2) Resíduo nos pólos t (frg-t-it); Estes polos aparecem no cálculo
das integrais-K.,(Aa. ,-W"i e *KtSeja a função ULI^ ff ^ , então:
Res u [» • ± (PA+Í«] » t
M^ e X^que tem a circuitação no semi-plano imaginá-
rio positivo, vale o sinal positivo, enquanto para Jíz. e .X, que
tem a circuitação no semi-plano inferior, vale o sinal negativo.
3) Resíduo nos pólos t (fea-ifc): Estes polos aparecem no cálculo das
integrais JT^ JTti X, e -tf*
Seja a função u
Res
Para Jí, e J^z que tem a circui"tação no semi-plano superior
vale o sinal negativo e para-Ni e Ji 1 com circuitação no semi-plano
inferior, vale o sinal positivo»
Assim, "mutatis mutandis" obtemos:
D-i
'V*Cálculos de: S^C^r, S^ly^V « ^,»^.S^
De acordo com o Apêndice II, podemos escrever:
P
P1 - VtV*onde:
«c Up?-O + <*m CcA-c*± ie)
. 4 ft(f-o 1
e P é o circuito de integração no plano c-complexo cortado como
já descrito anteriormente. Os polos de interesse nos integrandos
são:
c - te» t polos simples,
c - o , polo de 3* ordem
' c - t CCsi*ií)t polos simples.
Assim computando os resíduos, temos:
_ e
= o elcgU+O -Scu-c? e'VP
R>rtanto,
v
K (cX-cjtie) 2L c^-c^ J CcAtie)
K (ci-c£*
*l-o
D-2
E-i
Cáxculos de:ws.lv»í^».VvV)*;w%Mtí •
De acordo com o apêndice II, podemos escrever:
4<H>(c)dc
P
(Ode
onde:
f ( o . ocr^-if-l5S c Lipo'
it i c ) . ±*4 C
e P é o circuito de integração no plano c-complexo cortado.
Os pelos de interesse são:
C^ICR,, polos simples,
c = o , polos de 33 ordem,
c=±(c^.tv€) ,"polos simples.
Assim computando os resíduos, temos:
2 |Íõ
E-2
Q (c
o CC--O)w
3
= +C*) e l
p.r, J ( C í
U[ 2, (cj-cV J , - A : :
Portanto:
_((J>1 -1? -v 4 Di» p> ftJ (cA + Vc.;
( c i - câ+ ie i
Ul
-M'f
TC
F - l
Cálculo do J»
,+cO
* " 2 \-00
Defino:
tf =
ondt
1 f°-oo
- 1 ( Pie. » "
-co
+00doc.
-00 *
Caso z-z*>o ;
No piano OC-complexo:
r[ot-t][a-(-o][ot-
Oi . -^" 4
4 /• ioilcU-V) •
F-2
onde C*,CÍ (C7 - e C~ são contornos na integração no plano oc-com
plexo já definidos anteriormente, para o cálculo de 1*.
Desenvolvendo os resíduos nos polos correspodentes, ob-
temos finalmente que:
~v]r £w. c^vm
4(
!-«>
onde z-zf >O.
b) Caso z-z* <O : No plano OC -complexo:
' ' doe4t Tç* [0C-v'LX-C-i)][0^-
oce
cr
doc
F-3
Desenvolvendo os resíduos nos polos correspondentes, temos:
1" (44M&+i£) [ j
JSinteticamente, podemos escrever,para ambos os casos:
" L J ' ' L J í
Cálculos <te:
Pelo Apêndice II, temos:
ronde:
rT
U O . 1 r pf-n I pc Ijp» o*ir»p(p'-i)
Os polos de interesse são:
r polos simples,
C« O » Pol° <3e 3* ordem,
C»ttcAtt£)' P °l o s simples.
Calculando os resíduos, temos:
6-1
G-2
X U£-c
(C-O) _ | ^ct+C*-
<2K
1 flcrc4vtf^-c£ I^^Vl^
tie)
19
±
Assim, as integrais de contorno ficam:
*f1 #
(c\\ -
S..
^ A ,
lcittO
icAA +
^ 'SS 0CcA. t i f i )
B-l
BIBLIOGRAFIA te REFERÊNCIAS:
(1) - D.A. McQuarrie, "Statistical Thermodynamics11, Harper & Row,
N.Y., 1973.
(2) - R.K. Pathria, "Statistical Mechanics", Pergamon Press, 1972.
(3) - M. Dupuis, R. Mazo and L. Onsager, "The Jour. Chem. Phys.",33,1452-61(1960).
(4) - R. Stratton, "Phil. Mag.", 44,519-32,(1953)
-R.Stratton, "The Jour.Chem.Phys.", 27,2972-4,(1962).
(5) - M.G. Burt, "J.Phys.C: Solid State Phys.", £,855-67,(1973)»
(6) - H. Bzawa, "Annals of Physics", 62,438-60(1971).
(7) - D.K. Dacol, Tese de Mestrado,IFT, (1974)- D.K. Dacol and A.H. Zimerman, "Phys.Rev.", Bll.974-7(1975)
(•) vide também M. Born and K. Huang, "Dinamical Theory of Crist
Lattices", 391-5(1968), citado.