IF – 2018

MATEMÁTICA

MÓDULO II

OTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

POTENCIAÇÃO

Consideremos uma multiplicação em que todos os fatores são iguais

Exemplo

5x5x5, indicada por 5³

ou seja , 5³= 5x5x5=125

onde :

5 é a base (fator que se repete)

3 é o expoente ( o número de vezes que repetimos a base)

125 é a potência ( resultado da operação)

Outros exemplos :

a) 7²= 7x7=49

b) 4³= 4x4x4=64

c) 5 = 5x5x5x5=625

d) 2 = 2x2x2x2x2=32

O expoente 2 é chamado de quadrado

O expoente 3 é chamado de cubo

O expoente 4 é chamado de quarta potência.

O expoente 5 é chamado de quinta potência.

Assim:

a) 7² Lê-se: sete elevado ao quadrado

b) 4³ Lê-se: quatro elevado ao cubo

c) 5 Lê-se: cinco elevado a quarta potência

d) 2 Lê-se: dois elevado a quinta potência

Por convenção temos que:

1) todo o número elevado ao expoente 1 é igual à própria base,

exemplo

a) 8¹ = 8

b) 5¹ = 5

c) 15¹ = 15

2) todo o número elevado ao expoente zero é igual a 1

exemplo

a) 8º=1

b) 4º=1

c) 12º=1

EXERCÍCIOS

1) Em 7² = 49, responda:

a) Qual é a base?

b) Qual é o expoente?

c) Qual é a potência?

2) Escreva na forma de potência:

a) 4x4x4=

b) 5x5

c) 9x9x9x9x9=

d) 7x7x7x7

e) 2x2x2x2x2x2x2=

f) cxcxcxcxc=

3) Calcule a potência:

a) 3² =9

b) 8² =64

c) 2³= 8

d) 3³ = 27

e) 6³ = 216

f) 2 = 16

g) 3 = 81

h) 3 = 243

i) 1 = 1

j) 0 = 0

l) 1 = 1

m) 10² =100

n) 10³ =1000

o) 15² =225

p) 17² =289

q) 30² =900

4) Calcule as potências:

a)40² =1600

b)32² =1024

c)15³ = 3375

d) 30³= 27000

e) 11 =14641

f) 300² = 90000

g) 100³ = 1000000

h) 101² = 10201

5) Calcule as Potências:

a) 11² = 121b) 20² = 400

c) 17² =289

d) 0² = 0e) 0¹ = 0

f) 1⁶ = 1

g) 10³ = 1.000

h) 470¹ = 470

i) 11³ = 1331

j) 67⁰ =1

k) 1³⁰ = 1

l) 10⁵ = 100000

m) 1⁵ = 1

n) 15³ = 3375

o) 1² = 1

p) 1001⁰= 1

RADICIAÇÃO

Qual o número que elevado ao quadrado é igual a 9?

Solução

Sendo 3² = 9, podemos escrever que √9 = 3

Essa operação chama-se radiciação, que é a operação inversa da potenciação

Exemplos

Potenciação------------------------radiciação

a) 7² = 49 ---------------------------- √49= 7

b) 2³= 8 ------------------------------ ∛8 = 2

c) 3⁴= 81 ---------------------------- ∜81 = 3

O sinal √ chamamos de radical

O índice 2 significa : raiz quadrada

O índice 3 significa: raiz cúbica

O índice 4 significa: raiz quarta

assim:

√49= 7 lê-se: raiz quadrada de 49

∛8 = 2 lê-se : raiz cúbica de 8

∜81 = 3 lê-se: raiz quarta de 81

Nota:

Não é necessário o índice 2 no radical para a raiz quadrada

EXERCÍCIOS

1)Descubra o número que :

a) elevado ao quadrado dá 9

b) elevado ao quadrado dá 25

c) elevado ao quadrado dá 49

d) elevado ao cubo dá 8

2) Quanto vale x ?

a) x²= 9 (R:3)

b) x²= 25 (R:5)

c) x²= 49 (R:7)

d) x²= 81 (R:9)

3) Determine a Raiz quadrada:

a) √9 = 3b) √16 = 4

c) √25 = 5

d) √81 = 9

e) √0 = 0

f) √1 = 1

g) √64 = 8

h) √100 = 10

4) Resolva as expressões abaixo:

a) √16 + √36 = 4 + 6 = 10

b) √25 + √9 = 5 + 3 = 8

c) √49 - √4 = 7 - 2 = 5

d) √36- √1 = 6 - 1 = 5

e) √9 + √100 = 3 + 10 = 13

f) √4 x √9 = 2 x 3 = 6

PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO

Primeira propriedade

Multiplicação de potências de mesma base

Ao multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.

exemplos

3² x 3⁵ = 3²⁺⁵ = 3⁷

conclusão:

conservamos a base e somamos os expoentes.

EXERCÍCIOS

1) Reduza a uma só potência

a) 4³ x 4 ²= 4⁵

b) 7⁴ x 7⁵ = 7⁹

c) 2⁶ x 2²= 2⁸

d) 6³ x 6 = 6⁴

e) 3⁷ x 3² = 3⁹

f) 9³ x 9 = 9⁴

g) 5 x 5² = 5³

h) 7 x 7⁴ = 7⁵

i) 6 x 6 = 6²

j) 3 x 3 = 3²

l) 9² x 9⁴x 9 = 9⁷

m) 4 x 4² x 4 = 4⁴

n) 4 x 4 x 4= 4³

0) m⁰ x m x m³ = m⁴

p) 15 x 15³ x 15⁴x 15 = 15⁹

2) Reduza a uma só potência:

a) 7² x 7⁶ = 7⁸

b) 2² x 2⁴= 2⁶

c) 5 x 5³ = 5⁴

d) 8² x 8 = 8³

e) 3⁰ x 3⁰ = 3⁰

f) 4³ x 4 x 4² = 4⁶

g) a² x a² x a² = a⁶

h) m x m x m² = m⁴

i) x⁸ . x . x = x¹⁰

j) m . m . m = m³

Segunda Propriedade

Divisão de Potência de mesma base

Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes.

Exemplo

a) 8⁹: 8² = 8⁹⁻² = 8⁷

b) 5⁴ : 5 = 5⁴⁻¹ = 5³

conclusão : conservamos a base e subtraimos os expoentes

EXERCÍCIOS

1) Reduza a uma só potência

a) 5⁴ : 5² = 5²

b) 8⁷ : 8³ = 8⁴

c) 9⁵ : 9² = 9³

d) 4³ : 4² = 4¹

e) 9⁶ : 9³ = 9³

f) 9⁵ : 9 = 9⁴

g) 5⁴ : 5³ = 5¹

h) 6⁶ : 6 = 6⁷

i) a⁵ : a³ = a²

j) m² : m = m¹

k) x⁸ : x = x⁷

l) a⁷ : a⁶ = a¹

2) Reduza a uma só potência:

a) 2⁵ : 2³ =

b) 7⁸ : 7³=

c) 9⁴ : 9 =

d) 5⁹ : 5³ =

e) 8⁴ : 8⁰ =

f) 7⁰ : 7⁰ =

Teceira Propriedade

Potência de Potência

Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os

expoentes.

(7²)³ = 7²΄³ = 7⁶

conclusão: conservamos a base e multiplicamos os expoentes.

EXERCÍCIOS

1) Reduza a uma só potência:

a) (5⁴)²

b) (7²)⁴

c) (3²)⁵

d) (4³)²

e) (9⁴)⁴

f) (5²)⁷

g) (6³)⁵

h) (a²)³

i) (m³)⁴

j) (m³)⁴

k) (x⁵)²

l) (a³)⁰

m) (x⁵)⁰

2) Reduza a uma só potência:

a) (7²)³ =

b) (4⁴)⁵ =

c) (8³)⁵ =

d) (2⁷)³ =

e) (a²)³ =

f) (m³)⁴ =

g) (a⁴)⁴ =

h) (m²)⁷ =

EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM POTENCIAÇÃO

Para resolver uma expressão numérica, efetuamos as operações obedecendo à seguinte

ordem :

1°) Potenciação

2°) Multiplicações e divisões

3°) Adições e Subtrações

EXEMPLOS

1) 5 + 3² x 2 =

= 5 + 9 x 2 =

= 5 + 18 =

= 23

2) 7² - 4 x 2 + 3 =

= 49 – 8 + 3 =

= 41 + 3 =

= 44

Há expressões onde aparecem os sinais de associação e que devem ser eliminados

nesta ordem:

1°) parênteses ( )

2°) colchetes [ ]

3°) chaves { }

exemplos

1°) 40 – [5² + ( 2³ - 7 )] =

= 40 – [5² + ( 8 - 7 )]

= 40 – [25 + 1 ]=

= 40 – 26 =

= 14

2°) 50 –{ 15 + [ 4² : ( 10 – 2 ) + 5 x 2 ] } =

= 50 –{ 15 + [ 16 : 8 + 10 ]}=

= 50 – { 15 + [ 2 + 10 ] } =

= 50 – { 15 +12 } =

= 50 – 27 =

= 23

Exercícios

1) Calcule o valor das expressões:

a) 7² - 4 = (R:45)

b) 2³ + 10 = (R:18)

c) 5² - 6 = (R:19)

d) 4² + 7⁰= (R:17)e) 5⁰+ 5³= (R: 126)

f) 2³+ 2⁴ = (R: 24)

g) 10³ - 10² = (R: 900)

h) 80¹ + 1⁸⁰ = (R: 81)

i) 5² - 3² = (R: 16)

j) 1⁸⁰ + 0⁷⁰ = (R: 1)

2) Calcule

a) 3² + 5 = (R: 14)b) 3 + 5² = (R: 28)

c) 3² + 5² = (R: 34)

d) 5² - 3² = (R: 16)

e) 18 - 7⁰ = (R: 17)f) 5³ - 2² = (R: 121)

g) 10 + 10² = (R: 110)

h) 10³ - 10² = (R: 900)

i) 10³ - 1¹ = (R: 999)

3) Calcule o valor das expressões

a) 2³ x 5 + 3² = (R: 49)

b) 70⁰+ 0⁷⁰ - 1 = (R: 0 )

c) 3 x 7¹ - 4 x 5⁰ = (R: 17)

d) 3⁴- 2⁴: 8 – 3 x 4 = (R: 67)

e) 5² + 3 x 2 – 4 = (R: 27)

f) 5 x 2² + 3 – 8 = (R: 15)

g) 5² - 3 x 2² - 1 = (R: 12)

h) 16 : 2 – 1 + 7² = (R: 56)

4) calcule o valor das expressões:

a) 5² : ( 5 +1 -1)+ 4 x 2 = (R: 13)

b) (3 +1)² +2 x 5 - 10⁰ = (R: 25)

c) c) 3²: ( 4 – 1) + 3 x 2² = (R: 15)

d) 70 –[ 5 x (2² : 4) + 3²] = (R: 56)

e) ( 7 + 4) x ( 3² - 2³) = (R: 11)

f) 5² + 2³ - 2 x (3 + 9) = (R: 9)

g) 6² : 3² + 4 x 10 – 12 = (R: 32)

h) (7² - 1 ) : 3 + 2 x 5 = (R: 26)

5) calcule o valor das expressões:

a) 5 + 4²- 1 = (R: 20)

b) 3⁴ - 6 + 2³ = (R: 83)

c) 2⁵ - 3² + 1⁹ = (R: 24)

d) 10²- 3² + 5 = (R: 96)e) 11² - 3² + 5 = (R: 117)

f) 5 x 3² x 4 = (R: 180)

g) 5 x 2³ + 4² = (R: 56)

h) 5³ x 2² - 12 = (R: 488)

6) Calcule o valor das expressões:

a) ( 4 + 3)² - 1 = (R: 48)

b) ( 5 + 1 )² + 10 = (R: 46)

c) ( 9 – 7 )³ x 8 = (R: 64)

d) ( 7² - 5²) + ( 5² - 3 ) = (R: 46)

e) 6² : 2 - 1⁴ x 5 = (R: 13)

f) 3² x 2³ + 2² x 5² = (R: 172)

7) Calcule o valor das expressões:

a) 4²- 10 + (2³ - 5) = (R: 9)

b) 30 – (2 + 1)²+ 2³ = (R: 29)

c) 30 + [6² : ( 5 – 3) + 1 ] = (R: 49)

d) 20 – [6 – 4 x( 10 - 3²) + 1] = (R: 17)

e) 50 + [ 3³ : ( 1 + 2) + 4 x 3] = (R: 71)

f) 100 –[ 5² : (10 – 5 ) + 2⁴ x 1 ] = (R: 79)

g) [ 4² + ( 5 – 3)³] : ( 9 – 7)³ = (R: 3 )

h) 7²+ 2 x[(3 + 1)² - 4 x 1³] = (R: 73)

i) 25 + { 3³ : 9 +[ 3² x 5 – 3 x (2³- 5¹)]} = (R: 64)

8) Calcule as expressões:

a) ( 8 : 2) . 4 + {[(3² - 2³) . 2⁴ - 5⁰] . 4¹}= (R:76)

b) ( 3² - 2³) . 3³ - 2³ + 2² . 4² = ( R:83)

c) ( 2⁵ - 3³) . (2² - 2 ) = (R: 10)

d) [2 . (10 - 4² : 2) + 6²] : ( 2³ - 2²) = ( R:10)

e) (18 – 4 . 2) . 3 + 2⁴ . 3 - 3² . ( 5 – 2) = (R: 51)

f) 4² . [2⁴ : ( 10 – 2 + 8 ) ] + 2⁰ = (R: 17)

g) [( 4² + 2 . 3²) + ( 16 : 8)² - 35]² + 1¹⁰ - 10⁰ = (R : 9)

h) 13 + ( 10 – 8 + (7 – 4)) = (R: 18)

i) (10 . 4 + 18 – ( 2 . 3 +6)) = (R:46)

j) 7 . ( 74 – ( 4 + 7 . 10)) = (R: 0)

k) ( 19 : ( 5 + 3 . 8 – 10)) = (R : 1)

l) (( 2³ + 2⁴) . 3 -4) + 3² = (R: 77)

m) 3 + 2 . ((3²- 2⁰) + ( 5¹ - 2²)) + 1 = (R: 22)

Potências com expoente negativo Uma potência com expoente negativo é calculada utilizando-se o inverso da base e o oposto do expoente.

Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro em Potenciação1 Comentário

Você sabe qual é o resultado dessa potência? Aprenda a calcular essa e outras potências com expoente negativo!

Quando aprendemos a operar potências, a primeira e mais simples regra que dominamos

é que devemos sempre multiplicar a base por ela mesma quantas vezes indicar o expoente.

Por exemplo, se temos a potência 210, devemos multiplicar o 2 por 10 vezes da seguinte

forma:

210 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 1024

Mas e se o expoente for um número negativo? Como resolver a potência 2– 10? Vejamos

uma nova regra que ajudará na resolução de potências com expoente menor do que zero!

Dada uma potência x – y, com x e y reais, o seu resultado é igual ao inverso de xelevado a y.

Para compreender essa definição, precisamos primeiro compreender o que é o inverso de

um número. Dado um número qualquer, seu inverso é a fração cujo numerador é 1,e o

denominador é o próprio número. Por exemplo, o inverso de 5 é , e o inverso de 10 é

. Mas qual é o inverso de uma fração? A ideia é a mesma! Vejamos a fração ½:para

encontrar seu inverso, vamos colocá-la como denominador de uma fração em que o

numerador é 1 e fazer uma simples divisão de fração:

Agora se você quiser simplificar mais ainda o processo para encontrar o inverso de uma

fração, há uma dica infalível: basta inverter a fração, trocando o denominador de lugar com o numerador! Por exemplo, o inverso de 2/5 é 5/2, o inverso de 7/3 é 3/7 e o inverso

de 1/4 é 4/1, ou, simplesmente, 4.

Voltando para a pergunta do início do texto, vamos calcular o valor de 2– 10.

Vejamos alguns outros exemplos de potências com expoente negativo e observe como esse

assunto relaciona-se com a potenciação de números racionais:

1° Exemplo: 3 – 2

O inverso de 3 é 1/3. Logo, para calcular 3 – 2, faremos:

2° Exemplo: 10 – 1

O inverso de 10 é 1/10. Calculando 10 – 1, temos:

3° Exemplo: (3/4) – 3

O inverso de 3/4 é 4/3. Então (3/4) – 3 será dado da seguinte forma:

4° Exemplo: (– 2/3) – 4

O inverso de – 2/3 é – 3/2. Calculando (– 2/3) – 4, teremos:

Exercícios Sobre Expressões Numéricas Envolvendo

Potências

A resolução de exercícios sobre expressões numéricas

envolvendo potências é uma boa pedida para praticar todas as

propriedades operacionais de potenciação. Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro em Exercícios de Matemática0 Comentários

Questão 1

Utilizando as propriedades das potências, reduza a expressão a seguir a uma única

potência:

[52 . 55 . 1254 ]3 : [252 . 52 . 5]2

Questão 2

Utilizando as propriedades de potenciação e sabendo que a = 2, calcule o valor numérico

da expressão:

A = a² – (– a)³ + a¹ + (– a³)² a – 1 + (– a) 2 – a – 1

Questão 3

Utilize as propriedades da potenciação para encontrar o valor numérico de

[(100 – 26 . 4 – 3). 32]– 1 : (23 . 32)– 2

Questão 4

(UFMG) A expressão com a ≠ 0 é equivalente a:

a) 9√-a5

b) 9√ a5

c) -9√a-7

d) 9√ a7

e) 9√ a-7

Questão 5

(UEL) Se x e y são números reais, então:

a) (3x)y =

b) (2x.3y)2 = 22x.32y

c) (2x – 3x)y = 2xy.3xy = – 1xy

d) 5x + 3x = 8x

e) 3.2x = 6x

Questão 6

(UEL) Simplificando-se a expressão para n , obtém-se:

a) 1/6 b) 1/3 c) 6 . 3n – 1

d)1 – 31 – n

e) – 3n + 1 Respostas

Resposta Questão 1

Primeiramente, vamos escrever todos os termos da expressão como potências de

base 5. Sabemos que:

125 = 53

25 = 52

Então a expressão ficará:

[52 . 55 . (53)4 ]3 : [(52)2 . 52 . 51]2

Aplicando a propriedade de “potência de potência”, podemos eliminar os parênteses,

multiplicando os expoentes:

[52 . 55 . 512 ]3 : [54 . 52 . 51]2

Para multiplicar potências de mesma base, basta conservar a base e somar os expoentes:

[52 + 5 + 12 ]3 : [54 + 2 + 1]2

Aplicando novamente a propriedade de “potência de potência”, temos:

519.3 : 57.2

557 : 514

Resta apenas realizar o quociente. Como as bases são as mesmas, podemos conservá-las

e apenas subtrair os expoentes:

557 – 14

543

Portanto, a expressão [52 . 55 . 1254 ]3 : [252 . 52 . 5]2 equivale a 543. voltar a questão

Resposta Questão 2

Antes de substituir o valor de a, vamos aplicar a propriedade de “potência de potência” ao

último parêntese do numerador. Também podemos cancelar a-1com – a-1 no denominador

e ainda eliminar o primeiro parêntese do numerador:

A = a² + a³ + a¹ + a6 a2

Vamos agora realizar a divisão de cada elemento do numerador pelo denominador a², lembrando que, no quociente de potências de mesma base, conservamos a base e

subtraímos os expoentes:

A = a2 – 2 + a3 – 2 + a1 – 2 + a6 – 2

A = a0 + a1 + a–1 + a4

O que equivale a:

A = 1 + a + 1 + a4

a

Agora sim vamos substituir a por 2:

A = 1 + 2 + 1 + 24

2

A = 3 + 1 + 16

2

A = 1 + 19

2 A = 1 + 38

2

A = 39

2

Portanto, para a = 2, o valor numérico da expressão é 39/2. voltar a questão

Resposta Questão 3

Vamos começar a resolver essa expressão pelos parênteses que estão entre os colchetes.

Sabemos que qualquer número elevado ao expoente zero é sempre igual a 1 e que 4 = 2², logo, podemos reescrever a expressão da seguinte forma:

[(1 – 26 . (22) – 3) . 32]– 1 : (23 . 32)– 2

Aplicando a propriedade de “potência de potência”, podemos afirmar que (22) – 3 = 2– 6,

assim, teremos:

[(1 – 26 . 2 – 6) . 32]– 1 : (23 . 32)– 2

Temos destacado em vermelho a multiplicação de potências de mesma base. Operando-

as, conservaremos a base e somaremos os expoentes:

[(1 – 26 – 6) . 32]– 1 : (23 . 32)– 2

[(1 – 20) . 32]– 1 : (23 . 32)– 2

[(1 – 1) . 32]– 1 : (23 . 32)– 2

[(0) . 32]– 1 : (23 . 32)– 2

0 : (23 . 32)– 2

0

Portanto, o valor numérico de [(100 – 26 . 4 – 3). 32]– 1 : (23 . 32)– 2 é zero.

voltar a questão

Resposta Questão 4

Inicialmente, podemos remover os parênteses. No primeiro, aplicamos a propriedade de

“potência de potência”, isto é, multiplicamos o expoente interno pelo expoente que está

externo aos parênteses. No segundo parêntese, o sinal fica positivo e os elementos da

fração recebem o expoente 2. Logo:

Podemos ainda reescrever a última fração presente no numerador como uma potência de

base a e expoente – 2:

Sabendo que, no produto de potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se

os expoentes e que, no quociente de potências de mesma base, conservam-se as bases e

subtraem-se os expoentes, temos:

Vamos calcular como ficará o expoente do numerador da expressão:

– 1 + (– 2) – (– 2) = – 1 – 6 + 18 = 11 9 3 9 9

Essa expressão pode ser escrita como:

Aplicando novamente a propriedade do quociente de potências de mesma base, temos:

Sabendo que toda potência de expoente fracionário pode ser expressa como uma

radiciação, temos:

A alternativa correta é a letra c.

voltar a questão

Resposta Questão 5

Para encontrar a alternativa correta, vamos analisar cada um dos itens:

a) (3x)y =

Segundo a propriedade de “potência de potência”, devemos multiplicar o expoente que está

externo ao parêntese por aquele que está interno. Sendo assim, a alternativa

está incorreta, e o adequado seria (3x)y =3xy.

b) (2x.3y)2 = 22x.32y

Pela propriedade de “potência de potência”, podemos multiplicar o expoente externo aos

parênteses pelos expoentes internos. Logo, a alternativa está correta.

Continuaremos a analisar as demais afirmativas a fim de comprovar quais estão incorretas:

c) (2x – 3x)y = 2xy.3xy = – 1xy

Na primeira igualdade foi aplicada corretamente a propriedade de “potência de potência”,

entretanto, há um erro na segunda igualdade. Nesse caso, poderíamos multiplicar as

bases, mantendo o expoente, que é o mesmo. Isso equivale ao cálculo 2xy.3xy = (2.3)xy = 6xy.

d) 5x + 3x = 8x

Essa alternativa está incorreta porque não podemos somar bases distintas como foi feito.

Não há uma resolução para 5x + 3x.

e) 3.2x = 6x

Essa alternativa também está incorreta, pois o expoente x pertence apenas à base 2. Não

podemos estendê-lo ao produto 3.2.

Portanto, realmente, a única alternativa correta é a letra b.

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Resposta Questão 6

Primeiramente, vamos escrever toda a expressão como potências de base 3, o que

resultará em:

Sabendo que, no produto de potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se

os expoentes, temos:

Podemos agora aplicar a propriedade do quociente de potências de mesma base que nos

permite conservar a base e subtrair os expoentes, isto é:

3(3 – n) – (4 – n) = 33 – n – 4 + n = 3 – 1 = 1 3

Portanto, a alternativa correta é a letra b.

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Propriedades dos radicais As propriedades dos radicais permitem simplificar e resolver raízes de qualquer índice.

Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva em Potenciação1 Comentário

A radiciação é uma operação matemática que envolve um produto (multiplicação) cujos

fatores são todos iguais em seu fundamento, isto é, uma “potência”.

Nas potências, é dado um número chamado base, que é multiplicado por si

mesmo n vezes (n é o expoente). Na radiciação, é feito o contrário: é dada a potência a

fim de encontrar a base. Assim como todas as operações matemáticas, todo esse processo

obedece a algumas propriedades, conhecidas como propriedades dos radicais ou propriedades das raízes. Essas propriedades são utilizadas para simplificar e até mesmo para resolver raízes

de índices elevados ou que possuam resultado não exato. Contudo, antes de uma

exposição dessas propriedades, é bom relembrar o que é um radical e como encontrar seus

resultados.

O que é um radical?

Radical é o símbolo utilizado para identificar uma radiciação.

Definição da “raiz enésima de x”

Na imagem acima, n é o índice, x é o radicando e L é a raiz enésima. O símbolo “√” é

conhecido como radical e é utilizado para representar a operação matemática radiciação.

Nessa operação, o número L é obtido de acordo com o seguinte princípio: L é um número

que, multiplicado por si mesmo n vezes, tem x como resultado, ou seja, Ln = x. Dessa

maneira, a radiciação é o inverso da potenciação.

Uma vez definidas as raízes e de posse do conceito de radical, podemos dar início a

exposição das propriedades dos radicais

Propriedades dos radicais ou propriedades das raízes

1ª Propriedade

A raiz enésima de um número elevado a enésima potência é o próprio número. Em outras

palavras, essa propriedade trata das raízes em que o índice do radical é igual ao expoente

do radicando. Observe:

A raiz enésima de um número elevado a enésima potência

2ª Propriedade

O índice de uma raiz pode ser multiplicado (ou dividido) por um número real qualquer, desde

que o expoente do radicando também seja multiplicado (ou dividido) pelo mesmo número.

Matematicamente:

Multiplicação ou divisão do índice de um radical e do expoente do radicando pelo mesmo fator

3ª Propriedade

Essa propriedade trata das raízes em que o radicando é o produto entre dois números. Ela

pode ser interpretada da seguinte maneira: A raiz enésima do produto é igual ao produto

das raízes enésimas. Isso significa que:

A raiz do produto é igual ao produto das raízes

4ª Propriedade

Essa propriedade é idêntica à anterior, mas se aplica à divisão de dois números quaisquer.

Nesse caso, a raiz enésima da razão é igual à razão entre as raízes enésimas. Observe:

A raiz da razão é igual à razão das raízes

5ª Propriedade

Uma potência de uma raiz pode ser reescrita trazendo o expoente para o radicando.

Matematicamente esta propriedade é dada da seguinte maneira:

Propriedade envolvendo uma potência de algum radical

6ª Propriedade

Essa propriedade diz respeito às raízes de raízes. Considerando a raiz enésima da raiz

enésima de um número, é possível obter o seu resultado utilizando o seguinte:

Propriedade envolvendo uma raiz de algum radical

7ª Propriedade

Todo radical pode ser escrito na forma de potência com expoente fracionário. Observe:

Propriedade que relaciona raízes de potências a potências com expoentes fracionários.

Exemplos para estudar

Para os radicais de radicandos positivos valem as seguintes propriedades:

1º Propriedade:

1) √49 = √7² = 7

2) ³√125 = ³√5³ = 5

Exemplos

a) √3² =3

b) ³√5³ = 5

c) ⁴√10⁴ = 10

2º Propriedade:

1) √4.25 = √100 = 10

2) √4 . √25 = 2 . 5 = 10

Comparando 1 e 2, temos √4.25 = √4 . √25

Exemplos

a) √2.7 = √2 . √7

b) √8.x = √8 . √x

c) ³√5.a = ³√5 . ³√a

d) ⁴√5.7.9 = ⁴√5 . ⁴√7 . ⁴√9

EXERCÍCIOS

7) Aplique a 1º propriedade:

a) √8² =

b) ³√7³ =

c) ⁵√x⁵ =

d) √(7a)² =

e) ³√(5x)³ =

f) ⁴√(7x)⁴ =

g) √(a²m)² =

h) √(a + 3)² =

8) Aplique a 2º propriedade:

a) √5 .7 =

b) ³√2.8 =

c) ³√5X =

d) √10xy =

e) √5x²m =

3º) Propriedade

Exemplos

1) √4/25 = 2/5

2) √4/√25 = 2/5

Exercícios resolvidos

01. (UFCE) - Simplificar a expressão:

Solução:

Exercício simples que se baseia na decomposição em fatores primos de cada radicando e da utilização da propriedade P1, como você pode observar no detalhamento a seguir. Tenha em conta que na soma ou subtração de radicais, cada parcela deve ser considerada isoladamente para se obter o resultado de uma expressão. Ou seja, não se aplica que a soma de duas raízes de mesmo índice é igual a raiz da soma, como é o caso do produto, por

exemplo.

02. Calcular o quociente:

Solução:

Outro exercício de solução simples onde demonstro o uso das propriedades P1 e P3, e novamente, faço uso da decomposição em fatores primos dos radicandos:

03. Escrever em ordem de grandeza crescente os radicais:

Solução:

Para fazer a comparação entre os radicais devemos, inicialmente, reduzí-los ao mesmo índice. Isto é feito calculando o mínimo múltiplo comum (mmc) dos índices e, após, aplicando a propriedade P6. O mmc(2, 4, 3, 6) = 12 e reescrevendo os radicais (P6) vem:

Agora, basta considerar a ordem dos radicandos para estabelecer a ordem crescente dos radicais:

04. Efetuar

Solução:

Esboçada a seguir, onde utilizamos o fato de que o produto da soma pela diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo (produto notável – PN) e as propriedades da Radiciação indicadas:

05. Simplifique a expressão:

a) -0,1

b) -1,7

c) -17

d) 0,1

e) 1,7

a) 0,4

b) 2,5

c) a

d) 1,5

e) 1

09. Escreva simplificadamente:

a)

b)

c)

10) Calcule .

11) (F. C. Chagas-SP) O número √2352 corresponde a: a) 4 √7 . b) 4 √21 . c) 28 √3 . d) 28 √21 . e) 56 √3 . 12) (UFSC) O valor de x, que satisfaz a equação 22𝑥 + 1 – 3 . 2𝑥 + 2 = 32, é:

13) (Fuvest) é igual a:

14) (UFSC) Dê o somatório da(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

Gabarito:

06) A 07) B 08) B 09) a)

b) c)

10) 25 11) 49 12) 14) x = 3 15) E 16) 2 + 8 + 16 + 64 = 90

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE A RADICIAÇÃO A radiciação é a parte da matemática que estuda as raízes n-ésimas, ou seja, as raízes de índices 2, 3 4,… Confira nesta página alguns exercícios resolvidos sobre este importante conteúdo. Como a resolução de exercícios utiliza a definição e as propriedades da radiciação, sugerimos a leitura do conteúdo sobre o assunto. Bons estudos! Questão 1. Calcule o valor da expressão:

Resolução

Questão 2. Calcule o valor da expressão:

Resolução

Questão 3. Simplifique a expressão:

Resolução

Questão 4. Ache o resultado da expressão:

Resolução

GEOMETRIA

Ângulos Ângulos são duas semirretas que têm a mesma origem, no vértice, e são medidos em grau (º) ou em radiano (rad), de acordo com o Sistema Internacional.

Tipos de Ângulos Conforme as suas medidas, os ângulos são classificados em agudo, reto, obtuso e raso. Agudo O ângulo agudo mede menos do que 90º ( < 90º).

Reto O ângulo reto mede o mesmo que 90º ( = 90º).

Obtuso O ângulo obtuso mede mais do que 90º e menos do que 180º (90º > < 180º).

Raso O ângulo raso, também conhecido como meia volta, mede o mesmo que 180º ( = 180º).

Como Medir Para medir os ângulos, precisamos de um transferidor, um instrumento em círculo (360º) ou semicírculo

(180º) que é dividido em graus, e seguir os seguintes passos:

Colocar o centro da base do transferidor sobre o vértice do ângulo.

Colocar o ponto que indica 0º do transferidor em um dos lados do ângulo.

O outro lado do ângulo apontará para a sua medida.

O ângulo é a unidade de medida mais utilizada. Minuto e segundo são os seus múltiplos.

Importa referir que 360º equivalem a 2 π rad. Assim, 180º equivalem a π rad.

Ângulos Complementares Ângulos complementares são aqueles que juntos medem 90º.

30º + 60º = 90º, o que que dizer que os ângulos se complementam mutuamente, 30º complementa o ângulo de 60º e vice-versa.

Ângulos Suplementares Ângulos suplementares são aqueles que juntos medem 180º.

135º + 45º = 180º Isso quer dizer que o ângulo de 135º é o suplemento do ângulo que mede 45º. Ao mesmo tempo, o ângulo de 45º é o suplemento do ângulo que mede 135º.

Ângulos Adjacentes Os ângulos adjacentes, que são aqueles que não têm pontos comuns, podem ser complementares ou suplementares. A soma dos ângulos adjacentes complementares é 90º. A soma dos ângulos adjacentes suplementares é 180º. Compare a diferença entre ângulos adjacentes com outros ângulos que possuem pontos internos em comum.

AÔC e AÔB possuem pontos internos em comum. Logo, não são adjacentes.

AÔC e CÔB não possuem pontos internos em comum. Logo, são adjacentes complementares.

AÔB e AÔC não possuem pontos internos em comum. Logo, são adjacentes suplementares.

Ângulos Congruentes Ângulos congruentes são aqueles que têm a mesma medida.

Ângulos Consecutivos Ângulos consecutivos são aqueles que possuem em comum um lado e um vértice.

AÔC e CÔB têm em comum o vértice (O) e o lado (OC)

Ângulos Opostos pelo Vértice Ângulos opostos pelo vértice (OPV) são aqueles cujos lados se opõem aos lados de outro ângulo.

Bissetriz de um ângulo Observe a figura abaixo:

m (AÔC) = m (CÔB) = 20º

Verifique que a semirreta divide o ângulo AÔB em dois ângulos (AÔC e CÔB) congruentes.

Nesse caso, a semirreta é denominada bissetriz do ângulo AÔB.

Assim:

Bissetriz de um ângulo é a semirreta com origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.

Utilizando o compasso na construção da bissetriz de um ângulo

Determinação da bissetriz do ângulo AÔB

Centramos o compasso em O e com uma abertura determinamos os pontos C e D sobre as

semirretas , respectivamente.

Centramos o compasso em C e D e com uma abertura superior à metade da distância de C a D traçamos arcos que se cruzam em E.

Traçamos , determinando assim a bissetriz de AÔB.

1) Se um ângulo mede 85°45'54", qual é seu complemento?

2) Calcule o suplemento de 122°50'44".

3) Qual é o complemento do ângulo 79°40'?

4) Dois ângulos são adjacentes complementares. Sabendo que a medida do maior ângulo é de 48°, qual é a medida do menor ângulo?

5) Se um ângulo mede 35°, qual é seu suplemento?

6) Considere o ângulo AÔB. Sendo que a medida do seu suplemento é 101º, qual a medida do complemento desse ângulo?

7) Um ângulo mede 120°, qual a terça parte do suplemento desse ângulo?

8) Qual o complemento de 11°?

9) Se um ângulo mede 170°, qual é o complemento do suplemento desse ângulo?

10) Sabendo que o suplemento do ângulo AÔB é 91°, qual é a medida desse ângulo?

RESPOSTAS

1. 04º14'06" 2. Resposta correta: 57°09'16"

. 3. Qual é o complemento do ângulo 79°40'?

Resposta correta: 10°20' .

4. Dois ângulos são adjacentes complementares. Sabendo que a medida do maior ângulo é de 48°, qual é a medida do menor ângulo?

Resposta correta: 42°

5. Se um ângulo mede 35°, qual é seu suplemento?

Resposta correta: 48°20'

6. Considere o ângulo AÔB. Sendo que a medida do seu suplemento é 101º, qual a medida do complemento desse ângulo?

Resposta correta: 11°

7. Um ângulo mede 120°, qual a terça parte do suplemento desse ângulo?

Resposta correta: 20°

8. Qual o complemento de 11°?

Resposta correta: 79°

9. Se um ângulo mede 170°, qual é o complemento do suplemento desse ângulo?

Resposta correta: 80° 10. Sabendo que o suplemento do ângulo AÔB é 91°, qual é a medida desse ângulo?

Resposta correta: 89°