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Prof: Felipe C. V. dos Santos
Goiânia
04, 03 2016
Prof. M. Sc. Felipe Corrêa
15/04/2014
PONTIFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA
CURSOS DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
HIDROLOGIA APLICADA
• Motivação
• Definições
• Hipótese intrínseca
• Semivariogramas: cálculos e modelagem
• Validação dos modelos
• Métodos de estimativa espacial para confecção de
mapas
• RETICULAÇÃO
• TRIANGULAÇÃO
• INVERSO PONDERADO DA DISTANCIA
• MINIMA CURVATURA
• SUPERFICIE DE TENDENCIA
• KRIGAGEM
COMPARAÇÕES
A B
n 15251 15251
média 100,0 100,0
desvio padrão 20,0 20,0
mediana 100,35 100,92
Percentil 10 73,89 73,95
Percentil 90 125,61 124,72
De acordo com estas evidências os dois conjuntos da dados
são quase semelhantes
Comparação de seus respectivos gráficos de contornos.
• O conjunto A é mais acidentado que o conjunto de dados B.
• Não se pode afirmar que o conjunto de dados A é mais
variável do que o conjunto B, haja visto que os desvios
padrões dos dois conjuntos de dados foram iguais.
• O conjunto A muda mais rapidamente no espaço do o
conjunto B
O que é a geoestatística?
“Geoestatística: estudos de fenômenos que variam no
espaço e/ou no tempo” (DEUTCH, 2002)
“Geoestatística pode ser considerada como uma coleção de
técnicas numéricas, que lidam com a caracterização de
atributos espaciais, empregando primeiramente modelos
aleatórios de forma similar como as análises de séries
temporais que caracterizam os dados no tempo.” (OLEA,
1999)
“Geoestatística permite a descrição da continuidade espacial
de fenômenos naturais e fornece adaptações das técnicas
da regressão para o entendimento desta continuidade.”
(ISAAKS AND SRIVASTAVA, 1989)
Geoestatística é um conjunto de métodos úteis para a
compreensão e modelagem da variabilidade espacial inerente
em um processo de interesse. Embora ela tenha sua origem na
mineração, a geoestatística é uma parte básica de muitas
disciplinas científicas incluindo as ciências do solo, hidrologia
e engenharia ambiental. A parte central da geoestatística é a
idéia de que medidas mais próximas tendem a serem mais
parecidas do que valores observados em locais distantes.
A geoestatística fornece métodos para quantificar esta
correlação espacial e incorporá-la na estimação e na
inferência (GOTWAY, C.A.; HARTFORD, A.H. 1996.
Geostatistical methods for incorporating auxiliary information in
the prediction of spatial variables. J. Agric., Biol. Environ.
Statis., 1: 17-39.).
Definições
Geoestatística – sub-área da Estatística espacial
• Grade quadrada
• Grade quadrada com ilhas
• Em círculos concêntricos
• Grade trapezoidal
• Ao acaso
0 10 20 30 40 50
Direção, X
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
Direção, Y
AMOSTRAGEM EM GRID QUADRADO 5m
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Distância X, metros
0
10
20
30
40
50
60
Dis
tânc
ia Y
, met
ros
0 20 40 60 80
0
50
100
150
200
250
Esquema - PVa - abrupto 393 amostras
10 20 30 40 50 60 70 80 90
10
20
30
40
50
60
70
80
90
HIPOTESE BASICA
Dados vizinhos são mais parecidos que dados distantes.
SEMIVARIOGRAMA
“medidor” do grau de semelhança entre vizinhos
Amostras são:
• Pontos de uma função contínua
• Relacionadas com seus vizinhos
• Semelhança entre vizinhos diminui
com a separação
• Depende da escala
0
2
4
6
8
10
12
0 50 100 150 200
Distância
Se
miv
ari
ân
cia
ic a
Dados
Modelo
Distância Dados Modelo
0 3.00
5 3.80 3.70
10 4.77 4.39
15 5.26 5.07
20 5.00 5.73
25 6.89 6.37
30 6.32 6.98
35 7.70 7.54
40 7.52 8.07
45 8.44 8.54
50 8.85 8.96
55 8.90 9.32
60 9.76 9.61
65 9.68 9.82
70 9.80 9.95
75 10.42 10.00
80 9.91 10.00
85 9.72 10.00
90 9.91 10.00
95 10.00 10.00
100 9.70 10.00
105 9.44 10.00
110 10.64 10.00
115 10.30 10.00
120 10.26 10.00
125 10.04 10.00
130 10.36 10.00
135 9.24 10.00
140 9.88 10.00
145 9.70 10.00
150 10.27 10.00
155 9.10 10.00
160 9.97 10.00
165 9.85 10.00
170 9.09 10.00
175 9.44 10.00
180 9.72 10.00
185 9.90 10.00
190 9.56 10.00
195 10.43 10.00
CARACTERÍSTICAS DO SEMIVARIOGRAMA
Modelos ajustados ao semivariograma,
usam C0, C1 e a como parâmetros.
• Esférico
• Exponencial
• Gaussiano
ANISOTROPIAO que é?Variabilidade diferente em direções
diferentes. O contrário seriaisotropia.
Como se analisa?Calcula-se semivariogramas direcionais para 0, 45, -45 e 90 graus.
Examina-se o gráfico destessemivariogramas todos juntos
.
ANISOTROPIA
Resultado pode contribuir parajulgamento de jack knifing.
Anisotropia pode revelar:• Efeito pepita diferentes;• Alcances diferentes;• Patamares diferentes;
0
5
10
15
20
25
0 20 40 60 80 100
Se
miv
ari
ân
cia
Distância, metros
0 90 45 -45
Topografia (cm) Wang
0 10 20 30 40 50 60 70
Topografia Wang Ottawa, Canada
0
20
40
60
80
100
120
140
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Distância, m
Se
miv
ari
ân
cia
Cotas_OriginalEstimadoCotas_Resíduos
a0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 20 40 60 80
Distance, meters
Se
miv
ari
ân
cia
ac
i
Elevation
Sph(1,39,16)
-40 -30 -20 -10 0 10 20
Topografia (Resíduos) Wang, Ottawa
Topografia (cm) Wang
0 10 20 30 40 50 60 70
• Para se saber se as hipóteses de estacionaridadeestão corretas, se o modelo ajustado está bom, e qual a vizinhança ideal para fazer uma estimativa deve-se usar o jack knifing.
• Para tanto, elimina-se cada um dos valores medidos sussessivamente estimando-o usando o semivariogramaajustado e uma vizinhança (número de vizinhos) escolhida.
• No final deste processo, tem-se um conjunto de N valores medidos, Z(xi), N valores estimados, Z*(xi), e N variâncias da estimativa, 2(xi).
• Com estes números, pode-se fazer um estudo de erros os quais TEM QUE NECESSARIAMENTE estar dentro de alguns padrões estatísticos
3. IJK – Indice de jack knifing
IJK=3-(b+r2+média+variância)
Valor ideal = 0 (zero)
4. RMSE (Raiz Quadrada do Erro Médio):
RMSE= 1/NS*RAIZ{SOMA[Z(xi)-Z*(xi)]
2}
onde NS é o número de semivariânciascalculadas.
Valor ideal = 0 (zero)
-3.50E-02
-3.00E-02
-2.50E-02
-2.00E-02
-1.50E-02
-1.00E-02
-5.00E-03
0.00E+00
0 10 20 30 40 50
Co
ef.
Lin
ear
Exponencial
Gaussiano
Esferico
0.38
0.385
0.39
0.395
0.4
0.405
0.41
0.415
0.42
0.425
0 10 20 30 40 50
coe
fici
en
te a
ngu
lar
Exponencial
Gaussiano
Esferico
0.605
0.61
0.615
0.62
0.625
0.63
0 10 20 30 40 50
corr
ela
ção Exponencial
Gaussiano
Esferico
-8.00E-03
-7.00E-03
-6.00E-03
-5.00E-03
-4.00E-03
-3.00E-03
-2.00E-03
-1.00E-03
0.00E+00
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Mé
dia
do
s e
rro
s
Exponencial
Gaussiano
Esferico
0.92
0.94
0.96
0.98
1
1.02
1.04
1.06
1.08
1.1
1.12
0 10 20 30 40 50
Var
iân
cia
do
s e
rro
s
Exponencial
Gaussiano
Esferico
-1.06
-1.04
-1.02
-1
-0.98
-0.96
-0.94
-0.92
-0.9
-0.88
-0.86
0 10 20 30 40 50
IJK
Exponencial
Gaussiano
Esferico
2.42
2.43
2.44
2.45
2.46
2.47
2.48
2.49
0 10 20 30 40 50
RM
E
Exponencial
Gaussiano
Esferico
-40 -30 -20 -10 0 10 20
Topografia (Resíduos) Wang, Ottawa
• Conecta os pontos amostrados através de triângulos e interpola
os valores entre eles
A idéia marcante da geoestatística é bem simples. Ela consiste
nos seguintes passos:
1º Passo - defina uma área/local A, considerada homogênea o
suficiente para a garantir a interpolação dentro dela, ou seja,
Área A
AxhxZExZE )()(
)(xZ
)( hxZ
2º Passo - examine todos os dados medidos dentro de A para calcular as
características-h da variabilidade espacial, isto é, calcule os valores do
variograma experimental.
)(
)(),( )()()(
)(ˆhN
1i
2
iiAhxZxZ hxzxzhN2
1h
ii
3º Passo - Modele o semivariograma experimental com uma função avaliável para
todos os vetores de distância h.
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
14
28
42
56
Malha amostral georeferênciada Modelagem do semivariograma
Estimação nos pontos não
amostrados
Mapa de isolinhas
Resumidamente: Passos da modelagem da variabilidade
espacial
0.000
31.852
63.704
95.557
127.409
0.00 450.00 900.00 1350.00 1800.00
Se
miv
ari
ância
Distância de Separação (m)
Cr
)(
1
2)()(
)(2
1)(ˆ
hN
i
ii hxZxZhN
h
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
14
28
42
56
