gerador de função quadrada e triangular

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1 INTRODUÇÃO A implementação dos amplificadores operacionais proporcionou um amplo desenvolvimento da eletrônica analógica, criando um universo repleto de novos projetos e produtos. Atualmente, os amplificadores operacionais se encontram em centenas de projetos nas mais diversas áreas, desde a eletrônica industrial de alta performance, na instrumentação biomédica, em telecomunicações e em outras incontáveis áreas da Engenharia Elétrica. Estes dispositivos mostram-se, portanto, essenciais em várias áreas de atuação e devido a sua importância, faz-se necessário conhece-lo um pouco mais, mesmo que seja em um projeto simples e de fácil desenvolvimento, como o de um pequeno gerador de funções. Aplicar bem os conhecimentos adquiridos sobre os amplificadores em um projeto como este, não apenas revela-se desafiador como também fundamental para o crescimento de um bom engenheiro eletricista, visto que a aplicação desses dispositivos encontram-se solidamente difundidos em todo o mundo. 1.1 OBJETIVOS O objetivo deste projeto é o desenvolvimento e implementação de um gerador de funções a partir da utilização de amplificadores operacionais, mediante a análise computacional do circuito desenvolvido. 1

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Projeto de desenvolvimento de um gerador de função quadrada e triangular a partir da frequência da rede (220VAC-60Hz), por meio de amplificadores operacionais.

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Page 1: Gerador de Função Quadrada e Triangular

1 INTRODUÇÃO

A implementação dos amplificadores operacionais proporcionou

um amplo desenvolvimento da eletrônica analógica, criando um

universo repleto de novos projetos e produtos. Atualmente, os

amplificadores operacionais se encontram em centenas de projetos nas

mais diversas áreas, desde a eletrônica industrial de alta performance,

na instrumentação biomédica, em telecomunicações e em outras

incontáveis áreas da Engenharia Elétrica.

Estes dispositivos mostram-se, portanto, essenciais em várias

áreas de atuação e devido a sua importância, faz-se necessário

conhece-lo um pouco mais, mesmo que seja em um projeto simples e

de fácil desenvolvimento, como o de um pequeno gerador de funções.

Aplicar bem os conhecimentos adquiridos sobre os amplificadores

em um projeto como este, não apenas revela-se desafiador como

também fundamental para o crescimento de um bom engenheiro

eletricista, visto que a aplicação desses dispositivos encontram-se

solidamente difundidos em todo o mundo.

1.1OBJETIVOS

O objetivo deste projeto é o desenvolvimento e implementação de

um gerador de funções a partir da utilização de amplificadores

operacionais, mediante a análise computacional do circuito

desenvolvido.

Utilizamos dois softwares para a análise e estudo do

comportamento do circuito construído, sendo um simulador de circuitos,

Multisim® e um sistema algébrico computacional, MATLAB®.

Além disso, foram utilizadas medições de tensão e corrente,

visando manter a estabilidade e integridade do circuito, bem como do

produto final a ser desenvolvido, garantindo segurança e eficiência.

1.2METODOLOGIA

1

Page 2: Gerador de Função Quadrada e Triangular

Para a realização deste trabalho foram realizadas as seguintes

atividades:

Consulta às referências bibliográficas sobre amplificadores

operacionais e circuitos eletrônicos de geradores de funções;

Realização de simulações no software Multisim®, para análise e

identificação dos parâmetros elétricos de tensão e corrente a

serem adotados no projeto;

Implementações via MATLAB® das funções de transferência,

análise senoidal e diagramas de Bode e potência dissipada;

Realização do experimento para desenvolvimento do gerador de

função, utilizando todos os materiais selecionados.

1.3MATERIAIS UTILIZADOS

Para o desenvolvimento deste projeto, foram utilizados os seguintes

materiais:

01 (um) transformador com derivação central de 6+6V;

03 (três) amplificadores operacionais 741;

01 (um) capacitor cerâmico de 100nF;

Resistores de 3kΩ, 39kΩ, 330kΩ e 100kΩ;

Pilhas de 1.5V e baterias de 9V.

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Os geradores de funções são aparelhos eletrônicos utilizados para

gerar sinais elétricos com formas de onda específicas, em frequências e

amplitudes diversas. Sua utilização ocorre sobretudo em laboratórios de

eletrônica como fonte de sinal para teste de diversos aparelhos e

equipamentos eletrônicos.

Sua importância é indispensável e pensando nisso, decidiu-se criar

um gerador de funções “caseiro”, que tivesse como princípio a

utilização de componentes e dispositivos utilizados em Circuitos

2

Page 3: Gerador de Função Quadrada e Triangular

Elétricos II. Deu-se assim, a criação deste produto, utilizando os

amplificadores operacionais como fundamento.

Priorizando o baixo custo e o bom desempenho em baixas

frequências, utilizou-se os amplificadores operacionais do tipo 741, um

dos primeiros a serem desenvolvidos e um dos mais utilizados em

diversos projetos de eletrônica.

2.1 GERADOR DE FUNÇÕES

O gerador de sinais, ou gerador de funções, é um aparelho que

gera tensões variáveis como funções do tempo. As tensões geradas são

periódicas, de período T (dado em segundos), frequência f (dada em Hz)

e amplitude V0, assemelhando-se a uma onda. É por esse motivo que

cada função de tensão gerada é denominada de forma de onda.

São três as principais formas de onda geradas: quadrada, senoidal

e triangular. A tensão gerada pode ter valores positivos ou negativos

em relação a uma referência que é denominada de GND ou terra. A

amplitude V0 da forma de onda corresponde ao valor máximo, em

módulo, da voltagem gerada em relação à referência (terra).

Seu uso é muito ligado à utilização do osciloscópio, com o qual se

pode verificar as suas formas de onda e seu funcionamento é baseado

em circuitos eletrônicos osciladores, filtros e amplificadores.

2.2 AMPLIFICADORES OPERACIONAIS

Aproximadamente 1/3 dos CI’s lineares são Amplificadores

Operacionais (amp op). Isso decorre da necessidade de se ter um

circuito amplificador de fácil construção e controle, e de boa qualidade.

Além disso, trabalham com tensão contínua tão bem como com tensão

alternada.

As suas principais características são: alta impedância de entrada,

baixa impedância de saída, alto ganho e possibilidade de operar como

amplificador diferencial.

3

Page 4: Gerador de Função Quadrada e Triangular

Um amplificador analógico é sempre representado como um

triângulo em que um dos vértices é a saída. O gráfico mostra o

diagrama esquemático de um Amplificador Operacional com seu modelo

mais usual.

Na simbologia do amp op, temos as tensões de alimentação +VCC

e –VCC, em geral tensões a nível DC e a tensão de saída VO, limitada

pelas tensões de alimentação (neste caso, VO ∈ [-VCC, +VCC]).

Os amplificadores operacionais amplificam a diferença de tensão

aplicada nas entradas V+ e V-, ou seja, VO=A(V+-V-) onde A representa o

ganho de tensão do amplificador.

Figura 1: símbolo de um Amp op

2.2.1 Características dos Amp Ops

A) Ganho A: ideal infinita. Na prática, são usados valores na

ordem dos 200000.

B) Impedância de entrada: ideal infinita. Na prática, valores são

possíveis valores na ordem dos 10 MΩ (significa que o

amplificador não consome corrente pelas entradas).

C) Impedância de saída: ideal nula. Na prática, são usados

valores na ordem dos 75 Ω, o que significa uma ausência de

queda de tensão interna na saída.

D) Resposta de frequência: ideal de 0 ao infinito. Na prática

escolhem-se tipos com resposta bastante acima da frequência

na qual irão operar para dar uma aproximação do ideal.

4

Page 5: Gerador de Função Quadrada e Triangular

E) Relação de rejeição em modo comum: este parâmetro

provavelmente é mais conhecido pela sigla inglesa CMRR

(common mode rejection ratio). Um amplificador operacional

ideal tem saída nula se as entradas são iguais. Nos circuitos

práticos, há sempre uma pequena saída com as entradas

iguais, condição esta chamada de modo comum. A condição

usual, isto é, com tensões de entrada diferentes, é chamada

modo diferencial. E o parâmetro é dado pela relação, expressa

em decibéis, dos ganhos em ambas condições

CMRR=20 log( ganho mododiferencialganhomodo comum ). Um circuito ideal teria CMRR

infinito.

2.2.2 Modos de Operação

A) Sem Realimentação: este modo é também denominado

operação em malha aberta e o ganho do amp op é estipulado pelo

próprio fabricante, ou seja, não se tem controle sobre o mesmo.

Esse tipo de operação é muito útil quando se utiliza circuitos

comparadores.

Figura 2: operação sem realimentação

B) Realimentação Positiva: é denominada operação em malha

fechada. Apresenta como inconveniente o fator de conduzir o

circuito à instabilidade. Uma aplicação prática da realimentação

positiva está nos circuitos oscilados.

5

Page 6: Gerador de Função Quadrada e Triangular

Figura 3: operação com realimentação positiva

C) Realimentação Negativa: é o modo de operação mais

importante em circuitos com amp op, também é um modo de

operação em malha fechada, porém com resposta linear e ganho

controlado.

Figura 4: operação com realimentação negativa

2.2.3 Comparador de Tensão

São circuitos que utilizam amp op em malha aberta, sem

realimentação, ou seja, com Av→∞. O valor de Vo é determinado apelas

pela alimentação do dispositivo.

Circuitos comparadores farão a comparação entre dois sinais

distintos ou entre um sinal distinto e um de referência (V R). Se a

diferença entre os sinais for positiva (V +¿−V−¿>0¿ ¿), o dispositivo ficará

saturado e forçará uma saída V o→V +¿¿, caso ocorra o inverso, devida a

mesma saturação, só que em sentido inverso, a saída será V o→V−¿¿,

onde V ± são os valores da alimentação do amp op.

Neste projeto, utilizamos um comparador não inversor com V R

nula, cujo funcionamento é dado por:

¿

6

Page 7: Gerador de Função Quadrada e Triangular

Figura 5: comparador não inversor Figura 6: função de transferência do comparador não inversor

2.2.4 Circuito Seguidor Unitário (buffer)

O seguidor unitário fornece um ganho unitário sem inversão de

polaridade ou fase. Portanto, a saída possui a mesma amplitude,

polaridade e fase da entrada.

O circuito atua como isolador (buffer) de estágio, reforçador de

correntes e casador de impedâncias.

V o=V i

Figura 7: seguidor unitário (buffer)

2.2.5 Circuito Amplificador Inversor Generalizado

O circuito da figura 8 constitui uma generalização de circuitos

amplificadores com realimentação negativa, onde os componentes

como resistores, capacitores e mais raramente indutores, são

substituídos por impedâncias, Z1 e Z2.

7

Page 8: Gerador de Função Quadrada e Triangular

Figura 8: circuito amplificador inversor generalizado

O circuito pode ser analisado pelo método de análise das tensões

de nó, obtendo a seguinte configuração:

V i

Z1+V o

Z2=0⇒V o=

−Z2Z1

V i

Pode-se escrever, portanto, que o ganho em termos da

impedância para o caso generalizado é:

G=−Z2Z1

2.2.6 Circuito Amplificador Integrador (Integrador Miller)

O integrador é um circuito que executa a operação de integração,

que é semelhante à de soma, uma vez que constitui uma soma da área

sob a forma de onda ou curva em um período de tempo.

Se uma tensão fixa for aplicada como entrada para um circuito

integrador, a tensão de saída cresce sobre um período de tempo,

fornecendo uma tensão em forma de rampa.

Figura 9: circuito integrador de Miller

A equação característica do integrador mostra que a rampa de

tensão de saída (para uma tensão de entrada fixa) é oposta em

polaridade à tensão de entrada e é multiplicada pelo fator 1/RC.

8

Z2

Z1

Page 9: Gerador de Função Quadrada e Triangular

V o=V o (0 )− 1RC

∫0

t

V i ( t )dt

Como consideramos que o capacitor estará sempre descarregado,

temos assim que V o (0 )=0V .

Da expressão para o ganho, no circuito amplificador generalizado,

temos que o ganho do integrador Miller é:

G¿− 1jωRC

⇒G= 1ωRC

O ganho é inversamente proporcional à frequência, de modo que

este tende a infinito quando utilizamos frequências tendendo a zero.

Uma forma de estabilizar o ganho em baixas frequências é empregar o

circuito da figura 10:

Figura 10: circuito integrador prático

Para essa nova configuração, temos o ganho:

G¿−R2/R11+ jωR2C

⇒G=−R2/R1

√1+(ωR2C )2

Desta forma, em altas frequências o circuito funciona como

integrador e em baixas frequências, como amplificador inversor. O

ganho se estabiliza no valor −R2/R1 quando a frequência é nula.

Define-se frequência de corte como uma frequência limite, abaixo

da qual o circuito se comporta como um amplificador inversor de ganho

−R2/R1 e acima da qual se tem um integrador. Essa frequência é dada

por:

ωc=1R2C

Nesta frequência, o ganho é:

9

Page 10: Gerador de Função Quadrada e Triangular

G (ωc)=¿√2

Onde o ganho máximo é:

GMAX=R2R1

Pode-se verificar a variação de G em função de ω na figura 11:

Figura 11: variação do ganho em função da frequência para o integrador

Com base no livro do Antonio Pertence Jr [5], define-se as

seguintes condições de projeto T ≤R2C

10 e R2≅ 10 R1, onde T é o período do

sinal de entrada V i.

2.2.7 Filtro Ativo Passa-Baixas

Os filtros ativos de primeira ordem, possuem a mesma

característica do circuito amplificador inversor generalizado e a escolha

dos componentes Z1 e Z2 é que determinará que tipo de filtro o amp op

será.

A função de transferência desse circuito é:

H (s )=−Z2Z1

Para a configuração do circuito integrador prático, temos um filtro

ativo passa-baixas, cuja função de transferência é:

H (s )=−R2R1

1/(R2C)s+1/(R2C)

Considerando o ganho máximo e a frequência de corte das

análises anteriores, temos que, G=R2/R1 e ωc=1/(R2C). Assim, a função

de transferência é:

10

Page 11: Gerador de Função Quadrada e Triangular

H (s )=−Gωcs+ωc

Com isso, temos que o ganho pode ser maior que 1, sendo este

determinado de modo independente em relação à frequência de corte, o

que garante maior estabilidade e proteção ao circuito.

3 SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL VIA MULTISIM®

Na simulação computacional, utilizou-se o simulador de circuitos

Multisim® para a análise prévia de como o layout do nosso projeto se

comportaria.

Figura 12: esquemático do gerador de ondas

Este circuito foi dividido em três estágios, para melhor

compreensão e interpretação dos seus resultados. Cada estágio

representa um princípio de funcionamento do circuito.

O ESTÁGIO 1, refere-se ao circuito comparador, gerador da onda

quadrada simétrica, com amplitude aproximada de 6V, o ESTÁGIO 2

representa um sistema de acoplamento entre amplificadores

operacionais e o ESTÁGIO 3 integra a minha onda quadrada, criando

uma onda triangular.

11

Page 12: Gerador de Função Quadrada e Triangular

3.1 ESTÁGIO 1: ONDA QUADRADA

Figura 13: circuito comparador usado no ESTÁGIO 1

Como foi visto anteriormente, o circuito amplificador comparador

gera um sinal com dois níveis simétricos, formando um pulso

retangular, com período dado por T ≅ 16.6ms. Pode-se ver este resultado

na simulação:

Figura 14: onda quadrada de período 16.6ms

12

Page 13: Gerador de Função Quadrada e Triangular

3.2 ESTÁGIO 2: ACOPLAMENTO

Figura 15: buffer acoplando o ESTÁGIO 1 ao ESTÁGIO 2

Como o buffer ou seguidor de tensão é um amplificador de ganho

unitário, não fornece ganho de tensão, porém o amp op pode fornecer

corrente infinitamente (dentro de suas limitações), já que possui

impedância de saída nula. Isso pode ocasionar ganho de potência na

carga alimentada pelo buffer.

Por isso, buffers são usados à exaustão em circuitos eletrônicos

diversos, como uma maneira simples e barata de garantir um perfeito

acoplamento de impedâncias e ganho de potência estável (já que amp

op têm geralmente uma boa resposta em frequência).

3.3 ESTÁGIO 3: ONDA TRIANGULAR

Figura 16: circuito integrador prático ou filtro ativo passa-baixas do ESTÁGIO 3

Inicialmente consideramos a amplitude de 6V e o período de

16.6ms. Como desejamos uma rampa que acompanhe o crescimento do

13

+6V

Page 14: Gerador de Função Quadrada e Triangular

pulso, calculamos a inclinação da reta em meio período, através de uma

simples relação geométrica:

∅= 2∗6V8.3×10−3 s

≅ 1445V / s

Figura 17: esquema de análise para a amplitude da onda triangular

Se integrarmos apenas meio período, ou seja, para 0≤ t ≤8.3×10−3,

teremos a seguinte relação, dada pelo integrador de Miller

convencional:

V o=−1R1C

∫0

t

6∗(u ( t )−u (t−8.6×10−3 ))dt⇒V o=−6R1C

t

A segunda metade do pulso, que é negativa, terá resultado

idêntico porém com V o positiva. Para obter a inclinação de uma rampa

que tenha amplitude de 6V e duração de 8.3×10−3 s, deve-se ter o

coeficiente angular da reta V o igual ao da rampa desejada:

6R1C

=∅⇒R1=6

1445∗C

Devido à dificuldade de se obter valores específicos de

capacitância comerciais, fixamos este valor em 100nF, portanto temos

uma resistência de aproximadamente 41522Ω. Para valores práticos

comerciais, escolheu-se o valor de 42kΩ ou seja, um resistor de 39kΩ e

um de 3kΩ em série, com variação de 5% cada.

Assim como já foi referenciado, escolhemos o valor de R2 como

sendo pelo menos 10 vezes maior que a resistência de R1, portanto:

R1=42kΩ e R2=430kΩ

14

-6V

8.3ms

Page 15: Gerador de Função Quadrada e Triangular

Para a segunda resistência, criamos um circuito resistivo em série

com um resistor de 330k Ω e um de 100k Ω, devido à falta de

componentes.

Analisando o ESTÁGIO 3, obtivemos a seguinte forma de onda

(canal B), para uma excitação de entrada de 6V de amplitude e período

de 16.6ms (canal A):

Figura 18: forma de onda à passagem pelo integrador prático

Torna-se visível, portanto, que o objetivo de gerar uma onda

quadrada e triangular foi alcançado com sucesso, de acordo com os

parâmetros adotados. Todavia, a análise em regime permanente

senoidal ainda se faz necessária para a montagem efetiva do circuito.

4 ANÁLISE COMPUTACIONAL NO REGIME PERMANENTE

SENOIDAL

Para a análise no regime permanente senoidal, utilizou-se um dos

sistemas algébricos computacionais mais completos da atualidade, o

MATLAB®.

Inicialmente optou-se por garantir a integridade das variáveis

utilizadas, bem como a clareza e organização da área de trabalho do

MATLAB®, fazendo as seguintes atribuições:

clear all

15

Canal A

Canal B

Page 16: Gerador de Função Quadrada e Triangular

clcTais linhas de código permitem a limpeza de todas as variáveis e

a limpeza da área de trabalho, respectivamente nessa ordem. O passo

seguinte foi considerar todos os parâmetros já definidos, como

resistências e capacitância, associando-lhes a variáveis com valores

definidos.

R1=41e3;R2=410e3;C=100e-9;

De posse das equações de frequência de corte, definiu-se o limite

para o qual o integrador prático funcionaria realmente como um

integrador e para qual faixa de valores ele funcionaria como um

amplificador inversor.

wc=1/(R2*C);

Verificou-se portanto, que para as variáveis definidas, o ESTÁGIO

3 irá funcionar como integrador, para valores de frequência maiores que

24 rad /s.>> wc

wc =

24.3902

Considerando que a frequência utilizada é a mesma da rede

elétrica, ou seja 60 Hz, temos portanto que a frequência angular de

operação do gerador de funções estaria aproximadamente em 377 rad / s,

ou seja algo em torno de 15 vezes maior que a frequência de corte do

ESTÁGIO 3.

>> 2*pi*60

ans =

376.9911

Assim, pode-se considerar que o integrador funcionará

adequadamente para o qual ele foi projetado.

Com a frequência de corte definida, é importante saber qual será

o ganho nesta frequência. Contudo, visando facilitar a análise

computacional, definiu-se o conceito de ganho máximo, já discutido na

fundamentação teórica.

G=R2/R1; %Ganho MáximoGc=G/sqrt(2);>> G

G =

16

Page 17: Gerador de Função Quadrada e Triangular

10

>> Gc

Gc =

7.0711

Para a frequência de corte, teremos um ganho de 7.07 e para o

ganho total, 10. Como o ganho é adimensional, não possui unidades.

De posse da função de transferência do ESTÁGIO 3, foi possível

então identificar o diagrama de Bode do integrador. Utilizou-se a função

BODE(SYS) para tal análise.

H (s )=−Gωcs+ωc

Para isso, criou-se dois vetores, um para o numerador (vetor n) e

outro para o denominador (vetor d). O vetor deve ser criado seguindo o

seguinte modelo:

[sn sn-1 ... s2 s1 s0]

d=[0 -G*wc];n=[1 wc];bode(d,n)

Obtemos assim, o diagrama de Bode do ESTÁGIO 3:

Figura 19: diagrama de Bode do ESTÁGIO 3

17

Page 18: Gerador de Função Quadrada e Triangular

Percebemos assim, que quanto maior for a frequência, maior será

o desempenho do ESTÁGIO 3 como integrador, além de ficar claro, que

ele vai deixar passar apenas baixas frequências, operando como filtro

ativo passa-baixas.

5 RESULTADOS OBTIDOS

A montagem deu-se nas instalações do Laboratório de

Instrumentação e Metrologia Científicas – LIMC, contando com os

instrumentos de aferição disponibilizados pelo Prof. Raimundo Freire.

Os principais problemas se deram sobretudo na montagem e nos

problemas enfrentados por mim, na hora de montar o circuito. Graças à

ajuda providencial de Ivana Pires, uma amiga que iria fazer o projeto

comigo, conseguimos montar o circuito devidamente, sem grandes

problemas. Segue o circuito montado:

Figura 20: montagem do gerador de funções

As entradas +V cc e −V cc foram alimentadas com pilhas em série,

de acordo com as especificações técnicas do datasheet do amp op 741.

Fez-se as medições com o osciloscópio e foram observadas as

formas de ondas desejadas, com pequenas alterações devido às perdas

18

Saída

Quadrada

Saída

Triangular

ESTÁGIO

3

ESTÁGIO

2

ESTÁGIO

1

Page 19: Gerador de Função Quadrada e Triangular

inerentes ao sistema como um todo.

6 ANÁLISE FINAL

Objetivou-se desenvolver um produto que fosse barato, de fácil

montagem e que pudesse atender à especificação desejada para este

projeto, que era usar os conteúdos básicos do Laboratório de Circuitos

II. Pode-se concluir que esse objetivo foi alcançado com êxito, visto que

os componentes utilizados são de fácil manipulação e extremamente

baratos, podendo este projeto ser reproduzido facilmente em qualquer

lugar.

Além disso, o gerador de funções é essencial para um estudante

conhecer um pouco mais sobre como funciona a análise em regime

permanente senoidal, utilizando as ferramentas matemáticas

conhecidas até aqui, que foram transformada de Laplace e

transformada de Fourier.

Não foi apenas enriquecedor, como gratificante, poder criar um

projeto, desenvolvê-lo e observar como os conhecimentos adquiridos

em Engenharia Elétrica podem se somar, gerando um produto final. Isso

foi observado, sobretudo na análise que nos permitiu criar uma onda

triangular e quadrada, a partir da onda senoidal, conhecimento

adquirido não em Circuitos Elétricos, mas em Análise de Sinais e

Sistemas.

Os desafios foram grandes, sobretudo na montagem em si. Houve

problemas iniciais, quando não se havia considerado o ESTÁGIO 2, o

que acabou causando uma instabilidade no sistema, decorrendo em

danos permanentes no amplificador do integrador. Isso, no entanto,

permitiu-nos fazer uma análise mais aprofundada sobre os

amplificadores operacionais, resultando na inserção do buffer, para

acoplar os dois estágio e manter o equilíbrio do gerador de funções.

Este projeto, portanto, revelou-se bastante motivador, fazendo-me

querer fazer outros, por própria conta e passar a aplicar mais os

conhecimentos adquiridos nas aulas.

19

Page 20: Gerador de Função Quadrada e Triangular

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos

elétricos. 5 ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2008.

[2] DORF, R. C.; SVOBODA, J. A. Introdução aos circuitos elétricos. 8 ed.

Rio de Janeiro: LTC, 2012.

[3] IRWIN, J. D.; NELMS, R. M. Análise básica de circuitos para

engenharia. 10 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013.

[4] NAHVI, M.; EDMINSTER, J. Coleção Schaum: circuitos elétricos. 4 ed.

São Paulo: Bookman, 2008.

[5] PERTENCE JR., A. Eletrônica analógica: amplificadores operacionais e

filtros ativos. 6 ed. Porto Alegre: Bookman, 2003.

[6] SEDRA, A. S.; SMITH K. C. Microeletrônica. 5 ed. São Paulo: Pearson

Prentice Hall, 2007.

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