triangular bézier patch

Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM)

Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012

Triangular Bézier PatchUma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier

Michel Alves dos Santos

Universidade Federal de Alagoas, Campus A. C. SimõesTabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970Docente Responsável: Prof. Dr. Dimas Martinez

{michel.mas}@gmail.com

16 de Maio de 2012

Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL



Introdução

Curvas e Retalhos Triangulares

Nesta apresentação iremos fazer uma breve introdução às Curvas deBézier e ao Retalho Triangular, porém antes faz-se necessário umapequena discussão sobre métodos Interpolativos e Aproximativos.




Interpolação X Aproximação

Métodos de Interpolação e Aproximação




Interpolação X Aproximação

Métodos de Interpolação e Aproximação

É natural querermos modelar uma curva suave que passe por umdeterminado conjunto de pontos fornecido.

Se a curva desejada é polinomial, chamamos o método de obtenção de talcurva de interpolação polinomial.

Entretanto, o resultado nem sempre é o esperado (oscilações).

Dessa maneira, é mais comum querermos curvas que ‘passem perto’ dospontos fornecidos, isto é, com certas aproximações.

Um excelente método para obtenção de curvas suaves faz uso doalgoritmo criado por Paul de Faget de Casteljau e uso da formalização

feita por Pierre Bézier - As Curvas de Bézier.




Introduzindo as Curvas de Bézier

O que são as Curvas de Bézier?

Curva de Bézier é uma curva polinomial expressa como a interpolaçãolinear entre pontos representativos usualmente chamados de pontos de

controle. O conjunto formado por esses pontos é denonimado polígono decontrole da curva. Foram desenvolvidas como resultado do Algoritmo de

De Casteljau em 1957 e formalizadas na década de 60.




O Algoritmo de De Casteljau

O Que é o Algoritmo de De Casteljau?

O Algoritmo de De Casteljau é um método recursivo para calcularpolinômios na forma de Bernstein ou da Curva de Bézier.

É amplamente usado, com algumas modificações, como o mais robusto enumericamente estável método para calculo de polinomiais.




O Algoritmo de De Casteljau - Caso Linear

Curva de Bézier Linear

Suponha que queiramos aproximar uma curva polinomial entre dois pontosP0 e P1 fornecidos.

A solução natural é um segmento de reta que passa por P0 e P1 cujaparametrização mais comum é dada por P(t) = (1− t) ∗ P0 + t ∗ P1.

Podemos pensar em P(t) como uma média ponderada entre P0 e P1.

Observe que os polinômios (1− t) e t somam 1 para qualquer valor de t.

Esses polinômios são chamados de funções de mistura (blending functions)




O Algoritmo de De Casteljau - Caso Linear

Curva de Bézier Linear

P(t) =

1∑i=0

t i(1− t)1−i Pi

P(t) = (1− t)P0 + tP1, t ∈ [0, 1]




O Algoritmo de De Casteljau - Caso Quadrático

Curva de Bézier Quadrática

Para generalizar a idéia para três pontos P0, P1 e P2 consideramosprimeiramente os segmentos de reta P0P1 e P1P2

P01(t) = (1− t)P0 + tP1

P12(t) = (1− t)P1 + tP2

Podemos agora realizar uma interpolação entre P01(t) e P12(t).

P02(t) = (1− t)P01(t) + tP12(t)P02(t) = (1− t)2P0 + 2t(1− t)P1 + t2P2






P(t) =

2∑i=0

(2i

)t i(1− t)2−i Pi

P(t) = (1− t)2P0 + 2t(1− t)P1 + t2P2

P(t) = (P0 − 2P1 + P2)t2 + (−2P0 + 2P1)t + P0, t ∈ [0, 1]




O Algoritmo de De Casteljau - Caso Cúbico

Curva de Bézier CúbicaA curva quadrática obtida pode ser entendida como a ‘mistura’ dospontos P0, P1 e P2 por intermédio de três funções quadráticas:

I B02(t) = (1− t)2

I B12(t) = 2t(1− t)I B22(t) = t2

Aplicando mais uma vez a idéia podemos definir uma cúbica por 4 pontos:

P02(t) = (1− t)2P0 + 2t(1− t)P1 + t2P2

P12(t) = (1− t)2P1 + 2t(1− t)P2 + t2P3

P03(t) = (1− t)P02(t) + tP12(t)P03(t) = (1− t)3P0 + 3t(1− t)2P1 + 3t2(1− t)P2 + t3P3





Curva de Bézier Cúbica





Curva de Bézier Cúbica

P(t) =

3∑i=0

(3i)

t i (1− t)3−i Pi

P(t) = (1− t)3P0 + 3t(1− t)2P1 + 3t2(1− t)P2 + t3P3

P(t) = (−P0 + 3P1 − 3P2 + P3)t3 + (3P0 − 6P1 + 3P2)t2

+(−3P0 + 3P1)t + P0, t ∈ [0, 1]





Curva de Bézier CúbicaNovamente temos uma curva dada pela soma de 4 funções de mistura

(agora cúbicas), cada uma multiplicada por um dos 4 pontos

I B03(t) = (1− t)3

I B13(t) = 3t(1− t)2

I B23(t) = 3t2(1− t)I B33(t) = t3

Em geral, uma curva de grau n pode ser construída da seguinte forma:

Pin(t) =

n∑i=0

Bin(t)Pi




O Algoritmo de De Casteljau - Casos

Curvas de Bézier Lineares, Quadráticas eCúbicas

Linear

P(t) = (1− t)P0 + tP1, t ∈ [0, 1]

Quadrática

P(t) = (1− t)2P0 + 2t(1− t)P1 + t2P2, t ∈ [0, 1]

Cúbica

P(t) = (1− t)3P0 + 3t(1− t)2P1 + 3t2(1− t)P2 + t3P3, t ∈ [0, 1]




O Algoritmo de De Casteljau - Generalização

Curvas de BézierUma curva de Bézier de grau n definida por n + 1 pontos de controle é

expressa como:

P(t) =n∑

i=0Bi ,n(t)Pi

Onde

Bi ,n(t) =(

ni

)t i(1− t)n−i , t ∈ [0, 1]




Curvas de Bézier e Polinômios de Bernstein

Observações

As curvas construídas pelo algoritmo de De Casteljau são conhecidascomo curvas de Bézier e as funções de mistura são chamadas de base

Bézier ou polinômios de Bernstein.

Observamos que os polinômios de Bernstein de grau n têm como formageral Bin(t) = Ci t i(1− t)n−i

Se escrevermos as constantes Ci para os diversos polinômios, teremos:

I 1o grau: 1 1I 2o grau: 1 2 1I 3o grau: 1 3 3 1I 4o grau: 1 4 6 4 1




Curvas de Bézier e Polinômios de Bernstein

Observações

Vemos que o padrão de formação corresponde ao Triângulo de Pascal eportanto, podemos escrever:

Bi ,n(t) =(

ni

)t i(1− t)n−i , t ∈ [0, 1]




Propriedades das Curvas de Bézier

Algumas Propriedades

O grau da curva (do polinômio) é dado pelo número de pontos dopolígono de controle menos 1

A curva de Bézier está contida no fecho convexo do polígono de controle(Os polinômios de Bernstein somam 1 para qualquer t).

A curva interpola o primeiro e último ponto do polígono de controle.

As tangentes à curva em P0 e Pn têm a direção dos segmentos de retaP0P1 e Pn−1Pn , respectivamente.

De posse das noções introdutórias a respeito das Curvas de Bézier iremosagora falar sobre o Retalho Triangular de Bézier.




Retalho Triangular de Bézier

Definição

O Retalho Triangular de Bézier é um tipo de retalho (unidade derepresentação de surperfícies mais elaboradas) onde o domínio são

triângulos obtidos pelo algoritmo de De Casteljau.

O controle agora é feito por uma estrutura em formato triangulargeralmente chamada de Control Net.




Retalho Triangular de Bézier - Control Net

Rede ou Malha de Controle




Retalho Triangular de Bézier - Control Net

Rede ou Malha de Controle - Propriedades

I Denotando cada ponto da Control Net por bijk , teremos que: i + j + k = n.I O número de vértices será dado por: Nv = (1/2)(n + 1)(n + 2).

Depois de apresentadas as propriedades da malha de controle faz-se necessário ouso de uma outra ferramenta antes da apresentação do algoritmo de De Casteljau

para retalhos triangulares: as coordenadas baricêntricas!




Coordenadas Baricêntricas

Coordenadas Baricêntricas em um Triângulo

Considerando um triângulo de vértices a, b e c e um quarto ponto p sempre épossível escrever p como uma combinação baricêntrica de a, b e c:

p = ua + vb + wc

Onde

u + v + w = 1 e t = (u, v , w)




De Casteljau Para Retalhos Triangulares

O algoritmo de De Casteljau

Dada uma lista triangular de pontos bi ∈ <3, |i | = n e um ponto em <2 comcoordenadas baricêntricas t, teremos:

bri (t) = ubr−1

i+e1(t) + vbr−1i+e2(t) + wbr−1

i+e3(t)

Onde

r = 1, ..., n e |i | = n − r

Os vetores e1, e2 e e3 representam a base canônica.




Polinômio de Bernstein

Definição do Polinômio de Berstein

No caso dos retalhos triangulares o polinômio Bni de Bernstein é definido da

seguinte maneira:

Bni =

(ni

)ui v jw k =

n!i!j!k!u

i v jw k ; |i | = n.

Os pontos intermediários bri serão expressos da seguinte forma:

bri (t) =

∑|j|=r

bi+jBrj (t); |i | = n − r .




Exemplo de Refinamento de Retalhos Triangulares

Exemplo de Refinamento de Retalhos Triangulares

Exemplo de Sucessivos Refinamentos em um Retalho Triangular de Bézier.




Exemplo de Junção de Retalhos Triangulares

Breve Exemplo de Junção de Retalhos Triangulares

Junção de Retalhos Triangulares de Bézier na composição de um objeto.




Exemplo de Uso do Retalho Triangular de Bézier

Utah Teapot Construído com Retalhos Triangulares

À esquerda, rede de controle para o modelo Utah Teapot, constituída de 64Retalhos Triangulares de Bézier (todos de grau 6). A direita, modelo

correspondente usando Ray Tracing.

Fonte: Triangular Bézier Clipping, S. H. Martin Roth, Patrick Diezi,Markus H. Gross. Techinical Report, 2000, Pacific Graphics.




Exemplo de Uso do Retalho Triangular de Bézier

Utah Teapot Construído com Retalhos Triangulares

À esquerda, rede de controle para o modelo Utah Teapot evidenciandodetalhamento da tampa. A direita, modelo correspondente usando Ray Tracing.





FIM!





Agradecimentos

Grato Pela Atenção!

Michel Alves dos Santos - [email protected]


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