ma13_u04 - desigualdade triangular

7/23/2019 MA13_U04 - Desigualdade Triangular

1/8

4

1

D e s i g u a l d a d e T r i a n g u l a r

S u m r i o

4 . 1 A d e s i g u a l d a d e t r i a n g u l a r . . . . . . . . . . . . . . . 2

4 . 2 P r o b l e m a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6


2/8

U n i d a d e 4 A d e s i g u a l d a d e t r i a n g u l a r

4 . 1 A d e s i g u a l d a d e t r i a n g u l a r

O o b j e t i v o p r i n c i p a l d e s t a b r e v e s e o p r o v a r q u e , e m t o d o t r i n g u l o , o s

c o m p r i m e n t o s d o s l a d o s g u a r d a m u m a c e r t a r e l a o , d e s c r i t a n a P r o p o s i o 3 ) .

C o m e c e m o s , c o n t u d o , e s t a b e l e c e n d o u m a r e l a o e n t r e o s c o m p r i m e n t o s d o s

l a d o s e a s m e d i d a s d o s n g u l o s a e l e s o p o s t o s , a q u a l t e m i n t e r e s s e i n d e p e n -

d e n t e .

P r o p o s i o 1 S e

ABC u m t r i n g u l o t a l q u e

B > C, e n t o

AC > AB.

D e m o n s t r a o

C o m o

B > C, p o d e m o s t r a a r ( c f . F i g u r a 4 . 1 ) a s e m i r r e t a

BX, i n t e r -

s e c t a n d o o i n t e r i o r d e ABC

e t a l q u e CBX = 1

2( B C)

. S e n d o P

o p o n t o d e

i n t e r s e o d e

BXc o m o l a d o

AC, s e g u e d o t e o r e m a d o n g u l o e x t e r n o q u e

A P B = CBP + B CP =1

2( B C) + C =

1

2( B + C).

M a s , c o m o A BP = B 1

2( B C) = 1

2( B + C)

, s e g u e q u e o t r i n g u l o ABP

B C

A

P X

F i g u r a 4 . 1 : o r d e m d o s l a d o s e n g u l o s d e u m t r i n g u l o .

i s s c e l e s d e b a s e BP

. P o r t a n t o ,

AB = AP < AC.

C o r o l r i o 2

S eABC

u m t r i n g u l o t a l q u e

A 90, e n t o

BC s e u m a i o r l a d o .

E m p a r t i c u l a r , n u m t r i n g u l o r e t n g u l o a h i p o t e n u s a o m a i o r l a d o .

2


3/8

U n i d a d e 4 D e s i g u a l d a d e T r i a n g u l a r

D e m o n s t r a o

B a s t a o b s e r v a r q u e , s e

A 90 , e n t o A o m a i o r n g u l o d e ABC, d e

m o d o q u e BC

, p e l a p r o p o s i o a n t e r i o r , o m a i o r l a d o .

A p r o p o s i o a s e g u i r c o n h e c i d a c o m o a d e s i g u a l d a d e t r i a n g u l a r .

P r o p o s i o 3 E m t o d o t r i n g u l o , c a d a l a d o t e m c o m p r i m e n t o m e n o r q u e a s o m a d o s

c o m p r i m e n t o s d o s o u t r o s d o i s l a d o s .

D e m o n s t r a o

S e j a ABC

u m t r i n g u l o t a l q u e AB = c

,AC = b

eBC = a

. M o s t r e m o s

q u ea < b + c, s e n d o a p r o v a d a s d e m a i s d e s i g u a l d a d e s t o t a l m e n t e a n l o g a .

M a r q u e ( c f . F i g u r a 4 . 2 ) o p o n t o D

s o b r e a s e m i r r e t a

CAt a l q u e

A CDe

AD = AB .

B C

A

D

F i g u r a 4 . 2 : a d e s i g u a l d a d e t r i a n g u l a r .

U m a v e z q u e

CD = AC + AD = AC + AB = b + c,

p e l a P r o p o s i o 1 s u c i e n t e m o s t r a r m o s q u e B DC < D BC

. M a s , d e s d e q u e

B DA = D BA, b a s t a o b s e r v a r m o s q u e

B

DC = B

DA = DBA < D

BA + A

BC = D

BC.

S e n d o a

,b

ec

o s c o m p r i m e n t o s d o s l a d o s d e u m t r i n g u l o , s e g u e d a d e -

s i g u a l d a d e t r i a n g u l a r q u e

a < b + c, b < a + c, c < a + b.

3


4/8

U n i d a d e 4 A d e s i g u a l d a d e t r i a n g u l a r

R e c i p r o c a m e n t e , d a d o s s e g m e n t o s c u j o s c o m p r i m e n t o s a

,b

ec

s a t i s f a z e m a s

d e s i g u a l d a d e s a c i m a , n o d i f c i l p r o v a r q u e s e m p r e p o s s v e l c o n s t r u i r m o s u m

t r i n g u l o t e n d o t a i s s e g m e n t o s c o m o l a d o s .

T e r m i n a m o s e s t a s e o c o l e c i o n a n d o d u a s c o n s e q u n c i a s i n t e r e s s a n t e s d a

d e s i g u a l d a d e t r i a n g u l a r .

E x e m p l o 4

S eP

u m p o n t o s i t u a d o n o i n t e r i o r d e u m t r i n g u l o ABC

, e n t o :

( a ) P B + P C < AB + AC.

( b )P A + P B + P C < AB + AC + BC.

D e m o n s t r a o

( a ) P r o l o n g u e a s e m i r r e t a

BPa t q u e a m e s m a e n c o n t r e o l a d o

ACn o p o n t o

Q( c f . F i g u r a 4 . 3 ) . A p l i c a n d o a d e s i g u a l d a d e t r i a n g u l a r s u c e s s i v a m e n t e a o s

t r i n g u l o s CP Q

eABQ

, o b t e m o s

P B + P C < P B + ( P Q + CQ) = BQ + CQ

< ( AB + AQ) + CQ = AB + AC.

B C

A

QP

F i g u r a 4 . 3 : c o n s e q u n c i a s d a d e s i g u a l d a d e t r i a n g u l a r .

( b ) A r g u m e n t a n d o d e m o d o a n l o g o p r o v a d o i t e m ( a ) , t e m o s

P A + P B BC

. D a d o u m

p o n t o P

n o i n t e r i o r d e ABC

, p r o v e q u e P A + P B + P C < AB + AC.

( S u g e s t o : t r a c e , p o r P

, o s e g m e n t o QR

p a r a l e l o a BC

, c o m Q AB

eR AC. E m s e g u i d a , u s e a P r o p o s i o 1 e a d e s i g u a l d a d e t r i a n g u l a r

p a r a p r o v a r q u e AP < AR

eBP + P C < B Q + QR + CR

. )

1 1 . ( U n i o S o v i t i c a ) . E m u m p a s , c e r t o d i a , u m a v i o p a r t i u d e c a d a c i d a d e

c o m d e s t i n o c i d a d e m a i s p r x i m a . S e a s d i s t n c i a s e n t r e a s c i d a d e s

s o d u a s a d u a s d i s t i n t a s , p r o v e q u e e m n e n h u m a c i d a d e a t e r r i s s a r a m

m a i s d e c i n c o a v i e s . ( S u g e s t o : s e , n a c i d a d e A, a t e r r i s s a r a m a v i e s

p r o v e n i e n t e s d a s c i d a d e s B

eC

, u s e a P r o p o s i o 1 p a r a c o n c l u i r q u e

B AC > 60 . E m s e g u i d a , u s e e s t e f a t o p a r a m o s t r a r , p o r c o n t r a d i o ,

q u e n o p o d e m o s t e r s e i s a v i e s a t e r r i s s a n d o e m u m a m e s m a c i d a d e . )

7


8/8

R e f e r n c i a s B i b l i o g r c a s

[ 1 ] A K O P Y A N , A . V . e Z A S L A V S K Y A . A . ( 2 0 0 7 ) . G e o m e t r y o f C o n i c s . A m e r -

i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y .

[ 2 ] D E B A R R O S , A . A . e A N D R A D E , P . F . D E A . ( 2 0 0 9 ) . I n t r o d u o G e o -

m e t r i a P r o j e t i v a . S o c i e d a d e B r a s i l e i r a d e M a t e m t i c a .

[ 3 ] B A R B O S A , J . L . M . ( 2 0 0 4 ) . G e o m e t r i a E u c l i d i a n a P l a n a . S o c i e d a d e

B r a s i l e i r a d e M a t e m t i c a .

[ 4 ] B A R B O S A , J . L . M . ( 1 9 9 5 ) . G e o m e t r i a H i p e r b l i c a . I n s t i t u t o N a c i o n a l d e

M a t e m t i c a P u r a e A p l i c a d a .

[ 5 ] C A M I N H A , A . ( 2 0 1 2 ) . T e m a s d e M a t e m t i c a E l e m e n t a r , V o l u m e 1

.

N m e r o s R e a i s . S o c i e d a d e B r a s i l e i r a d e M a t e m t i c a .

[ 6 ] C O X E T E R , H . S . M . e G R E I T Z E R , S . L . ( 1 9 6 7 ) . G e o m e t r y R e v i s i t e d . T h e

M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a .

[ 7 ] H E A T H , T . L . ( 1 9 5 6 ) . T h e T h i r t e e n B o o k s o f E u c l i d ' s E l e m e n t s . D o v e r .

[ 8 ] H O N S B E R G E R , R . ( 1 9 9 5 ) . E p i s o d e s i n N i n e t e e n t h a n d T w e n t i e t h C e n t u r y

E u c l i d e a n G e o m e t r y . T h e M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a .

[ 9 ] J O H N S O N , R . ( 2 0 0 7 ) . A d v a n c e d E u c l i d e a n G e o m e t r y . D o v e r .

[ 1 0 ] Y A G L O M , I . M . ( 1 9 6 2 ) . G e o m e t r i c T r a n s f o r m a t i o n s I . T h e M a t h e m a t i c a l

A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a .

[ 1 1 ] Y A G L O M , I . M . ( 1 9 6 8 ) . G e o m e t r i c T r a n s f o r m a t i o n s I I . T h e M a t h e m a t i c a l


[ 1 2 ] Y A G L O M , I . M . ( 1 9 7 3 ) . G e o m e t r i c T r a n s f o r m a t i o n s I I I . T h e M a t h e m a t i c a l


[ 1 3 ] Y A G L O M , I . M . e S H E N I T Z E R , A . ( 2 0 0 9 ) . G e o m e t r i c T r a n s f o r m a t i o n s I V .

T h e M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a .

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