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computadores, baseou-se no princípio de que a simples aplicação de regras permite passar mecanicamente de uns símbolos a outros, sistema lógico que foi inaugurado pelo matemático George Boole.

Entretanto a lógica booleana estava limitada ao raciocínio proposicional, e somente mais tarde, com o desenvolvimento dos quantificadores, a lógica formal estava pronta para ser aplicada ao raciocínio matemático em geral. Os primeiros sistemas foram desenvolvidos por F.L.G. Frege e G. Peano. Ao lado destes, será necessário citar George Cantor (1829 - 1920), matemático alemão que abriu um novo campo dentro do mundo da análise, nascida com Newton e Leibniz, com sua teoria sobre conjuntos infinitos [Bel37].

No início do século XX a Lógica Simbólica se organizará com mais autonomia em relação à matemática e se elaborará em sistemas axiomáticos desenvolvidos, que se colocam em alguns casos como fundamento da própria matemática e que prepararão o surgimento do computador.

4.3.1 Boole e os fundamentos da Lógica Matemática e da Computação

O inglês George Boole (1815 - 1864) é considerado o fundador da Lógica Simbólica ([Bri79a], volume III). Ele desenvolveu com sucesso o primeiro sistema formal para raciocínio lógico. Mais ainda, Boole foi o primeiro a enfatizar a possibilidade de se aplicar o cálculo formal a diferentes situações, e fazer operações com regras formais, desconsiderando noções primitivas.

Figura 13: George Boole

Sem Boole, que era um pobre professor autodidata em Matemática, o caminho pelo qual se ligou a Lógica à Matemática talvez demorasse muito a ser construído. Com relação à Computação, se a Máquina Analítica de Babbage (ver capítulo sobre a Pré-História Tecnológica)

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foi apenas uma tentativa bem inspirada (que teve pouco efeito sobre os futuros construtores do computador), sem a álgebra booleana, no entanto, a tecnologia computacional não teria progredido com facilidade até a velocidade da eletrônica.

Durante quase mais de dois mil anos, a lógica formal dos gregos, conhecida pela sua formulação silogística, foi universalmente considerada como completa e incapaz de sofrer uma melhora essencial. Mais do que isso, a lógica aristotélica parecia estar destinada a ficar nas fronteiras da metafísica, já que somente se tratava, a grosso modo, de uma manipulação de palavras. Não se havia ainda dado o salto para um simbolismo efetivo, embora Leibniz já tivesse aberto o caminho com suas idéias sobre o “alfabeto do pensamento”*.

Foi Boole, em sua obra The Mathematical Analysis of Logic (1847), quem forneceu uma idéia clara de formalismo, desenvolvendo-a de modo exemplar. Ele percebeu que poderia ser construída uma álgebra de objetos que não fossem números, no sentido vulgar, e que tal álgebra, sob a forma de um cálculo abstrato, seria capaz de ter várias interpretações [Kne68]. O que chamou a atenção na obra foi a clara descrição do que seria a essência do cálculo, isto é, o formalismo, procedimento, conforme descreveu, “cuja validade não depende da interpretação dos símbolos mas sim da exclusiva combinação dos mesmos” [Boc66]. Ele concebeu a lógica como uma construção formal à qual se busca posteriormente uma interpretação.

Boole criou o primeiro sistema bem sucedido para o raciocínio lógico, tendo sido pioneiro ao enfatizar a possibilidade de se aplicar o cálculo formal em diferentes situações e fazer cálculos de acordo com regras formais, desconsiderando as interpretações dos símbolos usados. Através de símbolos e operações específicas, as proposições lógicas poderiam ser reduzidas a equações e as equações silogísticas poderiam ser computadas de acordo com as regras da álgebra ordinária. Pela aplicação de operações matemáticas puras e contando com o conhecimento da álgebra booleana é possível tirar qualquer conclusão que esteja contida logicamente em qualquer conjunto de premissas específicas.

De especial interesse para a Computação, sua idéia de um sistema matemático baseado em duas quantidades, o ‘Universo’ e o ‘Nada’, representados por ‘1’ e ‘0’, o levou a inventar um sistema de dois estados para a quantificação lógica. Mais tarde os construtores do primeiro computador entenderam que um sistema com somente dois valores pode compor mecanismos para perfazer cálculos†.

George Boole estava convencido de que sua álgebra não somente tinha demonstrado a equivalência entre Matemática e Lógica, como representava a sistematização do pensamento humano. Na verdade a ciência, depois dele, principalmente com Husserl, pai da Fenomenologia, demonstrará que a razão humana é mais complicada e ambígua, difícil de ser conceituada e mais poderosa que a lógica formal, mas do ponto de vista da Matemática e da Computação, a álgebra booleana foi importante, e só os anos fizeram ver, pois a lógica até

* Leibniz já tinha compreendido no século XVII que há alguma semelhança entre a disjunção e conjunção de conceitos e a

adição e multiplicação de números mas foi difícil para ele formular precisamente em que consistia essa semelhança e como usá-la depois como base para um cálculo lógico [Kne68].

† A base do hardware sobre a qual são construídos todos os computadores digitais é formada de dispositivos eletrônicos diminutos denominados portas lógicas. É um circuito digital no qual somente dois valores lógicos estão presentes. Para se descrever os circuitos que podem ser construídos pela combinação dessas portas lógicas é necessária a álgebra booleana.

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então era incompleta e não explicava muitos princípios de dedução empregados em raciocínios matemáticos elementares.

Mas, a lógica booleana estava limitada ao raciocínio proposicional, e somente após o desenvolvimento de quantificadores, introduzidos por Peirce, é que a lógica formal pôde ser aplicada ao raciocínio matemático geral. Além de Peirce, também Schröeder e Jevons* aperfeiçoaram e superaram algumas restrições do sistema booleano: disjunção exclusiva, emprego da letra v para exprimir proposições existenciais, admissão de coeficientes numéricos além do 0 e 1 e o emprego do sinal de divisão. O resultado mais importante, no entanto, foi a apresentação do cálculo de uma forma extremamente axiomatizada.

4.3.2 A importância de Frege e Peano Frege (1848 - 1925) e Peano (1858 - 1932) trabalharam para fornecer bases mais

sólidas à álgebra e generalizar o raciocínio matemático [Har96]. Gottlob Frege ocupa um lugar de destaque dentro da Lógica. Embora não tão

conhecido em seu tempo e bastante incompreendido, deve-se ressaltar que ainda hoje torna-se difícil descrever a quantidade de conceitos e inovações, muitos revolucionários, que elaborou de forma exemplar pela sua sistematização e clareza. Muitos autores comparam seu Begriffsschrift aos Primeiros Analíticos de Aristóteles, pelos pontos de vista totalmente geniais.

Frege foi o primeiro a formular com precisão a diferença entre variável e constante, assim como o conceito de função lógica, a idéia de uma função de vários argumentos e o conceito de quantificador†. A ele se deve uma conceituação muito mais exata da teoria aristotélica sobre sistema axiomático, assim como uma clara distinção entre lei e regra, linguagem e metalinguagem. Ele é autor da teoria da descrição e quem elaborou sistematicamente o conceito de valor. Mas isto não é tudo, pois todas estas coisas são apenas produtos de um empreendimento muito maior e fundamental, que o inspirou desde suas primeiras pesquisas: uma investigação das características daquilo que o homem diz quando transmite informação por meio de juízos.

Na verdade o que Frege chamou de Lógica – assim como seus contemporâneos Russell e Wittgenstein – não é o que hoje é chamado Lógica, fruto do formalismo e da teoria dos conjuntos que acabaram por predominar entre os matemáticos, mas sim o que se denomina semântica, uma disciplina sobre o conteúdo, natureza desse conteúdo e estrutura. Ele gastou considerável esforço na separação de suas concepções lógicas daquelas concepções dos 'lógicos computacionais' como Boole, Jevons e Schröeder. Estes estavam, como já foi dito, empenhados no desenvolvimento de um cálculo do raciocínio como Leibniz propusera, mas Frege queria algo mais ambicioso: projetar uma língua characteristica. Dizia ele que uma das * Jevons foi o primeiro a compreender que os métodos booleanos podem ser reduzidos às regras do cálculo elementar, com a

possibilidade, portanto, de ser mecanizados. Em 1869 conseguiu construir uma máquina lógica apresentada no ano seguinte ao público: era um dispositivo de 21 chaves para testar a validade de inferências na lógica equacional. Algumas das características deste dispositivo foram usadas mais tarde na implementação do computador. A máquina está conservada no museu de História da Ciência em Oxford.

† O emprego de quantificadores para ligar variáveis, principal característica do simbolismo lógico moderno e que o torna superior em alguns aspectos à linguagem vulgar e ao simbolismo algébrico de Boole, está entre as maiores invenções intelectuais do século XIX [Kne68].