governador...relações e fundamentos básicos de trigonometria para o entendimento geral de...

Governador

Vice Governador

Secretária da Educação

Secretário Adjunto

Secretário Executivo

Assessora Institucional do Gabinete da Seduc

Coordenadora da Educação Profissional – SEDUC

Cid Ferreira Gomes

Domingos Gomes de Aguiar Filho

Maria Izolda Cela de Arruda Coelho

Maurício Holanda Maia

Antônio Idilvan de Lima Alencar

Cristiane Carvalho Holanda

Andréa Araújo Rocha

Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional

SUMÀRIOApresentação da disciplina.......................................................................................5

1 – Revisão dos Fundamentos de trigonometria.........................................6

Tópico 1 – Revisão de Trigonometria..........................................................................7

2 – Introdução à Mecânica.......................................................................14

Tópico 1 – Conceitos Básicos de Mecânica...............................................................15

Tópico 2 – Fundamentos de Estática .................................................................….19

3 – Fundamentos de Resistência dos Materiais ................................................31

Tópico 1 – Principais conceitos da Resistência dos Materiais...................................32

4 – Tensão e Deformação ......................................................................................37

Tópico 1 – Tensão e Deformação..............................................................................38

5 – Propriedades Mecânicas: Fundamentos ......................................................46

Tópico 1 – Propriedades mecânicas e Diagrama tensão-deformação …...................47

6 – Carga Axial …....................................................................................55

Tópico 1 – Membros carregados axialmente............................................................56

7 – Vasos de pressão de paredes finas ...............................................................63

Tópico 1 – Vasos Cilíndricos e esféricos...................................................................64

Referências Bibliográficas.........................................................................67

Mecânica – Resistência dos Materiais 1


APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINAO objetivo principal de uma disciplina de resistência dos materiais é o

desenvolvimento das relações entre as cargas aplicadas a um corpodeformável (não-rígido) e as forças internas e deformações nele originadas.

O desenvolvimento de qualquer projeto de máquina ou estrutura naengenharia baseia-se nos fundamentos de resistência dos materiais. Sendonecessário primeiro usar os princípios básicos da estática para determinar asforças que atuam tanto sobre como no interior dos corpos. A dimensão doselementos, sua deformação e sua estabilidade dependem também do tipo dematerial do qual são feitos. Dessa forma, a compreensão do comportamento domaterial quando submetido às solicitações externas é de vital importância parao desenvolvimento das equações de resistência dos materiais econsequentemente para a realização de projetos mecânicos.

Esta apostila aborda os conceitos básicos de resistência dos materiais, como propósito de tornar o assunto mais acessível aos alunos que estão sendoiniciados em seus estudos de mecânica dos corpos deformáveis. Revisaremosos conceitos fundamentais da trigonometria, alguns princípios importantes daestática e mostraremos como eles são utilizados para determinar os esforçosinternos resultantes em um corpo. Serão introduzidos ainda os conceitos detensão normal, tensão de cisalhamento, tensão admissível, fator de segurança,deformação, além de uma revisão das propriedades mecânicas dos materiais.

O estudo da mecânica dos materiais é muito mais amplo e complexo do queo apresentado neste material, deixando clara a necessidade de mais pesquisase estudos para a total compreensão e domínio do assunto. Para isso é sugeridauma bibliografia básica para que o aluno aprofunde seu conhecimento deresistência dos materiais.



Revisão dos Fundamentos de trigonometria

Nessa primeira serão apresentadas algumas definições importantespara orientar o estudo em questão, abordando uma rápida revisão dasrelações e fundamentos básicos de trigonometria para o entendimento geralde conceitos posteriores relacionados à estática e à resistência dosmateriais.

Ao final dessa você deverá ser capaz de calcular as relações métricas dotriângulo retângulo, as dimensões de um triângulo retângulo através doteorema de Pitágoras e os ângulos através das funções trigonométricasespeciais.

Objetivos

• Revisão das relações métricas de um triângulo retângulo

• Revisão do teorema de Pitágoras

• Revisão das funções trigonométricas



Revisão de Trigonometria

Objetivos do tópico:

• Definir as relações métricas do triângulo retângulo e o teorema depitágoras

• Apresentar as funções trigonométricas especiais e

• Apresentar a relação fundamental da trigonometria

1.1 Triângulo RetânguloTriângulos retângulos são figuras geométricas planas com três lados e três

ângulos que possuem um ângulo reto, ou seja, medindo 90°.

a) ElementosConsiderando-se um triângulo ABC, retângulo em A, podem-se caracterizar

os seguintes elementos:

Lado AB = c: cateto

Lado AC = b: cateto

Lado BC = a: hipotenusaLado AD = h: altura relativa à hipotenusa

Lado BD = m: projeção de c sobre a

Lado DC = n: projeção de b sobre a Figura

1.1b) Relações métricas

Conduz-se a altura AD relativa à hipotenusa do triângulo ABC, obtem-se doistriângulos retângulos ABD e ACD semelhantes ao triângulo ABC. Devido àcongruência dos ângulos indicados:



B ≡ 1 (complementos de C) C ≡ 2 (complementos de B) Figura 1.2

Com base na semelhança dos triângulos ΔABC, ΔABD e ΔACD,determinam-se as seguintes relações:

Figura 1.3.

(1) b² =a . n

(3) h² =m . n

(5) b . h = c .n

(2) c² =a . m

(4) b . c =a . h

(6) c . h = b .m

1.2. Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras pode ser provado considerando-se as relações (1) e(2) definidas anteriormente, e somando-se membro a membro, como segue:

(1) b² = a . n b² + c² = am + an b² + c² = a(m + n)b² + c² = a²

(2) c² = a . m

Demonstrou-se que: O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos

a² = b² + c²

1.3. Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo agudo (30°, 45° e 90°)

Sendo θ a medida de um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo ΔABC mostrado, tem-se:



Figura 1.4.

Seno de θ = senθ= cateto opostohipotenusa= ba

Cosseno de θ = cosθ= cateto adjacentehipotenusa= ca

tangente de θ = tgθ= cateto opostocateto adjacente= bc

a) Razões trigonométricas especiais

Tabela 1.1. razões trigonométricas especiais

b) Relação fundamental da trigonometria

Relacionando o teorema de Pitágoras com as funções trigonométricas doseno e do cosseno, obtemos a seguinte relação:

senθ= ba → b = a senθ a² = b² + c² → a² = (a senθ)² + (a cosθ)² cosθ= ca → c = a cosθ a² = a² sen²θ + a² cos²θ → a² = a² (sen²θ +

cos²θ)

sen²θ + cos²θ = 1

1.4. Alfabeto gregoNas formulações matemáticas de resistência dos materiais usualmente

utilizam-se letras do alfabeto grego, portanto, é necessário conhece-las.



Tabela 1.2. Alfabeto grego

1.5. Exercícios

01. Determine o valor de x nos casos:

a) b) c)



02. Determine x nos casos abaixo:

a) b) c)

03. Utilizando as relações métricas determine o valor de x:

a) b) c)

04. Determine x e y nos triângulos abaixo:

a) b)

05. Determine o valor de x nas figuras planas mostradas:

a) quadrado b) trapézio isóceles c) losango

e) paralelogramo



06. Determine a altura de um triângulo eqüilátero de perímetro igual a 24m.

07. A altura relativa à base de um triângulo isósceles excede a base em 2m.Determine a base, se o perímetro é de 36m.

08. Determine o senα nos casos seguintes:

a) b) c)

09. Determine o cosα nos casos:

a) b) c)

10. Determine a tgα nos casos:

a) b) c)



11. Determine o valor de x :

a) b) c)

d)

12. Determinar x e y nas figuras abaixo:

a) Retângulo b) Paralelogramo c) trapézio retângulo

13. Determine a diagonal de um retângulo de perímetro 20m e base 6m.

14. O perímetro de um triângulo isósceles é de 18m e a altura relativa à base mede 3m. Determine a base.

15. Determine a menor altura de um triângulo cujos lados medem 4m, 5m e 6m.



2 – Introdução à Mecânica

O físco e matemático inglês, Isaac Newton, em 1686, foi o primeiro aapresentar uma teoria que explicava satisfatoriamente os movimentos, emum trabalho sobre os princípios da mecânica. O sucesso da MecânicaNewtoniana foi imediato e duradouro, ela reinou por mais de 200 anos.Houve, na verdade, a necessidade de alguns aperfeiçoamentos feitos maistarde por outros físicos, mas a base da mecânica de Newton permaneceuinalterada até o começo do século XX, com o surgimento da MecânicaRelativística e da Mecânica Quântica para explicar certos fatos que amecânica Newtoniana não consegue. A mecânica relativística é necessáriaquando os corpos se movem com velocidades muito altas (v > 3000Km/s),enquanto que a mecânica quântica é necessária para o estudo dosfenômenos atômicos e nucleares.

Nessa abordaremos a definição de alguns conceitos básicos damecânica necessários para o entendimento dos princípios da resistência dosmateriais. Além da classificação da mecânica clássica e das unidades demedida utilizadas pelo sistema internacional de Unidades (SI). Serãoabordados também os fundamentos de estática, com o estudo das forças,momentos, equações de equilíbrio, apoios e suas reações.

Objetivos

• Definir conceitos fundamentais de Mecânica

• Apresentar a classificação da mecânica

• Apresentar o Sistema Internacional de Unidades

• Determinar os princípios da estática.

• Estudar as forças e momentos

• Estudar as equações de equilíbrio , os apoios e suas reações.



TÓPICO 1 – Conceitos Básicos de Mecânica


• Apresentar a definição e a divisão da mecânica clássica

• Apresentar o sistema internacional de unidades

2.1. IntroduçãoA Mecânica é uma ciência física aplicada que trata dos estudos das forças

e dos movimentos. Descreve e prediz as condições de repouso oumovimento de corpos sob a ação de forças.

A finalidade da Mecânica é explicar e prever fenômenos físicos,fornecendo, assim, os fundamentos para as aplicações da Engenharia e parafenômenos encontrados no dia a dia.

A Mecânica é subdividida em três grandes ramos: Mecânica dos CorposRígidos, Mecânica dos Corpos Deformável e Mecânica dos Fluídos, comoindicado na figura 2.1 abaixo:

Figura 2.1 Divisões da mecânica clássica.

Mecânica dos corpos rígidos: é subdividida em: Estática, Cinemática eDinâmica.

A Estática se refere aos corpos em repouso e estuda as forças emequilíbrio, independentemente do movimento por elas produzido. NaEstática, os corpos analisados são considerados rígidos, conseqüentemente,os resultados obtidos independem das propriedades do material.

A Cinemática estuda os movimentos em si e as leis que os regem:- movimento uniforme – móvel percorrendo espaços iguais em tempos

iguais para quaisquer trechos de trajetória;- movimento uniformemente variado – a velocidade do móvel varia de

valores iguais em tempos iguais. Se houver crescimento da velocidade, omovimento será uniformemente acelerado; se houver decréscimo, omovimento será uniformemente retardado;

- movimentos de rotação.A Dinâmica estuda a relação entre o movimento e a causa que o produz

(força).

Mecânica dos corpos deformáveis: as estruturas e as máquinasnunca são absolutamente rígidas, deformando-se sob a ação das cargas aque estão submetidas. Estas deformações são geralmente pequenas e nãoalteram apreciavelmente as condições de equilíbrio ou de movimento daestrutura considerada.



No entanto, essas deformações terão importância quando houver riscosde ruptura do material. A Mecânica dos corpos deformáveis é estudada pelaResistência dos Materiais, também conhecida como Mecânica dosMateriais ou Mecânica dos Sólidos.

O estudo dos corpos deformáveis resume-se na determinação daresistência mecânica, da rigidez e da estabilidade de elementos estruturais.

Mecânica dos fluídos: A Mecânica dos Fluídos é subdividida no estudodos fluidos incompressíveis (líquidos) e fluidos compressíveis (gases). Umaimportante subdivisão do estudo de fluidos incompressíveis é a hidráulica.

2.2. Conceitos fundamentaisOs conceitos fundamentais da mecânica clássica baseiam-se na

mecânica newtoniana, ou seja, nas leis de Newton. Isaac Newton(1642-1727) foi um físico e matemático inglês quem primeiro apresentouuma teoria que realmente explicava as causas do movimento.

Algumas definições tornam-se necessária para o melhor entendimento damecânica:

• Ponto Material – é um corpo cujas dimensões podem ser desprezadas. Éconsiderado um ponto geométrico em que se concentra toda a massa docorpo;

• Corpo Extenso – quando as dimensões do corpo influenciarem no estudo;• Referencial – é um corpo em relação ao qual se analisa o estado de

movimento de um móvel;• Espaço – o conceito de espaço é associado à noção de posição de um

ponto material, o qual pode ser definido por três comprimentos, medidosa partir de um certo ponto de referência, ou de origem, segundo trêsdireções dadas. Estes comprimentos são conhecidos como ascoordenadas do ponto;

• Tempo – para se definir um evento não é suficiente definir sua posição noespaço. O tempo ou instante em que o evento ocorre também deve serdado;

• Massa – é uma medida da quantidade de matéria contida no corpo;• Força – a força representa a ação de um corpo sobre outro; é a causa que

tende a produzir movimento ou a modificá-lo. A força é caracterizadapelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido; umaforça é representada por um vetor;

As três Leis ou princípios da mecânica são: o princípio da inércia (primeiralei de Newton), o princípio fundamental da dinâmica (segunda lei deNewton) e o princípio da ação e reação (terceira lei de Newton).Estabelecem que:• Primeira lei de Newton – qualquer corpo em repouso ou em movimento

retilíneo e uniforme tende a permanecer nesses estados, a menos queseja obrigado a alterá-los por aplicação de forças externas;



• Segunda lei de Newton – A força resultante externa, agindo sobre umcorpo, produz uma aceleração, na mesma direção e no mesmo sentidoda força, inversamente proporcional à massa do corpo. F = m.a

• Terceira lei de Newton – quando um corpo exerce uma força sobre umsegundo corpo, o segundo corpo reage sobre o primeiro com uma forçade mesma direção, de mesma intensidade e de sentido contrário.

2.3. Sistema Internacional de UnidadesO sistema Internacional de Unidades (SI) é subdividido em unidades

básicas ou fundamentais e unidades derivadas.As grandezas fundamentais adotadas na mecânica são: comprimento,

massa e tempo. As grandezas derivadas podem ser relacionadas com asunidades básicas, que são entre outras, força, pressão, trabalho, etc.

As unidades do SI formam um sistema absoluto de unidades. Istosignifica que as três unidades básicas escolhidas são independentes doslocais onde são feitas as medições.

Tabela 2.1. Unidades BásicasUnidade

fundamentalSím

boloComprime

ntoMetro M

Massa Quilograma KgTempo Segundo s

Algumas unidades derivadas são importantes para o presente estudo:

Tabela 2.2. Unidades derivadasUnidade derivada Símbo

loÁrea Metro quadrado m²Força Newton N

Momento

Newton vezesmetro

N.m

Tensão Pascal Pa

A força é medida em Newton (N) que é definido como a força queimprime a aceleração de 1 m/s2 à massa de 1 kg. A partir da Equação F =m.a (segunda Lei de Newton), escreve-se: 1 N = 1 kg × 1 m/s2.

As medidas estáticas de forças são efetuadas por meio de instrumentoschamados dinamômetros.

O peso de um corpo também é uma força e é expresso em Newton (N).Da equação P = m.g (terceira Lei de Newton) segue-se que o peso de umcorpo de massa 1 kg é = (1 kg)×(9,81 m/s2) = 9,81 N, onde g=9,81m/s2 é aaceleração da gravidade.



A tensão ou pressão é medida no SI em Pascal (Pa) que é definido comoa pressão exercida por uma força de 1 Newton uniformemente distribuídasobre uma superfície plana de 1 metro quadrado de área, perpendicular àdireção da força Pa = N /m² . Pascal é também unidade de tensões normais(compressão ou tração) ou tensões tangenciais (cisalhamento).

Múltiplos e submúltiplos das unidades fundamentais e derivadas são utilizados na forma de potências inteiras de dez. esses múltiplos e submúltiplos são designados por prefixos. Observe a tabela:

Tabela 2.3. Múltiplos e submúltiplosPr

efixoSí

mboloFator pelo qual a unidade é

multiplicadaExa- E 1018 = 1 000 000 000 000

000 000Peta- P 1015 = 1 000 000 000 000

000Tera- T 1012 = 1 000 000 000

000Giga- G 109 = 1 000 000 000Mega-

M 106 = 1 000 000

Quilo-

K 103 = 1 000

Hecto-

h 102 = 100

Deca- da 101 = 10Deci- d 10-1 = 0,1Centi-

c 10-2 = 0,01

Mili- m 10-3 = 0,001Micro-

μ 10-6 = 0,000 001

Nano-

n 10-9 = 0,000 000 001

Pico- p 10-12 = 0,000 000 000001

Femto-

f 10-15 = 0,000 000 000000 001

Atto- a 10-18 = 0,000 000 000 000000 001



TÓPICO 2 – Fundamentos de Estática


• Forças no plano , força resultante e momento de uma força

• Equilíbrio de um ponto material e de um corpo extenso rígido

• Apoios, reações e tipos de estruturas

A estática é um assunto de grande utilidade na engenharia e mesmo noseu dia a dia, como por exemplo, ao abrir uma porta, ao usar um alicate ouao trocar um pneu de carro, você mesmo sem saber está utilizando osconceitos e aplicações da estática.

3.1. Forças no planoA Força representa a ação de um corpo sobre o outro e é caracterizada

pelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido.A intensidade de uma força é expressa em Newton (N) no Sistema

Internacional de Unidades (SI).A direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta

ao longo da qual a força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que formacom algum eixo fixo, como indicado na figura 3.1.

Figura 3.1. Definição de força

O sentido da força é indicado por uma seta (vetor).Denomina-se Grupo de forças, o conjunto de forças aplicadas em um

único ponto de um corpo (figura 3.2).

Figura 3.2. Grupo de forças

Sistema de forças é o conjunto de forças aplicadas simultaneamente em pontos diversos de um mesmo corpo (figura 3.3).



Figura 3.3 sistema de forças3.2. Força Resultante A força resultante (R) de um grupo de forças é a força que determina o

mesmo efeito que o grupo de forças (figura 3.4 e 3.5).

Formas de determinar a resultante das forças:

• Regra do paralelogramo: vale para duas forças de cada vez.

= + = +

= +

+ Figura 3.4. Regra do paralelogramo

• Método das Projeções: escolhem-se dois eixos ortogonais x e y no

plano das forças aplicadas ao ponto P e que formam com as direções dasforças ângulos conhecidos.Cada uma das forças é projetada sobre os eixos x e y, encontrando-se as

respectivas projeções ortogonais:



Figura 3.5. Método das projeções

Aplicando as relações trigonométricas para os ângulos α , β e θ, temos:

F1x = - F1senβ F2x = F2cosα F3x =F3senθ

F1y = F1cosβ F2y = F2senα F3y= - F3cosθ

Efetua-se então a soma algébrica das projeções para cada eixo,obtendo-se as resultantes (Rx e Ry) em cada um desses eixos x e y,respectivamente:

yRx = F1x + F2x + F3x = - F1senβ + F2cosα + F3senθRy = F1y + F2y + F3y = F1cosβ + F2senα - F3cosθ

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo RyR

com hipotenusa R, catetos Rx e Ry, temos:

x R² = R²x + R²y

Rx

Figura 3.6.Representação da resultante

3.3. Equilíbrio de um ponto materialConsidere um ponto material P sujeito a um sistema de forças F1, F2,

F3, ..., Fn

Figura 3.7. ponto material sujeito a n forças

O ponto material P está em equilíbrio quando é nula a resultante dasforças que atuam sobre ele, isto é:

Σ F = 0 ou R = F1 + F2 + F3 + ...+ Fn = 0

Utilizando o método das projeções ainda pode-se dizer que é nula a somaalgébrica das forças atuando nos dois eixos ortogonais x e y:



Σ Fx = 0 ou Rx = F1x + F2x + F3x + ...+ Fnx = 0 Σ Fy = 0 ou Ry = F1y + F2y + F3y + ...+ Fny = 0

A condição de equilíbrio de um ponto material é uma garantia de que oponto material não sofrerá translação.

3.4. Momento de uma força Quando um corpo rígido (extenso) está sujeito a um sistema de forças,

ele pode adquirir movimento de translação ou de rotação.Para um corpo rígido de peso desprezível, sujeito às forças F1 e F2 de

mesma direção, mesma intensidade, mas sentidos diferentes, como nafigura 3.8.

F1 F2 Figura 3.8. Momento de uma

forçaÉ claro que a resultante das forças é nula, isto é, R = F1 + F2 = 0 ,

garantindo que o corpo não sofre translação. Contudo, o corpo na situaçãoacima pode sofrer rotação em torno de um eixo perpendicular ao plano dafigura (saindo do papel).

Por esse motivo as condições de equilíbrio de um corpo extenso rígidodevem levar em conta também a rotação.

Defini-se, portanto, uma grandeza vetorial denominada momento deuma força em relação a um ponto, como uma medida da tendência daforça provocar uma rotação em torno daquele ponto.

A intensidade do momento de uma força F, aplicada em um ponto P, emrelação a um ponto O, é calculada por:

Figura 3.9. Equação do momento

Mo= ±F d Onde:F – intensidade da força, em Newton (N)d – distância do ponto O até a linha de ação da força, em metro (m)Mo – intensidade do momento da força, em Newton . metro (N.m)O – é o pólo ou centro do momento.

O momento Mo é sempre perpendicular ao plano que contém o ponto O.O sentido de Mo é definido pelo sentido de rotação imposto pelo vetor F.

Convenciona-se momento positivo se a força F tender a girar o corpo nosentido anti-horário e negativo, se tender a girar o corpo no sentido horário.



Figura 3.10. Convenção de sinais para momento

No SI, onde a força é expressa em newtons (N) e a distância em metros(m). Portanto, o momento é expresso em newtons × metros (N × m).

Momento de um binárioDuas forças F e –F que tenham o mesmo módulo, linhas de ação

paralelas e sentidos opostos formam um binário. A soma das componentesdas duas forças em qualquer direção é zero. Entretanto, a soma dosmomentos das duas forças em relação a um dado ponto não é zero. Apesarde as duas forças não transladarem o corpo no qual atuam, tendem afazê-lo girar.

Figura 3.11. Momento de um binário

3.5. Equilíbrio de Corpos RígidosPara garantir o equilíbrio de um corpo extenso rígido devemos impor

duas condições: uma para evitar a translação do corpo e outra para evitarsua rotação.

Então as condições para que um corpo extenso sujeito a um sistema deforças esteja em equilíbrio, são:

1ª) A resultante do sistema de forças deve ser nula, ou seja, que osomatório das forças na direção x e na direção y seja igual a zero.

R = F1 + F2 + F3 + ...+ Fn = 0 ( Σ F = 0 )Equilíbrio da translação

ou Rx = F1x + F2x + F3x + ...+ Fnx = 0 ( Σ Fx = 0 ) Ry = F1y + F2y + F3y + ...+ Fny = 0 ( Σ Fy = 0 )

2ª) A soma algébrica dos momentos das forças do sistema deve ser nulaem relação a qualquer ponto:

M1 + M2 + M3 + ...+ Mn = 0 ( Σ M = 0 )Equilíbrio da rotação

3.6. Apoios e suas reações



Para o estudo do equilíbrio dos corpos rígidos não basta conhecer somente as forças externas que agem sobre ele, mas também é necessário conhecer como este corpo rígido está apoiado.

Apoios ou vínculos são elementos que restringem os movimentos das estruturas e recebem a seguinte classificação:

a) Apoio móvel:

Figura 3.12.

• Impede movimento na direção normal (perpendicular) ao plano do apoio; • Permite movimento na direção paralela ao plano do apoio;

Permite rotação.

b) Apoio Fixo:

Figura 3.13.

• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio;• Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio;• Permite rotação.

c) Engastamento:

Figura 3.14.

• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio;• Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio;• Impede rotação.

Outros exemplos de apoios e suas reações podem ser observados natabela 3.1. abaixo:



Tabela 3.1.: Tipos de acoplamentos (apoios) e suasreações

3.7. Tipos de EstruturasAs estruturas são classificadas em função do número de reações de apoio

ou vínculos que possuem. Cada reação constitui uma incógnita a ser determinada.

Para as estruturas planas, a Estática fornece três equações fundamentais:

Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 e Σ Mo = 0

As estruturas são classificadas como: Hipostática, Isostática eHiperestática. A definição de cada uma delas é dada a seguir.

a) Estruturas HipostáticasSão aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos (2) é inferior

ao número de equações (3) fornecidas pelas condições de equilíbrio daEstática.

Figura 3.15.



A figura 3.14. ilustra um tipo de estrutura hipostática. As incógnitas sãoduas: RA e RB. Esta estrutura não possui restrição a movimentoshorizontais.

b) Estruturas IsostáticasSão aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é igual ao

número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. No exemplo da estrutura da figura 3.15., as incógnitas são três: RA, RB e

HA. Esta estrutura está fixa; suas incógnitas podem ser resolvidas somentepelas equações fundamentais da Estática.

Figura 3.16.

c) Estruturas HiperestáticasSão aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é superior ao

número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. Um tipo de estrutura hiperestática está ilustrado na figura 3.16. As

incógnitas são quatro: RA, RB, HA e MA.

Figura 3.17.

As equações fundamentais da Estática não são suficientes para resolveras equações de equilíbrio. São necessárias outras condições relativas aocomportamento da estrutura, como por exemplo, a sua deformabilidadepara determinar todas as incógnitas. Em casos como esse se tornanecessário o conhecimento da mecânica dos corpos deformáveis, ou seja,de resistência dos materiais.



3.8. Exercícios

16. Determinar a Resultante das duas forças P e Q que agem sobre oparafuso A. sen20°=0,34; cos20°=0,93; sen45°=0,71; cos45°=0,71.

17. Determinar a resultante do sistema de forças indicado. sen50°=0,77;cos50°=0,64; sen30°=0,5; cos30°=0,86.

18. Determinar o valor da força F para que o ponto material esteja emequilíbrio. sen60°=0,87, cos60°=0,5

a) b)



c) d)

e) f) sen65°=0,91;cos65°=0,99

19. Um ponto material sujeito a duas forças. Determine a força resultante eo ângulo que ela faz com a horizontal.

a) F1 = 30N b) F1 =0,6N

F2 = 40N F2 = 0,8N

20. determine a resultante de um sistema de forças de um ponto material.

a) b)10N

2N

5N 10N



10N

4N

21. Um ponto material P está em equilíbrio. Sendo F1 = 3N, senα = 0,6 ecosα = 0,8. Determine as forças F2 e F3.

F3

F2 F1

22. As forças indicadas agem sobre um ponto material que se encontra emequilíbrio. Sabendo que F1 = 10N, sen30° = 0,5 e cos30° = 0,87. DetermineF2 e F3.

F2

F3

F1

23. Determine as tensões nos cabos, o sistema está em equilíbrio e g = 10m/s2

a) b)

24. Nas figuras abaixo determine os momentos das forças dadas em relaçãoao ponto A.

a) F = 2,5 N e L = 1,5 m b)



c)

25. Uma barra homogênea de peso P = 20N está apoiada nos extremos A e Bdistância 1,0m. A 0,20m da extremidade B é colocado um corpo C de peso Pc =20N. Determine a intensidade dos apoios A e B sobre a barra.

26. Uma barra homogênea AB de peso P igual a 10N e comprimento L de 0,5m estáapoiada em um ponto O a 0,1m de A. De A pende um corpo de peso Q1 = 50N. Aque distância X de B deve ser colocado um corpo de peso Q2 = 10N para que abarra fique em equilíbrio na horizontal.



27. Uma barra homogênea de peso 100N é articulada em A e mantida em equilíbriopor meio de fio BC. Em B é suspenso um peso de 200N. Determine a intensidadeda força que traciona o fio BC e a reação da articulação A (Componente vertical ehorizontal).

28. Determine as reações nos apoios A e B da viga.

29. Calcule as reações no apoio A na barra submetida a uma cargadistribuída de 2kN/m e carga concentrada de 5kN.



3 – Fundamentos de Resistência dos Materiais

Nessa aplicaremos alguns conceitos da estática e mostraremos comoeles são usados para determinar os esforços internos resultantes em umcorpo. Definiremos resistência dos materiais e sua aplicabilidade na área deprojetos de estruturas e máquinas. As forças aplicadas aos corpos serãotambém classificadas.

Objetivos

• Apresentar definição e história da resistência dos materiais

• Classificar as forças

• Determinar o método das seções.



TÓPICO 1 – Principais conceitos da Resistência dosMateriais


• Definir alguns Conceitos fundamentais

• Apresentar a classificação das forças

• Apresentar o método das seções

4.1. Introdução Resistência dos Materiais é o ramo da mecânica que estuda as relações

entre as cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidadedas forças internas que atuam dentro do corpo. Esse conhecimento éempregado para realizar a análise e o projeto de qualquer estrutura oumáquina sujeita a diferentes carregamentos.

Importante para o projeto seguro de aviões, navios, espaçonaves,prédios, pontes, máquinas etc. Aplica-se, por exemplo, no dimensionamentocorreto dos parafusos usados no acoplamento de uma estrutura metálicaque estão submetidos à tensão.

Os primeiros estudos relacionados à resistência dos materiais surgiramna Antiga Grécia com os fundamentos da estática dos corpos rígidos, masnada relativo às deformações. A origem da resistência dos materiaisbaseava-se na Teoria e na Experiência, com as pesquisas realizadas por:

- Leonardo da Vinci (1452-1519): apresentou interesse pela estática doscorpos deformáveis e pelas propriedades mecânicas dos materiais deengenharia;

- Galileo Galilei (1564-1642): realizou experiências para estudar os efeitos dascargas em hastes e vigas e estabeleceu descrições experimentais precisasdas propriedades mecânicas dos materiais.

- Robert Hooke (1635-1703): seus estudos levaram a definição da Lei deHooke em que as tensões são proporcionais às deformações.

- Leonard Euler (1707-1783): Desenvolveu a teoria matemática de colunas ecalculou a carga crítica de uma coluna em 1744.

- Outros estudos notáveis foram realizados por: Bernouilli, Navier,Coulomb,Thomas Young, Poisson entre outros.

- Problemas complexos com a utilização de Matémática avançada ecomputador, amplia o campo de estudo de resistência dos materiais paradisciplinas de mecânica avançada como as teorias da elasticiadade e daplasticidade.

Suposições introduzidas na resistência dos materiais (hipótesesbásicas)



a) Material homogêneo : possui as mesmas propriedades físicas e mecânicasem todo o seu volume, afim de que o material sofra deformação uniforme;

b) Material isotrópico : possui essas mesmas propriedades em todas asdireções. Ex. Aço.

material anisotrópico: possui propriedades diferentes em diferentes direções

4.2. Classificação das forças externas e carregamentos Internos

Figura 4.1. Classificação das forças

Força externa: pode ser força de superfície ou força de corpoa) Forças de superfície: causadas pelo contato direto de um corpo com a

superfície de outro (força distribuída na área de contato entre os corpos).- Força concentrada: quando a área de contato for pequena em relação à área

total da superfície.- Carga linear distribuída: se a carga na superfície for aplicada ao longo de

uma área estreita.c) Força de corpo: quando um corpo exerce uma força sobre outro sem contato

físico direto. Exemplo: Peso efeito da gravidade.

Diagrama de corpo livre: é desenhado para especificar os efeitos detodas as forças e conjugados aplicados no corpo e que serão consideradosnas equações de equilíbrio.



Carga interna resultante: Determinação da força resultante e domomento em que atuam no interior do corpo, necessários para manter ocorpo unido quando submetido a cargas externas.

Tipos de cargas internas resultantes:N (Força Normal) – força que atua perpendicular à área (quando forças

externas tendem a empurrar ou puxar);V (Força Cisalhante) – força que se localiza no plano da área, ou seja,

tangente à seção transversal considerada;T (Momento de Torção ou Torque) – Efeito criado quando as cargas

tendem a torcer uma parte do corpo em relação à outra;M (Momento Fletor) – Provocado pelas cargas que tendem a fletir o corpo

em relação ao eixo localizado no plano da área.

4.3. Método das seções: Utilizado para determinar as cargas internasque atuam em uma região específica no interior do corpo.

1. Faz-se uma seção (seção transversal) ou “corte” através da região em que as cargas internas devem ser determinadas.

2. As duas partes do corpo são separadas, e o diagrama de corpo livrede uma das partes é desenhado.

3. Utiliza-se as equações de equilíbrio para relacionar as forças externassobre o corpo à força resultante e ao momento em qualquer pontoespecífico O da área secionada.

4. O ponto O é comumente escolhido como centróide da área secionada.



Figura 4.2.

Três Dimensões (plano x-y-z): Força Normal, N. Força de cisalhamento,V. Momento de torção ou torque, T. Momento fletor, M.

Em um sistema de coordenadas x, y, z, cada uma das cargasapresentadas é determinada diretamente pelas seis equações de equilíbrioaplicadas a qualquer segmento do corpo.

Cargas Coplanares (plano x-y)Força Normal, N. Força de cisalhamento,V. Momento fletor, M.



Figura 4.3.

4.4. Exercícios

30. A barra “AB” é uniforme e tem peso igual a 1 kN. Ela está apoiada nasduas estremidades e suporta os pesos ilustrados na figura ao lado. Nessascondições e, considerando que o sistema está em equilíbrio, calcule asreações nos apoios “A” e “B”.

1,5 kN

0,5 kN

2 m

5 m

3 m

A

B

31. A barra representada ao lado é uniforme e tem peso igual a 0,5 kN. Elaestá apoiada nos pontos “A” e “B” e suporta as forças representadas nafigura ao lado. Nessas condições e, considerando que o sistema está emequilíbrio, calcule as reações nos apoios “A” e “B”.

1,5 kN

0,5 kN

2 m

5 m

3 m

A

B



100 N

10 m

45°

32. A barra rígida representada na figura ao lado está presa em uma de suas extremidades e na outra recebe a ação de uma força de 100 N, conforme indicado. Nestas condições determine as reações vertical e horizontal e a intensidade do momento no apoio.

33. Um bloco compacto pesando 20 kN está suspenso, conforme ilustradoao lado. Considerando desprezível o peso da barra “AB”, determine aintensidade das forças que atuam no cabo “BC” e na barra “AB”.

34. Na estrutura representada ao lado a esfera pesa 300 N. Qual deverá sero peso da barra para que o sistema fique em equilíbrio?

2 m

8 m



35. Na estrutura representada ao lado, o peso da barra é de 1 kN, sendo queo bloco pesa 2 kN e, o sistema está em equilibrio. Calcule as reações nos apoios “A” e “B” .

B2 kN

3 m

7 m

A

36. Aplicando o método das seções determine as cargas internas no ponto“C” das estruturas abaixo.

a) b)

c) d)

e) f)



4 – Tensão e Deformação

Nesta abordaremos os conceitos de tensão, sua classificação e comodetermina-la. Também apresentaremos os conceitos e classificação dedeformação de um corpo.

Em um projeto de elementos estruturais ou mecânicos deve-se restringira tensão do material a um nível segura, é preciso analisar quais cargasadicionais podem ser suportadas e baseando-se nesses cálculosdetermina-se uma tensão segura ou admissível para garantir a segurançado projeto. Nessa também definiremos o conceito de fator de segurança.

Objetivos

• Apresentar a classificação e definição dos vários tipos de defeitoscristalinos

• Calcular o número de lacunas em equilíbrio em um material

• Definir defeitos de contorno de grão e de macla.

• Definir fator de segurança



TÓPICO 1 – Tensão e Deformação


• Definição de tensão

• Classificação de tensão

• Definição e classificação de deformação

• Definição de fator de segurança

5.1. Introdução Uma TENSÃO descreve a intensidade da força interna sobre um plano

específico (área) que passa por determinado ponto. Considerando queexista uma força finita de intensidade “F” atuando sobre uma seção da área“A” , a relação F/A é chamada de tensão.

Devem-se supor duas hipóteses em relação às propriedades do material:a) contínuo – distribuição uniforme da matéria, sem vaziosb) coeso – todas as suas partes estão bem unidas, sem trincas ou falhas.

Dependendo da direção do carregamento interno com relação à seçãotransversal considerada pode-se classificar a tensão em dois tipos: TensãoNormal (σ) e Tensão de Cisalhamento (τ).

Cada uma dessas tensões será discutida nos tópicos seguintes através desuas definições, fórmulas, classificações e deformações associadas.

5.2. Tensão normal média (σ - sigma).Define-se como a intensidade da força “P”, ou força por unidade de área,

que atua no sentido perpendicular a “A”, Classifica-se em dois tiposdependendo da característica do carregamento externo aplicado:



σ= PA Onde:σ - Tensão normal média em qualquer ponto da área da seção Transversal (Pa);P – Resultante da força normal interna, aplicada no centróide da área da seção transversal. P é determinada pelo método das seções e pelas equações de equilíbrio (N);A - Área da seção transversal da barra (m2).

Figura 5.1.

a) tensão de tração - seção transversal submetida a um carregamento detração. Considerada positiva;

b) tensão de compressão – seção transversal submetida a umcarregamento de compressão. Considerada negativa.

No SI (Sistema Internacional de Medidas) a unidade de medida de tensãoé:

ou

5.3. Tensão cisalhante média (τ – tau)A tensão de cisalhamento atua tangencialmente à área seccionada.

Supondo que as cargas estão distribuídas uniformemente, define-secisalhamento médio como:

τ=VA

τ – tensão de cisalhamento média na seção;V – resultante interna da força de cisalhamento;A – área da seção.



Figura 5.2. Exemplo de uma viga submetida a força cisalhante

Classifica-se o cisalhamento em dois tipos de acordo com a seçãotransversal que está submetida ao cisalhamento, são eles:

a) Simples ou direto: é provocado pela ação direta da carga aplicada Fcom apenas uma superfície de cisalhamento. Ocorrem frequentemente emvários tipos de acoplamentos simples que usam parafusos, pinos, materialde solda etc. Nesse caso:

V=F e τ=VA

Figura 5.3. Chapas de aço fixadas por pino e placas de madeira coladas

b) Duplo: quando existem duas superfícies de cisalhamento. Ocorre emacoplamentos geralmente chamados de juntas de dupla sobreposição.Nesse caso:

V=F2 e τ=VA



Figura 5.4. Juntas de aço e madeira sobre a ação de cisalhamento duplo

5.4. Tensão admissível e fator de segurançaDentro das aplicações da engenharia, a determinação de tensões não é o

objetivo final, mas um passo necessário no desenvolvimento de dois dosmais importantes estudos.

1. A análise de estruturas e máquinas: para prever o comportamentosob condições de carga específicas.

2. O projeto de estruturas e máquinas: que devem ser projetadas deforma econômica e segura.

É necessário escolher uma tensão admissível que restrinja a cargaaplicada a um valor menor do que a carga que o elemento possa suportarintegralmente. Por várias razões:

- a carga de projeto pode ser diferente do carregamento aplicado;- erros de fabricação ou montagem em componentes;- vibrações desconhecidas;- corrosão atmosférica, deterioração ou desgaste durante o uso;- variações nas propriedades mecânicas.Quando se aplica a carga admissível, apenas uma parte da capacidade

de resistência do material está sendo utilizada; outra parte é reservada paraassegurar ao material condições de utilização segura.

Para especificar a carga para o projeto ou a análise de um elementousa-se um número denominado Coeficiente ou Fator de Segurança (F.S.) queé a relação entre o carregamento último (carga de ruptura) e ocarregamento admissível.

F.S. = FrupFadm Quando existe uma correspondência linear entre carga aplicada e tensão

provocada pela carga, tem-se:

Tensão Normal: F.S. = σrupσadm

Tensão Cisalhante: F.S. = τrupτadm

A escolha de um coeficiente de segurança baixo pode levar à estrutura apossibilidade de ruptura e a escolha de um coeficiente de segurança alto



pode levar a um projeto não econômico. Deve-se, portanto, fazer umaescolha apropriada para F.S.

Consideração de alguns fatores que influenciam na escolha do coeficientede segurança:

- Modificações que ocorrem nas propriedades dos materiais- O número de vezes em que a carga é aplicada durante a vida da

estrutura ou máquina- O tipo de carregamento para o qual se projeta, ou que poderá atuar

futuramente.- O modo de ruptura que pode ocorrer- Métodos aproximados e análise- Deterioração que poderá ocorrer no futuro devido à falta de

manutenção ou por causas naturais imprevisíveis- A importância de certo membro para a integridade de toda a estrutura.

5.5. DeformaçãoSão mudanças na forma e no tamanho de um corpo ocasionadas pela

aplicação de uma força. Podem ser perfeitamente visíveis (borracha) ouimperceptíveis (aço) sem o uso de equipamento para fazer mediçõesprecisas. Também pode ser ocasionada por variação da temperatura.

Para o nosso estudo admitiremos que as barras são prismática, as cargasatuam no centróide das seções transversais e que o material da barra éhomogêneo.

A deformação pode ser classificada em deformação normal e deformaçãode cisalhamento dependendo do tipo de tensão aplicada ao material.

5.5.1. Deformação Normal (ε )Ocorre quando uma barra reta muda de comprimento com a aplicação de

uma carga axial tornando-se mais comprida (em tração) e mais curta (emcompressão). Provocando mudança de volume do elemento retangular.Definida como o alongamento ou contração de um pequeno segmento dereta por unidade de comprimento, associada a tensão normal

O alongamento (δ) ou variação do comprimento (ΔL) é o resultado doestiramento ou contração através do volume da barra. Deformação normal édada pela equação (medida adimensional, m/m ; mm/mm) :

ϵ= δL ou ϵ= ΔLL onde: ΔL = L - Lo

Figura 5.5.



Onde: ε – deformação δ – alongamento ou contração (variação no comprimento) Lo – Comprimento inicial da barra L - Comprimento final da barra

5.5.2. Deformação Cisalhante (γ)A mudança de ângulo ocorrida entre dois segmentos de reta

originalmente perpendiculares entre si. O ângulo é designado por γ (gama) e medido em radianos (rad). A deformação cisalhante provoca mudança no formato do elemento retangular.

(a) Sem deformação (b) com

deformação cisalhanteFigura 5.6. Deformação por cisalhamento.

Para Materiais da engenharia que apresentam relação linear entre tensãoe deformação na região de elasticidade, isto é, um aumento na tensãoprovoca um aumento proporcional na deformação. Esse fato é conhecidocomo lei de Hooke. Matematicamente, é expressa por:

σ = ϵ . E (Para tensão normal)

τ = γ . G (Para tensãocisalhante)

Onde: E – Módulo de elasticidade ou módulo de Young. G – Módulo de Elasticidade para ao cisalhamento ou módulo de

rigidez

5.6. Exercícios

37. Determine a força máxima que pode ser aplicada a um cabo de latão,com 5 mm de diâmetro, se a resistência do material, à tração, é de 20 MPa.

38. Dimensionar a seção reta de uma barra de latão, de 10 cm decomprimento, se a resistência do material, à tração, é de 250MPa, sendo aforça máxima de ruptura igual a 100 kN. A seção da barra é quadrada.



39. Determine o alongamento total de uma barra de aço, com 80 cm decomprimento, sendo a tensão de tração for igual a 105 MPa, sendo o Módulode Elasticidade do material igual a 210 Gpa.

40. Uma barra de aço, com 100 mm de comprimento foi submetida a umatensão de tração de 40 MPa, apresentando uma variação de comprimentode 0,002 cm. Qual é o valor do Módulo de Elasticidade do material dessabarra?

41. Uma barra de aço ABNT 1020, com 150 mm de comprimento, possuiMódulo de Elasticidade igual a 210 GPa. Determine qual deve ser o diâmetrodessa barra, para que ela possa resistir a uma carga de tração de 70 kN,apresentando um alongamento de 0,0025 cm

42. Determine o diâmetro que deve ter um cabo de aço ABNT 1030, cujolimite de escoamento é igual a 180 MPa, para que o mesmo possa resistir,com segurança, a uma força de tração de 50 kN, adotando-se umcoeficiente de segurança igual a 2

43. Um eixo cilindro, oco, de cobre, com diâmetro externo de 80 mm ediâmetro interno de 60 mm, foi carregado com uma força axial decompressão, de 50 kN. Calcule a tensão normal induzida no eixo, bem comoa variação de comprimento do mesmo. O eixo tinha 60 cm de comprimentoe o Módulo de Elasticidade do material é igual a 120 GPa.

44.Uma barra cilindrica, oca, de ferro fundido, com diâmetro externo de 4cm e o interno de 2 cm e, com 100 mm de comprimento, está submetida auma determinada força de tração. Sabe-se que esta força produziu, nomaterial, uma tensão de 210 MPa e que o comprimento da barra aumentoupara 100,20 mm, pergunta-se:a) Qual a intensidade da força aplicada?b) Qual o Módulo de Elasticidade do material?c) Qual a deformação linear no material?

15 m

300 kN

45. Determine a tensão normal que atua na seção de engastamento da barra de aço, representada na figura ao lado, cujo diâmetro é de 200 mm, tem 15 metros de comprimento e está submetida a uma força axial, de tração, de 300 kN. Calcule também a variação de comprimento da barra, sabendo que o peso específico do material da mesma é 78 kN/m3 e o Módulo de elasticidade igual a 210 Gpa.



46. Determine a tensão normal na haste de seção circular com área deAhaste = 0,002 m2 e a tensão de cisalhamento no bloco com área Abloco =0,1 m2 , provocadas pela carga de 50kN.

47. A barra de aço da figura foi submetida a uma tensão normal σ =130MPa, possui módulo de elasticidade Eaço = 200GPa. Determine adeformação (Є) e a carga (P). Sabendo que a área A = 0,02m2.

P

48. Calcule o diâmetro mínimo para que o pino suporte uma tensão decisalhamento admissível τadm = 15Mpa. O pino está sujeito a cisalhamentoduplo.

49. Calcule o valor da tensão e a deformação no cisalhamento para um pinode aço com diâmetro igual a 10mm carregado como mostra as figuras.Considere o módulo de rigidez (G) do aço de 75GPa.

a) b)



50. Emprega-se um rebite para ligar duas barras de aço, como se indica nafigura, Se o diâmetro do rebite é 19 mm e a carga P = 30 kN, qual a tensãode cisalhamento no rebite?

51. A barra mostrada é suportada por uma haste de aço AC que temdiâmetro de 20 mm e bloco de alumínio que tem área de 1800 mm². Ospinos de 18 mm de diâmetro em A e C estão submetidos a cisalhamentosimples. Para P = 168kN na estrutura, considerando a tensão de ruptura doaço e do alumínio (σaço)rup = 680MPa e (σal)rup = 70MPa ,respectivamente, e a tensão de cisalhamento de ruptura de cada pino(τpino)rup = 900MPa. Aplicas fator de segurança F.S = 2. Determine:

a) as tensões admissível para a haste, o bloco e os pinos.b) Calcule as cargas suportadas pela haste, bloco e pinos, verifique se aestrutura falha ou não devido a aplicação de P.



5 – Propriedades Mecânicas: Fundamentos

A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar acarga sem deformação excessiva ou ruptura. Essa propriedade é inerente aopróprio material e deve ser determinada através de ensaios mecânicos.

Nessa será mostrado como a tensão pode ser relacionada à deformaçãopor meio experimental determinando o diagrama tensão-deformação paraum material específico. Será discutido o comportamento descrito pelodiagrama para materiais de construção mecânica, mostrando adeterminação das propriedades mecânicas através desse diagrama.

Objetivos

• Apresentar o diagrama tensão-deformação

• Apresentar algumas propriedades mecânicas

• Apresentar relação entre a deformação lateral e longitudinal



TÓPICO 1 – Propriedades mecânicas e Diagramatensão-deformação


• Diagrama tensão-deformação

• Materiais dúcteis e frágeis

• Lei de Hooke e Coeficiente de Poisson

6.1. IntroduçãoQuando em serviço, os componentes mecânicos de máquinas e

estruturas estão submetidos à ação de esforços ou cargas.O projeto adequado desses componentes exige o conhecimento do

comportamento mecânico ou das propriedades mecânicas dos materiais deque são fabricados.

A tensão pode se relacionada à deformação por meio de um diagramatensão-deformação para um material específico. Algumas propriedadesmecânicas importantes, como a resistência mecânica à tração ou àcompressão, a ductilidade, a dureza, entre outras, podem ser determinadasatravés de ensaios ou experimentos de laboratório, cuidadosamenteelaborados.

6.2. Diagrama tensão-deformaçãoA resistência de um material depende de sua capacidade de suportar a

carga sem deformação excessiva ou ruptura. Um dos testes mais importantes a realizar nesse sentido é o teste de

tração ou compressão, utilizado principalmente para determinar a relaçãoentre a tensão normal média e a deformação normal média em muitosmateriais da engenharia, tais como, metais, cerâmicas, polímeros emateriais compostos.

Com os dados do teste pode-se construir um gráfico para os diversosvalores de tensão e deformação. A curva resultante é denominada diagramatensão-deformação. Pode ser convencional ou real.

No diagrama tensão-deformação convencional, os dados registrados datensão (σ) são obtidos dividindo-se a carga aplicada (P) pela áreatransversal inicial (Ao) do corpo-de-prova.

A deformação nominal ou de engenharia é medida diretamente pelaleitura do extensômetro ou dividindo-se a variação do comprimento (δ ouΔL) pelo comprimento inicial do corpo de prova (Lo).

Enquanto que o diagrama tensão-deformação real para calcular a tensãoe a deformação usa-se a área real da seção transversal e o comprimento do



corpo-de-prova no instante em que a carga é medida. Os valores da tensãoe da deformação obtidos com essas medidas são chamados tensão real edeformação real.

As diferenças entre os diagramas começam a aparecer na faixa deendurecimento por deformação, em que a intensidade da deformaçãotorna-se mais significativa.

Apesar das diferenças entre os diagramas, a maioria dos projetos deengenharia é feita na faixa de elasticidade onde a distorção do materialgeralmente não é severa, a deformação permanece pequena e o erro do usodos valores do diagrama convencional será muito pequeno (cerca de 0,1%)quando comparado aos valores reais. Essa é uma das principais razões parausar os diagramas tensão-deformação convencionais.

6.2.1. Diagrama Tensão-Deformação Convencional (ou de engenharia)

Figura 6.1.

Na figura 6.1 apresenta-se um diagrama tensão-deformação para um açoestrutural (aço mole ou aço de baixo teor de carbono) amplamente utilizado



em prédios, pontes, guindastes, navios, torres, veículos entre outrasaplicações. As deformações são apresentadas no eixo horizontal e astensões no eixo vertical.

As características da curva serão discutidas identificando-se quatroregiões do comportamento do material dependendo da deformação neleprovocada e considerando o diagrama tensão-deformação convencional doponto O ao ponto F.

Comportamento Elástico – ocorre quando as deformações estão naregião elástica. O diagrama começa com uma linha reta de origem em O aoponto A, de modo que a tensão e a deformação são proporcionais. O pontoA é chamado de limite de proporcionalidade e a inclinação da reta échamada de módulo de elasticidade. Se a tensão excede ligeiramente olimite de proporcionalidade o material ainda pode responder elasticamenteaté o limite de elasticidade ponto B. Para o aço o limite de elasticidade émuito próximo do limite de proporcionalidade.

Escoamento – com um aumento da tensão além do limite deelasticidade, a curva fica horizontal (trecho C- D), pois um alongamento docorpo ocorre sem um aumento notável da força de tração. Esse fenômeno éconhecido como escoamento e a tensão que provoca escoamento échamada tensão limite de escoamento ou ponto de escoamento (σE). Naregião entre C e D o material fica perfeitamente plástico, ou seja, ele sedeforma sem um aumento da carga aplicada e faz com que ele se deformapermanentemente.

Endurecimento por deformação – após o escoamento o aço começa arecuperação, passando por mudanças em sua estrutura cristalina,resultando em um aumento da resistência do material para maisdeformação. O alongamento do corpo de prova na região D-E exige umaumento na carga de tração o que resulta em uma curva que crescecontinuamente, mas que se torna mais plana até que alcança a tensãomáxima denominada limite de resistência (σLRT ou σr) ou tensão normalúltima.

Estricção – Ao atingir o limite de resistência, a área da seção transversalcomeça a diminuir em uma região localizada do corpo de prova. Forma-segradualmente uma estricção ou contração (empescoçamento) nessa regiãoà medida que o corpo se alonga. Como a área da seção transversal estádecrescendo continuamente, a área menor pode suportar apenas cargadecrescentes, portanto o diagrama curva-se para baixo até que o corpo deprova quebre com a tensão de ruptura (σrup).

6.2.2. Diagrama tensão-deformação real (ou verdadeiro)

Quando esse diagrama é construído, adquire o formato mostrado pelacurva do ponto O até o ponto G, na figura 6.1. Observe que os diagramasconvencional e real são praticamente coincidentes quando a deformação épequena, até o ponto D. As diferenças começam a aparecer na faixa deendurecimento por deformação, em que a intensidade da deformaçãotorna-se mais significativa.



Pelo diagrama tensão-deformação real, a área real na região de estricçãoé sempre decrescente até a ruptura, e desse modo, o material suportarealmente tensão crescente.

Apesar de os diagramas tensão-deformação real e convencional seremdiferentes, a maioria dos projetos de engenharia é feita na faixa deelasticidade, onde para a maioria dos metais a deformação até o limite deelasticidade permanecerá pequena e o erro do uso dos valores deengenharia será pequeno. Essa é uma das razões principais para usar osdiagramas tensão-deformação convencionais.

6.3. Materiais Dúcteis e Frágeis

Os materiais dúcteis são caracterizados por sua capacidade de escoar natemperatura ambiente. Á medida que o corpo de prova é submetido a umacarga crescente, seu comprimento inicialmente aumenta linearmente com acarga e a uma taxa muito baixa. Após alcançar um valor crítico de tensão(σE), o corpo de prova sofre uma grande deformação com aumentorelativamente pequeno da carga aplicada. São materiais dúcteis o açoestrutural e muitas ligas de outros metais.

Os materiais frágeis, que incluem ferro fundido, vidro e pedra, sãocaracterizados pelo fato de que a ruptura ocorre sem nenhuma mudançaprévia notável na taxa de alongamento. Para materiais frágeis não hádiferença entre o limite de resistência e a resistência à ruptura. E adeformação no instante da ruptura é muito menor para materiais frágeis doque para materiais dúcteis.

Uma medida padrão da ductilidade de um material é sua deformaçãopercentual, definida como:

Deformação percentual = L – Lo x 100 Lo

Onde Lo e L são respectivamente, o comprimento inicial do corpo deprova e o seu comprimento final na ruptura.

Uma outra medida da ductilidade é a redução percentual da área,definida como:

Redução percentual da área = Ao – A x 100 Ao

Onde Ao e A são respectivamente a área da seção transversal inicial docorpo de prova e sua área de seção transversal mínima na ruptura.

6.4. Lei de Hooke e Módulo de ElasticidadeA relação diretamente proporcional entre a tensão e a deformação

específica é conhecida como lei de Hooke, em homenagem ao matemáticoinglês Robert Hooke. Definida como:



σ = ε E (Para tensãonormal)

τ = γ G (Para

tensão cisalhante)

O coeficiente E é chamado de módulo de elasticidade do materialenvolvido, ou também módulo de Young, em homenagem ao cientista inglêsThomas Young. O coeficiente G é chamado de módulo de elasticidade para ocisalhamento ou módulo de rididez. Como a deformação específica éadimensional, o módulo de elasticidade é expresso nas mesmas unidadesda tensão, ou seja, em pascal (Pa).

Quando um material é deformado por uma carga externa, tende aarmazenar energia internamente em todo o seu volume essa energia édenominada energia de deformação (ΔU). A formula da energia dedeformação por unidade de volume de material denominada densidade deenergia de deformação, pode ser expressa por:

u = ΔU = σε ΔV 2

Se o comportamento do material for linear elástico, então se aplica a leide Hooke e a densidade de energia pode ser expressa em termos da tensãouniaxial:

u = σ2 2E

A resiliência de um material é sua capacidade de absorver energia semsofrer qualquer dano permanente, ou seja, dentro da região elástica.Quando a tensão atinge o limite de proporcionalidade, a densidade deenergia de deformação é denominada módulo de resiliência (ur), queequivale à área triangular na regiação elástica do diagrama σ x ε (figura6.2-a).

ur = 1 σlp εlp = 1 σlp 2 2 2 E



a) b) Figura 6.2. Representação gráfica do módulo de resiliência e de

tenacidade

A tenacidade é a capacidade de um material em absorver energia até aruptura. A densidade de energia do material um pouco antes da ruptura édenominada módulo de tenacidade, representada pela área inteira sob odiagrama tensão-deformação (figura 6.2-b).

Ligas de metais também mudam sua resiliência e tenacidade. Osdiagramas tensão-deformação da figura 6.3, por exemplo, mostram como osgraus de resiliência e tenacidade podem mudar, conforme muda aporcentagem de carbono no aço.

Figura 6.3. Variação da resiliência e da tenacidade com relação aopercentual de carbono no aço.

6.5. Coeficiente de Poisson



Figura 6.4. Deformação lateral e longitudinal de material carregado portração.

Quando submetido a uma força de tração axial, um corpo deformável nãoapenas se alonga, mas também se contrai lateralmente. Da mesma formana compressão, que provoca contração na direção da força e expansãolateral. A razão entre as deformações na direção lateral e longitudinal é umaconstante, denominada coeficiente de Poisson (ν),

ν= - ϵlatϵlong

O coeficiente de Poisson é adimensional e seu valor está compreendido em 0 ≤ ν ≤ 0,5.

6.6. Exercícios52. O teste de tração para uma liga de aço resulta no diagramatensão-deformação da figura 6.5. Calcular o módulo de elasticidade e aresistência ao escoamento com base em uma deformação residual de 0,2%.Identificar no gráfico o limite de resistência e a tensão de ruptura.

Figura 6.5.



53. O diagrama tensão deformação de uma liga de alumínio usada parafabricar peças de aeronaves é mostrado na figura 6.6. Supondo que umcorpo-de-prova desse material seja tracionado com 600MPa, determine adeformação permanente que ficará no corpo-de-prova quando a carga forremovida. Calcular também o módulo de resiliência tanto antes como depoisda aplicação da carga.

Figura 6.6.

54. A haste de alumínio mostrada na figura 6.7-a tem seção transversalcircular e está submetida a uma carga axial de 10kN. Se uma parte dodiagrama tensão-deformação do material é mostrada na figura 6.7-b,determinar o alongamento aproximado da haste quando a carga é aplicada.Se a carga for removida, qual será o alongamento permanente da haste?Suponha que Eal = 70GPa.

Figura 6.7-a

Figura 6.7-b

55. uma barra feita de aço (Eaço = 200GPa) tem as dimensões mostradasna figura 6.8. supondo que uma força axial de P = 80kN seja aplicada a ela,determinar as mudanças em seu comprimento e nas dimensões de sua



seção transversal depois de aplicada a carga. O material comporta-seelasticamente.

6 – Carga Axial

Nas s anteriores desenvolvemos o método para encontrar a tensãonormal em elementos carregados axialmente. Nessa discutiremos comodeterminar a deformação desses elementos, desenvolvendo um métodopara encontrar as reações dos apoios quando elas não poderem serdeterminadas com a utilização das equações de equilíbrio. Analisaremos osefeitos da tensão térmica e a variação no comprimento provocada pelatemperatura.

Objetivos

• Apresentar a deformação elástica de um elemento com carga axial

• Apresentar determinação das reações problemas estaticamenteindeterminados

• Apresentar os efeitos da tensão térmica.



TÓPICO 1 – Membros carregados axialmente


• Determinar o deslocamento provocado por cargas axiais

• Analisar membros estaticamente indeterminados

• Calcular deslocamento provocado por uma tensão térmica

7.1 Carregamento axial com comportamento elástico.

Componentes estruturais submetidos apenas à tensão ou compressãosão chamados de membros carregados axialmente. Barras sólidas com eixoslongitudinais retos são o tipo mais comum, embora cabos e molas espiraistambém suportem cargas axiais. Exemplos de barras carregadas axialmentesão membros de suporte, hastes de conexão em motores, aros em rodas debicicleta, colunas em prédios entre outras aplicações.

As barras carregadas axialmente sofrem alongamento sob carga detração e encurtamento sob cargas de compressão. Para analisar essecomportamento, vamos considerar uma barra (Fig.7.1) submetida a umacarga de tração P. A tensão normal uniforme nas seções transversais é dadapela equação σ = P/A, em que A é a área da seção transversal. Se a barra éfeita de material homogêneo a deformação axial é ε = /L, em que é o

alongamento e L é o comprimento inicial da barra. Assumindo que omaterial é elástico linear, logo ele segue a lei de Hooke σ = ε.E, em que E éo módulo de elasticidade.

Figura 7.1

Usando a lei de Hooke e as definições de tensão e deformação,desenvolveremos uma equação para determinar a variação do comprimento(ΔL) de um elemento submetido a cargas axiais.

σ= PA e ϵ= δL ou ϵ= ΔLL

substituindo na lei de Hooke



σ = ϵ . E

PA=δL E ↔ δ= P LA EEquação 7.1

Embora a equação 7.1 tenha sido formulada a partir de um membro emtração, ela se aplica muito bem a um membro em compressão, nesse caso

representa o encurtamento da barra. Por convenção, o alongamento é

usualmente tomado como positivo e o encurtamento como negativo.Se a barra for submetida a diversas forças axiais diferentes ou, ainda, a

área da seção transversal ou o módulo de elasticidade mudaremabruptamente de uma região para outra da barra, a equação 7.1 poderá seraplicada a cada segmento da barra em que essa quantidades sejam todasconstantes. O deslocamento de uma extremidade da barra em relação àoutra é então determinado pela adição algébrica dos deslocamentos decada segmento.

δ=Σ P LA E Equação 7.2

Convenção de sinal positivo para carga e deslocamento na figura 7.2

Figura 7.2

Como exemplo considere a barra da figura 7.3 para obter o deslocamentoda extremidade A em relação à extremidade D devemos determinar asforças axiais internas P pelo método das seções para cada segmento,substituir os respectivos valores com o sinal adequado, temos:

Figura 7.2

δ=Σ P LA E= 5 kNLABAE+ (-3kN)LBCAE+ (-7kN)LCDAE

7.2. Estruturas Estaticamente IndeterminadasQuando as reações e forças internas de determinada estrutura podem ser

calculadas unicamente a partir de diagramas de corpo livre e equações de



equilíbrio sem saber as propriedades dos materiais, classifica-se esse tipode estrutura em estaticamente determinada.

A maioria das estruturas é mais complexa e suas reações e forçasinternas não podem ser encontradas apenas através da estática. Essasestruturas são classificadas como estaticamente indeterminadas. Paraanalisar tais estruturas devemos suplementar as equações de equilíbrio comequações adicionais de deslocamentos da estrutura.

As forças desconhecidas dos problemas estaticamente indeterminadossão calculadas satisfazendo-se os requisitos de equilíbrio, compatibilidade eforça-deslocamento do membro. Seguindo os passos do procedimento deanálise abaixo é possível determinar as forças desconhecidas, então:1. Desenhar o diagrama de corpo livre do elemento a fim de identificar

todas as forças que atuam sobre ele.2. O problema é classificado como estaticamente indeterminado se o

número de reações desconhecidas no diagrama de corpo livre for maiorque o número de equações de equilíbrio disponíveis;

3. Escrever as equações de equilíbrio do membro;4. Para estabelecer as equações de compatibilidade, desenhar o diagrama

de deslocamento a fim de investigar a maneira como o elementoalonga-se ou contrai-se quando submetido a cargas externas;

5. Expressar as condições de compatibilidade em termos do deslocamentoprovodado pelas forças;

6. Usar uma relação carga-deslocamento, tal como = PL/AE, para

relacionar os deslocamentos desconhecidos com as reaçõesdesconhecidas;

7. Resolver as equações de equilíbrio e compatibilidade para as forças dereação desconhecidas.

Considerando a figura 7.3, tem-se uma barra dita estaticamenteindeterminada visto que as equações de equilíbrio não são suficientes paradeterminar as reações de apoio.

Equação de equilíbrio: ΣFy = 0 FA + FB – P = 0

As condições de compatibilidade especificam as restrições que ocorremnos apoios ou outros pontos do membro. Como as extremidades da barra



estão fixas em apoios rígidos a condição de compatibilidade adequadarequer que o deslocamento relativo entre as extremidades seja nulo, logo:

Condição de compatibilidade: δA/B = 0 ; δA/D = δAC + δCB = 0 FALACAE- FBLCBAE=0 supondo AE constante, resolvendo as duas

equações

FA=PLCBL e FB=PLACL

7.3. Tensão TérmicaUma mudança na temperatura pode provocar alterações nas dimensões

de um material. Em geral, se a temperatura aumenta, o material seexpande; se a temperatura diminui, o material se contrai. Para materialhomogêneo e isotrópico, pode-se determinar o deslocamento provocadopela variação da temperatura ( T) a partir da equação 7.3

δT = α.ΔT.L

Onde: α é o coeficiente linear de expansão térmica (1/°C), ΔT é amudança na temperatura do elemento e L é o comprimento inicial doelemento.

7.4. Exercícos56. A barra (figura 7.4) composta de aço A-36 (Eaço = 210 GPa)é compostapor dois segmentos, AB e BD, com áreas de seção transversal AAB = 600mm2 e ABD = 1200 mm2, respectivamente. Determine o deslocamentovertical da extremidade A em relação à extremidade D.

Figura 7.4 Figura 7.557. Uma viga rígida AB está apoiada nos dois postes curtos (figura 7.5). Oposte AC é feito de aço e tem diâmetro de 20 mm, e o poste BD é feito de



alumínio e tem diâmetro de 40 mm. Determine o deslocamento do ponto F emAB se uma carga vertical de 90kN for aplicada nesse ponto. Considere Eaço =200GPa, Eal = 70GPa.

58. A coluna de aço (Eaço = 200GPa) é usada para suportar as cargassimétricas dos dois pisos de um edifício (figura 7.6). Determine o deslocamentovertical de sua extremidade, A se P1 = 200kN, P2 = 310kN e a coluna tiverárea de seção transversal de 14.625 mm2.

Figura 7.6.

59. O eixo de cobre (figura 7.7) está sujeito às cargas axiais mostradas nafigura. Determine o deslocamento da extremidade A em relação à extremidadeD se os diâmetros de cada segmento forem dAB = 20mm, dBC = 25 mm e dCD= 12 mm. Considere Ecobre = 126 GPa.

Figura 7.7Problemas Estaticamente indeterminados (60 a 62)60. A haste de aço (figura 7.8) tem diâmetro de 5 mm e está presa à paredefixa em A. antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede em B’e a haste. Determine as reções em A e B’ se a haste for submetida a uma forçaaxial P = 20kN. Despreze o tamanho do colar em C e considere Eaço = 200GPa.



Figura 7.8

61. O poste de alumínio (figura 7.9) é reforçado com um núcleo de latão. Seesse conjunto suportar uma carga de compressão axial resultante P = 45 kN,aplicada na tampa rígida, determine a tensão normal média no alumínio e nolatão. Considere Eal = 70 GPa e Elatão = 105 GPa.

Figura 7.9.Figura 7.10

62. As três barras de aço (figura 7.10) estão conectadas por pinos a umelemento rígido. Se a carga aplicada ao elemento for 15 kN, determine a forçadesenvolvida em cada barra. Cada uma das barras AB e EF tem área de seçãotransversal de 25 mm2, e a barra CD tem área de seção transversal de 15mm2. Eaço = 200 GPa.

Problemas de Tensão térmica (63 a 65)63. A barra de aço (figura 7.11) está restringida para caber exatamente entreos dois suportes fixos quando T1 = 30°C. Se a temperatura aumentar até T2 =60°C, determine a tensão térmica normal média desenvolvida na barra.



Figura 7.1164. Os diâmetros e materiais de fabricação do conjunto são indicados na figura7.12. Se o conjunto estiver bem ajustado entre seus apoios fixos quando atemperatura é T1 = 12°C, determine a tensão normal média em cada materialquando a temperatura atingir T2 = 18°C.

Figura 7.12

65. Os dois segmentos de haste circular (figura 7.13), um de alumínio e o outrode cobre, estão presos às paredes rígidas de modo tal que há uma folga de 0,2mm entre eles quando T1 = 15°C. Cada haste tem diâmetro de 30 mm, αal =24(10-6)/°C, Eal = 70 GPa, αcobre = 17(10-6)/°C, Ecobre = 126 GPa.Determine a tensão normal média em cada haste se T2 = 150°C. Calculetambém o novo comprimento do segmento de alumínio.

Figura 7.1



7 – Vasos de pressão de paredes finas

Nessa discutiremos a solução de problemas com análise de tensãodesenvolvida em vasos de pressão de paredes finas. Serão consideradosvasos cilíndricos e esférico.

Objetivos

• Apresentar definições e conceitos básicos para vasos de pressão

• Analisar tensões em vasos cilíndricos

• Analisar tensões em vasos esféricos.



TÓPICO 1 – Vasos Cilíndricos e esféricos


• Definição de vasos de pressão

• Análise de tensão em vasos cilíndricos

• Análise de tensão em vasos esféricos

8.1. IntroduçãoVasos cilíndricos ou esféricos são muito usados na indústria como

cadeiras, tanques ou reservatórios. Quando estão sob pressão, o material deque são feitos é submetido a cargas em todas as direções. Mesmo que sejaesse o caso, o vaso de pressão pode ser analisado de uma maneira maissimples, contanto que tena paredes finas. Em geral, “paredes finas”refere-se a um vaso para o qual a relação raio interno-espessura da paredetem valor igual ou superior a 10 (r/t ≥ 10).

Quando a parede do vaso é “fina”, a variação da distribuição de tensãopela sua espessura não será significativa, portanto consideraremos que elaé uniforme ou constante.

8.2 Vasos CilíndricosConsidere o vaso cilíndrico com parede de espessura t e raio interno r

como mostra a figura 8.1. A pressão manométrica p é desenvolvida nointerior do vaso por um gás ou fluido nele contido, cujo peso consideramosinsignificante. As paredes dos vasos cilíndrico estão submetidas à tensõesnormais σ1 na direção circunferencial ou do aro e σ2 no sentidolongitudinal ou axial. Ambas essas componentes da tensão exercemtração sobre o material. Para determinar cada uma dessas componentes emtermos da geometria do vaso e de sua pressão interna. Para isto, temos deusar o método das seções e aplicar as equações de equilíbrio de força.

Figura 8.1



Para equilíbrio na direção x e na direção y, obtem-se as tensões σ1 e σ2 emfunção da pressão interna, do raio e da espessura do cilindro. As equaçõessão:

σ1= prt e σ2= pr2t Onde: σ1 e σ2 – tensão normal nas direções circunferencial e longitudinal,respectivamente;p –pressão manométrica interna desenvolvida pelo gás ou fluido;r- raio interno do cilindrot – espessura da parede

8.3 Vasos esféricosPodemos analisar um vaso de pressão esférico de maneira semelhante.

Por exemplo, considere que o vaso tem espessura de parede t e raio internor e que está sujeito a uma pressão manométrica interna p. Se o vaso forsecionado pela metade, o diagrama de corpo livre é mostrado na figura 8.2.O equilíbro na direção y obtem-se a equação para tensão:

Figura 8.2

σ2= pr2t

Nos dois casos apresentados o material do vaso também está sujeito auma tensão radial, σ3 . Essa tensão tem um valor máximo igual à pressão pna parede interna e diminui até zero à medida que atravessa a parede ealcança a superfície externa do vaso. Entretanto, para vasos de paredesfinas ignoramos a componente radial, σ3 = 0.

8.4. Exercícios

66. Um vaso de pressão cilíndrico tem diâmetro interno de 1,2 e espessurade 12 mm. Determine a pressão interna máxima que ele pode suportar demodo que nem a componente de tensãocircunferencial nem a de tensãolongitudinal ultrapasse 140 MPA. Sob as mesmas condições, qual é apressão interna máxima que um vaso esférico de tamanho semelhante podesustentar?



67. Um tanque esférico de gás tem raio interno r = 1,5 m. Se for submetidoa uma pressão interna p = 300 kPa, determine a espessura exigida para quea tensão normal máxima não ultrapasse 12 Mpa.

68. Um tanque esférico pressurizado deverá ser fabricado com aço de 12mm de espessura. Se for submetido a uma pressão interna p = 1,4 Mpa,determine seu raio externo para que a tensão normal máxima nãoultrapasse 105 Mpa.

69. O tanque do compressor de ar (vaso cilíndrico) está sujeito a umapressão interna de 0,63 Mpa. Se o diâmetro interno do tanque for 550 mm ea espessura da parede for 6 mm, determine as componentes da tensão queagem na parede do cilindro.

70. Um tubo de extremidade aberta tem parede de espessura 2 mm ediâmetro interno 40 mm. calcule a pressão que o gelo exerceu na paredeinterna do tubo para provocar uma ruptura na parede. A tensão máxima queo material pode suportar na temperatura de congelamento é de 360 Mpa.

71. O tubo de extremidade aberta feito de cloreto de polivinil tem diâmetrointerno de 100 mm e espessura de 5 mm. Se transportar água corrente àpressão de 0,42 Mpa, determine as tensões nas paredes do tubo.



Resposta dos Exercícios

1 - Revisão dos Fundamentos de trigonometriaTÓPICO 1 – Revisão de Trigonometria

01 a) 5 b) 12 c) √702 a) 12 b) 24 c)2√2903 a) 6 b)3 c)904 a) x =10; y =24/5 b) x = 4;y = 4√305 a) 6√2 b) 4√2 c) 17 d) 506 4√3 m07 base = 10 m08 a) ½ b) 3/5 c) 3/509 a) ¾ b) ½ c) √11/610 a) 4/5 b) √3 c) 4/311 a) 10 b) 3√2 c) 10 d)16√312 a) x = 6; y = 6√3 b) x=8; y=4√3 c) x=18; y = 6√513 2√13 m14 8 m15 (5√7)/4 m

2 – Introdução à Mecânica

TÓPICO 2 – Fundamentos de Estática

16

97,6 N

17

32,3 N

18

a) 315,3N b) 397,9N c) 200,8N d) 253N e)323,5N f) 266,2 N

19

a) 50 N ; 37° b) 1 N ; 53°

20

a) 3,35 N b) 4 N

21

4 N e 5 N

22

5 N e 8,7 N

23

a) TAC = 724,6 N e TBC = 391,3 N ; b) TAC = 100 N e TBC= 100√3 N

24

a) 3,75N.m b) M1 = 0 ; M2 = 0,4N.m ; M3 = 0 ; M4 = 0,4N.mc) 2,5N.m

25

14N e 26N



26

5 cm

272829

TBC = 416,7N ; Ax = 333,3N ; Ay = 49,98NRAx = 0; RAy = 9,1kN e RB = 50,9kNN = 0 ; V = 15kN e MA = 40kN.m

3 – Fundamentos de Resistência dos Materiais TÓPICO 1 – Principais conceitos da Resistência dos Materiais

30

RA = 1,35 kN; RB = 1,65 kN

31

RA = 1,5 kN; RB = 1 kN.

32

RH = RV = 70,7 N; M = 7.070 N.m

33

FAB = 26,67 kN, FBC = 33,33 kN

34

200 N

35

RA = 1,9 kN; RB = 1,1 kN.

36

a) N = 0; V = 200N; M = 1200N.m b)N = 100N; V = 100√3N; M = 600√3N.mc) N = 0; V = 300N; M = 900N.m d) N = 75√3N; V = 75N;M = 630N.me) N = 50√3N; V = 50N; M = 300√3N.m f)N = 50√3N; V = 10N; M= 60N.m

4 – Tensão e DeformaçãoTÓPICO 1 – Tensão e Deformação

37

F = 392,7 N.

38

A = 2 cm x 2 cm.

39

δ = 0,4 mm.

40

E = 200 GPa.

41

d = 50,46 mm.

42

d = 26,6 mm.

4 σ = 22,72 MPa; δ = 0,1136 mm.



344

a) 197.820 N; b) 105 GPa; c) 0,002 (0,2%).

45

σ = 10,72 MPa, δ = 0,723 mm.

46

σ = 25 MPa, τ = 250kPa

47

ε = 0,65 x 10-3 , P = 2600kN

48

d = 0,08m

4950

a) τ = 63,7MPa , γ = 0,85 x 10-3 rad b) τ = 76,4MPa , γ = 1,02 x10-3 rad τ = 10,6 kN/cm2.

51

a)(σaço)adm = 340MPa , (σal)adm = 35MPa e (τpino)adm =450MPa.b)FAC = Fpino = 105kN e FB = 63kN . A estrutura não falha.

5 – Propriedades Mecânicas: Fundamentos

TÓPICO 1 – Propriedades mecânicas e Diagrama tensão-deformação

52

E = 31,2 x 103 ksi; σe = 68 ksi; σresil = 108 ksi e σrup = 90 ksi

53

εpermanente = 0,0150 ; (ures)inicial = 1,35 MJ/m3 ; (ures)final =2,40 MJ/m3

54

δaprox = 18,3 mm e δperm = 17,7 mm

55

δx = - 2,56 μm e δy = - 1,28 μm e δz = 120 μm

6 – Carga Axial

TÓPICO 1 – Membros carregados axialmente

56

δA = 0,61 mm

57

δF = 0,225 mm

58

δAB = - 1,74769 mm

59

δA/D = 3,8483 mm

60

FA = 16,6 kN e FB = 3,39 kN

61

σal = 5,09 MPa e σlatão =7,64 MPa



62

FA = 9,52 kN , FC = 3,46 kN e FE = 2,02 kN

63

σ =72 MPa

64

F = 4,20 kN

65

σ =185,58 Mpa e Lal = 200,117793 mm

7 – Vasos de pressão de paredes finas

TÓPICO 1 – Vasos cilíndricos e vasos esféricos

66

p = 2, 8 Mpa e p = 5,6 MPa

67

t = 18,8 mm

68

r = 18,875 m

69

σ1 = 28,88 Mpa , σ2 = 14,44 Mpa

70

p = 36 MPa

71

σ1 = 4,2 Mpa , σ2 = 0



Referência Bibliográfica

1. Dolce, O.; Pompeo, J.N. – Fundamentos de Matemática Elementar:geometria plana – vol.9 , 7ª edição, Editora Atual, São Paulo, 1998.

2. Bezerra, M.J. – Bezerra Matemática – 2º grau, Editora Scipione, SãoPaulo, 1994.

3. PENTEADO, P.C.M. – Física: Conceitos e Aplicações - Mecânica – 1ªedição, Vol.1. Editora Moderna. São Paulo,1998.

4. CALÇADA, C.S.; SAMPAIO, J. C. – Física Clássica (Dinâmica e Estática)– 2ª Edição. Editora Atual. São Paulo, 1998.

5. HIBBELER, R.C. – Resistência dos Materiais – 7ª Edição, Editora Pearson, São Paulo, 2009.

6. GERE, J.M. – Mecânica dos Materiais – Editora Thomson Learning, São Paulo, 2003.

7. BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E.R.; DeWOLF, J.T. – Resistência dos Materiais – 4ª Edição, Editora McGraw-Hill, São Paulo, 2006.


Hino do Estado do Ceará

Poesia de Thomaz LopesMúsica de Alberto NepomucenoTerra do sol, do amor, terra da luz!Soa o clarim que tua glória conta!Terra, o teu nome a fama aos céus remontaEm clarão que seduz!Nome que brilha esplêndido luzeiroNos fulvos braços de ouro do cruzeiro!

Mudem-se em flor as pedras dos caminhos!Chuvas de prata rolem das estrelas...E despertando, deslumbrada, ao vê-lasRessoa a voz dos ninhos...Há de florar nas rosas e nos cravosRubros o sangue ardente dos escravos.Seja teu verbo a voz do coração,Verbo de paz e amor do Sul ao Norte!Ruja teu peito em luta contra a morte,Acordando a amplidão.Peito que deu alívio a quem sofriaE foi o sol iluminando o dia!

Tua jangada afoita enfune o pano!Vento feliz conduza a vela ousada!Que importa que no seu barco seja um nadaNa vastidão do oceano,Se à proa vão heróis e marinheirosE vão no peito corações guerreiros?

Se, nós te amamos, em aventuras e mágoas!Porque esse chão que embebe a água dos riosHá de florar em meses, nos estiosE bosques, pelas águas!Selvas e rios, serras e florestasBrotem no solo em rumorosas festas!Abra-se ao vento o teu pendão natalSobre as revoltas águas dos teus mares!E desfraldado diga aos céus e aos maresA vitória imortal!Que foi de sangue, em guerras leais e francas,E foi na paz da cor das hóstias brancas!

Hino Nacional

Ouviram do Ipiranga as margens plácidasDe um povo heróico o brado retumbante,E o sol da liberdade, em raios fúlgidos,Brilhou no céu da pátria nesse instante.

Se o penhor dessa igualdadeConseguimos conquistar com braço forte,Em teu seio, ó liberdade,Desafia o nosso peito a própria morte!

Ó Pátria amada,Idolatrada,Salve! Salve!

Brasil, um sonho intenso, um raio vívidoDe amor e de esperança à terra desce,Se em teu formoso céu, risonho e límpido,A imagem do Cruzeiro resplandece.

Gigante pela própria natureza,És belo, és forte, impávido colosso,E o teu futuro espelha essa grandeza.

Terra adorada,Entre outras mil,És tu, Brasil,Ó Pátria amada!Dos filhos deste solo és mãe gentil,Pátria amada,Brasil!

Deitado eternamente em berço esplêndido,Ao som do mar e à luz do céu profundo,Fulguras, ó Brasil, florão da América,Iluminado ao sol do Novo Mundo!

Do que a terra, mais garrida,Teus risonhos, lindos campos têm mais flores;"Nossos bosques têm mais vida","Nossa vida" no teu seio "mais amores."

Ó Pátria amada,Idolatrada,Salve! Salve!

Brasil, de amor eterno seja símboloO lábaro que ostentas estrelado,E diga o verde-louro dessa flâmula- "Paz no futuro e glória no passado."

Mas, se ergues da justiça a clava forte,Verás que um filho teu não foge à luta,Nem teme, quem te adora, a própria morte.

Terra adorada,Entre outras mil,És tu, Brasil,Ó Pátria amada!Dos filhos deste solo és mãe gentil,Pátria amada, Brasil!

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