geometria espacial curso de licenciatura em matemática parte i

Geometria Espacial Curso de Licenciatura em Matemática

parte II

Prof.a Tânia Preto

Departamento Acadêmico de Matemática

UTFPR - 2014

Geometria Espacial - Paralelismo 1. Paralelismo de Retas

L20 Postulado das Paralelas ( de Euclides )

Por um ponto, existe uma única reta paralela

a uma reta dada.

L21 Transitividade do paralelismo de retas

Se duas retas são paralelas a uma terceira,

então elas são paralelas entre si.

( a // c e b // c ) ⇒ ( a // b )

(ver dem)

Geometria Espacial - Paralelismo 2. Paralelismo entre retas e planos

L22 Definição

Uma reta é paralela a um plano se, e somente se, eles não têm ponto em comum.

a // α ⇔ a ∩ α = ∅

L23 Teorema da existência de retas e planos paralelos

Condição suficiente:

Se uma reta não está contida num plano e é paralela a uma reta desse plano então ela é paralela ao plano.

(ver dem)


L24 Teorema da existência de retas e planos

paralelos (outro enunciado)

Se duas retas são paralelas e distintas, todo plano

que contém uma e não contém a outra é paralelo a

essa outra.


Para uma reta não contida no plano, ser paralela a

esse plano, ela deve ser paralela a uma reta do plano.

Condição necessária:

Se uma reta é paralela a um plano então ela é paralela

a uma reta do plano.


Teorema (outro enunciado) - Demonstração

Se uma reta é

paralela a um

plano então ela

é paralela a uma

reta do plano.

Geometria Espacial - Paralelismo 3. Posições relativas de uma reta e um plano

L26 Posições relativas

Uma reta e um plano podem ter em comum:

1º ) Dois pontos distintos: A reta está

contida no plano. a ⊂ α ⇔ a ∩ α = a

(reta a contém dois pontos)

2º ) Um único ponto: A reta e o plano

são concorrentes ou a reta e o plano

são secantes. a ∩ α = {P}

3º ) Nenhum ponto comum: A reta e

um plano são paralelos.

a // α ⇔ a ∩ α = ∅

Geometria Espacial - Paralelismo 4. Retas Reversas

L27 Problemas envolvendo duas retas reversas (r e s) e um ponto P devem ser analisados em três casos:

1º caso: O ponto pertence a uma das retas.

2º caso: O ponto e uma das retas determinam um plano paralelo a outra reta. Ex: α = (r, P) e a // s

3º caso: O ponto e qualquer

uma das retas determinam um plano não paralelo a outra reta.

α = (r, P) e α não paralelo a s

= (s, P) e não paralelo a r

Geometria Espacial - Paralelismo 5. Paralelismo entre planos

L28 Definição:

Dois planos são paralelos se, e somente se, eles não têm

ponto comum ou são iguais (coincidentes).

α // β ⇔ α = β ou α ∩ β = ∅


L29 Teorema da existência planos paralelos


Se um plano contém duas retas concorrentes, ambas

paralelas a outro plano, então esses planos são paralelos.

(ver dem)


Condição necessária e suficiente:

Se dois planos distintos são paralelos, então um

deles contém duas retas concorrentes, ambas

paralelas ao outro. Segue então a condição:

Uma condição necessária e suficiente para que

dois planos distintos sejam paralelos é que um

deles contenha duas retas concorrentes, ambas

paralelas ao outro.

Geometria Espacial - Paralelismo 6. Posições relativas de dois planos

L30 Posições relativas

Dois planos podem ocupar as seguintes posições

relativas:


6.2 Exemplos

(ex. 53) Se dois planos paralelos interceptam um terceiro,

então as interseções são paralelas.


6.2 Exemplos (cont.)

(ex. 56) Teorema da Unicidade: Por um ponto fora de um

plano, passa um único plano paralelo ao plano dado.

(ver dem.)

Geometria Espacial - Paralelismo

7. Três retas reversas duas a duas

L31 Problemas envolvendo retas reversas:

Três retas (r, s, t) reversas, duas a duas, podem ser

analisadas de duas formas:


8. Ângulo de duas retas – Retas Ortogonais

L32 Postulado da separação dos pontos de um

plano

Uma reta r de um plano, separa esse plano em dois

subconjuntos ’ e ’’ tais que:



L33 Ângulo de duas retas quaisquer



L35 Teoremas sobre ângulos de lados paralelos

a) Se dois ângulos tem os lados com sentidos

respectivamente concordantes, então eles são congruentes.

ver dem.



L35 Teoremas sobre ângulos de lados paralelos

b) Se dois ângulos têm os lados com sentidos

respectivamente discordantes, então eles são congruentes.

É uma aplicação do teorema do item a para ângulos

opostos pelo vértice:



L35 (cont.) c) Se dois ângulos são tais que um lado de

um deles tem sentido concordante com um lado do outro e

os outros dois lados tem sentidos discordantes, então eles

são suplementares.



L35 (cont.) - Conclusões



L36 Retas Ortogonais - Definição

Geometria Espacial - Perpendicularidade

1. Reta e plano perpendiculares L37 Definição

Uma reta e um plano são perpendiculares se, e somente

se, eles tem um ponto comum e a reta é perpendicular a

todas as reta do plano que passam por esse ponto comum.

Se uma reta a é perpendicular a um plano α, o traço de a

em α é chamado pé da perpendicular.


1. Reta e plano perpendiculares L38 Consequência da Definição

Se uma reta é

perpendicular a

um plano, então ela

forma ângulo reto

com qualquer reta

do plano.


1. Reta e plano perpendiculares L39 Teorema fundamental (condição suficiente)

Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de

um mesmo plano, então ela é perpendicular ao plano.

(ver dem)


1. Reta e plano perpendiculares L40 Generalização do Teorema fundamental

Se uma reta forma ângulo com duas retas concorrentes de

um plano, então ela é perpendicular ao plano.


1. Reta e plano perpendiculares Condição necessária e suficiente

Uma condição necessária e suficiente para que uma reta

seja perpendicular a uma plano é formar um ângulo reto

com duas retas concorrentes do plano.


1. Reta e plano perpendiculares Exemplo (ex.68) Sejam a, b e c três retas no espaço tais que a b

e c a. Que se pode concluir sobre as posições relativas

das retas

b e c?


1. Planos perpendiculares L41 Definição

Um plano α é perpendicular a um plano β se, e somente

se, α contém uma reta perpendicular a β .

A existência de um plano perpendicular a outro baseia-se

na existência de uma reta perpendicular a um plano.


1. Planos perpendiculares L42 Teorema

Se dois planos são perpendiculares entre si e uma reta de

um deles é perpendicular a interseção dos planos, então

essa reta é perpendicular ao outro lado.


1. Planos perpendiculares L43 Observações 1ª) Pela definição, se uma reta é perpendicular a um plano, qualquer outro plano que a contenha é

perpendicular ao primeiro.

2ª) Condição necessária e suficiente:

Uma condição necessária e suficiente para que dois planos secantes sejam perpendiculares é que toda a reta de um deles, perpendicular a interseção, seja perpendicular ao outro.

3ª) Planos oblíquos: Dois planos secantes, não perpendiculares são dito oblíquos.


1. Planos perpendiculares Exemplo

(ex.85) Se dois planos são perpendiculares entre si e uma

reta perpendicular a um deles tem um ponto comum com o

outro, então essa reta está contida nesse outro plano.

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