GEOMETRIA ESPACIAL

Rubens Junior Schwalemberg – CRTE - Cascavel

Matemática

RELAÇÃO DE EULER

• História de Euler;• Poliedros;• Poliedros Convexos e Regulares;• Relação de Euler;• Relação de Euler nos poliedros

regulares;• Atividades;• Links sobre poliedros.

HISTÓRIA DE LEONHARD EULER

• Nasceu em 15 de abril de 1707 na Basiléia Suiça;

• Em 1723 recebeu o grau de mestre em Filosofia;

• Ficou conhecido como pai da arquitetura naval por resolver o problema de encontrar a melhor maneira de colocar os mastros no navio;

• Produziu trabalhos fundamentais em Teoria de Números, Séries, Calculo de Variações, Mecânica entre outros;

• O asteróide 2002 foi chamado Euler em sua homenagem;

• Euler foi um dos inspiradores do jogo Sodoku;

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/Leonhard_Euler.jpeg

POLIEDROS

• POLIEDROS palavra grega que significa:

• POLI = vários

• EDROS = faces

POLIEDROS CONVEXOS

• Dados dois pontos quaisquer de um poliedro convexo, o segmento que tem esses pontos como extremidades, deverá estar inteiramente contido no poliedro.

POLIEDROS REGULARES

• É um poliedro que possui todas as suas faces regiões poligonais regulares (todos os lados de mesmo tamanho). Isto é, em cada vértice se encontra o mesmo número de arestas.

RELAÇÃO DE EULER

Dado um poliedro convexo vale a relação:

V + F = A + 2

V = vérticeF = faceA = aresta

TETRAEDRO

F = 4, V = 4 e A = 6

Então, temos que:

4 + 4 = 6 + 2

V + F = A + 2

HEXAEDRO

F = 6, V = 8 e A = 12

Então, temos que:

6 + 8 = 12 + 2

V + F = A + 2

OCTAEDRO

F = 8, V = 6 e A = 12

Então, temos que:

8 + 6 = 12 + 2

V + F = A + 2

DODECAEDRO

F = 12, V = 20 e A = 30

Então, temos que:

12 + 20 = 30 + 2

V + F = A + 2

ICOSAEDRO

F = 20, V = 12 e A = 30

Então, temos que:

20 + 12 = 30 + 2

V + F = A + 2

ATIVIDADES 1) Um poliedro convexo é constituído por seis

arestas e o seu número de vértices é igual ao número de faces. Quantos vértices possui o poliedro?

2) Um dodecaedro convexo possui todas as faces pentagonais. Quantos vértices possui esse poliedro?

3) Um poliedro convexo é constituído por doze vértices. E de cada vértice partem cinco arestas. Quantas faces possui esse poliedro?

RESOLUÇÃO1) A = 6 e V = F assim, temos V – 6 + V = 2 então V = 4

2) A = F = 12

V + F = A + 2 V + 12 = 30 + 2então V = 20

3) A = V = 12, A = 30

V + F = A + 2 12 + F = 30 + 2 então F = 20

3025.12

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LINKS SOBRE POLIEDROS• www.somatematica.com.br/emedio/

espacial/espacial7.php• www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/

gd_19t.php • http://www.profcardy.com/geodina/

espacial_platao.php• http://br.youtube.com/watch?v=AR-

aF0JB6ik