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Ensino Superior

Matemática Básica

Função Logarítmica

Amintas Paiva Afonso

Logaritmos

Logaritmos

Leonhard EulerJohn Napier

Logaritmos

Logaritmos

yxb logBase do logaritmo

Logaritmando Logaritmo

0x 01 b

Condição de Existência

yxb log xb y

Logaritmos



Logaritmos

y8log2 82 y

3y

8log2

38log2



Logaritmos

Logaritmos

Consequência da definição

01log1 bP

1log2 bP b

nbP n

b log3

cacaP bb loglog4

abPab

log

5

Logaritmos

Propriedades Operátórias

babaP ccc logloglog1

bab

aP ccc logloglog2

anaP b

n

b loglog3

Logaritmos

Logaritmos

Mudança de Base

b

aa

c

cb

log

loglog

bab

aa cc

c

cb loglog

log

loglog

Logaritmos

Logaritmos

(UDESC 2006-1) Se , e ,

pode-se afirmar que:

3log ba 4log cax

c

ba log

xc

ba log cb

c

baaa logloglog

43log c

ba

1log c

ba

c

ba 1

b

ca

Logaritmos

(UDESC 2007-2) A expressão que representa a

solução da equação 11x – 130 = 0 é:

13011x log

11130x log

130

11

logx

130

11x log

11 130x log

a)

b)

c)

d)

e)

b

clog a c b a

11 130x

130

11

a

b

c x

11130log x

11130x log


Definição

RRf

*: xxf blog

*

RDomínio

Rf Im

Imagem R

*

RfD


Representação Gráfica

xxf 2log

1 x

y

1

2

1

2

1

0


xxg2

1log

1

2

x

y

1

1

0



xxg2

1log

1

2

x

y

1

1

1 x

y

1

2

1

2

1

0 0

xxf 2log

1bCrescente

10 beDecrescent


Função Exponencial

x

y

1

y = ax

a > 1

y = ax

0 < a 1

Ex:

y = 2 x

Ex:

y = (1/2 )x


x

y

1

y = loga x

a > 1

y = loga x

0 < a 1

y = log2 x

y = log1/2 x

Função Inversa

x

y

1

y = loga x

y = ax

y = x

f(x) = ax

f -1(x) = loga x

a > 1

Crescente

1

Função Inversa

x

y

1

y = loga x

y = ax

y = x

1

f(x) = ax

f -1(x) = loga x

0 < a 1

Decrescente

Exercício

(UDESC 2007-2) A expressão que representa a

inversa da função 3

1f x log x é:

1 3 1xf x

1 3 1xf x

1 3 1f x x

1 3 1x

f x

1

1 3x

f x log

a)

b)

c)

d)

e)

3

1y log x

3 1

3 1

3 1

y

x

x

x

y

y

1 3 1xf x

Equação Logarítmica

xgxfxgxf bb loglog

53log2 x

325 x

x332

35x

03x

3x

35 S


xgxfxgxf bb loglog

295log 1 xx

9512

xx

95122 xxx

095 x5

9 x

01x 1 x

11x 2 x

01072 xx

21 x 51 x

5S


xgxfxgxf bb loglog

8log4log3log 555 xx

03x 3 x

04 x 4 x

41 x

3 x

4S

8log43log 55 xx

8122 xx

0202 xx 52 x0202 xx

Exercício

(UDESC 2006-2) O valor de x que torna a expressão

25log2

4

1 x

22

54

1

x

05 x

9x

verdadeira é:

25log2

4

1 x

251016 2 xx

9102 xx

11 x 92 x5x

C.E

Exercício

(UDESC 2006-1) Se , então o valor de

x é: 3

52loglog 88 xx

23

5

28 x

3

52loglog 88 xx

3

52log8 xx

23

53 22 x

25 22 x

216 x

2232 x

4x

0x

C.E

4x

Inequação Logarítmica

xgxf bb loglog

1b

xgxf

10 b

xgxf

5log3log 22 x

53x

8x

03x

C.E

3x

3/ xRxS

,3S


xgxf bb loglog

1b

xgxf

10 b

xgxf

2log82log3

2

3

2 xx

282 xx

6x

082 xC.E

4x

02 x

2x

I II

4 xIII


34log3log 22 xx

8122 xx

3

22 2log43log xx

3

22 2log43log xx

0202 xx

51 x42 x

x5– – – – – –

+ + +

4

+ + +

45 x


34log3log 22 xx

x5– – – – – –

+ + +

4

+ + +

45 x

03xC.E

3x

04 x

4x

3x

43/ xRxS

0202 xx

Inversa

Funções inversas

De modo análogo, de todas as possíveis bases “a” para o logaritmo,

veremos que a escolha mais conveniente é a “e”.

A função logarítmica y = logax é a inversa da função y = ax. Seu gráfico é

a reflexão de y = ax com relação a reta y = x.

Enquanto y = ax é uma função que cresce muito rapidamente, y = logax é

uma função de crescimento muito lento.

Exemplo

Uma aplicação da função logarítmica

A escala Richter é uma escala logarítmica de medição da

energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas

que se propagam pela crosta terrestre. Nela é usado o

logaritmo decimal;

Os valores desta escala são chamados de magnitudes;

Durante um terremoto um sismógrafo registra essa

magnitude durante um certo intervalo de tempo;

Exemplo

Essa magnitude pode ser calculada a partir da seguinte equação:

Onde:

Ms: magnitude na escala Richter;

A: amplitude do movimento da onda (registrada em micrômetros);

f: freqüência da onda (medida em hertz).

30,3).(log10 fAM s

Exemplo

Suponha que para um certo terremoto foi registrada a amplitude

A = 1000 m e uma freqüência de 0,1 Hz. A magnitude desse

terremoto é:

Para se ter uma idéia, uma magnitude de 9 graus provocaria a

destruição total das construções de uma grande cidade.

Como a escala é de base 10, um tremor de magnitude 8 seria 10

vezes menor em relação à magnitude de intensidade 9. Ou seja, a

cada grau a menos, a energia liberada diminui 10 vezes.

O valor acima é considerado moderado.

33,5

30,32

30,3100log

30,3)1,0.1000(log

30,3).(log

10

10

10

s

s

s

s

s

M

M

M

M

fAM

Exemplo

O record é de 9,5 graus, registrado no terremoto que atingiu o Chile, noséculo XX.

Exemplo

Funções inversas

A vida média do estrôncio-90 90Sr, é de 25 anos. Isso significa que

a metade de qualquer quantidade de 90Sr vai se desintegrar em 25

anos.

Considere que uma amostra de 90Sr tem uma massa de 24 mg.

Como a massa de 24 mg se reduz a metade a cada 25 anos,

então:

)24.(2)24.(

2

1....)(

)24(2

1)24(

2

1.

2

1)50(

2

1)75(

)24(2

1)24(

2

1.

2

1)25(

2

1)50(

)24(2

1)0(

2

1)25(

24)0(

25

25

32

2

t

ttm

mm

mm

mm

m

Exemplo

Funções inversas

Portanto, a função para este caso é:

Como a função logarítmica inversa dessa função é:

Se quisermos saber, por exemplo, o tempo necessário para que uma massa de 5

mg se desintegre, basta substituir m por 5 na fórmula:

252.24)(t

tm

)ln24(ln2ln

25)(1 mmf

anosf

f

mmf

6,56693,0

225,39

693,0

)609,1178,3.(25)5(

)5ln24(ln2ln

25)5(

)ln24(ln2ln

25)(

1

1

1

Funções Logaritmos Neperianos

Como todas as outras funções logarítmicas com base maior que 1, o

logaritmo neperiano é uma função crescente definida m (0,) tendo

o eixo y como assíntota vertical.

1) Construir o gráfico de y = lnx;

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-4

-2

0

2

4


2) depois, deslocamos 2 unidades para a direita, obtendo o gráfico

y = ln(x-2);


3) desloque novamente para baixo de uma unidade para obter

y = ln(x - 2) -1;

Métodos de Cálculo I

Assíntotas

Definição: A reta x=a é chamada assíntota vertical da curva y=f(x) se

pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita:

)(lim xfax

)(lim xfax

)(lim xfax

)(lim xfax

)(lim xfax

)(lim xfax


Exemplos

)(lim xfax

x

yx=a


Um outro exemplo de uma função cujo gráfico tem uma assíntota vertical

é a função logaritmo natural y=lnx.

O eixo y funciona como uma assíntota.

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-4

-2

0

2

4

)(lim0

xfx

Métodos de Cálculo I Em contrapartida, o gráfico da função exponencial y=ex tem o eixo x como

assíntota horizontal.

Para basta tomar t=1/x pois sabemos que quando

x 0-, t - , portanto:

0lim

x

xe

0lim

x

xe

0limlim1

0

t

t

x

xee

Exercícios

Responda

a) Quando uma função logarítmica é considerada crescente? Edecrescente?

b) Qual o domínio? E qual a imagem de uma função logarítmica?

c) Em que quadrantes se localiza o gráfico de uma funçãologarítmica?

d) Qual a condição de existência de uma função logarítmica?

Respostas

Decrescente se Crescente se

2y - 1

Exercícios

O número de bactérias de uma cultura, t horas

após o início de certo experimento, é dado pela

expressão N = 1200.20,4.t. Nessas condições,

quanto tempo após o início do experimento a

cultura terá 38400 bactérias?

Exercícios

Numa certa cultura, há 1000 bactérias num

determinado instante. Após 10 min, existem 4000.

Quantas bactérias existirão em 1h, sabendo que

elas aumentam segundo a fórmula P = P0.ekt, em

que P é o número de bactérias, t é o tempo em

horas e k é a taxa de crescimento?

Exercícios

Estima-se que a população de uma certa cidade

cresça 3% a cada 8 anos. Qual será o crescimento

estimado para um período de 24 anos?

Exercícios

Resolva a equação 3x = 5.

Dados log2 = 0,3; log3 = 0,48 e log5 = 0,7; resolva

a equação 52x – 7 . 5x + 12 = 0.

Exercícios

Sabemos que o número de bactérias numa cultura,

depois de um tempo t, é dado por

N = N0 . er.t,

em que N0 é o número inicial (quando t = 0) e r a

taxa de crescimento relativo.

Em quanto tempo o número de bactérias dobrará se

a taxa decrescimento é de 5% ao minuto?

Exercícios

Em quantos anos 500g de uma substância

radioativa, que se desintegra a uma taxa de 3% ao

ano, se reduzirão a 100g?

Use Q = Q0 . e-r.t, em que Q é a massa da substância,

r é a taxa e t é o tempo em anos.

Exercícios

Segundo o Banco Mundial, a previsão do

crescimento demográfico na América Latina, no

período de 2004 à 2020, é de 1,2% ao ano,

aproximadamente. Em quantos anos a população

da América Latina vai dobrar se a taxa de

crescimento continuar a mesma?

Exercícios

Uma pessoa coloca R$ 1.000,00 num fundo de

aplicação que rende, em média, 1,5% ao mês. Em

quantos meses essa pessoa terá no mínimo R$

1.300,00? Use uma calculadora para fazer os

cálculos.

Exercícios

O dono de uma concessionária de veículos usa a

expressão V = 40 000.(0,96)t para calcular, em

reais, o valor de um certo tipo de automóvel após t

anos de uso. Para o cálculo do valor de um

automóvel de outra marca, é usada a expressão

V1 = 50000.(0.9)t. Usando logaritmos, determine

após quanto tempo os veículos terão o mesmo

valor de mercado.

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