funçãoquadrática

MÓDULO I – PARTE 2

FUNÇÃO QUADRÁTICA

MATEMÁTICA

2011 1

Prof. Bruno Vianna Projeto

Vestibular

FUNÇÃO QUADRÁTICA - Definição

f: R→R

f(x) = ax2 + bx + c

- Raíz ou zero

f(x) =0 → ax2 + bx + c = 0

→ a

bx

21

∆+−= e a

bx

22

∆−−=

onde acb 42 −=∆ Representação Gráfica :

Vemos que quando ∆ = 0 a parábola tangencia o eixo x, num único ponto que é a própria solução da equação do 2º grau :

a

b

a

b

a

b

a

bx

22

0

2

0

2

−=±−=±−=∆±−=

logo pela figura concluímos que :

a

bxv 2

−= , substituindo xv em :

y = ax2 + bx + c , temos:

∆−−=

∆−=

−−=+−=

+−=

+−=

+−=

+−+

−=

aa

bVDaí

ay

a

acb

a

acby

a

acbby

ca

b

a

by

ca

b

a

bay

ca

bb

a

bay

v

v

v

v

v

v

4,

2,

4

4

)4(

4

4

4

42

24

24.

2.

2.

22

22

22

2

2

2

2

APÊNDICE - Revisando : EQUAÇÕES DO 2º GRAU: ax2 + bx + c = 0 (multiplicar por 4a)

4a (ax2 + bx + c) = (4a) . 0

4a2x2 + 4abx + 4ac = 0

(somar b2)

4a2x2 + 4abx +b2 + 4ac = b2

(2ax + b)2 = b2 - 4ac

(raiz quadrada)

( )2 42 2ax b b ac+ = −

2ax + b = b ac2 4−

2ax = − ± −b b ac2 4

xb b ac

a= − ± −2 4

2 x

b

a= − ± ∆

2



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2011 2


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Soma das raízes: S = x1 + x2

S =− + + − − = − − = − = −b

a

b

a

b b

a

b

a

b

a

∆ ∆2 2 2

2

2

Produto das raízes: P = x1 . x2

P = − +

− −

= − − = − =b

a

b

a

b

a

b

a

∆ ∆ ∆ ∆2 2 4 4

2 2

2

2

2

( ) ( )

b b ac

a

ac

aa

c

a

2 2

2

4

4

4

4

− + = =

Sb

ae P

c

a= − =

Resolução de alguams equações do 2º grau incompletas: a) x2 - 25 = 0 b) x2 + x = 0 x2 = 25 x (x + 1) = 0

x =± 25 x = 0 ou x + 1 = 0 x = ±±±± 5 x = 0 ou x = -1 c)3x2 - 12 = 0 d) 3x2 - 6x = 0 3x2 = 12 3x ( x - 2) = 0 x2 = 12 / 3 3x = 0 ou x - 2 = 0

x = ± 4 x = 0 ou x = 2 x = ±±±± 2 Resolução das equações do 2º grau completas: a) x2 - 5x + 6 = 0

x =− − ± − −

= ± −( ) ( ) ( )( )

( )

5 5 4 1 6

2 1

5 25 24

2

2

=

5 1

2

5 1

2

6

23

4

221 2

± = ± == = = = =x e x

Resolução por Soma e Produto a) x2 - 5x + 6 = 0

Sb

ae P

c

a= − = − − = = = =( )5

15

6

16

Temos que pensar em dois números que somados resultam 5 e multiplicados resultam 6. 2 e 3 2 + 3 = 5 e 2 . 3 = 6 . Portanto x1 = 2 e x2 = 3 Observações

Sinais do Delta nº de soluções ∆ > 0 2 ∆ = 0 1 ∆ < 0 nenhuma

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01) Dada a função f(x) = -x2 + 4x + 5 , o gráfico da

mesma está representado abaixo: As coordenadas corretas dos pontos do gráfico são: (A) C=(0,5) ; A=(-1,0) ; B=(5,0) ; V=(3,9) (B) C=(0,4) ; A=(0,-1) ; B=(0,5) ; V=(2,9) (C) C=(0,5) ; A=(0,-1) ; B=(0,5) ; V=(9,2) (D) C=(0,5) ; A=(-1,0) ; B=(4,0) ; V=(3,4) (E) C=(0,5) ; A=(-1,0) ; B=(5,0) ; V=(2,9) 02) (CESGRANRIO) - O vértice da parábola f(x) = x2 + x é o ponto: (A) (-1,0) (B) (-1/2,-1/4) (C) (0,0) (D) (1/2,3/4) (E) (1,2) 03)O valor mínimo da função real f(x) = x2 + x + 1, é:

(A) -1 (B) 0 (C) 1

2 (D)

2

3 (E)

3

4

04) Dados os dois gráficos abaixo quais das funções abaixo correspondem aos gráfico de f1 e f2 respectivamente: (A) f1(x) = -x2 +16 e f2(x) = -x2 + 4x (B) f1(x) = x2 -16 e f2(x) = -x2 + 4x (C) f1(x) = -x2 + 4 e f2(x) = x2 + 4x (D) f1(x) = x2 - 4x e f2(x) = -x2 + 36 (E) f1(x) = x2 - 4x + 2 e f2(x) = 2x2 + 3x + 2

B A

C

V

4

4 0 2

f2

-4

f1

4

-16



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2011 3


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05)

Considerando o gráfico acima referente ao

trinômio do 2º grau cbxaxy ++= 2 , pode-se afirmar que: (A) 0;0;0 <>> cba

(B) 0;0;0 ><> cba

(C) 0;0;0 <<< cba

(D) 0;0;0 <>< cba

(E) 0;0;0 >>< cba

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 06) Um soldado entrincheirado em um terreno horizontal lança uma granada, que parte do nível do solo e descreve uma trajetória que obedece à equação

9

40

9

2

45

1 2 ++−= xxy , sendo x e y medidas em

metros. A distância entre o ponto de lançamento e o ponto atingido pela granada no solo, considerado como o eixo Ox, é: (A) 30 m (B) 40 m (C) 50 m (D) 60 m 07) (UERJ-2005) Numa operação de salvamento marítimo, foi lançado um foguete sinalizador que permaneceu aceso durante toda sua trajetória. Considere que a altura h, em metros, alcançada por este foguete, em relação ao nível do mar, é descrita por h = 10 + 5t - t2, em que t é o tempo, em segundos, após seu lançamento. A luz emitida pelo foguete é útil apenas a partir de 14 m acima do nível do mar. O intervalo de tempo, em segundos, no qual o foguete emite luz útil é igual a: (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 08) (UFF) - Considerem m , n e p números reais e as funções reais f e g de variável real, definidas por f(x) = mx2 + nx + p e g(x) = mx + p . A alternativa que melhor representa os gráficos de f e g é:

(A) (B) (C) (D) (E) 09) (UFRRJ) O custo de produção de um determinado artigo é dado por C(x) = 3x 2 - 15x + 21. Se a venda de x unidades é dada por V(x) = 2x 2 + x, para que o lucro L(x) = V(x) - C(x) seja máximo, devem ser vendidas: (A) 20 unidades (B) 16 unidades (C) 12 unidades (D) 8 unidades (E) 4 unidades 10) (UFRJ) - Oscar arremessa uma bola de basquete cujo centro segue uma trajetória plana vertical de

equação y x x= − + +1

7

8

722 , na qual os valores x e

y são dados em metros. Oscar acerta o arremesso, e o centro da bola passa pelo centro da cesta, que está a 3m de altura. Determine a distância da cesta ao eixo y.

11) Num campo de treinamento, um projétil e um míssil são lançados, no mesmo instante, de bases distantes 20 km uma da outra. A trajetória do projétil é uma parábola de equação y =� -x2 + 4x, e a trajetória do míssil é uma reta de equação y = ax + b. Essa situação está representada no esquema abaixo, em que os eixos x e y são graduados em quilômetros.



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Determine a e b, sabendo que o míssil deverá atingir o projétil quando este alcançar a altura máxima da sua trajetória (ponto E).

12) (UFF-92 – 2ª fase) O lucro mensal L de certa fábrica é dado por L(x) = -x2 + 18x -32 , sendo x medido em milhares de peças,e L, em milhões de reais. Calcule o número de peças que devem ser produzidas mensalmente:

a) Para que a fábrica obtenha o lucro máximo.

b) Para que o lucro seja de R$ 40.000.000,00.

13) (UERJ-01-1ªex) – A figura abaixo mostra um anteparo parabólico que é representado pela

função xxxf 323

3)( 2 +−=

Uma bolinha de aço é lançada da origem e segue uma trajetória retilínea. Ao incidir no vértice do anteparo é refletida e a nova trajetória é simétrica à inicial, em relação ao eixo da parábola. O valor do ângulo de incidência α corresponde a: (A) 30º (B) 45º (C) 60º (D) 75º

14) Um dia na praia a temperatura atingiu o seu valor máximo às 14 horas. Supondo que neste dia a temperatura f(t) em graus era uma função do tempo t medido em horas, dada por f(t) = - t2 + bt – 156 quando 8 < t < 20, pede-se: a) O valor de b b) a temperatura máxima atingida neste dia.

15) (UERJ) Numa partida de futebol, no instante em que os raios solares incidiam perpendicularmente sobre o gramado, o jogador "Chorão" chutou a bola em direção ao gol, de 2,30m de altura interna. A sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol. A bola descreveu uma parábola e quando começou a cair da altura máxima de 9 metros, sua sombra se encontrava a 16 metros da linha do gol. Após o chute de "Chorão", nenhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento. A representação gráfica do lance em um plano cartesiano está sugerida na figura a seguir:

A equação da parábola era do tipo: y = −36

2x + k.

O ponto onde a bola tocou pela primeira vez foi: (A) na baliza. (B) atrás do gol. (C) dentro do gol. (D) antes da linha do gol.

16) (PUC) Considere a função f:[-8,3]→R, definida por f(x) = x2 + 12x + 35 . Então a imagem de f é um intervalo de comprimento:

(A) 75 (B) 78 (C) 81 (D) 83 (E) 90

17) (UERJ-06-2ºex) Um barco percorre seu trajeto de descida de um rio, a favor da correnteza, com a velocidade de 2 m/s em relação à água. Na subida, contra a correnteza, retornando ao ponto de partida, sua velocidade é de 8 m/s, também em relação à água. Considere que: - o barco navegue sempre em linha reta e na direção da correnteza; - a velocidade da correnteza seja sempre constante; - a soma dos tempos de descida e de subida do barco seja igual a 10 min. Assim, a maior distância, em metros, que o barco pode percorrer, neste intervalo de tempo, é igual a: (A) 1.250 (B) 1.500 (C) 1.750 (D) 2.000

0

α

f(x)

x



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18) (UFRJ-92) Considere a função y = f(x) definida por:

≤≤+−=≤≤=

62,6

20,42 xsexxy

xsexy

a) Esboce o gráfico de y = f(x) no intervalo de [0, 6]

b) Para que valores de x temos f(x) = 5 ?

19) (UFRJ-98-PNE) Um fabricante está lançandoa série de mesas “Super 4”. Os tampos das mesas dessa série são retangulares e têm 4 metros de perímetro. A fórmica usada para revestir o tampo custa R$ 10,00 por metro quadrado. Cada metro de ripa usada para revestir as cabeceiras custa R$ 25,00 e as ripas para as outras duas laterais custam R$ 30,00 por metro. a) Determine o gasto do fabricante para revestir um a mesa dessa série com cabeceira de medida x . b) Determine as dimensões da mesa da série “Super 4” para a qual o gasto com o revestimento é o maior possível. 20) (UFRJ-2001-PNE) Um grupo de 40 moradores de uma cidade decidiu decorar uma árvore de Natal gigante. Ficou combinado que cada um terá um número n de 1 a 40 e que os enfeites serão colocados na árvore durante os 40 dias que precedem o Natal da seguinte forma: o morador número 1 colocará 1 enfeite por dia a partir do 1º dia; o morador número 2 colocará 2 enfeites por dia a partir do 2º dia e assim sucessivamente (o morador número n colocará n enfeites por dia a partir do n-ésimo dia). a) Quantos enfeites terá colocado ao final dos 40 dias o morador número 13? b) A Sra. X terá colocado, ao final dos 40 dias, um total de m enfeites. Sabendo que nenhum morador colocará mais enfeites do que a Sra. X, determine m .

21) (AFA-00) O retângulo, com base no eixo das abcissas, está inscrito numa parábola, conforme figura abaixo. O valor de x que faz esse retângulo ter perímetro máximo é (A) 1 (B) 0,5 (C) 0,25 (D) 0,125 22) (ENEM 2010) Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia do processo. Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função:

em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado. Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48 ºC e retirada quando a temperatura for 200 ºC. O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a: (A) 100 (B) 108 (C) 128 (D) 130 (E) 150 23) (UFF-2002-2ªf) Um muro, com 6 metros de comprimento, será aproveitado como parte de um dos lados do cercado retangular que certo criador precisa construir. Para completar o contorno desse cercado o criador usará 34 metros de cerca. Determine as dimensões do cercado retangular de maior área possível que o criador poderá construir.

R$ 10,00/m2

R$ 25,00/m

R$ 30,00/m

x 2 x

y 8

−2 –x



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24) (UFF-99-2ª f)- A parábola abaixo representa o lucro mensal L (em reais) obtido em função do número de peças vendidas de um certo produto.

Determine:

a) o número de peças que torna o lucro nulo;

b) o(s) valor(es) de x que torna(m) o lucro negativo;

25) (ENEM 09 prova anulada) A empresa WQTU Cosmético vende um determinado produto x, cujo custo de fabricação de cada unidade é dado pó 3x2 + 232, e o seu valor de venda é expresso pela função 180x – 116. A empresa vendeu 10 unidades do produto x, contudo a mesma deseja saber quantas unidades precisa vender para obter um lucro máximo. A quantidade máxima de unidades a serem vendidas pela empresa WQTU para obtenção do maior lucro é: (A) 10 (B) 30 (C) 58 (D) 116 (E) 232 Questão Melhorada : A empresa WQTU Cosmético vende um determinado produto P. O custo de fabricação de x unidades de P é dado por 3x2 + 232, e o valor de venda de x unidades é dado por 180x – 116. A empresa vendeu 10 unidades do produto P e deseja saber quantas unidades precisa vender para obter um lucro máximo. A quantidade de unidades a serem vendidas pela empresa WQTU para obtenção desse lucro máximo é: (A) 10 (B) 30 (C) 58 (D) 116 (E) 232

26) (UFF-2010-1ªF) Em Mecânica Clássica, a norma G do campo gravitacional gerado por um corpo de massa m em um ponto a uma distância d > 0 do corpo é diretamente proporcional a m e inversamente proporcional ao quadrado de d. Seja G = f (d) a função que descreve a norma G do campo gravitacional, gerado por um corpo de massa constante m em um ponto a uma distância d > 0 desse corpo. É correto afirmar que f (2d) é igual a:

(A) 4

)(df (B)

2

)(df (C) )(4 df

(D) )(2 df (E) )(df

27) (UERJ-2010-2ª fase) Um terreno retangular tem 800 m de perímetro e será dividido pelos segmentos PA e CQ em três partes, como mostra a figura.

Admita que os segmentos de reta PA e CQ estão contidos nas bissetrizes de dois ângulos retos do terreno e que a área do paralelogramo PAQC tem medida S. Determine o maior valor, em m2 , que S pode assumir. 28) (UERJ-2007-2ªF) A foto abaixo mostra um túnel cuja entrada forma um arco parabólico com base AB=8m e altura central OC=5,6m.

Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujo eixo horizontal Ox é



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tangente ao solo e o vertical Oy representa o eixo de simetria da parábola. Ao entrar no túnel, um caminhão com altura AP igual a 2,45 m, como ilustrado a seguir, toca sua extremidade P em um determinado ponto do arco parabólico.

Calcule a distância do ponto P ao eixo vertical Oy. 29) (UERJ-2009-ESP) Observe a parábola de vértice V, gráfico da função quadrática definida por y = ax2 + bx + c, que corta o eixo das abscissas nos pontos A e B.

Calcule o valor numérico de ∆ = b2 - 4ac, sabendo que o triângulo ABV é equilátero. 30) (UFRJ-2010-PNE) Determine a equação da parábola que passa pelo ponto P1 = (0,a) e é tangente ao eixo x no ponto P2 = (a,0), sabendo que a distância de P1 a P2 é igual a 4.

31) (UFF-2010-2ªF-IJ) A figura abaixo representa um quadrado MNPQ inscrito no quadrado ABCD cuja área mede 16 cm2.

Determine: a) as medidas de AM e MB para que a área do quadrado MNPQ seja igual a 9 cm2; b) as medidas de AM e MB para que a área do quadrado MNPQ seja a menor possível. Justifique suas respostas. 32) (AFA-03)Observe o gráfico da função f abaixo.

Sabendo que f é definida por

≥+<++=

1xse,kpx

1xse,cbxax)x(f

2 analise as alternativas e

marque a opção correta.

(A) ac < 0 (C) p = –1 (B) pk ≥ 0 (D) ab > 0 33) (UNICAMP - 2002) Uma transportadora entrega, com caminhões, 60 toneladas de açúcar por dia. Devido a problemas operacionais, em um certo dia cada caminhão foi carregado com 500kg a menos que o usual, tendo sido necessário, naquele dia, alugar mais 4 caminhões. a) Quantos caminhões foram necessários naquele dia? b) Quantos quilos transportou cada caminhão naquele dia?

0 45° 1

x

y



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DESAFIOS 34) (UNICAMP - 2002) Uma piscina, cuja capacidade é de 120m3 , leva 20 horas para ser esvaziada. O volume de água na piscina, t horas após o início do processo de esvaziamento, é dado pela função V(t) = a(b – t)2 para 0 ≤ t ≤ 20 e V(t) = 0 para t ≥ 20. a) Calcule as constantes a e b. b) Faça o gráfico da função V(t) para t ∈ [0,30]. 35) (AMAN-2005) Um foguete de reconhecimento foi lançado de um ponto

da superfície da Terra e, devido a defeitos estruturais,

precisa ser destruído. Sua trajetória plana segue o

gráfico .300402 −+−= xxy

Com qual inclinação deve ser lançado um míssil do

mesmo local, em trajetória retilínea, para destruir o

foguete no ponto mais distante da Terra? (Obs.:

considere o eixo das abscissas a superfície terrestre)

(A) arctg 10 (B) arctg 5

(C) arctg 20 (D) arctg 1

(E) arctg 3

GABARITOS 01) E 02) B 03) E 04) B 05) E 06) A 07) A 08) E 09) D 10) 7m 11) a = -2/9 e b = 40/9 12) a) 9.000 b) 6.000 ou 12.000 13) A 14) a) 28 b) 40º 15) C 16) C 17) B 18) b) x = 5/4 e x = 5 19) a) G(x) = 120 + 10x -10x2 b) ½ m 20) a) P13 = 364 b) m = 420

21) B 22) D 23) Quadrado de lado 10 m

24) a)50

1−=a

b) Devem ser vendidas 150 ou 450 peças.

25) B 26) A 27) 20 000 m2

28) x = 3m 29) ∆ = 12

30) 2224

2 2 +−= xxy e

2224

2 2 −+−= xxy

31) A) cmMBecmAM2

22

2

22 +=−=

(ou vice-versa) B) AM = MB = 2 cm 32) D 33) a) 24 caminhões b) 2 500kg

34) a) a = 10

3e b = 20. b) está no final da lista

35) A



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Resolução de Algumas questões Questão 23)

O perímetro do cercado é dado por : 6 + x + y + x + 6 + y. Como o muro de 6m será aproveitado, tem-se que 34 = x + y + x + 6 + y, ou seja y = 14 – x A área do cercado é dada por A = (x + 6) y = (x + 6) (14 – x) = -x2 + 8x + 84, 0 ≤ x <14 que pode ser representada graficamente por um arco de parábola, com concavidade voltada para baixo e vértice no ponto de

abscissa: 4)1(2

8 =−⋅

−=vx , que fornece o maior valor

para a área. Portanto, o valor de y no cercado é y = 14 – x = 14 – 4 = 10. Logo, o cercado de maior área será o quadrado de lado igual a 10m. Questão 24)

a) Se L = 0 , x = 100 é uma das raízes. Como o máximo de L ocorre para x = 300 a outra raiz é x = 500. O lucro é nulo para 100 peças ou para 500 peças

b) O lucro é negativo para 0 ≤ x < 100 e 500 < x ≤ 600 (pela simetria da parábola).

c) Equação da parábola:

L(x) = a (x – 100) (x – 500) = L(x) = a (x2 – 600 x + 50000)

Como L(0) = – 1000

50 000 a = – 1000

50

1−=a

L(x) = –

Desejamos encontrar x de modo que

– 12x + 1000 + 350 = 0

Logo,

x2 – 600x + 67500 = 0 ⇔

Assim,

x = 150 peças ou x = 450 peças Devem ser vendidas 150 ou 450 peças. Questão 27)

2

2

2

00020

8

)0160000(

)2(4

)0)2(4400(

4

:

4002)2400(

2400400280042

mA

aA

Logo

xxxxyA

xyxyxy

xDPAD

yAQPC

MÁX

MÁX

=

−−−=

−⋅⋅−⋅−−=∆−=

+−=⋅−=⋅=

−=⇒=+⇒=+

==

==

Questão 28) y = ax2 + 5,6 16a + 5,6 = 0 ⇒ a = −0,35 y = −0,35x2 + 5,6 = 2,45 x ==== 3m



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Questão 29) Os pontos A = (x1,0) e B =(x2,0) estão situados no eixo

das abscissas logo raízes x1 e x2 são as raízes da função. Logo:

=

∆−−−∆+−=−==a

b

a

bxxAB

2212l

aaa

bb ∆=∆=

∆++∆+−=2

2

2l

Observe também que:

( ) ( )

12

34

4

4

4

316

)4(4316

234

234

2

3

4

2

3

4

2

3

2

22

2

2

2222

22

=∆∆=⋅

∆∆⋅=

∆∆⋅

∆÷∆⋅=∆⋅

∆−=∆

∆−=∆

∆=∆−

⋅∆=∆−

=

= ∆

a

a

a

a

aaa

aa

aa

aa

aa

y

hy

V

VABV

l

Questão 30)

>> 22

42

=

=

a

a

y = Ax 2 + Bx + C >>> c = 22 e

AB

A

B

xv

24

222

22

−=

=−=

Como 22 é raiz: y = Ax 2 + Bx + C

0 = A ( 22 )2 + B . 22 + 22

0 = 8A + 22 B + 22 (substituindo)

0 = 8A + 22 .( A24− ) + 22



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2011 11


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0 = 8A −−−−16A + 22

0 = −−−−8A + 22

8A = 22

A = 4

2

Substituindo: AB 24−=

4

224 ⋅−=B >>> 2−=B

Portanto uma das funções é:

2224

2 2 +−= xxy

A outra basta repetir o processo com a < 0.

Daí teremos: 2224

2 2 −+−= xxy

Questão 31) a) Os triângulos retângulos AMQ e BNM possuem ângulos correspondentes congruentes e hipotenusas de mesma medida. Portanto, eles são congruentes e, assim, AM = BN. Como cada lado do quadrado ABCD tem medida 4 cm, escrevendo-se x = AM, tem-se AQ = BM = AB − AM = 4 − x. Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo AMQ, tem-se x2 + (4 – x)2 = 9

Logo2

22

2

22 +=−= xoux

Portanto cmMBecmAM2

22

2

22 +=−=

(ou vice-versa) b) A área A(x) do quadrado MNPQ em função da medida x do segmento AM é dada por

1682)4()( 222 +−=−+= xxxxxA Com 0 ≤ x ≤ 4 O valor mínimo de A é atingido na abscissa do vértice da parábola que é gráfico de A. Logo, AM = MB = 2 cm Questão 33) Seja x o número de caminhões utilizados em um dia normal e y a quantidade em kg carregada em cada um.

( ) ( )

=+⋅−=⋅

000.604500

000.60

xy

xy

)2(

)1(

Das relações (1) e (2), temos: yx + 4y - 500x - 2.000 = yx ∴y = 500 + 125x (3) Substituindo-se (3) em (1), vem: (500 + 125x) x = 60.000 ∴125x2 + 500x - 60.000 = 0

∴x2 + 4x – 480

convém) (não24

20

−=

=

x

ou

x

Substituindo-se x = 20 na relação (3): y = 500 + 125(20) ∴ y = 3.000 Assim, naquele dia, temos: A- x + 4 = 24

Resposta: 24 caminhões. B- y – 500 = 2.500

Resposta: 2.500kg. DESAFIOS Questão 34) A- Do enunciado, devemos ter:

V(0) = 120, ou seja: a . b2 = 120 (1) V(20) = 0, ou seja: a . (b - 20)2 = 0 (2) Da relação (1), tem-se que a ≠ 0 e b ≠ 0. Assim, da relação (2), podemos escrever: (b - 20)2 = 0 ∴b = 20

Substituindo o valor de b em (1), temos: a = 10

3.

Resposta: a = 10

3e b = 20.



MATEMÁTICA

2011 12


Vestibular

B- Do item (a), resulta V(t) = ⋅10

3(20 - t)2 para 0 ≤ t ≤

20, e V(t) = 0, para t ≥ 20. Logo, o gráfico de V(t) para t ∈ [0, 30] é

Questão 35) O gráfico da Função com seus pontos está representado abaixo:

O míssil deverá ter a seguinte tragetória:

Onde Ɵ é a inclinação, observe o triângulo:

10

10

10

100

arctg

tg

tg

=

=

=

θ

θ

θ

funçãoquadrática

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