função afim - matemática - função afim
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Função Função AfimAfim
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Ao final dessa aula Ao final dessa aula você saberá:você saberá:
O que é uma função afim e todas as O que é uma função afim e todas as formas de representá-la.formas de representá-la.
Como identificar e construir gráficos da Como identificar e construir gráficos da função afim.função afim.
O que é coeficiente angular, coeficiente O que é coeficiente angular, coeficiente linear e zero da funçãolinear e zero da função
Identificar se uma função é crescente Identificar se uma função é crescente ou decrescente.ou decrescente.
Resolver sistemas através de Resolver sistemas através de gráficosgráficos
Resolver inequações do 1º grau. Resolver inequações do 1º grau.
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O que é O que é função afimfunção afim??
É a função definida por uma É a função definida por uma expresão do expresão do 1º grau1º grau..
Exemplos:Exemplos: f(x) = x +1f(x) = x +1
y=y=5m
m
É apresentada na forma:
f(x) = ax + b
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Como reconhecemos o Como reconhecemos o gráficográfico de uma função de uma função
afim?afim?O gráfico de uma função afim é O gráfico de uma função afim é sempresempre
uma uma retareta..
0
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5x
y
Os valores de x são as abscissas e os
valores de y são as ordenadas.
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Como Como construímosconstruímos o o gráficográfico de uma de uma função afim?função afim?
Basta achar Basta achar dois pontosdois pontos que que pertençam à retapertençam à reta da função dada. da função dada.
Exemplo: Sendo a função f(x) = 2x + Exemplo: Sendo a função f(x) = 2x + 1.1.
1º passo: 1º passo: escolherescolher dois dois valoresvalores para para xx..
x = 0 e x = 1x = 0 e x = 1
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f(0) = 2.0 + 1 = 1f(0) = 2.0 + 1 = 1
f(1) = 2.1 + 1 = 3f(1) = 2.1 + 1 = 3
Logo, temos que os pontos são Logo, temos que os pontos são (0,1)(0,1) e e (1,3)(1,3) Dessa forma
garantimos que esses pontos
pertencem à reta.
2º passo: 2º passo: calcularcalcular o o valorvalor de de yy para cada valor de para cada valor de x escolhido.x escolhido.
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3º passo: 3º passo: marcarmarcar os os pontospontos no no gráfico.gráfico.
4º passo: 4º passo: ligarligar os os pontospontos..
1
1
3
2
x
y
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Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!
Construa o gráfico da Construa o gráfico da função:função:
2
1x
y
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SoluçãoSolução
1º passo: x = 3 e x = 51º passo: x = 3 e x = 5
2º passo: f(3) = 1 e f(5) = 2 2º passo: f(3) = 1 e f(5) = 2
3º e 4º passos: 3º e 4º passos:
x
y
1
1
2
2 3 4 5
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O que é O que é coeficiente coeficiente angularangular??
É o É o valorvalor numérico numérico que multiplicaque multiplica a a
variável variável xx. Indica a . Indica a inclinação da inclinação da retareta
em relação ao eixo x.em relação ao eixo x.
Exemplo: Exemplo: y = 2x + 1 y = 2x + 1 a = 2 a = 2
y = x – 5 y = x – 5 a = 1 a = 1
Ou seja, é o valor de a na expressão:
y = ax + b.
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O que é O que é coeficiente coeficiente linearlinear??
É o É o valorvalor de de b b em y = ax + b. em y = ax + b. IndicaIndica
o o valor de yvalor de y, onde a reta do , onde a reta do gráficográfico
corta o eixo das ordenadascorta o eixo das ordenadas. .
Exemplo:Exemplo: y = 2x + 1 y = 2x + 1 b = 1 b = 1
y = x – 5 y = x – 5 b = -5 b = -5
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O que é O que é ZeroZero da da funçãofunção??
É o É o valor de xvalor de x onde a onde a reta do gráficoreta do gráfico
cortacorta o eixo das o eixo das abscissasabscissas..
Exemplos:Exemplos: y = 2x + 1 y = 2x + 1 0 = 2x + 1 0 = 2x + 1 x = -1/2x = -1/2
y = x – 5 y = x – 5 0 = x – 5 0 = x – 5 x = 5x = 5
Ou seja, o valor de x para y = 0.
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Zero da função0 = 2x-1x = 1/2
f(x) = 2x – 1
f(0) = 2.0 -1 = -1
f(1) = 2.1 – 1 = 1
f(2) = 2.2 – 1 = 3
Coeficiente angular
x
y
1
1
2
2 3 4 5-1-1
3
Coeficiente linear
Coeficiente linear
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Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!
I) Encontre y = f(x) sendo f uma função I) Encontre y = f(x) sendo f uma função polinomial do 1º grau, sabendo que f(-polinomial do 1º grau, sabendo que f(-6) = 8 e f(6) = 12.6) = 8 e f(6) = 12.
II) Seja f uma função real definida pela II) Seja f uma função real definida pela lei f(x) = ax – 3. Se 3 é raiz da função, lei f(x) = ax – 3. Se 3 é raiz da função, qual é o valor de f(10)?qual é o valor de f(10)?
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III) (UF-AM) A função f definida por III) (UF-AM) A função f definida por
f(x) = -3x +m está representada f(x) = -3x +m está representada abaixo:abaixo:
Então o valor de Então o valor de é: é:
a) -1 b) 0 c) 1 d)a) -1 b) 0 c) 1 d) e) e)
)0(
)1()2(
f
ff
x
y
1
5
7
7
5
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SoluçõesSoluçõesI) f(-6) = 8 e f(6) = 12I) f(-6) = 8 e f(6) = 12
y = ax + by = ax + b
ba
ba
612
68
20 = 2b20 = 2b
b = 10b = 10 8 = -6a + 10 8 = -6a + 10
-2 = -6a -2 = -6a
a = 1/3a = 1/3
Logo, f(x) = 1/3 x + 10
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II) f(x) = ax - 3II) f(x) = ax - 3
f(3) = 3a - 3 = 0f(3) = 3a - 3 = 0
3a = 33a = 3
a = 1a = 1
f(x) = x – 3f(x) = x – 3
f(10) = 10 – 3f(10) = 10 – 3
f(10) = 7f(10) = 7
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III) f(x) = -3x + mIII) f(x) = -3x + m
f(1) = -3.1 + m = 0f(1) = -3.1 + m = 0
-3 + m = 0 -3 + m = 0 m = 3 m = 3
f(x) = -3x + 3f(x) = -3x + 3
f(0) = -3.0 + 3 = 3f(0) = -3.0 + 3 = 3
f(1) = -3.1 + 3 = 0f(1) = -3.1 + 3 = 0
f(2) = -3.2 + 3 = -3f(2) = -3.2 + 3 = -3
13
03
)0(
)1()2(
f
ff
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Como identificamos se uma Como identificamos se uma função é função é crescentecrescente ou ou
decrescentedecrescente??Verificando o sinal do a em y=ax+b. Se Verificando o sinal do a em y=ax+b. Se aa
forfor negativo negativo, então a função é , então a função é decrescentedecrescente..
Se Se aa for for positivopositivo, então a função é , então a função é crescentecrescente..
Exemplos: Exemplos: y = -x + 2 y = -x + 2 a = -1 a = -1 função decrescentefunção decrescente
Y = ½ + 4 Y = ½ + 4 a = ½ a = ½ função crescentefunção crescente
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Também podemos fazer a Também podemos fazer a análise gráfica:análise gráfica:
x
y
x
y
Função Função decrescentdecrescent
ee
Função Função crescentecrescente
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Como resolvemos Como resolvemos sistemas sistemas através de através de
gráficosgráficos??Basta Basta traçartraçar os os gráficosgráficos das duas das duas
equações, no equações, no mesmo planomesmo plano cartesiano. Ocartesiano. O
resultadoresultado é o ponto de é o ponto de interseçãointerseção..
Exemplo:Exemplo:
Pontos da 1ª equação: (1,4) e (3,2)Pontos da 1ª equação: (1,4) e (3,2)
Pontos da 2ª equação: (0,2) e (-2,1)Pontos da 2ª equação: (0,2) e (-2,1)
42
5
yx
yx
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Logo, S = (2,3)
x
y
1
1
2
2 3 4 5-1-1
3
4
-2
-2
I = (2,3)
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Como é feito o Como é feito o estudo do sinalestudo do sinal de de
uma função?uma função?Seguindo os passos:Seguindo os passos:
1º passo: 1º passo: LocalizarLocalizar o o zero da funçãozero da função na reta real.na reta real.
2º passo: 2º passo: traçartraçar a a retareta do gráfico. do gráfico.
3º passo: 3º passo: analisamosanalisamos os os intervalosintervalos onde a função é onde a função é positiva positiva ou ou negativanegativa..
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Exemplo: y = x - 2Exemplo: y = x - 2
1º passo: x – 2 = 0 1º passo: x – 2 = 0 x = 2 x = 2
2º passo: função crescente2º passo: função crescente
3º passo: y < 0, para x < 23º passo: y < 0, para x < 2
y = 0, para x = 2y = 0, para x = 2
y > 0, para x > 2 y > 0, para x > 2
x2
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Como resolvemos Como resolvemos uma uma inequaçãoinequação do 1º do 1º
grau?grau?Fazendo o Fazendo o estudo do sinalestudo do sinal..
Exemplo: 2x – 7 > 0Exemplo: 2x – 7 > 0 zero da função: 2x – 7 = 0 zero da função: 2x – 7 = 0 x = 7/2 x = 7/2 a > 0 a > 0 função crescente função crescente
Resposta: Resposta:
x7/2
,27
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E se for uma E se for uma inequação produtoinequação produto ou uma ou uma inequação inequação
quocientequociente??Se for uma Se for uma inequação produtoinequação produto devemosdevemos
fazer o fazer o estudo do sinalestudo do sinal de de cada fatorcada fator. . Se Se
for for inequação quocienteinequação quociente, devemos , devemos fazer o fazer o
estudo do sinalestudo do sinal do do dividendodividendo e do e do divisordivisor, ,
separadamente.separadamente.
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Exemplos:Exemplos:
I) (x-2) (1-2x) ≥ 0I) (x-2) (1-2x) ≥ 0
x – 2 = 0 x – 2 = 0 x = 2x = 2 e 1 – 2x = 0 e 1 – 2x = 0 x = x = ½½
x1/2
x2
x21/2
+++ --------------------------
----------------------- +++++
-+-
S = [1/2 , 2]
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II)II)
x + 3 = 0 x + 3 = 0 x = -3 e x – 1 = 0 x = -3 e x – 1 = 0 x = 1 x = 1
1,01
3
xx
x
+++++++++++++-------- x-3
x1
++++++--------------------
1x
-3
+-+
S=]-∞,-3[ U ]1,+ ∞[
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Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!
(UFC-CE) O conjunto solução, nos (UFC-CE) O conjunto solução, nos númerosnúmeros
reais, da inequaçãoreais, da inequação é igual a: é igual a:1
1
1
x
x
3;)
2;)
1;)
0;)
1;)
xRxe
xRxd
xRxc
xRxb
xRxa
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SoluçãoSolução
01
20
1
1101
1
11
1
1
xx
xx
x
x
x
x
1 + x = 0 x = -1
++++++++++++---------x
-1
S=]-1,+ ∞[
letra A