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Física Geral I - F -128
Aula 10 Colisões
Antes
•
•
•
•
av1!
av2!
dv1!
v2d
1m
m2
1m
m2
Durante
Depois
Em Física, dá-se o nome de colisão a uma interação entre duas partículas (dois corpos) cuja duração é extremamente curta na escala de tempo humana e onde há troca de momento linear e energia. Queremos estudar as possíveis situações finais depois que as partículas se afastam da região de interação.
O que é uma colisão?
F128 – 2o Semestre de 2012 2
Exemplo: Atmosfera
F128 – 2o Semestre de 2012 3
Partículas carregadas do vento solar são aceleradas pelas linhas de campo magnético terrestre. Elas colidem com as moléculas da atmosfera, que ganham energia interna (seus elétrons são “excitados”). Posteriormente, ao perder essa energia excedente, as moléculas emitem luz, criando a Aurora (Boreal ou Austral).
Exemplo histórico: estrutura do átomo
F128 – 2o Semestre de 2012 4
Ernest Rutherford (1911): analisando o resultado do bombardeio de átomos de ouro com partículas alfa, criou o primeiro modelo para o átomo: um núcleo maciço duro, pequeno e positivo, cercado por uma nuvem eletrônica negativa. Primeiro experimento de colisão de partículas sub-atômicas.
Modelo de Thompson: previa deflexão pequena das partículas alfa
Rutherford observou grandes deflexões, sugerindo um núcleo duro e pequeno
Exemplo: Partículas elementares
F128 – 2o Semestre de 2012 5
Criação de pares elétron-pósitron
• Colisões entre partículas elementares (elétron-elétron, elétron-próton, etc.) são responsáveis por quase toda a informação que temos sobre as forças fundamentais da natureza (exceto a gravitacional).
• Essas colisões são geradas a partir da aceleração das partículas elementares em grandes aceleradores de partículas (FermiLab, SLAC e LHC, “Large Hadron Collider”).
Exemplo: Colisões entre átomos/moléculas;
F128 – 2o Semestre de 2012 6
Algumas orientações relativas não favorecem a reação química
Na verdade, a técnica de bombardear um alvo por um feixe de partículas, estudando a seguir os resultados das colisões das partículas do feixe com o alvo, continua sendo, hoje em dia, um dos instrumentos mais poderosos em Física para um conhecimento melhor das chamadas “partículas elementares” e suas interações.
Reações químicas
Exemplos: Colisões entre núcleos em estrelas, reatores
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4 1H + 2 e- à 4He + 2 neutrinos + 6 fótons
Reação nuclear principal no Sol:
Energia liberada = 26 MeV
Coração do reator nuclear
1H: núcleo de hidrogênio 4He: núcleo de He ou partícula α
Uma das reações de fissão do 235U:
235U + n 236U* 140Xe + 94Sr + 2n Energia liberada 200 MeV
(reação em cadeia)
≈→ →
Características gerais de uma colisão
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As forças de interação entre duas partículas que colidem são forças muito intensas e agem durante um intervalo de tempo extremamente curto.
F21
F12
2m1m
a) Forças de interação
Não é necessário conhecer-se exatamente a forma do gráfico F x t, pois não nos interessa saber o que acontece durante a colisão. O que interessa saber é como se encontra o sistema imediatamente depois da colisão, conhecendo-se como se encontrava imediatamente antes dela. Na realidade, é o resultado da colisão que poderá nos dar informações a respeito da força de interação no sistema que colide, e não o inverso.
Essencialmente, é isso que se faz num acelerador de partículas como o Fermilab ou o LHC.
A integral temporal da força é chamada impulso da força:
Impulso = área sob a curva (1D)
Ou seja, a variação do momento linear da partícula durante um intervalo de tempo é igual ao impulso da força que age sobre ela neste intervalo.
pdtFJf
i
t
t
!!!Δ==∫
ppppddtdtpddtF i
t
t
p
pf
t
t
f
i
f
i
f
i
!!!!!!
!
!Δ=−=== ∫ ∫∫
O resultado líquido da força de interação é fazer variar o momento linear das partículas. Pela 2a lei de Newton:
Como em geral não conhecemos F(t), recorremos à definição da força média durante o intervalo de tempo da colisão:
Então: tFdtFf
i
t
t
Δ〉〈=∫!!
tFp Δ〉〈=Δ!! ou
tpFΔΔ=〉〈!!
tpFΔΔ=〉〈
Forças de Interação
F128 – 2o Semestre de 2012 9
Impulso numa colisão de bolas de bilhar.
F128 – 2o Semestre de 2012 10
⎩⎨⎧
=Δ≅
m/s 0,1kg 3,0
vm
Suponhamos que, ao ser atingida pela bola branca, uma bola de bilhar adquira a velocidade de 1,0 m/s.
A variação de seu momento linear da bola atingida é, em módulo: Δp = mΔv ≈ 0,3 kg m/s = Jque é o impulso transmitido pela bola branca na colisão.
Se o contacto dura 10-3 s, a força média exercida na bola é
〈F〉 =
ΔpΔt
=JΔt
= 300 N
(Comparando com a força peso das bolas, P = 3,0 N, vê-se que a força de interação é muito maior que as forças externas.)
=Δt
,
〉〈F
Vimos que durante uma colisão as forças internas do sistema são >> que as forças externas que podem agir sobre ele. Durante a colisão podemos, pois, desprezar as forças externas (já que o sistema é agora isolado) e dizer que: “ imediatamente após uma colisão, o momento total do sistema que colide é igual ao momento total do sistema imediatamente antes da colisão.” (Em realidade, o momento total se conserva também durante a colisão, mas o que acontece durante a colisão não é geralmente acessível às medidas). Se houver forças externas agindo sobre o sistema, é bom lembrar que o momento total não se conserva durante um intervalo de tempo finito qualquer, seja antes ou depois da colisão.
21122112 JJFF!!
−=⇒−= ⇒ Δp1 =−Δ
p2
p1d −
p1a = −p2d −
p2a( ) =p2a−
p2d
p1a +
p2a =p1d +
p2d ⇒Pa =
Pd
Obviamente, recuperamos a lei de conservação de momento linear (impulso total nulo).
Da 3a lei de Newton:
O momento linear é apenas transferido de uma partícula à outra.
(1)
De (1) :
b) Impulso e Momento linear total do sistema
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Força média de um jato de areia: colisões em série
F128 – 2o Semestre de 2012 12
Cada colisão transfere -Dp para o alvo, onde Dp é a variação de momento linear de um projétil em uma colisão. Se há n colisões num intervalo Dt, o impulso total transferido ao alvo é:
pnJ Δ−=ΔA força média correspondente é:
〈F〉 =
ΔJΔt
= −nΔtΔp
Se a colisão é tal que as partículas são absorvidas:
Se a colisão é tal que as partículas ricocheteiam:
Δp = mvd − mva = 0− mvinc
⇒ 〈F〉 =nΔt
m vinc
Δp = mvd − mva = − mvinc− mvinc = −2 mvinc
⇒ 〈F〉= 2 nΔt
mvinc
Uma série de projéteis, todos com o mesmo momento linear, colide com um alvo fixo. Discutir a força média exercida sobre o alvo.
alvo projéteis
Q1: Impulso e momento linear
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A. a maior velocidade; B. a maior aceleração; C. o maior momento linear; D. o menor momento linear; E. o mesmo momento linear que o outro.
[MC Types]
Dois corpos de massas diferentes, em repouso sobre uma superfície sem atrito, são submetidos a forças horizontais iguais agindo durante o mesmo intervalo de tempo. Assim que essas forças forem removidas, o corpo de massa maior terá:
c) Energia cinética total: Colisões elásticas e inelásticas
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Já vimos que colisões, por envolverem basicamente apenas forças internas, conservam o momento linear. E conservam a energia?
Embora a energia total seja sempre conservada, pode haver transformação da energia cinética (inicialmente só há energia cinética) em outras formas de energia (potencial, interna na forma de vibrações, calor, perdas por geração de ondas sonoras, etc.).
Se a energia cinética inicial do sistema é totalmente recuperada após a colisão, a colisão é chamada de colisão elástica.
da KK =⇒elástica colisãouma Em
Se não, a colisão é chamada de colisão inelástica. Note que se houver aumento da energia cinética (quando há conversão de energia interna em cinética: explosão, por exemplo), a colisão também é inelástica.
Colisões elásticas unidimensionais
F128 – 2o Semestre de 2012 15
Lembramos que: ( )mpmv
mmvK
221
21 2
22 ===
Antes:
Depois:
Assim, as equações básicas para uma colisão elástica são:
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=+
+=+
2
22
1
21
2
22
1
21
2121
2222 mp
mp
mp
mp
pppp
ddaa
ddaa (Conservação de momento linear)
( Conservação de energia cinética)
av2!
2m
av1!
1m
dv1!
1mdv2!
2m
Colisões elásticas unidimensionais
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No caso unidimensional, estas equações são suficientes para determinar o estado final do sistema, conhecido o estado inicial. Não o são para o caso bidimensional.
Sendo dada a razão entre as massas (ou as massas ), escrevemos: k =
m1
m2
m1v1d +m2v2d = m1v1a +m2v2a
22
211
222
211 aadd vmvmvmvm +=+
k(v1d− v1a ) = − (v2d− v2a )
k(v1d2 − v1a
2 ) = − (v2d2 − v2a
2 )
Eliminando-se as soluções triviais v1d = v1a e v2d = v2a podemos dividir (2) por (1), obtendo:
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=+
+=+
2
22
1
21
2
22
1
21
2121
2222 mp
mp
mp
mp
pppp
ddaa
ddaa
k(v1d− v1a ) = − (v2d− v2a )
v1d + v1a = v2d + v2a
(1)
(2)
21 e mm
ou finalmente:
aadd vvkvvk 2121 +=+
v1d−v2d =− (v1a−v2a )(3)
(4)
A equação (4) mostra que a velocidade relativa troca de sinal em toda colisão elástica unidimensional, isto é, ela é simplesmente invertida pela colisão.
De (3) e (4) tira-se que: 12)1( 21
1 ++−=
kvvkv aa
d
v2d =
2kv1a− (k−1) v2a
k +1
Explicitamente em termos das massas das partículas, podemos escrever:
aad
aad
vmmmmv
mmmv
vmmmv
mmmmv
221
211
21
12
221
21
21
211
2
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
Colisões elásticas unidimensionais
F128 – 2o Semestre de 2012 17
( o estado final do sistema é idêntico ao estado inicial: As partículas trocam suas velocidades!
Colisões elásticas unidimensionais: casos particulares
F128 – 2o Semestre de 2012 18
Em particular, se a partícula alvo está inicialmente em repouso, a partícula incidente para após a colisão, como no bilhar. Isto é: se
1) massas iguais: (k =1)
ad vv 12 =ad vv 21 =
)( afastaprox vv = v2a = 0 ⇒ v1d = 0.
av1!
1m
1m
Antes:
Depois: av1!
2m
2m
v2a = 0
v1d = 0
Isto pode acontecer! Pode isto acontecer?
Exemplo: Um aliviador de stress para executivos
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Colisões elásticas unidimensionais: casos particulares
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aad
ad
vvmmv
vv
112
12
11
2 <<⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≈
−≈
A partícula incidente reverte sua velocidade e a partícula alvo passa a se mover lentamente, praticamente permanecendo em repouso.
2) Alvo em repouso e
ad vmmmmv 121
211 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=
ad vmmmv 1
21
12
2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
21 mm <<
)( afastaprox vv =
av1!
1m
dv2!
dv1!
2m
2m
1mDestas expressões resultam:
Colisões elásticas unidimensionais: casos particulares
F128 – 2o Semestre de 2012 21
ad
ad
vvvv
12
11
2≈≈
A partícula incidente não “sente” a colisão. A partícula alvo passa a se mover com o dobro da velocidade inicial da partícula incidente.
3) Alvo em repouso e
21 mm >>
ad vmmmmv 121
211 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=
ad vmmmv 1
21
12
2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
Antes
Depois
av1!
dv1!
dv2!
1m
1m2m
2m
Destas expressões resultam:
Voltando ao experimento com MTerra>> Mbilhar>> Mpingue-pongue:
i) bola de basquete atingindo a Terra:
iii) como altura é proporcional a v2:
No referencial do laboratório
Bola de pingue-pongue sobe a uma altura até 9 vezes mais altura inicial (sistema de “propulsão” usado por naves espaciais usando planetas e satélites naturais).
ii) bola de pingue-pongue atingindo a bola de basquete:
No referencial onde a bola de basquete está em repouso
vbd =−vba = v
v'pd =−v'pa = 2v
vpd =−3vpa = 3v
Exemplo
F128 – 2o Semestre de 2012 22
Q2: Colisão
F128 – 2o Semestre de 2012 23
A. a partícula incidente está se movendo inicialmente muito depressa; B. a partícula incidente está se movendo inicialmente muito devagar; C. a partícula incidente tem massa muito maior que a partícula alvo; D. a partícula incidente tem massa muito menor que a partícula alvo; E. a partícula incidente e a partícula alvo têm mesma massa.
[MC Types]
Quando uma partícula sofre uma colisão elástica frontal com outra partícula, inicialmente em repouso, a maior fração da energia cinética é transferida se:
Moderação de nêutrons em reatores nucleares
F128 – 2o Semestre de 2012 24
Ø Reatores nucleares a base de Urânio: p. ex. 235U + n 140Xe + 94Sr + 2n
Os nêutrons produzidos devem levar a novos processos de fissão, numa reação em cadeia. Entretanto, eles são muito energéticos e, por isso, pouco eficientes para gerar novas reações. É preciso desacelerá-los (“moderá-los”).
Nêutrons ® partículas incidentes (m1) ??????? ® partículas alvo (m2)
• Se m2<<m1, os nêutrons não “sentem” as colisões. • Se m2>>m1, os nêutrons só são refletidos. • Situação ideal: m1»m2 ad v
mmmmv 121
211 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
• Hidrogênio seria perfeito (mpróton » mnêutron), mas o próton captura o nêutron para formar o dêuteron. • Deutério funciona D2O (água pesada). • Também se usa carbono (grafite ou parafina) ou berílio.
⇒
⇒
Colisões unidimensionais totalmente inelásticas
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Neste tipo de colisão, a partícula incidente “gruda” na partícula alvo. Pode-se provar que essa situação representa a perda máxima de energia cinética numa colisão inelástica em uma dimensão.
( ) ⇒+=+ daa vmmvmvm 212211 CMaa
d vmmvmvmv =
++=
21
2211
Como o centro de massa coincide com as duas partículas“grudadas”, elas têm que se mover com a velocidade do centro de massa, que se mantém constante. A energia cinética final é a energia cinética associada ao movimento do CM.
av2!
2m
av1!
1m1m 2m+
dv!
antes depois
av1!
Exemplo: Pêndulo balístico
F128 – 2o Semestre de 2012 26
ad vmm
mv 121
1
+=
Conservação de energia mecânica após a colisão:
ghmmmv a 21
211
+=
cm 5
km/h 400.1m/s 400m/s 05,08,9201,001,4kg 4
g 10
12
1
=
==×××=⇒=
=
h
vmm
a
Colisão totalmente inelástica:
∴+= da vmmvm )( 2111
Uma bala se aloja num bloco de madeira e o conjunto se eleva de uma altura h. Qual é a velocidade da bala imediatamente antes da colisão?
( ) ghvghmmvmm dd 2)(21
212
21 =∴+=+
Então:
Numericamente, se:
av1!
Colisões elásticas bidimensionais
F128 – 2o Semestre de 2012 27
Vamos considerar a partícula-alvo em repouso (v2a=0)
( Conservação de momento linear)
Esses 3 vetores definem um plano, chamado de plano de colisão. Isto é, a colisão sempre ocorre em um plano (colisão bi-dimensional).
av1!
2m1m
Antes Depois
dv1!
2θ1θ
11 cosθdv11 sen θdv
22 cosθdv
22 sen θdv−dv2!
dda ppp 211!!! +=
dp1!
dp2!
ap1!
Colisões elásticas bidimensionais
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Conservação do momento linear:
Conservação da energia cinética:
⎩⎨⎧
−=+=
2211
22111
sensen0coscosθθθθ
dd
dda
ppppp
2
22
1
21
1
21
222 mp
mp
mp dda +=
av1!
2m1m
Antes Depois
dv1!
2θ1θ
11 cosθdv
11 senθdv
22 cosθdv
22 sen θdv−dv2!
Colisões elásticas bidimensionais
F128 – 2o Semestre de 2012 29
Se tivermos m1, m2 e p1a , teremos 3 equações e 4 incógnitas (p1d, p2d, q1, q2). O sistema é indeterminado. Precisamos de mais informação que pode ser, por exemplo, o parâmetro de impacto b da colisão de bolas de bilhar.
b: parâmetro de impacto
Obs: supondo que a força entre as bolas é exatamente normal à superfície no ponto de contato, q2 fica definido a partir de b (a obtenção de q2 a partir de b requer sempre um modelo para a força de interação).
2
22
1
21
1
21
222 mp
mp
mp dda +=
2211
22111
sensen0coscosθθθθ
dd
dda
ppppp
−=+=
Colisões elásticas bidimensionais : massas iguais
F128 – 2o Semestre de 2012 30
22
21
21
2
22
1
21
1
21
222 ddadda pppmp
mp
mp +=⇒+=
• Nesse caso, podemos obter um resultado simples
(Conservação de energia cinética)
(Conservação de momento linear)
Igualando as duas equações:
o9021 =+θθ
)()( 212121211 ddddadda pppppppp !!!!!!! +⋅+=⇒+=
dddda ppppp 2122
21
21 2 !! ⋅++=
⇒=⋅ 01 dd pp !!
É assim mesmo na mesa de sinuca?
F128 – 2o Semestre de 2012 31
1 2 90 ?oθ θ+ =
Na verdade, o movimento de rotação da bola branca, complica a análise. Embora as bolas saiam da colisão com direções perpendiculares entre si, após um curto tempo a bola branca toma um rumo diferente!!
Numa colisão elástica, uma partícula de massa m1=1,0 kg incide com velocidade v1a=10 m/s numa partícula de massa m2=2,0 kg, inicialmente em repouso. Se a colisão deflete a partícula 1 de um ângulo de q1 = 30o, qual é a velocidade da partícula 2 após a colisão?
Da conservação de energia cinética:
Reescrevendo com = m2/m1:
( )21
21
22 dad ppp −= λ
2
22
1
21
1
21
222 mp
mp
mp dda +=
Da figura temos:
)()( 111122
112
dadad
dad
pppppppp
!!!!!!!
−⋅−=⇒−=
11121
21
22 cos2 θdadad ppppp −+=
0)1(cos2)1( 21111
21 =−+−+ λθλ adad pppp Comparando :
Substituindo os valores, temos:
03100
310
121 =−− dd vv
smvsmv
d
d
/6,2/3,9
2
1
==
02 63=θ
22dp
dp1!
dp2!
ap1!
1θ
Exemplo: Transferência de momento linear
F128 – 2o Semestre de 2012 32
a) No RCM : o momento linear total do sistema é nulo, antes e depois da colisão:
∴=+=+ 022112211 aadd VmVmVmVm
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−==km
mVV
VV
a
a
d
d 1
1
2
2
1
2
1 ou a
d
a
d
VV
VV
2
2
1
1 =
Mas, por conservação de energia adad VVVV 2211 ==⇒
Numa colisão elástica 1D repulsiva:
ad VV 11 −=
isto é, a colisão inverte as velocidades das partículas no RCM, mantendo seus módulos.
22
1
22
11
==
+=+=
mmk
vVvvVvCM
CM
ad VV 22 −=e
e
vCM
Colisões elásticas unidimensionais
F128 – 2o Semestre de 2012 33
b) No referencial do laboratório:
aCMaCMCMd
aCMCMaCMd
vvvvvv
vvvvvv
222
111
2)(BCNEEDNE
2)(BANEEFNE
−=−+=+=+=
−=−−=−=−=solução:
aCMd
aCMd
vvv
vvv
22
11
2
2
−=
−=
Obs: Este formalismo também se aplica a colisões inelásticas, com exceção de que agora as velocidades “invertidas” são multiplicadas pelo coeficiente de restituição “e” dado por:
vCM
Para passar do gráfico (V × t) no RCM para (v × t) no laboratório, faz-se uma translação de –vCM sobre o eixo dos tempos. Então:
aa
dd
vvvve21
21
−−−=
Colisões elásticas unidimensionais
F128 – 2o Semestre de 2012 34