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Colgio D.Dinis Ano Letivo 2014/2015 12 Ano Ficha de Trabalho N14

Tema: Funo exponencial e logartmica 1 Perodo

O professor: Hugo Soares/Isabel Braga Data: Novembro 2014

1.Uma certa funo g contnua em e tem contradomnio . Sejam f, h, m, r e p

definidas por:

1f x g x

1h x g x

1m x

g x

1r x g x

1

2p x

f x

1.1. Indique, de entre estas funes, as que:

1.1.1. tm zeros 1.1.2. no tm domnio 1.2. Determine o contradomnio das funes f e h. 2. A equao da procura de um novo jogo lanado no mercado dada por

510 0,95 , com p 0,12p

q p , dado em meses; 0p corresponde ao incio de

Janeiro de 2004.

2.1. Determine durante quanto tempo a procura foi superior a 46 10 . 2.2. Indique ao fim de quanto tempo (meses/ dias) a procura reduziu 25% em relao ao incio de Janeiro. 2.3. Calcule a taxa mdia de variao da procura durante o ms de Maro.

3. O valor de uma mquina industrial ao fim de t anos dado em euros, por 0,030t

V t V e

3.1. Ao fim de 20 anos o valor da mquina aproximadamente 4500 . Qual era o valor inicial da mquina? (arredondado ao euro)

3.2. Calcule

1V t

V t

(arredondado s centsimas) e interprete esse valor no contexto da

situao.

4. A percentagem de leitores de certo jornal que respondem a um anncio de venda de um

produto de beleza, t dias depois do anncio surgir, obtem-se usando a frmula:

0,240 40 tR t e ,

4.1. Qual a percentagem de leitores que se espera que tenham respondido ao fim de duas

semanas? Apresente o resultado arredondado s unidades.

4.2. Qual a percentagem de respostas que se espera vir a obter ao fim de muitos dias?

5. A temperatura de um ch, t minutos depois de ser colocado na chvena, decresce de

acordo com a lei: 0,04tC t A Be com t em minutos.

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Determine a temperatura ambiente sabendo que um ch colocado na chvena, s cinco da

tarde, a 75, pode ser bebido, s cinco e um quarto, temperatura de 50. Apresente o

resultado arredondado s dcimas.

6. Complete de modo a obter afirmaes verdadeiras:

6.1. ...

5 7 log ...x

x 6.2. 2 20 ...t

t

6..3. 50 ...ye y 6.4.3

log 4 4 ...x

6.5. log 2 2 ...a

y 6.6. 2

log 5 ...x x

7. Determine os valores que x pode tomar de modo que cada uma das expresses seguintes represente um nmero real:

7.1. 2log 1x 7.2. 23log 2x 7.3. 2log 3 x 7.4. 2log 1x 8. Calcule:

8.1. 3log 27 8.2. 2log 32 8.3. 3log 1 8.4. 9log 243

8.5. 2

1log

2 8.6. 5log 0, 04 8.7.

3

4log 2 8.8.

8log 128

9. Resolva as equaes:

9.1. 2 5x 9.2 2 13 7x 9.3. 13 2xx x 9.4. 2log 3 0x

9.5. 3

1 log 0x 9.6. 0,12 3x xe e 9.7. 5 2 3x xe

10. Suponha que o risco R (em percentagem) de acidente na conduo automvel, por ingesto de bebidas alcolicas, pode ser modelado, num dado intervalo, pela equao

3 kxR x e em que x a concentrao de lcool no sangue em g/l e k uma constante. 10.1. Determine o valor de k admitindo que a concentrao de 0,5 g/l de lcool no sangue resulta num riso de acidente de 10%. Apresente o resultado arredondado s dcimas.

10.2. Supondo que 2, 4k , qual a concentrao de lcool no sangue que corresponde a um

risco de 100%? Apresente o resultado aproximado ao decigrama em g/l.

11. A massa de uma substncia radioativa desintegra-se segundo a lei 25t

M t A e

sendo

M expresso em gramas e t em sculos. 11.1. Se ao fim de 500 anos, a massa da amostra 300 mg, quantos mg havia inicialmente?

11.2. Quantos anos demora a massa a reduzir-se a 2

3 da massa inicial?

12. Considera a funo , com x af x e a . O grfico de f interseta o eixo 0y no ponto de ordenada 3. Ento o valor de a :

(A) 3e (B) ln 3 (C)3 (D) 3

13. Um recipiente contm uma certa quantidade de acar. Para dissolver o acar enche-se o recipiente de gua. Admita que a massa de acar ainda no dissolvido, t minutos aps o

incio do processo de dissoluo, dada, em gramas por: 50 , 0, ktm t e t k

3

13.1. Determine k, com aproximao s milsimas, supondo que ao fim de meia hora esto 10 gramas de acar por dissolver.

13.2. Mostre que

1m t

m t

no depende de t.

13.3. Suponha agora que 0,03k e determine x tal que, para qualquer t,

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2m t x m t . Apresente o resultado aproximado s unidades e interpreta-o no

contexto da igualdade. 14. A Maria secretria numa firma. Quando comea a trabalhar e quando se vai embora no tem papis na mesa. Ao longo do dia de trabalho a altura da pilha de papeis em coma

da mesa dada aproximadamente por: 2 0,050, 2 9 tA t t t e (com A em cm e t em horas)

14.1. Se a Maria entra s 10 horas da manh, a que horas sai? 14.2. Utilize a calculadora para determinar durante quanto tempo a altura da pilha de papis ultrapassa os 4cm. Apresente o ou os grficos que lhe permitem responder a esta questo e assinala os pontos que considera relevantes. Apresente a resposta em horas e minutos. 15. Suponha que o stress de um indivduo pode ser expresso, numa dada unidade, por

kts t ae em que t a idade do indivduo, em anos, a e k so parmetros reais no nulos. 15.1. Para indivduos de uma certa comunidade, o valor de k 0,2 e aos 17 anos o valor do stress 15. Determine o valor de a aproximado s dcimas e interprete esse valor no contexto da situao.

15.2. Mostre que se ln 2k , o stress duplica a cada ano que passa. 16.Escreva na forma de um nico logaritmo

16.1. log 9 log 3 16.2. 2 23log 5 0,5 log 25 16.3. 2 2 21 1

log log , 0xx x

16.4.2 3

log 3 log 6

16.5.1 ln , 0x x 16.6.log

2, 02

xx 16.7. 2ln 1 ln 1 , 1x x x

17. Simplifique as expresses seguintes:

17.1. 2ln e 17.2. 2ln , com 0ae a 17.3. 2

log 8 2x 17.4.

ln

2 , 0

x

e x

17.5. 24 2

log log , 0x x x 17.6. 2 2log log , , \ 1b cc b b c

17.7. 1log 5 log 5, \ 1aa

a 17.8.

ln ln cos, 0,cos 0

senx xe senx x

18.Resolva as seguintes equaes:

18.1. 2 8x 18.2. 1

2 2x 18.3. 9 3 3 0x x 18.4. 2 4 5 0x xe e

18.5. ln 2 3 2 lnx x 18.6. 3ln 2 ln 0x x x 18.7. ln 2 2xe x

18.8. 2log 1 3x 18.9. 2 1

log \ 12 2

xx

4

18.10. 4 42 log 4 1 1 2 log2

xx

18.11. ln 4 ln 2 ln 3x x x 18.12. log 3 4 log log 2x x x

19. Considere uma funo f real de varivel real, definida por 21 logf x ax b , com a e b Considera ainda que os pontos A (-1, 0) e B (0, -2) pertencem ao grfico de f.

19.1. Determine a e b. 19.2. Mostre que o ponto do grfico de f que tem abcissa 4 pertence bissetriz dos quadrantes pares. 19.3. Verifique que 6 pertence ao contradomnio e indica o respetivo objeto.

19.4. O grfico de f passa pelo ponto de coordenadas 22, log c , sendo c . Determine

o valor de c.

20.Na figura encontra-se parte da representao grfica da

funo f, de domnio , definida por 2logf x x e o tringulo [ABC] Os pontos A e B pertencem ao grfico de f e o ponto C tem ordenada igual ao ponto B. Qual das expresses seguintes d a rea do tringulo [ABC]?

(A) 4a (B) 3a (C) 22 log 3a a (D) 8a

21. A figura ao lado mostra o grfico da funo logaritmo na base b .

O valor de b :

(A) 1

4 (B) 2 (C) e (D) 4

22.Sabe-se que ka 2log a e k .Qual o valor de 4 2log loga a

(A) 2

1 (B) k (C) 1 (D)

2

k

23. Indique qual das seguintes expresses , para qualquer nmero real 1a , igual a 2 log 3aa

.

(A) 32a (B) 23a (C) 23 a (D) 32 a

1

a 4a

A

B C

y

x