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Colgio D.Dinis Ano Letivo 2014/2015 12 Ano Ficha de Trabalho N14
Tema: Funo exponencial e logartmica 1 Perodo
O professor: Hugo Soares/Isabel Braga Data: Novembro 2014
1.Uma certa funo g contnua em e tem contradomnio . Sejam f, h, m, r e p
definidas por:
1f x g x
1h x g x
1m x
g x
1r x g x
1
2p x
f x
1.1. Indique, de entre estas funes, as que:
1.1.1. tm zeros 1.1.2. no tm domnio 1.2. Determine o contradomnio das funes f e h. 2. A equao da procura de um novo jogo lanado no mercado dada por
510 0,95 , com p 0,12p
q p , dado em meses; 0p corresponde ao incio de
Janeiro de 2004.
2.1. Determine durante quanto tempo a procura foi superior a 46 10 . 2.2. Indique ao fim de quanto tempo (meses/ dias) a procura reduziu 25% em relao ao incio de Janeiro. 2.3. Calcule a taxa mdia de variao da procura durante o ms de Maro.
3. O valor de uma mquina industrial ao fim de t anos dado em euros, por 0,030t
V t V e
3.1. Ao fim de 20 anos o valor da mquina aproximadamente 4500 . Qual era o valor inicial da mquina? (arredondado ao euro)
3.2. Calcule
1V t
V t
(arredondado s centsimas) e interprete esse valor no contexto da
situao.
4. A percentagem de leitores de certo jornal que respondem a um anncio de venda de um
produto de beleza, t dias depois do anncio surgir, obtem-se usando a frmula:
0,240 40 tR t e ,
4.1. Qual a percentagem de leitores que se espera que tenham respondido ao fim de duas
semanas? Apresente o resultado arredondado s unidades.
4.2. Qual a percentagem de respostas que se espera vir a obter ao fim de muitos dias?
5. A temperatura de um ch, t minutos depois de ser colocado na chvena, decresce de
acordo com a lei: 0,04tC t A Be com t em minutos.
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Determine a temperatura ambiente sabendo que um ch colocado na chvena, s cinco da
tarde, a 75, pode ser bebido, s cinco e um quarto, temperatura de 50. Apresente o
resultado arredondado s dcimas.
6. Complete de modo a obter afirmaes verdadeiras:
6.1. ...
5 7 log ...x
x 6.2. 2 20 ...t
t
6..3. 50 ...ye y 6.4.3
log 4 4 ...x
6.5. log 2 2 ...a
y 6.6. 2
log 5 ...x x
7. Determine os valores que x pode tomar de modo que cada uma das expresses seguintes represente um nmero real:
7.1. 2log 1x 7.2. 23log 2x 7.3. 2log 3 x 7.4. 2log 1x 8. Calcule:
8.1. 3log 27 8.2. 2log 32 8.3. 3log 1 8.4. 9log 243
8.5. 2
1log
2 8.6. 5log 0, 04 8.7.
3
4log 2 8.8.
8log 128
9. Resolva as equaes:
9.1. 2 5x 9.2 2 13 7x 9.3. 13 2xx x 9.4. 2log 3 0x
9.5. 3
1 log 0x 9.6. 0,12 3x xe e 9.7. 5 2 3x xe
10. Suponha que o risco R (em percentagem) de acidente na conduo automvel, por ingesto de bebidas alcolicas, pode ser modelado, num dado intervalo, pela equao
3 kxR x e em que x a concentrao de lcool no sangue em g/l e k uma constante. 10.1. Determine o valor de k admitindo que a concentrao de 0,5 g/l de lcool no sangue resulta num riso de acidente de 10%. Apresente o resultado arredondado s dcimas.
10.2. Supondo que 2, 4k , qual a concentrao de lcool no sangue que corresponde a um
risco de 100%? Apresente o resultado aproximado ao decigrama em g/l.
11. A massa de uma substncia radioativa desintegra-se segundo a lei 25t
M t A e
sendo
M expresso em gramas e t em sculos. 11.1. Se ao fim de 500 anos, a massa da amostra 300 mg, quantos mg havia inicialmente?
11.2. Quantos anos demora a massa a reduzir-se a 2
3 da massa inicial?
12. Considera a funo , com x af x e a . O grfico de f interseta o eixo 0y no ponto de ordenada 3. Ento o valor de a :
(A) 3e (B) ln 3 (C)3 (D) 3
13. Um recipiente contm uma certa quantidade de acar. Para dissolver o acar enche-se o recipiente de gua. Admita que a massa de acar ainda no dissolvido, t minutos aps o
incio do processo de dissoluo, dada, em gramas por: 50 , 0, ktm t e t k
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3
13.1. Determine k, com aproximao s milsimas, supondo que ao fim de meia hora esto 10 gramas de acar por dissolver.
13.2. Mostre que
1m t
m t
no depende de t.
13.3. Suponha agora que 0,03k e determine x tal que, para qualquer t,
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2m t x m t . Apresente o resultado aproximado s unidades e interpreta-o no
contexto da igualdade. 14. A Maria secretria numa firma. Quando comea a trabalhar e quando se vai embora no tem papis na mesa. Ao longo do dia de trabalho a altura da pilha de papeis em coma
da mesa dada aproximadamente por: 2 0,050, 2 9 tA t t t e (com A em cm e t em horas)
14.1. Se a Maria entra s 10 horas da manh, a que horas sai? 14.2. Utilize a calculadora para determinar durante quanto tempo a altura da pilha de papis ultrapassa os 4cm. Apresente o ou os grficos que lhe permitem responder a esta questo e assinala os pontos que considera relevantes. Apresente a resposta em horas e minutos. 15. Suponha que o stress de um indivduo pode ser expresso, numa dada unidade, por
kts t ae em que t a idade do indivduo, em anos, a e k so parmetros reais no nulos. 15.1. Para indivduos de uma certa comunidade, o valor de k 0,2 e aos 17 anos o valor do stress 15. Determine o valor de a aproximado s dcimas e interprete esse valor no contexto da situao.
15.2. Mostre que se ln 2k , o stress duplica a cada ano que passa. 16.Escreva na forma de um nico logaritmo
16.1. log 9 log 3 16.2. 2 23log 5 0,5 log 25 16.3. 2 2 21 1
log log , 0xx x
16.4.2 3
log 3 log 6
16.5.1 ln , 0x x 16.6.log
2, 02
xx 16.7. 2ln 1 ln 1 , 1x x x
17. Simplifique as expresses seguintes:
17.1. 2ln e 17.2. 2ln , com 0ae a 17.3. 2
log 8 2x 17.4.
ln
2 , 0
x
e x
17.5. 24 2
log log , 0x x x 17.6. 2 2log log , , \ 1b cc b b c
17.7. 1log 5 log 5, \ 1aa
a 17.8.
ln ln cos, 0,cos 0
senx xe senx x
18.Resolva as seguintes equaes:
18.1. 2 8x 18.2. 1
2 2x 18.3. 9 3 3 0x x 18.4. 2 4 5 0x xe e
18.5. ln 2 3 2 lnx x 18.6. 3ln 2 ln 0x x x 18.7. ln 2 2xe x
18.8. 2log 1 3x 18.9. 2 1
log \ 12 2
xx
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4
18.10. 4 42 log 4 1 1 2 log2
xx
18.11. ln 4 ln 2 ln 3x x x 18.12. log 3 4 log log 2x x x
19. Considere uma funo f real de varivel real, definida por 21 logf x ax b , com a e b Considera ainda que os pontos A (-1, 0) e B (0, -2) pertencem ao grfico de f.
19.1. Determine a e b. 19.2. Mostre que o ponto do grfico de f que tem abcissa 4 pertence bissetriz dos quadrantes pares. 19.3. Verifique que 6 pertence ao contradomnio e indica o respetivo objeto.
19.4. O grfico de f passa pelo ponto de coordenadas 22, log c , sendo c . Determine
o valor de c.
20.Na figura encontra-se parte da representao grfica da
funo f, de domnio , definida por 2logf x x e o tringulo [ABC] Os pontos A e B pertencem ao grfico de f e o ponto C tem ordenada igual ao ponto B. Qual das expresses seguintes d a rea do tringulo [ABC]?
(A) 4a (B) 3a (C) 22 log 3a a (D) 8a
21. A figura ao lado mostra o grfico da funo logaritmo na base b .
O valor de b :
(A) 1
4 (B) 2 (C) e (D) 4
22.Sabe-se que ka 2log a e k .Qual o valor de 4 2log loga a
(A) 2
1 (B) k (C) 1 (D)
2
k
23. Indique qual das seguintes expresses , para qualquer nmero real 1a , igual a 2 log 3aa
.
(A) 32a (B) 23a (C) 23 a (D) 32 a
1
a 4a
A
B C
y
x