FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA

TURMA - PDE/2012

Título: A Geometria Não-Euclidiana na Construção do Conhecimento Matemático

Autor Lygia Aparecida Medeiros Cardeal

Disciplina/Área Matemática

Escola de Implementação do

Projeto e sua localização

Colégio Estadual Professor Paulo Mozart Machado – Ensino

Fundamental e Médio

Alameda Jean Fumiere – 135 Uraí-PR

Município da escola Uraí

Núcleo Regional de Educação Cornélio Procópio

Professor Orientador Dra. Simone Luccas

Instituição de Ensino Superior Universidade Estadual do Norte do Paraná (UENP) – Campus

Cornélio Procópio

Relação Interdisciplinar

Não tem

Resumo

Este trabalho destina-se a um estudo sobre a introdução a

Geometria Não-Euclidiana. Apresenta uma noção histórica de

seu surgimento, de alguns pesquisadores que contribuíram

para sua sistematização, como Lobachevscky, Bolyai, Gauss

e Riemann, entre outros. Propõe investigar, também, como

essa Geometria pode ser trabalhada no Ensino Fundamental,

dando ênfase a Geometria Elíptica. Neste estudo é colocada a

importância de se introduzir na formação de professores dos

cursos de ciências a História da Matemática e a História da

Filosofia, contribuindo de modo positivo para uma

aprendizagem efetiva de conteúdos trabalhados na

matemática, inclusive em relação ao tema em questão. A

Geometria Não-Euclidiana é apresentada nas Diretrizes

Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná como

um conteúdo a ser trabalhado, contudo é um assunto pouco

explorado. Foi produzida uma sequencia de atividades

envolvendo a Geometria Euclidiana e a Geometria Não-

Euclidiana, em especial, a Geometria Elítica, a fim de,

estimular e subsidiar alunos e professores do Ensino

Fundamental em relação a tais geometrias, para que possa de

1

maneira significativa ampliar seu conhecimento, pensamento

geométrico, promover reflexões e mudanças na prática

pedagógica. A aplicação das atividades será norteada pela

abordagem metodológica da pesquisa-ação e a análise delas

será realizada segundo a análise textual.

Palavras-chave Matemática; Geometria Euclidiana; Geometria Não-Euclidiana;

Geometria Elíptica; História.

Formato do Material Didático Unidade Temática

Público Alvo

Alunos do 8º ano noturno do Colégio Estadual Professor Paulo

Mozart Machado – Ensino Fundamental e Médio.

2

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE DO PARANÁ

CAMPUS DE CORNÉLIO PROCÓPIO SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE

LYGIA APARECIDA MEDEIROS CARDEAL

A GEOMETRIA NÃO-EUCLIDIANA NA CONSTRUÇÃO DO

CONHECIMENTO MATEMÁTICO

Cornélio Procópio 2012

3

LYGIA APARECIDA MEDEIROS CARDEAL

A GEOMETRIA NÃO-EUCLIDIANA NA CONSTRUÇÃO DO

CONHECIMENTO MATEMÁTICO

Unidade Didática apresentada ao Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) da Secretaria do Estado da Educação do Paraná (SEED). Orientadora: Profª Drª Simone Luccas

Cornélio Procópio 2012

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SUMÁRIO

1 DADOS DE IDENTIFICAÇÃO...........................................................................

2 TEMA DE ESTUDO DO PROFESSOR PDE......................................................

3 TÍTULO..............................................................................................................

4 INTRODUÇÃO ..................................................................................................

5 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA..........................................................................

6 ATIVIDADES ....................................................................................................

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS..............................................................................

REFERÊNCIAS.....................................................................................................

5

5

5

5

7

17

22

23

5

1 DADOS DE IDENTIFICAÇÃO

Professor PDE: Lygia Aparecida Medeiros Cardeal

Área PDE: Matemática

NRE: Cornélio Procópio

Professor Orientador IES: Profª Drª Simone Luccas

IES Vinculada: UENP – Campus Cornélio Procópio

Escola de Implementação: Colégio Estadual Professor Paulo Mozart Machado -

Ensino Fundamental e Médio.

Público objeto da intervenção: 8º ano noturno

2 TEMA: Tendências Metodológicas em Educação Matemática

3 TÍTULO: A GEOMETRIA NÃO-EUCLIDIANA NA CONSTRUÇÃO DO

CONHECIMENTO MATEMÁTICO

4 INTRODUÇÃO

A matemática é importante e está presente no cotidiano, muitas são as

dificuldade encontradas em relação a diversos conteúdos, sua aplicabilidade e sua

aprendizagem. É essencial desenvolver um ensino que integre números, álgebra,

grandezas, medidas, geometrias, funções e tratamento da informação, para

proporcionar ao aluno a construção de seu conhecimento lógico matemático. Desta

forma o ensino da mesma é relevante na formação do aluno, pois além de auxiliá-lo

na busca de valores e atitudes, leva-o a apropriar-se de conhecimentos capazes de

inseri-lo na sociedade. O mesmo acontece com a geometria que é um ramo da

matemática e se faz presente nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica do

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Estado do Paraná, pois, além da relevância na formação do aluno contribui também,

para o desenvolvimento da percepção espacial, da criatividade e do raciocínio

lógico.

A utilização e aplicação da Geometria Euclidiana no dia-a-dia e no âmbito

escolar são visíveis e imprescindíveis, pois influenciou e influencia até os dias atuais

o ensino e a aprendizagem devido à sistematização do conhecimento matemático.

Sua obra é baseada em axiomas e postulados até hoje presentes na Educação

Básica. Mas, só a Geometria de Euclides não basta, pois vivemos em um mundo

onde sua forma é esférica, fica evidente que para trabalhar conceitos em geometria

é necessário verificar qual geometria se está trabalhando. Surge assim, nos meados

do século XIX outras geometrias em resposta a muitas dúvidas surgidas no campo

da mecânica, da astronomia, da óptica, da física, da navegação e outros.

Advindo que tal saber é importante e que mudanças ocorreram nas últimas

décadas na Educação, a SEED, a partir de 2003, juntamente com os professores

dos diferentes níveis e modalidades de ensino, equipes pedagógicas e com

educadores dos Núcleos Regionais da Secretaria do Estado da Educação do

Paraná, construíram as Diretrizes Curriculares, resgatando considerações teóricas

metodológicas necessárias para o ensino da Matemática de forma mais significativa

(PARANÁ, 2008).

Diante disto, cinco conteúdos estruturantes foram selecionados, a saber:

números e álgebra, grandezas e medidas, geometrias, funções, e tratamento da

informação. Para o Ensino Fundamental e Médio o Conteúdo Estruturante

Geometrias se desdobra em: geometria plana, geometria espacial, geometria

analítica e noções básicas de geometrias não-euclidianas.

Alguns conteúdos de Geometria Não-Euclidiana são abordados

superficialmente ou mesmo nem abordados nas escolas públicas paranaenses, além

de ocorrer também à falta de conhecimento da maioria dos docentes em relação a

sua aplicabilidade. Portanto, esse é um importante passo para a aplicação da

Geometria Não-Euclidiana tanto no Ensino Fundamental, quanto no Ensino Médio, o

que pauta a realização deste trabalho, pois vivemos em um mundo onde sua forma

esférica através das Geometrias Não-Euclidianas nos mostra novas maneiras de

compreender este espaço e as formas nele contidas.

É de consenso, que um dos objetivos da disciplina de matemática, é de

tornar o ensino mais dinâmico, contextualizado, interdisciplinar, centrado na ética,

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para que, a partir dela, o educando amplie seu conhecimento e se torne um cidadão

crítico, autônomo em suas relações sociais, contribuindo para o desenvolvimento da

sociedade.

Para que se efetive o processo ensino aprendizagem de matemática com

sucesso, é importante que os educadores sejam criativos, tenham uma visão

histórica e crítica de sua Ciência; sejam comprometidos, autônomos e com domínio

de sua prática pedagógica; tomem decisões e sejam capazes de analisar e

solucionar problemas que surjam em sala de aula; e proporcionem aos seus alunos

um ensino de matemática mais significativo.

Nesse contexto, a Geometria Não-Euclidiana, trabalhada no Ensino

Fundamental, pode ser um meio eficaz para propiciar aos alunos a construção do

conhecimento matemático?

Com base em todas estas questões, propõe-se o desenvolvimento deste

trabalho com os alunos do 8º ano noturno do Ensino Fundamental, do Colégio

Estadual Professor Paulo Mozart Machado – Ensino Fundamental e Médio, no

município de Uraí, com o objetivo de levar o aluno a investigar a Geometria Não-

Euclidiana, no Ensino Fundamental, por meio de atividades inerentes ao conteúdo

trabalhado, dando ênfase à Geometria Elíptica, bem como o mesmo seja capaz de

conhecer algumas definições, abordagens de enunciados, conceitos e

demonstrações da Geometria Não Euclidiana. Investigar como a Geometria Não-

Euclidiana pode ser trabalhada no Ensino Fundamental; desenvolver atividades

relacionadas à Geometria Euclidiana e Não-Euclidiana, em particular, a Geometria

Elíptica; aplicar uma seqüência de atividades, no 8º ano, período noturno e por fim

analisar os resultados obtidos. Além disso, mostrar a importância e que a relação

entre estas Geometrias podem ser um meio eficaz para propiciar aos alunos a

construção do conhecimento matemático e geométrico, como sugere as Diretrizes

Curriculares Da Educação Básica de Matemática do Estado do Paraná.

5 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná

(2008), assume-se a Educação Matemática como campo de estudos que possibilita

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ao professor balizar sua ação docente, fundamentado numa ação crítica que

conceba a Matemática como atividade em construção.

Diante disso, cabe ao professor a adequação e estruturação dos conteúdos,

sem perder o caráter científico da disciplina. A inclusão da história da matemática

no ensino vem sendo mundialmente pesquisada e discutida, pois, ocorre

atualmente, uma crise no campo das ciências, entre elas, na Matemática. Segundo

Matthews, atualmente há “alunos e professores evadidos e um alto índice de

analfabetismo nas ciências” (1995, p.165).

Vários são os estudos no campo das ciências em relação à abordagem

histórico-filosófica. Esses estudos podem ser aplicados à Matemática, já que esta é

uma Ciência Formal. Em função disso, é possível realizar uma fundamentação da

História da Matemática em referenciais que tratam da História e da Fisolofia.

Muitos pesquisadores defendem a inclusão da História e da Filosofia nas

ciências de um modo geral e, também, na educação. Entre estes pesquisadores

temos Matthews (1995), que ressalta os aspectos positivos da reaproximação de tais

áreas, pois, estas segundo ele:

[...] podem humanizar as ciências e aproximá-las dos interesses pessoais, éticos, culturais e políticos da comunidade; podem tornar as aulas de ciências mais desafiadoras e reflexivas, permitindo, deste modo, o desenvolvimento do pensamento crítico; podem contribuir para um entendimento mais integral da matéria científica, isto é, podem contribuir para a superação do „mar de falta de significação‟ que se diz ter inundado as salas de aula de ciências, onde fórmulas e equações são recitadas sem que muitos cheguem a saber o que significam; podem melhorar a formação do professor auxiliando o desenvolvimento de uma epistemologia da ciência mais rica e mais autêntica, ou seja, de uma maior compreensão da estrutura das ciências bem como do espaço que ocupam no sistema intelectual das coisas (MATTHEWS, 1995, p.165).

Tais considerações refletem de forma positiva na área da Educação

Matemática. A abordagem de tal enfoque é inexplorada nesta área, mas necessária,

e para isso, currículos devem ser reestruturados, reelaborados e fundamentados em

princípios históricos; professores necessitam de uma formação adequada, e é

necessário haver uma reaproximação do ensino de Ciências com a História e a

Filosofia.

Alguns pesquisadores têm desenvolvido reflexões sobre a importância da

História da Matemática, como Antonio Miguel (1993). Em sua tese de doutorado, o

pesquisador abordou a relação que existe entre a história, a história da matemática

e a educação matemática, pois, ele acredita que:

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[...] cidadãos matematicamente educados com base numa metodologia histórica que promova o pensamento independente e crítico e a autonomia intelectual é que estão melhores preparados para propor, analisar, discutir e votar por medidas emancipadoras referentes ao papel a ser desempenhado no contexto das sociedades atuais pelas ciências em geral e pela matemática em particular (1993, p.114).

No artigo Abordagem histórico-filosófica e Educação Matemática – uma

proposta de interação entre domínios de conhecimento, de Irinéa de Lourdes Batista

e Simone Luccas (2004), ressalta-se que vários pesquisadores desenvolvem

estudos e reflexões em relação à inclusão da História da Matemática no ensino de

matemática, entre eles Carlos Roberto Vianna (1995), Michael N. Fried (2001), que

argumentam que infelizmente não tem ocorrido melhoras na forma de apresentação

do conteúdo nos livros didáticos, que os alunos não mudaram a compreensão em

relação à disciplina, e que pouco se tem feito nas escolas para que esta possa ser

compreendida mais facilmente, por isso defendem tal incorporação.

Conclui-se que, a abordagem da História da Matemática, quando bem

conduzida, pode apresentar resultados satisfatórios para a Educação. Segundo

Batista e Luccas,

[...] a abordagem histórico-filosófica pode apresentar resultados bastante satisfatórios no campo educacional se trabalhada de maneira adequada, pois ela é capaz de instigar a curiosidade dos envolvidos no trabalho, levando-os a conhecer aspectos pertinentes à estrutura do assunto estudado, reconhecer as articulações que o mesmo estabelece ao efetivar sua sistematização, funcionar como um fio condutor dos raciocínios, como um elemento na estrutura didática que favorece a cognoscibilidade dos conteúdos, que justifica racionalmente a coordenação didática, desses, estabelecendo-se no próprio corpo integrado das estruturas de ensino e, como pretendemos de aprendizagem. Esses objetivos alcançados por meio da análise crítica e reflexiva podem conduzir os envolvidos no processo educacional a uma ampliação ou até mesmo a uma mudança de visão de mundo (2004, p. 132).

A Geometria é um ramo da Matemática que desde a antiguidade se faz

presente no cotidiano das pessoas, influenciando o desenvolvimento humano até os

dias atuais. Ela é vista como uma Ciência de natureza lógica e dedutiva, sendo

formulada por postulados, axiomas e noções comuns a todos.

Em torno dos anos 300 a.C., Euclides sistematizou o conhecimento geométrico, na obra Elementos. Seus registros formalizaram o conhecimento geométrico da época e deram cientificidade à Matemática. Nessa obra, o conhecimento geométrico é organizado com coesão lógica e concisão de forma, constituindo a Geometria Euclidiana que engloba tanto a geometria plana quanto a espacial (PARANÁ, 2008, p. 55).

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A obra de Euclides foi de uma importância ímpar para a Geometria, sendo

uma referência na História da Matemática. Em sua obra, utiliza um método lógico

dedutivo, hoje conhecido como método axiomático, composto por dez axiomas,

sendo cinco deles noções comuns e cinco postulados.

Euclides buscou o ideal de uma organização axiomática para a geometria, ou seja, um sistema formado por noções primitivas, definições, axiomas e teoremas. Os axiomas são o começo dessa cadeia dedutiva e são afirmações não demonstradas que Euclides chamou de postulado (aquilo que não se pode). Euclides procurou escolher como postulados e afirmações que, por sua simplicidade, seriam aceitas por qualquer pessoa de bom senso e que eram, em um certo sentido, evidentes por si mesmas (FRANCO & GERÔNIMO, 2004, p.1).

Euclides, no seu livro I enunciou um conjunto de cinco axiomas e cinco

postulados descritos a seguir:

Axiomas (ou noções comuns): 1. Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si. 2. Se quantidades iguais são adicionadas a iguais, os totais são iguais. 3. Se quantidades iguais são subtraídas de iguais, os restos são iguais. 4. Coisas que coincidem uma com a outra são iguais. 5. O todo é maior do que qualquer de suas partes. Postulados: 1. Uma linha reta pode ser traçada de um ponto a outro, escolhidos à vontade. 2. Uma linha reta pode ser prolongada indefinidamente. 3. Um círculo pode ser traçado com centro e raio arbitrários. 4. Todos os ângulos retos são iguais. 5. Se uma reta secante a duas outras formam ângulos, de um mesmo lado dessa secante, cuja soma é menor que dois ângulos retos, então essas retas se prolongadas suficientemente encontrar-se-ão em um ponto desse mesmo lado (COUTINHO, 2001, p. 34).

Em uma linguagem mais acessível, o quinto postulado mais conhecido

atualmente como axioma das paralelas, proposto em 1793 pelo matemático e físico

John Playfair, é descrito: “Por um ponto fora de uma reta passa uma e uma só

paralela a ele” (GARBI, 2006, p. 60).

A Geometria Euclidiana foi considerada por muitos séculos como modelo

para explorar o espaço, contudo esse espaço é somente o plano. Surgem assim, os

questionamentos, a Terra é um espaço esférico, pontualmente estamos em um

espaço plano, mas quando se considera grandes distâncias sobre a superfície

terrestre a geometria euclidiana somente não basta.

Esforços foram empreendidos na busca de provar o quinto postulado, muitos

matemáticos dedicaram-se a estudá-lo na tentativa de provar que ele é um teorema

e que pode ser demonstrado, e o fizeram por meio dos quatro primeiros postulados,

11

o que acarretou no surgimento de outras Geometrias que revolucionaram a Ciência,

e foi assim denominada: Geometrias Não-Euclidianas. Segundo Arcari:

Ironicamente, podemos dizer que o próprio Euclides, ao adotar seu Quinto Postulado em sua obra “Os Elementos” lançou a semente das Geometrias Não Euclidianas, uma vez que o questionamento de tal postulado levou ao desenvolvimento da teoria que serviu de base para a fundamentação da primeira Geometria Não Euclidiana, ou seja, a Geometria Hiperbólica (2008, p.3).

De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do

Paraná (2008): O conhecimento geométrico ganhou mais uma face no final do

século XVIII e início do século XIX, com os estudos de Bolyai, Lobachevsky,

Riemann e Gauss. Surgiram as geometrias não-euclidianas, que trouxeram uma

nova maneira de ver e conceber o conhecimento geométrico.

O pesquisador Boyer argumenta, segundo Silva, que o primeiro registro sobre Geometria Não-Euclidiana ocorreu em 1826 com a Geometria Hiperbólica, quando Lobachevsky, apresentou vários teoremas sobre este assunto e que chama de Geometria Imaginária, entretanto o nascimento oficial dessa Geometria ocorreu três anos mais tarde em 1829 com a publicação do artigo sobre os Princípios da Geometria, de Lobachevsky, no Kasan Messenger (BOYER, 1996 apud SILVA, 2011, p.18).

No ano de 1829, segundo Boyer (1996), Janos Bolyai chega à mesma

conclusão que Lobachevsky, mas suas reflexões só aparecem no ano de 1832 como

apêndice em um tratado de seu pai com o título de Tentâmen, dessa maneira

Lobachevsky é o primeiro a se firmar em relação à publicação sobre a Geometria

Não-Euclidiana.

Segundo Arcari (2008), o matemático Gauss tomou conhecimento do

problema com o Quinto Postulado, que tinha apenas 15 anos de idade, e chega à

conclusão que tal demonstração não era possível baseado nos quatro primeiros. O

fato de Gauss não publicar suas descobertas para Arcari (2008), pode ter sido

motivado pelo medo de rejeição diante de uma Geometria que fosse contrária a

Euclidiana. Outro fator que também o leva a não publicar, é por divergir da filosofia

de Kant, adotada pela Igreja, que aceitava o universo como euclidiano.

Gauss relata o Problema das Paralelas em uma carta a Taurinos em 1824.

Se supusermos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é menor do que 180° (o que equivale a considerar uma das negações do Quinto Postulado),é possível desenvolver uma longa série de resultados não contraditórios que constituem uma Geometria Não Euclidiana (ARCARI, 2008, p. 8).

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Entre os matemáticos citados, o que mais se dedicou e acreditou na

Geometria diferente da Euclidiana, foi Lobachevsky. Durante vinte anos se dedicou e

escreveu três exposições completas, sendo a mais importante lançada em 1855 com

o título Pangeometria, conhecida atualmente por Geometria Lobachevsky

(COUTINHO, 2001).

Na segunda metade do século XIX, embora a maioria dos teoremas da Geometria Hiperbólica já tivesse formalizada havia ainda uma dúvida sobre sua consistência, pois no futuro poderia acontecer de encontrarem contradições lógicas em sua teoria. Tal problema foi solucionado por Eugênio Beltrami (1835-1900) ao criar o primeiro modelo parcial para Geometria Hiperbólica, trata-se de uma superfície gerada através da revolução da curva tratriz em torno de sua assíntora, a esta superfície deu-se o nome de Pseudo-esfera (ARCARI, 2008 apud SILVA, 2011, p.19).

Como previsto por Gauss, a Geometria Não-Euclidiana foi deixada de lado

por várias décadas, até que a partir das ideias de Georg Friedrich Riemann (1826-

1866), passou a ser aceita completamente, no ano de 1954 em uma conferência

para sua integração junto a Universidade de Gottingen. Para o estudioso Boyer

(1996, p.377) a “Geometria nem sequer deveria necessariamente tratar de ponto ou

retas ou do espaço no sentido ordinário, mas sim de coleções de n-uplas que são

combinadas segundo certas regras”.

O matemático alemão Riemann criou uma geometria chamada Elíptica, que

também contraria o Quinto Postulado de Euclides e engloba as ideias de

Lobachevsky. “Na Geometria de Riemann abandona-se a noção de „estar entre‟ e a

reta não é mais infinita como na Geometria Euclidiana, mas sim ilimitada”

(COUTINHO, 2001, p. 73).

Essas descobertas foram consideradas por alguns pesquisadores matemáticos mais exagerados como „o desastre do século XIX‟. Com a perda da certeza da Geometria Euclidiana, esses pesquisadores consideravam, também, a perda de toda a certeza do conhecimento humano. Já para outros mais moderados elas representaram uma dificuldade quanto ao conceito de verdade absoluta, ou seja, antes de um geômetra poder afirmar se um determinado conceito é verdadeiro ou falso, ele deve primeiro verificar em qual sistema está trabalhando (KLEIN, 1994, apud SILVA, 2011, p. 20).

A determinação do sistema geométrico em que se está atuando deve ser

considerada, como mencionado acima, pois estas Geometrias podem apresentar

algumas semelhanças, mas apresentam também várias divergências que podem

conduzir a erros absurdos (KLEIN, 1994 apud Silva, 2011, p.21). Por exemplo,

segundo Coutinho, na Geometria Hiperbólica os quatro primeiros Postulados de

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Euclides são verificados, mas o quinto Postulado é substituído pelo que se segue:

“por um ponto P fora de uma reta r passa mais de uma reta paralela à reta r” (2001,

p. 40).

Nessa Geometria as retas são arcos que apresentam a menor distância entre dois pontos, denominados geodésicas. A soma dos ângulos internos de um triângulo, nessa Geometria, é menor que dois ângulos retos. Essas e outras particularidades podem ser visualizadas em uma pseudo-esfera, uma superfície de curvatura negativa constante, desenvolvida por Beltrami que posteriormente foi aprimorada por Félix Christian Klein e também por Jules Henri Poincaré (COUTINHO, 2001; ARCARI, 2008 apud SILVA, 2011, p.21).

Já a Geometria Elíptica (esférica) estudada por Riemann, contraria o Quinto

Postulado de Euclides e o substitui por outro que afirma “Quaisquer duas retas em

um plano têm um ponto de encontro” (COUTINHO, 2001, p.73).

A Geometria Esférica pode ser verificada em uma superfície esférica de curvatura positiva constante, e assim como a de Lobachevsky apresenta algumas particularidades, como: são consideradas retas nesta Geometria apenas os círculos máximos, seus segmentos de retas são sempre a menor porção do único círculo máximo que pode ser determinado por dois pontos e, assim como na Geometria Hiperbólica, recebe o nome de geodésica; a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre maior que dois retos; entre outras (SILVA, 2011, p. 21).

Diante de tais colocações, fica evidente que para trabalhar conceitos em

geometria é necessário verificar com qual geometria se está trabalhando, a

Euclidiana ou a Não-Euclidiana. De acordo com Boyer “como o plano é uma

superfície com curvatura constante nula, a Geometria Euclidiana pode ser

considerada como um intermediário entre os dois tipos de geometria não euclidiana”

(1996, p.378).

No final do século XIX “Os Elementos” de Euclides não estavam resistindo ao rigor que a lógica exigia para os fundamentos da geometria. Muitas proposições de geometria euclidiana plana faziam uso de resultados que não haviam sido demonstrados anteriormente e que não constavam do rol de axiomas, ou seja, era necessária uma reformulação dos axiomas de Euclides. A proposta que foi melhor aceita pela comunidade matemática foi a do matemático e lógico alemão David Hilbert, publicada em seu célebre trabalho “Grundlagen der Geometrie” (Fundamentos de Geometria) de 1899 onde Hilbert coloca a Geometria Euclidiana sobre bases sólidas por meio da substituição dos cinco Postulados de Euclides por cinco grupos de axiomas, que chamou de Axiomas de Incidência, Axiomas de Ordem, Axiomas de Congruência, Axiomas de Continuidade e Axioma das Paralelas (ARCARI, 2008, p. 12).

Ainda segundo Arcari, com o trabalho de Hilbert as Geometrias Euclidianas

se solidificam, e se encerra talvez um dos problemas que mais perdurou na história

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da matemática, o Problema das Paralelas, introduzido pelo próprio Euclides, e que

resistiu por 2200 anos (2011).

Segundo Baldini (2008), Georg Friedrich Bernhard Riemann deixou um

grande legado para a humanidade quando introduziu o conceito de espaço com

mais de três dimensões. Criou um novo universo geométrico que contribuiu para

grandes descobertas, como no caso da Teoria da Relatividade de Einstein que só

resolveu problemas fundamentais desta Teoria, depois de utilizar conceitos da

Geometria Riemanniana.

O pesquisador Loureiro destaca, segundo Baldini que, para “Einstein, o

universo é considerado finito e ilimitado tendo o espaço uma curvatura positiva

constante, que corresponde ao espaço de Riemann” (LOUREIRO apud BALDINI,

2008, p. 29). Percebe-se assim, que a Geometria Euclidiana não é adequada em

todos os espaços, portanto a necessidade de outras geometrias fica evidente.

Segundo as Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do

Paraná: “Muitos problemas do cotidiano e do mundo científico só são resolvidos

pelas geometrias não-euclidianas” (2008, p. 56). Assim a Geometria Esférica ou

Riemanniana acaba sendo importante e eficaz no nosso cotidiano. Ainda de acordo

com as Diretrizes:

Para abordar os conceitos elementares da geometria elíptica, uma possibilidade é fundamentá-la através do seu desenvolvimento histórico e abordar: postulado de Riemann; curva na superfície esférica e discutir o conceito de geodésia; círculos máximos e círculos menores; distância na superfície esférica; ângulo esférico; triângulo esférico e a soma das medidas de seus ângulos internos; classificação dos triângulos esféricos quanto à medida dos lados e dos ângulos; os conceitos referentes à superfície da Terra: pólos, equador, meridianos, paralelos e as direções de movimento (PARANÁ, 2008, p. 57).

Riemann desenvolve todo seu estudo na superfície esférica contrariando o

Quinto Postulado de Euclides e estabelece o seu Postulado: “Quaisquer duas retas

em um plano têm um ponto de encontro” (COUTINHO, 2001, p. 73). Portanto, não

existem retas paralelas a uma reta dada na Geometria elíptica, pois qualquer duas

retas nessa geometria sempre se encontram.

Uma maneira de interpretar o postulado acima seria pensar na superfície esférica, onde “retas” seriam os círculos máximos ou geodésias da superfície esférica. Nessa superfície, quaisquer dois círculos máximos se interceptam, aliás, em mais de um ponto (COUTINHO, 2001, p. 73).

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Figura 1: Geodésia Fonte: Prestes (2006 p. 34).

Na Geometria Não-Euclidiana (Esférica) bem como na Geometria Euclidiana

existem ângulos, triângulos e quadriláteros, sendo que cada qual é definido

diferentemente, pois Euclides desenvolve a geometria em superfícies de curvatura

nula, isto é, as superfícies planas, e Riemann desenvolve a geometria sobre

superfícies de curvaturas positivas, ou seja, nas superfícies curvas, temos assim a

uma das Geometrias Não-Euclidianas, conhecida como Geometria Esférica.

Segundo Coutinho, na Geometria Elíptica: “Sendo círculos máximos as

“retas” da superfície esférica, defini-se o ângulo esférico como sendo a intersecção

de dois círculos máximos e a sua medida é a mesma do ângulo plano formado pelas

tangentes tiradas do ponto de intersecção” (2001, p. 83).

Figura 2: Ângulo Esférico Fonte: Prestes (2006 p. 36).

“Sejam A, B, e C três pontos distintos sobre uma esfera e não pertencentes a

um mesmo círculo máximo. A figura formada pelos arcos de círculos máximos que

une esses pontos dois a dois chama-se triângulo esférico ABC” (2001, p. 84)

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Figura 3: Triângulo esférico Fonte: Prestes (2006 p. 36)

Na Geometria elíptica a soma dos ângulos internos de um triângulo esférico

não é constante pode variar entre 180° e 900° dependendo do triângulo

considerado. Portanto se um triângulo ABC ocupar metade da esfera a soma de

seus ângulos internos variam entre:

180° < Â + B + C < 540°

Se o triângulo ABC ocupar quase toda a área da esfera a soma dos ângulos

internos variam entre:

180° < Â + B + C < 900°

Além disso, ao contrário dos triângulos euclidianos, os triângulos esféricos

podem ter dois ou três ângulos retos (BALDINI, 2008).

De acordo com Coutinho, os triângulos esféricos classificam-se:

Quanto aos ângulos: retângulo – um ângulo reto; birretângulo – dois ângulos retos; e trirretângulo – os três ângulos retos. Quanto aos lados: retilátero – um lado medindo 90°; birretilátero – dois lados medindo 90° cada um ; e trirretilátero – cada um dos lados medindo 90° (2001, p.86).

Além dos triângulos na Geometria Elíptica há também o estudo dos

quadriláteros, no entanto, neste trabalho nos deteremos á análise somente dos

triângulos.

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6 ATIVIDADES

Algumas atividades serão desenvolvidas, explorando conceitos das

Geometrias Euclidiana e Não-Euclidiana, a fim de que tais assuntos sejam

sistematizados, aprimorados e aprendidos pelos alunos, levando-os a diferenciarem

e compreenderem tais geometrias.

Estas atividades foram desenvolvidas baseadas nos trabalhos de Baldini

(2008), Coutinho (2001), Cruz (2008), Fillos (2007), Pataki (2003) e também Silva

(2011).

Para realização das mesmas serão utilizados os seguintes materiais:

Folhas de sulfite.

Réguas flexíveis construídas juntamente com os alunos.

Transferidores flexíveis construídas juntamente com os alunos.

Barbantes.

Lápis e caneta.

Bolas de isopor e de plástico.

Bexigas.

1ª Atividade

Os objetivos desta atividade são:

Compreender aspectos históricos da Geometria Euclidiana;

Entender os axiomas e postulados sistematizados por Euclides.

Atividade:

Fazer uma pesquisa a respeito da Geometria Euclidiana, preferencialmente no

laboratório de informática, em grupo de três a quatro integrantes, sobre os seguintes

questionamentos:

1. Quem foi Euclides de Alexandria?

2. Qual foi a obra mais importante escrita por Euclides?

3. Quais foram os axiomas e os postulados sistematizados por Euclides na

Geometria Euclidiana?

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Orientação:

Após a pesquisa, os alunos deverão socializar suas respostas com os demais

colegas da turma, para um melhor entendimento e formalização do assunto

pesquisado. Se necessário o professor poderá complementar com algumas

informações históricas em relação a tal Geometria.

2ª Atividade

Os objetivos desta atividade são:

Retomar os conceitos básicos de Geometria Euclidiana;

Relacionar a Geometria Euclidiana com a Não-Euclidiana por meio dos cinco

postulados de Euclides;

Conhecer alguns conceitos da Geometria Não-Euclidiana, bem como algumas

demonstrações;

Apresentar alguns conceitos de Geometria Elíptica (Esférica).

Atividade 2.1:

Retomar com os alunos, por meio de aulas expositivas e dialogadas, conceitos

básicos de Geometria relativos a:

Ponto;

Reta;

Plano;

Posições de uma reta em relação ao chão;

Posições relativas de duas retas em um plano;

Semirreta;

Segmento de reta;

Figuras geométricas planas e não-planas;

Ângulos.

Atividade 2.2:

Após retomar esses conceitos, propor aos alunos os seguintes exercícios:

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a) Trace em uma folha de sulfite uma reta s e um ponto P fora desta reta. Quantas

retas paralelas a s podem ser traçadas passando pelo ponto P? Em seguida discuta

com os seus colegas a sua resposta.

Orientação:

Espera-se que o aluno responda que passa somente uma única reta, depois de

observar a sua construção. Podemos notar então que estão trabalhando em uma

superfície plana e usando o 5º Postulado de Euclides, que atualmente foi

reformulado em uma linguagem mais acessível: “Por um ponto fora de uma reta

passa uma e uma só paralela a ele” (GARBI, 2006, p.60).

b) Agora, em uma bexiga vazia faça a mesma coisa, trace uma reta s e um ponto P

fora da reta. Em seguida encha a bexiga e verifique o que acontece. As retas são

paralelas? Discuta com seus colegas o que descobriu.

Orientação:

Provavelmente o aluno após encher a bexiga irá concluir que as retas não são

paralelas, elas farão uma curva, ou um arco. Concluindo assim que por um ponto P

fora da reta s não passa nenhuma reta paralela a r. Portanto, espera-se que

percebam que a superfície não é mais plana, mas sim uma superfície esférica.

c) Do outro lado da mesma folha de sulfite marque dois pontos A e B quaisquer, e

trace uma reta que represente a menor distância entre eles. Após ter feito esta reta,

prolongue-a e analise o que aconteceu.

Orientação:

O aluno provavelmente irá dizer que acabou a folha e não dará mais para prolongar

a mesma, contudo, se a folha fosse infinita a reta também seria. É importante

reforçar que na Geometria Euclidiana, o plano (folha) e a reta (linha) são entes

infinitos.

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d) Agora em uma bexiga vazia marque os mesmos dois pontos A e B, como na

atividade anterior e trace um segmento de reta entre eles. Em seguida, encha a

bexiga e vá prolongando esta reta nas duas direções, para auxiliar essa ação pegue

um barbante coloque sobre esse segmento e com uma caneta esferográfica e a

ajuda de um colega continue o traçado. O que aconteceu? Ainda na mesma bexiga

marque outros pontos, como por exemplo: pontos C e D; pontos E e F e faça o

mesmo procedimento. O que aconteceu?

Orientação:

Supõe-se que o aluno dirá que ao prolongar as extremidades do segmento se

encontraram formando um círculo. Estes círculos ou parte deles, na Geometria Não-

Euclidiana e mais especificamente na Geometria Elíptica, se chamam GEODÉSIA.

Uma geodésia é a menor distância entre dois pontos ou círculos máximos da

superfície esférica e é finita.

Portanto na Geometria Não-Euclidiana, particularmente na Geometria Elíptica,

podemos traçar infinitas geodésias sobre uma superfície esférica, sendo que elas

são finitas e podem se interceptar.

É importante que os alunos compreendam que nesta geometria não existem retas

paralelas, contrariando o 1º Postulado de Euclides. É relevante, também, que o

aluno conclua que a geodésia é ilimitada, mas finita.

3ª Atividade

Os objetivos desta atividade são:

Reconhecer figuras geométricas planas (triângulo);

Identificar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180° na

Geometria Euclidiana e na Geometria Não-Euclidiana é maior que 180°;

Determinar o sistema geométrico em que se está atuando por meio de conceitos

já estudados nas Geometrias Euclidianas e não-Euclidianas;

Compreender a diferença existente entre a Geometria Euclidiana e Não-

Euclidiana (Geometria Elíptica) nas superfícies estudadas.

a) Na mesma folha de sulfite utilizada na atividade 2, trace três pontos não alinhados

A, B e C. Em seguida una o ponto A com o ponto B, o ponto B com o ponto C e por

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fim o ponto C com o ponto A, por meio de segmentos de reta. O que encontrou?

Meça com o transferidor cada ângulo interno da figura encontrada. Qual a soma

desses ângulos?

Orientação:

O aluno irá responder que encontrou um triângulo e que a soma dos ângulos

encontrados é de 180°. De acordo com a Geometria Euclidiana em qualquer

triângulo a soma dos ângulos internos será sempre igual a 180°. Lembremos que a

Geometria Euclidiana é analisada em uma superfície plana.

b) Em uma bola de isopor ou de plástico, com auxílio de elásticos represente três

geodésias, como já visto na 2ª atividade item d. O encontro dessas três grandes

geodésias determinam uma figura geométrica. Como se chama esta figura?

Em seguida com o auxílio de um transferidor flexível, determine o valor de cada

ângulo em cada vértice da figura encontrada e faça a soma destes ângulos. Qual foi

a soma que encontrou?

Orientação:

O aluno provavelmente encontrará uma figura com forma triangular e após as

medições concluirá que a soma dos ângulos internos será maior que 180°. Nesta

atividade quando usamos a superfície esférica e dependendo do tamanho do

triângulo os ângulos internamente somados serão maiores que 180°. A união de três

pontos A, B e C não pertencentes a uma mesma circunferência máxima forma um

triângulo esférico, se o triângulo ocupar a metade da esfera a soma dos ângulos

internos varia entre 180° e 540°, mas se o triângulo ocupar quase toda a esfera a

soma dos ângulos internos variam entre 180° e 900°. Portanto, assim estamos

trabalhando a Geometria Elíptica que é um tipo de Geometria Não-Euclidiana.

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7 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este trabalho se propõe a investigar a apropriação de conceitos, definições,

abordagens de enunciados e demonstrações elementares da Geometria Euclidiana

e Não-Euclidiana em particular da Geometria Elíptica, através de pesquisa

qualitativa e bibliográfica, de observações em sala de aula, de uma sequência de

atividades e de documentos produzidos pelos participantes.

Abordar a Geometria Não-Euclidiana na rede pública estadual é algo

desafiador. Tal conteúdo é contemplado nas Diretrizes Curriculares da Educação

Básica de Matemática do Estado do Paraná, mas não existe aplicabilidade por parte

dos professores, pois os mesmos desconhecem conceitos básicos da mesma, bem

como, material e livros didáticos são inexistentes.

Diante de tais fatos, buscou-se a realização deste estudo e para isso

realizou-se uma revisão de literatura que subsidiou tal trabalho a fim de mostrar aos

professores e alunos, que a Geometria Não-Euclidiana é importante e necessária no

contexto escolar.

A partir de leituras e estudos sobre a História da Matemática, da Geometria

Euclidiana e Não-Euclidiana, percebeu-se que muito se têm em comum as duas

Geometrias, mas que a partir do Quinto Postulado de Euclides alguns conceitos

mudam, e em determinados momentos a Geometria Euclidiana não basta e não é

adequada em todos os espaços, já que vivemos em um mundo esférico, sendo

necessárias outras geometrias, as Não-Euclidianas. Percebeu-se também que

através das Geometrias Não-Euclidanas, o estudante poderá construir definições e

conceitos diferentes das encontradas na Geometria Euclidiana, e para isso é

necessário verificar qual geometria se está trabalhando; se a superfície for plana

utilizar-se-á a Euclidiana, se for superfície curva utilizar-se-á a Não-Euclidiana.

Assim, serão desenvolvidas algumas atividades que poderão contribuir

significativamente na realização de abstrações e generalizações matemáticas, pois o

aluno irá aprender fazendo, através do tato e não somente da mente, descobrindo

qual geometria deverá utilizar.

Espera-se que este trabalho contribua de maneira significativa para as

práticas pedagógicas dos professores e que através destas, alunos tenham uma

aprendizagem eficaz em relação ao conteúdo Geometrias Não-Euclidianas em

particular a Geometria Elíptica.

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REFERÊNCIAS

ARCARI, Inedio. Um Texto de Geometria Hiperbólica. Biblioteca Digital da Unicamp. Campinas. São Paulo. 2008. Disponível em: <http://www.bibliotecadigital.unicamp.br/document/?code=vt1s000441676>. Acesso em: 01 jun. 2012.

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CRUZ, Donizete Gonçalves da. Conceitos de Geometrias Não-Euclidianas – Hiperbólica e Elíptica a serem abordados nas séries iniciais do Ensino Médio.

2008. Caderno Pedagógico (PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional) – Secretaria Estadual de Educação e Universidade Federal do Paraná. Disponível em: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/portal/home.php.Educadores. Programas e Projetos - PDE - Produções PDE. Acesso em: 12 set. 2012.

FILLOS, Leoni Malinoski. Outras Geometrias: Controvérsias, desafios e Tormentos Intelectuais. 2007. Produção Didático Pedagógica – Folhas (PDE –

Programa de Desenvolvimento Educacional) – Secretaria Estadual de Educação e Universidade Estadual do Centro Oeste. Disponível em: http://www.diaadiaeducaao.pr.gov.br/portals/portal/home.php.Educadores. Programas e Projetos - PDE. Produções PDE. Acesso em : 14 set. 2012.

GARBI, Gilberto Geraldo. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática. 2. Ed. São Paulo: Editora Livraria da Física,

2007. 468 p.

GERÔNIMO, José Roberto; FRANCO, Valdeni Soliani. Geometria Plana e Espacial – Um estudo axiomático. Maringá – PR. UEM, 2004

MATTHEWS, Michael. R. História, filosofia e ensino de ciências:a tendência atual de reaproximação. In: Science E Education, 1 (1), p. 11-47, 1992. Tradução: Andrade, C. M, Cad. Cat. Ens. Fís., v 12, n.3: p. 164-214, dez. 1995.

MIGUEL, Antonio. Três estudos sobre história e educação matemática. Tese de doutorado, Faculdade de Educação, Unicamp, 1993.

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PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná – Matemática. Curitiba: SEED, 2008.

PATAKI, Irene. Geometria Esférica Para Formação De Professores: Uma

Proposta Interdisciplinar. Anais do VIII ENEM – Comunicação Científica,2004. Disponível em: WWW.sbem.com.br/files/viii/pdf. Acesso em: 14 set. 2012.

PRESTES, Irene da Conceição Rodrigues. Geometria Esférica – Uma Conexão com a Geografia. São Paulo, 2006. (Dissertação de Mestrado – USP).

SILVA, Rogério Mendes. Geometria Não-Euclidiana: Uma Introdução ao Estudo de Geometria Esférica. 70f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura Plena em Matemática) – Universidade Estadual do Norte do Paraná – Campus de Cornélio Procópio. Orientadora Dra Simone Luccas. Cornélio Procópio, 2011.

THIOLLENT, Michel. Metodologia da pesquisa-ação. 15. ed. São Paulo: Cortez, 2007.