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FICHA PARA CATÁLOGO
PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA
Título: INICIAÇÃO À ÁLGEBRA COM SIGNIFICADO – MODELAGEM MATEMÁTICA E MATERIAIS MANIPULÁVEIS
Autor Maria Noemi Backes Longo
Escola de Atuação Escola Estadual Cândido Portinari- EF
Município da escola Ampére
Núcleo Regional de Educação Francisco Beltrão
Orientador Sérgio Flávio Schmitz
Instituição de Ensino Superior UNIOESTE – Cascavel
Disciplina/Área (entrada no PDE) Matemática
Produção Didático-pedagógica Unidade Didática
Relação Interdisciplinar
(indicar, caso haja, as diferentes disciplinas compreendidas no trabalho)
Público Alvo
(indicar o grupo com o qual o professor PDE desenvolveu o trabalho: professores, alunos, comunidade...)
Alunos da sexta série do Ensino Fundamental.
Localização
(identificar nome e endereço da escola de implementação)
Escola Estadual Cândido Portinari – EF
Rua Presidente Kennedy -1043 – Ampére -PR
Apresentação:
(descrever a justificativa, objetivos e metodologia utilizada. A informação deverá conter no máximo 1300 caracteres, ou 200 palavras, fonte Arial ou Times New Roman, tamanho 12 e espaçamento simples)
O presente Material tem como enfoque a utilização dos mais adequados encaminhamentos metodológico ao ensino inicial de álgebra de forma significativa, tendo como sujeitos de estudo alunos de sétimo ano (sexta série), do ensino fundamental. Acreditamos serem necessárias, práticas pedagógicas fundamentadas em diferentes tendências metodológicas, as quais oportunizam a significação, compreensão e a interiorização do conhecimento. Com tais encaminhamentos, favorecer a sensibilização e as
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mudanças de atitudes dos alunos, deixando-os mobilizados para o processo do ensino e aprendizagem. Portanto, trabalharemos com maior ênfase a modelagem matemática, a manipulação de materiais significativos e mídias tecnológicas. Para despertar o pensamento algébrico e noções de incógnita ou variável, serão utilizadas atividades investigativas de seqüência geométrica e numérica. As equações algébricas aparecerão de forma lúdica numa brincadeira de embalar-se em gangorras no pátio escolar e após em simulações (gangorra de mesa) na sala de aula. Exploraremos situações de convivência emocional, pesquisando, analisando e tabulando dados sobre animais de estimação dos aprendizes, demonstrando noções de função. Representações físicas da álgebra geométrica e situações comparativas de entendimento serão feitas com o uso de materiais manipuláveis ou através de programas, softwares, simuladores e sites. Assim, objetivamos significar o ensino e a aprendizagem da álgebra.
Palavras-chave ( 3 a 5 palavras)
Iniciação algébrica; tendências metodológicas; modelagem.
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SUMÁRIO
1 – INTRODUÇÃO ............................................................................................. 04
2 - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ..................................................................... 05
2.1 – Modelagem Matemática ........................................................................ 06
2.2 - Investigação Matemática ....................................................................... 08
2.3 – Mídias Tecnológicas ............................................................................. 10
2.4 – Materiais Manipuláveis .......................................................................... 11
3 - DESENVOLVIMENTO METODOLÓGICO .................................................... 12
3.1 Primeira Etapa: Introdução ao Pensamento Algébrico ............................. 14
3.1.1 INTRODUÇÃO AO PENSAMENTO ALGÉBRICO .......................... 14
3.1.2 Seqüências Numéricas e Geométricas – Padrões ......................... 14
3.2 Segunda Etapa: Introdução à Álgebra – Modelagem ............................... 29
3.2.1 Introdução à Álgebra: Equação de 1º Grau-Modelagem ................ 29
3.2.2 Equações de Primeiro Grau e suas Origens ................................... 30
3.2.3 Equações Algébricas ...................................................................... 31
3.3 Terceira Etapa: Manipulação de Materiais Significativos: Equações,
Inequações e Expressões Algébricas. ........................................................... 37
3.3.1 - MANIPULAÇÃO DE MATERIAIS SIGNIFICATIVOS .................... 37
3.3.2 Equações, inequações e Expressões algébricas ............................ 37
3.4 Quarta Etapa: Noções de Funções de 1º Grau ........................................ 47
3.4.1 NOÇÃO DE FUNÇÕES DE 1º GRAU ............................................. 47
3.4.2 Tema: Animais de estimação .......................................................... 47
4 – AVALIAÇÃO ................................................................................................. 51
5 – REFERÊNCIAS ............................................................................................ 52
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UNIDADE DIDÁTICA - IMPLEMENTAÇÃO PEDAGÓGICA DO PROGRAMA DE
DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE. UNIOESTE – CASCAVEL.
INICIAÇÃO À ÁLGEBRA COM SIGNIFICADO – MODELAGEM
MATEMÁTICA E MATERIAIS MANIPULÁVEIS
Maria Noemi Backes Longo1
Sérgio Flávio Schmitz2
1 - INTRODUÇÃO:
Tendo em vista, a necessidade da intervenção pedagógica na escola, da
elaboração do material de Produção Didático Pedagógico, Plano de trabalho do
professor PDE, considerando o projeto de pesquisa PDE 2010, é que emerge esta
unidade didática. A atividade surge de uma situação do meio de convivência, se
apresenta de maneira problematizada, questionada e investigativa - reflexiva, em
forma de estudo/pesquisa, de acordo com a área/disciplina, para uma possível
conclusão com encaminhamento ao conhecimento formal, o artigo.
A intervenção pedagógica é vinculada a UNIOESTE, Campus de Cascavel e
acontecerá, no segundo semestre de 2011, em duas turmas de sexta séries do
período matutino, sendo que, a turma “A” com 32 alunos e a turma ”B” com 30
alunos, na Escola Estadual Cândido Portinari – Ensino Fundamental, localizada na
área urbana do município de Ampére, NRE de Francisco Beltrão- PR.
Esta pesquisa tem como centro norteador de desenvolvimento a necessidade
de proporcionar maior significado ao processamento de aquisição do conhecimento
algébrico, no contexto escolar, considerando o aprendiz, elemento primordial dos
1 Autora: Professora de Ciências e Matemática nas séries finais do Ensino Fundamental - Educação
Básica, vinculada a Secretaria de Estado da Educação do Paraná - SEED e participante do Programa de Desenvolvimento de Estado do Paraná - PDE 2010.
2 Orientador: Professor Mestre em Matemática da Universidade Estadual do Oeste do Paraná –
UNIOESTE.
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encaminhamentos da aprendizagem. A relevância social dos conteúdos, a
incorporação dos significados das operações, as habilidades de cálculos, as
estratégias didáticas, bem como o desenvolvimento cognitivo do aluno, apresentam-
se determinantes no ato de interiorização dos conhecimentos mais humanizados e
menos assustadores.
Somos assim, instigados a oportunizar um processo de ensino-aprendizagem
envolvente e significativo ao aprendiz, deixando-o mobilizado para aprender. Então,
definimos como intransferível o momento para mesclar diferentes Tendências de
Encaminhamento Metodológico, processando a introdução de álgebra nas séries
finais do ensino fundamental.
Para tanto, os fazeres matemáticos encaminhados por diferentes trajetórias
metodológicas consideradas marcantes no aprendizado da álgebra, favorecem a
compreensão do ensino matemático escolar. Abordaremos com maior ênfase,
modelagem matemática investigativa, com materiais manipuláveis e mídias
tecnológicas, trabalhando de forma diferenciada em quatro momentos: introdução
ao pensamento algébrico com seqüências numéricas e geométricas, introdução à
álgebra com modelagem e investigação, manipulação de materiais atribuindo
significado à álgebra e noções de funções de 1º grau com o tema animais de
estimação, demonstrando a álgebra geométrica.
2 - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA:
A matemática como Educação é uma área que engloba muitos saberes, e que
somente o conhecimento desta por si só, não se considera suficiente para o
processo de ensino e de aprendizagem. Possivelmente ao analisarmos a educação
matemática processada com abordagens fragmentadas, com pequena significância
ao aprendiz, tornando-se engavetada em forma de disciplina escolar individualizada,
percebemos a pequena participação deste conhecimento escolar na formação do
ser humano, como indivíduo único e indispensável para a conservação e
melhoramento do meio ou responsabilizado pela sobrevivência harmoniosa dos
seres vivos.
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Estou convicto de que a Matemática pode e deve ser ensinada de forma espontânea, leve, humana e, em alguns casos, até mesmo alegre, para que se torne fonte de prazer intelectual e conquiste um número cada vez maior de adeptos. GARBI, (2009).
2.1 – MODELAGEM MATEMÁTICA:
Entendendo que, a Modelagem Matemática pressupõe como sugestão, a
valorização do aluno no contexto social, observando seu meio de convivência e
transferindo o saber matemático já incorporado, para o campo matemático escolar.
Que, os adolescentes desenvolvem de forma bastante significativa a habilidade de
pensar “abstratamente”, se lhes forem proporcionadas experiências variadas. E,
“Que, (...) idéias matemáticas são frutos de abstração de situações empíricas (...)
quanto mais tais idéias são aprofundadas, mais complexos e menos significativos
para aqueles que estão fora deste campo de estudo”. (BASSANEZI, 2010, p. 172).
A arte de modelar é a trajetória que surge da própria razão, da participação da
vida como forma de constituição e de expressão do conhecimento. Na atividade de
modelagem, os saberes matemáticos aparecem na medida em que são formulados
e executados como meio de resolução de problemas ou de situações desafiantes, o
que lhes confere bastante significatividade. A transformação dos problemas da
realidade, em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na
linguagem do mundo real. Portanto, o tema a ser trabalhado estimula o interesse
dos estudantes e os dados coletados, são provenientes do ambiente em que se
localiza o estímulo aos alunos.
“A modelagem matemática consiste na arte de transformar problemas da
realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na
linguagem do mundo real.” (Bassanezi - 2010, p. 16).
Modelar Matematicamente pode se considerar, ato artístico, pois para
elaborar um modelo, é necessário um conhecimento amplo de Matemática. Além de
que, o modelador deve apresentar uma dose significativa de intuição e criatividade,
sem suprema autonomia de transmissão, sem matemática certa, para perceber o
contexto, definindo o conteúdo matemático que melhor se adapta, bem como senso
lúdico envolvendo as variáveis possíveis na ação. Sendo assim, é um meio para
integrar dois momentos diferentes: matemática escolar e realidade.
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Dessa forma, a modelagem matemática no ensino pode ser um caminho para despertar no aluno o interesse por tópicos matemáticos que ele ainda desconhece ao mesmo tempo em que aprende a arte de modelar, matematicamente. Isso por que é dada ao aluno a oportunidade de estudar situações-problema por meio de pesquisa, desenvolvendo seu interesse e aguçando seu senso crítico. (Maria Salett Biembengut, 2005).
Tomando como referência estas colocações iniciais, a educação matemática
básica, delimita como funcional a preocupação em desvendar os incessantes
desafios de compartilhar com a sociedade, um cidadão capaz de pensar e promover
o desenvolvimento econômico, a produção cultural, o relacionamento humano e
desfrutar da natureza em conformidade ao meio ambiente, considerando e
reavaliando a qualidade de vida dos homens.
Dificilmente poderíamos adotar novos modelos adequados a nossa realidade, ou procurar novas opções (...) ensaiarmos modelos econômicos mais rendosos, sem uma base científica solidamente construída sobre conhecimentos matemáticos básicos. Do mesmo modo, tal desenvolvimento da pesquisa matemática básica tem sido, conforme exemplos encontrados em outros países, um ponto de apoio dos mais fundamentais para a adoção de novas opções socioeconômicas, que se traduzem numa efetiva melhoria da qualidade de vida e do bem estar dos povos. (D‟Ambrosio, 1986).
Em níveis diferenciados se processa a modelagem matemática ocorrendo
com possibilidades sem limites de atuação em decorrência ao domínio matemático
do grupo, bem como e principalmente em função da compreensão de modelagem
que o docente apresenta para a efetivação da proposta de trabalho.
Para o educador e pesquisador em modelagem matemática direcionada a
Educação Básica, Dionísio Burak (2010), em comum acordo com Tiago Emanoel
Klüber (2010) são emergentes as etapas seguintes:
- Escolha do tema – o qual pode envolver brincadeiras, esportes, atividades
industriais, econômicas...
- Pesquisa exploratória – coletas de dados qualitativos ou quantitativos da
situação real.
- Levantamento do(s)s problema(s) – ação investigativa, compreensão da
situação e dos dados.
- Resolução do(s) problema(s) e desenvolvimento do conteúdo matemático no
contexto do tema – elaboração de modelos, os quais auxiliam nas tomadas de
decisões. Ex: tabelas e listas.
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- Análise crítica da(s) solução (ões) – Favorece o pensamento crítico e
argumentação lógica, relacionando a matemática à sociedade, da cultura, da
economia, da política dentre outros.
Definem também, três níveis diferentes:
Nível 1- Modelos Prontos- o professor apresenta a situação real e os referidos
dado ao aluno, o qual investiga o problema proposto.
Nível 2- Modelos Matemáticos construídos para a resolução dos problemas -
o professor apresenta um problema aplicado, mas os dados são coletados pelos
próprios alunos durante o processo de investigação.
Nível 3 - Modelos não matemáticos - a partir de um tema gerador, os alunos
coletam informações qualitativas e quantitativas, formulam e solucionam problemas.
Segundo Ademir Donizeti Caldeira – Universidade Federal De São Carlos -
UFSCar, (X SEM - Foz do Iguaçu, 2011), na modelagem, o ensino da matemática
deixa de ser uma disciplina exata, ensinada pela repetição exaustiva de exercícios,
de fórmulas insignificantes. Passa ser uma ciência dinâmica, viva, prazerosa,
determinando significado ao conteúdo, onde o aluno aprende pela construção a
partir de um fato real, problematizando a forma de colocação do currículo escolar,
direcionando de forma inovadora.
Portanto, abordaremos a modelagem matemática como uma trajetória para
despertar no aluno o interesse por itens matemáticos que ele ainda não domina,
partindo de suas experiências, do meio ambiente, de suas convivências e do seu
saber empírico ou do saber científico já incorporado, propiciando o desenvolvimento
do pensamento algébrico e da álgebra geométrica.
2.2 - INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA:
Percebemos que as investigações matemáticas, juntamente com a
modelagem matemática envolvendo resolução de problemas, são Tendências
Metodológicas de certa forma com muitas semelhanças, e indispensáveis ao bom
andamento da aprendizagem e por sua vez, demandam maior tempo no que diz
respeito ao processo de ensinar. Segundo Ponte (2003), a investigação passa por
quatro momentos principais:
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1- Exploração e formulação de questões investigativas (ou situações
problemáticas);
2 - Organização de dados e construção de conjecturas;
3 - Realização de testes, refinamento e sistematização das conjecturas;
4 - E construção de justificativas, argumentações ou demonstrações, tendo
em vista a validação dos resultados.
Em síntese, podemos dizer que as investigações matemáticas diferenciam-se
das demais, por serem situações-problema desafiadoras e abertas, permitindo aos
alunos, ter diferentes objetos de investigação e várias alternativas metodologias para
chegar às possíveis respostas. O conceito de investigação matemática, como
atividade de ensino-aprendizagem, portanto,
Ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática genuína, constituindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com os seus colegas e o professor (PONTE; BROCADO; OLIVEIRA, 2003, p. 23).
As investigações introduzidas na aula de matemática podem desestabilizar
nossos sistemas de concepções e crenças matemáticas ou da aula, bem como do
papel do professor como detentor do saber. A matemática deixa de ser pronta única
e exata, podendo assumir resultados não finais e sim em andamento no momento,
com possíveis diferenciações conforme o contexto atingido.
Investigar, ensinar e aprender é actividades que podem estar presentes, de forma articulada, no ensino-aprendizagem da Matemática e na actividade profissional do professor. Para isso, é necessário conceber tarefas que possam ser o ponto de partida para investigações e explorações matemáticas dos alunos e discutir o modo como podem ser trabalhadas na sala de aula. PONTE, J. P. (2010). Disponível em: http://repositorio.ul.pt/handle/10451/3043 Acesso em 28/06/ 2011.
Acreditar nas possibilidades das práticas investigativas serem formas de
proporcionar estratégias que ofereçam condições ao aluno de atribuir sentido e
construir significado às idéias matemáticas, estabelecendo relações, justificando,
analisando, discutindo generalizando, despertando o gosto pelo estudo da
matemática, superando o medo e estimulando o prazer de experimentar fazer
matemática, na elaboração de leis, conjecturas e validações. A partir destas
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colocações, a aprendizagem matemática possibilitará momentos investigativos,
oportunizando situações que possam expressar suas idéias matemáticas e
desenvolver habilidades individuais.
2.3 – MÍDIAS TECNOLÓGICAS:
A Educação Matemática direcionada as novas tecnologias, pode e deve ter
influência significativa nas práticas educacionais em ambientes de aprendizagem ou
nas salas de aula. Também revela momentos de aprendizagem marcante, produzida
por recursos tecnológicos como computadores (internet, software, planilhas,
simuladores, programas...), televisão, calculadora, entre outros, os quais favorecem
as experimentações matemáticas, potencializando e dinamizando os conteúdos do
currículo escolar, no que diz respeito à álgebra.
A adoção da tecnologia tem sido um processo lento. As transformações nas escolas e na sociedade tornam razoável supor que os pretextos que retardam a adoção da tecnologia desaparecerão. A álgebra, então, mudará profundamente. A álgebra que explora os computadores e as calculadoras será dinâmica, gráfica e dirigida para as funções. Uma álgebra que reconhece as utilizações emergentes e ampla tecnologia enfatizará a matematização de uma rica variedade de aplicações. Os alunos contarão com mais instrumentos para resolver problemas matemáticos. (COXFORD, SHULTE, 1988, P. 169).
O estudo da álgebra com uso das novas tecnologias sugere uma
aprendizagem pouco semelhante ao ensino de álgebra tradicional. A nova tendência
favorece o aprimoramento da álgebra geométrica. Sabemos ainda que através dos
tempos, as alterações em processos metodológicos e mudanças de atitudes, não
ocorrem com facilidade. Portanto, é inegável que, trabalhar o ensino de álgebra com
mídias tecnológicas é um percurso desafiador principalmente para os educadores.
Porém, oportuniza várias formas de ensinar e aprender valorizando o caminho do
conhecimento.
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2.4 – MATERIAIS MANIPULÁVEIS:
O papel do educador no ensino é de suma importância ao se referir ao
encaminhamento metodológico e ou a seleção do material significativo para o
educando, pois nem sempre o objeto manipulável é representativo de significado
para ele, dependendo do entrosamento que o mesmo tem com este material. O
manuseio significativo pode ser considerado facilitador na análise, elaborando
raciocínio e proporcionando a compreensão da situação, encaminhando a
descoberta de propriedades e á formulação de hipóteses sobre o conteúdo de
estudo.
È importante destacar que as situações de aprendizagem precisam estar centradas na construção de significados, na elaboração de estratégias e na resolução de problemas em que o aluno desenvolve processos importantes como intuição analógica, indução e dedução e não atividades voltadas à memorização, desprovidas de compreensão ou de um trabalho que privilegie uma formalização precoce dos conceitos (BRASIL, 1998, P. 63.)
Assim sendo, o aprender passa da fase concreta, para abstração dos
conceitos tornando compreensível o ensino matemático escolar na convivência
social. Ainda para Gimenez e Lins:
As abordagens “facilitadoras “baseiam-se, então, na idéia de que uma estrutura que é posta em jogo na manipulação de concretos “é, depois, por um processo de abstração, transformada em „formal. (...) significado é o conjunto de coisas que se diz a respeito de um objeto. Não o conjunto do que se poderia dizer, e, sim, o que efetivamente se diz no interior de uma atividade. Produzir significado é, então, falar a respeito de um objeto. (Rômulo Campos Lins e Joaquim Gimenez, 2005, p.108).
Em relação à busca de metodologias para o ensino da matemática,
certamente o grau de importância é similar entre elas, onde as mesmas se
complementam umas as outras. Um meio para que aconteça com sucesso o
complexo processo de ensinar e aprender, sempre que possível, é promover a
articulação entre as tendências metodológicas, oportunizando formas diferenciadas
de aprender, onde os conteúdos após serem significados e entendidos, possam
assim atingir a fase de abstração e elaboração do conhecimento formal.
(...) aprender matemática é mais do que aprender fórmulas, saber fazer contas, ou marcar com x nas respostas: é interpretar, criar, significados,
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construir seus próprios instrumentos para resolver problemas, estar preparado para perceber estes mesmos problemas, desenvolver o raciocínio lógico a capacidade de conceber, projetar e transcender o imediatamente sensível. (PARANÀ, 2008, p 46).
Dessa forma, fazer educação matemática numa abordagem metodológica
baseada na construção do conhecimento do aluno através de suas experiências
com diferentes situações cotidianas, conforme a tendência metodológica torna-se
interessante e obrigatoriamente envolvente, onde os alunos deixam a posição de
agentes passivos, para atuarem como ativos no processo de manipulação de
concretos. Depois por um processo de abstração, com o conhecimento transformado
em formal, o aluno ultrapassa a fase do saber empírico, passando ao saber
científico.
3 - DESENVOLVIMENTO METODOLÓGICO:
Perante a efetiva perspectiva matemática e para nos situar melhor nas
condições de desenvolvimento, faremos um diagnóstico, partindo da análise de
tabulação dos dados, coletados em questionário aplicado aos alunos.
Questionaremos o seu nível de conhecimento aritmético e lógico, seus anseios,
perspectivas relacionamento e a satisfação em relação à aprendizagem matemática
escolar.
OBS. – ATRIBUIR UMA NOTA DE ZERO A DEZ.
1 - Qual o valor da matemática da vida (a matemática da rua) para você? a - ( ) Nota 8.0 à 10.0. b - ( ) Nota 6.0 à 7.9. c - ( ) Nota 4.0 à 5.9. d - ( ) nota 0.0 á 3.9. 2 - Avalie seu gosto pela matemática escolar? a – ( ) Nota 8.0 à 10.0. b – ( ) Nota 6.0 à 7.9. c – ( ) Nota 4.0 à 5.9.
É SUA VEZ....
Realizando...
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d – ( ) nota 0.0 á 3.9. 3 – Qual sua posição considerando o interesse pela matemática escolar? a – ( ) Nota 8.0 à 10.0. b – ( ) Nota 6.0 à 7.9. c – ( ) Nota 4.0 à 5.9. d – ( ) nota 0.0 á 3.9. 4 – Pelo que você conhece e pelo que ouve, considera importante a matemática de 5ª á 8ª série para sua vida? a – ( ) Nota 8.0 à 10.0. b – ( ) Nota 6.0 à 7.9. c – ( ) Nota 4.0 à 5.9. d – ( ) nota 0.0 á 3.9. 5 - Você se considera um aluno com facilidade em relação à aprendizagem de matemática? a – ( ) Nota 8.0 à 10.0. b – ( ) Nota 6.0 à 7.9. c – ( ) Nota 4.0 à 5.9. d – ( ) nota 0.0 á 3.9. 6 – Que nota atribui para seu relacionamento com os professores de matemática? a – ( ) Nota 8.0 à 10.0. b – ( ) Nota 6.0 à 7.9. c – ( ) Nota 4.0 à 5.9. d – ( ) nota 0.0 á 3.9.
7 – Em média, entre quais valores costumam ser suas notas de matemática? a – ( ) Nota 8.0 à 10.0. b – ( ) Nota 6.0 à 7.9. c – ( ) Nota 4.0 à 5.9. d – ( ) nota 0.0 á 3.9. 8 – Você gostaria de se mobilizar para melhorar seu desempenho escolar? Se sua resposta for positiva, entre quais valores gostaria que fossem suas notas nos próximos bimestres? a – ( ) Nota 8.0 à 10.0. b – ( ) Nota 6.0 à 7.9. c – ( ) Nota 4.0 à 5.9. d – ( ) nota 0.0 á 3.9. 9 – Se você pudesse escolher qual seria sua resposta, em relação a estudar ou não matemática na escola? a - ( ) sim. b - ( ) Não. Justifique sua resposta:.........................................................................................
!!!
!!!
?
?
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10 – Você considera importante a matemática escolar para sua vida? a - ( ) Sim. b - ( ) Não. Justifique sua resposta:........................................................................................
Com os dados coletados, faremos a tabulação e o traçado dos gráficos. Os
quais podem ser explorados, investigados de forma questionadora, auxiliando no
diagnóstico da turma, na atividade de investigação e modelagem matemática, bem
como na mobilização dos alunos em busca da aplicabilidade matemática e do saber
formal.
3.1 PRIMEIRA ETAPA Iniciar com: Vídeo: Elementos da Matemática no cotidiano – Disponível em:
http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=21219. Acesso em:
08/05/2011.
3.1.1 INTRODUÇÃO AO PENSAMENTO ALGÉBRICO:
3.1.2 Seqüências Numéricas e Geométricas - Padrões
Várias atividades acontecerão em grupos. Esta opção é validada no
pressuposto de que o trabalho colaborativo, além de ser formativo aos alunos no
sentido de aprenderem a trabalhar com o outro, favorece a discussão e a construção
conjunta do saber matemático. Acreditamos que nesse processo, apoiados uns aos
outros, os alunos chegam ao conhecimento da linguagem e a elaboração do
pensamento algébrico, com mais facilidade.
Estas tarefas investigativas buscam explorar aspectos diferentes do
pensamento algébrico. Sugerimos trabalho exploratório-investigativo a partir de uma
seqüência-padrão de natureza numérico-geométrica. Esta tarefa visa o processo de
generalização e construção de fórmulas gerais.
O foco atual do ensino de álgebra está no tipo de pensamento e raciocínio
que prepara os alunos a pensar matematicamente em todas as áreas da
matemática. (JOHN A. Van de Walle, p. 288). Ele descreve cinco formas diferentes
de raciocínio algébrico:
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1 - Generalizações da aritmética e de padrões em toda a matemática.
2 - Uso significativo de simbolismo.
3 - Estudo da estrutura no sistema de numeração.
4 - Estudo de padrões e funções.
5 - Processo de modelagem matemática que integra as quatro anteriores:
Assim o raciocínio algébrico não é algo singular e sim um resultado de muitos
fazeres diferenciados.
As generalizações de padrões e elaboração de regras gerais é um fator
indispensável e útil para o estudante na sua formação matemática e até mesmo para
a resolução de problemas práticos na vida. Como o estudo dessa ciência tem sido
evidenciado apenas como manipulação de símbolos, os alunos nem sempre
conseguem entender as estruturas que regem estas manipulações simbólicas e não
percebem o real significado que uma expressão algébrica apresenta. Alguns estudos apontam que a descoberta da lei de correspondência entre
cada elemento de uma seqüência e sua respectiva posição tem um papel
investigativo e propicia o desenvolvimento do pensamento algébrico. As
generalizações são consideradas como indispensáveis para que os alunos criem
expressões algébricas ou mecanismos matemáticos que favorecem a exploração,
investigação, conjectura e prova de validação, desafiando os alunos a recorrer às
suas destrezas cerebrais, dando sentido à utilização dos símbolos e a elaboração do
pensamento algébrico.
Na medida em que a matemática é a ciência dos padrões, ela trata da procura da estrutura comum subjacente a coisas que em tudo o resto parecem completamente diferentes. Deste modo o uso de padrões é uma componente poderosa da atividade matemática, uma vez que a sua procura é indispensável para conjecturar e generalizar. (VALE & PIMENTEL, 2005, p. 14).
A procura de regularidades e a formulação de generalizações, em contextos
numéricos e geométricos; a análise de relações numéricas e respectiva
representação, formal ou informal; a construção e a interpretação de tabelas,
gráficos ou esquemas; o estudo das noções de correspondência e de
transformação, utilizando variáveis, fórmulas e equações simples, é componente do
desenvolvimento do pensamento algébrico. Disponível em: http://area.dgidc.min-
edu.pt/materiais_NPMEB/060_pensamento%20_algebrico.pdf Acesso em: 09/06/11.
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Muitas análises de experiências de ensino, desenvolvidas através de tarefas
exploratório-investigativas, mostram que este é um contexto rico de mobilização e
desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos. Este é um dos motivos que
nos cativaram fazer introdução ao estudo do pensamento algébrico por investigação
matemática. Onde investigaremos formas diferentes em padrões seqüênciais
numéricos e geométricos.
1- CONTEÚDOS:
1.1 – Conteúdos Estruturantes:
- Números e Álgebra;
1.2 - Conteúdos Específicos:
- Pensamento algébrico:
2 – OBJETIVO GERAL:
Oportunizar o uso da linguagem algébrica para a estimulação e
desenvolvimento do pensamento, podendo representar generalizações inferidas a
partir de padrões, tabelas e gráficos, ampliando as condições de entendimento
matemático do educando.
2.1– Objetivos Específicos:
- Promover a compreensão do conceito de variável e do significado dos
símbolos.
- Descrever relações, padrões e regularidades, representá-las
simbolicamente.
- Proporcionar formas diferenciadas, motivadoras e estimulantes para pensar
e compreender adequadamente a álgebra no ambiente escolar.
- Promover a utilização da linguagem algébrica, em particular na resolução de
problemas, envolvendo geometria, aritmética e álgebra.
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ATIVIDADE 1:
Figura (1) Figura (2)
Material: Material dourado e atividades para os componentes do grupo.
Ação Metodológica: Em grupos de quatro alunos.
Observando a seqüência de cubos, considere as três dimensões e responda:
Figuras 1 2 3
Cubos
Cubos visíveis
Cubos invisíveis
Faces
Faces visíveis
Tabela, figura 1 e 2: Arquivo próprio.
A – Qual deve ser o número de cubos da próxima seqüência?
B - Como vocês descreveriam a maneira de prever o número de cubinhos de cada
figura, nesta seqüência?
C - Qual o número de sólidos geométricos visíveis que terá o cubo formado por 45
cubinhos?
ATIVIDADE 2: Material: Material impresso da atividade e material dourado para o grupo.
Ação Metodológica: Em grupos de quatro alunos.
ATIVIDADES: É COM VOCÊ...
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Figura (1) Figura (2) Figura (3)
A - O grupo seria capaz de continuar a seqüência, desenhando até a 5ª posição?
B - Como poderia fazer outra seqüência, iniciando com três objetos, colocando-os de
forma diferente? Descreva.
C - No grupo, escolham a seqüência de figuras que mais lhes agrada e escrevam
como seria a sua 10ª posição.
D – Qual seria a regra que representa o número de cubinhos de uma posição
qualquer da seqüência?
ATIVIDADE 3:
Material: Atividade impressa para o grupo.
Ação Metodológica: Em grupos de quatro alunos.
- Este grupo será capaz de observar a seqüência abaixo e responder
corretamente o que se pede?
Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3
1 cm 1 cm 1 cm
A - Qual é o número de quadrados que tem a próxima figura dessa seqüência?
19
B - A Quinta figura dessa seqüência tem quantos polígonos?
C - Qual o perímetro da figura um e da figura dois da seqüência?
D - Como você faria para descobrir a quantidade de cubinhos da décima figura da
seqüência?
ATIVIDADE 4:
Material: Material impresso para todos os alunos.
Ação Metodológica: A atividade acontecerá individualmente, com posterior análise
investigativa e possíveis correções a serem efetuadas após consenso.
Você é capaz: encontre o valor numérico que está escondido sob o .
a) 73 + 56 = 71 + R =........................................................
Como você pensou para responder?
...............................................................................................
b) 674 - 389 = 664 - R =.......................................................
Qual foi seu raciocínio?
...............................................................................................
c) 126 – 37 = - 40 R =.........................................................
Como pensou?.....................................................................
d) 20 x 48 = x 24 R =..........................................................
Por que você acha que tem este valor no pote?
............................................................................................
e) 580: 2 = : 4 R = ..............................................................
Como você chegou a conclusão desta resposta?
.............................................................................................
ATIVIDADE 5: Perímetro de polígonos - expressões algébricas e
valor numérico.
20
Material: Uma folha com figuras geométricas para serem medidas com canudinhos
de refrigerante de 4 cores diferentes, cortados segundo instruções.
As Cores, Quantidade e Comprimento são:
Cor 1 -15 unidades - 1 cm
Cor 2 –10 unidades - 2 cm
Cor 3 – 10 unidades - 4 cm
Cor 4 – 10 unidades - 3 cm
Tabela para preenchimento.
Ação Metodológica: Em grupos, de no máximo quatro pessoas, medir as
figuras conforme a solicitação abaixo:
Determine os valores dos lados e o perímetro dos polígonos: utilizando os
canudinhos cortados e ignorando as medidas em cm.
Inicialmente utilizando canudinhos de uma só cor, obtenha as medidas dos
lados e, posteriormente o perímetro de cada polígono, em canudos – a cor pode ser
abreviada pela letra inicial.
Repita o procedimento, para o perímetro utilizando duas, três e quatro cores
diferentes.
Conhecendo o comprimento dos canudinhos, poderemos determinar o valor
numérico de cada uma das expressões algébricas da tabela. Assim encontrar o
perímetro de cada polígono, desta vez, em cm (valor numérico).
Na medida em que for realizando a tarefa, complete a tabela que segue: Cores
Lados e perímetro
Cm
Lados e perímetro
Cm
Lados e perímetro
Cm
perímetro
Cm
Uma
L - L - P –
L - L - P -
L - L - P -
P - C -
Duas
P -
P -
P -
C -
Três
P -
P -
P -
C -
Quatro
P -
P -
P -
C -
ATIVIDADE 6: Elaboração de leis
OBS: Pode ser imaginado outro objeto no lugar do tablet (calculadora,
máquina, ou outros...)
21
Esta atividade é voltada a exploração das relações entre grandezas variáveis,
com objetivo de significar e mobilizar o pensamento algébrico, tomando como tarefa
a simulação de uma situação exploratório-investigativa de uma situação-problema
com certa amplitude.
DICAS...
ETAPA INICIAL: iniciar em duplas e terminar em equipes. Material: Cópias das atividades propostas para cada aluno.
Ação metodológica: Grupos com quatro elementos – Etapa inicial em duplas e
etapa final com quatro alunos.
Desafio: Acreditamos que esta dupla, é capaz de descobrir a regra de formação das
seqüências numéricas, que os garotos numa desafiadora concorrência, elaboraram
no mini Tablet Mágico, o qual realiza operações básicas. Marcos Felipe indicou o
primeiro valor e magicamente é representado o valor que Marcio calculou realizando
uma operação mental. Verifique a mágica na tabela a seguir e responda o que é
solicitado abaixo:
Tabela I:
MARCOS FELIPE 5 7 9 11 13 15 17 19
MARCIO 16 22 28 34 40 46
Tabela I, II, III: Arquivo próprio. A – Represente com uma expressão matemática o que os meninos fizeram.
Seqüência do Marcos Felipe:........................................................................
Seqüência do Marcio:.......................................................................................
B - Elabore uma única regra, relacionando a 1ª seqüência com a 2ª. Obs: Usar entre
as seqüências o sinal mais adequado (maior, menor, maior ou igual, menor ou
igual).
Quando os dados forem do MEIO DE CONVIVÊNCIA DOS ALUNOS, as ATIVIDADES ficam
mais Significativas, emergindo a aprendizagem.
22
Regra Geral:.........................................................................................................
C - Agora, São vocês que vão usar o imaginário Tablet Mágico. O primeiro jogador
coloca um número e o segundo efetua uma operação mental usando a subtração,
com o resultado obtido, completando a tabela a seguir.
Tabela II:
D - Como elaborar a regra de seu pensamento e escrevê-la matematicamente?
Regra 1:.................................................................................
Regra 2:.................................................................................
E - Compare com seu colega, os registros que fizeram, conversem, selecionem o
mais claro ou mais adequado do ponto de vista matemático, para representar a
opinião dos dois.
Regra geral da dupla:...............................................................
F - Trabalhar em equipe é desafiante, precisamos saber expor nossas idéias,
respeitar a dos outros e chegar num consenso, para definir e optar pela opinião da
maioria. Sendo assim, é possível respeitar estes critérios e determinar uma regra
geral deste grupo?
Regra Geral da Equipe:................................................................
ETAPA FINAL: inicia no individual e termina em equipe. Material: Cópia da atividade para cada aluno.
Ação metodológica: No grupo com 4 pessoas, iniciar no individual, fazer o registro
da seqüência das operações que estão na tabela, depois em duplas, comparar os
resultados e escolher o melhor registro. Em seguida, dialogar para escolher um
trabalho o qual representa o grupo. Por último, discutir no grande grupo (sala de
aula), comparando os registros e selecionando o que parece mais adequado
matematicamente.
A - Ei, vocês sabiam que existe um grupo com habilidades para chegar aos
resultados corretos, nesta atividade? Será o seu grupo? Então, descubram a regra
para a definição dos números em cada caso, representem matematicamente o seu
funcionamento, façam as regras e completem a tabela a seguir:
23
Tabela III:
Eu/lei Dupla/lei Grupo/lei Sala/lei
Número dito por Victor
12 10 1 0,5 -2 30
Número dito por Letícia
18 15 1,5 0,
Número dito por Victor
100 36 18 5 10 0
Número dito por Letícia
10 3,6 1,8 0,5
Número dito por Victor
13 28 200 15 0 1
Número dito por Letícia
39 84 600
Número dito por Victor
- 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - 12
Número dito por Letícia
- 6 - 12 - 18
ATIVIDADE 7: Leis algébricas e raciocínio algébrico.
Material: Atividade impressa para cada aluno, algumas rodas para representações,
se for necessário.
Ação Metodológica: Individualmente responder a situação a seguir:
A - Marcos Felipe ganhou muitas rodas de madeira de seu primo marceneiro. Ele
separou 100 rodas e com a ajuda de um artesão, quer fazer alguns brinquedos.
Ajude-o descobrir quantos brinquedos de cada espécie (bicicleta, triciclo e tratores)
poderá fazer?
a ) Se optar em construir somente um tipo de brinquedo. Quantas bicicletas?
Quantos triciclos? E quantos tratores montaria? Represente com sentenças
matemáticas.
24
b) Represente matematicamente como ficaria a representação com letras, para o
modelo de veículo escolhido:
Bicicleta:
Triciclo: Tratores: c) Ele quer fazer 30 tratores, de quantas rodas necessitará? Represente por meio de
regra matemática;
d) Se fossem feitos 35 tratores, 13 bicicletas e 9 triciclos. Quantas rodas eles
utilizariam? Explique.
e) Represente em forma de regra matemática o item d:
f) Sabendo que foram feitos igual número de cada espécie de brinquedos e
utilizadas 140 rodas. Quantos triciclos foram feitos?
g) Represente por meio de regra matemática (álgebra), como fica o item f:
ATIVIDADE 8: Expressões algébricas e valor numérico Material: Caixa arco cores (com canudos de refrigerante) e material matemático
(caderno, borracha, lápis...).
Ação metodológica: Dispor os alunos em círculo. Passar a caixa duas ou três
vezes de mão em mão, para cada aluno retirar alguns canudos coloridos (de um em
um, enquanto a turma conta até cinco, sempre no mesmo ritmo), anotando a
quantidade e as cores dos canudos retirados.
Na primeira rodada, cada participante registra o número de canudos que tirou
de cada cor, da forma que melhor lhe convier. Após esta primeira rodada, é
importante compartilhar com os colegas as diferentes formas de registro. Em
seguida, teremos que definir um código para representar cada cor, uma vez que o A
pode ser utilizando tanto para amarelo como também para o azul.
Registrar cada rodada por uma expressão com números e letras (que podem
ser as iniciais das cores).
Juntar os registros de cada rodada numa única expressão.
Para identificar o aluno mais ágil, depois de concluído o número de rodadas,
é necessário atribuir valores (pontos) aos canudos, conforme definição.
Azul = 3; Vermelho = 10; Branco = 5; Verde = 7; Amarelo = 9; Rosa = 6;
Elaborar uma frase demonstrando o que aconteceu.
25
ATIVIDADE 9:
Disponível em: http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/mylinks/viewcat.php?cid=15
Acesso em: 22/07/2011.
Material: um tabuleiro com Geoplano para o grupo, atividade para cada
componente.
Ação metodológica: em grupos, representar os polígonos no geoplano, analisar e
responder os questionamentos.
A - Utilizando o GEOPLANO, represente os polígonos citados na tabela a seguir, relacione, faça conjecturas e elabore o que está sendo solicitado.
Quantidade de lados do polígono (n)
3 4 5 6 7 8 9 10 n
Quantidade de diagonais em cada vértice
Número de vértice em cada Polígono
Quantidade de diagonais do polígono (x)
Tabela: Arquivo próprio.
A - Que relação acontece com o número de lados e a quantidade de vértices de
cada polígono?
B - O que você percebe em relação ao número de lados de um polígono e suas
diagonais? Descreva esta relação:
C - Como podemos representar algebricamente esta regra?
26
DICAS...
Variadas são as formas como podemos encaminhar metodologicamente o ato
do ensinar e do aprender. Uma das atuais maneiras de demonstrar a aplicabilidade
matemática e a sua significação, é com a internet. É possível buscar informações,
documentários, vídeos, sites, simuladores, softwares, jogos e outras atividades
variadas de complementação, as quais são de grande valia ao ato de incorporar o
saber, melhorando em muito o processo de mate matização com significado. A
seguir algumas indicações para auxiliar no desenvolvimento do pensamento
algébrico, fator de relevante importância às condições de compreensão e
aprendizagem das equações algébricas (álgebra).
Adaptado - http://www.syvum.com/squizzes/algebra/-
Seqüencia geométrica e numérica - http://recreamat.blogs.sapo.pt/30530.html Elaborando regras a partir de idades – pensamento algébrico - http://divulgarciencia.com/categoria/pensamento-algebrico/ Pensamento algébrico - http://projectos.ese.ips.pt/pfcm/?page_id=372 Seqüências lógicas - http://rachacuca.com.br/jogos/figuras-logicas/:
PENSAR COM LETRAS...???
Kikikikikiki....
SERÁ POSSÍVEL???...
PODEMOS UTILIZAR as mídias PARA MELHOR,
SIGNIFICAR AS FÓRMULAS algébricas.
PARA MELHOR ILUSTRAR
PARA O PROFESSOR:
PODEMOS UTILIZAR as mídias PARA MELHOR,
SIGNIFICAR AS FÓRMULAS algébricas.
PARA MELHOR ILUSTRAR
27
ATIVIDADE 10: Laboratório Material: Laboratório de Informática e programa Applet. Ação metodológica: Em duplas, trabalhar com várias seqüências de pontos -
applet, investigar e elaborar conjecturas das regras gerais.
1 - Consultar o endereço eletrônico: Programa applet álgebra em pontos.
http://www.fi.uu.nl/toepassingen/00219/leerling_pt.html
- Elaborar seqüências com polígonos variados, usando diferentes números de pontos. 2 - Utilizar o endereço abaixo: applet álgebra em pontos, para resolver problemas:
http://www.fi.uu.nl/toepassingen/00299/leerling_pt.html
- Selecionar um problema em cada nível de dificuldade. Defina também, uma forma
de seqüência dos polígonos para cada situação problema. Resolva os problemas
conforme as indicações de cada caso.
3 - Resolva as 10 atividades propostas, assinalando as alternativas adequadas, em:
http://rachacuca.com.br/quiz/2562/sequencias-numericas/ Acesso em 02/ 06/11.
DICAS...
A - FIGURAS MÁGICAS: As figuras mágicas auxiliam a formação do pensamento
no processo de aprendizagem facilitando o raciocínio lógico e algébrico. “A melhor
maneira de fazer o aluno pensar é favorecer sempre que possível, a realização das
descobertas como decorrência da experimentação”(Lorenzato, 2003). Portanto, são
meios facilitadores da aprendizagem, a manipulação de quantidades, operações
aritméticas, ação exploratória, percepção espacial, planejamento de estratégia, são
Muitas são as formas de significar o pensamento algébrico, melhorando o
raciocínio. Veja mais...
PARA O PROFESSOR:
28
ações que podemos encontrar nas figuras mágicas. Chamamos de figuras mágicas,
os quebra-cabeças que envolvem figuras nas quais devem ser distribuídos números
ou outros símbolos matemáticos segundo determinadas condições, pré-
determinadas. Algumas sugestões:
- Caixa Mágica (caixa com muitas figuras mágicas), a utilização desta caixa pode
ser muito útil na sala de aula para ser usada nos momentos de intervalos entre as
atividades.
- Slides - explicando a elaboração de um quadrado mágico. Disponível em:
Explorando os quadrados mágicos (3x3) - Acesso em: 25/05/2011.
- Tamanhos diferentes de quadrados mágicos. Disponível em: http://www.testonline.com.br/qmag.htmDiferentes - Acesso em: 15/06/2011. - Atividade interativa com vários quadrados mágicos com diferentes valores - Disponível em: http://www.rpedu.pintoricardo.com/Problemas_com_numeros/quadrado_magico.php - Acesso em: 15/ 05/ 2011. - Quadrados Mágicos. Disponível em: http://www.profcardy.com/cardicas/quadrado+magico.php Acesso em 11/06/2011. - Cubos Mágicos. Disponível em: http://recreamat.blogs.sapo.pt/30009.html Acesso em 10/07/2011. B - PROBLEMOTECA: Caixa com problemas desafiadores, os quais poderão ser
utilizados pelos alunos que concluírem antes as atividades.
C – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: Ainda entre tantas atividades possíveis para
as práticas pedagógicas que possam entusiasmar os alunos e engajá-los no
trabalho matemático, também encontramos a elaboração de estratégias com
Resolução de Problemas que envolvam situações de investigação matemática, da
realidade do aluno, as quais fortalecem a construção de significado para o ensino de
matemática.
29
3.2 SEGUNDA ETAPA 3.2.1 INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA: EQUAÇÃO DE 1º GRAU - MODELAGEM
Adaptação: BALANÇAMAT.bmp - Viva-matemática.blogspot.com
Várias situações reais demonstram ser a matemática da vida, a
fundamentação aos demais níveis de abrangência do conhecimento. Recorrer a
modelos para comunicar-se ao seu semelhante, tanto quanto para preparar uma
ação, foram e são atitudes do ser humano no decorrer de sua existência.
Alguns estudiosos defendem a modelagem como um dos encaminhamentos
importantíssimo, para o ensino de matemática. Oportunizando ao aprendiz, ser, um
indivíduo crítico, sentindo necessidade de entender o processo, empolgando-se com
gosto para fazer matemática, na educação para a cidadania. Onde o estudante
possa fazer da sua matemática, a matemática da modelação, ou seja, aquela que
ele consegue compreender e abstrair, assim fazendo também, da Matemática
Abstrata, uma Matemática Aplicada.
Perante as colocações anteriores e considerando o item um no processo de
Burak e Klüber, na escolha do tema, o qual pode envolver brincadeiras e
esportes, bem como o nível dois de modelagem, onde o educador apresenta o
problema e os alunos coletam os dados ou ainda como cita Caldeira: que de forma
dinâmica, viva, prazerosa, onde o aluno constrói seu saber a partir de sua
realidade, definimos investir na brincadeira da gangorra. Esta atividade apresentada
de forma desafiadora, lúdica, de interesse dos alunos e como situação da realidade
vivenciada por eles, será utilizada para introduzir o conteúdo de Álgebra – Equações
de 1º Grau, Expressões Algébricas e Noções de Funções.
30
3.2.2 Equações de Primeiro Grau e suas Origens
http://2.bp.blogspot.com/_BlseKU16MWE/SyfswbRXJ2I/AAAAAAAAAgs/oMU-kuELvjA/s320/2.bmp Adaptação.
O ensino da Matemática era desafiador, no período em que os matemáticos
hindus, usavam quebra-cabeças em competições públicas, sem nenhum sinal, sem
nenhuma variável, somente alguns sábios eram capazes de resolver os problemas,
usando muitos artifícios e trabalhosas construções geométricas.
Hoje, temos a linguagem exata para representar qualquer quebra-cabeça ou
problema. Basta traduzi-los para o idioma da Álgebra: a Equação.
A palavra “Equação” vem do latim equatione, equacionar, que quer dizer
igualar, pesar, tornar igual. E a origem primitiva da palavra “Equação” vem do árabe
adala, que significa “ser igual. Por serem desconhecidos, esses valores são
representados por letras. Matematicamente, dizemos que essa letra é o valor que
não se conhece.
Adaptação de: ttp://www.matematica.seed.pr.gov.br/.
A primeira referência a equações de que se têm notícias consta do Papiro de
Rhind, um dos documentos egípcios mais antigos que tratam de matemática, escrito
há mais ou menos 4000 anos. Como eles não utilizavam a notação algébrica, os
métodos de solução de uma equação eram complexos e cansativos. Os gregos
resolviam Equações através de Geometria.
31
O matemático da antigüidade, Euclides, em sua obra Os Elementos,
demonstra soluções geométricas de equações de segundo grau, onde a Álgebra é
equacionada por elementos geométricos. Mas foram os Árabes que cultivaram a
Matemática dos gregos e demais civilizações e promoveram um acentuado
progresso na resolução de Equações. Para representar o valor desconhecido em
uma situação matemática, ou seja, em uma equação, eles chamavam o valor
desconhecido em uma situação matemática de “coisa”. Em árabe, a palavra “coisa”
era pronunciada como xay. Daí surge o x como tradução simplificada da palavra
“coisa” em árabe.
Eles definiram o nome álgebra (Al-jarb), sendo a matemática que tratava da
utilização das letras, Al Khowarizmi, é considerado o matemático árabe de maior
expressão do século IX, o qual resolveu e discutiu Equações de várias formas. Ele
escreveu dois livros que desempenharam importante papel na história da
Matemática. Num deles, Sobre a arte hindu de calcular, Al-Khowarizmi faz uma
exposição completa dos numerais hindus. O outro, considerado o seu livro mais
importante, Al-jabr wa’l mugãbalah, contém uma exposição clara e sistemática sobre
resolução de equações.
As Equações ganharam importância a partir do momento em que passaram a
ser escritas com símbolos matemáticos e letras. O primeiro a fazer isso foi o francês
François Viète, no final do século XVI.
Por esse motivo é chamado “pai da Álgebra”. Também foi o primeiro a
estudar as propriedades das Equações através de Expressões Gerais como ax + b =
0. Graças a Viète, os objetos de estudo da Matemática deixaram de serem somente
problemas numéricos sobre preços das coisas, idade das pessoas ou medidas dos
lados das figuras, e passaram a englobar também as próprias Expressões
Algébricas.
A partir desse momento, as Equações começaram a ser interpretadas como
as entendemos atualmente: Equação, o idioma da álgebra. E são usadas, para
determinar o lucro de uma firma, para calcular a taxa de uma aplicação financeira,
para fazer a previsão do tempo, entre outros.
32
3.2.3 Equações Algébricas
“Qualquer problema que possa ser solucionado através dos números
certamente será tratado, direta ou indiretamente, por meio de equações.” (GARBI,
2009).
Explicações completas sobre equações, inequações, sistemas de equações,
podemos encontar em:
Tudo sobre Equações e Inequações: Disponível em: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq1g/eq1g.htm Acesso em 08/07/2011.
Equações são aquelas em que a incógnitas aparecem apenas submetidas às
chamadas operações algébricas: Soma (ou adição), subtração, multiplicação,
divisão, potenciação inteira e radiciação. GARBI, (2009).
As equações do primeiro grau podem ser representadas sob a forma ax+b=0,
em que a e b são constantes reais com a diferente de 0 e x sendo a variável ou
incógnita.
Toda sentença matemática expressa por uma igualdade, na qual existem uma
ou mais letras que representem números desconhecidos dessa sentença, é
denominada Equação.
Em matemática, uma incógnita é uma variável cujo valor deve ser
determinado de forma a resolver uma equação ou inequação. Na página sobre
termos algébricos você encontra maiores informações sobre coeficiente numérico e
parte literal, dentre outros conceitos. Disponível em: http://pt.org/wiki/Inc%C3%B3gnita Acesso em
24/06/2011.
Primeiro membro da equação - Expressão matemática situada à esquerda
do símbolo.
Segundo membro da equação - Expressão matemática situada à direita do
símbolo.
Conjunto Solução ou Raiz da Equação – É O conjunto formado pelo
elemento que torna verdadeira a equação e pertence ao conjunto IN, isto é, o valor
encontrado para a incógnita, caso exista.
Equações Equivalentes – são aquelas equações que apresentam a mesma
solução, a mesma raiz.
Relacionadas com as equações de primeiro grau, existem as desigualdades
de primeiro grau, também denominadas Inequações, que são expressões
33
matemáticas em que os termos estão ligados por um dos quatro sinais: maior,
menor, maior ou igual e menor ou igual.
Nas desigualdades, o objetivo é obter um conjunto de todos os possíveis
valores que pode(m) assumir uma ou mais incógnitas na equação proposta.
DICAS...
Endereços para pesquisar webquest, com todos os conteúdos do ensino
da matemática: www.webquestbrasil.org/criador e ou www.webquestbrasil.org/criador2 Acesso em 10/07/2011.
Algumas webquests importantes sobre as equações de 1º grau:
- Explicações equações. Disponível em: http://www.webquestbrasil.org/criador/webquest/soporte_tablon_w.php?id_actividad=12001&id_pagina=1 Acesso em 10/07/2011. - Webquest - História das equações: Disponível em: www.webquestbrasil.org/criador2Erro! A referência de hiperlink não é válida. Acesso em 05/07/2011. - Atividades com balanças, equilíbrios. Disponível em: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_201_g_4_t_2.html Acesso em 05/07/2011. - Atividades com balança, com escalas negativas. Disponíveis em:http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_324_g_4_t_2.html?open=instructions&from=category_g_4_t_2.html Acesso em 05/07/2011. - Atividades com balanças – Equilíbrios. Disponível em: http://projectos.ese.ips.pt/pfcm/wp-content/uploads/2010/02/Balanças-e-mais-balanças-2010-11.pdf . Acesso em 05/07/2011.
Webquest... Recurso pedagógico notável no processo do ensinar e do aprender em
sala de aula.
PARA O PROFESSOR:
34
- Álgebra - Balança (com fruta). Disponível em: http://www.fi.uu.nl/toepassingen/00012/puzzel2.html. Acesso em 09/05/2011. - Conceitos de equações... Interessante. Disponível em: http://www.webquestbrasil.org/criador/webquest/soporte_tabbed_w5.php?id_actividad=23008&id_pagina=5 Acesso em 09/07/2011. 1. CONTEÚDOS:
1.1 – Conteúdos Estruturantes:
- Números e Álgebra;
1.2 - Conteúdos Específicos:
- Compreensão e resolução de equações de 1º grau com uma incógnita.
- Compreender as inequações;
- Compreensão e resolução de expressões algébricas;
2. OBJETIVO GERAL:
Compreender e resolver as equações e ou as inequações como conteúdo
presente nas relações de convivência e harmonia dos seres.
2.1– Objetivos Específicos:
- Estabelecer relações de forma aritmética e geométrica com a álgebra.
- Promover a compreensão do conceito de equações e inequações.
- Proporcionar formas diferenciadas, motivadoras e estimulantes para pensar
e compreender a resolução das equações algébricas.
- Utilizar a linguagem/investigativa algébrica nas equações, inequações e
resolução de problemas com expressões algébricas.
ATIVIDADE 1: Laboratório
Material: Laboratório de informática, webquest – Equações na História da
Matemática.
Ação metodológica: Trabalhar em duplas, alguns passos da webquest a seguir:
ATIVIDADES: É COM VOCÊ...
35
Webquest - Trabalhar Processo: Equações na História da Matemática. Disponível em: http://www.webquestbrasil.org/criador/webquest/soporte_tablon_w.php?id_actividad=8958&id_pagina=4 Acesso em 01/07/2011.
ATIVIDADE 2: Recreação – Investigação/Modelagem
Material: Gangorras montadas no pátio escolar.
Ação metodológica: No ambiente externo da escola, onde existem gangorras
montadas, proporcionar momentos de prazerosa descontração, com a brincadeira
de embalar-se.
Estabelecer regras para a brincadeira conforme as definições dos próprios
alunos.
Provocar equilíbrio e desequilíbrio da gangorra com o embalo dos
adolescentes, brincando com descontração, fazendo um momento agradável, alegre
e que todos possam agir no processo da brincadeira.
Em forma de círculo, proporcionar um momento questionador para a
atividade: sensações vividas (prazer, medo, angústia, liberdade, superação,
entrosamento...), limites necessários, respeito, relacionamentos, reflexões,
iniciativas, atitudes..., importância da atividade de recreação à saúde e bem estar do
ser humano, entre outras citações consideradas relevantes no momento.
Investigar, questionar junto aos alunos se existe alguma relação com a
matemática na brincadeira realizada.
Listar com eles possíveis assuntos, conceitos que conhecem que poderiam
ser encontrados e trabalhados com a atividade.
Realçar a importância do conhecimento matemático escolar e da matemática
em nossas atividades fora da sala de aula, matemática da vida ou matemática da
rua.
Discutir a relevância da matemática para a manutenção do ambiente de
sobrevivência e do bem estar dos seres humanos como cidadãos integrantes e
agentes com incalculável responsabilidade no processo de continuidade da
biodiversidade no planeta.
Outros questionamentos que surgirem no desenvolvimento do debate...
36
ATIVIDADE 3:
Material: Gangorras montadas no pátio escolar, litros descartáveis cheios de
pedriscos, areia ou terra (alguns com a inscrição, indicando o valor do peso e outros
sem anotações), material para anotações (Bloco de rascunho e caneta).
Ação metodológica: Montar equipes de quatro alunos. Escolher um relator do
grupo. Nas gangorras, agora com direcionamento matemático, oportunizar
novamente em forma de brincadeira, as possibilidades de equilíbrio e desequilíbrio
no balanço com ação individual ou em duplas, complementando quando necessário
com litros descartáveis (providenciados anteriormente pelos alunos), possibilitando a
participação de todos do grupo e mantendo como modelo final o equilíbrio da
gangorra.
Efetuar cinco situações de equilíbrio com a gangorra.
O relator anotará todas as ações realizadas. Registrando passo por passo os
equilíbrios feitos, citando as pessoas participantes e descrevendo o tipo de litros
utilizados, material de enchimento e ou peso dos mesmos.
Efetuar cinco desequilíbrios na gangorra.
O relator seguirá os mesmos itens das anotações que fez nos equilíbrios
anteriores.
ATIVIDADE 4: Modelagem em sala de aula/sistematização
matemática
Material: Anotações feitas durante a brincadeira, outros materiais que a equipe
definir como representativos e esquema de trabalho para a equipe.
Ação metodológica: Com os mesmos grupos do pátio escolar, sistematizar
matematicamente a atividade vivenciada, acompanhando o roteiro sugerido.
Olá alunos deste grupo criativo, empreendedor e comprometido. Seriam vocês capazes de:
37
- Elaborar um esquema ou tabela, conforme preferirem demonstrando as
anotações feitas durante a brincadeira, citando relações entre os pesos, valores dos
pesos conhecidos e os não conhecidos, equilíbrios ou desequilíbrios feitos?
- Escrever em sentenças matemáticas as colocações representadas no item
anterior?
- Elaborar possíveis leis algébricas das sentenças matemáticas citadas?
- Estruturar outras colocações que definirem como importantes?
- Demonstrar ao grande grupo dois itens (equilíbrio e desequilíbrio), fazendo
colocações, justificando, comparando e defendendo possíveis afirmações como
certas verdades formalizadas - conjecturas/validações? (Todos os membros do
grupo devem se manifestar).
Com auxilio do professor, formalizar as colocações apresentadas e se
necessário melhorar as conjecturas, representando o conhecimento científico.
3.3 TERCEIRA ETAPA
3.3.1 - MANIPULAÇÃO DE MATERIAIS SIGNIFICATIVOS:
3.3.2 Equações, inequações e Expressões algébricas.
Equações:
Igualdades matemáticas, representando equilíbrio em uma gangorra,
expressas pelo símbolo de igualdade.
Inequações:
Podem ser demonstradas pelos desequilíbrios em uma gangorra o seja pelas
desigualdades matemáticas expressas pelos símbolos: maior, menor, maior ou igual
e menor ou igual.
Os valores desconhecidos em uma equação ou inequação podem ser
representados por uma letra definida como incógnita ou variável.
Expressões algébricas: Podem ocorrer quando trabalhamos com um ou mais do que um valor
desconhecido, além de valores conhecidos. As letras utilizadas passam ser
38
variáveis, quando representam valores diferentes em função de outro valor
conhecido ou desconhecido.
Atividade 5:
Gangorra de mesa: Arquivo próprio.
Material: Gangorra Algébrica de mesa, diversos objetos com pesos diferentes ou
sem valores expressos de pesos e materiais de matemática para anotações.
Ação metodológica: No pequeno grupo, na gangorra de mesa, utilizando diferentes
objetos com pesos bem diversos, alguns conhecidos e outros desconhecidos, os
alunos devem fazer um ou mais equilíbrios (Equações) e desequilíbrios (inequações)
para possíveis deduções, conjecturas e soluções.
Representar com sentenças matemáticas pelo menos um equilíbrio e um
desequilíbrio feito pelo grupo.
Encontrar a lei de um equilíbrio, representando algebricamente (equação).
Encontrar a lei de um desequilíbrio (inequações), representando
algebricamente.
Com o material, fazer tentativas para definir os possíveis valores
desconhecidos.
ATIVIDADES: É COM VOCÊ...
39
O grupo representa com desenhos em cartaz a equação ou a inequação, a
qual foi demonstrada no material de mesa, com explicações e demonstrações dos
resultados encontrados.
Grande Grupo: No grande grupo, em forma de círculo, cada equipe deve fazer a
representação com o material manipulável e apresentar o cartaz, o qual vai para o
mural da sala de aula.
O membro relator do grupo colocará a equação ou inequação representada
pela equipe no quadro.
Com auxílio do professor e dos demais alunos da sala, se fará a analise da
conjectura, validação ou definição dos possíveis encaminhamentos a serem
retomados.
Todos anotam as conclusões encontradas, para as colocações de cada
grupo.
ATIVIDADE 6: Material: Tabuleiro de equações ou expressões algébricas (prato com pequenas
perfurações, possibilitando as sementes caírem e ficarem no prato ou passarem
pelas aberturas caindo sobre a carteira), sementes de milho, feijões e soja, bem
como materiais matemáticos para anotações.
“Nem todas as verdades podem ser provadas; algumas delas, as mais elementares, devem ser admitidas sem demonstração”. (GARBI, 2009, p. 19).
CONVENÇÃO: Para equações com uma incógnita, dois tipos de sementes e para expressões algébricas três tipos de sementes.
Os feijões como símbolo F, milhos como M e a soja representando os valores numéricos.
40
Momento inicial: Usar feijões e soja – Representando as Equações com uma
incógnita.
Ação metodológica: Em grupo com quatro alunos. Um aluno segura o tabuleiro sobre a carteira e
outro com calma, lança as sementes no tabuleiro. Assim fazer um rodízio para que
todos do grupo realizem as duas ações.
Registrar em forma de sentenças matemáticas os resultados encontrados nos
quatro lances. (incógnitas e valor numérico).
Representar as sentenças matemáticas, de forma reduzida (equação
algébrica - letras).
Cada grupo, após análise das representações algébricas, com apoio do
professor orientador, irá avaliar, validar as conjecturas e resolver as equações que
elaborou.
O grupo deve entregar copias das equações elaboradas ao professor.
ATIVIDADE 7: Momento final - Elaborando e simplificando
Expressões algébricas.
Material: Tabuleiro algébrico, sementes de feijões, milho e soja.
Ação metodológica: Quatro alunos no grupo. Onde um aluno segura o tabuleiro
sobre a carteira e outro lança as sementes no tabuleiro. Fazer um rodízio para que
todos do grupo realizem as duas ações.
Registrar em forma de sentenças matemáticas os resultados obtidos nos
quatro lances.
Representar as sentenças matemáticas (Duas incógnitas e valor numérico),
de forma reduzida (expressão algébrica).
As sementes lançadas no tabuleiro e que ficam dentro dele, serão consideradas como valores positivos e as que passam para baixo ficando sobre a carteira, serão valores negativos.
41
Cada grupo, após análise das conjecturas com apoio do professor orientador,
transcrever as expressões algébricas na sua forma reduzida.
O grupo deve entregar cópias das expressões reduzidas ao professor.
1- Resoluções de Equações de 1º grau com uma incógnita
Utilizando-se das idéias do equilíbrio da gangorra, as formas de resolução das
equações, demonstram ser compreensíveis. Podemos utilizar qualquer operação
básica da matemática adequada no momento, para efetuar interferências nos dois
membros da equação, mantendo a gangorra em equilíbrio (a igualdade). Verifique:
A – ADIÇÃO:
Adicionar um determinado valor a ambos os membros da equação para
mantê-la em equilíbrio, (considerar a igualdade como equilíbrio da gangorra). Ex: 4x
–3= 5 (+3 ) => 4x - 3 + 3 = 5 +3. Como 3 - 3 = 0, eliminamos assim o termo (- 3)
do 1º membro e o 2º membro passa ser 8. Então, 4x = 8.
B – DIVISÃO:
Se dividir cada lado da gangorra (membros da equação), pelo mesmo valor
numérico, a igualdade não se altera. Sabemos que dividindo qualquer número,
diferente de zero, por ele mesmo obteremos a unidade com resultado. Por isso,
vamos dividir ambos os membros por 2: Então: 4x = 8 (: 4) => x = 2, isto é,
encontramos o valor da incógnita ou seja a solução da equação que é 2.
C – SUBTRAÇÃO:
Ao Subtrair um determinado valor de ambos os membros da Equação, não
será alterado o resultado. Se na equação, fosse subtraído 3, em vez de estar sendo
somado, como ficaria? Ex: 2x + 1 = 5 (- 1) => 2x + 1 - 1 = 5 - 1, como 1 - 1 = 0, o
resultando destas operações é a equação: 2x = 4, onde podemos utilizar
novamente a divisão. Neste caso a nossa equação é: 2x = 4 (: 2) => x = 2.
42
D – MULTIPLICAÇÃO:
Podemos multiplicar ambos os membros da equação por um determinado
valor numérico, e o equilíbrio da equação não será alterado. Vejamos a equação
abaixo: Ex: x/2 = 10. Como objetivamos isolar no primeiro membro, a incógnita x,
uma forma de fazê-lo é multiplicarmos ambos os membros por 2: Ex: x/2 = 10 (. 2)
=> x/2 . 2 =10 . 2.
Ao realizarmos tal operação podemos simplificar o denominador da fração
com o multiplicador 2, realizando assim a eliminação desejada: x/2. 2 = 2.10 => x =
20. Escolhemos como multiplicador exatamente o denominador da fração, para
podermos realizar a simplificação, assim eliminando o denominador e isolando a
variável x.
E - Multiplicação Distributiva:
A propriedade distributiva da multiplicação é uma ferramenta muito útil na
busca do isolamento da incógnita. Ex: 2(x + 1) = x. Qualquer uma das quatro
operações estudadas acima, não nos auxilia na resolução desta equação, no
entanto podemos distribuir o 2 que está em evidência, veja: 2.x + 2.1 = x => 2x
+ 2 = x. Agora podemos utilizar algumas das operações citadas anteriormente para
concluirmos a resolução. Primeiro vamos subtrair x de ambos os membros da
equação: 2x + 2 - x = x – x => x + 2 = 0. Finalmente subtraímos o número 2, dos
dois lados da equação, resultando em: X + 2 – 2 = 0 – 2, sendo assim,
como o segundo membro não tem valor numérico, ficamos em débito. E a solução
da equação é => x = - 2.
F – Fatoração:
Em algumas situações ao invés da distribuição, precisamos fazer uma
fatoração (divisão), colocando um termo comum em evidência. Normalmente temos
tal necessidade quando há mais de uma variável na equação.
Vejamos neste outro exemplo como isolar a variável x na seguinte equação: x
+ ax = 0. Note que x é um fator comum aos dois termos do primeiro membro.
Colocá-lo em evidência significa que vamos reescrever tal equação na forma de um
produto, onde x será um dos fatores e o outro fator será formado pela soma dos dois
termos divididos por x. Como x dividido por x é igual a 1 e ax dividido por x é igual a
a, temos: X (1+ a) = 0.
43
Agora para encontrarmos o valor de x, basta dividir os dois termos da
equação por (1 + a). Então: X(1 + a): (1 + a) = 0: (1 + a), onde (1 + a): (1 + a) = 1 e
x.1 = x e 0: (1+a) é zero. Assim ficamos com => X= 0.
Vejamos outros exemplos de fatoração: A) ax + bx – cx = x(a + b –c), B)15x –
21ax = 3x (5 – 7a) e C)12x + 4 =4(3x +1)
G - Permutar um membro com o outro:
A qualquer momento podemos mudar os membros de lado. Se, por exemplo,
após a realização de algumas operações chegamos em: O = 25 – x. Então,
podemos trocar os dois membros de lado, o que não causará desequilíbrio na
equação: 25 – x = 0. Em seqüência pode ser usada a operação adequada, para
encontrar o valor desconhecido.
Muitas são as sugestões de atividades na internet, para que melhor
possamos significar e fixar o conteúdo de equações e inequações no ensino
fundamental. Sugestões:
- Demonstração de resolução de equações de primeiro grau, Atividades. Disponível em: http://www.slideshare.net/edigleyg3/equaes-do-1-grau-exerccios?src=related_normal&rel=768709 Acesso em 10/07/2011.
- Definição e analogia entre a equação e uma balança, o método "longo" ela ...youtube.comhttp: Matemática Zero - Aula 13 - Equação do Primeiro Grau ... - Vídeo enviado por nerckie -9 min - 4 ago. 2009. - Resolvendo Equações 1º Grau Passo a Passo: youtube.com: Resolvendo Equações 1ºGrau Passo a Passo - Vídeo enviado por EdirReisBessa - 9 min - 26 fev. 2009.
PARA O PROFESSOR:
Observe que tanto no caso da propriedade distributiva, quanto no caso da fatoração, não foi preciso realizar a mesma operação em ambos os membros da equação, e sim de um lado só, pois tais operações não "desequilibram" a equação.
44
- Resolução de equações - Balança algébrica - Disponível em: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_201_g_4_t_2.html - Acesso em 09/50/2011.
ATIVIDADE 8: Corrida Algébrica – Resolução de Equações,
inequações e reduções de expressões algébricas.
Material: Cópias das operações elaboradas em cada grupo na atividade 6, carrinho
de corrida para cada equipe (papel, EVA ou metal), pista de corrida (pode ser
desenhada no quadro), bandeira de chegada, caderno de matemática e demais
materiais para resolução das atividades.
Ação Metodológica: Cada equipe recebe uma cópia com as atividades preparadas
anteriormente por todos os grupos, recebe num dia e a corrida é na aula do próximo
dia, para que os alunos possam adiantar alguns cálculos.
Em grupos de quatro alunos. O professor sorteia uma a uma as atividades da
lista entregue a eles.
A partir de um sinal dado pelo professor, somente duas equipes, as mais
ágeis, por questão resolvida, poderão colocar a resposta no quadro proporcionando
revezamento do aluno relator, sendo que todos da equipe possam responder pelo
menos uma questão no quadro e serem responsabilizados pelos questionamentos.
Das duas equipes que foram ao quadro, a que primeiro fizer a resposta
legível, organizada e correta, marca um ponto, andando com seu carrinho uma
unidade na pista de corrida. A avaliação da equipe será feita por votação do líder de
cada grupo (levantando o braço em favor da equipe que melhor respondeu a
questão) e pelo professor, no momento definido pelo mesmo.
A equipe que montou a equação é a responsável para fazer a correção e tem
direito a um ponto quando a fizer corretamente.
Perde ponto (devendo dar ré no carrinho, voltando uma unidade na pista), a
equipe que fizer errado no quadro ou fizer de forma incorreta a correção da atividade
que elaborou.
45
Ganha a corrida a equipe que chegar primeiro no final da pista ou que estiver
mais próximo da linha de chegada.
Premiação: serão definidos valores decrescentes (nota, peso a definir...), conforme
ordem de chegada para todas as equipes.
ATIVIDADE 9: Álgebra Geométrica com Material Manipulável
Material: Um conjunto de peças do material Algeplan por equipe, uma folha de ofício
por aluno e material de matemática individual para os registros.
Regularidade de funcionamento do “jogo” Algeplan: Adaptação- Dulciene e
Fabiana- Cascavel, 2011.
É formado por 40 peças/figuras geométricas dos seguintes tipos:
Quadrados: Quatro quadrados grandes de lados x, x > 0 (onde um valor para
x pode ser variável), de área x², representando cada um deles o elemento/expressão
do tipo x²), quatro quadrados médios de lados y (com y < x), representando cada um
deles um elemento/expressão do tipo y², e doze quadrados pequenos de lados 1, a
unidade (representando o elemento/expressão do tipo 1 = 12). No total são 20
quadrados.
Retângulos: Quatro retângulos de lados x e y (representando cada um o
elemento/expressão do tipo xy), oito retângulos de lados x e 1 (representando cada
um o elemento/expressão do tipo x = x.1) e oito de lados y e 1 (representando cada
o elemento y = y.1). Totalizando 20 retângulos.
As peças são identificadas pelas suas áreas. Pode-se utilizar uma cor para
cada tipo de peça ou ainda, tomar todas da mesma cor. Nesse caso usa-se, por
exemplo, a cor amarela, azul e vermelha para os quadrados grandes, médios e
pequenos, respectivamente. Para os retângulos as cores usadas são lilás, verde e
laranja. No entanto outras cores podem ser usadas.
Para indicar o simétrico, usa-se o verso da figura (pode ser marcado com
algum símbolo ou traços).
Ação Metodológica: Em equipes de quatro alunos.
A - Montar cinco figuras geométricas com a utilização do material Algelan.
C - Desenhe as figuras que você elaborou.
46
D - Escolha uma delas e responda:
- Qual a sentença matemática que representa o perímetro da figura escolhida?
- Como fica a expressão algébrica da sentença?
- É possível reduzir a expressão algébrica do perímetro, numa expressão com menor
extensão?
- Com suas palavras, relate o que você fez no processo todo.
- Com régua faça as medições, transforme a expressão algébrica em expressão
numérica e reduza o perímetro num valor numérico.
- Numa folha de ofício, represente a figura, a sentença matemática que representa o
perímetro da mesma, a expressão algébrica resultante da redução dos termos
semelhantes, a expressão numérica e o perímetro do polígono, num único valor
numérico expresso em unidade de medida com padrão adequado.
- Expor as produções feitas no mural da escola.
ATIVIDADE 10: Laboratório Material: Laboratório de informática; webquest 14645, p. 1; Atividades interativas de
equações de 1 º grau; Atividade Racha Cuca; Balança algébrica, conforme
endereços citados.
Ação Metodológica: No Laboratório de informática, trabalhar em duplas, com
revezamento do aluno digitador acompanhando os passos da Webquest ou
simuladores.
1 - Equações Algébricas, Resolução de exercícios, Applets e informações... Completa. Disponível em: http://www.webquestbrasil.org/criador/webquest/soporte_tabbed_w.php?id_actividad=14645&id_pagina=1 Acesso em: 10/07/2011. 2 - Atividades interativas para resolver as equações de 1º Grau. Disponível em: http://www.rpedu.pintoricardo.com/Actividades_interactivas/equacoes_1_grau.php Acesso em: 10/07/2011. 3 - Resolver as 10 atividades com 5 alternativas online sobre equações 1º grau. Disponível em: http://rachacuca.com.br/quiz/2717/equacao-de-1-grau/ Acesso em 08/07/2011. 4- Resolução de equações - Balança algébrica - Disponível em: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_201_g_4_t_2.html Acesso em: 08/ 07/2011. .
47
5- Calculando e verificando as atividades com Equações algébricas de 1º grau, na calculadora online. Disponível em: http://www.matematicadidatica.com.br/CalculadoraEquacaoPrimeiroGrau.aspx Acesso em 26/ 07/ 2011.
3.4 QUARTA ETAPA
3.4.1 NOÇÃO DE FUNÇÕES DE 1º GRAU
3.4.2 Tema: Animais de estimação
As variações ou alterações de valores seqüenciais numéricos ou geométricos,
dados estatísticos entre outros, podem definir geometricamente a representação da
linha de uma função de 1º grau.
1- CONTEÚDOS:
1.1 – Conteúdos Estruturantes:
- Números e Álgebra;
1.2 - Conteúdos Específicos:
- Introdução a funções;
2 – OBJETIVO GERAL:
Compreender e representar graficamente uma função como conteúdo
presente nas relações de convivência.
2.1– Objetivos Específicos:
- Estabelecer relações de uma função com sua representação geométrica.
- Promover a compreensão do conceito de função.
ATIVIDADES: É COM VOCÊ...
48
Atividade 1: Modelagem com investigação matemática
Material: Material para anotações, dono do animal de estimação ou pessoa que
conhece o animal, para responder ao questionamento. Ação Metodológica: Individual ou em dupla, os alunos podem responder o roteiro
de questionamento sugerido a seguir ou se a dupla preferir, poderá elaborar roteiro
próprio:
1 – Você tem algum animal de estimação, conhece ou convive com algum, mesmo
que não seja seu?.....................................................................................
Se você respondeu positivamente a questão anterior, então continue:
2– Qual é o nome, pelo qual o animal é chamado?..............................................
3– Procure saber: Raça, família e de que espécie ele é?....................................
..............................................................................................................................
4– Qual o nome científico e o nome popular dele?............................................
..............................................................................................................................
5 – Qual o alimento principal deste animal?..........................................................
6 – Em média, quanto come por dia (Kg, Gr, MG, l, ml...)?...................................
7 – Quanto gasta com a alimentação do animal:
UM dia: quantidade.................................... valor...................................................
Dois dias: quantidade.................................. valor................................................
Uma semana: quantidade............................ valor................................................
Um mês: quantidade.................................... valor................................................ 8 -
Qual é o peso deste animal? ..........................................................................
9 – Atribua uma nota (1,0 a 10,0) de como você avalia a importância de ter um
animal de estimação:.............................................................................................
10 – Com apenas uma palavra, diga o que significa para você o animal de estimação
que pesquisou:....................................................................................
ATIVIDADE 2: Tabulação dos dados
Material: Tabela I, para tabulação de dados, material de pesquisa e de registro.
Ação Metodológica: Com ajuda do professor, completar a tabela I a seguir, com
dados coletados na pesquisa pelos alunos.
49
Elaborar no final do trabalho, um painel demonstrando os dados
pesquisados, sobre os animais de estimação.
Este painel pode ser complementado com fotos, cálculos porcentuais ou
outros dados importantes que surgirem no decorrer do trabalho, dependendo das
definições feitas pelo grupo.
Também definir com a turma, como, com que material e onde será montado o
painel referente à pesquisa.
Tabela I: Arquivo próprio. Obs.: A tabela contém 32 linhas para relatar os dados coletados por cada aluno.
Observando coletas feitas responda:
1 – Qual o tipo de animal que mais apareceu na
pesquisa?............................................................................................................
2 – Como você faria para representar a porcentagem de freqüência com que este
animal apareceu?................................................................................
..............................................................................................................................
3 – Após conversação entre pequenos grupos encontrar uma lei que representa a
melhor maneira de calcular a porcentagem no item B:
.............................................................................................................................
4 - Qual é o ambiente natural de sobrevivência do animal que mais apareceu nas
pesquisas? Explique: ................................................................
...............................................................................................................................
5 - Qual o alimento mais freqüente entre os animais pesquisados?
..............................................................................................................................
6 – Você é capaz de explicar, onde e como é produzido o alimento mais utilizado
pelos animais de estimação da pesquisa?........................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
Animal Nome Nome popular
Nome científico
Raça Família Importância (1,0 a 10,0)
Palavra Significado
Alim./ animal
01
02
03
50
ATIVIDADE 3: Material: Tabela II, dados da pesquisa de campo da tabela I, material quadriculado
para elaboração de gráficos e materiais de matemática (régua, lápis, borracha, cola,
tesoura e caderno...).
Ação Metodológica: Grupo com quatro alunos. Tabelar um animal por grupo.
Fazer os cálculos e demonstrar as médias solicitadas na tabela.
Grupo 01 02 03 04 05 06 07 08 09
Animal
% do animal no grupo
Quantidade: Alimento/dia
Custo diário
Custo semanal
Custo mensal
Custo anual
Tabela II: arquivo próprio.
A - Elaborar um gráfico de linhas, em seu caderno demonstrando o custo dos
alimentos durante um ano. Usar como base um mês comercial e como intervalo de
custo alimentar, o valor mensal.
B – Sabendo que x = custo diário e y = ao nº de dias, defina a sentença
matemática e a lei que rege este gráfico.
C – Esta lei que você definiu, chama-se FUNÇÃO e é a representação
geométrica da relação alimento/custo, ela pode ser crescente, paralela ao eixo x ou
decrescente, conforme a posição da reta resultante em relação ao plano cartesiano.
Sendo assim, defina o tipo da função.
51
DICAS...
- Demonstrar Parte deste simulador com efeitos de uma função: UTFPR. Funções de Primeiro Grau. Disponível em: <http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/linear/linear/index.html >. Acesso em 15/04/2011.
- Álgebra recreativa, relacionando com figuras. Disponível em: http://recreamat.blogs.sapo.pt/16525.html Acesso em 20/07/2011.
- Introdução ao Estudo de Funções - Decifrando Mapas e Tabelas – Comportamento Gráfico das Funções Elementares. Disponível em: http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/medio/index.html -. Acesso em: 15 /04 /2011.
- Equações, funções, expressões, sistemas entre outros conteúdos de matemática variados e importantes, apresentados de diferentes maneiras. Disponível em: http://recreamat.blogs.sapo.pt/16047.html Acesso 18/07/2011
4 – AVALIAÇÃO
O envolvimento nas atividades práticas com demonstrações orais, escritas ou
em painéis, nos cálculos individuais ou em grupo, a persistência na busca de
conjecturas, o empenho em realizar corretamente os desafios propostos, as
observações e conclusões registradas nos relatórios, somados as atividades
investigativas coletivas ou não, são alguns dos itens considerados relevantes na
avaliação.
PARA O PROFESSOR:
SIMULADORES PODEM SER UTILIZADOS PARA
SIGNIFICAR OS CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA
52
5 – REFERÊNCIAS
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Janeiro: Francisco Alves, 1959.
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matemática. 3ª ed., 2ª reimpressão. São Paulo: Contexto, 2010. 389 p.
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