1

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

Funções do 1o Grau

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Funções do 1o Grau

1.Função constante

2.Função identidade

3.Função linear

4.Função afim

5.Gráfico

6.Imagem

7.Coeficientes da função afim

8.Zero da função afim

9.Funções crescentes ou decrescentes

10.Crescimento/decréscimo da função afim

Funções do 1o Grau

11.Sinal de uma função

12.Sinal da função afim

13.Inequações

14.Inequações simultâneas

15.Inequações-produto

16.Inequações-quociente

4

Uma aplicação f de em recebe o nome defunção constante quando a cada elementox ∈ associa sempre o mesmo elemento c ∈ .

f(x) = cO gráfico da função constante é uma reta

paralela ao eixo dos x passando pelo ponto (0, c).

A imagem é o conjunto Im = {c}.

1. Função constante

ℝ ℝ

ℝℝ

5

1. Função constante

x

y

(0, c)

6

ExemplosConstruir os gráficos das aplicações

de em definida por:

1) y = 3 2) y = -1

1. Função constante

ℝ ℝ

-1

0

1

2

3

4

-4 -2 0 2 4

(0, 3)

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -2 0 2 4

(0, -1)

2

7

Uma aplicação f de em recebe o nome defunção identidade quando a cada elementox ∈ associa sempre o próprio x, isto é:

f(x) = xO gráfico da função identidade é uma reta

que contém as bissetrizes do 1o e 3o quadrantes.

A imagem é o conjunto Im = .

2. Função identidade

ℝ ℝ

ℝ

ℝ

8

2. Função identidade

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

(-3, -3)

(-2, -2)

(-1, -1)

(1, 1)

(2, 2)

(3, 3)

(0, 0)

9

Uma aplicação f de em recebe o nome defunção linear quando a cada elemento x ∈ associao elemento ax ∈ em que a ≠ 0 é um número realdado, isto é:

f(x) = ax, a ≠ 0O gráfico da função linear é uma reta que

passa pela origem.

A imagem é o conjunto Im = .

3. Função linear

ℝ ℝ

ℝ

ℝℝ

10

3. Função linear

x

y

11

ExemplosConstruir o gráfico da função y = 2x.

Considerando que dois pontos distintosdeterminam uma reta e no caso da função linearum dos pontos é a origem, basta atribuir a x umvalor não nulo e calcular o correspondente y = 2x.

3. Função linear

x y = 2x

1 2

12

3. Função linear

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

(0, 0)

(1, 2)

3

13

ExemplosConstruir o gráfico da função y = -2x.

Analogamente, temos:

3. Função linear

x y = -2x

1 -2

14

3. Função linear

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

(1, -2)

(0, 0)

15

Uma aplicação f de em recebe o nome defunção afim quando a cada elemento x ∈ associao elemento (ax + b) ∈ em que a ≠ 0 e b sãonúmeros reais dados.

f(x) = ax + b, a ≠ 0Exemplosa) y = 3x + 2 em que a = 3 e b = 2b) y = -2x + 1 em que a = -2 e b = 1c) y = x - 3 em que a = 1 e b = -3d) y = 4x em que a = 4 e b = 0

4. Função afim

ℝ ℝℝ

ℝ

16

Notemos que, para b = 0, a função afimy = ax + b se transforma na função linear y = ax;podemos, então, dizer que a função linear é umaparticular função afim.

4. Função afim

17

O gráfico cartesiano da função f(x) = ax + b(a ≠ 0) é uma reta.

5. Gráfico

18

Aplicações1o) Construir o gráfico da função y = 2x + 1.

Considerando que o gráfico da função afim éuma reta, vamos atribuir a x dois valores distintose calcular os correspondentes valores de y.

O gráfico procurado é a reta que passapelos pontos (0, 1) e (1, 3).

5. Gráfico

x y = 2x + 1

0 1

1 3

4

19

5. Gráfico

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

(0, 1)

(1, 3)

20

2o) Construir o gráfico da função y = -x + 3.

De modo análogo, temos:

5. Gráfico

x y = - x + 3

0 3

1 2

21

5. Gráfico

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 0 1 2 3 4

(1, 2)

(0, 3)

22

Exercício 1: Resolver analítica e graficamente ossistemas de equações abaixo:

5a)

1

3 2 14b)

2 3 8

x y

x y

x y

x y

+ = − =

− = − + =

5. Gráfico

23

Exercício 2: Resolver os sistemas de equações:

1 1 34

a)1 1 1

4

3 2 51 2 3 12

b)2 3

11 2 3

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

+ = − + − = − − +

− = + + − + + = + + − +

Sugestão: Faça e .1a

x y=

−1

bx y

=+

5. Gráfico

24

Exercício 3: Obter a equação da reta que passapelos pontos: a) (2, 3) e (3, 5) e b) (1, 2) e (2, 2).

5. Gráfico

5

25

O conjunto imagem da função afim f: →definida por f(x) = ax + b, com a ≠ 0 é .

Qualquer que seja y ∈ existe

tal que

6. Imagem

ℝ ℝℝ

ℝy b

xa−= ∈ℝ

( )y b y b

f x f a b ya a− − = = ⋅ + =

26

O coeficiente a da função f(x) = ax + b édenominado coeficiente angular ou declividade dareta representada no plano cartesiano.

O coeficiente b da função y = ax + b édenominado coeficiente linear.

7. Coeficientes da função afim

27

ExemploNa função y = 2x + 1 o coeficiente angular é

2 e o coeficiente linear é 1. Observe que, se x = 0,temos y = 1. Portanto, o coeficiente linear é aordenada do ponto em que a reta corta o eixo y.

7. Coeficientes da função afim

28

Exercício 4: Obter a equação da reta que passapelo ponto (1, 3) e tem coeficiente angular igual a2.

7. Coeficientes da função afim

29

Exercício 5: Obter a equação da reta que passapelo ponto (-2, 4) e tem coeficiente angular igual a-3.

7. Coeficientes da função afim

30

Exercício 6: Obter a equação da reta comcoeficiente angular igual a -½ e passando peloponto (-3, 1).

7. Coeficientes da função afim

6

31

Exercício 7: Obter a equação da reta que passapelo ponto (-2, 1) e tem coeficiente linear igual a 4.

7. Coeficientes da função afim

32

Exercício 8: Obter a equação da reta comcoeficiente linear igual a -3 e passa pelo ponto(-3, -2).

7. Coeficientes da função afim

33

Exercício 9: Dados os gráficos das funçõesde em , obter a lei de correspondência dessasfunções.

7. Coeficientes da função afim

ℝ ℝ

34

7. Coeficientes da função afim

y

x

35

7. Coeficientes da função afim

y

x

36

Zero de uma função é todo número x cujaimagem é nula, isto é, f(x) = 0.

x é zero de y = f(x) ⇔ f(x) = 0Assim, para determinarmos o zero da função

afim, basta resolver a equação do 1o grau

ax + b = 0que apresenta uma única solução .

8. Zero da função afim

bx

a= −

7

37

De fato, resolvendo ax + b = 0, a ≠ 0, temos:

8. Zero da função afim

0b

ax b ax b xa

+ = ⇔ = − ⇔ = −

38

ExemploO zero da função f(x) = 2x – 1 é x = ½ pois,

fazendo 2x – 1 = 0, vem x = ½.Podemos interpretar o zero da função afim

como sendo a abscissa do ponto onde o gráficocorta o eixo dos x.

8. Zero da função afim

39

ExemploFazendo o gráfico da função y = 2x – 1,

podemos notar que a reta intercepta o eixo dos xem x = ½, isto é, no ponto (½, 0).

8. Zero da função afim

x y

0 -1

1 1

40

8. Zero da função afim

-2

-1

0

1

2

-1 0 1 2

(1, 1)

(1/2, 0)

(0, -1)

41

Função crescenteA função f: A → B definida por y = f(x) é

crescente no conjunto A1 ⊂ A se, para dois valoresquaisquer x1 e x2 pertencentes a A1, com x1 < x2,tivermos f(x1) < f(x2).

Em símbolos: f é crescente quando

e isso pode ser posto assim:

9. Funções crescentes ou de-crescentes

( )( )1 2 1 2 1 2, ( ) ( )x x x x f x f x∀ < ⇒ <

( ) 1 21 2 1 2

1 2

( ) ( ), 0

f x f xx x x x

x x

−∀ ≠ ⇒ > −

42

Na linguagem prática (não matemática), issosignifica que a função é crescente no conjunto A1se, ao aumentarmos o valor atribuído a x, o valorde y também aumenta.

9. Funções crescentes ou de-crescentes

8

43

A função f(x) = 2x é crescente em , pois:

9. Funções crescentes ou de-crescentes

ℝ

� �1 2

1 2 1 2 1 2

( ) ( )

2 2 para todo e todo f x f x

x x x x x x< ⇒ < ∈ ∈ℝ ℝ

x1 x2

f(x2)f(x1)

A1

x

y

44

Função decrescenteA função f: A → B definida por y = f(x) é

decrescente no conjunto A1 ⊂ A se, para doisvalores quaisquer x1 e x2 pertencentes a A1, comx1 < x2, tivermos f(x1) > f(x2).

Em símbolos: f é decrescente quando

e isso pode ser posto assim:

9. Funções crescentes ou de-crescentes

( )( )1 2 1 2 1 2, ( ) ( )x x x x f x f x∀ < ⇒ >

( ) 1 21 2 1 2

1 2

( ) ( ), 0

f x f xx x x x

x x

−∀ ≠ ⇒ < −

45

Na linguagem prática (não matemática), issosignifica que a função é decrescente no conjuntoA1 se, ao aumentarmos o valor atribuído a x, o valorde y diminui.

9. Funções crescentes ou de-crescentes

46

A função f(x) = -2x é decrescente em ,pois:

9. Funções crescentes ou de-crescentes

ℝ

� �1 2

1 2 1 2 1 2

( ) ( )

2 2 para todo e todo f x f x

x x x x x x< ⇒ − > − ∈ ∈ℝ ℝ

x1 x2

f(x2)f(x1)

A1

x

y

47

Notemos que uma mesma função y = f(x)pode não ter o mesmo comportamento (crescenteou decrescente) em todo o seu domínio.

É bastante comum que uma função sejacrescente em certos subconjuntos de D edecrescente em outros. O gráfico a seguirrepresenta uma função crescente em edecrescente em .

9. Funções crescentes ou de-crescentes

+ℝ

−ℝ

48

9. Funções crescentes ou de-crescentes

x

y

9

49

I) A função afim f(x) = ax + b é crescentese, e somente se, o coeficiente angular a épositivo.

Demonstração

10. Crescimento/decréscimo dafunção afim

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( )( ) é crescente 0

( ) ( ) ( )0 0 0

f x f xf x ax b

x x

ax b ax b a x xa

x x x x

−= + ⇔ > ⇔

−+ − + −⇔ > ⇔ > ⇔ >

− −

50

II) A função afim f(x) = ax + b édecrescente se, e somente se, o coeficienteangular a for negativo.

Demonstração

10. Crescimento/decréscimo dafunção afim

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( )( ) é decrescente 0

( ) ( ) ( )0 0 0

f x f xf x ax b

x x

ax b ax b a x xa

x x x x

−= + ⇔ < ⇔

−+ − + −⇔ < ⇔ < ⇔ <

− −

51

Exercício 10: Com base nos gráficos abaixo, defunções de em , especificar os intervalos ondea função é crescente ou decrescente.

ℝ ℝ

-4 -2 2

1

x

y

10. Crescimento/decréscimo dafunção afim

52

Exercício 10: Com base nos gráficos abaixo, defunções de em , especificar os intervalos ondea função é crescente ou decrescente.

ℝ ℝ

-2 2

1-1

x

y

10. Crescimento/decréscimo dafunção afim

53

Exercício 10: Com base nos gráficos abaixo, defunções de em , especificar os intervalos ondea função é crescente ou decrescente.

ℝ ℝ

x

y

10. Crescimento/decréscimo dafunção afim

54

Exercício 11: Especificar para cada uma dasfunções abaixo, se é crescente ou decrescenteem .ℝ

a) 1 5

b) 3 2

c) 2

d) 3

e) 2

f ) 3

y x

y x

y x

y x

y x

y x

= += − −= += −= −=

10. Crescimento/decréscimo dafunção afim

10

55

Exercício 12: Estudar segundo os valores doparâmetro m, a variação (crescente, decrescenteou constante) da função y = (m – 1)x + 2.

10. Crescimento/decréscimo dafunção afim

56

Seja a função f: A → B definida por y = f(x).Vamos resolver o problema “para que valores de xtemos f(x) > 0, f(x) = 0 ou f(x) < 0?”.

Resolver este problema significa estudar osinal da função y = f(x) para cada x pertencente aoseu domínio.

Para se estudar o sinal de uma função,quando a função está representada no planocartesiano, basta examinar se é positiva, nula ounegativa a ordenada de cada ponto da curva.

11. Sinal de uma função

57

ExemploEstudar o sinal da função y = f(x) cujo

gráfico está abaixo representado.

11. Sinal de uma função

2 4 7 x-1

yy = f(x)

58

Observemos, inicialmente, que interessa ocomportamento da curva y = f(x) em relação aoeixo dos x, não importando a posição do eixo dos y.

Preparando o gráfico com aspecto prático,temos:

11. Sinal de uma função

59

11. Sinal de uma função

2 4-1 7 x

y = f(x)

x

0 000 + + - +-

2 4-1 7

60

Conclusão:

11. Sinal de uma função

( ) 0 1 ou 2 ou 4 ou 7

( ) 0 1 2 ou 2 4 ou 7

( ) 0 1 ou 4 7

f x x x x x

f x x x x

f x x x

= ⇔ = − = = => ⇔ − < < < < >< ⇔ < − < <

11

61

Exercício 13: Estudar o sinal das funções cujosgráficos estão representados abaixo.

11. Sinal de uma função

x

yy = f(x)

-5 -3

2 6

62

Exercício 13: Estudar o sinal das funções cujosgráficos estão representados abaixo.

11. Sinal de uma função

y

x

y = g(x)

-3 -1

3

63

Exercício 13: Estudar o sinal das funções cujosgráficos estão representados abaixo.

11. Sinal de uma função

y

x

y = h(x)

-2

64

Considerando que x = -b/a, zero da funçãoafim f(x) = ax + b, é o valor de x para o qualf(x) = 0, examinaremos, então, para que valoresocorre f(x) > 0 ou f(x) < 0.

Devemos considerar dois casos.

1o caso: a > 0

12. Sinal da função afim

( ) 0

( ) 0

bf x ax b ax b x

ab

f x ax b ax b xa

= + > ⇔ > − ⇔ > −

= + < ⇔ < − ⇔ < −

65

Colocando os valores de x sobre um eixo, osinal da função f(x) = ax + b, com a > 0, é:

12. Sinal da função afim

0

- +

ba

−

x

66

Um outro processo para analisarmos avariação do sinal da função afim é construir ográfico cartesiano.

Lembremos que na função afim f(x) = ax + bo gráfico cartesiano é uma reta e, se o coeficienteangular a é positivo, a função é crescente.

12. Sinal da função afim

12

67

Construindo o gráfico de f(x) = ax + b coma > 0, e lembrando que não importa a posição doeixo y, temos:

12. Sinal da função afim

x

ba

− +

-

68

2o caso: a < 0

12. Sinal da função afim

( ) 0

( ) 0

bf x ax b ax b x

ab

f x ax b ax b xa

= + > ⇔ > − ⇔ < −

= + < ⇔ < − ⇔ > −

69

Colocando os valores de x sobre um eixo, osinal da função f(x) = ax + b, com a < 0, é:

12. Sinal da função afim

0

+ -

ba

−

x

70

Podemos analisar o sinal da funçãof(x) = ax + b com a < 0, construindo o gráficocartesiano. Lembremos que neste caso a função édecrescente.

12. Sinal da função afim

x

ba

−

+

-

71

Resumo

1) A função afim anula-se para .

2) Para , temos:

isto é, para a função tem o sinal

de a.

12. Sinal da função afim

( )f x ax b= + bx

a= −

bx

a> −

se 0 então ( ) 0

se 0 então ( ) 0

a f x ax b

a f x ax b

> = + > < = + <

bx

a> − ( )f x ax b= +

72

3) Para , temos:

isto é, para a função tem o sinal

de –a (sinal contrário ao de a).

12. Sinal da função afim

bx

a< −

se 0 então ( ) 0

se 0 então ( ) 0

a f x ax b

a f x ax b

> = + < < = + >

bx

a< − ( )f x ax b= +

13

73

Se colocarmos os valores de x sobre umeixo, a regra dos sinais da função afim pode serassim representada:

ou, simplesmente:

12. Sinal da função afim

bx

a= − b

xa

> −b

xa

< −

f(x) tem o mesmo sinal de -a f(x) tem o mesmo sinal de a0

bx

a= −

f(x) tem o mesmo sinal de af(x) tem o mesmo sinal de -a 0

74

Exemplos1o) Estudar os sinais da função f(x) = 2x – 1.

Temos:

Logo:

12. Sinal da função afim

1( ) 0 2 1 0

2 2 0 e 0

f x x x

a a a

= ⇒ − = ⇒ =

= ⇒ > − <

1para ( ) 0 (sinal de )

21

para ( ) 0 (sinal de - )2

x f x a

x f x a

> ⇒ >

< ⇒ <

75

12. Sinal da função afim

x12

+

-

y f(x) = 2x - 1

0- + x

12

sinal de f(x) = 2x - 1

76

Exemplos2o) Estudar os sinais da função f(x) = -2x + 4.

Temos:

Logo:

12. Sinal da função afim

( ) 0 2 4 0 2

2 0 e 0

f x x x

a a a

= ⇒ − + = ⇒ == − ⇒ < − >

para 2 ( ) 0 (sinal de )

para 2 ( ) 0 (sinal de - )

x f x a

x f x a

> ⇒ << ⇒ >

77

12. Sinal da função afim

0+ - x

2sinal de f(x) = -2x + 4

x+

-

y

f(x) = -2x + 4

2

78

Exercício 14: Estudar o sinal das funçõesdefinidas em .Exercício 14: Estudar o sinal das funçõesdefinidas em .ℝ

a) 2 3

b) 4

y x

y x

= += −

12. Sinal da função afim

14

79

Exercício 15: Seja a função de em definida porf(x) = 4x – 5. Determine os valores do domínio dafunção que produzem imagens maiores que 2.

12. Sinal da função afim

ℝ ℝ

80

Exercício 16: Para que valores do domínio da funçãode em definida por

a imagem é menor que 4?

12. Sinal da função afim

ℝ ℝ

3 1( )

2x

f x−=

81

Exercício 17: Sejam as funções

definidas em . Para que valores de , tem-se:

12. Sinal da função afim

x ∈ℝℝ

4 1( ) 2 3, ( ) 2 3 ( )

2x

f x x g x x h x−= + = − =

a) ( ) ( )?

b) ( ) ( )?

c) ( ) ( )?

f x g x

g x h x

f x h x

≥<

≥

82

Exercício 18: Dados os gráficos das funções f, g eh definidas em . Determinar os valores de ,tais que:

12. Sinal da função afim

x ∈ℝℝ

a) ( ) ( )

b) ( ) ( )

c) ( ) ( )

d) ( ) 4

e) ( ) 0

f x g x

g x h x

f x h x

g x

f x

>≤

≥>≤

83

12. Sinal da função afim

y

x

f(x)h(x)g(x)

84

DefiniçãoSejam as funções f(x) e g(x) cujos domínios

são respectivamente D1 ⊂ e D2 ⊂ . Chamamosinequação na incógnita x a qualquer uma dassentenças abertas, abaixo:

13. Inequações

ℝ ℝ

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

f x g x

f x g x

f x g x

f x g x

><≥≤

15

85

Exemplos1o) é uma inequação em que

2o) é uma inequação em que

13. Inequações

2 4x x− >

( ) 2 4 e ( )f x x g x x= − =

3 5 2x − <

( ) 3 5 e ( ) 2f x x g x= − =

86

Exemplos3o) é uma inequação em que

4o) é uma inequação em que

13. Inequações

2 13x

x− ≥

2 1( ) 3 e ( )f x x g x

x= − =

12

3x

x− ≤

−1

( ) 2 e ( )3

f x x g xx

= − =−

87

Domínio de validadeChamamos de domínio de validade da

inequação f(x) < g(x) o conjunto D = D1 ∩ D2, emque D1 é o domínio da função f e D2 é o domínio dafunção g. É evidente que, para todo x0 ∈ D, estãodefinidos f(x0) e g(x0), isto é:

13. Inequações

( ) ( )0 0 1 0 2 0 0 e ( ) e ( )x D x D x D f x g x∈ ⇔ ∈ ∈ ⇔ ∈ ∈ℝ ℝ

88

Nos exemplos anteriores, temos:

13. Inequações

{ } { }{ }

o

o

o * *

o

1 )

2 )

3 )

4 ) / 2 / 3

/ 2 e 3

D

D

D

D x x x x

x x x

= ∩ == ∩ == ∩ == ∈ ≥ ∩ ∈ ≠ =

∈ ≥ ≠

ℝ ℝ ℝ

ℝ ℝ ℝ

ℝ ℝ ℝ

ℝ ℝ

ℝ

89

SoluçãoO número real x0 é solução da inequação

f(x) > g(x) se, e somente se, é verdadeira asentença f(x0) > g(x0).

ExemploO número real 3 é solução da inequação

2x + 1 > x + 3, pois

é uma sentença verdadeira.

13. Inequações

�(3)(3)

2 3 1 3 3gf

⋅ + > +���

90

Conjunto soluçãoAo conjunto S de todos os números reais x

tais que f(x) > g(x) é uma sentença verdadeirachamamos de conjunto solução da inequação.

13. Inequações

16

91

ExemploA inequação 2x + 1 > x + 3 tem o conjunto

solução , isto é, para qualquerx0 ∈ S a sentença 2x0 + 1 > x0 + 3 é verdadeira.

Se não existir o número real x tal que asentença f(x) > g(x) seja verdadeira, diremos quea inequação f(x) > g(x) é impossível e indicaremos oconjunto solução por S = ∅.

13. Inequações

{ }/ 2S x x= ∈ >ℝ

92

ExemploO conjunto solução da inequação x + 1 > x + 2

é S = ∅, pois não existe x0 ∈ tal que a sentençax0 + 1 > x0 + 2 seja verdadeira.

Resolver uma inequação significa determinaro seu conjunto solução. Se x0 ∈ é solução da ine-quação f(x) > g(x), então x0 é tal que f(x0) ∈ eg(x0) ∈ , isto é, x0 ∈ D (domínio de validade dainequação). Assim sendo, temos

x0 ∈ S ⇒ x0 ∈ Dou seja, o conjunto solução é sempre subconjuntodo domínio de validade da inequação.

13. Inequações

ℝ

ℝℝ

ℝ

93

Inequação equivalenteDuas inequações são equivalentes em

D ⊂ se o conjunto solução da primeira é igual aoconjunto solução da segunda.

Exemplos1o) 3x + 6 > 0 e x + 2 > 0 são equivalentes em ,pois o conjunto solução de ambas é .

2o) x < 1 e x2 < 1 não são equivalentes em , poisx0 = -2 é solução da primeira mas não o é dasegunda.

13. Inequações

ℝ

ℝ

ℝ

{ }/ 2S x x= ∈ > −ℝ

94

Princípios de equivalênciaNa resolução de uma inequação procuramos

sempre transformá-la em outra equivalente e mais“simples”, em que o conjunto solução possa serobtido com maior facilidade. Surge, então, apergunta: “Que transformações podem ser feitasem uma inequação para se obter uma inequaçãoequivalente?”. A resposta a essa pergunta são osdois princípios seguintes:

13. Inequações

95

P.1) Sejam as funções f(x) e g(x) definidas em D1e D2, respectivamente. Se a função h(x) é definidaem D1 ∩ D2, as inequações

f(x) < g(x) e f(x) + h(x) < g(x) + h(x)são equivalentes em D1 ∩ D2.

13. Inequações

96

ExemplosSeja a inequação

�

adicionemos h(x) = -2x + 1 aos dois membros:

façamos as simplificações possíveis

�

portanto, como � é equivalente a �, temos:

13. Inequações

�( ) ( )

3 1 2 3f x g x

x x− > +���

�( ) ( )( ) ( )

3 1 ( 2 1) 2 3 ( 2 1)f x g xh x h x

x x x x− + − + > + + − +�������� �����

� �( ) ( ) ( ) ( )

4f x h x g x h x

x+ +

>

{ }/ 4S x x= ∈ >ℝ

17

97

Na prática, aplicamos a propriedade P-1com o seguinte enunciado: “Em uma inequaçãopodemos transpor um termo de um membro paraoutro trocando o sinal do termo considerado”.

f(x) + h(x) < g(x) ⇒ f(x) < g(x) – h(x)Assim, no exemplo anterior, teríamos:

3x - 1 > 2x + 3 ⇒ 3x – 1 – 2x > 3 ⇒⇒ x > 3 + 1 ⇒ x > 4

13. Inequações

98

P.2) Sejam as funções f(x) e g(x) definidas em D1 eD2, respectivamente. Se a função h(x) é definida emD1 ∩ D2 e tem sinal constante, então:

a) se h(x) > 0, as inequações f(x) < g(x) e

f(x).h(x) < g(x).h(x) são equivalentes em D1 ∩ D2.b) se h(x) < 0, as inequações f(x) < g(x) e

f(x).h(x) > g(x).h(x) são equivalentes em D1 ∩ D2 .

13. Inequações

99

Exemplos

1o) são equivalentes em ,

pois a segunda inequação foi obtida a partir da

primeira por meio de uma multiplicação por 12.

2o) são equivalentesem , pois a segunda foi obtida da primeira pormeio de uma multiplicação por -1 e inversão dosentido da desigualdade.

13. Inequações

3 1 e 6 9 4

2 4 3x

x− > − > ℝ

2 2-2 3 1 e 2 3 1x x x x+ > − < −

ℝ

100

3o) são equivalentes em .

Notemos que a segunda foi obtida da primeira por

meio da multiplicação por .

Na prática, aplicamos a propriedade P-2com o seguinte enunciado: “Em uma inequaçãopodemos multiplicar os dois membros pela mesmaexpressão, mantendo ou invertendo o sentido dadesigualdade, conforme essa expressão sejapositiva ou negativa, respectivamente”.

13. Inequações

2

4 30 e 4 3 0

1x

xx

− > − >+

ℝ

2 1 0,x x+ > ∀ ∈ℝ

101

A dupla desigualdade f(x) < g(x) < h(x) sedecompõe em duas inequações simultâneas, isto é,equivale a um sistema de duas inequações em x,separadas pelo conectivo e:

Indicando com S1 o conjunto solução de (I) eS2 o conjunto solução de (II), o conjunto soluçãoda dupla desigualdade é S = S1 ∩ S2.

14. Inequações simultâneas

( ) ( ) (I)

( ) ( ) ( ) e

( ) ( ) (II)

f x g x

f x g x h x

g x h x

<< < ⇔ <

102

ExemploResolver 3x + 2 < -x + 3 ≤ x + 4.

Temos que resolver duas inequações:

14. Inequações simultâneas

(I)

(II)

1(I) 3 2 3 4 1

41

(II) 3 4 2 1 2

x x x x

x x x x

+ < − + ⇒ < ⇒ < − + ≤ + ⇒ − ≤ ⇒ ≥ −

18

103

A intersecção desses dois conjuntos é:

14. Inequações simultâneas

1 1/

2 4S x x = ∈ − ≤ <

ℝ

14

12

−x

x

104

Exercício 19: Resolver as inequações em .

14. Inequações simultâneas

ℝ

a) 2 3 1 4

b) 3 4 5 6 2

x

x x

− < − <+ < < −

105

Exercício 20: Resolver os sistemas de inequaçõesem .

14. Inequações simultâneas

ℝ

5 2 0

a) 3 1 4 5

3 0

3 2 5 2

b) 4 1 3 4

3 2 6

x

x x

x

x x

x x

x x

− < + ≥ − − ≥

+ ≥ − − > − − < −

106

Exercício 21: Com base nos gráficos das funções f,g e h definidas em , determinar os valoresde , tais que:x ∈ℝ

ℝ

a) ( ) ( ) ( )

b) ( ) ( ) ( )

c) ( ) ( ) ( )

f x g x h x

g x f x h x

h x f x g x

< ≤≤ <≤ <

14. Inequações simultâneas

107

14. Inequações simultâneas

y

x

f

g

h

108

Sendo f(x) e g(x) duas funções na variável x,as inequações f(x) . g(x) > 0, f(x) . g(x) < 0,f(x) . g(x) ≥ 0 e f(x) . g(x) ≤ 0 são denominadasinequações-produto.

Vejamos, por exemplo, como determinamos oconjunto solução S da inequação f(x) . g(x) > 0.

De acordo com a regra de sinais do produtode números reais, um número x0 é solução dainequação f(x) . g(x) > 0 se, e somente se, f(x0) eg(x0) não nulos, têm o mesmo sinal.

Assim, são possíveis dois casos:

15. Inequações-produto

19

109

1o) f(x) > 0 e g(x) > 0Se S1 e S2 são, respectivamente, os con-

juntos soluções dessas inequações, então S1 ∩ S2 éo conjunto solução do sistema.

2o) f(x) < 0 e g(x) < 0Se S3 e S4 são, respectivamente, os con-

juntos soluções dessas inequações, então S3 ∩ S4 éo conjunto solução do sistema.

15. Inequações-produto

110

Daí concluímos que o conjunto solução dainequação do produto f(x) . g(x) > 0 é:

S = (S1 ∩ S2) ∪ (S3 ∩ S4).Raciocínio análogo seria feito para a

inequação

f(x) . g(x) < 0.

15. Inequações-produto

111

ExemploResolver em a inequação (x + 2)(2x – 1) > 0.

Analisemos os dois casos possíveis:

15. Inequações-produto

ℝ

112

1o casoCada um dos fatores é positivo, isto é:

15. Inequações-produto

2 0 2

e

12 1 0

2

x x

x x

+ > ⇒ > −

− > ⇒ >

113

A intersecção das duas soluções é:

15. Inequações-produto

1 2

1S S /

2x x ∩ = ∈ >

ℝ

2−

12

x

x

114

2o casoCada um dos fatores é negativo, isto é:

15. Inequações-produto

2 0 2

e

12 1 0

2

x x

x x

+ < ⇒ < −

− < ⇒ <

20

115

A intersecção das duas soluções é:

15. Inequações-produto

{ }3 4S S / 2x x∩ = ∈ < −ℝ

2−

12

x

x

116

O conjunto solução da inequação

é:

portanto:

15. Inequações-produto

( 2) (2 1) 0x x+ ⋅ − >

( ) ( ) { }1 2 3 4

1S S S S / / 2

2S x x x x = ∩ ∪ ∩ = ∈ > ∪ ∈ < −

ℝ ℝ

1/ 2 ou

2S x x x = ∈ < − >

ℝ

117

Quadro de sinaisVejamos um outro processo, mais prático,

para resolvermos a inequação (x + 2).(2x – 1) em .

Fazemos inicialmente o estudo dos sinais dasfunções f(x) = x + 2 e g(x) = 2x – 1.

15. Inequações-produto

ℝ

0- + x

2−sinal de f(x)

0- + x

12

sinal de g(x)

118

Com o objetivo de evitar cálculos algébricosno estudo dos sinais do produto f(x) . g(x), usa-remos o quadro abaixo, que denominamos quadro-produto, no qual figuram os sinais dos fatores e osinal do produto.

15. Inequações-produto

1/ 2 ou

2S x x x = ∈ < − >

ℝ

-

-

+

-

-

+ +

+

+

f(x)

g(x)

f(x).g(x)

-2 1/2

119

Podemos estender o raciocínio empregado noestudo dos sinais de um produto de dois fatorespara um produto com mais de dois fatores.

ExemploResolver a inequação

15. Inequações-produto

(3 2) ( 1) (3 ) 0 em x x x− ⋅ + ⋅ − < ℝ

120

Analisando os sinais dos fatores, temos:

15. Inequações-produto

0- + x

23

f(x) = 3x - 2

0- + x

1−g(x) = x + 1

0+ - x

3h(x) = 3 - x

21

121

Vamos, agora, construir o quadro-produto:

15. Inequações-produto

-

-

+

+

+

- +

+

-

f(x)

g(x)

h(x)

-1 2/3

+ - -f(x).g(x).h(x)

3

+

+

+

+

2/ 1 ou 3

3S x x x = ∈ − < < >

ℝ

122

A inequação f(x) . g(x) ≥ 0 tem por conjuntosolução S a reunião do conjunto solução S1 dainequação f(x) . g(x) > 0 com o conjunto solução S2da equação f(x) . g(x) = 0, isto é:

15. Inequações-produto

( ) ( ) 0 (I)

( ) ( ) 0 ou

( ) ( ) 0 (II)

f x g x

f x g x

f x g x

⋅ >⋅ ≥ ⇔ ⋅ =

123

ExemploResolver a inequação

A inequação (3x + 1).(2x – 5) ≥ 0 é equiva-lente a:

(I) (3 1) (2 5) 0

(II) (3 1) (2 5) 0

x x

x x

+ ⋅ + > + ⋅ + =

(3 1) (2 5) 0 em x x+ ⋅ − ≥ ℝ

15. Inequações-produto

124

Resolvendo (I), temos:

Resolvendo (II), temos:

1

1 5/ ou

3 2S x x x = ∈ < − >

ℝ

2

1 5,

3 2S = −

15. Inequações-produto

125

O conjunto solução é:

ou seja:

1 2

1 5 1 5/ ou ,

3 2 3 2S S S x x x = ∪ = ∈ < − > ∪ −

ℝ

1 5/ ou

3 2S x x x = ∈ ≤ − ≥

ℝ

15. Inequações-produto

126

Exercício 22: Resolver em as inequações:ℝ

a) (5 2) (2 ) (4 3) 0

b) (5 2 ) ( 7 2) 0

x x x

x x

+ ⋅ − ⋅ + >− ⋅ − − ≤

15. Inequações-produto

22

127

Sendo f(x) e g(x) duas funções na variável x,as inequações

são denominadas inequações-quociente.

Considerando que as regras de sinais doproduto e do quociente de números reais sãoanálogas, podemos, então, construir o quadro-quociente de modo análogo ao quadro-produto,observando o fato de que o denominador de umafração não pode ser nulo.

16. Inequações-quociente

( ) ( ) ( ) ( )0, 0, 0 e 0

( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f xg x g x g x g x

> < ≥ ≤

128

ExemploResolver em a inequação

Temos:

3 42

1x

x+ ≤

−

ℝ

3 4 3 4 3 4 2 (1 )2 2 0 0

1 1 15 2

Portanto: 01

x x x xx x x

xx

+ + + − ⋅ −≤ ⇒ − ≤ ⇒ ≤− − −

+ ≤−

16. Inequações-quociente

129

Fazendo o quadro-quociente, temos:

2/ ou 1

5S x x x = ∈ ≤ − >

ℝ

-

+

-

+

+

+ +

-

-

f(x) = 5x + 2

g(x) = 1 - x

f(x) / g(x)

-2/5 1

16. Inequações-quociente

130

Exercício 23: Resolver as inequações em .ℝ

3 4a) 0

5 13 2

b) 03 1

xx

xx

− ≥+

− − ≤+

16. Inequações-quociente

131

Exercício 24: Resolver em as inequações:ℝ

5 2a) 2

3 43 5

b) 12 4

xxxx

− <+− ≤−

16. Inequações-quociente

132

Exercício 25: Resolver a inequação em .ℝ

(1 2 )a) 0

(5 ) (3 )x

x x− ≤

− ⋅ −

16. Inequações-quociente

23

133

Exercício 26: Resolver em as inequações:ℝ

1 3a)

2 42 1 1

b)3 1 1 1

x xx x

x x x

+ +>+ +

≥ −− − +

16. Inequações-quociente