funções (turma m.e.d – integrado jaó). função polinomial de 1º grau – (reta)...
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Funções Funções (Turma M.E.D – Integrado (Turma M.E.D – Integrado
Jaó)Jaó)
Função Polinomial de 1º Grau – Função Polinomial de 1º Grau – (Reta)(Reta) baxxf baxy
x
xf
x
y
0a 0a
CrescenteCrescente DecrescenteDecrescente
Função Polinomial de 1º Grau – Função Polinomial de 1º Grau – (Reta)(Reta) baxxf baxy
x
xf
x
y
bb
ab
ab
Raiz da Raiz da funçãofunção
Raiz da Raiz da funçãofunção
Função Polinomial de 1º Grau – Função Polinomial de 1º Grau – Linear Linear (b = 0)(b = 0) xxf xy
x
xf
IdentidadeIdentidade
B.Q.IB.Q.I..
x
y
B.Q.B.Q.P.P.
Função Polinomial de 1º Grau – Função Polinomial de 1º Grau – (Reta)(Reta) baxxf baxy
x
xf
x
y0a
ConstanteConstante ConstanteConstante
byxf
b
b
0b
0a0b
Função Polinomial de 2º Grau – Função Polinomial de 2º Grau – (Parábola)(Parábola)
cbxaxxf 2 cbxaxy 2
x
xf 0a 0a
Concavidade Concavidade voltada para cimavoltada para cima
x
y
Concavidade Concavidade voltada para baixovoltada para baixo
Função Polinomial de 2º Grau – Função Polinomial de 2º Grau – (Parábola)(Parábola)
cbxaxxf 2 cbxaxy 2
x
xf
x
yc
cRaiz da Raiz da funçãofunção
Raiz da Raiz da funçãofunção
Raiz da Raiz da funçãofunção
Raiz da Raiz da funçãofunção
Função Polinomial de 2º Grau – Função Polinomial de 2º Grau – RaízesRaízes cbxaxy 2
0ycbxax 2002 cbxax
acb 42 a
bx
2
0
0
0
não existem raízes reais (a parábola não toca o eixo das abscissas).
possui duas raízes reais iguais (a parábola toca em único ponto no eixo das abscissas).
possui duas raízes reais distintas ( a parábola toca em dois pontos no eixo das abscissas.
Função Polinomial de 2º GrauFunção Polinomial de 2º Grau
x x x1x 2x 21 xx Rxex 21
0a0
0a0
0a0
x x x1x 2x 21 xx Rxex 21
0a0 0a
00a0
Raízes reais Raízes reais distintasdistintas
Raízes reais Raízes reais iguaisiguais
Não existem Não existem raízes reaisraízes reais
Função Polinomial de 2º Grau – Função Polinomial de 2º Grau – VérticeVértice
x
y
VérticeVértice
eixo de eixo de simetriasimetria
ayV 4
a
bxV 2
VV yxV ,
aa
bV
4,
2
Função Polinomial de 2º Grau – Função Polinomial de 2º Grau – VérticeVértice
x
y
VérticeVértice
x
yPonto Ponto
de de máximomáximo
VérticeVértice
Ponto Ponto de de
mínimomínimo
0a
0a
Função Polinomial de 2º Grau – pontos Função Polinomial de 2º Grau – pontos notáveisnotáveis
x
y
c
Raiz da Raiz da funçãofunção
Raiz da Raiz da funçãofunção
VérticeVérticeayV 4
a
bxV 2
Função Polinomial de 2º Grau – Função Polinomial de 2º Grau – ImagemImagem
x
y
VérticeVértice
x
yVérticeVértice
Se a >0, então:
vyyRy /Im
Se a < 0, então:
vyyRy /Im
Função Polinomial de 2º Grau – Forma Função Polinomial de 2º Grau – Forma fatoradafatorada
cbxaxxf 2
21 xxxxaxf
raízessãoxex 21
Funções injetoras, sobrejetoras e bijetorasFunções injetoras, sobrejetoras e bijetoras
INJETORAINJETORAPara uma função ser classificada como injetora, Para uma função ser classificada como injetora, devemos lembrar que, para devemos lembrar que, para DOMÍNIOSDOMÍNIOS diferentes devem gerar diferentes devem gerar IMAGENSIMAGENS diferentes, ou diferentes, ou seja:seja:
2121 xfxfxx Ex.:Ex.: 63 xxf
91
631
6131
f
f
f 60
600
6030
f
f
f
Funções injetoras, sobrejetoras e bijetorasFunções injetoras, sobrejetoras e bijetoras
Para uma função ser classificada como Para uma função ser classificada como sobrejetora, devemos lembrar que, o sobrejetora, devemos lembrar que, o CONTRADOMÍNIOCONTRADOMÍNIO deve ser igual a deve ser igual a IMAGEMIMAGEM da da função dada, ou seja:função dada, ou seja:
ImCDEx.:Ex.: RRf : 2xxf
x
y
SOBREJETORASOBREJETORA
Funções injetoras, sobrejetoras e bijetorasFunções injetoras, sobrejetoras e bijetoras
Para uma função ser classificada como bijetora, Para uma função ser classificada como bijetora, devemos lembrar que ela deve ser devemos lembrar que ela deve ser INJETORA INJETORA e e SOBREJETORASOBREJETORA ao mesmo tempo, ou seja: ao mesmo tempo, ou seja:
ImCDEx.:Ex.: RRf : 2xxf
x
y
BIJETORABIJETORA
x
y
-2-2 22
- - 44
f(x) =|x2 - 4|
f : R+ R
f(x) = x2 - 4
44
x
y
-2-2 22-2-2 22
44f(x) =|x2 - 4|
f : R+ R
f(x) = x2 - 4
f : D CD
xx
x
y
2222
44
22
44
f : D CD
f(x) =|x2 - 4|
f : R+ R
f(x) = x2 - 4
xx yy
Não é Injeto
ra
Não é Injeto
ra
x
y
2222
44
22
44
Não é Injetora Não é Injetora
00
Im(f) = [0, +∞)CD = R
Não é Sobrejeto
ra
Não é Sobrejeto
ra
Im(f) ≠ CD
f : D CD
f(x) =|x2 - 4|
f : R+ R
f(x) = x2 - 4
xx yy
x
y
2222
44
22
44
Não é Injetora Não é Injetora
f : D CD
f(x) =|x2 - 4|
f : R+ R
f(x) = x2 - 4
xx yy
Não é SobrejetoraNão é Sobrejetora
x
y
2222
44
22
44
Não é Injetora Não é Injetora
f : D CD
f(x) =|x2 - 4|
f : R+ R
f(x) = x2 - 4
xx yy
Não é SobrejetoraNão é Sobrejetora
x
y
2222
44
22
44
É uma função SimplesÉ uma função Simples
Não é Injetora Não é Injetora
f : D CD
f(x) =|x2 - 4|
f : R+ R
f(x) = x2 - 4
xx yy
Não é SobrejetoraNão é Sobrejetora
Função inversa e função Função inversa e função compostacompostaFunção inversaFunção inversa
12 xxf
A
4
3
2
1 B
7
5
3
1
4,3,2,1A 7,5,3,1B
BAf :
Função inversa e função Função inversa e função compostacomposta
4,3,2,1AFunção inversaFunção inversa
7,5,3,1BABg :
2
1x
xg
A
4
3
2
1 B
7
5
3
1
xfxg 1
Função inversa e função Função inversa e função compostacompostaFunção inversaFunção inversa
A inversa de uma função f só existirá se f A inversa de uma função f só existirá se f for bijetora. for bijetora.
Lei de Formação da inversaLei de Formação da inversa
1º – Troca 1º – Troca xx por por yy e e yy por por xx..
2º – Isola a variável 2º – Isola a variável yy..
Função inversa e função Função inversa e função compostacompostaFunção inversaFunção inversa
12 xxf
12 xy
12 yxyx 21
yx
2
1
2
1x
y
2
11 x
y
2
11 x
xf
Função inversa e função Função inversa e função compostacompostaFunção inversa Função inversa
(representação gráfica)(representação gráfica)
2xy
21 xy
x
y
2
2
2
2
B.Q.IB.Q.I..
Função inversa e função Função inversa e função compostacompostaFunção inversa Função inversa
(representação gráfica)(representação gráfica)f
1f
x
y
B.Q.IB.Q.I..
Função inversa e função Função inversa e função compostacompostaFunção compostaFunção composta
A
4
3
2
1 B
6
5
4
3
2xxf
BAf :
B
6
5
4
3 C
11
9
7
5
12 xxg
CBg :
Função inversa e função Função inversa e função compostacompostaFunção compostaFunção composta
xfgxh CAh :
12 xfxh
122 xxh
142 xxh
32 xxh
12 xxg 2xxf
32 xxfgxh
Função inversa e função Função inversa e função compostacompostaFunção compostaFunção composta
A
4
3
2
1 B
6
5
4
3
2xxf
BAf :
B
6
5
4
3 C
11
9
7
5
32 xxh 32 xxfg
12 xxg
CBg :
Função inversa e função Função inversa e função compostacompostaFunção compostaFunção composta
A
B
Cfg
fgh
xfgxh
xfgxh
fgh
x f
Função inversa e função Função inversa e função compostacompostaFunção compostaFunção composta
A composta de uma função com sua inversa A composta de uma função com sua inversa é a função identidade. (é a função identidade. (foffof-1-1 = f = f-1-1of = xof = x))
2xy21 xy
221 xff xff 1
221 xff
xff 1
Função ExponencialFunção Exponencial
RRf :
DefiniçãoDefinição
RDomínioDomínio
,0Im f
ImagemImagem
xaxf 10 a
*R
,0Im f RfD
Função ExponencialFunção ExponencialRepresentação GráficaRepresentação Gráfica
xxf 2x
1
2
3
4
... ..
x
xy 2221 y422 y823 y1624 y
xy 2
y
1 2123 x
1
2
4
0
Função ExponencialFunção ExponencialRepresentação GráficaRepresentação Gráfica
x
xg
2
1
1 22 x
y
1
4
0
Função ExponencialFunção ExponencialRepresentação GráficaRepresentação Gráfica
xxf 2
1 2123 x
y
1
2
4
1 22 x
y
1
4
x
xg
2
1
1
1aCrescente
10 aeDecrescent
00
Equação exponencialEquação exponencial
322 x
819
1
x
171333 112 xxx
093109 xx
Equação exponencialEquação exponencial
kxaa kx
322 x522 x
5x 42 33 x
42 33 x
819
1
x
42 x 2x
Equação exponencialEquação exponencial
63933 1212 xxx
6333
333 2
22
xx
x
6333
333 2
22 x
xx
yx 23
633
3 yy
y
3
18939 yyy
1897 y 27y
32 33 x2
3 x
Equação exponencialEquação exponencial
224 xx
02222 xx
02222
xx
yx 2
11 y
12 x
1x
022 yy
22 y
22 x
Inequação exponencialInequação exponencial
322 x
819
1
x
64,08,0 2 x
093109 xx
Inequação exponencialInequação exponencial
kx aa
322 x522 x
5x 21 99 x
299 x
2 x
2x
1 , asekx
10 , asekx
819
1
x
Inequação exponencialInequação exponencial
1x
64,08,0 2 x
100
648,0 2 x
100
648,0 2 x
10
88,0 2 x
8,08,0 2 x
12 x
LogaritmosLogaritmos
xab logBase do Base do logaritmologaritmo
LogaritmandLogaritmandoo
LogaritmLogaritmoo
0a 01 bCondição de Condição de ExistênciaExistência
LogaritmosLogaritmos
xab logBase do Base do logaritmologaritmo
LogaritmandLogaritmandoo
LogaritmLogaritmoo
xab log ab x
LogaritmosLogaritmos
xab logBase do Base do logaritmologaritmo
LogaritmandLogaritmandoo
LogaritmLogaritmoo
x8log2 82 x3x
8log2
38log2
LogaritmosLogaritmosSistema de LogaritmosSistema de Logaritmos
aa loglog10
2100log100log10
LogaritmosLogaritmosSistema de Logaritmos (Logaritmo Natural)Sistema de Logaritmos (Logaritmo Natural)
bae log
...718281828,2e
2log ee 2ln 2 e5logee 55ln e
ba ln
LogaritmosLogaritmosPropriedades operátóriasPropriedades operátórias
babaP ccc logloglog1
bab
aP ccc logloglog2
anaP bn
b loglog3
LogaritmosLogaritmosMudança de BaseMudança de Base
b
aa
c
cb log
loglog
bab
aa cc
c
cb loglog
log
loglog
Função LogarítmicaFunção LogarítmicaDefiniçãoDefinição
RRf *: xxf blog
*RDomínioDomínio
Rf Im
ImagemImagem R
*RfD
Função LogarítmicaFunção LogarítmicaRepresentação GráficaRepresentação Gráfica
xxf 2log
1 x
y
1
2
1
2
1
0
Representação GráficaRepresentação Gráfica
xxg2
1log
12
x
y
1
1
0
Função LogarítmicaFunção Logarítmica
Representação GráficaRepresentação Gráfica xxg
2
1log
12
x
y
1
1
1 x
y
1
2
1
2
1
0 0
xxf 2log
1bCrescente
10 beDecrescent
Função LogarítmicaFunção Logarítmica
Inversa da Função LogarítmicaInversa da Função Logarítmica
x
y
xxf blog
1
1
xbxf
1bCrescente
xy
Função LogarítmicaFunção Logarítmica
Inversa da Função LogarítmicaInversa da Função Logarítmica
x
y
xxf blog
1
1
xbxf 10 beDecrescent
xy
Função LogarítmicaFunção Logarítmica
Equação LogarítmicaEquação Logarítmica
xgxfxgxf bb loglog
53log2 x
325 xx332
35x
03 x3x
35S
Equação LogarítmicaEquação Logarítmica
xgxfxgxf bb loglog
295log 1 xx
951 2 xx
95122 xxx
095 x5
9 x
01x 1 x
11x 2 x
01072 xx21 x 51 x 5S
Equação LogarítmicaEquação Logarítmica
xgxfxgxf bb loglog
8log4log3log 555 xx
03 x 3 x
04 x 4 x
41 x
3 x
4S
8log43log 55 xx
8122 xx0202 xx 52 x
0202 xx
Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica
xgxf bb loglog
1b xgxf
10 b xgxf
5log3log 22 x
53 x8x
03 xC.EC.E
3x 8/ xRxS
,8S
Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica
xgxf bb loglog
1b xgxf
10 b xgxf
2log82log3
2
3
2 xx
282 xx6x
082 xC.EC.E
4x02 x
2x
I II
4 xIII
Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica 34log3log 22 xx
8122 xx
322 2log43log xx
322 2log43log xx
0202 xx
51 x42 x
x5 – – – – – –– – – – – –
+ + + + ++
4
+ + + + ++
45 x
Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica 34log3log 22 xx
x5 – – – – – –– – – – – –
+ + + + ++
4
+ + + + ++
45 x
03 xC.EC.E
3x04 x
4x
3 x
43/ xRxS
0202 xx