funções (turma m.e.d – integrado jaó). função polinomial de 1º grau – (reta)...

67
Funções Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó) (Turma M.E.D – Integrado Jaó)

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Page 1: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Funções Funções (Turma M.E.D – Integrado (Turma M.E.D – Integrado

Jaó)Jaó)

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Função Polinomial de 1º Grau – Função Polinomial de 1º Grau – (Reta)(Reta) baxxf baxy

x

xf

x

y

0a 0a

CrescenteCrescente DecrescenteDecrescente

Page 3: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Função Polinomial de 1º Grau – Função Polinomial de 1º Grau – (Reta)(Reta) baxxf baxy

x

xf

x

y

bb

ab

ab

Raiz da Raiz da funçãofunção

Raiz da Raiz da funçãofunção

Page 4: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Função Polinomial de 1º Grau – Função Polinomial de 1º Grau – Linear Linear (b = 0)(b = 0) xxf xy

x

xf

IdentidadeIdentidade

B.Q.IB.Q.I..

x

y

B.Q.B.Q.P.P.

Page 5: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Função Polinomial de 1º Grau – Função Polinomial de 1º Grau – (Reta)(Reta) baxxf baxy

x

xf

x

y0a

ConstanteConstante ConstanteConstante

byxf

b

b

0b

0a0b

Page 6: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Função Polinomial de 2º Grau – Função Polinomial de 2º Grau – (Parábola)(Parábola)

cbxaxxf 2 cbxaxy 2

x

xf 0a 0a

Concavidade Concavidade voltada para cimavoltada para cima

x

y

Concavidade Concavidade voltada para baixovoltada para baixo

Page 7: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Função Polinomial de 2º Grau – Função Polinomial de 2º Grau – (Parábola)(Parábola)

cbxaxxf 2 cbxaxy 2

x

xf

x

yc

cRaiz da Raiz da funçãofunção

Raiz da Raiz da funçãofunção

Raiz da Raiz da funçãofunção

Raiz da Raiz da funçãofunção

Page 8: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Função Polinomial de 2º Grau – Função Polinomial de 2º Grau – RaízesRaízes cbxaxy 2

0ycbxax 2002 cbxax

acb 42 a

bx

2

Page 9: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

0

0

0

não existem raízes reais (a parábola não toca o eixo das abscissas).

possui duas raízes reais iguais (a parábola toca em único ponto no eixo das abscissas).

possui duas raízes reais distintas ( a parábola toca em dois pontos no eixo das abscissas.

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Função Polinomial de 2º GrauFunção Polinomial de 2º Grau

x x x1x 2x 21 xx Rxex 21

0a0

0a0

0a0

x x x1x 2x 21 xx Rxex 21

0a0 0a

00a0

Raízes reais Raízes reais distintasdistintas

Raízes reais Raízes reais iguaisiguais

Não existem Não existem raízes reaisraízes reais

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Função Polinomial de 2º Grau – Função Polinomial de 2º Grau – VérticeVértice

x

y

VérticeVértice

eixo de eixo de simetriasimetria

ayV 4

a

bxV 2

VV yxV ,

aa

bV

4,

2

Page 12: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Função Polinomial de 2º Grau – Função Polinomial de 2º Grau – VérticeVértice

x

y

VérticeVértice

x

yPonto Ponto

de de máximomáximo

VérticeVértice

Ponto Ponto de de

mínimomínimo

0a

0a

Page 13: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Função Polinomial de 2º Grau – pontos Função Polinomial de 2º Grau – pontos notáveisnotáveis

x

y

c

Raiz da Raiz da funçãofunção

Raiz da Raiz da funçãofunção

VérticeVérticeayV 4

a

bxV 2

Page 14: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Função Polinomial de 2º Grau – Função Polinomial de 2º Grau – ImagemImagem

x

y

VérticeVértice

x

yVérticeVértice

Se a >0, então:

vyyRy /Im

Se a < 0, então:

vyyRy /Im

Page 15: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Função Polinomial de 2º Grau – Forma Função Polinomial de 2º Grau – Forma fatoradafatorada

cbxaxxf 2

21 xxxxaxf

raízessãoxex 21

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Funções injetoras, sobrejetoras e bijetorasFunções injetoras, sobrejetoras e bijetoras

INJETORAINJETORAPara uma função ser classificada como injetora, Para uma função ser classificada como injetora, devemos lembrar que, para devemos lembrar que, para DOMÍNIOSDOMÍNIOS diferentes devem gerar diferentes devem gerar IMAGENSIMAGENS diferentes, ou diferentes, ou seja:seja:

2121 xfxfxx Ex.:Ex.: 63 xxf

91

631

6131

f

f

f 60

600

6030

f

f

f

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Funções injetoras, sobrejetoras e bijetorasFunções injetoras, sobrejetoras e bijetoras

Para uma função ser classificada como Para uma função ser classificada como sobrejetora, devemos lembrar que, o sobrejetora, devemos lembrar que, o CONTRADOMÍNIOCONTRADOMÍNIO deve ser igual a deve ser igual a IMAGEMIMAGEM da da função dada, ou seja:função dada, ou seja:

ImCDEx.:Ex.: RRf : 2xxf

x

y

SOBREJETORASOBREJETORA

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Funções injetoras, sobrejetoras e bijetorasFunções injetoras, sobrejetoras e bijetoras

Para uma função ser classificada como bijetora, Para uma função ser classificada como bijetora, devemos lembrar que ela deve ser devemos lembrar que ela deve ser INJETORA INJETORA e e SOBREJETORASOBREJETORA ao mesmo tempo, ou seja: ao mesmo tempo, ou seja:

ImCDEx.:Ex.: RRf : 2xxf

x

y

BIJETORABIJETORA

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x

y

-2-2 22

- - 44

f(x) =|x2 - 4|

f : R+ R

f(x) = x2 - 4

44

Page 20: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

x

y

-2-2 22-2-2 22

44f(x) =|x2 - 4|

f : R+ R

f(x) = x2 - 4

f : D CD

xx

Page 21: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

x

y

2222

44

22

44

f : D CD

f(x) =|x2 - 4|

f : R+ R

f(x) = x2 - 4

xx yy

Não é Injeto

ra

Não é Injeto

ra

Page 22: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

x

y

2222

44

22

44

Não é Injetora Não é Injetora

00

Im(f) = [0, +∞)CD = R

Não é Sobrejeto

ra

Não é Sobrejeto

ra

Im(f) ≠ CD

f : D CD

f(x) =|x2 - 4|

f : R+ R

f(x) = x2 - 4

xx yy

Page 23: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

x

y

2222

44

22

44

Não é Injetora Não é Injetora

f : D CD

f(x) =|x2 - 4|

f : R+ R

f(x) = x2 - 4

xx yy

Não é SobrejetoraNão é Sobrejetora

Page 24: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

x

y

2222

44

22

44

Não é Injetora Não é Injetora

f : D CD

f(x) =|x2 - 4|

f : R+ R

f(x) = x2 - 4

xx yy

Não é SobrejetoraNão é Sobrejetora

Page 25: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

x

y

2222

44

22

44

É uma função SimplesÉ uma função Simples

Não é Injetora Não é Injetora

f : D CD

f(x) =|x2 - 4|

f : R+ R

f(x) = x2 - 4

xx yy

Não é SobrejetoraNão é Sobrejetora

Page 26: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Função inversa e função Função inversa e função compostacompostaFunção inversaFunção inversa

12 xxf

A

4

3

2

1 B

7

5

3

1

4,3,2,1A 7,5,3,1B

BAf :

Page 27: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Função inversa e função Função inversa e função compostacomposta

4,3,2,1AFunção inversaFunção inversa

7,5,3,1BABg :

2

1x

xg

A

4

3

2

1 B

7

5

3

1

xfxg 1

Page 28: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Função inversa e função Função inversa e função compostacompostaFunção inversaFunção inversa

A inversa de uma função f só existirá se f A inversa de uma função f só existirá se f for bijetora. for bijetora.

Lei de Formação da inversaLei de Formação da inversa

1º – Troca 1º – Troca xx por por yy e e yy por por xx..

2º – Isola a variável 2º – Isola a variável yy..

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Função inversa e função Função inversa e função compostacompostaFunção inversaFunção inversa

12 xxf

12 xy

12 yxyx 21

yx

2

1

2

1x

y

2

11 x

y

2

11 x

xf

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Função inversa e função Função inversa e função compostacompostaFunção inversa Função inversa

(representação gráfica)(representação gráfica)

2xy

21 xy

x

y

2

2

2

2

B.Q.IB.Q.I..

Page 31: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Função inversa e função Função inversa e função compostacompostaFunção inversa Função inversa

(representação gráfica)(representação gráfica)f

1f

x

y

B.Q.IB.Q.I..

Page 32: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Função inversa e função Função inversa e função compostacompostaFunção compostaFunção composta

A

4

3

2

1 B

6

5

4

3

2xxf

BAf :

B

6

5

4

3 C

11

9

7

5

12 xxg

CBg :

Page 33: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Função inversa e função Função inversa e função compostacompostaFunção compostaFunção composta

xfgxh CAh :

12 xfxh

122 xxh

142 xxh

32 xxh

12 xxg 2xxf

32 xxfgxh

Page 34: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Função inversa e função Função inversa e função compostacompostaFunção compostaFunção composta

A

4

3

2

1 B

6

5

4

3

2xxf

BAf :

B

6

5

4

3 C

11

9

7

5

32 xxh 32 xxfg

12 xxg

CBg :

Page 35: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Função inversa e função Função inversa e função compostacompostaFunção compostaFunção composta

A

B

Cfg

fgh

xfgxh

xfgxh

fgh

x f

Page 36: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Função inversa e função Função inversa e função compostacompostaFunção compostaFunção composta

A composta de uma função com sua inversa A composta de uma função com sua inversa é a função identidade. (é a função identidade. (foffof-1-1 = f = f-1-1of = xof = x))

2xy21 xy

221 xff xff 1

221 xff

xff 1

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Função ExponencialFunção Exponencial

RRf :

DefiniçãoDefinição

RDomínioDomínio

,0Im f

ImagemImagem

xaxf 10 a

*R

,0Im f RfD

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Função ExponencialFunção ExponencialRepresentação GráficaRepresentação Gráfica

xxf 2x

1

2

3

4

... ..

x

xy 2221 y422 y823 y1624 y

xy 2

y

1 2123 x

1

2

4

0

Page 39: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Função ExponencialFunção ExponencialRepresentação GráficaRepresentação Gráfica

x

xg

2

1

1 22 x

y

1

4

0

Page 40: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Função ExponencialFunção ExponencialRepresentação GráficaRepresentação Gráfica

xxf 2

1 2123 x

y

1

2

4

1 22 x

y

1

4

x

xg

2

1

1

1aCrescente

10 aeDecrescent

00

Page 41: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Equação exponencialEquação exponencial

322 x

819

1

x

171333 112 xxx

093109 xx

Page 42: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Equação exponencialEquação exponencial

kxaa kx

322 x522 x

5x 42 33 x

42 33 x

819

1

x

42 x 2x

Page 43: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Equação exponencialEquação exponencial

63933 1212 xxx

6333

333 2

22

xx

x

6333

333 2

22 x

xx

yx 23

633

3 yy

y

3

18939 yyy

1897 y 27y

32 33 x2

3 x

Page 44: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Equação exponencialEquação exponencial

224 xx

02222 xx

02222

xx

yx 2

11 y

12 x

1x

022 yy

22 y

22 x

Page 45: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Inequação exponencialInequação exponencial

322 x

819

1

x

64,08,0 2 x

093109 xx

Page 46: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Inequação exponencialInequação exponencial

kx aa

322 x522 x

5x 21 99 x

299 x

2 x

2x

1 , asekx

10 , asekx

819

1

x

Page 47: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Inequação exponencialInequação exponencial

1x

64,08,0 2 x

100

648,0 2 x

100

648,0 2 x

10

88,0 2 x

8,08,0 2 x

12 x

Page 48: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

LogaritmosLogaritmos

xab logBase do Base do logaritmologaritmo

LogaritmandLogaritmandoo

LogaritmLogaritmoo

0a 01 bCondição de Condição de ExistênciaExistência

Page 49: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

LogaritmosLogaritmos

xab logBase do Base do logaritmologaritmo

LogaritmandLogaritmandoo

LogaritmLogaritmoo

xab log ab x

Page 50: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

LogaritmosLogaritmos

xab logBase do Base do logaritmologaritmo

LogaritmandLogaritmandoo

LogaritmLogaritmoo

x8log2 82 x3x

8log2

38log2

Page 51: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

LogaritmosLogaritmosSistema de LogaritmosSistema de Logaritmos

aa loglog10

2100log100log10

Page 52: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

LogaritmosLogaritmosSistema de Logaritmos (Logaritmo Natural)Sistema de Logaritmos (Logaritmo Natural)

bae log

...718281828,2e

2log ee 2ln 2 e5logee 55ln e

ba ln

Page 53: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

LogaritmosLogaritmosPropriedades operátóriasPropriedades operátórias

babaP ccc logloglog1

bab

aP ccc logloglog2

anaP bn

b loglog3

Page 54: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

LogaritmosLogaritmosMudança de BaseMudança de Base

b

aa

c

cb log

loglog

bab

aa cc

c

cb loglog

log

loglog

Page 55: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Função LogarítmicaFunção LogarítmicaDefiniçãoDefinição

RRf *: xxf blog

*RDomínioDomínio

Rf Im

ImagemImagem R

*RfD

Page 56: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Função LogarítmicaFunção LogarítmicaRepresentação GráficaRepresentação Gráfica

xxf 2log

1 x

y

1

2

1

2

1

0

Page 57: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Representação GráficaRepresentação Gráfica

xxg2

1log

12

x

y

1

1

0

Função LogarítmicaFunção Logarítmica

Page 58: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Representação GráficaRepresentação Gráfica xxg

2

1log

12

x

y

1

1

1 x

y

1

2

1

2

1

0 0

xxf 2log

1bCrescente

10 beDecrescent

Função LogarítmicaFunção Logarítmica

Page 59: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Inversa da Função LogarítmicaInversa da Função Logarítmica

x

y

xxf blog

1

1

xbxf

1bCrescente

xy

Função LogarítmicaFunção Logarítmica

Page 60: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Inversa da Função LogarítmicaInversa da Função Logarítmica

x

y

xxf blog

1

1

xbxf 10 beDecrescent

xy

Função LogarítmicaFunção Logarítmica

Page 61: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Equação LogarítmicaEquação Logarítmica

xgxfxgxf bb loglog

53log2 x

325 xx332

35x

03 x3x

35S

Page 62: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Equação LogarítmicaEquação Logarítmica

xgxfxgxf bb loglog

295log 1 xx

951 2 xx

95122 xxx

095 x5

9 x

01x 1 x

11x 2 x

01072 xx21 x 51 x 5S

Page 63: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Equação LogarítmicaEquação Logarítmica

xgxfxgxf bb loglog

8log4log3log 555 xx

03 x 3 x

04 x 4 x

41 x

3 x

4S

8log43log 55 xx

8122 xx0202 xx 52 x

0202 xx

Page 64: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica

xgxf bb loglog

1b xgxf

10 b xgxf

5log3log 22 x

53 x8x

03 xC.EC.E

3x 8/ xRxS

,8S

Page 65: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica

xgxf bb loglog

1b xgxf

10 b xgxf

2log82log3

2

3

2 xx

282 xx6x

082 xC.EC.E

4x02 x

2x

I II

4 xIII

Page 66: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica 34log3log 22 xx

8122 xx

322 2log43log xx

322 2log43log xx

0202 xx

51 x42 x

x5 – – – – – –– – – – – –

+ + + + ++

4

+ + + + ++

45 x

Page 67: Funções (Turma M.E.D – Integrado Jaó). Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) CrescenteDecrescente

Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica 34log3log 22 xx

x5 – – – – – –– – – – – –

+ + + + ++

4

+ + + + ++

45 x

03 xC.EC.E

3x04 x

4x

3 x

43/ xRxS

0202 xx