função do 2 grau - unemat – campus sinop | site da...

122
Função do 2 o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Upload: trinhlien

Post on 08-Nov-2018

217 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Função do 2o Grau

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Page 2: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Função do 2o Grau

1.Definição

2.Gráfico

3.Concavidade

4.Forma canônica

5.Zeros

6.Máximo e mínimo

7.Vértice da parábola

8.Imagem

9.Eixo de simetria

10.Informações que auxiliam a construção do gráfico

Page 3: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Função do 2o Grau

11.Sinal da função quadrática

12.Inequação do 2o grau

Page 4: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

4

Uma aplicação f de em recebe o nomede função quadrática ou do 2o grau quando associaa cada x ∈ o elemento (ax2 + bx + c) ∈ , em quea, b, c são números reais dados e a ≠ 0.

(a ≠ 0)

1. Definição

ℝ ℝ

ℝℝ

2( )f x ax bx c= + +

Page 5: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

5

Exemplos de funções quadráticas

1. Definição

2

2

2

2

a) ( ) 3 2 em que 1, 3, 2

b) ( ) 2 4 3 em que 2, 4, 3

c) ( ) 3 5 1 em que 3, 5, 1

d) ( ) 4 em qu

f x x x a b c

f x x x a b c

f x x x a b c

f x x

= − + = = − == + − = = = −= − + − = − = = −= −

2

2

e 1, 0, 4

e) ( ) 2 5 em que 2, 5, 0

f) ( ) 3 em que 3, 0, 0

a b c

f x x x a b c

f x x a b c

= = = −= − + = − = =

= − = − = =

Page 6: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

6

O gráfico da função quadrática é umaparábola.

2. Gráfico

Page 7: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

7

Exemplos1o) Construir o gráfico de y = x2 - 1.

2. Gráfico

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y ==== x2 - 1 8 3 0 -1 0 3 8

Page 8: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

8

2. Gráfico

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4(0,-1)

(1,0)

(2,3)

(3,8)(-3,8)

(-2,3)

(-1,0)

x

y

Page 9: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

9

Exemplos2o) Construir o gráfico de y = -x2 + 1.

2. Gráfico

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y ==== -x2 + 1 -8 -3 0 1 0 -3 -8

Page 10: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

10

2. Gráfico

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

xy(0,1)

(1,0)

(2,-3)

(3,-8)(-3,-8)

(-2,-3)

(-1,0)

Page 11: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

11

Exercício 1: Determinar uma função quadrática ftal que f(-1) = -4, f(1) = 2 e f(2) = -1.

2. Gráfico

Page 12: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

12

A parábola representativa da funçãoquadrática y = ax2 + bx + c pode ter a concavidadevoltada para “cima” ou voltada para “baixo”.

Se a > 0, a concavidade da parábola estávoltada para cima.

Se a < 0, a concavidade da parábola estávoltada para baixo.

3. Concavidade

Page 13: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

13

3. Concavidade

x

y

a >>>> 0

x

y

a <<<< 0

Page 14: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

14

A construção do gráfico da funçãoquadrática y = ax2 + bx + c com o auxílio de umatabela de valores x e y, como foi feito no itemanterior, torna-se às vezes um trabalho impreciso,pois na tabela atribuímos a x alguns valoresinteiros e pode acontecer que em determinadafunção quadrática os valores de abscissa (valoresde x), em que a parábola intercepta o eixo dos x oua abscissa do ponto da parábola de maior ou menorordenada, não são inteiros.

4. Forma canônica

Page 15: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

15

Para iniciarmos um estudo analítico maisdetalhado da função quadrática, vamosprimeiramente transformá-la em outra forma maisconveniente, chamada forma canônica.

4. Forma canônica

2 22 2 2

2 2

22 2 22

2 2 2

( )4 4

44 4 2 4

b c b b b cf x ax bx c a x x a x x

a a a a a a

b b b c b b aca x x a x

a a a a a a

= + + = + + = + + − + =

− = + + − − = + −

Page 16: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

16

Representando b2 – 4ac por ∆, tambémchamado discriminante do trinômio do segundograu, temos a forma canônica.

4. Forma canônica

2

2( )2 4b

f x a xa a

∆ = + −

Page 17: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

17

Zeros ou raízesOs zeros ou raízes da função quadrática

f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x reais taisque f(x) = 0 e, portanto, as soluções da equação dosegundo grau.

5. Zeros

2 0ax bx c+ + =

Page 18: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

18

Utilizando a forma canônica, temos:

5. Zeros

22

2

2 2

2 2

0 02 4

02 4 2 4

2 2 2

bax bx c a x

a a

b bx x

a a a a

b bx x

a a a

∆ + + = ⇔ + − = ⇔

∆ ∆ ⇔ + − = ⇔ + = ⇔

∆ − ± ∆⇔ + = ± ⇔ =

Page 19: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

19

Número de raízesObserve que a existência de raízes reais

para a equação do segundo grau ax2 + bx + c ficacondicionada ao fato de ser real. Assim, temostrês casos a considerar:

5. Zeros

Page 20: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

20

1o) ∆ > 0, a equação apresentará duas raízesdistintas, que são:

2o) ∆ = 0, a equação apresentará duas raízesiguais, que são:

3o) ∆ < 0, sabendo que nesse caso , di-remos que a equação não apresenta raízes reais.

5. Zeros

1 2 e 2 2

b bx x

a a− + ∆ − − ∆= =

1 2 2b

x xa

−= =

∆ ∉ℝ

Page 21: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

21

Resumo

5. Zeros

2

0 ou 2 2

02

0 não existem raízes reais

b bx x

a ab

ax bx c xa

− + ∆ − − ∆∆ > ⇒ = =+ + ⇔ ∆ = ⇒ = −

∆ < ⇒

Page 22: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

22

Significado geométrico das raízesInterpretando geometricamente, dizemos

que os zeros da função quadrática são as abscissasdos pontos onde a parábola corta o eixo dos x.

ExemploConstruindo o gráfico da função y = x2 – 4x

+ 3 podemos notar que a parábola corta o eixo dosx nos pontos de abscissas 1 e 3, que são as raízesda equação x2 – 4x + 3 = 0.

5. Zeros

Page 23: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

23

5. Zeros

x

y

(2,-1)

(3,0)

(4,3)

(5,8)(-1,8)

(0,3)

(1,0)

Page 24: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Exercício 2: Determine o zero real das funçõesabaixo.

5. Zeros

2

2

2

) ( ) 2 2

) ( ) 2 1

1) ( ) 2

2

a f x x x

b f x x x

c f x x x

= − +

= − −

= − +

Page 25: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Exercício 3: Resolva o sistema abaixo.

5. Zeros

1 1 712

12

x y

x y

+ = ⋅ =

Page 26: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Exercício 4: Determinar os zeros reais dasfunções.

5. Zeros

4 2

4 2

4 2

4 2

) ( ) 5 4

) ( ) 5 36

) ( ) 3 3

) ( ) 3 12

a f x x x

b f x x x

c f x x x

d f x x x

= − +

= − + +

= − + −

= −

Page 27: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

27

Exercício 5: Determinar os valores de m para quea função quadrática f(x) = (m – 1)x2 + (2m + 3)x + mtenha dois zeros reais e distintos.

5. Zeros

Page 28: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

28

Exercício 6: Determinar os valores de m para quea equação do 2o grau f(x) = (m + 2)x2 + (3 – 2m)x +(m – 1) = 0 tenha raízes reais.

5. Zeros

Page 29: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

29

Exercício 7: Determinar os valores de m para quea função f(x) = mx2 + (m + 1)x + (m + 1) tenha umzero real duplo.

5. Zeros

Page 30: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

30

Exercício 8: Determinar os valores de m para quea equação f(x) = x2 + (3m + 2)x + (m2 + m + 2) = 0tenha duas raízes reais iguais.

5. Zeros

Page 31: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

31

Exercício 9: Determinar os valores de m para quea função f(x) = (m + 1)x2 + (2m + 3)x + (m - 1) nãotenha zeros reais.

5. Zeros

Page 32: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

32

Exercício 10: Determinar os valores de m para quea equação f(x) = mx2 + (2m - 1)x + (m - 2) = 0 nãotenha raízes reais.

5. Zeros

Page 33: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

33

Exercício 11: Mostre que na equação do 2o grauax2 + bx + c = 0, de raízes reais x1 e x2, temos paraa soma S das raízes S = x1 + x2 = -b/a e paraproduto P das raízes P = x1 . x2 = c/a.

5. Zeros

Page 34: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Exercício 12: Na equação do 2o grau 2x2 – 5x – 1 =0 de raízes x1 e x2, calcular:

5. Zeros

( ) ( )

( ) ( )

2 21 2 1 2

1 21 2

2 1

3 31 2

1 2

) d)

) e)

1 1) f)

a x x x x

x xb x x

x x

c x xx x

+ +

⋅ +

+ +

Page 35: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

35

Exercício 13: Mostre que uma equação do 2o graude raízes x1 e x2 é a equação x2 – Sx + P = 0, ondeS = x1 + x2 e P = x1 . x2.

5. Zeros

Page 36: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Exercício 14: Obter uma equação do 2o grau deraízes

5. Zeros

)2 e 3 d) 1 e 2

1 3) e e) 1 3 e 1 32 2

)0,4 e 5

a

b

c

− −

− + −

Page 37: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

37

Exercício 15: Determinar m na equaçãomx2 – 2(m - 1)x + m = 0 para que se tenhax1/x2 + x2/x1 = 4, onde x1 e x2 são as raízes daequação.

5. Zeros

Page 38: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

38

Dizemos que o número ym ∈ Im(f) é o valormínimo da função y = f(x) se, e somente se, ym ≤ ypara qualquer y ∈ Im(f). O número xm ∈ D(f) talque ym = f(xm) é chamado ponto de mínimo dafunção.

6. Máximo e mínimo

Page 39: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

39

6. Máximo e mínimo

x

y

V

ym

xm

Ponto de mínimo

Valor mínimo

Im(f

)

Page 40: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

40

Dizemos que o número yM ∈ Im(f) é o valormáximo da função y = f(x) se, e somente se, yM ≥ ypara qualquer y ∈ Im(f). O número xM ∈ D(f) talque yM = f(xM) é chamado ponto de máximo dafunção.

6. Máximo e mínimo

Page 41: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

41

6. Máximo e mínimo

x

y

VyM

xM

Ponto de máximo

Valor máximo

Im(f

)

Page 42: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

42

I. Se a < 0, a função quadrática y = ax2 + bx +c admite o valor máximo para .

II. Se a > 0, a função quadrática y = ax2 + bx+ c admite o valor mínimo para .

6. Máximo e mínimo

4Mya

∆= −2M

bx

a= −

4mya

∆= −2m

bx

a= −

Page 43: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

43

DemonstraçãoI. Consideremos a função quadrática na

forma canônica:

Sendo a < 0, o valor de y será tanto maiorquanto menor for o valor da diferença

6. Máximo e mínimo

2

22 4b

y a xa a

∆ = + −

2

22 4b

xa a

∆ + −

(I)

Page 44: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

44

Nessa diferença, é constante (porque

não depende de x; só depende de a, b, c) e

para todo x real. Então a diferença assume o menor

valor possível quando , ou seja, quando

6. Máximo e mínimo

24a∆−

2

02b

xa

+ =

2

02b

xa

+ ≥

2b

xa

= −

Page 45: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

45

Para , temos na expressão (I):

6. Máximo e mínimo

2b

xa

= −

22

2 202 2 4 4 4b b

y a aa a a a a

∆ ∆ ∆ = − + − = − = −

Page 46: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

46

DemonstraçãoII. Prova-se de modo análogo

6. Máximo e mínimo

Page 47: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

47

Aplicações

1o) Na função real f(x) = 4x2 – 4x – 8, temos:a = 4, b = -4, c = -8 e ∆ = 144.

6. Máximo e mínimo

Page 48: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

48

Como a = 4 > 0, a função admite um valormínimo:

6. Máximo e mínimo

144, isto é: 9

4 4 4em

4 1, isto é:

2 2 4 2

m m

m m

y ya

bx x

a

∆= − = − = −⋅

−= − = − =⋅

Page 49: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

49

Aplicações

2o) Na função real f(x) = -x2 + x + ¾, temos:a = -1, b = 1, c = ¾ e ∆ = 4.

6. Máximo e mínimo

Page 50: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

50

Como a = -1 < 0, a função admite um valormáximo:

6. Máximo e mínimo

4, isto é: 1

4 4 ( 1)

em

1 1, isto é:

2 2 ( 1) 2

M M

M M

y ya

bx x

a

∆= − = − =⋅ −

= − = − =⋅ −

Page 51: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

51

O ponto é chamado vértice da

parábola representativa da função quadrática.

7. Vértice da parábola

,2 4b

Va a

∆ − −

Page 52: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Exercício 16: Determinar o valor máximo ou o valormínimo, e o ponto de máximo ou ponto de mínimo dasfunções abaixo.

7. Vértice da parábola

2

2

) 3 12

) 4 8 4

a y x x

b y x x

= − +

= − +

Page 53: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Exercício 17: Determinar o valor de m na funçãoreal f(x) = 3x2 - 2x + m para que o valor mínimo seja5/3.

7. Vértice da parábola

Page 54: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Exercício 18: Determinar o valor de m na funçãoreal f(x) = -3x2 + 2(m – 1)x + (m + 1) para que o valormáximo seja 2.

7. Vértice da parábola

Page 55: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Exercício 19: Determinar o valor de m na funçãoreal f(x) = mx2 + (m - 1)x + (m + 2) para que o valormínimo seja 2.

7. Vértice da parábola

Page 56: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Exercício 20: Determinar o valor de m na funçãoreal f(x) = (m – 1)x2 + (m + 1)x - m para que o valormínimo seja 1.

7. Vértice da parábola

Page 57: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Exercício 21: Dentre todos os números reais desoma 8 determine aqueles cujo produto é máximo.

7. Vértice da parábola

Page 58: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Exercício 22: Dentre todos os números reais x e ztais que 2x + z = 8 determine aqueles cujo produtoé máximo.

7. Vértice da parábola

Page 59: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Exercício 23: Dentre todos os retângulos deperímetro 20 cm, determine o de área máxima.

7. Vértice da parábola

Page 60: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Exercício 24: Dentre todos os números de soma 6determine aqueles cuja soma dos quadrados émínima.

7. Vértice da parábola

Page 61: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Exercício 25: Determine o retângulo de áreamáxima localizado no primeiro quadrante, com doislados nos eixos cartesianos e um vértice na retay = -4x + 5.

7. Vértice da parábola

Page 62: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Exercício 26: É dado uma folha de cartolina comona figura abaixo. Cortando a folha na linhapontilhada resultará um retângulo. Determinar esseretângulo sabendo que a área é máxima.

7. Vértice da parábola

Page 63: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Exercício 27: Determine o retângulo de maior áreacontido num triângulo equilátero de lado 4 cm,estando a base do retângulo num lado do triângulo.

7. Vértice da parábola

Page 64: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Exercício 28: Num triângulo isósceles de base 6 cme altura 4 cm está inscrito um retângulo. Determineo retângulo de área máxima sabendo que a base doretângulo está sobre a base do triângulo.

7. Vértice da parábola

Page 65: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Exercício 29: Determinar os vértices das parábolasabaixo

7. Vértice da parábola

2

2

) 4

) 2 5 2

a y x

b y x x

= −

= − +

Page 66: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

66

Para determinarmos a imagem da funçãoquadrática, tomemos inicialmente a função na formacanônica:

ou seja,

8. Imagem

2

2( )2 4b

f x a xa a

∆ = + −

2

2 4b

a xa a

∆ + −

Page 67: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

67

Observemos que para qualquer

x ∈ ; então temos que considerar dois casos:

8. Imagem

2

02b

xa

+ ≥

Page 68: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

68

1o caso:

a > 0 ⇒ , e, portanto:

8. Imagem

2

02b

a xa

+ ≥

2

2 4 4b

y a xa a a

∆ ∆ = + − ≥ −

Page 69: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

69

2o caso:

a < 0 ⇒ , e, portanto:

8. Imagem

2

02b

a xa

+ ≤

2

2 4 4b

y a xa a a

∆ ∆ = + − ≤ −

Page 70: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

70

Resumindo:

8. Imagem

0 , 4

0 , 4

a y xa

a y xa

∆> ⇒ ≥ − ∀ ∈

∆< ⇒ ≤ − ∀ ∈

Page 71: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

71

ou ainda:

8. Imagem

0 Im(f) /4

0 Im(f) /4

a y ya

a y ya

∆ > ⇒ = ∈ ≥ −

∆ < ⇒ = ∈ ≤ −

Page 72: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

72

Exemplos1o) Obter a imagem da função f de em de-

finida por

8. Imagem

ℝ ℝ

2( ) 2 8 6f x x x= − +

Page 73: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

73

Na função , temos:

a = 2, b = -8 e c = 6

logo:

∆ = b2 – 4ac = (-8)2 – 4 . 2 . 6 = 16

e portanto:

Como a = 2 > 0, temos:

8. Imagem

2( ) 2 8 6f x x x= − +

162

4 4 2a∆− = − = −

{ }Im( ) / 2f y y= ∈ ≥ −ℝ

Page 74: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

74

8. Imagem

-4

-2

0

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4 5 6 x

y

-2

Page 75: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

75

Exemplos1o) Obter a imagem da função f de em de-

finida por

8. Imagem

ℝ ℝ

2 5( ) 2

3 3x

f x x= − + −

Page 76: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

76

Na função , temos:

a = -1/3, b = 2 e c = -5/3

logo:

∆ = b2 – 4ac = 22 – 4 . (-1/3) . (-5/3) = 16/9

e portanto:

Como a = -1/3 < 0, temos:

8. Imagem

2 5( ) 2

3 3x

f x x= − + −

( )16 49

14 34 3a

∆− = − =−⋅

4Im( ) /

3f y y = ∈ ≤

Page 77: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

77

8. Imagem

-3

-2

-1

0

1

2

-1 0 1 2 3 4 5 6 x

y

4/3

Page 78: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Exercício 30: Determinar a imagem das funçõesdefinidas em ℜ.

8. Imagem

2

2

) 4

1) 1

2

a y x

b y x x

= − +

= + +

Page 79: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Exercício 31: Determinar m na funçãof(x) = 3x2 – 4x + m definida em ℜ para que aimagem seja Im = {y ∈ ℜ / y ≥ 2 }.

8. Imagem

Page 80: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Exercício 32: Determinar m na funçãof(x) = -x2/3 + mx – 1/2 definida em ℜ para que aimagem seja Im = {y ∈ ℜ / y ≤ 7 }.

8. Imagem

Page 81: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

81

O gráfico da função quadrática admite um

eixo de simetria perpendicular ao eixo dos x e que

passa pelo vértice.

Os pontos da reta perpendicular ao eixo dos

x e que passa pelo vértice da parábola obedecem à

equação , pois todos os pontos dessa reta

têm abscissa .

9. Eixo de simetria

2b

xa

= −

2ba

Page 82: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

82

9. Eixo de simetria

x

y

v

BMA

2ba

2b

ra

− −2b

ra

− +

Page 83: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

83

Para fazermos o esboço do gráfico da funçãoquadrática f(x) = ax2 + bx + c, buscaremos, daquipara a frente, informações preliminares que são:

1o) O gráfico é uma parábola, cujo eixo de

simetria é a reta perpendicular ao eixo dos

x.

2o) Se a > 0, a parábola tem a concavidadevoltada para cima. Se a < 0, a parábola tem aconcavidade voltada para baixo.

10. Informações que auxiliama construção do gráfico

2b

xa

= −

Page 84: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

84

3o) Zeros da função.

Se ∆ > 0, a parábola intercepta o eixo dos xem dois pontos distintos.

Se ∆ = 0, a parábola tangencia o eixo dos x noponto.

10. Informações que auxiliama construção do gráfico

1 2, 0 , 02 2

b bP e P

a a

− − ∆ − + ∆

1 , 02b

Pa

Page 85: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

85

Se ∆ < 0, a parábola não tem pontos no eixodos x.

4o) O vértice da parábola é o ponto de

coordenadas , que é máximo se a < 0 ou

é mínimo se a > 0.

Seguem os tipos de gráficos que podemos

obter:

10. Informações que auxiliama construção do gráfico

,2 4b

Va a

∆ − −

Page 86: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

86

10. Informações que auxiliama construção do gráfico

xP1 P2

y

V

a >>>> 0e

∆∆∆∆ >>>> 0

x

y

V

a >>>> 0e

∆∆∆∆ <<<< 0y

xV

a >>>> 0e

∆∆∆∆ ==== 0

x

P1 P2

yV

a <<<< 0e

∆∆∆∆ >>>> 0

x

y

V

a <<<< 0e

∆∆∆∆ ==== 0

x

y

V

a <<<< 0e

∆∆∆∆ <<<< 0

Page 87: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Exercício 33: Fazer o esboço do gráficoy = x2 – 4x + 3.

10. Informações que auxiliama construção do gráfico

Page 88: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Exercício 34: Fazer o esboço do gráficoy = -x2 + 4x - 4.

10. Informações que auxiliama construção do gráfico

Page 89: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

Exercício 35: Fazer o esboço do gráficoy = 1/2x2 + x + 1.

10. Informações que auxiliama construção do gráfico

Page 90: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

90

Consideremos a função quadrática

f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)e vamos resolver o problema: “para que valores dex ∈ temos:

a) f(x) > 0 b) f(x) < 0 c) f(x) = 0?”

Na determinação do sinal da funçãoquadrática, devemos começar pelo cálculo dodiscriminante ∆, quando três casos distintos podemaparecer:

a) ∆ < 0 b) ∆ = 0 c) ∆ > 0

11. Sinal da função quadrática

Page 91: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

91

Vejamos como prosseguir em cada caso.

1o caso: ∆ < 0Se ∆ < 0, então -∆ > 0.

Da forma canônica, temos:

11. Sinal da função quadrática

não negativo positivo

22

positivo

( ) ( ) 0, 2 4b

a f x a x a f x xa a

∆ ⋅ = + + − ⇒ ⋅ > ∀ ∈

����� �����

Page 92: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

92

Isso significa que a função f(x) = ax2 + bx +c, quando ∆ < 0, tem o sinal de a para todo x ∈ , oumelhor:

11. Sinal da função quadrática

0 ( ) 0,

0 ( ) 0,

a f x x

a f x x

> ⇒ > ∀ ∈< ⇒ < ∀ ∈

Page 93: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

93

A representação gráfica da funçãof(x) = ax2 + bx + c, quando ∆ < 0, vem confirmar adedução algébrica.

11. Sinal da função quadrática

x

f(x) >>>> 0

xf(x) < 0

Page 94: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

94

Exemplos1o) apresenta

e, como a = 1 > 0, concluímos que:

11. Sinal da função quadrática

( ) 0, f x x> ∀ ∈ℝ

2( 2) 4 1 2 4 0∆ = − − ⋅ ⋅ = − <

2( ) 2 2f x x x= − +

Page 95: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

95

Exemplos2o) apresenta

e, como a = -1 < 0, concluímos que:

11. Sinal da função quadrática

( ) 0, f x x< ∀ ∈ℝ

21 4 ( 1) ( 1) 3 0∆ = − ⋅ − ⋅ − = − <

2( ) 1f x x x= − + −

Page 96: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

96

2o caso: ∆ = 0Da forma canônica, temos:

então .

11. Sinal da função quadrática

não negativo zero

2 22 2

positivo

0( ) a

2 4 2b b

a f x a x xa a a

⋅ = + + − ⇒ + ����� �����

( ) 0, a f x x⋅ ≥ ∀ ∈ℝ

Page 97: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

97

Isso significa que a função ,

quando ∆ = 0, tem o sinal de a para todo ,

sendo zero duplo de f(x), ou melhor:

11. Sinal da função quadrática

{ }1x x∈ −ℝ

1 2b

xa

= −

2( )f x ax bx c= + +

0 ( ) 0,

0 ( ) 0,

a f x x

a f x x

> ⇒ ≥ ∀ ∈< ⇒ ≤ ∀ ∈

Page 98: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

98

A representação gráfica da funçãof(x) = ax2 + bx + c, quando ∆ = 0, vem confirmar adedução algébrica.

11. Sinal da função quadrática

x

f(x) >>>> 0 f(x) >>>> 0x1 ==== x2

xf(x) < 0 f(x) < 0x1 ==== x2

Page 99: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

99

Exemplos1o) apresenta

então f(x) tem um zero duplo para

e, como a = 1 > 0, concluímos:

11. Sinal da função quadrática

{ }( ) 0, 1

( ) 0, se 1

f x x

f x x

> ∀ ∈ −

= =

2( 2) 4 1 1 0∆ = − − ⋅ ⋅ =

2( ) 2 1f x x x= − +

1 12b

xa

= − =

Page 100: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

100

Exemplos2o) apresenta

então f(x) tem um zero duplo para

e, como a = -2 < 0, concluímos:

11. Sinal da função quadrática

{ }( ) 0, 2

( ) 0, se 2

f x x

f x x

< ∀ ∈ −

= =

28 4 ( 2) ( 8) 0∆ = − ⋅ − ⋅ − =

2( ) 2 8 8f x x x= − + −

1 22b

xa

= − =

Page 101: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

101

3o caso: ∆ > 0Da forma canônica, temos:

Lembremos que a fórmula que dá as raízes deuma equação do segundo grau é:

11. Sinal da função quadrática

( )2

2

2 2

( ) a2 2 2 2 2 2

b b ba f x a x x x

a a a a a a

∆ ∆ ∆⋅ = + − ⇒ + + ⋅ + −

1

2

2 isto é

2

2

bx

b axa b

xa

− − ∆=− ± ∆ = − + ∆ =

Page 102: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

102

fica evidente que a forma canônica se transformaem:

O sinal de a . f(x) depende dos sinais dosfatores (x – x1) e (x – x2). Admitindo x1 < x2, temosque:

11. Sinal da função quadrática

2 2

1 2( ) ( ) ( )

2 2

b ba f x a x x a x x x x

a a

− − ∆ − + ∆⋅ = − ⋅ − = ⋅ − ⋅ −

Page 103: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

103

I) se x < x1, temos:

11. Sinal da função quadrática

x x 1 x2

1

2

1 2 1 2

2

0

e ( ) ( ) ( ) 0

0

x x

x x x a f x a x x x x

x x

− <

< < ⇒ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅ − >

− <

��� �����

+ - -

Page 104: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

104

II) se x1 < x < x2, temos:

11. Sinal da função quadrática

x1 x x 2

1

2

2 1 2

2

1

0

e ( ) ( ) ( ) 0

0

x x

x x x a f x a x x x x

x x

− >

< < ⇒ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅ −

− <

<

��� �����

+ -+

Page 105: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

105

III) se x > x2, temos:

11. Sinal da função quadrática

x1 x2 x

1

2

1 1 2

2

2

0

e ( ) ( ) ( ) 0

0

x x

x x x a f x a x x x x

x x

− >

> > ⇒ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅ − >

− >

��� �����

+ + +

Page 106: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

106

Isso significa que:

1) O sinal de f(x) é o sinal de a para todo x,tal que x < x1, ou x > x2;

2) O sinal de f(x) é o sinal de -a para todo x,tal que x1 < x < x2.

Em resumo:

11. Sinal da função quadrática

x ==== x1 x ==== x2x1 <<<< x <<<< x2x <<<< x1 x >>>> x2

0 0f(x) tem osinal de a

f(x) tem osinal de a

f(x) tem osinal de -a

Page 107: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

107

O gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c,quando ∆ > 0, vem confirmar a dedução algébrica.

11. Sinal da função quadrática

x

f(x) < 0 f(x) < 0

x1 x2f(x) >>>> 0

x

f(x) >>>> 0 f(x) >>>> 0

x1f(x) <<<< 0 x2

Page 108: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

108

Exemplos1o) apresenta

então f(x) tem dois zeros reais e distintos:

11. Sinal da função quadrática

2( 1) 4 1 ( 6) 25 0∆ = − − ⋅ ⋅ − = >

2( ) 6f x x x= − −

1 2

1 5 1 52 e 3

2 2 2 2b b

x xa a

− − ∆ − − + ∆ += = = − = = =

Page 109: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

109

e, como a = 1 > 0, concluímos que:

11. Sinal da função quadrática

( ) 0, para 2 ou 3

( ) 0, para 2 ou 3

( ) 0, para 2 3

f x x x

f x x x

f x x

> < − > = = − = < − < <

Page 110: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

110

Exemplos2o) apresenta

logo f(x) tem dois zeros reais e distintos:

11. Sinal da função quadrática

23 4 ( 2) 2 25 0∆ = − ⋅ − ⋅ = >

2( ) 2 3 2f x x x= − + +

1 2

3 5 1 3 5 e 2

2 4 2 2 4b b

x xa a

− − ∆ − + − + ∆ − −= = = − = = =− −

Page 111: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

111

e, como a = -2 < 0, concluímos que:

11. Sinal da função quadrática

1( ) 0, para ou 2

21

( ) 0, para ou 221

( ) 0, para 22

f x x x

f x x x

f x x

< < − > = = − = > − < <

Page 112: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

112

Se a ≠ 0, as inequações ax2 + bx + c > 0,ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≥ 0 e ax2 + bx + c ≤ 0são denominadas inequações do 2o grau.

Resolver, por exemplo, a inequação

ax2 + bx + c > 0é responder à pergunta: “existe x real tal quef(x) = ax2 + bx + c seja positiva?

A resposta a essa pergunta se encontra noestudo do sinal de f(x), que pode, inclusive, serfeito através do gráfico da função. Assim, no nossoexemplo, dependendo de a e de ∆, podemos ter umadas seis respostas seguintes:

12. Inequação do 2º grau

Page 113: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

113

12. Inequação do 2º grau

xx1 x2

a >>>> 0e

∆∆∆∆ >>>> 0

{ }1 2/ ou S x x x x x= ∈ < >ℝ

x

a >>>> 0e

∆∆∆∆ ==== 0

x1 ==== x2

{ }1/S x x x= ∈ ≠ℝ

x

a >>>> 0e

∆∆∆∆ <<<< 0

S = ℝ

x

x1 x2

a <<<< 0e

∆∆∆∆ >>>> 0

{ }1 2/S x x x x= ∈ < <ℝ

x

a <<<< 0e

∆∆∆∆ ==== 0

x1 ==== x2

S = ∅

x

a <<<< 0e

∆∆∆∆ <<<< 0

S = ∅

Page 114: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

114

Exercício 36: Resolver a inequação x2 – 2x + 2 > 0.

12. Inequação do 2º grau

Page 115: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

115

Exercício 37: Resolver a inequação x2 – 2x + 1 ≤ 0.

12. Inequação do 2º grau

Page 116: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

116

Exercício 38: Resolver a inequação -2x2 + 3x + 2 ≥0.

12. Inequação do 2º grau

Page 117: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

117

Exercício 39: Resolver em ℜ as inequações

12. Inequação do 2º grau

( ) ( )2 2

3 2

) 6 2 1 0

)2 6 3 0

a x x x x

b x x x

− − ⋅ − + − >

− + − ≤

Page 118: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

118

Exercício 40: É dada a função

Determinar:

a) os pontos de intersecção do gráfico da funçãocom o eixo das abscissas.

b) o conjunto dos valores de x para os quais y ≤ 0.

12. Inequação do 2º grau

( ) ( )2 22 9 5 2 2y x x x x= − − ⋅ − +

Page 119: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

119

Exercício 41: Resolver em ℜ as inequações

12. Inequação do 2º grau

2

2

2

2

4 5) 0

2 3 2

3 16) 1

7 10

x xa y

x x

x xb y

x x

+ −= >− −+ −= ≥

− + −

Page 120: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

120

Exercício 42: Resolver as inequações

12. Inequação do 2º grau

2

2 2 2

)4 12 4

)4 5 4 3 6 6 3 4

a x x

b x x x x x x

< − ≤

− + < − + < + −

Page 121: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

121

Exercício 43: Resolver os sistemas de inequações

12. Inequação do 2º grau

2

2

2

2

2 0)

3 0

2 1 0)

4 8 3 0

x xa

x x

x xb

x x

+ − >

− <

− − + ≥

− + ≤

Page 122: Função do 2 Grau - UNEMAT – Campus Sinop | Site da ...sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Função do 2o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO

122

Exercício 44: Resolver em ℜ as inequações

12. Inequação do 2º grau

4 2

4 2

) 8 9 0

)2 3 4 0

a x x

b x x

+ − <

− + <