2011/2012 ESCOLA SECUNDRIA COM 3 CICLO DO ENSINO BSICO DE PINHAL NOVO11. ANO DE ESCOLARIDADE / 1 PERODO

MATEMTIICA MATEMT CAFICHA DE TRABALHO N. 1 PROGRAMAO LINEAR

A preencher pelo aluno

NOME ______________________________________________________ N. _______ TURMA _________ DATA ____/____/____ Os primeiros conceitos da programao linear foram desenvolvidos entre 1947 e 1949, depois da II Guerra Mundial, por George DANTZIG para serem aplicados a programas militares, desde a rea da logstica at estratgia. Foi tambm DANTZIG o primeiro a reconhecer que um programa de planeamento poderia ser expresso por um sistema de inequaes lineares, assim como foi o primeiro a apresentar, na forma de uma expresso matemtica explcita, um critrio de seleo da melhor soluo, que hoje chamamos funo objetivo. Todo esse trabalho resultou num algoritmo chamado simplex que resolve de uma forma eficiente estes problemas. A programao linear tem sido aplicada por diversas entidades e empresas a inmeros problemas. A programao linear uma "ferramenta" matemtica que permite encontrar a soluo tima para um certo tipo de problemas. A palavra programao, pressupe o planeamento de atividades ou tarefas. O adjetivo linear refere-se legitimidade da traduo das condies ou relaes entre as variveis do problema em inequaes ou equaes lineares. Pode definir-se programao linear como um conjunto de operaes matemticas que so usadas para estudar a distribuio de recursos limitados referentes a tarefas que exigem a sua utilizao simultnea, de uma forma tima para um dado objetivo. Em qualquer problema de otimizao pode representar-se o modelo matemtico como uma zona escura cuja entrada (Input) constituda pelas variveis do problema que se quer otimizar, pelas relaes que descrevem a dependncia das variveis na utilizao dos recursos e pelos recursos disponveis. A sada (output) a soluo tima (mxima ou mnima) da funo objetivo. Ao conceber um modelo linear para um problema devemos considerar as seguintes fases: Verificao, no contexto do problema, da legitimidade do uso de inequaes ou equaes lineares. Identificao das variveis de deciso. Identificao da funo objetivo. Identificao das restries. Formulao matemtica do problema. Depois de se ter obtido a formulao matemtica, ento possvel resolver o problema de otimizao. No mtodo de programao linear adequado o recurso metodologia grfica e metodologia algbrica. Na maior parte dos problemas, imprescindvel o recurso ao computador, tal a diversidade de variveis e a quantidade de clculos envolvidos.

Exerccios:1.Um navio mercante tem de transportar, em certa viagem, dois tipos de carga: espuma plstica e minrio. Cada tonelada de espuma paga 60 de transporte e cada tonelada de minrio paga 20. O navio tem 1500 m3 de poro onde pode carregar no mximo 1000 toneladas. As condies nuticas e de estabilidade do navio exigem que no fundo do poro haja pelo menos 3 toneladas de minrio. Ora cada tonelada de espuma ocupa 3 m3 e cada tonelada de minrio ocupa apenas meio metro cbico. Tendo em conta todas estas condies, quantas toneladas deve transportar de cada material para que a viagem d o maior lucro possvel empresa?

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SUGESTO DE RESOLUO:Consideremos a seguinte tabela: N. de toneladas Espuma Minrio x y Volume em m3 3x 0,5y Preo por transporte em euros 60x 20y

A forma linear a maximizar o preo total do transporte em euros: 60x + 20 y As restries podem definir-se: Transporta os dois materiais Leva, pelo menos, 300 T de minrio Leva, no mximo 1000 T O poro tem 1500 m3 de volume

x 0y 0 y 300 x + y 1000 y x + 1000 3x + 0 ,5 y 1500 y 6 x + 3000

A regio plana definida pela conjuno das restries pode observar-se no grfico seguinte:

Para identificarmos o ponto que corresponde ao maior lucro: - representamos a reta de nvel zero da forma linear 60x + 20 y , sendo que

60x + 20 y = 0 y = 3 x .- procuramos a reta de maior nvel desta forma (a paralela mais direita) que toca, pelo menos num ponto o polgono de solues.

Assim, a soluo tima corresponde ao ponto de interseo das rectas y = 6 x + 3000 e

y = x + 1000 . 2/4

Logo, a soluo tima ser (400,600) pois,

x = 400 6 x + y = 3000 x + y = 1000 y = 600

O navio deve ento transportar 400 toneladas de espuma e 600 toneladas de minrio.

2.

Um comerciante pretende obter uma quantidade no superior a 5 toneladas de um certo produto, que pode ser encomendado a duas empresas, A e B. A empresa A garante um lucro de 2000 euros por tonelada mas no pode fornecer mais de 3 toneladas. Por sua vez, a empresa B garante um lucro de 1500 euros por tonelada e pode fornecer qualquer quantidade. Como deve ser feita a encomenda, de modo que o comerciante possa obter um lucro mximo?

SUGESTO DE RESOLUO :A empresa A fornece x toneladas tal que x < 3 . A empresa B fornece y toneladas. As duas empresas fornecem

x+y

toneladas

de modo que

x + y < 5 y < x + 5 .O lucro L, dado por L = 2000x + 1500y .

Assim, y 0

0 x 3 x + y 5 4 x+L 3

L = 2000x + 1500y y =

Ento, o comerciante dever encomendar 2 toneladas a empresa B e 3 toneladas empresa A.

3.

Durante o ms de Julho, para juntar algum dinheiro, a Joana decidiu fazer colares de missangas para vender. Num ms, no consegue fazer mais do que 5 dzias de colares. A loja da tia Joelma paga-lhe cada dzia de colares a 40 mas no lhe compra mais do que trs dzias; a loja da tia Joaquina, paga-lhe a dzia de colares por apenas 30, mas compra-lhe tantas dzias quantas ela esteja interessada em vender. Pretendemos investigar como deve a Joana distribuir os colares pelas duas lojas de modo a obter o lucro mximo.

SUGESTO DE RESOLUO :Seja x o nmero de dzias de colares que a tia Joelma compra e y o nmero de dzias compradas pela tia Joaquina. De acordo com a situao descrita, temos as seguintes condies:

0 x 3 y0 x + y 5 O grfico que corresponde conjuno destas trs condies o trapzio sombreado na figura ao lado.

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As solues possveis correspondem aos pontos do trapzio. Designando por z o dinheiro realizado pela Joana na venda dos colares, ser:

z = 40x + 30 yO que a Joana pretende maximizar z, ou seja, determinar os valores de x e y para os quais z toma o maior valor. A melhor soluo consiste em vender trs dzias de colares tia Joelma e duas dzias tia Joaquina.

4.

Cada cpsula de um certo produto diettico A contm 1 unidade de carbonatos, 3 unidades de vitaminas e 3 unidades de protenas e custa 2,5. Cada cpsula de outro produto B contm, respetivamente, 3, 4 e 1 unidades dos referidos componentes e custa 1,25. Uma clnica de emagrecimento tem de garantir aos clientes internados um mnimo vital dirio de 8 unidades de carbonatos, 19 de vitaminas e 7 de protenas. Pretendemos determinar o modo mais econmico de garantir esse mnimo, utilizando os dois produtos A e B.

SUGESTO DE RESOLUO :Organizando a informao fornecida:

Tipo A B

N. de cpsulas x y

Carbonatos 1 3

Vitaminas 3 4

Protenas 3 1

Preo /cpsula 2,5 1,25

A funo objectivo z = 2 , 5x + 1 ,25y , despesa diria/cliente que se pretende minimizar. As restries ao problema so: Carbonatos Vitaminas Protenas Consome A e B

1x + 3 y 8 y

x 8 + 3 3 3 19 x+ 4 4

3x + 4 y 19 y

3x + 1y 7 y 3x + 7 x 0y 0

A representao grfica correspondente ser: A reta de nvel zero : 2 , 5x + 1 ,25y = 0 y = 2 x .

A soluo tima o ponto de interseo das rectas:

y = 3x + 7 y = 3 x + 19 ou seja o ponto (1,4) . 4 4 Assim, z = 2 , 5 1 + 1 ,25 4 z = 7 ,5 .

A despesa mnima de 7,5 que corresponde a uma cpsula A e quatro cpsulas B por dia.

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