ficha de trabalho vi

8/14/2019 Ficha de Trabalho VI

http://slidepdf.com/reader/full/ficha-de-trabalho-vi 1/7

E E E sss c c c ooo l l l aaa SSSeee c c c uuu nnn d d d ááá r r r i i i aaa c c c / / / 333 ... º º º C C C i i i c c c l l l ooo RRRaaa i i i nnn hhh aaa DDD... LLLeee ooo nnn ooo r r r

MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA AA 1111..ºº AANNOO Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II

Ficha de Trabalho 6

Exercício 1

a) Admitindo que o segmento de recta que contémos pontos A e C se situa sobre a recta y=x eatendendo ao facto de [CA] ser um raio, tem-seque

Atendendo à posição de A, conclui-se que as suas coordenadas são dadas por

.

E o vector será dado por

Considerando T(x;y) ponto da recta t , tem-se que

E como a recta t é tangente à circunferência no ponto A, surge aplicando o produtoescalar

Procurando, agora, definir a circunferência presente, observe-se que um diâmetro seuserá o segmento de recta [BD] com B e D de coordenadas (0;2) e (4;2),respectivamente. Então, considerando P(x;y) um ponto qualquer da circunferência

Pelo que virá

Ou seja, uma condição da circunferência será dada por Como a região colorida encontra-se acima do eixo Ox, à direita da recta x=2 , fora da

circunferência a abaixo das rectas y=x e , esta será definida por

t



b) Procurando definir a circunferência presente,observe-se que um diâmetro seu será o segmentode recta [BD] com B e D de coordenadas (0;0) e(0;4), respectivamente. Então, considerando P(x;y)um ponto qualquer da circunferência

Pelo que virá

Ou seja, uma condição da circunferência será dada por

Determine-se, agora, uma condição da mediatriz do segmento [AC]. Comece-se por

encontrar as coodenadas do vector . Tem-se que Por outro lado, torna-se necessário determinar as coordenadas do ponto médio M dosegmento de recta [AC]. Observando que as coordenadas de A e C são e ,respectivamente, tem-se que

E considerando Q(x;y) pertencente a essa mediatriz tem-se

Tem-se que

Pelo que uma condição da mediatriz do segmento [AC] será .Como a região colorida é definida pela porção do círculo abaixo da mediatriz dosegmento de recta [AC], tem-se que esta será dada por:

c) Determine-se, em primeiro lugar, a equação da

circunferência de diâmetro [AB]. Tem-se,considerando P(x;y) ponto qualquer dacircunferência.

.Tem-se que

=0

Pelo que uma condição desta circunferência será



Determne-se, agora, uma condição da mediatriz do segmento [AB].Comece-se por encontrar as coodenadas do vector . Tem-se que

Por outro lado, torna-se necessário determinar as coordenadas do ponto médio M do

segmento de recta [AB]. Observando que as coordenadas de A e B são e (3;3),

respectivamente, tem-se que

E considerando Q(x;y) pertencente a essa mediatriz tem-se

Tem-se que

Pelo que uma condição da mediatriz do segmento [AC] será

Definindo uma condição da recta AB, tem-se a partir de (que será um seu vectordirector) que

E como a condição da recta será da forma y=mx+b e B pertence à recta, tem-se que

Pelo que uma condição da referida recta será

Constatando que a região colorida é resultado da conjunção de duas regiões separadaspela recta , tem-se que a sua condição é dada por:



d) Determine-se, em primeiro lugar, a equação dacircunferência de diâmetro [TA]. Tem-se,considerando P(x;y) ponto qualquer dacircunferência.

.Tem-se que

Pelo que uma condição desta circunferência será

Por outro lado, tem-se que o vector será dado por

Considerando R(x;y) ponto da recta r , tem-se que

E como a recta r é tangente à circunferência no ponto T, surge aplicando o produtoescalar

Como a região colorida encontra-se abaixo do eixo Ox e da recta y=x+1 e é exterior àcircunferência, esta será definida por

Exercício 2

a) Determina, com aproximação às décimas, a amplitude do ângulo OAD .Observe-se que a partir dos dados do exercício se conclui que as coordenadas dospontos A e D são (2;6;4) e (2;6;0), respectivamente.

Constata-se que o ângulo em OÂD é formado pelos vectores e , pelo que se terá

Determinando as coordenadas dos dois vectores, tem-se

Calculando as respectivas normas, obtém-se

Procedendo ao cálculo do produto interno dos dois vectores

r



Então,

E

b) Escreve uma equação da superfície esférica de diâmetro [BD] .Observe-se que as coordenadas dos pontos B e D são (-2;6;4) e (2;6;0),respectivamente. Considere-se P(x;y;z) qualquer da superfície esférica. Tem-se que

E

Pelo que uma equação da superfície esférica pretendida será dada por

c) Qual a posição do ponto O em relação à superfície esférica definida anteriormente?Substituindo as coordenadas de O na condição definida anteriormente obtém-se

Pelo que o ponto O pertence ao exterior da superfície esférica.

Exercício 3

a) Pretende-se escrever uma equação vectorial da recta s .

Como a inclinação da referida recta é igual a 120° , tem-se que

E daqui sai que um vector director de s é dado por

.

Como s contém o ponto (2;3), tem-se que a equação vectorial pretendida é dada por

b) Determine, com aproximação ao grau, a amplitude do ângulo formado pelas rectas r es .

Sabendo que um vector director de r é dado por (3;2) e que um vector director de s será

, tem-se que:



Logo, o ângulo das rectas será dado por:

Exercício 4

a) Mostra que o ponto B tem de coordenadas (3, 0, 1) e o ponto C tem de coordenadas(4, 2, 0) .Quer-se mostrar que o ponto B tem de coordenadas (3;0;1).Como B pertence à recta BC, tem-se que B satisfaz a equação da mesma recta. Assimsendo, ocorre que

(xB, yB, zB) = (5, 4, -1) + k(1, 2, -1)para algum k k∈ . Por outro lado, uma vez que B pertence ao plano xOz, tem-se que o valor da suaordenada é zero. Ocorre, então,

(xB, 0, zB) = (5, 4, -1) + k(1, 2, -1)E pela soma e igualdade de pontos no espaço

0=4+2k⇔ 2k=-4⇔ k=-2Tem-se então,

(xB, 0, zB) = (5, 4, -1) -2(1, 2, -1)Novamente pela soma e igualdade de pontos no espaço

xB = 5 -2(1)=5-2=3zB= -1 -2( -1)=-1+2=1

Assim sendo, tem-se que o ponto B tem de coordenadas (3, 0, 1).

Quer-se mostrar que o ponto C tem de coordenadas (4;2;0).Como C pertence à recta BC, tem-se que C satisfaz a equação da mesma recta. Assimsendo, ocorre que

(xC, yC, zC) = (5, 4, -1) + k(1, 2, -1)para algum k k∈ . Por outro lado, uma vez que B pertence ao plano xOz, tem-se que o valor da suaordenada é zero. Ocorre, então,

(xC, yC;0) = (5, 4, -1) + k(1, 2, -1)E pela soma e igualdade de pontos no espaço

0=-1-k⇔ k=-1

Tem-se então,(xC, 0, zC) = (5, 4, -1) -1(1, 2, -1)



Novamente pela soma e igualdade de pontos no espaçoXC = 5 -1(1)=5-1=4yC= 4 -1( 2)=4-2=2

Assim sendo, tem-se que o ponto C tem de coordenadas (4, 2, 0).

b) Mostra que o triângulo [ABC] é rectângulo em C .Observando que o ângulo em C é formado pelos vectores e . Tem-se que [ABC]é rectângulo em C se e só se , ou seja .Determinando as coordenadas de cada um dos vectores, tem-se que

Procedendo ao cálculo de

Logo, à luz do que foi supramencionado, [ABC] é rectângulo em C.

c) Observando que a referida intersecção terá como centro a projecção de A no planoxOy, tem-se que esse ponto (designe-se o mesmo por A’) terá como coordenadas(0;5;0). Mais, como o raio da circunferência é igual a 3, tem-se que o ponto (0;8;0) lhepertence. Como a circunferência resulta da intersecção da superfície esférica com oplano xOy, tem-se que (0;8;0) pertence à superfície esférica.Calculando a respectiva distância a A, tem-se que tal será igual a

E uma equação da superfície esférica será

ficha de trabalho vi

Documents