Universidade Federal do Pará

Faculdade de Engenharia Química

Mecânica dos Fluidos

Titular - Professor João Nazareno

Assistentes – Clauderino Batista

Edilson Magalhães

Capítulo 2

Equações Básicas na Forma Integral para um Volume de Controle

Tópicos

Leis Físicas Básicas da Mecânica dos Fluidos.

Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume de Controle.

Conservação da Massa.

Conservação da Quantidade de Movimento Linear.

Técnicas Básicas de Análise de Escoamento

Há três modos básicos de atacar um problema de escoamento de um fluido:1 – VOLUME DE CONTROLE ou ANÁLISE INTEGRAL2 – SISTEMA INFINITESIMAL ou ANÁLISE DIFERENCIAL3 – ESTUDO EXPERIMENTAL ou ANÁLISE DIMENSIONAL

Leis Físicas Básicas da Mecânica dos Fluidos.

A Segunda Lei de Newton

Sistema

dPF

dt

Q W dE

dQ dW dE

dt dt dt

A 1 ° Lei da Termodinâmica

O Princípio da Quantidade de Movimento Angular

Sistema

d HT

dt

A 2 ° Lei da Termodinâmica

.1ds Q

T

.

Sistema

dS Q

dt T

0Sistema

dm

dt

Conservação da Massa

Leis Físicas Básicas da Mecânica dos Fluidos.

Em cada ponto

Análise do Movimento:

Região finita (Volume de Controle)

Importância de se fazer uma análise de Volume de Controle:

Falta de ferramentas matemáticas e a incapacidade dos computadores(Análise

Diferencial)

Falta de tempo, dinheiro, e generalidades fazem da experimentação também

limitada.

Na análise integral e diferencial, essas cinco relações são modeladasmatematicamente e solucionadas por métodos computacionais. Em um estudoexperimental, o próprio fluido desempenha essa tarefa sem uso de qualquermatemática. Em outras palavras, acredita-se que essas leis sejam fundamentais paraa Física e não se conhece escoamento de fluido que as infrinja.

SISTEMA: é uma quantidade fixa e identificável.

VOLUME DE CONTROLE: é uma região finita, cuidadosamente escolhida porum analista, com contornos abertos pelos quais se permite que massa, quantidade demovimento e energia se cruzem. O analista faz um balanço ou equilíbrio entre ofluido.

SISTEMA INFINITESIMAL: Quando as leis de conservação são escritas para umsistema infinitesimal de um fluido em movimento, elas se tornam as equaçõesdiferenciais básicas do escoamento do fluido. Para aplicá-las a um problemaespecífico, deve-se ‘integrar’ essas equações matematicamente sujeitas às condiçõesde contorno do problema particular.

Exemplos de Volumes de Controles

Vazão Volumétrica e Vazão em Massa

Vetor unitário nornal

Vazão mássica

Fluxo de saída (Vetor positivo)

V. n

Fluxo de entrada (Vetor negativo)

Extensiva

Propriedades Extensiva : são as propriedades de um sistema que dependem de seu

tamanho, ou da quantidade de material que ele contém. Podem ser divididas. Ex:

massa, volume, entropia, energia, resistência elétrica, textura, calor.

Propriedades Intensiva: são as propriedades de um sistema que não dependem de

seu tamanho, ou da quantidade de material que ele contém. Ex: pressão, temperatura,

viscosidade, densidade, resistividade elétrica, ponto de fusão, ponto de ebulição, cor

(em solução),

Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de

Controle

Quantidade total de B

no volume de controle Grandeza intensiva

correpondente

Elemento de massa

Objetivo: Relacionar a taxa de variação de qualquer propriedade extensiva

arbitrária, B, do sistema com quantidade associadas com o volume de controle

Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de

Controle

Teorema do Transporte de Reynolds

Volume de Controle Fixo Unidimensional

sist

dB

dt

.d V

AVdt

Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de

Controle

.d V

AVdt

Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de

Controle

Taxa de

variação de

B dentro do

V.C

Fluxo de B

para fora,

através da

superfície de

controle

Fluxo de B

para dentro,

através da

superfície de

controle

sist

dB

dt

Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de

Controle

Teorema do Transporte de Reynolds

Volume de Controle Fixo Arbitrário:

- Em cada elemento de

área haverá uma

velocidade diferente,

formando um ângulo

diferente com a normal

local a dA.

- Haverá fluxo de

volume de entrada e

saída.

Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de

Controle

Teorema do Transporte de Reynolds

Volume de Controle Fixo Arbitrário:

Em termos de fluxo (1): V.Cos θ = Vn e dm/dt = ρ Vn.dA

Em termos de fluxo (2): n→ vetor normal para fora

Vn = V . n e V . n = -V.n

Forma compacta do

Teorema de Transporte de

Reynolds

Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de

Controle

Teorema do Transporte de Reynolds

Volume de Controle movendo-se a velocidade constante:

Velocidade relativa Vr = V - Vs velocidade do V.C observado

Velocidade do fluido com relação ao mesmo referencial no qual o movimento Vs

Volume de Controle de forma constante mas movendo-se a velocidade variavél:

Vr = V (r , t) - Vs ( t )

Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de

Controle

Teorema do Transporte de Reynolds

Volume de Controle com movimento e deformação arbitrários

Vr (r , t) = V (r , t) - Vs (r , t)

Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de

Controle

Teorema do Transporte de Reynolds

Aproximações Unidimensionais para termos de fluxo:

Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle

Exemplo 1

Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle

Exemplo 1

Conservação da Massa

Para a conservação da massa: B = m e β = dm/dm = 1

V.C deformável

V.C fixo

Para um certo número de entradas

Escoamento permanente

Fluxos de saída = Fluxos de entrada

Conservação da Massa

Escoamento Incompressível.

Todos os líquidos são praticamente incompressíveis, e escoamentos de gases podem se

comportar como se fossem incompressíveis, em particular se a velocidade do gás for menor

que 30% da velocidade do som no gás.

Se V.C for fixo,entrada e saídas são unidimensionais :

V.C fixo

Se não são unidimensionais : velocidade média baseada no volume

0

Conservação da Massa

Escoamento Incompressível.

Se a densidade varia através da seção:

Conservação da Massa

Exemplo 3

Conservação da Massa

Exemplo 4

Exemplo 5

Exemplo 5

A Equação da Quantidade de Movimento Linear

Para a Quantidade de Movimento Linear: B = mV e β = dB/dm = V

V.C deformavél

V→ é a velocidade do fluido em relação a um referencial inercial (não-alterado).

∑ → é a soma vetorial de todas as forças atuantes no volume de controle material,

considerando com um corpo livre; ou seja, ele inclui as forças de superfície sobre todos os

fluidos e sólidos cortados pela superfície de controle,mais todas as forças de

campo(gravitacional e eletromagnética) atuando sobre as massas no interior do volume de

controle.

A equação como um todo é uma relação vetorial;

V.C fixo

É interessante observar que a equação acima é uma relação vetorial e que V deve ser

uma velocidade em relação a um referencial inercial.

A Equação da Quantidade de Movimento Linear

Fluxo de quantidade de movimento unidimensional.

Por analogia com a expressão do fluxo de massa, a equação abaixo é chamado de Fluxo de

Quantidade de Movimento:

Negativo → fluxo de quantidade de movimento é para dentro.

Positivo → fluxo de quantidade de movimento é para fora.

Se seção transversal é unidimensional,V e ρ são uniformes sobre a área;

Se o V.C possui apenas entradas e saídas unidimensionais;

O vetor da força resultante sobre um volume de fixo é igual à a taxa de variação da

quantidade de movimento dentro do volume de controle mais a soma vetorial dos fluxos de

quantidade de movimento de saída menos a soma vetorial dos fluxo de entrada.

A Equação da Quantidade de Movimento Linear

Força de Pressão resultante sobre uma superfície de controle fechada.

As forças de superfície sobre um volume de controle devem-se a (1): forças expostas pelos

cortes através dos corpos sólidos que se prolongam pela superfície e (2): forças devidas às

pressões e tensões viscosas do fluido circundante.

A Equação da Quantidade de Movimento Linear Fator de correção do fluxo de quantidade de movimento.

Para um duto, geralmente a velocidade axial não é uniforme.O calculo simplificado do

fluxo da quantidade de movimento:

É relativamente impreciso e precisa ser corrigido por onde β é um fator adimensional

de correção de fluxo de quantidade de movimento, β 1.