CAPÍTULO III - DESCRIÇÃO DE UM FLUIDO EM MOVIMENTO

1. Leis Físicas Fundamentais

3 leis escoamentos independentes da natureza do fluido

Leis Básicas Equações Fundamentais

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Leis Básicas Equações Fundamentais

Lei da Conservação de Massa

Segunda Lei de Newton

Primeira Lei da Termodinâmica

Equação da Continuidade

Equação da Qte. de Movimento

Equação da Energia

1

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

CAPÍTULO II - DESCRIÇÃO DE UM FLUIDO EMMOVIMENTO

1. Leis Físicas Fundamentais

3 leis escoamentos independentes da natureza do fluido

Leis Básicas Equações Fundamentais

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Leis Básicas Equações Fundamentais

Lei da Conservação de Massa

Segunda Lei de Newton

Primeira Lei da Termodinâmica

Equação da Continuidade

Equação da Qte. de Movimento

Equação da Energia

2

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Conservação de Massa

O sistema é uma porção arbitrária de matéria de identidade

conhecida e permanentemente.

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Leis BásicasLeis Básicas

3

0dt

dM =sistema

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Segunda Lei de Newton

Para um sistema em movimento relativo a um referencial

estacionário

a soma de todas as forças externas, que atuam no sistema é igual a

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

4

a soma de todas as forças externas, que atuam no sistema é igual ataxa da variação da quantidade de movimento linear do sistemacom o tempo

sistemadtPdFrr

=

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Primeira Lei da Termodinâmica

Conservação de energia de um sistema

dE..

=+

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

5

sistemadt

dEWQ

..

=+ (termos médios)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

2. Campo de Escoamento de um Fluido

y

x

z

uv

w

é uma linha

imaginária, tal que

para um dado

instante de tempo, a

Linha de corrente

Vr

Vr

zyx eweveuVrrrr

++=

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

zinstante de tempo, a

velocidade em

qualquer ponto é

obtida pela tangente

a esta linha em cada

ponto

Filamento de corrente

Tubo de correnteFamília de linhas de corrente

que formam uma passagem

de seção reta infinitesimal é uma superfície finita, feita de um

infinito número de linhas de corrente,

não havendo passagem de massa

através desta superfície6

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

(http://www.youtube.com/user/guiathome#p/c/BD6071B837419278/16/rbMx2NMqyuI)

Equação diferencial para uma linha de corrente em duas e trêsdimensões podem ser obtida:

dt

dxu =

dt

dyv =

dt

dzw =

Eliminando-se dt, obtêm-se:

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Eliminando-se dt, obtêm-se:

u

v

dx

dy=

v

w

dy

dz=

u

w

dx

dz=

7

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

3. Movimento do Fluido

Na dinâmica de sólidos, costumamos descrever o movimento

de partículas e de corpos rígidos através da velocidade e

aceleração do centro de massa.

Número finito de

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Número finito de

partículas, a velocidade

da i-ésima partícula

pode ser dada pelas

equações escalares:

(t)fu ii =

(t)gv ii =

(t)hw ii =

8

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Fluido contêm um no partículas cuja características podem variar continuamente

A técnica que descreve o

movimento das partículas

em relação a um conjunto

de eixos fixos

Tratamento

Lagrangiano(não é usado para fluidos)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Ex.: pássaro com rádio transmissor (posição

A técnica que focaliza a

atenção numa região fixa no

espaço sem identificar as

partículas da região num dado

instante de tempo

Tratamento

Euleriano

9

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I Ex.: pássaro com rádio transmissor (posição

da partícula em função do tempo.

Ex.: pássaros por hora em uma

determinada região fixa.

Campo de velocidade é dado por:

Velocidades em coords. cartesianas:

t)z,y,g(x,v

t)z,y,f(x,u

=

=

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

zyx e w e veu Vrrrr

++=

Sistemas de coords. cilíndricas e esféricas, as velocs. são:

t)z,y,h(x,w

t)z,y,g(x,v

=

=

t),,(r,VV

t)z,,(r,VV

ϕφ

φrr

rr

=

=

10

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Variações infinitesimais de velocidade (derivadas parciais)

dtt

udz

z

udy

y

udx

x

udu

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

Regra da cadeia para derivada parcial, em três dimensões em um

acréscimo de tempo:

VdzVdyVdxVVd ∂+

∂+

∂+

∂=

rrrrr

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

t

V

dt

dz

z

V

dt

dy

y

V

dt

dx

x

V

dt

Vd

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

Considerando dx/dt, dy/dt, dz/dt como velocidade do fluido

11

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Sendo componentes escalares, podem ser substituídos pelosrespectivos componentes de velocidade, obtendo-se:

1o termo : derivada total, substancial ou derivada do fluido(segue a partícula que ocupa uma determinada região no espaço

num instante particular – referencial móvel)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

t

V

z

Vw

y

Vv

x

Vu

Dt

VDa

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂==

rrrrrr

1o termo 2o termo 3o termo

num instante particular – referencial móvel)

2o termo : aceleração convectiva ou aceleração de transporte(depende da partícula e variação do meio)

3o termo : aceleração local(influência do tempo sobre o comportamento da partícula)

12

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

(ex.: barco movendo-se com o rio)

Fluidos Newtonianos e Não Newtonianos(independentes do tempo)

Plástico de Bingham

Pseudoplástico

Tens

ão ta

ngen

cial Pseudoplástico

Dilatante

Vis

cosi

dade

apa

rent

e

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

n

yxdy

duk

=τ

Taxa de deformação

Dilatante

Newtoniano

Tens

ão ta

ngen

cial

Taxa de deformação

Dilatante

Newtoniano

Vis

cosi

dade

apa

rent

e 1−

=

n

dy

dukη

13

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

k= µ=viscosidade absoluta

Newtoniano Não Newtoniano

Plást. Bingham Pseudoplástico Dilatante

Água Pastas dentifríciasSusp. em argila

Exemplos

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Água

ar

gasolina

Susp. em argilaLamas das perfurações

Susp. poliméricasSusp. ColoidaisPolpa de papel diluída em água

Susp. de amidoSusp. de areia

14

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

4. Tipos de Movimento

Mecânica de Fluidos

invíscidos viscosos

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

compressíveis incompressíveislaminar turbulento

c i c i

15

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Invíscido (µ=0) Simplifica a análise

Compressíveis (ρ variável) ex.: gases, ar

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Incompressíveis (ρ constante) ex: óleo, água

16

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Escoamento Laminar e Turbulento

1883 Osborne Reynolds diferença entre laminar e

turbulento

água laminar transição Turbulento

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

corante

Escoamento laminar

água transição

Tipos de escoamento

17

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

(http://www.youtube.com/watch?v=XOLl2KeDiOg&feature=related)(http://www.youtube.com/watch?v=SSxV0BZRBs8&feature=related)

Laminar: o fluido move-se em lâminas paralelas

Transição: o corante interrompia abruptamente, difundindo-se através do tubo

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Turbulento: caracterizado pelo movimento desordenado daspartículas

18

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Veloc. Distintas - injeção de corantes(http://www.youtube.com/user/guiathome#p/c/BD6071B837419278/5/7Ft9VDDPWb4

Aerofólio - escoamento laminar(http://www.youtube.com/user/guiathome#p/c/BD6071B837419278/0/7jTeiz_f1iY

Exemplos:

19

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I (http://www.youtube.com/user/guiathome#p/c/BD6071B837419278/0/7jTeiz_f1iY

Aerofólio - escoamento turbulento(http://www.youtube.com/user/guiathome#p/c/BD6071B837419278/26/gmSKGMSfOcs)

Velocidades críticas escoamentos retilíneos(laminares)

DVcrítica

v≈

viscosasforças

inerciais forças D VD VRe ===

µ

ρ

v

escoamento sinuosos (turbulentos)

transformação

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Tubos movimento é geralmente turbulento Re>2000

Placa Plana dimensão característica

comprimento

300 000<Re<600 000

D viscosasforçasµv

20

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Escoamento Permanente e não Permanente

Escoamento Permanente ou estacionário: a velocidade não varia

com o tempo, embora possa variar ponto a ponto no espaço

Escoamento não Permanente ou não estacionário: dependência

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Escoamento não Permanente ou não estacionário: dependência

com o tempo

* pode ser transformado em permanente através da mudança da

referência espacial

21

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Escoamento Uniforme e não Uniforme

Movimento Uniforme: a aceleração convectiva é nula

O vetor velocidade é o mesmo, em módulo e direção, para qualquer

ponto do campo de escoamento

Não permanente: velocidade deve variar identicamente em todo ponto

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Não permanente: velocidade deve variar identicamente em todo ponto

linhas de corrente retas

Movimento não uniforme: depende do espaçoex.: fluido sem atrito escoará não uniformemente no cotovelo

de um tubo

22

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Escoamento Uni- e bidimensional

Uni-dimensional: é uma simplificação onde todas as props. ecaracterísticas do escoamento expressas em função de uma sócoordenada espacial e do tempo

Hipóteses para esc. unidimensional

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

* a variação da seção transversal do recipiente não é muito grande

*a curvatura das linhas de corrente não é excessiva

*certeza de um perfil de velocidade não variável ao longo do tubo

* V, P, etc. constantes, em cada seção transversal a cada instante

Bi-dimensional: propriedades e características do escoamento sãofunções de duas coordenadas espaciais e do tempo

23

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Ex.: velocidade

* escoamento unidimensional : v= v (x,t)* escoamento unidimensional permanente : v = v (x)* escoamento bidimensional : v = v (x,y,t)* escoamento bidimensional permanente : v = v (x,y)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Perfil unidimensional real

Perfil de velocidade

24

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Sistemas e Volume de Controle

Sistema é caracterizado por uma massa definida de matéria, distinta de todo o restante da mesma, que é chamada de meio

SistemaPosiçãoforma mesma matéria

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Sistema formacondição térmica

mesma matéria

ex.: sistema cilindro-pistão

25

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Volume de Controle

Para cada instante, um diferente sistema ocupa uma região do tubo

analisada

Um método de análise mais conveniente é o que considera

É uma região do espaço através do qual há escoamento de um fluido

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Um método de análise mais conveniente é o que consideraa região delimitada pela linha tracejada

fluido em escoamento

26

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

ab c

Fronteira do sistema

Linha de corrente

Fronteira do sistemano instante t+∆t

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

a

Superfície decontrole

Fronteira do sistemano instante t

1. Sistema = a + b

Volume = a + b

2. Sistema = b + c

Volume = a + b 27

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

EXERCÍCIOS

1. Determinar para os campos de velocidade abaixo:

(1) se o campo de escoamento é uni- bi- ou tridimensional, e dizer porque:

(2) se o escoamento é permanente ou não permanente, e dizer porque:

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

i]eax[vbt

rr −= 2jbxziaxvrrr

+= 2

2. A lei de distribuição das velocidades para escoamento laminar entre placas

28

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

2. A lei de distribuição das velocidades para escoamento laminar entre placasparalelas é dada por:

22

1

−=

h

y

U

U

.máx

Com origem no meio da distância h que separa estas placas. Considerando oescoamento de água a 15ºC, com Umáx. = 0,30 m/s e h=0,50 mm. Calcular atensão tangencial na placa superior e mostrar seu sentido.